tema 1.- lÍmites de funciones y continuidad. · de todas las operaciones con infinito y cero hay...
TRANSCRIPT
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
1
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.
1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes
por f de puntos x, cuando los originales se acercan al valor x0. Es decir el valor al que
tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las
imágenes se acercan a 4.
También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por
pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin
contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).
x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
↓ ↓
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
↓ ↓
2 4
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
2
Limites laterales
El límite lateral por la derecha de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se
acercan las imágenes por f de puntos x( las y) cuando los originales (las x) se acercan
al valor x0 por la derecha de éste, es decir, con valores mayores que x0.
El límite lateral por la izquierda de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que
se acercan las imágenes por f de puntos x( las y) cuando los originales (las x) se
acercan al valor x0 por la izquierda de éste, es decir, con valores menores que x0.
Los límites laterales se denotan:
Límite lateral por la derecha de f en xo:
Límite lateral por la izquierda de f en xo:
Para que una función tenga límite en un punto x0 es necesario que los límites
laterales en ese punto existan y sean iguales
El límite de una función en un punto si existe, es único.
EJEMPLO 1:
Veamos en el siguiente ejemplo cuánto valen los límites laterales en el punto x=2.
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando
x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en
dicho punto sino a su alrededor.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
3
EJEMPLO 2:
Dada la función:
Vamos a hallar .
Para ello calcularemos los límites laterales en el x=0.
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.
2.LIMITES INFINITOS
Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x se tiende a x0, si fijado un número
real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a x0.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
4
Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x tiende a x0, si fijado un número real
negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a x0.
Puede ocurrir que sólo alguno de los límites laterales sea infinito, o que uno sea +
infinito y el otro – infinito. En ese caso se dice que no hay límite en ese punto.
Los límites infinitos nos dicen en qué puntos tiene la función sus asíntotas
verticales. Así, si alguno de los límites laterales ( o los dos) en un punto “a” es
infinito decimos que f tiene una asíntota vertical en la recta x=a.
3.LIMITES EN EL INFINITO
Decimos que una función f tiene por límite L cuando x tiende a + infinito si para
valores cada vez más grandes de la variable x, las correspondientes imágenes por la
función f se aproximan al valor L.
Decimos que una función f tiene por límite L cuando x tiende a menos infinito si para
valores cada vez más pequeños de la variable x, las correspondientes imágenes por la
función f se aproximan al valor L.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
5
Puede ocurrir también que los límites a + infinito y a - infinito sean distintos o incluso
que alguno no exista o sea infinito.
Si alguno de los dos existe y es finito diremos que la función tiene una asíntota
horizontal en ese valor.
Es decir, si f tiene una asíntota horizontal en y=L
En este caso la función no tiene asíntotas horizontales porque el límite da infinito.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
6
Esta función tampoco tiene asíntota horizontal.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
7
Recordemos ahora qué resultados se obtienen en las operaciones con infinito
(entendiendo por infinito valores reales que pueden ser tan grandes como queramos) y
en algunos casos con cero.
Operaciones con infinito y con cero:
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Cero partido por un número
k≠0
Un número partido por infinito
Infinito partido por un número
Cero partido por infinito
Infinito partido por cero
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
8
Un número elevado a cero
Cero elevado a un número
Un número elevado a infinito
Cero elevado a infinito
Infinito elevado a infinito
No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con
saber la regla de los signos y que a-n
= 1/a n
De todas las operaciones con infinito y cero hay algunas a las que llamamos
indeterminaciones porque no tienen un resultado fijo. Estos casos tendremos que
resolverlos uno a uno.
La lista de las indeterminaciones es:
1. Un número partido por cero
k≠0
En este caso sabemos que el resultado es infinito, pero nos falta por determinar su
signo.
2. Cero partido por cero
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
9
3. Infinito partido por infinito
4. Infinito menos infinito
5. Infinito por cero
6. Uno elevado a infinito
7. Cero elevado a cero
8. Infinito elevado a cero
5.CÁLCULO DEL LÍMITE EN UN PUNTO
Si f(x) es una de las funciones usuales ( polinómicas, racionales, radicales,
exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele
cumplir que:
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las
x y, salvo que obtengamos una indeterminación ya tendremos el límite calculado.
EJEMPLOS:
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
10
Hay casos en los que no se podrá calcular el límite en un punto porque la función no
estará definida en la zona a la que pertenece ese punto. Por ejemplo:
La función tiene por dominio y por lo tanto no podemos
calcular el límite cuando x tiende a -2 porque la variable x no podría tomar ningún valor
suficientemente próximo a ese número.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al
dominio, D= − {2, 3}, pues si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3
como queramos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los
diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del límite. Si no coinciden, el límite no
existe.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
11
Para calcular el límite de una función cuando se sustituyen las x por ∞.
Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando de una función polinómica es +∞ o -∞ según el
término de mayor grado sea positivo o negativo y su exponente par o impar.
EJEMPLOS:
-∞
Limite de una función exponencial
Si a > 0
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
12
Si 0 < a < 1
EJEMPLOS:
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
13
Limite de una función logarítmica
Si a > 0
Si 0 < a < 1
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
14
Ejemplos de límites de logaritmos
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
15
6.INDETERMINACIONES
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino
que en cada caso tendremos que efectuar operaciones particulares para resolver cada
una de las indeterminaciones.
Tipos de indeterminación que estudiaremos:
1. Un número partido por cero
k≠0
Para resolver esta indeterminación hacemos los límites laterales. Si los dos dan +∞ el
límite es +∞, si los dan -∞, el límite es -∞, y en cualquier otro caso no existe límite. Los
límites laterales simplemente se calculan comprobando el signo del denominador por la
derecha o por la izquierda.
EJEMPLOS:
indeterminación
Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.
Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −2, o −1,5 o
−1,1 etc; el denominador es negativo y por lo tanto, como el numerador también lo es,
el límite por la izquierda será: +∞.
Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como 0 o −0,5 o
−0,9 etc; el numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el límite por
la derecha será: − ∞.
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x −1.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
16
En el siguiente ejemplo, como el denominador está al cuadrado, aplicando el mismo
procedimiento se observa que los dos límites laterales dan +∞.
Indeterminación
Calculamos los laterales:
Por lo tanto:
En el siguiente ejemplo el resultado es -∞.
2. Cero partido por cero
1. Función racional sin radicales:
Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.
Veamos ejemplos:
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
17
Ejemplo 2.
Indeterminación
No tiene límite en x = −1
2. Función racional con radicales:
En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la
expresión irracional. Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
18
3. Infinito partido por infinito
1. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada
al mayor exponente. Simplificamos al máximo y calculamos de nuevo.
En este caso siempre se cumple lo siguiente:
a) Si el numerador tiene mayor grado que el denominador da ∞.
b) Si el denominador tiene mayor grado que el numerador da 0.
c) Si tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor
grado.
Esta regla sirve también aunque haya alguna raíz:
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
19
2. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.
4. Infinito menos infinito
1. Con funciones racionales.
Ponemos a común denominador, es decir, realizamos la resta de fracciones.
Calculamos los límites laterales, pues hemos obtenido otra indeterminación.
Como los límites laterales son distintos decimos que no existe límite.
2. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el
conjugado.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
20
5. Infinito por cero
Se transforma a
ó a
usando uno de los siguientes trucos.
Ejemplos:
6. Uno elevado a infinito
Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
21
1er
Método:
Sumamos y restamos 1
Ponemos el inverso del inverso
Elevamos a ese denominador y a su inverso. De esta forma obtenemos un límite del tipo
2º Método:
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
23
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua,
en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
1. Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto a si y sólo si se cumplen las tres
condiciones siguientes:
1. Que el punto a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a. (Para ello tienen que existir
los dos laterales y ser iguales).
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Veamos un ejemplo:
1. Estudiar la continuidad de en x =2.
Primero calculamos f(2)= 4 .
Después calculamos los límites laterales en x=2 que en este caso valen lo mismo:
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
24
En este caso como podemos decir que f es continua en x=2.
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.
es continua en − {3}. La función
En x = 3 no es continua porque no está definida.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
25
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de
definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que
coincidir sus límites laterales.
La función es continua en .
Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los
puntos de división coinciden.
DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES.
Cuando una función no es continua en un punto “a” se dice que es discontinua o que
presenta una discontinuidad en “a”. Esto ocurre cuando no se cumple alguna de las tres
condiciones de la definición, es decir, o la función no está definida en el punto, o no
existe el límite en el punto, o aunque exista no coincide con el valor de la función en
dicho punto.
A continuación vamos a ver ejemplos de todos los casos y también el nombre que recibe
cada uno de estos tipos de discontinuidades:
1.Discontinuidad evitable. Esta discontinuidad se da cuando existe el límite y es finito
pero, o bien no existe imagen, o la imagen no coincide con el límite.
Ejemplo 1:
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
26
La función es discontinua porque en x = 2 aunque existe el límite no existe imagen, es
decir no está definida en x=2.
pero
En este caso falla la primera condición.
Ejemplo 2.
En este caso existe el límite y también la función pero no coinciden.
La imagen no coincide con el límite.
Existe la función en el punto 2, existe el límite en el 2, pero son distintos.
La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
27
Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede
redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.
La función estudiada anteriormente la redefinimos de modo que:
2.Discontinuidad inevitable o de primera especie.
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales
en x = a, pero son distintos.
Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.
Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
28
1. Discontinuidad inevitable de salto finito
Los dos límites laterales son finitos, es decir, la diferencia entre los límites laterales es
un número real.
En el siguiente ejemplo:
La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite ya que los límites laterales
son distintos.
En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.
2. Discontinuidad inevitable de salto infinito
Alguno de los dos límites o los dos son infinitos, es decir, la diferencia entre los límites
laterales es infinito.
Estos apuntes están sacados de la página de vitutor, pero se le han hecho modificaciones.
29
En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.
3.Discontinuidad esencial o de segunda especie.
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los
límites laterales en x = a.
Ejemplo 1.
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.