LIMITES AL INFINITODERIVADAS

JAIRO ANDRES BOADA AYALAINGENIERIA DE SISTEMASTUTORA : MARIA EUGENIA MONTEROCALCULO II

LÍMITES EN EL INFINITO

El infinito es una idea muy especial. sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de función es que tienen al infinito dentro.

UNO ENTRE INFINITO

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞ ?

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡PERO PODEMOS ACERCARNOS A ÉL!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

X 1/x 1 1 2 0,5 4 0,25 10 0,1 100 0,01 1000 0,001 Vemos que cuando x crece, 1/x

tiende a 0

AHORA TENEMOS UNA SITUACIÓN INTERESANTE

No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito Pero vemos que 1/x va hacia 0 Queremos decir que la respuesta es "0" pero no

podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0 Y lo escribimos así:

En otras palabras: Cuando x va a infinito, 1/x va a 0  Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

LÍMITES AL IR A INFINITO

¿Cuál es el límite de esta función? y = 2x

Está claro que cuando x se hace más grande, le pasa lo mismo a 2x

X y=2x 1 2 2 4 4 8 10 20 100 200 Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo

escribimos así:

Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite).

INFINITO Y GRADO

Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito. De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de

calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así: Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia

infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc.  Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.

Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito

Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos. De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar.    Si el grado es:

mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito) menor que 0, el límite es 0 Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que

trabajar más para calcular el límite

FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es el cociente de dos polinomios:

Por ejemplo

Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, los pasos para calcular limites son….

COMPARAR EL GRADO DE P(X) CON EL GRADO DE Q(X)

Si el grado de P es menor que el grado de Q El límite es 0.

SI EL GRADO DE P Y DE Q SON IGUALES

Divide los coeficientes de los términos del grado más grande, así:

SI EL GRADO DE P ES MAYOR QUE EL GRADO DE Q

El límite es infinito positivo o quizás infinito negativo  ¡Tienes que mirar los signos!

DERIVADAS El concepto de derivada fue desarrollado por

Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país.

Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

CONCEPTO El concepto de derivada de una función

matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

PROPIEDADES DE LA DERIVADA

GRAFICA DE UNA DERIVADA

APLICACIÓN DE LA DERIVADA1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la

cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidadb) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad

posible.c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.Solucióna) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función.

Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decreceProcedimiento: Se deriva la función:R`(x)=-0,004x+0,8 Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:R`(x)=0 ,   Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores

que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

CONTINUACION DEL EJERCICIO…… se coge un punto menor que 200, por ejemplo

100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

  Entonces la derivada es positiva en el intervalo

(0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros

GRAFICA DEL EJERCICIO APLICATIVO