tema 6, distribuciones de probabilidad

MAESTRÍA EN BANCA VALORES Y SEGUROS( 1RA EDICIÓN – 1RA VERSIÓN )

Msc Jorge Mario Jimenez Aviles

10 de 2011

Santa Cruz - Bolivia

PROBABILIDAD E INFERENCIA

ESTADISTICA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

TEMA 6

CONTENIDO

Variables Aleatorias Discretas

Distribución Binomial

Distribución Poisson

Distribución Normal

Distribución exponencial

Variables aleatorias

Es una descripción numérica del resultado deun experimento aleatorio

De acuerdo a lo anterior las podemosclasificar como discretas o continuas

Las discretas son variable aleatorias con unrango finito ( o infinito contable)

Las continuas son variables que puedenasumir cualquier valor en un intervalo oconjunto de intervalos

EJEMPLOS DE VARIABLES ALEATORIAS

VARIABLES DISCRETAS

Para una variable aleatoria discreta la

distribución de probabilidad se

describe mediante una función de

probabilidad, representada por f(x).

Donde esta función define la

probabilidad de cada valor de la

variable analizada

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE

ALEATORIA DISCRETA

Las condiciones requeridas para una función

son:

1

( ) ( )

( ) 0

( ) 1n

i

f x P X x

fx x

fx x

Cantidad discreta

Pro

ba

bil

idad

EJEMPLO

DIST. PROBABILIDAD

DIST. PROBABILIDAD NUMERO DE AUTOMOVILES POR DIA

VALOR ESPERADO

LA ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE

ALEATORIA DISCRETA ESTADA DADA POR

X F(X)

VARIANZA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Ejercicio

Dada la siguiente tabla de distribución de probabilidades deuna variable aleatoria y.

– Determine si es correcta la distribución de probabilidades

– Calcule E(y)

– Calcule Var(y) y d.s(y)

y F(y)

2 0.20

4 0.30

7 0.40

8 0.10

Total 1.00

Distribución Binomial

Es una distribución discreta de probabilidad conocidapor sus variadas aplicaciones que se relaciona conun experimento de etapas múltiples

Un experimento binomial tiene cuatro propiedades:

1. El experimento consiste en una sucesión de nintentos idénticos

2. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito oFracaso

3. La probabilidad de éxito, representado por p, nocambia de un intento a otro. En consecuencia, laprobabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de unintento a otro. Supuesto de estacionariedad

4. Los intentos son independientes

Si existen sólo las propiedades 2,3,4 se habla de un

proceso Bernoulli

Un ejemplo de distribución Binomial es determinar

la probabilidad de que en n intentos al lanzar una

moneda salga cara (éxito) y no sello (fracaso)

La fórmula de combinatoria de n objetos

seleccionados en un grupo proporciona la

cantidad de resultados experimentales que

resultan en x éxitos

Cantidad de resultados experimentales con

exactamente x éxitos en n intentos

También es necesario conocer la probabilidad

asociada a cada uno de los resultados

experimentales el cual se puede determinar a

través de la siguiente relación

!

! !

n n

x x n x

( )(1 )x n xp p

Combinado las dos expresiones obtenemos la

función de distribución Binomial

( )( ) (1 )

( ) probabilidad de x exitos en n intentos

!

!( - )!

probabilidad de un exito en cualquier intento

(1- )=probabilidad de un fracaso en cualquier intento

x n xn

f x p px

f x

n n

x x n x

p

p

Valor esperado de la distribución binomial de

probabilidad

Varianza de la distribución binomial de probabilidad( )E x np

2( ) (1 )Var x np p

Ejemplo

El gerente de una gran tienda necesita determinar cual esla probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan ala tienda hagan una compra. Él sabe que laprobabilidad de que un cliente compre es de 0.3

3 3!3

2 2! 3 2 !

2 (3 1)0.3 (1 ) 0.063p

Cantidad de resultados experimentales

Probabilidad de cada resultado

experimental en donde 2 de los tres

clientes compran

Luego 3·0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes

que ingresan a la tienda 2 compren

EJEMPLO

CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL TIRAR UNA

MONEDA 5 VECES LAS CINCO SEAN CARA

Distribución Poisson

Es una distribución de probabilidad que muestra la

probabilidad de x ocurrencias de un evento en un

intervalo especificado de tiempo o e espacio

Las propiedades de un experimento de Poisson son:

– La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos

intervalos cualesquiera de igual longitud

– La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es

independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en

cualquier otro intervalo

La distribución de Poisson se expresa como:

(x = cantidad de ocurrencia)

Ejemplo

Se necesita estimar la cantidad de llegadas a la ventanillade servicio en automóviles de un banco, durante unperíodo de 15 minutos en las mañanas de los díashábiles. Los datos históricos indican que en esteperíodo la cantidad de automóviles en promedio es 10.A la gerencia le interesa saber cual es la probabilidadexacta de que lleguen 5 automóviles en 15 minutos

5 1010(5) 0.0378

5!

ef

Distribución Normal de Probabilidad

Abraham de Moivre publicó en 1733 la Doctrina de lasProbabilidades y dedujo la distribución normal deprobabilidad

Es la distribución continua más importante deprobabilidad.

La función de densidad normal de probabilidad se

expresa como:

2 2( ) / 21( )

2

xf x e

Promedio

Desviación estándar

x

Características de esta distribución:

– Hay familias de distribuciones normales. Cada una

se identifica por su media y su desviación estándar

– El punto más alto es la media

– La media puede ser cualquier valor numérico

– La distribución de probabilidad normal es simétrica.

Las colas se prolongan hasta el infinito (nunca tocan

el eje de las x)

– Las desviaciones estándares determinan el ancho de

la curva

– El área total es 1

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

x

68.26%

95.44%

99.72%

0

DESV ESTAND = 1

La altura de una distribución normal varía por lo

cual en el cálculo del área se debe recurrir al

cálculo infinitesimal

Cuando tenemos una distribución normal con media

0 y desviación estándar 1 se habla de una

distribución normal estándar

CALCULO DE PROBABILIDADES PARA CUALQUIER

DISTRIBUCION NORMAL

LA ECUACION PARA CONVERTIR CUALQUIER

VARIABLE ALEATORIA NORMAL X CON UNA MEDIA Y

DESVIACION ESTANDAR ES

xz

(.00 1.00) .3413

( 1.00 1.00) .6826

P z

P z

xz

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Ejemplo

Determine la probabilidad de que neumáticos fabricados

por Goodyear puedan superar las 40.000 millas, si se

tiene un promedio de 36.500 millas y una desv. estándar

de 5.000.

40000 365000.7 0.2580

5000z

P(x 40000)=?

TABLA DE AREAS BAJO LA CURVA DISTRIBUCION

NORMAL

Distribución exponencial de probabilidad

Es una distribución continua de probabilidadque se aplica para determinar lasprobabilidades de ocurrencias de un eventoen el tiempo y espacio

La función de densidad de esta distribución es:

De acuerdo a ésta la distribución exponencialde probabilidad (área bajo la curva)corresponde a:

/1( ) xf x e

/( ) 1 ox

oP x x e

0, 0x

Función Distribución

Tiempo Tiempo

( )f x( )f x

Ejemplo

Determinar la probabilidad de que un camión

que llega a un puerto sea cargado en 6

minutos o menos. Se sabe que en promedio

se demoran 15 minutos

( )f x

6 Tiempo(min)0

6 /15( 6) 1 0.3297P x e