tema 2: funciones de una variable. función.definición regla que relaciona los elementos de dos...
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TEMA 2 FUNCIONES DE UNA VARIABLE
FuncioacutenDefinicioacuten
bull Regla que relaciona los elementos de dos conjuntos
bull A cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno y soacutelo un elemento del conjunto final
Ejercicio
bull iquest Cuaacutel de estas dos expresiones es una funcioacuten
xxf
xxf
)(
1)(
Dominio
bull El subconjunto de nuacutemeros reales para los cuales existe la funcioacuten
bull Ejemplo
1)(
2
x
xxf
RECORRIDO
bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable
Ejercicio
bull Dominio y recorrido de la funcioacuten
xxf
1)(
Dominios
y Recorridos de Funciones
Las Funciones polinoacutemicas
estaacuten definidas para todo nuacutemero real
El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar
011
1 )( axaxaxaxP nn
nn
Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
21
x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
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FuncioacutenDefinicioacuten
bull Regla que relaciona los elementos de dos conjuntos
bull A cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno y soacutelo un elemento del conjunto final
Ejercicio
bull iquest Cuaacutel de estas dos expresiones es una funcioacuten
xxf
xxf
)(
1)(
Dominio
bull El subconjunto de nuacutemeros reales para los cuales existe la funcioacuten
bull Ejemplo
1)(
2
x
xxf
RECORRIDO
bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable
Ejercicio
bull Dominio y recorrido de la funcioacuten
xxf
1)(
Dominios
y Recorridos de Funciones
Las Funciones polinoacutemicas
estaacuten definidas para todo nuacutemero real
El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar
011
1 )( axaxaxaxP nn
nn
Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
21
x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Ejercicio
bull iquest Cuaacutel de estas dos expresiones es una funcioacuten
xxf
xxf
)(
1)(
Dominio
bull El subconjunto de nuacutemeros reales para los cuales existe la funcioacuten
bull Ejemplo
1)(
2
x
xxf
RECORRIDO
bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable
Ejercicio
bull Dominio y recorrido de la funcioacuten
xxf
1)(
Dominios
y Recorridos de Funciones
Las Funciones polinoacutemicas
estaacuten definidas para todo nuacutemero real
El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar
011
1 )( axaxaxaxP nn
nn
Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
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x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Dominio
bull El subconjunto de nuacutemeros reales para los cuales existe la funcioacuten
bull Ejemplo
1)(
2
x
xxf
RECORRIDO
bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable
Ejercicio
bull Dominio y recorrido de la funcioacuten
xxf
1)(
Dominios
y Recorridos de Funciones
Las Funciones polinoacutemicas
estaacuten definidas para todo nuacutemero real
El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar
011
1 )( axaxaxaxP nn
nn
Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
21
x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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- Slide 32
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RECORRIDO
bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable
Ejercicio
bull Dominio y recorrido de la funcioacuten
xxf
1)(
Dominios
y Recorridos de Funciones
Las Funciones polinoacutemicas
estaacuten definidas para todo nuacutemero real
El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar
011
1 )( axaxaxaxP nn
nn
Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
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x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
- Slide 1
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- Slide 34
-
Ejercicio
bull Dominio y recorrido de la funcioacuten
xxf
1)(
Dominios
y Recorridos de Funciones
Las Funciones polinoacutemicas
estaacuten definidas para todo nuacutemero real
El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar
011
1 )( axaxaxaxP nn
nn
Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
21
x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Dominios
y Recorridos de Funciones
Las Funciones polinoacutemicas
estaacuten definidas para todo nuacutemero real
El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar
011
1 )( axaxaxaxP nn
nn
Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
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x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
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Soluciones al segundo ejercicio
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Las Funciones polinoacutemicas
estaacuten definidas para todo nuacutemero real
El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar
011
1 )( axaxaxaxP nn
nn
Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
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n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
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x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
- Slide 1
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Funciones racionales
Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)
)(
)()(
xQ
xPxf
Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
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x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Funciones irracionales
bull Funciones irracionales
bull Caso 1 n par
Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar
Dom ( f )=
n xRxf )()(
R
R
n1
R(x)=
Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
25
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x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Funciones exponenciales
bull Funciones exponenciales
El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668
xexf )(
Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
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x
x
Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Funciones logariacutetmicas
El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales
Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales
)log()( xxf
Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
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Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
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Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
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Funciones a trozos
f(x) =
bull Calcula f (2) =
bull Calcula f (4) =
bull Calcula f (-1) =
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x
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Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
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GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Funciones trigonomeacutetricasseno
bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)
-Su dominio es R 1048668
-Su recorrido es el intervalo [-11]
Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
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GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
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bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
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Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
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bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
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Funcioacuten coseno
bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)
bull -Su dominio es R
bull -Su recorrido es el intervalo [-11]
GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
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bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
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bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN
bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano
bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten
Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
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Ejercicio
bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)
xxf
1)(
Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones
bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
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bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
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bull Funcioacuten creciente y decreciente
bull Funcioacuten coacutencava y convexa
bull Funcioacuten acotada
Funciones crecientes y decrecientes
bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
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bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)
bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)
Funciones conveacutexas y coacutencavas
bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva
bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal
que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
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bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
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que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior
Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten
Funciones acotadas
bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
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Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
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bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime
bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente
funcioacuten
Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
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Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
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(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
Ejercicios composicioacuten de funciones
Soluciones al primer ejercicio
Soluciones al segundo ejercicio
Soluciones al tercer ejercicio
Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
Ejercicio de funcioacuten inversa
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Ejercicio
bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada
bull iquest cota inferior
bull iquest cota superior
Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
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Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
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bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
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Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten
bull Apuntes
Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
bull No es conmutativabull f o g ne g o f
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Funcioacuten inversa
Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que
Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos
que hallar el dominio de su funcioacuten inversa
Calculo de la funcioacuten inversa
bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
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Operaciones entre funciones
bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)
bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)
bull (fg) (x)= f(x)g(x)
bull (fg)x= f(x)g(x)
bull producto por un escalar
(a f)(x)=a f(x)
Composicioacuten de funciones
bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones
bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades
bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h
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Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = a
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bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
bull Se intercambian las variables
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bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo
f (x) =2x y g(x) =3x+1
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
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