tema 1_forma canónica y estándar

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Forma Estandar Y Forma Canonica De Un Modelo De Programacion Lineal.-

1. Forma Cannica: Las caractersticas de esta forma son:1. Todas las variables de decisin son positivas;2. Todas las restricciones son del tipo ;3. La funcin objetivo es de Maximizar, es decir:

Maximizar: XO = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn Sujeto a: a11X1 + a12X2 + . . . + a1nXn b1 a21X1 + a22X2 + . . . + a2nXn b2. . .. . . . . . . . .am1X1 + am2X2 + . . . + amnXn bm X1 , X2 , . . . , Xn 0Todo problema de programacin lineal puede llevarse a la forma cannica utilizando algunas de las siguientes transformaciones elementales:1. Minimizar: XO = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn es equivalente a: Maximizar: GO = -C1X1 - C2X2 - . . . - CnXn (y viceversa)

2. Una desigualdad del tipo puede cambiarse a una desigualdad del tipo multiplicando ambos lados de la desigualdad por (-1):a1X1 + a2X2 b es equivalente a: -a1X1 - a2X2 -b

3. a1X1 + a2X2 = b es equivalente a:

(a1X1 + a2X2 b) a1X1 + a2X2 b -a1X1 - a2X2 -b

4. a1X1 + a2X2 b es equivalente a:

X b = X b X -b -X b a1X1 + a2X2 b-a1X1 - a2X2 b

5. Variable irrestricta en signo: es aquella que puede ser positiva, negativa o cero. X es irrestricta en signo, por lo tanto: X = X1 X2donde X1 y X2 : son variables no negativasCuando X1 > X2 X > 0 (positiva)X1 < X2 X < 0 (negativa)X1 = X2 X = 0

EJEMPLO: Escribir en forma cannica el siguiente modelo de programacin lineal:Minimizar: XO = 3X1 - 3X2 + 7X3 Sujeto a: X1+X2+3X340X1+9X2-7X3505X1+3X2=205X2+ 8X3100 X1 , X2 0, X3: Irrestricta en signo2. Forma Estndar: Las caractersticas de esta forma son:1. Todas las variables de decisin son positivas;2. Todas las restricciones son del tipo = (ecuaciones);3. Los elementos del lado derecho de cada ecuacin son no negativos.

Las desigualdades en las restricciones pueden cambiarse a la forma = introduciendo nuevas variables en el lado izquierdo de estas restricciones.

1. Si se tiene: a1X1 + a2X2 b, entonces, esta restriccin en forma estndar es: a1X1 + a2X2 E1 = b, donde E1 es la variable de excedencia no negativa (lo que sobra para llegar a la igualdad).

2. Max. o Min.: XO = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn Sujeto a: a11X1 + a12X2 + . . . + a1nXn + S1 = b1 a21X1 + a22X2 + . . . + a2nXn + S2 = b2 . . .. . . . . . . . . . . . am1X1 + am2X2 + . . . + amnXn +Sm = bm X1 , X2 , . . . , Xn, S1, S2,, Sm 0S1, S2, , Sm: variables de holgura o excedencia (H o E)Si se tiene: a1X1 + a2X2 c, entonces, esta restriccin en forma estndar es: a1X1 + a2X2 + H1 = c, donde H1 es la variable de holgura no negativa (lo que falta para llegar a la igualdad).

3. El resto de las transformaciones aplicadas para el modelo cannico son igualmente vlidas para este modelo.

EJEMPLO: Escribir en forma estndar el modelo de programacin lineal anterior:Minimizar: XO = 3X1 - 3X2 + 7X3 Sujeto a:X1+X2+3X340 X1+9X2-7X3505X1+3X2=205X2+8X3100 X1 , X2 0, X3: Irrestricta en signoSolucin.-

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