resumen-2011-mecanica_estadistica
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5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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1 . D e s c r i p c i ó n e s t a d í s t i c a d e l o s s i s t e m a s m a c r o s -
c ó p i c o s
L a g r a n g i a n o
L (qi , ˙ pi ; t) = K − U
d o n d e K e s l a e n e r g í a c i n é t i c a y U e s l a e n e r g í a p o t e n c i a l .
E c u a c i o n e s d e L a g r a n g e
∂ L∂qi
− d
dt
∂ L∂ qi
= 0 i = 1, . . . , f
M o m e n t o s g e n e r a l i z a d o s
pi =∂ L∂ qi
H a m i l t o n i a n o
H (qi , pi ; t) =i
piqi − L
E c u a c i o n e s d e M o v i m i e n t o
qi =∂H
∂pi
˙ pi = −∂H
∂qi
P r o p i e d a d e s d e l h a m i l t o n i a n o
∂H
∂t=
dH
dt
D e m a n e r a q u e s i
H = H (t) ⇒ H e s u n a c o n s t a n t e d e l m o v i m i e n t o .
E s p a c i o d e f a s e s
E s p a c i o d e 2f d i m e n s i o n e s : f d i m e n s i o n e s d e c o o r d e n a d a s y f d i m e n s i o n e s
d e m o m e n t o s .
U n p u n t o e n e l e s p a c i o d e f a s e s d e t e r m i n a d e f o r m a ú n i c a e l e s t a d o d i n á -
m i c o d e l s i s t e m a .
L a e v o l u c i ó n t e m p o r a l d e u n s i s t e m a v i e n e d a d a p o r u n a c u r v a e n e l e s p a c i o
d e f a s e s .
D e s c r i p c i ó n m a c r o s c ó p i c a
E s p e c i c a e l s i s t e m a m e d i a n t e u n o s p o c o s p a r á m e t r o s ( p r e s i ó n , t e m p e r a -
t u r a , v o l u m e n , e n e r g í a , . . . )
1
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D e s c r i p c i ó n m i c r o s c ó p i c a
D e b e m o s e s p e c i c a r l a s c o o r d e n a d a s y m o m e n t o s d e t o d a s l a s p a r t í c u l a s
d e l s i s t e m a .
P a r a u n a d e s c r i p c i ó n m a c r o s c ó p i c a t e n e m o s m u l t i t u d d e d e s c r i p c i o -
n e s m i c r o s c ó p i c a s c o m p a t i b l e s . N o p o d e m o s s a b e r e n q u é m i c r o e s t a d o
s e e n c u e n t r a e l s i s t e m a , d e m a n e r a q u e a s i g n a m o s a c a d a u n o d e l o s
m i c r o e s t a d o s c o m p a t i b l e s u n a c i e r t a p r o b a b i l i d a d e n e l e s p a c i o d e
f a s e s .
ρ = ρ (qi , pi , t) = ρ (q,p,t)
L a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l s i s t e m a s e e n c u e n t r e e n u n i n s t a n t e
tc o n
c o o r d e n a d a s e n (q, q + dq) y ( p,p + dp) v i e n e d a d a p o r
ρ (q,p,t) dqdp = ρ (
qi
,
pi
, t) dq1 . . . d qf dp1 . . . d pf
y d e b e c u m p l i r l a c o n d i c i ó n d e n o r m a l i z a c i ó n
ˆ Γ
ρ (q,p,t) dqdp = 1
P r i m e r p o s t u l a d o
E l v a l o r d e l o s p a r á m e t r o s m a c r o s c ó p i c o s q u e d e n e n e l e s t a d o d e l s i s t e m a
e n u n m o m e n t o d a d o e s i g u a l a l v a l o r m e d i o s o b r e e l c o n j u n t o d e e s t a d o s
m i c r o s c ó p i c o s a s o c i a d o s a l a c o r r e s p o n d i e n t e m a g n i t u d m a c r o s c ó p i c a .
A (t) =
ˆ Γ
dqdpρ (q, p, t) A (t)
F l u c t u a c i ó n
O s c i l a c i ó n d e l v a l o r d e u n a m a g n i t u d m a c r o s c ó p i c a a l r e d e d o r d e u n v a l o r
d a d o .
D e s v i a c i ó n c u a d r á t i c a m e d i a
∆∗A (t) =
A2 − A
2
C o n s t i t u y e u n a m e d i a d e l a s e p a r a c i ó n d e l v a l o r r e a l A (t) r e s p e c t o a l a
c u r v a A (t) .
S i
∆∗A(t)A(t) → 0 ⇒ A (t) e s u n a v e r d a d e r a m a g n i t u d f í s i c a .
E c u a c i ó n d e L i o u v i l l e ( e v o l u c i ó n d e l o s s i s t e m a s e n e l e s p a c i o d e f a s e s )
D e n i m o s v ≡ ( qi, ˙ pi) c o m o l a v e l o c i d a d d e l o s p u n t o s r e p r e s e n t a t i v o s e n
e l e s p a c i o d e f a s e s .
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L a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l s i s t e m a s e e n c u e n t r e , e n u n i n s t a n t e t e n u n
m i c r o e s t a d o r e p r e s e n t a d o p o r u n p u n t o e n e l e s p a c i o f á s i c o Γ1 s e r á
ˆ Γ1
dqdpρ (q, p, t)
U n i n t e r v a l o d e s p u é s , l a p r o b a b i l i d a d h a b r á v a r i a d o , p u e s a l g u n o s p u n t o s
h a b r á n e n t r a d o y o t r o s s a l i d o d e Γ1 a t r a v é s d e
dΣ
d
dt
ˆ Γ1
dqdpρ (q, p, t) = −ˆ Σ
d Σ · vρ (q, p, t)
U t i l i z a n d o e l t e o r e m a d e G a u s s c o n v e r t i m o s l a i n t e g r a l d e s u p e r c i e e n
u n a d e v o l u m e n
ˆ Σ
d Σ · vρ (q, p, t) =
ˆ Γ1
dqdp (ρv) ⇒ˆ Γ1
dqdp
∂ρ
∂t+ (ρv)
= 0
( d o n d e t a m b i é n h e m o s u t i l i z a d o
ddt
´ Γ
dqdpρ (q, p, t) =´ Γ
dqdp∂ρ(q,p,t)∂t ) .
C o m o Γ1 e s a r b i t r a r i o
∂ρ∂t + (ρv) = 0 d e b e c u m p l i r s e s i e m p r e .
∂ρ∂t = − (ρv)
E s t e r e s u l t a d o i n d i c a q u e l a v a r i a c i ó n d e l a p r o b a b i l i d a d e n Γ1 v i e n e d a d o
p o r e l u j o q u e a t r a v i e s a l a s u p e r c i e c i r c u n d a n t e Σ ⇒ E l n ú m e r o d e
p u n t o s r e p r e s e n t a t i v o s e n e l e s p a c i o d e f a s e s s e c o n s e r v a .
dρ
dt=
∂ρ
∂t+
f i=1
∂ρ
∂qiqi +
∂ρ
∂pi˙ pi
= 0
U t i l i z a n d o l a d e n i c i ó n d e l o s c o r c h e t e s d e P o i s s o n y l a s e c u a c i o n e s d e
H a m i l t o n o b t e n e m o s
∂ρ
∂t= H, ρ
S o l u c i o n e s e s t a c i o n a r i a s d e l a e c u a c i ó n d e L i o u v i l l e
S i
ρ = ρ (t) ⇒ H, ρ = 0 ⇒ ρe s u n a c o n s t a n t e d e l m o v i m i e n t o .
S i ρ = ρ (t) ⇒ A = A (t) ⇒ l o s v a l o r e s m e d i o s d e l a s v a r i a b l e s d i n á m i c a s
s o n i n d e p e n d i e n t e s d e l t i e m p o .
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U n a f u n c i ó n d e c o n s t a n t e s d e l m o v i m i e n t o e s t a m b i é n u n a c o n s t a n t e d e l
m o v i m i e n t o . L a s m á s i m p o r t a n t e s s e d e r i v a n d e l a h o m o g e n e i d a d e i s o t r o -
p í a d e l e s p a c i o y d e l a h o m o g e n e i d a d d e l t i e m p o . E s a s c o n s t a n t e s s o n l a
e n e r g í a E , e l m o m e n t o l i n e a l t o t a l p y e l m o m e n t o a n g u l a r t o t a l
L. E s t a s
c o n s t a n t e s s o n a d i t i v a s , d e m a n e r a q u e s i e l s i s t e m a s e p u e d e d i v i d i r e n
s u b s i s t e m a s , c a d a u n a d e e s t a s c o n s t a n t e s t o m a e l v a l o r d e l a s u m a d e l a s
d e c a d a u n a d e l o s s u b s i s t e m a s .
S i s t e m a e n e q u i l i b r i o ⇒ ρ = ρ (t). A d e m á s , A = A (t) .
S e g u n d o p o s t u l a d o :
A u n e s t a d o d e e q u i l i b r i o m a c r o s c ó p i c o d e u n s i s t e m a a i s l a d o l e c o r r e s -
p o n d e u n a d e s c r i p c i ó n e n l a q u e t o d o s l o s e s t a d o s a c c e s i b l e s a l s i s t e m a
s o n i g u a l m e n t e p r o b a b l e s . E s t o d e t e r m i n a l a f o r m a d e ρ (q, p) p a r a u n
s i s t e m a e n e q u i l i b r i o
ρ (q, p) =1
Ω (E )δ [E − H (q, p)]
Ω (E ) e s u n f a c t o r d e n o r m a l i z a c i ó n
1
.
Ω (E ) =
ˆ Γ
dqdpδ [E − H (q, p)]
Ω (E ) e s u n a m e d i d a d e l n ú m e r o d e m i c r o e s t a d o s a c c e s i b l e s a l s i s t e m a .
ρ (q, p) =
´ Γ
dqdpδ [E − H (q, p)]
Ω (E )
C o l e c t i v i d a d m i c r o c a n ó n i c a
ρ (q, p) =1
Ω (E )δ [E − H (q, p)]
L a c o l e c t i v i d a d m i c r o c a n ó n i c a e s a d e c u a d a p a r a s i s t e m a s a i s l a d o s , c o n
e n e r g í a c o n s t a n t e e n e q u i l i b r i o .
D e n i c i ó n d e Γ (E )
Γ (E ) =
ˆ EE0
dE Ω (E )
d o n d e E 0 e s l a e n e r g í a m í n i m a p a r a u n c o n j u n t o d e p a r á m e t r o s d a d o s .
Γ (E ) =
ˆ E
E0
dE Ω (E ) =
ˆ E
E0
dE ˆ Γ
dqdpδ [E − H (q, p)]
1
L a s r e s t r i c c i o n e s s o b r e
qy
ps e e n c u e n t r a n i n c l u i d a s e n e l H a m i l t o n i a n o , p o r l o q u e l a
i n t e g r a ñ s e e x t i e n d e s o b r e t o d o e l e s p a c i o f á s i c o .
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C a m b i a n d o e l o r d e n d e i n t e g r a c i ó n
Γ (E ) =ˆ Γ
dqdpˆ EE0
dE δ [E − H (q, p)] =ˆ E0≤H (q,p)≤E
dqdp
E s d e c i r , q u e Γ (E ) r e p r e s e n t a e l v o l u m e n c o n t e n i d o e n t r e d o s c a p a s d e
s u p e r c i e c o n E c o n s t a n t e . E s t e v o l u m e n p u e d e e x p r e s a r s e c o m o σ (R) dR ,
d o n d e
σ (R) e s e l á r e a d e l a s u p e r c i e y
dRe s l a d i s t a n c i a q u e s e p a r a l a s
d o s s u p e r c i e s . E n n u e s t r o c a s o :
Γ (E ) = Ω (E ) dE ⇒ Γ (E + dE ) − Γ (E ) =∂ Γ (E )
∂E dE
∂ Γ (E )
∂E dE = Ω (E ) ⇒ Γ (E + dE ) − Γ (E ) =
ˆ E0≤H (q,p)≤E
dqdp
D e p e n d e n c i a d e Ω y Γ c o n l a e n e r g í a
Ω (E ) ∝ E νf d o n d e f ∼ 1023 y ν e s d e l o r d e n d e l a u n i d a d ⇒ Ω (E ) e s
m u y c r e c i e n t e c o n l a e n e r g í a .
l n Ω (E ) = ln Γ (E )
2 . C o n e x i ó n e n t r e l a M e c á n i c a E s t a d í s t i c a y l a
T e r m o d i n á m i c a
C a l o r y T r a b a j o
T e n e m o s d o s s i s t e m a s q u e p u e d e n i n t e r c a m b i a r e n e r g í a e n t r e e l l o s , p e r o
q u e e n c o n j u n t o f o r m a n u n s i s t e m a a i s l a d o . M a c r o s c ó p i c a m e n t e s a b e m o s
q u e e l i n t e r c a m b i o d e e n e r g í a p u e d e r e a l i z a r s e d e d o s f o r m a s : e n f o r m a d e
c a l o r y e n f o r m a d e t r a b a j o .
I n t e r a c c i ó n t é r m i c a
S i c o n o c e m o s ρ (q, p) p a r a c a d a s i s t e m a a n t e s d e l a i n t e r a c c i ó n y d e s p u é s
d e e l l a , p o d e m o s c a l c u l a r l a v a r i a c i ó n d e l a e n e r g í a p a r a c a d a s i s t e m a ,
∆E ( c a l o r a b s o r b i d o ) y ∆E
. C o m o e l s i s t e m a t o t a l e s t á a i s l a d o ,
E +E =c o n s t a n t e ⇒ ∆E + ∆E = 0
∆E = Q ⇒ Q + Q = 0 ⇒ Q = −Q
E s d e c i r , q u e e l c a l o r c e d i d o p o r u n s i s t e m a e s i g u a l a l o b s o r b i d o p o r e l
o t r o .
I n t e r a c c i ó n m e c á n i c a
S i l a i n t e r a c c i ó n s e p r o d u c e a t r a v é s d e l a v a r i a c i ó n d e l o s p a r á m e t r o s
e x t e r n o s a l s i s t e m a , s e d i c e q u e l a i n t e r a c c i ó n e s m e c á n i c a . E n e s t e c a s o
∆E = −W ( t r a b a j o e j e r c i d o s o b r e e l s i s t e m a ) .
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P r o c e s o s c u a s i e s t á t i c o s
L a M e c á n i c a E s t a d í s t i c a ú n i c a m e n t e d e s c r i b e s i s t e m a s e n e q u i l i b r i o . S i
q u e r e m o s e s t u d i a r i n t e r a c c i ó n e n t r e s i s t e m a s , n o s s a l i m o s d e l m a r c o d e
a p l i c a c i ó n d e l a M e c á n i c a E s t a d í s t i c a . P a r a s a l t a r n o s e s t a l i m i t a c i ó n , i n -
t r o d u c i m o s e l p o s t u l a d o d e q u e t o d o s i s t e m a a i s l a d o t i e n d e a l e q u i -
l i b r i o . T r a s u n a p e r t u r b a c i ó n , e l s i s t e m a r e t o r n a a l e s t a d o d e e q u i l i b r i o
p a s a d o u n c i e r t o t i e m p o d e r e l a j a c i ó n .
E n M e c á n i c a E s t a d í s t i c a d i r e m o s q u e u n s i s t e m a e x p e r i m e n t a u n p r o c e s o
c u a s i t e s t á t i c o c u a n d o l a i n t e r a c c i ó n q u e e x p e r i m e n t a s e a l o s u c i e n t e m e n t e
l e n t a c o m o p a r a q u e p u e d a c o n s i d e r a r s e a l s i s t e m a e n e q u i l i b r i o e n t o d o
i n s t a n t e ⇒ e l p r o c e s o p u e d e c o n s i d e r a r s e c o m o u n a s u c e s i ó n d e e s t a d o s
d e e q u i l i b r i o .
P r i m e r p r i n c i p i o d e l a t e r m o d i n á m i c a
∆E =
∆E
T é r m i c a
+
∆E
M e c á n i c a
= Q − W
S i v a r i a m o s u n p a r á m e t r o e x t e r n o X α e n t o n c e s
dH =∂H
∂X αdX α ⇒ dE = dE = dH =
∂H
∂X αdX α
D e l a d e n i c i ó n d e t r a b a j o ( r e c o r d e m o s q u e e l s i s t e m a e s t á t é r m i c a m e n t e
a i s l a d o )
δW = Y αdX α
d o n d e h e m o s i n t r o d u c i d o e l c o n c e p t o d e f u e r z a g e n e r a l i z a d a Y α c o n j u g a d a
a l p a r á m e t r o
X α
Y α = − ∂H
∂X α→ W =
ˆ Xα(final)Xα(inicial)
Y αdX α
( c o n l a c o n d i c i ó n d e q u e e l p r o c e s o s e a c u a s i e s t á t i c o ) .
S i v a r i a m o s v a r i o s p a r á m e t r o s e x t e r n o s s i m u l t á n e a m e n t e
δW =α
Y α
dX α
R e v e r s i b i l i d a d e i r r e v e r s i b i l i d a d
T o d o s i s t e m a t i e n d e a o c u p a r e l m a y o r n ú m e r o d e v o l u m e n d e e s p a c i o f á -
s i c o d i s p o n i b l e
⇒e l n ú m e r o d e p u n t o s r e p r e s e n t a t i v o s t i e n d e a a u m e n t a r .
L a d i s m i n u c i ó n d e l e s p a c i o f á s i c o n u n c a p u e d e p r o d u c i r s e s i n u n i n t e r c a m -
b i o d e e n e r g í a , p o r l o q u e n u n c a s e d a r á e n u n s i s t e m a a i s l a d o .
L o s s i s t e m a s s i e m p r e e v o l u c i o n a n d e m a n e r a q u e
Ωf (E ) ≥ Ωi (E )
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5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/resumen-2011-mecanicaestadistica 7/95
S i Ωf (E ) = Ωi (E ) e l p r o c e s o e s r e v e r s i b l e ( e l s i s t e m a s i e m p r e p e r m a n e c e
e n e q u i l i b r i o ) .
S i Ωf (E ) ≥ Ωi (E ) e l p r o c e s o e s i r r e v e r s i b l e ( e l s i s t e m a n o p e r m a n c e
s i e m p r e e n e q u i l i b r i o , a u n q u e p u e d e s e r l o s u c i e n t e m e n t e l e n t o c o m o p a r a
q u e p u e d a c o n s i d e r a r s e c u a s i e s t á t i c o ) .
E l c o n c e p t o d e r e v e r s i b i l i d a d o i r r e v e r s i b i l i d a d s ó l o t i e n e s e n t i d o e n s i s t e -
m a s a i s l a d o s .
I n v a r i a n c i a d e l v o l u m e n f á s i c o
dΓ (E, X α) = 0 p a r a u n p r o c e s o c u a s i e s t á t i c o e n l a v a r i a c i ó n d e u n p a -
r á m e t r o e x t e r n o e n u n s i s t e m a t é r m i c a m e n t e a i s l a d o . E s t e r e s u l t a d o e s
i m p o r t a n t e p o r q u e l a ú n i c a m a g n i t u d q u e n o v a r í a e n u n s i s t e m a a i s l a d o
t é r m i c a m e n t e e n T e r m o d i n á m i c a e s l a e n t r o p í a ( e s u n p r i m e r p a s o p a r a
e s t a b l e c e r l a r e l a c i ó n e n t r e M e c á n i c a E s t a d í s t i c a y T e r m o d i n á m i c a ) .
E n t r o p í a y T e m p e r a t u r a a b s o l u t a
E s t u d i a n d o l a d e p e n d e n c i a d e l l o g a r i t m o n e p e r i a n o d e l v o l u m e n f á s i c o
r e s p e c t o a l a e n e r g í a y l o s p a r á m e t r o s e x t e r n o s , q u e h e m o s v i s t o q u e p o d í a
e s t a r r e l a c i o n a d o c o n l a e n t r o p í a , e n c o n t r a m o s :
d l n Γ (E, X α) =
∂ ln Γ
∂E
Xα
δQ
C o m o e l p r i m e r m i e m b r o e s u n a d i f e r e n c i a l e x a c t a , e l s e g u d o t a m b i é n
d e b e r á s e r l o , p o r l o q u e a d m i t e u n f a c t o r i n t e g r a n t e :
∂ ln Γ
∂E XαS i c o m p a r a m o s c o n l a s i t u a c i ó n e n T e r m o d i n á m i c a , v e m o s q u e δQ t a m b i é n
p o s e e u n f a c t o r i n t e g r a n t e ,
1T y l a m a g n i t u d c u y a d i f e r e n c i a l e x a c t a s e
o b t i e n e e s l a e n t r o p í a :
dS =δQ
T
C o m p a r a n d o , p a r a u n s i s t e m a a i s l a d o e n e q u i l i b r i o
E n t r o p í a : S (E, X α) = k l n Γ (E, X α)
T e m p e r a t u r a : T =
k
∂ ln Γ
∂E
Xα
−1
β ≡ 1kT
=∂ ln Γ
∂E
Xα
L a s d o s r e l a c i o n e s r e p r e s e n t a n l a c o n e x i ó n e n t r e l a M e c á n i c a E s t a d í s t i c a
y l a T e r m o d i n á m i c a .
7
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T a m b i é n o b t e n e m o s , a p a r t i r d e l a s e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s
T =∂E
∂S
Xα
y l a e c u a c i ó n f u n d a m e n t a l d e l a T e r m o d i n á m i c a
T dS = dE + δW
q u e n o s l l e v a a o b t e n e r , p a r a l a s f u e r z a s g e n e r a l i z a d a s ∂S
∂X α
E
=Y αT
E s t a s m i s m a s e x p r e s i o n e s s o n i g u a l m e n t e v á l i d a s s i c a m b i a m o s Γ (E, X α)p o r
Ω (E, X α).
S (E, X α) = k l n Ω (E, X α)
β =
∂ ln Ω
∂E
Xα
Y α =1
β
∂ ln Ω
∂X α
E
P a r a e v i t a r t e n e r p r o b l e m a s c o n l a s d i m e n s i o n e s d e n t r o d e l o s l o g a r i t m o s ,
h a y q u e i n t r o d u c i r u n a c o n s t a n t e . L a s n u e v a s d e n i c i o n e s d e Ω y Γ s o n
Ω (E, X α) =1
hf
ˆ dq dpδ [E − H (q, p)]
Γ (E, X α) =1
hf
ˆ E0≤H ≤E
dqdp =
ˆ E
E0
dE Ω (E , X α)
A d i t i v i d a d d e l a e n t r o p í a
S i
S 1 = k ln Ω1 (E 1) y
S 2 = k ln Ω2 (E 2) ⇒ S (E ) = S 1 (E 1) + S 2 (E 2) ⇒S = k ln Ω1 (E 1) + k ln Ω2 (E 2) S e a l c a n z a c u a n d o
β1 = β2 ⇒ T 1 = T 2 ( q u e
i m p l i c a e q u i l i b r i o t é r m i c o ) . E n e q u i l i b r i o , l a e n t r o p í a d e l s i s t e m a t o t a l s e
h a c e m á x i m a
∂ ∂E1
(S 1 + S 2) = 0 .
I n t e r a c c i ó n g e n e r a l
S i d o s s i s t e m a s e n e q u i l i b r i o i n t e r a c c i o n a n m e d i a n t e l a t r a n s f e r e n c i a d e
c a l o r y t r a b a j o , s e a l c a n z a e l e q u i l i b r i o p a r a e l s i s t e m a t o t a l c u a n d o
T 1 = T 2
p1 = p2
E n e l c a s o d e i n t e r a c c i ó n g e n e r a l , l a e n t r o p í a d e l s i s t e m a c o m p l e t o t a m b i é n
a l c a n z a u n m á x i m o e n e l e q u i l i b r i o .
8
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E l g a s m o n o a t ó m i c o i d e a l . L a p a r a d o j a d e G i b b s .
L a o b t e n c i ó n d e l a e n t r o p í a p a r a u n g a s i d e a l m o n o a t ó m i c o m e d i a n t e l a
T e r m o d i n á m i c a y l a M e c á n i c a E s t a d í s t i c a c o n d u c e a r e s u l t a d o s d i f e r e n -
t e s . E s t o e s d e b i d o a q u e s e h a n c o n t a d o c o m o d i f e r e n t e s m i c r o e s t a d o s
r e s u l t a n t e s d e l i n t e r c a m b i o d e p a r t í c u l a s i g u a l e s . E s d e c i r , q u e a l c a l c u -
l a r
ρ (q, p) d e b e m o s d i v i d i r p o r e l n ú m e r o d e p e r m u t a c i o n e s d e p a r t í c u l a s
i g u a l e s , e s d e c i r , N !
Ω (E ) =1
hf N !
ˆ dq dpδ [E − H (q, p)]
Γ (E ) =1
hf N !
ˆ E0≤H ≤E
dqdp
L a p a r a d o j a d e G i b b s n o s e p r o d u c e e n M e c á n i c a C u á n t i c a .
3 . C o l e c t i v i d a d C a n ó n i c a
C o l e c t i v i d a d C a n ó n i c a
A h o r a p o n e m o s d o s s i s t e m a s e n c o n t a c t o t é r m i c o , p e r o s u p o n e m o s q u e u n o
e s m u c h o m e n o r q u e e l o t r o , e s d e c i r , q u e t i e n e m u c h o s m e n o s g r a d o s d e
l i b e r t a d q u e e l o t r o A1 A2 ( A2 a c t ú a c o m o f o c o t é r m i c o d e A1 ) . E s t a s
c o n d i c i o n e s s o b r e e l t a m a ñ o r e l a t i v o e n t r e l o s s i s t e m a s e n i n t e r a c c i ó n n o s
l l e v a a l a f o r m a p a r a l a d i s t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d
ρ (q, p) =e−βH 1(q,p)
´ dqdpe−βH 1(q,p)
( 1 )
E s t a e s l a d i s t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d p a r a l a c o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a . A
p a r t i r d e e s t a d i s t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d , p o d e m o s o b t e n e r l a d i s t r i b u -
c i ó n d e p r o b a b i l i d a d p a r a l a e n e r g í a d e l s i s t e m a , i n t e g r a n d o ρ (q, p) p a r a
l a r e g i ó n d e l e s p a c i o f á s i c o d e n i d a p o r E 1 ≤ H (q, p) ≤ E 1 + dE 1 .
ω (E 1) dE 1 =Ω1 (E 1) E −βE1´
dE 1Ω1 (E 1) E −βE1( 2 )
D a d a u n a v a r i a b l e a r b i t r a r i a A (q, p) s u v a l o r m e d i o s o b r e l a d i s t r i b u c i ó n
v e n d r á d a d o p o r
A =
´ dq dpA (q, p) e−βH (q,p)
´ dqdpe−βH (q,p)
( 3 )
A u n q u e e n l a c o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a l a e n e r g í a n o e s t á j a d a ( p u e d e v a r i a r ) ,
e n r e a l i d a d
∆∗E1E1
∝ 1√N 1
⇒ p r e s e n t a u n p i c o m u y a g u d o a l r e d e d o r d e l
v a l o r m e d i o E 1 , p o r l o q u e l a s u c t u a c i o n e s p u e d e n d e s p r e c i a r s e .
F u n c i ó n d e p a r t i c i ó n y c á l c u l o d e v a l o r e s m e d i o s
9
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T o d a s l a s p r o p i e d a d e s m a c r o s c ó p i c a s d e l s i s t e m a p u e d e n o b t e n e r s e a p a r t i r
d e l a f u n c i ó n d e l d e n o m i n a d o r ´ dqdpe−βH (q,p) , q u e l l a m a r e m o s f u n c i ó n
d e p a r t i c i ó n y q u e r e p r e s e n t a m o s p o r l a l e t r a Z .
Z (T, X α, N ) =1
hf
ˆ dq dpe−βH (q,p) ( 4 )
ρ (q, p) =e−βH (q,p)
Z
E n e r g í a m e d i a : E = − 1
Z
∂Z
∂β
Xα
= −
∂ ln Z
∂β
Xα
F u e r z a s g e n e r a l i z a d a s : Y α =1
βZ
∂Z
∂X α
T
=1
β
∂ ln Z
∂X α
T
E c u a c i ó n d e e s t a d o : p = 1β∂ ln Z
∂V T
F l u c t u a c i ó n d e l a E n e r g í a : (∆E )2 =
∂ 2 ln Z
∂β2
Xα
= −
∂E
∂β
Xα
P a r a s i s t e m a s p o c o i n t e r a c c i o n a n t e s ,
H (q,p,Q,P ) = H 1 (q, p) + H 2 (Q, P ) ⇒ Z = Z 1Z 2 ⇒ ln Z = ln Z 1 + ln Z 2
C o n e x i ó n c o n l a T e r m o d i n á m i c a
E s t u d i a n d o l a d e p e n d e n c i a d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c o n l a t e m p e r a t u r a
y l o s p a r á m e t r o s a n t e u n p r o c e s o c u a s i e s t á t i c o :
d ln Z + βE = d βE − Edβ +α
Y αdX α =
= β
dE +
α
Y αdX α
= β
dE + δW
= βδQ
D e d o n d e d e d u c i m o s , p a r a l a e n t r o p í a
S = k
ln Z + βE
E n e l c a s o g e n e r a l - c o n s i d e r a n d o l a p o s i b i l i d a d d e l i n t e r c a m b i o d e p a r t í c u l a s -
l a e x p r e s i ó n q u e o b t e n e m o s e s
S = k ln Z i N i!+ βE
a u n q u e p o d e m o s a b s o r v e r
1N i!
e n l a d e n i c i ó n d e Z :
Z ≡ 1
hf i N i!
ˆ dqdpE −βH (q,p)
1 0
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E n e r g í a l i b r e d e H e l m h o l t z
F = E − T S
F = E − kT
ln Z + βE
= −kT ln Z
Z = e−F/kT
L a e n e r g í a l i b r e d e H e l m h o l t z e s m u y u t i l i z a d a p o r q u e t o d a s l a s m a g n i t u -
d e s i m p o r t a n t e s p u e d e n c a l c u l a r s e a p a r t i r d e e l l a ( o l o q u e e s l o m i s m o ,
a p a r t i r d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n , e n a u s e n c i a d e c a m p o m a g n é t i c o ) .
p = −
∂F
∂V
T,N
= kT
∂ ln Z
∂V
T,N
( 5 )
µ = ∂F
∂N T,V = −kT ∂ ln Z
∂N T,V ( 6 )
S = −
∂F
∂T
N,V
= k ln Z + kT
∂ ln Z
∂T
N,V
( 7 )
E = F + T S = kT 2
∂ ln Z
∂T
V,N
( 8 )
G a s i d e a l m o n o a t ó m i c o
H (q, p) =N i=1
p2i2m
F u n c i ó n d e p a r t i c i ó n
Z =1
h3N N !
ˆ d3 r1 · · · d3rN d
3 p1 · · · d3 pN exp
−β
p12 + · · · p2
2
2m
( 9 )
P o d e m o s r e a l i z a r l a i n t e g r a c i ó n s o b r e t o d a s l a s c o o r d e n a d a s e s p a c i a l e s ´ d3ri = V , d e m a n e r a q u e t e n e m o s V N . P a r a l a s i n t e g r a c i o n e s s o b r e l o s
m o m e n t o s , t e n e m o s q u e t o d a s l a s i n t e g r a l e s s o n i g u a l e s a
ˆ d3 pie
−β p2i/2m
d e m a n e r a q u e Z = ζN
N ! , d o n d e
ζ ≡V
h3ˆ
d3 p exp−β p2
2m
ζ e s l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n p a r a u n a s o l a p a r t í c u l a .
ζ =
ˆ +∞−∞
dpx e−βp2x/2m
3
=
2πm
β
3/2
= (2πmkT )3/2
1 1
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L a e c u a c i ó n d e p a r t i c i ó n p a r a e l g a s i d e a l m o n o a t ó m i c o q u e d a
ln Z = N ln ζ − N !
A p a r t i r d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n , p o d e m o s c a l c u l a r t o d a s l a s p r o p i e d a d e s
t e r m o d i n á m i c a s d e l s i s t e m a .
p =1
β
∂ ln Z
∂V
T,N
=1
β
N
V ⇒ pV = N kT
E n c u a n t o a l a e n e r g í a m e d i a
E = −
∂ ln Z
∂β
V,N
=3
2N kT
C a p a c i d a d c a l o r í c a a v o l u m e n c o n s t a n t e
C V =
∂E
∂T
V
=3
2N k
P o t e n c i a l q u í m i c o
µ = −kT
∂ ln Z
∂N
T,V
= kT ln
N
V
h2
2πmkT
3/2
F i n a l m e n t e , l a e n t r o p í a d e l g a s
S = k
ln Z + βE
= N k
ln
N
V − 3
2ln β +
3
2ln
2πm
h2
+
5
2
T e o r e m a d e e q u i p a r t i c i ó n g e n e r a l i z a d o
xi∂H
∂xj= kT δij ( 1 0 )
T e o r e m a d e l v i r i a l
qi∂H
∂qi= kT ( 1 1 )
T e o r e m a d e e q u i p a r t i c i ó n
pi∂H
∂pi= kT ( 1 2 )
S i g n i c a d o f í s i c o
H =i
piqi−L =i
pi∂H
∂pi−L ⇒
i
pi∂H
∂pi= H +L = H +K −U −2K
1 2
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( e n l o s s i s t e m a s q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o , H = K + U )
V e m o s q u e a c a d a g r a d o d e l i b e r t a d c o r r e s p o n d e
1
2 pi
∂H
∂pi=
1
2kT
A p l i c a c i o n e s s e n c i l l a s d e l t e o r e m a d e e q u i p a r t i c i ó n
S i s t e m a d e o s c i l a d o r e s a r m ó n i c o s
H (q, p) =i
p2i2mi
+i
1
2κiq
2i
pi∂H ∂pi
=p2imi
= kT ⇒ 12
p2imi
=12
kT
qi∂H
∂qi= κi p2i =
4 . S i s t e m a s i d e a l e s e n M e c á n i c a E s t a d í s t i c a C l á -
s i c a
I n t r o d u c c i ó n
L o s s i s t e m a s m á s s e n c i l l o s s o n a q u e l l o s e n l o s q u e l a s p a r t í c u l a s n o i n t e r -
a c c i o n a n . E s d e c i r , d e s p r e c i a m o s l a e n e r g í a d e i n t e r a c c i ó n e n t r e l a s p a r t í -
c u l a s r e s p e c t o a l a e n e r g í a c i n é t i c a y / o p o t e n c i a l . A e s t o s s i s t e m a s s e l e s
d e n o m i n a i d e a l e s . E n e s t e c a p í t u l o e s t u d i a r e m o s e l g a s i d e a l e n e l m o d e l o
c a n ó n i c o y l a t e o r í a c l á s i c a d e l p a r a m a g n e t i s m o .
D i s t r i b u c i ó n d e v e l o c i d a d e s d e M a x w e l l
C o n s i d e r a m o s u n g a s i d e a l e n e q u i l i b r i o ( a u n q u e n o e x i g i m o s q u e e s t é
c o m p u e s t o p o r m o l é c u l a s m o n o a t ó m i c a s ) .
E l H a m i l t o n i a n o d e u n a p a r t i c u l a e s
H = p2i
2m+ H int (qint, pint)
d o n d e
H intr e p r e s e n t a l a e n e r g í a i n t e r n a d e r o t a c i ó n y v i b r a c i ó n d e l o s
á t o m o s q u e c o n t i e n e l a m o l é c u l a . C o m o e l g a s e s i d e a l H int = H int (r) .
S u p o n e m o s q u e e l g a s e s t á e n e q u i l i b r i o a t e m p e r a t u r a T .
N o s c o c e n t r a m o s e n u n a p a r t í c u l a . C o m o E =i i , p o d e m o s c o n s i d e r a r
e l r e s t o d e l a s m o l é c u l a s c o m o u n f o c o t é r m i c o a t e m p e r a t u r a T . L a d i s -
t r i b u c i ó n d e e s t a d o s o b e d e c e r á l a c o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a , d e m a n e r a q u e l a
1 3
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p r o b a b i l i d a d P (r, p,pint, qint) d3rd3 pdqintdpint d e e n c o n t r a r e l s i s t e m a e n
r, r + d3r , p, p + d3 p y (qint, qint + dqint) , ( pint, pint + dpint) s e r á
P (r, p,pint, qint) d3rd3 pdqintdpint ∝ exp
−β
p2
2m+ H int
d3r d3 pdqintdpint =
=
e−β p2
2m d3r d3 p
e−βH
int
dqint dpint
P e r o s i i g n o r a m o s e l e s t a d o i n t e r n o d e l a m o l é c u l a ( e n r e a l i d a d , i n t e g r a m o s
s o b r e
dqint dpint ) , l a p r o b a b i l i d a d e s
P (r, p) ∝ e−β p2
2m d3r d3 p
F u n c i ó n d e d i s t r i b u c i ó n :
D e n i m o s
f (r, v) dr dv =n ú m e r o m e d i o d e p a r t í c u l a s e n
(r, r + dr)y c o n
u n a v e l o c i d a d e n (v, v + dv)
f (r, v) d3r d3v = CN e−β p2
2m d3rd3v
d o n d e C e s u n a c o n s t a n t e q u e s e o b t i e n e a t r a v é s d e l a c o n d i c i ó n d e
n o r m a l i z a c i ó n ˆ d3r V
ˆ d3vf (r, v) = N
C =1
V
m
2πkT
3/2D e m a n e r a q u e l a f u n c i ó n d e d i s t r i b u c i ó n n o d e p e n d e d e r
D i s t r i b u c i ó n d e v e l o c i d a d e s d e M a x w e l l
f (v) d3r d3v = n m
2πkT
3/2e−mv2
2kT d3r d3v ( 1 3 )
O t r a s d i s t r i b u c i o n e s y v a l o r e s m e d i o s
A p a r t i r d e
f (v) e s f á c i l o b t e n e r o t r a s f u n c i o n e s d e d i s t r i b u c i ó n y a l g u n a s
p r o p i e d a d e s d e l o s g a s e s i d e a l e s .
g (vx) dvx =n ú m e r o m e d i o d e m o l é c u l a s q u e p o r u n i d a d d e v o l u m e n t i e n e n
u n a v e l o c i d a d c u y a c o m p o n e n t e e s t á c o m p r e n d i d a e n t r e vx y vx + dvxi n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l v a l o r d e vy y vz .
g (vx) dvx = n m
2πkT
1/2e−mv2x2kT dvx
D e e s t e r e s u l t a d o o b t e n e m o s q u e
(∆vx)2
= v2x − v2x =kT
m
1 4
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O t r a d i s t r i b u c i ó n d e i n t e r é s e s t á r e l a c i o n a d a c o n e l m ó d u l o d e l a v e l o c i d a d :
F (v) dv =n ú m e r o m e d i o d e p a r t í c u l a s p o r u n i d a d d e v o l u m e n c u y o m ó -
d u l o v e s t á e n t r e v y v + dv
F (v) dv =1
V
ˆ d3r
=V
ˆ v<|v|<v+dv
d3vf (v) = n m
2πkT
3/2 ˆ ∞0
dv4πv2e−mv2
2kT
= 4πf (v) v2dv f (v) = n m
2πkT
3/2e−mv2
2kT
E s t a d i s t r i b u c i ó n p r e s e n t a u n m á x i m o p a r a u n v a l o r v , y a q u e v2 ↑ m i e n -
t r a s q u e e−mv2
2kT ↓
dF (v)
dv v=v = 0
⇒v = 2 kT
m
V e l o c i d a d m e d i a
v =1
n
ˆ d3v v f (v) =
8
π
kT
m( 1 4 )
V e l o c i d a d c u a d r á t i c a m e d i a
vcm =
v2
v2 =1
n
ˆ d3v v2 f (v) = 3
kT
m
vcm = 3 kT
m
( 1 5 )
N ú m e r o d e c h o q u e s c o n t r a u n a s u p e r c i e y e f u s i ó n
1 5
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C o n s i d e r a m o s u n g a s i d e a l e n c e r r a d o e n u n r e c i n t o . C a l c u l a m o s e l n ú m e r o
d e p a r t í c u l a s q u e , p o r u n i d a d d e t i e m p o , c h o c a n c o n t r a u n e l e m e n t o d e
s u p e r c i e dS . E n p r i m e r l u g a r , c o n c e n t r a m o s n u e s t r a a t e n c i ó n e n a q u e l l a s
m o l é c u l a s c o n v e l o c i d a d e n t r e v y v +dv . P a s a m o s a c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s :
d3v = dvxdvydvz = v2 sin θdθdvdϕ
D u r a n t e u n i n t e r v a l o d e t i e m p o dt , l a s m o l é c u l a s c o n v e l o c i d a d v s e d e s -
p l a z a r á n vdt. L a s m o l é c u l a s d e e s t a c l a s e q u e e s t é n i n i c i a l m e n t e d e n t r o d e l
c i l i n d r o d e b a s e dS s o n l a s q u e c h o c a r á n c o n t r a l a s u p e r c i e . E l n ú m e r o
d e p a r t í c u l a s v i e n e d a d o p o r
(d S v d t cos θ) f (v) d3v
D e n i m o s Φ (v) d3v = n ú m e r o d e m o l é c u l a s c o n v e l o c i d a d e s e n t r e v y
v + dvq u e c h o c a n c o n t r a l a s p a r e d e s d e l r e c i n t o p o r u n i d a d d e t i e m p o y
á r e a . L a m a g n i t u d q u e q u e r e m o s c a l c u l a r e s Φ0 , e s d e c i r , e l n ú m e r o t o t a l
d e m o l é c u l a s q u e c h o c a n s o b r e l a s p a r e d e s p o r u n i d a d d e t i e m p o y á r e a .
Φ0 =
ˆ vz>0
d3vΦ (v)
=
ˆ vz>0
v2 sin θdθdϕdvf (v) v cos θ =
=
ˆ ∞0
dv f (v) v3ˆ π/20
dθ sin θ cos θ
ˆ 2π0
dϕ
=P u e d e n r e a l i z a r s e d i r e c t a m e n t e
=
= πˆ ∞
0 dv f (v) v3
S i r e c o r d a m o s l a d e n i c i ó n d e v e l o c i d a d m e d i a ( 1 4 )
v =4π
n
ˆ ∞0
dvf (v) v3
Φ0 =1
4nv
( R e s u l t a d o v á l i d o p a r a c u a l q u i e r d i s t r i b u c i ó n ) ( 1 6 )
E s t e r e s u l t a d o e s v á l i d o p a r a c u a l q u i e r f (v)( a u n q u e n o s e a l a d i s t . d e
M a x w e l l ) s i e m p r e y c u a n d o l a d i s t r i b u c i ó n d e v e l o c i d a d e s n o d e p e n d a d e
l a d i r e c c i ó n d e l a v e l o c i d a d . E n e l c a s o d e l a d i s t r i b u c i ó n d e M a x w e l l :
Φ0 = p(2πmkT )
1/2( P a r a l a d i s t r i b u c i ó n d e M a x w e l l ) ( 1 7 )
L o s d o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s p a r a Φ0 , ( 1 6 ) y ( 1 7 ) , p u e d e n u t i l i z a r s e p a r a
c a l c u l a r l a v e l o c i d a d d e e f u s i ó n d e u n g a s a t r a v é s d e u n p e q u e ñ o o r i c i o
e n u n r e c i p i e n t e .
1 6
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E f u s i ó n
E n u n r e c i p i e n t e q u e c o n t i e n e u n g a s i d e a l h a y u n o r i c i o l o s u c i e n t e m e n t e
p e q u e ñ o c o m o p a r a q u e n o s e a l t e r e e l e q u i l i b r i o d e s u i n t e r i o r y e l p r o c e s o
p u e d a c o n s i d e r a r s e c u a s i e s t á t i c o . E l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s q u e e s c a p a n p o r
e l o r i c i o e s i g u a l a l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s q u e c h o c a r í a n c o n l a s u p e r c i e
d e l o r i c i o s i e s t u v i e r a t a p a d o . E n e s t e c a s o ,
T e s f u n c i ó n d e l t i e m p o .
Q u e r e m o s a n a l i z a r l a c o n d i c i ó n d e e q u i l i b r i o d e l s i s t e m a c u a n d o
N 1, N 2, p1, p2 = f (t)
( e s d e c i r , n o v a r í a n i e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s n i l a p r e s i ó n ) .
S i e l o r i c i o f u e r a g r a n d e , l a s i t u a c i ó n d e e q u i l i b r i o s e r í a p1 = p2 . E n e s t e
c a s o , l a c o n d i c i ó n d e e q u i l i b r i o v i e n e d a d a p o r q u e l a m a s a c o n t e n i d a e n
c a d a u n a d e l a s p a r t e s d e b e s e r c o n s t a n t e ⇒ e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s q u e
c r u z a n h a c i a u n l a d o d e b e s e r i g u a l a l n ú m e r o d e l a s p a r t í c u l a s q u e c r u z a n
e n s e n t i d o c o n t r a r i o .
n1v1 = n2v2
U t i l i z a n d o e l v a l o r c a l c u l a d o a n t e r i o r m e n t e p a r a v ( 1 4 ) l l e g a m o s a l a c o n -
d i c i ó n d e e q u i l i b r i o
p1√T 1
=p2√T 2
I n t e r p r e t a c i ó n c i n é t i c a d e l a p r e s i ó n
p = c o l i s i o n e s d e l a s m o l é c u l a s d e l g a s c o n t r a l a p a r e d d e l r e c i p i e n t e .
p =1
3nmv2 ( 1 8 )
E s t e r e s u l t a d o e s i n d e p e n d i e n t e d e l a f o r m a d e f (v) c o n l a c o n d i c i ó n d e
q u e s e t r a t e d e l a d i s t r i b u c i ó n e n e q u i l i b r i o d e u n g a s i d e a l e i n d e p e n d i e n t e
d e l a d i r e c c i ó n d e l a v e l o c i d a d .
E n e l c a s o d e l a d i s t r i b u c i ó n d e M a x w e l l
1
2mv2 =
3
2kT ⇒ p = nKT ( E c . g a s i d e a l )
1 7
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T e o r í a c l á s i c a d e l p a r a m a g n e t i s m o
C o n s i d e r a m o s u n g a s i d e a l p a r a m a g n é t i c o c o m o u n c o n j u n t o d e d i p o l o s
m a g n é t i c o s i g u a l e s , q u e n o i n t e r a c c i o n a n e n t r e s í , d e m o m e n t o a n g u l a r µ.
E l s i s t e m a s e e n c u e n t r a e n u n c a m p o m a g n é t i c o d e i n t e n s i d a d
B , d e f o r m a
q u e l a e n e r g í a p o t e n c i a l d e c a d a d i p o l o v a l e
u = − µ · B = −µB cos θ
C o m o l a i n t e r a c c i ó n e n t r e l o s d i p o l o s e s d e s p r e c i a b l e , n o s c o n c e n t r a m o s e n
u n o d e e l l o s ( c o m o s e c u m p l e l a a d i t i v i d a d d e l a e n e r g í a p o d e m o s u t i l i z a r
l a d i s t r i b u c i ó n c a n ó n i c a ) .
L a p r o b a b i l i d a d P (θ, ϕ) dΩ d e q u e l a o r i e n t a c i ó n d e l d i p o l o s e e n c u e n t r e
e n e l á n g u l o s ó l i d o dΩ = sin θdθdϕ a l r e d e d o r d e l a d i r e c c i ó n d e n i d a p o r
θ y ϕ s e o b t e n d r á i n t e g r a n d o
P (θ, ϕ) dΩ ∝ e−βudΩ
cos θ =
´ dΩcos θe−βu´
dΩe−βu
I n t r o d u c i e n d o l o s v a l o r e s d e
uy
dΩ y r e a l i z a n d o e l c a m b i o
x = cos θo b t e n e m o s
2
cos θ = coth α − 1
α= L (α) F u n c i ó n d e L a n g e v i n ( 1 9 )
E l m o m e n t o m a g n é t i c o p o r u n i d a d d e v o l u m e n o i m a n a c i ó n v e n d r á d a d o
p o r
M = nµcos θ = nµL
(α) I m a n a c i ó n ( 2 0 )
S i α 1 ⇒ M → nµ E n c a m p o s a l t o s o t e m p e r a t u r a b a j a s o b t e n e -
m o s l a i m a n a c i ó n d e s a t u r a c i ó n .
S i
α 1 ⇒ M (α 1) = nµα3 = nµ2B
3kT
P a r a s u s t a n c i a s p a r a m a g n é t i c a s
B = µ0H ⇒ M =nµ2µ0
3k
H
T = C
H
T
d o n d e
C e s l a c o n s t a n t e d e C u r i e .
E l p a r á m e t r o c a r a c t e r í s t i c o d e l a t e o r í a e s α , q u e m u e s t r a c ó m o l o s d o s
e f e c t o s c o m p i t e n : l a i n t e n s i d a d d e l c a m p o t i e n d e a a l i n e a r l o s d i p o l o s e n
l a d i r e c c i ó n d e l c a m p o a p l i c a d o m i e n t r a s q u e l a t e m p e r a t u r a t i e n d e a
d e s o r d e n a r l o s .
α = βµB =µB
kT
2 lımα→1 L (α) = 1
1 8
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5 . G a s e s r e a l e s e n M e c á n i c a E s t a d í s t i c a
I n t r o d u c c i ó n
H a s t a a h o r a n o h e m o s c o n s i d e r a d o i n t e r a c c i ó n e n t r e l a s p a r t í c u l a s d e l o s
g a s e s . S i c o n s i d e r a m o s l a i n t e r a c c i ó n , e l p r o b l e m a e s e n g e n e r a l i r r e s o l u -
b l e .
N o s l i m i t a r e m o s a l G a s R e a l D i l u i d o .
P o t e n c i a l d e L e n n a r d - J o n e s
E l p o t e n c i a l e s f u e r t e m e n t e r e p u l s i v o a d i s t a n c i a s c o r t a s .
E s a t r a c t i v o p a r a u n a z o n a q u e t i e n d e a c e r o c u a n d o a u m e n t a l a s e p a r a c i ó n
e n t r e l a s p a r t í c u l a s .
u (r) = 4u0
σ
r
12−σ
r
6σ
d i s t a n c i a a a l q u e e l p o t e n c i a l s e a n u l a .
u0 v a l o r a b s o l u t o m í n i m o d e l p o t e n c i a l .
r0 a l c a n c e e f e c t i v o d e l p o t e n c i a l ( d i s t a n c i a m á x i m a d e i n t e r a c c i ó n ) .
P o t e n c i a l d e e s f e r a d u r a
1 9
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u (r) =
∞ r < σ
−u0σr
sr > σ
F u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c o n g u r a c i o n a l
C o n s i d e r a m o s u n g a s m o n o a t ó m i c o c u y a s p a r t í c u l a s i n t e r a c c i o n a n e n t r e s í
a t r a v é s d e u n p o t e n c i a l c e n t r a l ( q u e s ó l o d e p e n d e d e l a s e p a r a c i ó n e n t r e l a s
p a r t í c u l a s ) . E l h a m i l t o n i a n o p a r a u n s i s t e m a d e p a r t í c u l a s i n t e r a c c i o n a n t e s
s i n e s t r u c t u r a i n t e r n a e s
H (q, p) =N
i=1 p2i
2m+
1
≤i
≤j
≤N
u (|ri − rj |) = K + U
U t i l i z a n d o l a c o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a , t o d a s l a s p r o p i e d a d e s p u e d e d e d u c i r s e
d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n .
Z =1
h3N N !
ˆ dq dpe−βH (q,p) =
1
h3N N !
ˆ d3 r1 · · · d3 rN d
3 p1 · · · d3 pN e−β(K+U )
= Z T Z U
L a p a r t e c o r r e s p o n d i e n t e a l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n t r a s l a c i o n a l p u e d e c a l -
c u l a r s e f á c i l m e n t e
Z T =1
h3N N !(2πmkT )
3/2
S ó l o n o s q u e d a p o r c a l c u l a r l a p a r t e c o r r e s p o n d i e n t e a l a f u n c i ó n d e p a r t -
c i ó n c o n g u r a c i o n a l Z U ( s i U = 0 ⇒ Z U = V N ) .
E n g e n e r a l e l c á l c u l o d e Z U e s m u y c o m p l i c a d o o i m p o s i b l e ( e x c e p t o e n
s i t u a c i o n e s a d e c u a d a s , c o m o e l g a s r e a l d i l u i d o ) .
D e s a r r o l l o e n d e n s i d a d
2 0
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N o s c o n c e n t r a m o s e n l a i n t e r a c c i ó n e n t r e d o s p a r t í c u l a s i, j . ¾ C u á l e s l a
p r o b a b i l i d a d d e q u e e s t a s p a r t í c u l a s i n t e r a c c i o n e n ? L a p r o b a b i l i d a d e s
i g u a l a q u e l a p a r t í c u l a j s e e n c u e n t r e d e n t r o d e l a e s f e r a 4πr30/3 a l r e d e d o r
d e i.
1 ª H i p ó t e s i s L a p a r t e a t r a c t i v a d e l p o t e n c i a l e s m u y d é b i l c o m p a r a d a
c o n l a e n e r g í a c i n é t i c a d e l a s m o l é c u l a s
1
2mv2 u0
E s d e c i r , l a t e m p e r a t u r a n o e s m u y b a j a , p o r l o q u e n o s e f o r m a n
c o n g l o m e r a d o s d e p a r t í c u l a s ⇒ l a s p a r t í c u a l s s e s e p a r a n t r a s l a i n -
t e r a c c i ó n .
A s í , e n g e n e r a l , l a p r o b a b i l i d a d e q u e d o s p a r t í c u l a s c u a l e s q u i e r a
i n t e r a c c i o n e n e s d e l o r d e n d e
r
3
0/V . E l n ú m e r o d e p a r e j a s q u e i n t e r -
a c c i o n a n s e r á
N (N − 1)
V
r30V
N 2r302V
(N 1)
= nr30N
2( N ú m e r o d e c o l i s i o n e s b i n a r i a s )
E l n ú m e r o d e c o l i s i o n e s t r i p l e s s i m u l t á n e a s s e r á
N (N − 1) (N − 2)
3!
r30V
2
N
6
nr30
2E n g e n e r a l , e l n ú m e r o m e d i o d e c o l i s i o n e s s i m u l t á n e a s d e p p a r t í c u l a s
s e r á
N
p!
nr30
p−12 ª H i p ó t e s i s G a s d i l u i d o nr30 1 ( e q u i v a l e a
V N r30 )
C o n e s t a h i p ó t e s i s p r á c t i c a m e n t e e l i m i n a m o s l a p o s i b i l i d a d d e q u e s e
p r o d u z c a n c o l i s i o n e s t r i p l e s , c ú a d r u p l e s o d e m á s p a r t í c u l a s . A d e m á s ,
c o n s i d e r a m o s u n s i s t e m a d e m a n e r a q u e
N (N −1)2
r30V 1 ⇒ n o s e
p r o d u c i r á n d o s o m á s c o l i s i o n e s b i n a r i a s s i m u l t á n e a s .
F u n c i ó n d e M a y e r
f (r) = e−βu(r) − 1
2 1
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F u n c i ó n d e M a y e r p a r a e l p o t e n c i a l d e L e n n a r d - J o n e s
F u n c i ó n d e M a y e r p a r a e l p o t e n c i a l d e e s f e r a d u r a
P r o p i e d a d e s d e l a f u n c i ó n d e M a y e r :
f (r) = ∞ p a r a r → 0
f (r) = 0 p a r a u (r) = 0 ⇒ f (r) 0 p a r a r > r0
e−βu = exp −β1≤i≤j≤N u (| ri − rj |) = 1≤i≤j≤N e−βu(| ri− rj |) =
1≤i≤j≤N (1 + f − ij) d o n d e f ij ≡ f (| ri − rj |) = e−βu(| ri−rj |) − 1
S i i n t r o d u c i m o s e l r e s u l t a d o a n t e r i o r e n l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c o n g u r a -
2 2
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c i o n a l Z U t e n e m o s
Z U =ˆ
d3 r1 · · · d3rN + 1≤i≤j≤N
ˆ d3 r1 · · · d3 rN f ij +
+
1≤i≤j≤N
1≤j≤l≤N
ˆ d3 r1 · · · d3 rN f ijf kl + · · ·
= V N + V N −2
1≤i≤j≤N
1≤j≤l≤N
ˆ d3 r1 · · · d3 rN f (| ri − rj |) + · · ·
C o m o f (r) = 0 e q u i v a l e a u (u) = 0 , t e n e m o s q u e :
1 .
V N r e p r e s e n t a l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c o n g u r a c i o n a l c u a n d o s e d e s -
p r e c i a n t o d a s l a s i n t e r a c c i o n e s ( e s d e c i r , e l c a s o
U = 0) .
2 . P r i m e r a c o r r e c c i ó n e n l a q u e s e c o n s i d e r a n l a s c o r r e c c i o n e s i n t r o d u -
c i d a s p o r l a i n t e r a c c i ó n d e d o s p a r t í c u l a s ( y s ó l o d o s p a r t í c u l a s ) .
3 . D o s i n t e r a c c i o n e s b i n a r i a s s i m u l t á n e a s o i n t e r a c c i o n e s t r i p l e s :
a ) D o s c h o q u e s b i n a r i o s s i m u l t á n e o s ⇒ i ↔ j,k ↔ l
b ) C o l i s i ó n t e r n a r i a
i ↔ j = k ↔ l
S e g u n d o c o e c i e n t e d e l v i r i a l . E c u a c i ó n d e V a n d e r W a a l s .
C o n l a h i p ó t e s i s d e l g a s d i l u i d o y l a c o n s i d e r a c i ó n s o b r e l a s c o l i s i o n e s
b i n a r i a s a i s l a d a s , l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c o n g u r a c i o n a l q u e d a
Z U = V N + V N −2N (N − 1)
2
ˆ d3 r1d3 r2f (| r1 − r2|)
H a c i e n d o u n c a m b i o a c o o r d e n a d a s r e l a t i v a s a l c e n t r o d e m a s a s
r = r1 − r2
R =r1 + r2
2
Y p a s a n d o a c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s ˆ d r1dr2f (|r1 − r2|) =
ˆ d3 Rd3rf (r) = 4πV
ˆ ∞0
drf (r) r2 ( 2 1 )
D e s p r e c i a m o s l o s e f e c t o s d e s u p e r c e
C o m o
f (r > r0) → 0 p o d e m o s a m p l i a r l o s l í m i t e s d e i n t e g r a c i ó n
h a s t a ∞ .
A l n a l d e l d í a , p a r a l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n t o t a l d e l s i s t e m a d e l g a s
r e a l d i l u i d o t e n e m o s :
Z =1
h3N N !(2πmkT )3N/2 V N
1 +
N (N − 1)
2V
ˆ ∞0
4πr2 dr f (r)
= Z I d e a l
1 +
N (N − 1)
2V
ˆ ∞0
4πr2 dr f (r)
2 3
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d o n d e h e m o s i n t r o d u c i d o l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e l g a s i d e a l :
Z I d e a l = 1h3N N !
(2πmkT )3N/2 V N
L a f o r m a d e f (r) n o s p e r m i t e h a c e r u n a e s t i m a c i ó n c u a l i t a t i v a d e l s e g u n d o
t é r m i n o d e n t r o d e l c o c h e t e . C o m o l a p a r t e a t r a c t i v a ( d e b i d a a l p o t e n c i a l )
e s p e q u e ñ a r e s p e c t o a l a p a r t e c i n é t i c a ( e n e r g í a m e d i a d e l a s p a r t í c u l a s ) ,
e n t o n c e s f (r) ∼u n i d a d p a r a r < r0 y f (r) ∼ 0 p a r a r > r0 , d e m a n e r a
q u e
N (N − 1)
2V
ˆ ∞0
dr4πr2f (r) N (N − 1)
2V r30
T o m a n d o l o g a r i t m o s
ln Z = ln Z I d e a l + ln 1 +N (N − 1)
2V ˆ ∞
0
4πr2 dr f (r)q u e p o d e m o s a p r o x i m a r , t o m a n d o ln (1 + x) x
( p a r a
x 1 ) c o m o
ln Z ln Z I d e a l +N (N − 1)
2V
ˆ ∞0
dr4πr2f (r) =
= ln Z I d e a l +N 2
2V
ˆ ∞0
dr4πr2f (r) + Θ (N )
A h o r a y a p o d e m o s p a s a r a c a l c u l a r l a e c u a c i ó n d e e s t a d o
p =1
β
∂ ln Z
∂V
β
p =N kT
V − N 2kT
2V
ˆ ∞0
dr4πr2f (r) ( 2 2 )
E s t e r e s u l t a d o p u e d e e s c r i b i r s e c o m o
pV
N kT = 1 + B2 (T )
N
V ( 2 3 )
d o n d e , t e n e m o s q u e B2 (T ) e s e l l l a m a d o s e g u n d o c o e c i e n t e d e l v i r i a l
p a r a e l g a s i d e a l c l á s i c o :
B2 (T ) = −2π
ˆ ∞0
dr r2f (r)
D e h e c h o , ( 2 3 ) s o n l o s p r i m e r o s t é r m i n o s d e l d e s a r r o l l o d e l v i r i a l , q u e
e s e l d e s a r r o l l o d e l a e c u a c i ó n d e e s t a d o e n p o t e n c i a s d e l a d e n s i d a d
pV
N kT = 1 + B2 (T )
N
V + B3 (T )
N
V
2
+ · · · ( 2 4 )
2 4
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S i s u p o n e m o s q u e e l p o t e n c i a l d e l a i n t e r a c c i ó n e s d e l t i p o L e n n a r d - J o n e s
u (r) = u0ϕ rσ
( 2 5 )
e l s e g u n d o c o e c i e n t e d e l v i r i a l p u e d e e s c r i b i r s e c o m o
B2 (T )
σ3= −2π
ˆ ∞0
dr r2
e−βu0ϕ(r) − 1
d o n d e
r = rσ . E n t o n c e s ,
B2(T )σ3 e s u n a f u n c i ó n u n i v e r s a l d e
T = kT u0
p a r a
t o d o s l o s g a s e s ( r e g i d o s p o r u n p o t e n c i a l c o m o ( 2 5 ) ) .
C á l c u l o e x p l í c i t o d e l s e g u n d o c o e c i e n t e d e l v i r i a l
E l c á l c u l o g e n e r a l e s c o m p l i c a d o ( s e e n c u e n t r a t a b u l a d o ) .
E l c á l c u l o a p r o x i m a d o s e b a s a e n e l p o t e n c i a l d e e s f e r a d u r a :
u (r) =
∞ r < σ
−u0σr
sr > σ
⇒ f (r)
−1 r < σ
−βu (r) r > σ
E n e s t e c a s o
ˆ ∞0
dr r2f (r) = −ˆ σ0
dr r2 − β
ˆ ∞σ
dr r2u (r) =
= −σ3
3− 1
kT
ˆ ∞σ
dr r2u (r)
S i i n t r o d u c i m o s e n e s t a e x p r e s i ó n e n e l s e g u n d o c o e c i e n t e d e l v i r i a l
B2 (T )
B2 (T ) = b − a
kT
b =2π
3σ3
a = −2π
ˆ ∞σ
dr r2u (r)
D e m a n e r a q u e a l n a l :
pV
N kT = 1 + b − a
kT N
V
q u e u t i l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p u e d e e s c r i b i r s e c o m o
p + a
N
V
2
=N kT
V
1 + b
N
V
N kT
V
1 − bN
V
−1
2 5
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Y a h o r a , u t i l i z a n d o 1 − x 11−x ( p a r a x 1) o b t e n e m o s
p + a
N
V
2(V − N b) = N kT
I n t r o d u c i e n d o e l n ú m e r o d e A v o g a d r o N 0 , ν = N N 0
( n ú m e r o d e m o l e s ) ,
o b t e n e m o s l a E c u a c i ó n d e V a n D e r W a a l s d e l o s G a s e s R e a l e s : p +
ν 2a
V 2
(V − νb) = νRT ( 2 6 )
c o n
a = N 20 a
b = N 0b
b → r e p r e s e n t a e l v o l u m e n n i t o d e l a s p a r t í c u l a s .
a → l o s e f e c t o s d e i n t e r a c c i ó n a n t e s y d e s p u é s d e l c o n t a c t o .
S i u t i l i z a m o s e l m o d e l o d e e s f e r a d u r a ,
b =2π
3(2R)
3= 4
4
3πR3 = 4V
m o l é c u l a
a = 0
6 . C o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a g e n e r a l i z a d a
C o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a g e n e r a l i z a d a
C o m o v i m o s c o n l a p a r a d o j a d e G i b b s , e s n e c e s a r i o t e n e r e n c u e n t a l a
d e p e n d e n c i a d e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s d e l a s d i v e r s a s m a g n i t u d e s p a r a
t e n e r u n a d e s c r i p c i ó n c o r r e c t a d e l s i s t e m a . E s t o n o s i m p u l s a a g e n e r a l i z a r
l a c o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a p a r a s i s t e m a s a b i e r t o s o h e t e r o g é n e o s .
A h o r a c o n s i d e r a m o s u n s i s t e m a e n c o n t a c t o c o n u n f o c o t é r m i c o y t a m -
b é n c o n u n f o c o d e p a r t í c u l a s .
S i g u i e n d o e l m i s m o r a z o n a m i e n t o s e g u i d o p a r a l a c o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a
o b t e n e m o s l a f o r m a d e l a d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d q u e d e n e l a c o l e c t i -
v i d a d g r a n c a n ó n i c a .
ρ (N , q , p) = C 1
hf N !e−βH N1(q,p)−αN 1
d o n d e α = −βµ = ∂ ∂N
ln ΩN 1
y z = e−α e s l a f u g a c i d a d .
S i o b t e n e m o s e l v a l o r d e l a c o n s t a n t e a t r a v é s d e l a c o n d i c i ó n d e n o r m a l i -
z a c i ó n , p o d e m o s d e n i r u n a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n g e n e r a l i z a d a o g r a n
2 6
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f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n
Q = C −1 =∞N =0
eβµN
hf N !
ˆ dq dpe−βH N (q,p) =
∞N =0
e−αN hf N !
ˆ dq dpe−βH N (q,p)
( 2 7 )
C o n é s t o ( 2 7 ) l a d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d p u e d e e s c r i b i r s e e n l a f o r m a
ρ (N , q , p) =1
hf N !
1
Qe−β[H N (q,p)−µN ] =
1
hf N !
1
Qe−βH N (q,p)−αN
( 2 8 )
E s t a e s l a d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d m a c r o c a n ó n i c a , g r a n c a n ó n i c a
o c a n ó n i c a g e n e r a l i z a d a .
L a c o n d i c i ó n d e n o r m a l i z a c i ó n e s
∞N =0
dq dpρ (N, q, p) = 1 ( 2 9 )
L a d i s t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d p a r a l a e n e r g í a s e o b t i e n e i n t e g r a n d o
q, p p a r a H N (q, p) = E
ω (N, E ) = Ω(N, E )1
N !
1
Qe−β(E−µN ) ( 3 0 )
C u a n d o t e n e m o s d i v e r s o s t i p o s d e p a r t í c u l a s , l a s e x p r e s i o n e s g e n e r a -
l e s s o n :
Q =
∞
N 1=0· · ·
∞
N s=0eβsi=1 µiN i
hf 1+···f sN 1!· · ·
N s!
ˆ dq dpe−βH N1+···+Ns =
=
∞N 1=0
· · ·∞N s=0
e−si=1 αiN i
hf 1+···f sN 1! · · · N s!
ˆ dq dpe−βH N1+···+Ns ( 3 1 )
Y l a d i s t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d c u a n d o t e n e m o s d i f e r e n t e s t i p o s d e
p a r t í c u l a s :
ρ (N 1, . . . , N s, q , p) =1
hf 1+···f sN 1! · · · N s!
1
Qe−β[H N1+···+Ns−
si=1 µiN i] =
=1
hf 1+···f sN 1! · · · N s!
1
Qe−βH N1+···+Ns−
si=1 αiN i
( 3 2 )
d o n d e
αi = ∂ ∂N i
ln ΩN i!
E=E,N j=N j
R e l a c i ó n e n t r e l a d i s t r i b u c i ó n g r a n c a n ó n i c a y l a T e r m o d i n á m i c a
P a r t i e n d o d e d ln Q, b u s c a m o s u n a d i f e r e n c i a l e x a c t a q u e p r o v e n g a d e δQm e d i a n t e u n f a c t o r i n t e g r a n t e q u e s e a e l i n v e r s o d e l a t e m p e r a t u r a . A l
2 7
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n a l
S = k
ln Q + βE +i
αiN i
=
= k
ln Q + βE − β
i
µiN i
( 3 3 )
C o n e s t a r e l a c i ó n o b t e n e m o s
T dS = dE −i
µidN i +k
Y kdX k
F u n c i ó n d e G i b b s
G = E −
T S +k
Y kX k ( 3 4 )
µi =
∂G
∂N i
T,Y k,N j=i
Y a s í o b t e n e m o s l a e c u a c i ó n d e e s t a d o k
Y kX k = kT ln Q ( 3 5 )
Q u e p a r a e l c a s o t í p i c o
pV = kT ln Q
n e c e s i t a m o s q u e
ln Q = N . E f e c t i v a m e n t e , l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n
g r a n c a n ó n i c a p u e d e e s c r i b i r s e
Q =∞N =0
e−αN Z (N ) =∞N =0
zN Z (N ) =∞N =0
zN ζ N
N !=
∞N =0
(zζ )N
N != exp (zζ )
Y a p a r t i r d e a q u í
N = −
∂ ln Q
∂α
β,V
= z
∂ ln Q
∂z
β,V
= zζ = ln Q
G r a n p o t e n c i a l
Φ = E − T S −i
µiN i = F −i
µiN i ( 3 6 )
A p a r t i r d e l g r a n p o t e n c i a l
S = −
∂ Φ
∂T
Xk,µi
( 3 7 )
2 8
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Y k = −∂ Φ
∂X kT,µi,Xl=k ( 3 8 )
N i = −
∂ Φ
∂µi
T,µl=k,Xk
( 3 9 )
P o r o t r o l a d o
Φ = −kT ln Q
Φ = − pV ( 4 0 )
D i s p e r s i ó n d e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s
(∆N )2 = N 2 − N 2
= kT
∂N
∂µ
β,V
M e d i a n t e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o d e m o s e s c r i b i r e l s e g u n d o
m i e m b r o d e e s t a i g u a l d a d e n f u n c i ó n d e m a g n i t u d e s f í s i c a s u s u a l e s ∂N
∂µ
β,V
=
∂N
∂µ
T,V
=
∂N
∂p
T,V
∂p
∂µ
T,V
P e r o
∂ 2Φ
∂ V ∂ µ=
∂ 2Φ
∂µ∂V ⇒
∂p
∂µ
T,V
=
∂N
∂V
T,µ
= n =N
V
D e m o d o q u e ∂N
∂µ
β,V
=N
V
∂N
∂p
T,V
= N
∂n
∂p
T,V
=
= N ∂n
∂pT,N = N
2∂V −1
∂p T,N = −
N 2
V 2 ∂V
∂p T,N ( a l o l a r g o d e e s t a s t r a s n f o r m a c i o n e s h e m o s u t i l i z a d o r e p e t i d a m e n t e
e l h e c h o d e q u e n e s i n d e p e n d i e n t e d e N y d e V s e p a r a d a m e n t e ) .
A l n a l d e l d í a
N 2 − N 2
N 2 =
∆∗N
N
2
=1
N kTnκT ( 4 1 )
d o n d e κT e s l a c o m p r e s i b i l i d a d i s o t e r m a .
κT = − 1
V
∂V
∂p
T,N
( 4 2 )
A p a r t i r d e l r e s u l t a d o ( 4 1 ) o b t e n e m o s i m p o r t a n t e s c o n s e c u e n c i a s :
∆∗N
N ∝ 1√
N
E s d e c i r , q u e l a d i s p e r s i ó n d e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s e s d e s p r e c i a b l e
c o n r e s p e c t o a l v a l o r m e d i o , p o r l o q u e l a c o l e c t i v i d a d g r a n c a n ó n i c a
e s e q u i v a l e n t e a l a c a n ó n i c a .
2 9
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7 . F u n d a m e n t o s d e l a m e c á n i c a e s t a d í s t i c a c u á n -
t i c a
I n t r o d u c c i ó n
U n a d e s c r i p c i ó n c u á n t i c a d e l o s s i s t e m a s r e q u i e r e u t i l i z a r l a m e c á n i c a
c u á n t i c a . V e r e m o s q u e l a m e c á n i c a e s t a d í s t i c a s i g u e s i e n d o v á l i d a , q u e s e
r e c u p e r a n l o s r e s u l t a d o s c l á s i c o s y s e s o l u c i o n a n d i c u l t a d e s c o n c e p t u a l e s
d e l a a p r o x i m a c i ó n c l á s i c a .
P a r t í c u l a s i d é n t i c a s e n m e c á n i c a c u á n t i c a
E n m e c á n c i a c u á n t i c a l a s p a r t í c u l a s s o n i n d i s t i n g u i b l e s ( e j e m p l o : c o l i s i ó n
d e d o s p a r t í c u l a s y p r i n c i p i o d e i n c e r t i d u m b r e ) . p o r e l l o s e i n t r o d u c e e l
p r i n c i p i o d e i d e n t i d a d d e l a s p a r t i c u l a s :
E n u n s i s t e m a d e p a r t í c u l a s i d é n t i c a s , s ó l o s o n p o s i b l e s a q u e -
l l o s e s t a d o s q u e n o s e a l t e r a n c u a n d o s e i n t e r c a m b i a n e n t r e s í
d o s p a r t í c u l a s i d é n t i c a s . N o i m p o r t a q u é p a r t í c u l a e s t á e n c a d a
e s t a d o , s i n o c u á n t a s e s t á n e n c a d a e s t a d o .
E s t u d i a n d o l a f u n c i ó n d e o n d a d e u n s i s t e m a a n t e e l i n t e r c a m b i o d e d o s
p a r t í c u l a s v e m o s q u e s ó l o t e n e m o s d o s p o s i b i l i d a d e s :
F u n c i ó n d e o n d a s i m é t r i c a ψ (. . . , ζ i, ζ j , . . .) = ψ (. . . , ζ j , ζ i, . . .) D e s -
c r i b e p a r t í c u l a s c o n s p i n e n t e r o y s e l l a m a n b o s o n e s .
F u n c i ó n d e o n d a a n t i s i m é t r i c a ψ (. . . , ζ i, ζ j , . . .) = −ψ (. . . , ζ j , ζ i, . . .)D e s c r i b e p a r t í c u l a s c o n s p i n s e m i - e n t e r o y s e l l a m a n f e r m i o n e s .
P r i n c i p i o d e e x c l u s i ó n d e P a u l i E n u n s i s t e m a d e f e r m i o n e s n o
p u e d e n e x i s t i r d o s o m á s p a r t í c u l a s e n e l m i s m o e s t a d o c u á n t i c o .
ψ = 0
ψ (. . . , ζ i, ζ j , . . .) = ψ (. . . , ζ j , ζ i, . . .) P o r s e r p a r t í c u l a s i d é n t i c a s
ψ (. . . , ζ i, ζ j , . . .) = −ψ (. . . , ζ j , ζ i, . . .) P o r s e r f e r m i o n e s
L a c o l e c t i v i d a d m i c r o c a n ó n i c a
E l e s t a d o d e u n s i s t e m a v i e n e d e t e r m i n a d o p o r u n p u n t o e n e l e s p a c i o
f á s i c o e n m e c á n c i a e s t a d í s t i c a c l á s i c a . E n m e c á n i c a c u á n t i c a e l e s t a d o d e l
s i s t e m a l o d e t e r m i n a l a f u n c i ó n d e o n d a ( s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n d e S c h r ö -
d i n g e r ) .
I g u a l q u e e n e l c a s o c l á s i c o , c o n o c e r e l e s t a d o m a c r o s c ó p i c o d e l s i s t e m a
n o d e t e r m i n a l a f u n c i ó n d e o n d a ( e l e s t a d o m i c r o s c ó p i c o ) . P a r a e l l o , c o n s -
t r u i m o s u n a c o l e c t i v i d a d d e t o d o s l o s s i s t e m a s c u á n t i c o s c o m p a t i b l e s c o n
e l m a c r o e s t a d o .
C o n s i d e r a m o s u n s i s t e m a a i s l a d o c o n e n e r g í a c o m p r e n d i d a e n t r e E y E +dE . E s t o l i m i t a e l n ú m e r o d e e s t a d o s c u á n t i c o s c o m p a t i b l e s , p e r o e n t r e
l o s q u e l o s o n , t o d o s s o n i g u a l m e n t e p r o b a b l e s . E x p r e s a m o s e l p r i n c i p i o
d e i g u a l p r o b a b i l i d a d a p r i o r i d i c i e n d o q u e
3 0
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U n s i s t e m a e n e q u i l i b r i o p u e d e e n c o n t r a r s e c o n l a m i s m a p r o -
b a b i l i d a d e n c u a l q u i e r a d e l o s e s t a d o s e s t a c i o n a r i o s q u e l e s o n
a c c e s i b l e s . ( L o s e s t a d o s e s t a c i o n a r i o s s o n l a s s o l u c i o n e s d e l a
e c u a c i ó n d e S c h r ö d i n g e r c o r r e s p o n d i e n t e s a l i n t e r v a l o r dE ) .
E s i m p o r t a n t e d e s t a c a r q u e s e a s i g n a l a m i s m a p r o b a b i l i d a d a l o s e s t a -
d o s e s t a c i o n a r i o s , q u e n o l o e s l o m i s m o , e n g e n e r a l , q u e a s i g n a r l a
m i s m a p r o b a b i l i d a d a t o d o s l o s v a l o r e s p r o p i o s d e l a e n e r g í a ( d e b i d o a l a
d e g e n e r a c i ó n ) .
A d i f e r e n c i a d e l c a s o c l á s i c o , l o s e s t a d o s a c c e s i b l e s t i e n e n u n e s p e c t r o
d i s c r e t o d e e n e r g í a , p o r l o q u e t e n e m o s u n a d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a d e p r o -
b a b i l i d a d e s , y n o u n a d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d .
P a r a u n s i s t e m a a i s l a d o e n e q u i l i b r i o c o n e n e r g í a e n t r e E y E + dE , l a
p r o b a b i l i d a d P (E R) d e q u e e l s i s t e m a s e e n c u e n t r e e n e l e s t a d o e s t a c i o -
n a r i o
Re s
P (R) =
1
Ω(E) E < E R < E + dE
0 E n c u a l q u i e r o t r o c a s o
d o n d e Ω (E ) e s e l n ú m e r o d e e s t a d o s e s t a c i o n a r i o s i n d e p e n d i e n t e s e n e l
i n t e r v a l o d e e n e r g í a y
E R e s l a e n e r g í a c o r r e s p o n d i e n t e a l e s t a d o c u á n t i c o
R.
T o d o s l o s c o n c e p t o s u t i l i z a d o s e n M e c á n i c a E s t a d í s t i c a C l á s i c a s o n a p l i -
c a b l e s e n M e c á n i c a E s t a d í s t i c a C u á n t i c a , p o r l o q u e t e n e m o s :
Y α =1
β
∂ ln Ω
∂X α
E
S (E, X α) = k l n Ω (E, ) X α
β =1
kT =
∂ ln Ω
∂E
Xα
µ = −kT
∂ ln Ω
∂N
E, X α
E n M e c á n i c a C u á n t i c a n o s e p r e s e n t a l a p a r a d o j a d e G i b b s p o r q u e n o
c o n t a m o s c o m o d i f e r e n t e s e s t a d o s e n l o s q u e i n t e r c a m b i a m o s d o s p a r t í c u l a s
( e n c u á n t i c a s o n e l m i s m o e s t a d o ) .
C o l e c t i v i d a d e s c a n ó n i c a y g r a n c a n ó n i c a
S i g u i e n d o l o s m i s m o s p a s o s q u e e n e l c a s o c l á s i c o ( c o l o c a n d o d o s s i s -
t e m a s e n c o n t a c t o y s u p o n i e n d o q u e u n o d e e l l o s e s u n f o c o t é r m i c o )
o b t e n e m o s l a d i s t r i b u c i ó n c a n ó n i c a c u á n t i c a
P (R) =e−βERR e−βER
3 1
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y l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c u á n t i c a
Z = R
e−βER
E s t a s u m a s e e x t i e n d e s o b r e t o d o s l o s e s t a d o s c u á n t i c o s , n o s o b r e l o s
n i v e l e s e n e r g é t i c o s ( s i e x i s t e d e g e n e r a c i ó n n o c o i n c i d e n ! ) . S i l l a m a m o s
g (E R) a l f a c t o r d e d e g e n e r a c i ó n d e l n i v e l E R , l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n
t a m b i é n p u e d e e s c r i b i r s e c o m o
Z =ER
g (E R) e−βER
d o n d e a h o r a l a s u m a s í e s s o b r e l o s n i v e l e s e n e r g é t i c o s .
T o d o s l o s r a z o n a m i e n t o s g e n e r a l e s d e l a M e c á n i c a E s t a d í s t i c a C l á s i c a
s e p u e d e n t r a s l a d a r d i r e c t a m e n t e a l a m e c á n c i a c u á n t i c a c a m b i a n d o
l a s i n t e g r a l e s s o b r e e l e s p a c i o f á s i c o p o r s u m a t o r i o s s o b r e l o s e s t a d o s
a c c e s i b l e s
1
hf
ˆ dqdp −→
R
d e e s t e m o d o o b t e n e m o s
E = −∂ ln Z
∂β
Y α =1
β
∂ ln Z
∂X α
S = k
ln Z + βE
L a o b t e n c i ó n d e l a c o l e c t i v i d a d c a n ó n i c a g e n e r a l i z a d a s e o b t i e n e d e l
m i s m o m o d o :
P (R) = 1Q
e−αN R−βER
d o n d e
Q =∞N =0
e−αN (N )R
e−βER
A p a r t i r d e a q u í :
E = −
∂ ln Q
∂β
α,X
N = −
∂ ln Q
∂α
β,X
Y k =1
β∂ ln Q
∂X kα,β,Xl=k
S = k
ln Q + βE +
i
αiN i
pV = kT ln Q
3 2
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C o n e x i ó n e n t r e e n t r o p í a y p r o b a b i l i d a d
E s u n e j e r c i c i o i n t e r e s a n t e c o m p r o b a r l a r e l a c i ó n e n t r e l a e n t r o p í a y
l a p r o b a b i l i d a d d e l o s d i f e r e n t e s e s t a d o s c u á n t i c o s e n l o s q u e p u e d e
e n c o n t r a r s e e l s i s t e m a . A c o n t i n u a c i ó n u t i l i z a r e m o s l a c o l e c t i v i d a d
c a n ó n i c a , p e r o e l m i s m o r e s u l t a d o s e o b t i e n e u t i l i z a n d o c u a l q u i e r a
d e l a s t r e s c o l e c t i v i d a d e s .
S = k
ln Z + βE
A p a r t i r d e l a d e n i c i ó n d e e n e r g í a m e d i a , q u e e s l a e n e r g í a d e c a d a
e s t a d o m u l t i p l i c a d a p o r l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l s i s t e m a s e e n c u e n t r e
e n e s e e s t a d o
E =R P (R) E R
S = kln Z + βR P (R) E R ( 4 3 )
A p a r t i r d e l a d e n i c i ó n d e p r o b a b i l i d a d d e e n c o n t r a r e l s i s t e m a e n
u n e s t a d o c u á n t i c o d a d o , o b t e n d r e m o s E R
P (R) =e−βERR e−βER
=e−βER
Z
ZP (R) = e−βER
ln (ZP (R)) = −βE R ( 4 4 )
S i a h o r a i n t r o d u c i m o s ( 4 4 ) e n ( 4 3 ) , t e n e m o s
S = k
ln Z −R
P (R) l n (ZP (R))
=
= k
ln Z −
R
P (R)(ln Z + ln P (R))
=
= k
ln Z − ln Z
R
P (R) −R
P (R) l n (P (R))
P e r o
R P (R) = 1 ( e s t a e s l a c o n d i c i ó n d e n o r m a l i z a c i ó n d e l a
p r o b a b i l i d a d ) , d e m a n e r a q u e
S = kln Z − ln Z −R
P (R) l n (P (R)) = −kR
P (R) l n (P (R))
P e r o e s t o n o e s m á s q u e l a f í r m u l a d e l c á l c u l o d e l v a l o r m e d i o d e
ln (P (R)) s o b r e l a c o l e c t i v i d a d , d e m a n e r a q u e
S = −kln (P (R))
3 3
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e s d e c i r , q u e l a e n t r o p í a y l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l s i s t e m a s e e n -
c u e n t r e e n u n e s t a d o d e t e r m i n a d o s o n l a m i s m a c o s a . P o r e j e m p l o ,
s i u n s i s t e m a s e e n c u e n t r a e n s u e s t a d o f u n d a m e n t a l ( a T = 0 K ) ,
e n t o n c e s P (R = 0) = 1 y P (R = 0) = 0 ( p a r a c u a l q u i e r o t r o e s t a d o
q u e n o s e a e l f u n d a m e n t a l ) . E n e s t a s i t u a c i ó n S = 0 , l o q u e s e c o n o c e
c o m o t e o r e m a d e N e r n s t o T e r c e r P r i n c i p i o d e l a T e r m o d i n á m i c a .
F u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e u n g a s c u á n t i c o i d e a l
C o n s i d e r a m o s u n s i s t e m a d e N p a r t í c u l a s i d é n t i c a s c u y a s f u e r z a s d e i n t e r -
a c c i ó n p u e d e n d e s p r e c i a r s e .
A n i v e l d e n o t a c i ó n , u t l i z a r e m o s :
P r o p i e d a d e s r e f e r i d a s a l a s p a r t í c u l a , e n m i n ú s c u l a s .
P r o p i e d a d e s d e l s i s t e m a g l o b a l e n m a y ú s c u l a s .
E j e m p l o :
E R = r nr,Rro
N R = r nr,R
U n e s t a d o c u á n t i c o R d e u n s i s t e m a d e p a r t í c u l a s i d é n t i c a s q u e d a t o t a l -
m e n t e d e t e r m i n a d o s i s e c o n o c e e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s q u e s e e n c u e n t r a n
e n c a d a e s t a d o r . E l c o n j u n t o d e n ú m e r o s nr,R s e d e n o m i n a n ú m e r o s d e
o c u p a c i ó n .
Z =R
e−βER =
n1,n2,...(nr=N )
e−β(n11+n22+··· ) =
=
n1,n2,...(nr=N )
exp
−β
r
nrr
L a s u m a s o b r e t o d o s l o s e s t a d o s R s e c o n v i e r t e e n u n a s u m a e x t e n d i d a a
t o d o s l o s p o s i b l e s v a l o r e s d e l o s n ú m e r o s d e o c u p a c i ó n , c o n l a r e s t r i c c c i ó n
d e q u e s u s u m a s e a N . P a r a e l i m i n a r e s t a c o n d i c i ó n ( q u e c o m p l i c a l o s
c á l c u l o s ) r e a l i z a r e m o s e l c á l c u l o e n e l c o n j u n t o g r a n c a n ó n i c o , d o n d e e l
n ú m e r o d e p a r t í c u l a s n o e s t á j a d o .
L a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n e n e l c o n j u n t o g r a n c a n ó n i c o e s :
Q =∞N =0
e−αN (N )R
e−βER
E s t a e x p r e s i ó n e s e q u i v a l e n t e a :
Q =
Re−αN R−βER
d o n d e a h o r a e l s u m a t o r i o s e e x t i e n d e s o b r e t o d o s l o s e s t a d o s p o s i b l e s , c o n
c u a l q u i e r n ú m e r o d e p a r t í c u l a s .
Q =R
exp
−β
r
nr,Rr − αr
nr,R
3 4
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o
Q = R r e−βrnr,R−αnr,R = R r e−(βr+α)nr,R
E n e s t a e x p r e s i ó n l a s u m a p a r a t o d o s l o s e s t a d o s R e q u i v a l e a s u m a r p a r a
t o d o s l o s v a l o r e s p o s i b l e s d e l c o n j u n t o d e n ú m e r o s nr,R , p e r o a h o r a s i n l a
r e s t r i c c i ó n p a r a l a s u m a ⇒ A h o r a c a d a nr t o m a v a l o r e s c o n i n d e p e n d e n c i a
d e c u á l e s s o n l o s v a l o r e s d e l r e s t o d e nr .
Q =
n1,n2,···
r
e−(βr+α)nr =n1
n2
· · ·r
e−(βr+α)nr
E s t a e x p r e s i ó n p u e d e e s c r i b i r s e e n l a f o r m a
Q =
rnmax
n=0e−(βr+α)n
d o n d e nmax e s e l v a l o r m á x i m o q u e p u e d e n t o m a r l o s v a l o r e s d e l o s n ú -
m e r o s d e o c u p a c i ó n :
F e r m i o n e s → nmax = 1
B o s o n e s → nmax = ∞
Q =
nmaxn1
nmaxn2
· · ·
a (nr) =
nmaxn1
nmaxn2
· · · a1 (n1) a2 (n2) · · ·
S i e f e c t u a m o s l a s u m a p a r a n1 m a n t e n i e n d o t o d o s l o s d e m á s nr c o n s t a n t e s
Q =
nmaxn2=0
nmaxn3=0
· · ·nmaxn1=0
a1 (n1) a2 (n2) · · ·d e s p u é s h a c e m o s l o m i s m o c o n e l r e s t o (n2, n3, . . .)
Q =
nmaxn1=0
a1 (n1)
nmaxn2=0
a2 (n2)
· · ·
P a r a s e g u i r a d e l a n t e d e b e m o s s a b e r s i n u e s t r a s p a r t í c u l a s s o n f e r m i o n e s o
b o s o n e s .
P r o p i e d a d e s f o r m a l e s d e l a g r a n f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n e n M e c á n c i a C u á n t i c a
N ú m e r o d e p a r t í c u l a s m e d i o e n u n e s t a d o d e p a r t í c u l a r
nr =
R nr,Re−βER−αN R
Q=
1
Q
R
nr,Re−βr nr,Rr−α
r nr,R =
= − 1
β
1
Q
∂Q
∂r= − 1
β
∂ ln Q
∂r
3 5
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C á l c u l o d e l a p r e s i ó n
p = 1β∂ ln Q
∂V α,β
= 1βQ
∂Q∂V
α,β
S i a h o r a u t i l i z a m o s l a e x p r e s i ó n p a r a Q
p =1
βQ
R
−β
r
nr,R
∂r∂V
exp
−β
r
nr,Rr − αr
nr,R
=
= − 1
Q
r
∂r∂V
R
nr,R exp
−β
r
nr,Rr − αr
nr,R
q u e s i t e n e m o s e n c u e n t a l a e x p r e s i ó n p a r a
nr p u e d e e s c r i b i r s e c o m o
p = r −∂r
∂V nr
E s t a r e l a c i ó n t o m a u n a f o r m a e s p e c i a l e m e n t e ú t i l e n e l c a s o d e u n
s i s t e m a d e p a r t í c u l a s i d e a l e s e n c e r r a d a s e n u n c o l u m e n V = LxLyLzd e f o r m a q u e l a e n e r g í a d e l a s p a r t í c u l a s s e a ú n i c a m e n t e d e t r a s l a c i ó n
y c u y o s n i v e l e s e n e r g é t i c o s v i e n e n d a d o s p o r
r = nx,ny,nz =2π2
2m
nxLx
2
+
nyLy
2
+
nzLz
2
( 4 5 )
d o n d e nx, ny, nz ≥ 0 . C o m o l a s p r o p i e d a d e s t e r m o n d i n á m i c a s d e u n
s i s t e m a n o p u e d e n d e p e n d e r d e l a f o r m a , v a m o s a p a r t i c u l a r i z a r ( 4 5 )
p a r a e l c a s o c o n c r e t o d e u n c u b o ⇒ Lx = Ly = Lz = L, q u e e s l a
f o r m a m á s s e n c i l l a
r ≡ nx,ny,nz =2π2
2mV 2/3
n2x + n2
y + n2z
d o n d e
V = L3. E n e s t a e x p r e s i ó n a p a r e c e d e f o r m a e x p l í c i t a t o d a l a
d e p e n d e n c i a r e s p e c t o a l v o l u m e n , d e m a n e r a q u e p o d e m o s c a l c u l a r
∂r∂V
= − 2
3V r
l o q u e a l s u s t i t u i r l a e n l a e c u a c i ó n p a r a l a p r e s i ó n
p =r
2
3V rnr =
2
3
E
V
P o r l o q u e a l n a l d e l d í a
pV =2
3E
( 4 6 )
E s t e r e s u l t a d o e s v á l i d o i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e q u e l a s p a r t í c u l a s
c o n s i d e r a d a s s e a n b o s o n e s o f e r m i o n e s , s i e m p r e y c u a n d o l o s n i v e l e s
e n e r g é t i c o s d e u n a p a r t í c u l a v e n g a n d a d o s p o r l a f o r m a ( 4 5 ) .
3 6
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C á l c u l o d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c a n ó n i c a
A p a r t i r d e l c o n o c i m i e n t o d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n g r a n c a n ó n i c a p o d e -
m o s o b t e n e r l a f o r m a d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c a n ó n i c a .
P (R) αe−αN R−βER −→ ln Z
N ≈ ln Q + αN
E s t a d í s t i c a d e F e r m i - D i r a c y d e B o s e - E i n s t e i n
E s t a d í s t i c a d e F e r m i - D i r a c
E n e s t e c a s o , nmax = 1
QFD =r
1n=0
e−(βr+α)n =r
1 + e−(βr+α)
( 4 7 )
ln QFD = r
ln1 + e−(βr+α)( 4 8 )
A p a r t i r d e a q u í , e l n ú m e r o m e d i o d e p a r t í c u l a s e n e l s i s t e m a
N = −∂ ln QFD∂α
= −r
−e−βr−α
1 + e−βr−α=r
1
eβr+α + 1( 4 9 )
Y e l n ú m e r o m e d i o d e p a r t í c u l a s e n e l e s t a d o r
nr = − 1
β
∂ ln QFD∂r
=1
eβr+α + 1( 5 0 )
P o d e m o s o b s e r v a r q u e 0
≤nr
≤1.
L a e x p r e s i ó n a n t e r i o r ( 5 0 ) p u e d e e s c r i b i r s e e n f u n c i ó n d e l p o t e n c i a l
q u í m i c o µ (T )α = −βµ
d e m a n e r a q u e
nr =1
eβ(r−µ) + 1( 5 1 )
µ (T ) = N i v e l d e F e r m i
µ (T = 0) = µ0 = E n e r g í a d e F e r m i
3 7
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P a r a c u a l q u i e r t e m p e r a t u r a T > 0 K nr (r = µ) = 1/2
L o s e s t a d o s c o n e n e r g í a m e n o r q u e l a d e l n i v e l d e F e r m i t i e n e n
nr ≥ 1/2 y l o s q u e t i e n e n e n e r g í a m a y o r , nr < 1/2.
E s t a d í s t i c a d e B o s e - E i n s t e i n
E n e l c a s o d e l o s b o s o n e s nmax = ∞.
QBE =r
∞n=0
e−(βr+α)n ( 5 2 )
P a r a c u a l q u i e r r d a d o , o b s e r v a m o s q u e t e n e m o s l a s u m a d e u n a
p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a d e r a z ó n
e−(βr+α)
= e−β(r−µ)
. E s t a s u m a d e
l a p r o g r e s i ó n s e r á c o n v e r g e n t e s i e m p r e q u e l a r a z ó n s e a m e n o r q u e 1
⇒ e−β(r−µ) < 1 ↔ r − µ > 0
S u m a n d o l a s e r i e : ∞n=0
arn =a
1 − r
t e n e m o s
QBE =r
1
1 − e−(βr+α)=r
1
1 − e−β(r−µ)( 5 3 )
ln QBE = −r
ln
1 − e−(βr+α)
= −
rln
1 − e−β(r−µ)
( 5 4 )
A p a r t i r d e l a d i s t r i b u c i ó n d e B o s e - E i n s t e i n y a p o d e m o s c a l c u l a r e l
n ú m e r o m e d i o d e p a r t í c u l a s e n e l s i s t e m a
N y e l n ú m e r o m e d i o d e
p a r t í c u l a s p o r e s t a d o nr .
N = −∂ ln QBE∂α
=r
1
eβr+α − 1( 5 5 )
3 8
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nr =1
eβr+α
−1
=1
eβ(r−µ)
−1
( 5 6 )
E n e l c a s o d e l o s b o s o n e s nr > 1 ( d e h e c h o nr → ∞ c u a n d o r = µ) .
L a s e x p r e s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a a m b a s d i s t r i b u c i o n e s p u e d e a g r u p a r s e
e s c r i b i e n d o
ln Q = ±r
ln
1 ± e−βr−α
( 5 7 )
nr =1
eβr+α ± 1( 5 8 )
d o n d e e l s i g n o + c o r r e s p o n d e a l a d i s t r i b u c i ó n d e F e r m i - D i r a c y e l - a l a
d e B o s e - E i n s t e i n .
L a e c u a c i ó n d e e s t a d o
pV = kT ln Q
= ±kT r
ln
1 ± e−βr−α
( 5 9 )
Y e l n ú m e r o m e d i o d e p a r t í c u l a s e n e l s i s t e m a N
N =r
nr =r
1
eβ(r−µ) ± 1( 6 0 )
L í m i t e c l a s i c o : l a e s t a d í s t i c a d e M a x w e l l - B o l t z m a n n
E l n ú m e r o d e e s t a d o s c u á n t i c o s
rd e u n a p a r t í c u l a d e p e n d e n d e l v o l u m e n
d e l s i s t e m a . D e h e c h o , e l n ú m e r o d e e s t a d o s c u á n t i c o s e s p r o p o r c i o n a l a
V .
L í m i t e d e b a j a s d e n s i d a d e s
3 9
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M a n t e n i e n d o T = const h a c e m o s q u e l a d e n s i d a d d e p a r t í c u l a s (N/V )s e a l o s u c i e n t e m e n t e p e q u e ñ a c o m o p a r a q u e e l n ú m e r o d e e s t a d o s
p o r p a r t í c u l a s e a m u c h o m a y o r q u e l a d e n s i d a d .
r
nr =r
1
eβr+α ± 1= N ( 6 1 )
C o n l a h i p ó t e s i s q u e h e m o s c o m e n t a d o , e l n ú m e r o d e e s t a d o s (r) e s
m u c h o m a y o r q u e
N /V , d e m a n e r a q u e c a d a u n o d e l o s s u m a n d o s
d e ( 6 1 ) t i e n e q u e s e r m u c h o m e n o r q u e 1
1
eβr+α ± 1= nr 1 ( 6 2 )
E s t a c o n d i c i ó n e s e q u i v a l e n n t e a
eβr+α 1 (∀r) ( 6 3 )
L í m i t e d e t e m p e r a t u r a s a l t a s
A h o r a l a d e n s i d a d d e l g a s e s c o n s t a n t e y a u m e n t a m o s T ( o d i -
m i n u i m o s β ) . D e n u e v o , e l n ú m e r o d e s u m a n d o s a u m e n t a , p u e s
c u a n t o m e n o r s e a β , m a y o r p u e d e s e r r s i n q u e βr 1 . D e
n u e v o , c a d a u n o d e l o s s u m a n d o s t i e n e q u e s e r m u c h o m e n o r q u e
( 6 2 ) , l o q u e d e n u e v o n o s l l e v a a l a c o n d i c i ó n ( 6 3 )
C o m o v e m o s , t a n t o e n e l l í m i t e d e a l t a s t e m p e r a t u r a s c o m o d e b a j a s d e n -
s i d a d e s , l l e g a m o s a l a c o n d i c i ó n ( 6 3 ) . P e r o e s t a c o n d i c i ó n e s e q u i v a l e n t e
a
nr =1
eβr+α = e−βr−α ( 6 4 )
4 0
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P o d e m o s d e t e r m i n a r e l p a r á m e t r o α m e d i a n t e l a c o n d i c i ó n
r
nr = N = r
e−βr−α = e−αr
e−βr
e−α =N r e−βr
( 6 5 )
D e m a n e r a q u e a l n a l d e l d í a
nr = N e−βrr e−βr
E n e l m i s m o l í m i t e , u t i l i z a n d o l a a p r o x i m a c i ó n ln (1 + x) ≈ xc u a n d o
(x 1), o b t e n e m o s l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n g e n e r a l i z a d a :
ln Q = ±r
ln
1 ± e−βr−α = ±r
e−βr−α
S i i n t r o d u c i m o s e l v a l o r o b t e n i d o p a r a e−α t e n e m o s q u e
ln Q = N ( 6 6 )
Y l a e c u a c i ó n d e e s t a d o
pV = N kT
c o m o e n l a M e c á n c i a E s t a d í s t i c a C l á s i c a .
D e n i e n d o l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e u n a p a r t í c u l a c o m o
ζ =r
e−βr( 6 7 )
d e m a n e r a q u e l a e c u a c i ó n ( 6 5 ) t o m a l a f o r m a
z = e−α =N
ζ ( 6 8 )
Y a s í , l a e c u a c i ó n ( 6 6 ) q u e d a
ln Q = N → Q = eN = ezζ =
∞N =0
(zζ )N
N !( 6 9 )
q u e s i l a c o m p a r a m o s c o n l a d e n i c i ó n d e l a g r a n f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n Q
Q =∞N =0
e−αN (N )R
e−βER =∞N =0
e−αZ (N ) ( 7 0 )
4 1
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n o s p e r m i t e i n d e n t i c a r l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e u n g a s i d e a l e n e l
l í m i t e d e a l t a s t e m p e r a t u r a s o b a j a s d e n s i d a d e s .
Z (N ) =ζ N
N !=
r e−βr
N N !
( 7 1 )
C u a n d o u n g a s s e e n c u e n t r a e n l a s c o n d i c i o n e s d e a l t a s t e m p r a t u r a s o
b a j a s d e n s i d a d e s s e d i c e q u e e s n o d e g e n e r a d o y p o d e m o s d e s c r i b i r l o
u t i l i z a n d o ( 6 4 ) y ( 7 1 ) , e s d e c i r , l a e s t a d í s t i c a d e M a x w e l l - B o l t z m a n n
p a r a e l l í m i t e c l á s i c o .
C u a n d o e s p r e c i s o u t i l i z a r l a s e s t a d í s t i c a s d e F e r m i - D i r a c o B o s e - E i n s t e i n
s e d i c e q u e e l g a s e s d e g e n e r a d o .
G a s i d e a l m o n o a t ó m i c o
E n e l l í m i t e c l á s i c o e l c á l c u l o d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n s e r e d u c e a
c a l c u l a r
ζ ( v e r ( 7 1 ) )
ζ =r
e−βr
E l e s t u d i o d e l o s e s t a d o s c u á n t i c o s a c c e s i b l e s a u n á t o m o e s e q u i v a -
l e n t e a l e s t u d i o d e l o s e s t a d o s e s t a c i o n a r i o s d e u n a p a r t í c u l a p u n t u a l
e n c e r r a d a e n u n v o l u m e n V
nx,ny,nz =2π2
2m
nxLx
2
+
nyLy
2
+
nzLz
2
( 7 2 )
S u m a r p a r a t o d o s l o s e s t a o d o s d e u n a p a r t í c u l a e s e q u i v a l e n t e a s u -
m a r s o b r e t o d o s l o s v a l o r e s p o s i b l e s d e
nx, nyy
nz( q u e s o n e n t e r o s
p o s i t i v o s )
ζ =∞nx=1
∞ny=1
∞nz=1
exp
−β
2π2
2m
nxLx
2
+
nyLy
2
+
nzLz
2
=
=
∞nx=1
exp
−β
2π2
2m
nxLx
2
× ∞nx=1
exp
−β
2π2
2m
nyLy
2
×
× ∞nx=1
exp
−β
2π2
2m
nzLz
2
P e r o r e s u l t a q u e l a d i f e r e n c i a e n t r e d o s s u m a n d o s c o n s e c u t i v o s d e
c a d a u n a d e e s t a s s u m a s e s m u y p e q u e ñ a c o m p a r a d a c o n e l v a l o r d e
c a d a u n o d e l o s s u m a n d o s , d e m a n e r a q u e p o d e m o s c a m b i a r s u m a -
t o r i o s p o r i n t e g r a l e s
→
ˆ ∞0
dnx exp
−β
2π2
2m
nxLx
2
=1
2
2πmLxβ2π2
= Lx
√2πmkT
2π
4 2
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L a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n , n a l m e n t e q u e d a c o m o
ζ = V h3
(2πmkT )3/2 ( 7 3 )
P o d e m o s l l e g a r a e s t e m i s m o r e s u l t a d o s i , u n a v e z q u e s e h a v i s t o q u e
l o s n i v e l e s d e e n e r g í a e s t á n m u y p r ó x i m o s e n ( 6 7 ) , p r i m e r o s u m a m o s p a r a
t o d o s l o s e s t a d o s q u e t i e n e n l a m i s m a e n e r g í a e i n t e g r a m o s d e s p u é s p a r a
t o d a s l a s e n e r g í a s . E s d e c i r :
ζ =
ˆ ∞0
dD () e−β ( 7 4 )
d o n d e D () e s l a d e n s i d a d d e e n e r g í a ( o d e n s i d a d d e e s t a d o s ) d e d u c i d a
e n e l a p é n d i c e B
D () =4πV
h3 √2m3√d( 7 5 )
A l n a l d e l d í a h e m o s o b t e n i d o , p a r a u n g a s i d e a l e n e l l í m i t e c l á s i c o l a
f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n
Z =ζ N
N !=
1
N !
V
h3(2πmkT )
3/2
N =
1
N !
V
λ3
N ( 7 6 )
d o n d e λ e s l a l o n g i t u d d e o n d a t é r m i c a ( o l o n g i t u d d e D e B r o g l i e )
λ =h√
2πmkT ( 7 7 )
V a l i d e z d e l a a p r o x i m a c i ó n c l á s i c a
L a c o n d i c i ó n d e v a l i d e z d e l a a p r o x i m a c i ó n c l á s i c a e s
eβr+α 1 (∀ r) ( 7 8 )
E s t a c o n d i c i ó n e s e q u i v a l e n t e a eα 1 , o l o q u e e s l o m i s m o
e−α 1 ( 7 9 )
P e r o e n l a a p r o x i m a c i ó n c l á s i c a
e−α =N
ζ
=N
V h2
2πmkT 3/2
D e m a n e r a q u e l a c o n d i c i ó n d e v a l i d e z d e l a a p r o x i m a c i ó n c l á s i c a s e c o n -
v i e r t e e n
nλ3 1 ( 8 0 )
4 3
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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S i d e n i m o s l a d i s t a n c i a m e d i a e n t r e p a r t í c u l a s c o m o r =
V N
1/3p o d e m o s
e n t e n d e r m e j o r e l s i g n i c a d o f í s i c o d e l a c o n d i c i ó n d e v a l i d e z d e l l í m i t e
c l á s i c o
λ3 r3 ( 8 1 )
V e m o s q u e l a l o n g i t u d d e o n d a t é r m i n a d e b e s e r m u y p e q u e ñ a c o m p a r a d a
c o n l a d i s t a n c i a e n t r e l a s m o l é c u l a s . S i n o s e c u m p l i e r a e s t a c o n d i c i ó n
s e p r o d u c i r í a i n t e r f e r e n c i a e n t r e l a s o n d a s d e D e B r o g l i e a s o c i a d a s a l a s
m o l é c u l a s , d e m a n e r a q u e l a d e s c r i p c i ó n c l á s i c a y a n o s e r í a v a l i d a .
E s t u d i o d e l o s g r a d o s i n t e r n o s d e l i b e r t a d
L a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e u n a m o l é c u l a p o l i a t ó m i c a a i s l a d a , e n c o n d i c i o -
n e s e n l a s q u e e s a p l i c a b l e l a a p r o x i m a c i ó n c l á s i c a ( m e d i a n t e l a e s t a d í s t i c a
d e M a x w e l l - B o l t z m a n n ) e s d e l a f o r m a
ζ = s
e−βs ( 8 2 )
U n a b u e n a a p r o x i m a c i ó n p a r a e l h a m i l t o n i a n o d e l a m o l é c u l a e s d e l a
f o r m a
H = H t + H r + H v + H e ⇒ s = t + r + v + e ( 8 3 )
d o n d e c a d a h a m i l t o n i a n o c o r r e s p o n d e a :
t t r a s l a c i ó n
r r o t a c i ó n
v v i b r a c i ó n
e e l e c t r ó n i c o .
D e m a n e r a q u e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n t e n d r á l a f o r m a :
ζ =s
e−βs =t,r,v,e
e−β(t+r+v+e) =
=
t
e−βt
r
e−βr
v
e−βv
e
e−βe
=
= ζ tζ rζ vζ e ( 8 4 )
T o d a s l a s u m a s s e e x t i e n d e n s o b r e e s t a d o s c u á n t i c o s y n o s o b r e n i v e l e s
e n e r g e t i c o s .
L a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e l s i s t e m a s e r á
Z =ζ N
N !=
(ζ t)N
N !(ζ r)
N (ζ v)
N (ζ e)
N ( 8 5 )
E s t u d i a r e m o s c a d a u n a d e l a s f u n c i o n e s d e p a r t i c i ó n q u e a p a r e c e n e n ( 8 4 )
p o r s e p a r a d o .
4 4
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F u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e t r a s l a c i ó n
E l c e n t r o d e m a s a s s e m u e v e c o m o u n a p a r t í c u l a c u y a m a s a f u e r a
l a d e t o d o e l s i s t e m a . C o m o e s u n g a s i d e a l , n o h a y i n t e r a c c i ó n c o n
o t r a s p a r t í c u l a s
H t = P 2
2M ( 8 6 )
E s t e e s e l m i s m o h a m i l t o n i a n o q u e h e m o s u t i l i z a d o p a r a e s t u d i a r l o s
e s t a d o s e n e r g é t i c o s d e t r a s l a s c i ó n d e u n a p a r t í c u l a e n u n a c a j a , p o r
l o q u e y a s a b e m o s q u e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n s e r á
ζ t =V
h3(2πmkT )3/2 ( 8 7 )
M o v i m i e n t o d e r o t a c i ó n
E l c a s o g e n e r a l d e r o t a c i ó n e s m u y c o m p l i c a d o .
N o s c e n t r a m o s e n e l c a s o d e u n a m o l é c u l a d i a t ó m i c a r í g i c a .
L o s n i v e l e s e n e r g é t i c o s d e r o t a c i ó n p a r a u n a m o l é c u l a d e e s t e t i p o s o n
r =2
2Il (l + 1) ( 8 8 )
d o n d e I e s e l m o m e n t o d e i n v e r c i a d e l a m o l é c u l a r e s p e c t o p o r u n e j e
q u e p a s a p o r e l c e n t r o d e m a s a s y p e r p e n d i c u l a r a l a l í n e a u e u n e l o s d o s
á t o m o s .
I = µR2( 8 9 )
d o n d e µ e s l a m a s a r e d u c i d a d e l a m o l é c u l a d i a t ó m i c a
µ = m1m2m1 + m2
( 9 0 )
C a d a n i v e l e n e r g é t i c o p r e s e n t a u n a d e g e n e r a c i ó n i g u a l a 2l + 1 ( p a r a c a d a
v a l o r d e l a e n e r g í a , t e n e m o s 2l + 1 e s t a d o s c u á n t i c o s c u á n t i c o s i n d e p e n -
d i e n t e s (−l, −l + 1, . . . , 0, . . . , l − 1, l) . E s d e c i r , p a r a c a d a e s t a d o c u á n t i c o
t e n e m o s 2l + 1 s u m a n d o s
ζ r =∞l=0
(2l + 1) e−β2
2I l(l+1)( 9 1 )
S i d e n i m o s u n a t e m p e r a t u r a c a r a c t e r í s t i c a d e r o t a c i ó n θr
θr =
2Ik( 9 2 )
l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e r o t a c i ó n q u e d a
ζ r =∞l=0
(2l + 1) e−θrT l(l+1)
( 9 3 )
4 5
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E x c e p t o p a r a e l h i d r ó g e n o y e l d e u t e r i o , p a r a e l r e s t o d e g a s e s a l t e m p e r a -
t u r a d e r o t a c i ó n e s m u y b a j a θr/T
1 , d e m a n e r a q u e p o d e m o s c a m b i a r → ´
, l o q u e e s e q u i v a l e n t e a c o n s i d e r a r e l m o v i m i e n t o d e r o t a c i ó n e n
e l l í m i t e c l á s i c o .
ζ r =
ˆ ∞0
dl (2l + 1) e−θrT l(l+1)
( 9 4 )
E s t a i n t e g r a l e s i n m e d i a t a s i h a c e m o s e l c a m b i o d e v a r i a b l e u = l (l + 1)
ζ r =
ˆ ∞0
du e−θrT u =
T
θr( 9 5 )
M o l é c u l a d i a t ó m i c a h o m o n u c l e a r
E n e s t e c a s o d e b e m o s t r a t a r l o s d o s á t o m o s c o m o i n d i s t i n g u i b l e s , d e
m a n e r a q u e u n a m o l é c u l a e n u n á n g u l o d e r o t a c i ó n α d e b e c o n s i d e -
r a r s e e n e l m i s m o e s t a d o q u e u n a m o l é c u l a e n u n e s t a d o d e r o t a c i ó n
d e 180−α. E s d e c i r , h e m o s c o n t a d o d o s v e c e s c a d a e s t a d o , p o r l o q u e
d e b e m o s c o r r e g i r l o y d i v i d i r p o r d o s e l r e s u l t a d o o b t e n i d o e n ( 9 5 ) .
G e n e r a l i z a m o s i n t r o d u c i e n d o u n f a c t o r d e s i m e t r í a σ
ζ r =T
σθr=
2I
2
kT
σ( 9 6 )
d o n d e
σ =
2 M o l e c . h o m o n u c l e a r
1 M o l e c . h e t e r o n u c l e a r
C a s o m o l é c u l a s p o l i a t ó m i c a s ( m á s d e d o s á t o m o s )
E l c á l c u l o - i n c l u s o e n e l l í m i t e c l á s i c o - d e l r o t o r r í g i d o a s i m é t r i c o e s
m u y c o m p l i c a d o .
ζ r =(πI1I2I3)
1/2
σ3(2kT )
3/2( 9 7 )
d o n d e Ii (i = 1, 2, 3) s o n l o s m o m e n t o s p r i n c i p a l e s d e i n e r c i a y
σe s e l f a c t o r d e s i m e t r í a .
M a g n i t u d e s t e r m o d i n á m i c a s a s o c i a d a s a l a r o t a c i ó n
P a r a m o l é c u l a s d i a t ó m i c a s e n l a a p r o x i m a c i ó n c l á s i c a t e n e m o s :
Z r = (ζ r)N
=
T
σθr
N ( 9 8 )
A p a r t i r d e a q u í t e n e m o s
E r = −∂ ln Z r
∂β= kT 2
∂ ln Z r
∂T = N kT
( 9 9 )
C V,r =∂E r∂T
=dE rdT
= N k( 1 0 0 )
4 6
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S r = k ln Z r + βE r = N klnT
σθr+ 1 = N k ln
T e
σθr ( 1 0 1 )
µr = −kT ∂ ln Z r
∂N = −kT ln
T
σθr
( 1 0 2 )
L í m i t e d e t e m p e r a t u r a s b a j a s
S i
T θr l a s e x p o n e n c i a l e s d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n ( 9 3 ) s o n p e q u e -
ñ a s , d e m a n e r a q u e p o d e m o s q u e d a r n o s c o n l o s d o s p r i m e r o s t é r m i n o s
d e l s u m a t o r i o
ζ r (T θr) ≈ 1 + 3−2θr/T ( 1 0 3 )
A p a r t i r d e a q u í
C V (T θr) ≈ 12N kθrT
2
e−2θrT
( 1 0 4 )
d e m a n e r a q u e C V (T → 0) → 0 e x p o n e n c i a l m e n t e .
M o v i m i e n t o d e v i b r a c i ó n
E l e s t u d i o d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e a l a d e v i b r a c i ó n d e
u n a m o l é c u l a ζ v e s e n t é r a m e n t e a n á l o g o a l d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e
r o t a c i ó n ζ r .
H v =
H ( O s c i l a d o r e s a r m ó n i c o s s i m p l e s )
d o n d e c a d a u n a d e e s t a s o s c i l a c i o n e s e s u n m o d o n o r m a l d e v i b r a c i ó n
d e l s i s t e m a .
C a d a m o d o n o r m a l p o s e e u n a f r e c u e n c i a d e t e r m i n a d a .
M o l é c u l a l i n e a l d e
já t o m o s
3 j g r a d o s d e l i b e r t a d t o t a l
T r a s l a c i ó n
→3
R o t a c i ó n → 2
V i b r a c i ó n → 3 j − 5= n ú m e r o d e m o d o s n o r m a l e s
M o l é c u l a n o - l i n e a l d e j á t o m o s
3 j g r a d o s d e l i b e r t a d t o t a l
4 7
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T r a s l a c i ó n → 3
R o t a c i ó n → 3
V i b r a c i ó n → 3 j − 6= n ú m e r o d e m o d o s n o r m a l e s
P a r a v i b r a c i o n e s p e q u e ñ a s ( ú n i c o c a s o e n q u e e s v á l i d o e l r e s u l t a d o d e l a
M e c á n i c a C l á s i c a )
ζ v =
f rk=1
ζ vk ( 1 0 5 )
d o n d e
f r =
3 j − 5 p a r a m o l é c u l a s l i n e a l e s
3 j − 6 p a r a m o l é c u l a s n o l i n e a l e s
( 1 0 6 )
E n ( 1 0 5 ) c a d a ζ vk c o r r e s p o n d e a u n o s c i l a d o r a r m ó n i c o s i m p l e c o n u n a
c i e r t a f r e c u e n c i a a n g u l a r q u e r e p r e s e n t a r e m o s p o r ωk . E n e l c a s o d e u n o s -
c i l a d o r a r m ó n i c o s i m p l e u n i d i m e n s i o n a l , s a b e m o s q u e l o s n i v e l e s d e e n e r g í a
v i e n e n d a d o s p o r
εv,k = 12 + n hωk n = 0, 1, 2, . . . ( 1 0 7 )
y q u e e l e s p e c t r o , a d e m á s , e s n o d e g e n e r a d o , o s e a q u e a c a d a n i v e l d e
e n e r g í a d a d o p o r e s t a e x p r e s i ó n l e c o r r e s p o n d e u n ú n i c o e s t a d o e s t a c i o -
n a r i o , d e m a n e r a q u e e n e s t e c a s o l a s u m a s o b r e l o s e s t a d o s e s t a c i o n a r i o s
e q u i v a l e a s u m a r s o b r e l o s n i v e l e s e n e r g é t i c o s .
A c a d a f r e c u e n c i a l e v a m o s a a s o c i a r u n a t e m p e r a t u r a c a r a c t e r í s t i c a d e
v i b r a c i ó n θv,k d e n i d a c o m o
θv,k =ωk
k( 1 0 8 )
L a s t e m p e r a t u r a s c a r a c t e r í s t i c a s d e v i b r a c i ó n s o n m u y a l t a s , a l c o n t r a r i o
d e l o q u e s u c e d í a c o n l a s d e r o t a c i ó n . C o m o c o n s e c u e n c i a , e l l í m i t e c l á s i -
c o s ó l o s e a l c a n z a a t e m p e r a t u r a s m u y s u p e r i o r e s a l a s n o r m a l e s .
L a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n a s o c i a d a a u n m o d o n o r m a l
ζ vk p u e d e c a l c u l a r s e
f á c i l m e n t e , p u e s s u s t é r m i n o s c o n s i t u y e n u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a d e -
4 8
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c r e c i e n t e i n d e n i d a :
ζ vk = ∞n=0
exp−12
+ n ωkkT
= ∞n=0
exp −12
+ n θv,kT
= exp
−1
2
θv,kT
∞n=0
exp
−nθv,k
T
= exp
−1
2
θv,kT
1
1 − exp−nθv,k
T
( 1 0 9 )
E s t a e x p r e s i ó n p u e d e e s c r i b i r s e d e m o d o m á s c o m p a c t o s i i n t r o d u c i m o s e l
s e n o h i p e r b ó l i c o sinh = ex+e−x
2 e n c u y o c a s o t o m a l a f o r m a
ζ vk =1
2sinhθv,k2T ( 1 1 0 )
A p a r t i r d e ( 1 1 0 ) r e s u l t a s e n c i l l o e l c á l c u l o d e l o s v a l o r e s d e l a s m a g n i t u d e s
t e r m o d i n á m i c a s a s o c i a d o s c o n u n m o d o n o r m a l d e v i b r a c i ó n . T e n e m o s q u e
Z v = (ζ v)N
=
f vk=1
(ζ vk)N
=
f vk=1
Z vk ( 1 1 1 )
d o n d e
Z vk = (ζ vk)N
e s l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e l s i s t e m a t o t a l a s o c i a d a
c o n e l m o d o n o r m a l d e v i b r a c i ó n
k. S u s t i t u y e n d o ( 1 0 9 ) r e s u l t a
ln Z vk = −N
2
θv,kT
− N ln
1 − e−θv,k/T
( 1 1 2 )
y a p a r t i r d e e s t a e x p r e s i ó n s e o b t i e n e n l a s m a g n i t u d e s t e r m o n d i n á m i c a s
E v,k = −∂ ln Z vk∂β
= kT 2∂ ln Z vk
∂T ==
N
2kθv,k + N k
θv,keθv,k/T − 1
( 1 1 3 )
C V,v,k =∂E v,k
∂T = N k
θ2
v,k
T 2eθv,k/T
eθv,k/T − 1
2 ( 1 1 4 )
S v,k = k
ln Z vk + βE v,k
( 1 1 5 )
= −kN ln
1 − e−θv,k/T
+ N k
θv,k/T
eθv,k/T
−1
µv,k = −kT ∂ ln Z vk
∂N =
1
2kθv,k + kT ln(1 − e−θv,k/T ( 1 1 6 )
L a s m a g n i t u d e s t e r m o d i n á m i c a s a s o c i a d a s c o n e l m o v i m i e n t o d e v i b r a c i ó n
c o m p l e t o s e r á n l a s u m a d e l a s c o r r e s p o n d i e n t e s a c a d a u n o d e l o s m o d o s
n o r m a l e s .
4 9
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L a s g u r a s ( 1 ) y ( 2 ) r e p r e s e n t a n , r e s p e c t i v a m e n t e , l a e n e r g í a y l a c a p a -
c i d a d c a l o r í c a a s o c i a d a c o n u n m o d o n o r m a l d e v i b r a c i ó n e n f u n c i ó n d e
T /θv,k . C o m o e r a d e e s p e r a r , l o s v a l o r e s c l á s i c o s p r e d i c h o s p o r e l t e o r e m a
d e e q u i p a r t i c i ó n s e a l c a n z a n p a r a t e m p e r a t u r a s T θv,k . A t e m p e r a -
t u r a s T θv,k e l m o d o d e v i b r a c i ó n p e r m a n e c e e n e s t a d o f u n d a m e n t a l
y n o c o n t r i b u y e a l a c a p a c i d a d c a l o r í c a . L a e x p r e s i ó n d e l a c a p a c i d a d
c a l o r í c a ( 1 1 4 ) s e e s c r i b e a v e c e s e n l a f o r m a
3
C v,k = N kε
θv,k
T
( 1 1 7 )
d o n d e E (x) e s l a d e n o m i n a d a f u n c i ó n d e E i n s t e i n , d e n i d a c o m o
E (x) =x2ex
(ex − 1)2( 1 1 8 )
y c u y o s v a l o r e s s e e n c u e n t r a n t a b u l a d o s .
M o v i m i e n t o e l e c t r ó n i c o
E n l a m a y o r p a r t e d e l o s g a s e s , l a s e p a r a c i ó n e n t r e l o s n i v e l e s m á s b a j o s d e
e n e r g í a e s m u c h o m a y o r q u e kT p a r a t e m p e r a t u r a s o r d i n a r i a s , d e m a n e r a
q u e l o s e− p e r m a n c e n c a s i s i e m p r e e n e l e s t a d o f u n d a m e n t a l .
E n a l g u n o s c a s o s , c u a n d o l o s n i v e l e s e l e c t r ó n i c o s e s t á n a c c e s i b l e s , p u e -
d e h a b e r u n a c o n t r i b u c i ó n s i g n i c a t i v a d e l m o v i m i e n t o e l e c t r ó n i c o a l a s
p r o p i e d a d e s t e r m o d i n á m i c a s d e l g a s .
E n c u a l q u i e r c a s o , b a s t a c o n c o n s i d e r a r l o s d o s p r i m e r o s n i v e l e s d e e n e r g í a ,
e l f u n d a m e n t a l
e,0 c o n d e g e n e r a c i ó n
g0 y e l p r i m e r e s t a d o e x c i t a d o
e,1c o n d e g e n e r a c i ó n
g1 . E n e s t e c a s o
ζ e = g0e−e,0/kT + g1e−e,1/kT ( 1 1 9 )
q u e c o n v i e n e e s c r i b i r c o m o
ζ e = ζ eg0e−e,0/kT ( 1 2 0 )
d o n d e
ζ e = 1 +g1g0
e−∆/kT ( 1 2 1 )
3
H a y q u e j a r s e e n q u e , a d i f e r e n c i a d e l a s c o n t r i b u c i o n e s a l
C V , l a d e l o s m o d o s d e
v i b r a c i ó n c u e n t a n c o m o
Nk, y n o c o m o
Nk/2p o r g r a d o d e l i b e r t a d , l o q u e e s d e c i s i v o a l a
h o r a d e c a l c u l a r l a c o n t r i b u c i ó n n a l a l
C V d e u n a m o l é c u l a . L a e x p l i c a c i ó n d e q u e l o s g r a d o s
d e v i b r a c i ó n c u e n t e n e l d o b l e , p o r d e c i r l o d e a l g u n a m a n e r a , s e e n c u e n t r a e n l a W i k i p e d i a
( h t t p : / / e n . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / H e a t _ c a p a c i t y ) :
E a c h r o t a t i o n a l a n d t r a n s l a t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m w i l l c o n t r i b u t e R / 2 i n t h e
t o t a l m o l a r h e a t c a p a c i t y o f t h e g a s . E a c h v i b r a t i o n a l m o d e w i l l c o n t r i b u t e R t o
t h e t o t a l m o l a r h e a t c a p a c i t y , h o w e v e r . T h i s i s b e c a u s e f o r e a c h v i b r a t i o n a l m o d e ,
t h e r e i s a p o t e n t i a l a n d k i n e t i c e n e r g y c o m p o n e n t . [
. . .]
C V,m = C tV + C rV + C vV =3R
2+ R + R
5 0
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F i g u r a 1 : V a r i a c i ó n c o n l a t e m p e r a t u r a d e l a e n e r g í a a s o c i a d a c o n e l m o d o
n o r m a l d e v i b r a c i ó n .
F i g u r a 2 : V a r i a c i ó n c o n l a t e m p e r a t u r a d e l a c a p a c i d a d c a l o r í c a a s o c i a d a c o n
u n m o d o n o r m a l d e v i b r a c i ó n
5 1
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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c o n
∆ = e,1−
e,0 ( 1 2 2 )
L a v e n t a j a d e l a f o r m a ( 1 2 2 ) e s q u e e l f a c t o r g0 exp(−e,0/kT ) p u e d e
i n t r o d u c i r s e e n ζ t , c o n l o q u e e,0 j u e g a e l p a p e l d e u n a c o n s t a n t e a d i t i v a
e n l o s n i v e l e s d e e n e r g í a d e t r a s l a c i ó n ( y p u e d e h a c e r s e c e r o ) .
C o m b i n a n d o l a s f u n c i o n e s d e p a r t i c i ó n d e t r a s l a c i ó n y e l e c t r ó n i c a , t e n e m o s
ζ t = g0V
λ3(2πMkT )
3/2( 1 2 3 )
L a a p a r i c i ó n d e l f a c t o r g0 a f e c t a a l a e x p r e s i ó n d e l a e n t r o p í a y l o s p o -
t e n c i a l e s t e r m o d i n á m i c o s a s o c i a d o s , p e r o n o t i e n e n i n g u n a i n u e n c i a e n
l a e c u a c i ó n d e e s t a d o o e n l a c a p a c i d a d c a l o r í c a .
C o n e l c o n v e n i o u t i l i z a d o , l a c o n t r i b u c i ó n e l e c t r ó n i c a q u e d a l i m i t a d a a l
e f e c t o d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n ζ e .
L a ú n i c a m o l é c u l a d e i n t e r é s q u e p o s e e d e g e n e r a c i ó n e n e l n i v e l f u n d a m e n -
t a l e s l a d e l o x í g e n o , c o n
g0 = 3. D e b i d o a q u e ∆e s m u y g r a n d e , n o e s
n e c e s a r i o c o n s i d e r a r l a c o n t r i b u c i ó n d e
ζ ep a r a t e m p e r a t u r a s
< 1500 K .
G a s d é b i l m e n t e d e g e n e r a d o
C o n s i d e r a m o s u n g a s i d e a l m o n o a t ó m i c o , c o n f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n
ln Q = ±s
ln
1 ± e−(βs+α)
( 1 2 4 )
E n e l l í m i t e c l á s i c o
ln 1 ± e−(βs+α) ≈ ±e−
(βs+α)( 1 2 5 )
c o n l o q u e o b t u b i m o s , p a r a l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n
ln Q =s
e−(βs+α)( 1 2 6 )
H a s t a a h o r a , e n e l l í m i t e c l á s i c o , n o s b a s t a b a c o n q u e d a r n o s c o n e l p r i m e r
t é r m i n o d e l d e s a r r o l l o , v á l i d o p a r a x 1
ln(1 ± x) ≈ ±x − x2
2+ · · ·
P a r a e l c a s o d e l g a s d é b i l m e n t e d e g e n e r a d o , l o q u e h a c e m o s e s c o n s i -
d e r a r e l s i g u i e n t e t é r m i n o e n e l d e s a r r o l l o , d e m a n e r a q u e
ln Q =s
e−(βs+α) s
e−2(βs+α)
2=
=s
e−(βs+α) e−2(βs+α)
2
( 1 2 7 )
5 2
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Y a o b t u v i m o s e l r e s u l t a d o d e l a s u m a d e l p r i m e r t é r m i n o d e l s u m a t o r i o ,
ζ =s
e−βs = V λ3
λ = h√2πmkT
( 1 2 8 )
E l c á l c u l o d e
se−2(βs+α)
2 e s a n á l o g o , s o l o q u e e s t a v e z l l e g a m o s a l a
i n t e g r a l
ˆ ∞0
dnx exp
−2β
2π2
2m
nxLx
2
=Lx
2π(πmkT )
1/2
p o r l o q u e a l n a l s
e−2βs =V
λ3
1
23/2( 1 2 9 )
S u s t i t u y e n d o ( 1 2 8 ) y ( 1 2 9 ) e n ( 1 2 7 ) , r e s u l t a
ln Q =V
λ3
e−α e−2α
25/2
( 1 3 0 )
Y a p a r t i r d e a q u í
N = −∂ ln Q
∂α=
V
λ3
e−α e−2α
23/2
( 1 3 1 )
E = −∂ ln Q
∂β=
3
2kT
V
λ3
e−α e−2α
25/2
( 1 3 2 )
y a q u e
∂λ−3
∂β = −3λ−4 ∂λ
∂β = −3
2λ−4 λ
β = −3
2kT λ−3
.
A h o r a v a m o s a e l i m i n a r e−α ( = z , f u g a c i d a d ) d e l o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s .
S u p o n e m o s q u e e x i s t e u n d e s a r r o l l o d e e−α e n p o t e n c i a s d e l a d e n s i d a d
e−α = a1N
V + a2
N
V
2
+ · · · ( 1 3 3 )
S i i n t r o d u c i m o s ( 1 3 3 ) e n l a f ó r m u l a p a r a e l n ú m e r o m e d i o d e p a r t í c u l a s
d e l s i s t e m a ( 1 3 1 ) t e n e m o s
N
V =
1
λ3
a1N
V + a2
N
V
2
+ · · ·
1
23/2
a1
N
V + a2
N
V
2
+ · · ·2
( 1 3 4 )
I g u a l a n d o e n l o s d o s l a d o s l o s c o e c i e n t e s d e l a s p o t e n c i a s d e
N V r e s u l t a
a1 = λ3 a2 = ± 1
23/2λ6
( 1 3 5 )
5 3
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U n a v e z t e n e m o s l o s c o e c i e n t e s d e l d e s a r r o l l o d e e−α
e−α = λ3 N V 1 ± 1
23/2λ3 N
V
( 1 3 6 )
q u e s u s t i t u i d o e n l a e c u a c i ó n p a r a l a e n e r g í a m e d i a ( 1 3 2 )
E =3
2N kT
1 ± λ3
25/2N
V
( 1 3 7 )
A p a r t i r d e e s t e r e s u l t a d o s e o b t i e n e l a e c u a c i ó n d e e s t a d o
pV = N kT
1 ± λ3
25/2N
V
( 1 3 8 )
E n c u a n t o a l r e s t o d e l a s m a g n i t u d e s
C V =
∂E
∂T
V
=3
2N k
1 λ3
27/2N
V
( 1 3 9 )
m i e n t r a s q u e p a r a l a e n t r o p í a s e o b t i e n e
S = N k
5
2− ln
λ3N
V
± 2−7/2λ3 N
V
( 1 4 0 )
O b s e r v a m o s q u e t o d a s l a s c o r r e c c i o n e s s o n d e l o r d e n d e y = λ3N V
( p a r á m e t r o d e d e g e n e r a c i ó n ) , l o q u e n o s d i c e q u e l a s d e s v i a c i o n e s
c o n r e s p e c t o a l l í m i t e c l á s i c o s e r á n p e q u e ñ a s s i
λ3N V
1
q u e e s l a m i s m a c o n d i c i ó n q u e y a h a b í a m o s e n c o n t r a d o a n t e r i o r m e n t e .
8 . G a s e s d e F e r m i - D i r a c y B o s e - E i n s t e i n d e g e n e -
r a d o s
G a s d e F e r m i d e g e n e r a d o . G a s d e e l e c t r o n e s
E n e l a p a r t a d o a n t e r i o r v i m o s q u e a t e m p e r a t u r a s m u y b a j a s o d e n s i d a d e s
a l t a s , l a a p r o x i m a c i ó n c l á s i c a d e j a d e s e r v á l i d a .
A h o r a e s t u d i a r e m o s e l l í m i t e d e f u e r t e d e g e n e r a c i ó n . L a s p r o p i e d a d e s s o n
m u y d i s t i n t a s p a r a f e r m i o n e s y b o s o n e s . E n e l c a s o d e l o s f e r m i o n e s , n o s
c e n t r a m o s e n e l g a s d e e l e c t r o n e s y a q u e p a r a e s t e c a s o l a d e g e n e r a c i ó n
e s m u y i m p o r t a n t e i n c l u s o a t e m p e r a t u r a s o r d i n a r i a s .
E l g a s i d e a l d e e l e c t r o n e s s e r e e r e a l o s e l e c t r o n e s d e c o n d u c c i ó n d e u n
m e t a l y s i r v e p a r a e x p l i c a r l a s p r o p i e d a d e s t e r m o d i n á m i c a s d e l o s m e t a l e s .
5 4
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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E l n ú m e r o d e f e r m i o n e s e n u n e s t a d o v i e n e d a d o p o r
nr = 1e(βr+α) + 1 = 1eβ(r−µ) + 1( 1 4 1 )
E l n ú m e r o d e e s t a d o s d e t r a s l a c i ó n d e u n a p a r t í c u l a e n u n i n t e r v a l o d e
e n e r g í a v i e n e d a d o p o r
D ( p) dp =4πV
h3p2dp ( 1 4 2 )
P e r o e s t e n ú m e r o n o c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e e s t a d o s d e u n e l e c t r ó n e n
e l i n t e r v a l o d e e n e r g í a c o n s i d e r a d o , p o r q u e n o t i e n e e n c u e n t a e l e s t a d o d e
e s p í n d e l e l e c t r ó n . C o m o e s t a m o s c o n s i d e r a n d o u n s i s t e m a a i s l a d o , l a e n e r -
g í a d e l e l e c t r ó n s e r á i n d e p e n d i e n t e d e l a o r i e n t a c i ó n d e s u e s p í n . P a r a c a d a
e s t a d o d e t r a s l a c i ó n s o n p o s i b l e s d o s e s t a d o s d e e s p í n q u e c o r r e s p o n d e n a
l a m i s m a e n e r g í a .
A l n a l , e l n ú m e r o d e e s t a d o s e l e c t r ó n i c o s e n u n i n t e r v a l o d e e n e r g í a e s
D () d = 24πV
h3
2m31/2
1/2d( 1 4 3 )
S i c o n o c e m o s e l n ú m e r o d e e s t a d o s y e l n ú m e r o m e d i o d e e l e c t r o n e s e n
c a d a e s t a d o , p o d e m o s c a l c u l a r
f () d, e l n ú m e r o m e d i o d e e l e c t r o n e s e n
u n s i s t e m a d e v o l u m e n V c o n e n e r g í a e n t r e
y
+ d
f () d =8πV
h3
2m3
1/2 1/2
eβ(−µ) + 1d
( 1 4 4 )
C o n s i d e r a m o s c o n t í n u a p o r q u e l o s n i v e l e s e n e r g é t i c o s e s t á n m u y p r ó x i -
m o s .
A p a r t i r d e ( 1 4 4 ) p o d e m o s c a l c u l a r N y E p a r a e l s i s t e m a d e l g a s i d e a l
d e e l e c t r o n e s
N =
ˆ ∞0
df () =8πV
h3
2m31/2 ˆ ∞
0
d1/2
eβ(−µ) + 1( 1 4 5 )
5 5
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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E =
ˆ ∞0
d f () =8πV
h3 2m3
1/2
ˆ ∞0
d3/2
eβ(−µ) + 1( 1 4 6 )
N o s o t r o s s i e m p r e c o n s i d e r a m o s s i s t e m a s c e r r a d o s , d e m a n e r a q u e ( 1 4 5 )
n o s p e r m i t i r á d e n i r e l n i v e l d e F e r m i µ.
C á l c u l o d e l a e n e r g í a d e F e r m i
S i p a r t i c u l a r i z a m o s ( 1 4 5 ) y ( 1 4 6 ) p a r a T = 0K
N (T = 0) =8πV
h3
ˆ µ00
d 1/2 =16πV
3h3
2m3
1/2µ3/20 ( 1 4 7 )
E (T = 0) =8πV
h3
ˆ µ00
d 3/2 =16πV
3h3
2m31/2
µ5/20 ( 1 4 8 )
D e l a p r i m e r a d e e s t a s e c u a c i o n e s o b t e n e m o s l a e n e r g í a d e F e r m i µ0
µ0 =h2
8m
3N
πV
2/3
( 1 4 9 )
y c o m p a r á n d o l a s
E (T = 0K ) =3
5N µ0 ( 1 5 0 )
S i r e c o r d a m o s q u e pV = (2/3) E , t e n e m o s q u e , p a r a T = 0K
pV =2
3E =
2
5N µ0 ( 1 5 1 )
l o q u e , i n t r o d u c i d o e n ( 1 4 9 ) n o s d a
p (T = 0) =1
20
3
π
2/3h2
m
N
V
5/2
∝
N
V
5/2
( 1 5 2 )
L o s v a l o r e s t í p i c o s d e µ0 e s t á n e n t r e 1 y 1 0 e V .
C o m o µ0/k t i e n e d i m e n s i o n e s d e t e m p e r a t u r a , s e l a s u e l e l l a m a r t e m p e -
r a t u r a d e F e r m i T F .
T F =µ0
k( 1 5 3 )
I n t e r p r e t a c i ó n d e l a T e m p e r a t u r a d e F e r m i
T F P o r u n l a d o t e n e m o s q u e
E (T = 0)N
= 35
µ0
y p o r o t r o , a p a r t i r d e l p r i n c i p i o d e e q u i p a r t i c i ó n
E
N =
3
2kT
5 6
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p o r l o q u e t e n e m o s , i g u a l a n d o l a s d o s e x p r e s i o n e s
T = 25
µ0k
= 25
T F ( 1 5 4 )
E s d e c i r , q u e p a r a q u e u n g a s i d e a l c l á s i c o t u v i e r a l a m i s m a e n e r g í a
q u e u n g a s d e F e r m i a T = 0 K , d e b e r í a e n c o n t r a r s e a u n a t e m p e r a t u r a
d a d a p o r a l e c u a c i ó n ( 1 5 4 ) .
L a s e x p r e s i o n e s ( 1 4 9 ) , ( 1 5 0 ) y ( 1 5 2 ) s e h a n o b t e n i d o e n e l c e r o a b s o l u -
t o , p e r o r e p r e s e n t a n u n a a p r o x i m a c i ó n m u y b u e n a i n c l u s o a t e m p e r a t u r a
a m b i e n t e . P a r a T > 0K e l e r r o r c o m e t i d o s e r á
kT
µ0=
T
T F =
8mkT
h2
πV
3N
1 ( 1 5 5 )
E s t a c o n d i c i ó n e s l a i n v e r s a d e l a q u e h a b í a m o s e n c o n t r a d o a n t e r i o r m e n t e ,
y a q u e a h o r a e s v á l i d a p a r a nr → 1 ( f u e r t e d e g e n e r a c i ó n ) , m i e n t r a s q u e
e n e l c a s o a n t e r i o r nr 1 ( d e g e n e r a c i ó n d é b i l , l í m i t e c l á s i c o )
U n g a s r e a l d e e l e c t r o n e s a T T F p u e d e a p r o x i m a r s e m e j o r a u n m o d e l o
d e g a s p e r f e c t o c u a n t o m a y o r e s s u d e n s i d a d .
C a p a c i d a d c a l o r í c a d e l g a s d e e l e c t r o n e s
C V =
∂E
∂T
V
( 1 5 6 )
E n e l a p a r t a d o a n t e r i o r v i m o s q u e e l e r r o r r e l a t i v o c o m e t i d o a l u t i l i z a r
( 1 4 9 ) y ( 1 5 0 ) a
T = 0 K e r a d e s p r e c i a b l e s i
T /T F e s s u c i e n t e m e n t e p e -
q u e ñ o . C o n l a c a p a c i d a d c a l o r í c a , e l e r r o r n o e s d e s p r e c i a b l e (
C V =
0 32N k d e l c a s o c l á s i c o ) D e m a n e r a q u e t e n e m o s q u e p r e c i s a r m á s e n
e l c á l c u l o d e l a e n e r g í a m e d i a . V o l v i e n d o a l a d e n i c i ó n
C V =
∂E
∂T
V
=
ˆ ∞0
d ∂f ()
∂T
P e r o
∂f ()∂T t i e n e u n a f o r m a d e c a m p a n a m u y e s t r e c h a ( d e p o c o s kT d e
a n c h u r a ) p o r l o q u e s ó l o t e n e m o s q u e c o n s i d e r a r l o s e l e c t r o n e s q u e t i e n e n
e n e r g í a s p r ó x i m a s a µ0 .
E (T ) =
ˆ ∞0
dD () n () ( 1 5 7 )
d o n d e D ()
D () d = 8πV h3
2m3
1/21/2d ( 1 5 8 )
A p a r t i r d e a q u í
C V =
∂E
∂T
V
=
ˆ ∞0
dD ()∂n ()
∂T ( 1 5 9 )
5 7
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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P o r o t r o l a d o , l a c o n d i c i ó n d e n o r m a l i z a c i ó n s e v e r i c a ∀ T
ˆ ∞0
dD () n () = N ( 1 6 0 )
S i d e r i v a m o s l a c o n d i c i ó n d e n o r m a l i z a c i ó n c o n r e s p e c t o a T , t e n e m o s ˆ ∞0
dD ()∂n ()
∂T = 0 ( 1 6 1 )
M u l t i p l i c a m o s ( 1 6 1 ) p o r µ0 y l a r e s t a m o s d e ( 1 5 9 ) , c o n l o q u e t e n e m o s :
C V =
ˆ ∞0
d ( − µ0) D ()∂n ()
∂T ( 1 6 2 )
A h o r a v a m o s a c a l c u l a r , e n p r i m e r a a p r o x i m a c i ó n , ( 1 6 2 ) , s u p o n i e n d o q u e
e l s i s t e m a s e e n c u e n t r a a T T F . E m p e z a m o s a p a r t i r d e ( 1 4 1 ) y r e c o r -
d a n d o q u e e l p o t e n c i a l q u í m i c o d e p e n d e d e l a t e m p e r a t u r a µ = µ (T )
∂n ()
∂T =
− µ + T ∂µ∂T kT 2
=eβ( - µ)
eβ( -
µ) + 12 ( 1 6 3 )
S i a h o r a a d m i t i m o s q u e e x i s t e u n d e s a r r o l l o e n p o t e n c i a s d e T /T F r e s u l t a
q u e p o d e m o s c o n s i d e r a r µ =c o n s t e n p r i m e r a a p r o x i m a c i ó n ( l o q u e h a c e
q u e ∂µ/∂T = 0 ) , y a d e m á s c a m b i a r µ = µ0 e n ( 1 6 3 ) .
C u a n d o T T F , ( 1 6 3 ) e s m u y a g u d a a l r e d e d o r d e µ0 , d e m a n e r a q u e
p o d e m o s s u s t i t u i r D () p o r D (µ0) e n ( 1 6 2 ) . C o n e s t a s a p r o x i m a c i o n e s y
e f e c t u a n d o u n c a m b i o d e v a r i a b l e
x = β ( − µ) r e s u l t a
C V = k2T D (µ0)
ˆ ∞−βµ0
dx x2ex
(ex + 1)2 ( 1 6 4 )
E n e l l í m i t e q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o βµ0 = T /T F 1 , d e m a n e r a q u e
p o d e m o s e x t e n d e r l a i n t e g r a l e n ( 1 6 4 ) d e −∞ a +∞, y a q u e e l i n t e g r a n d o
s e h a c e c e r o r á p i d a m e n t e p a r a c u a n d o x → −∞.
L a d e t e r m i n a c i ó n d e C V s e r e d u c e a l c á l c u l o d e l a i n t e g r a l +
4
I =
ˆ +∞−∞
dxex
(ex + 1)2 x2 ( 1 6 5 )
4
E n e l l i b r o h a y u n e r r o r y s e h a n d e j a d o
x2e n l a i n t e g r a l . H e m o s c o m p r o b a d o e l r e s u l t a d o
u t i l i z a n d o W o l f r a m A l p h a :
5 8
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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q u e s e e n c u e n t r a t a b u l a d a y q u e v a l e I = π2
3 , d e m a n e r a q u e a l n a l , ( 1 6 4 )
v a l e
C V = π2
3k2T D (µ0)
E l v a l o r d e D (µ0) p u e d e e s c r i b i r s e a p a r t i r d e ( 1 4 3 ) y ( 1 4 7 ) c o m o
D (µ0) =8πV
h3
2m31/2
µ1/20 =
3
2
N
µ0( 1 6 6 )
c o n l o q u e , e n d e n i t i v a ,
C V =π2
2N k2T
1
µ0=
π2
2N k
T
T F ( 1 6 7 )
E l d e s a r r o l l o e n p o t e n c i a s d e
µr e s u l t a ( s i l o h u b i é r a m o s r e a l i z a d o c o n
r i g o r )
µ = µ0
1 − π2
12
T
T F
2
+ · · ·
( 1 6 8 )
E =3
5N µ0
1 +
π2
12
T
T F
2
+ · · ·
( 1 6 9 )
S i d e r i v a m o s ( 1 6 9 ) r e s p e c t o a
T o b t e n d r í a m o s ( 1 6 7 ) . T a m b i é n p o d e m o s
c a l c u l a r l a p r e s i ó n y l a e n t r o p í a c o m o
p =2
3
E
V =
2
5
N
V µ0
1 − 5π2
12
T
T F
2
+ · · ·
( 1 7 0 )
S = k
ln Q + βE − βN µ
= k
5
3βE − βN µ
=
=1
2π2N k
T
T F + · · · ( 1 7 1 )
G a s d e B o s e d e g e n e r a d o . C o n d e n s a c i ó n d e B o s e - E i n s t e i n
A d i f e r e n c i a d e l g a s d e F e r m i o n e s , e n e l g a s d e b o s o n e s n o e x i s t e n d e m a -
s i a d o s n i v e l e s d e e n e r g í a e x c i t a d o s o c u p a d o s a T → 0, d e m a n e r a q u e l o s
b o s o n e s t i e n d e n a a g r u p a r s e e n l o s n i v e l e s d e e n e r g í a m á s b a j o s .
nr =1
eβ(r−µ)−1( 1 7 2 )
P a r a u n s i s t e m a c o n
N p a r t í c u l a s s e c u m p l i r á
N =r
1
eβ(r−µ)−1( 1 7 3 )
P o r s e r u n s i s t e m a c e r r a d o , ( 1 7 3 ) d e t e r m i n a e l p o t e n c i a l q u í m i c o µ.
5 9
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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S u p o n e m o s q u e e l n i v e l d e m e n o r e n e r g í a e s r = 0 . A p a r t i r d e ( 1 7 2 )
s a b e m o s q u e
µ (T ) ≤ 0 ( 1 7 4 )
V a m o s a c o n s i d e r a r l a e x p r e s i ó n q u e s e o b t i e n e a p a r t i r d e ( 1 7 3 ) a l e x p l i -
c i t a r l a s u m a c o n r e s p e c t o a l o s e s t a d o s d e t r a s l a c i ó n .
N =
ˆ ∞0
d f () =
ˆ ∞0
dD () n () =
= g4πV
h3
2m31/2 ˆ ∞
0
d1/2
eβ(−µ) − 1( 1 7 5 )
d o n d e h e m o s i n t r o d u c i d o u n f a c t o r d e d e g e n e r a c i ó n g = 2s + 1 ( p a r a l o s
e l e c t r o n e s , s = 1/2 ⇒ g = 2 )
S i p a r a u n a d e n s i d a d d a d a d e l g a s
N/V d i s m i n u i m o s l a t e m p e r a t u r a (β
↑) ,
l a s d i f e r e n c i a s − µ t e n d r á n q u e d i s m i n u i r p a r a q u e l a i n t e g r a l e n ( 1 7 5 )
c o n s e r v e s u v a l o r . P e r o − µ = || + |µ|. C o m o a c a b a m o s d e v e r , c u a n d o
T ↓ , e l v a l o r a b s o l u t o d e µ ↓ (µ ≤ 0) . P e r o µ n o p u e d e s e r p o s i t i v o ; c o m o
m á x i m o µ = 0. E l v a l o r d e l a t e m p e r a t u r a T 0 a l a q u e s e a l c a n z a e s t e
l í m i t e v i e n e d a d o p o r l a i g u a l d a d β0 = 1/kT 0
N = g4πV
h3
2m3
1/2 ˆ ∞0
d1/2
eβ0 − 1=
= g4πV
h3
2m3
1/2β−3/2
ˆ ∞0
dzz1/2
ez − 1( 1 7 6 )
d o n d e h e m o s r e a l i z a d o e l c a m b i o d e v a r i a b l e z = β0 . L a i n t e g r a l e n ( 1 7 6 )
e s t á r e l a c i o n a d a c o n l a f u n c i ó n
ζ d e R i e m a n n y e s t á t a b u l a d a .
ζ
3
2
=
2√π
ˆ ∞0
dzz1/2
ez − 1≈ 2,61 ( 1 7 7 )
A s í , ( 1 7 6 ) p u e d e e s c r i b i r s e e n l a f o r m a :
N
V = g
4πV
h3
2m31/2
ζ
3
2
β−3/2 ( 1 7 8 )
y n o s p e r m i t e o b t e n e r l a T 0
T 0 =h2
2πmk N
gV ζ 322/3
= 3,312
km5/3
N m
gV 2/3
( 1 7 9 )
O t r a m a n e r a d e i n t e r p r e t a r e l r e s u l t a d o e s e l s i g u i e n t e ; s u p o n i e n d o q u e
m a n t e n e m o s j a l a t e m p e r a t u r a y q u e a u m e n t a m o s e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s
e n e l s i s t e m a . D e a c u e r d o c o n ( 1 7 5 ) s i
N ↑ e n t o n c e s exp(β ( − µ)) ↓(⇒ µ ↑). C o m o
µ ≤ 0 , c o m o m á x i m o p u e d e a u m e n t a r h a s t a q u e
µ = 0
6 0
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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( µ n o p u e d e s e r p o s i t i v o ) . E s d e c i r , e l n ú m e r o m á x i m o d e p a r t í c u l a s q u e
s e g ú n ( 1 7 5 ) p o d r í a t e n e r u n s i s t e m a d e b o s o n e s a t e m p e r a t u r a T s e r í a
N maxV
∝ β−3/2 ( 1 8 0 )
P e r o e s t o s i g n i c a r í a q u e , p o r e j e m p l o , c u a n d o
T → 0 ,
N max → 0 ⇒ N o
p o d r í a e x i s t i r u n g a s d e b o s o n e s a T = 0 .
E l p r o b l e m a e s q u e h e m o s i n t r o d u c i d o u n a f u n c i ó n d e n s i d a d ∝ 1/2 q u e
n o t i e n e e n c u e n t a e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s d e l e s t a d o = 0
lım→0
D () = 0
lım→0
f () = 0
P a r a f e r m i o n e s p o d e m o s d e s p r e c i a r e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s c o n t e n i d a s e n
e l e s t a d o f u n d a m e n t a l c o m p a r a d a s c o n e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s e n e s t a d o s
e x c i t a d o s , i n c l u s o p a r a T = 0 , p e r o e n e l c a s o d e b o s o n e s e l n ú m e r o d e p a r -
t í c u l a s e n e l e s t a d o f u n d a m e n t a l p u e d e s e r s i g n i c a t i v o ( n o e s t á l i m i t a d o
p o r e l p r i n c i p i o d e e x c l u s i ó n d e P a u l i ) . P a r a s o l u c i o n a r e s t e p r o b l e m a ,
c o n s i d e r a m o s
N = N 0 + N = g1
e−βµ − 1+
r(r=0)
1
eβ(r−µ) − 1( 1 8 1 )
E l s e g u n d o s u m a n d o d e ( 1 8 1 ) e s e l q u e p o d r á a p r o x i m a r s e p o r u n a i n t e g r a l
N = N 0 + N ( 1 8 2 )
E l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s e n e l n i v e l f u n d a m e n t a l v i e n e d a d o p o r
N 0 = g1
e−βµ − 1( 1 8 3 )
Y e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s e n e s t a d o s e x c i t a d o s N
N = g4πV
h3
2m31/2 ˆ ∞
0
d1/2
eβ(−µ) − 1( 1 8 4 )
E l e s t u d i o d e l a s p r o p i e d a d e s d e u n g a s d e B o s e d e g e n e r a d o p a r a t o d o e l
r a n g o d e t e m p e r a t u r a s e s m u y c o m p l i c a d o , p o r l o q u e n o s l i m i t a m o s a u n a
d e s c r i p c i ó n c u a l i t a t i v a :
1 . D e n s i d a d N/V y T T 0 , s i e n d o T 0 l a t e m p e r a t u r a d e n i d a e n ( 1 7 9 ) .
A p a r t i r d e ( 1 7 8 ) y ( 1 8 0 )
N maxN
=
T
T 0
3/2
1 ( 1 8 5 )
6 1
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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P a r a l a s t e m p e r a t u r a s q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o (T T 0) , N max N , e s d e c i r , p r á c t i c a m e n t e t o d a s l a s p a r t í c u l a s s e e n c u e n t r a n e n e s -
t a d o s e x c i t a d o s ⇒ |µ| 0
N 0 = g1
e−βµ − 1 1 ( 1 8 6 )
2 .
N/V e s c o n s t a n t e , p e r o a h o r a
T → T 0 . C u a n d o
T = T 0 t e n e m o s q u e
N max = N ( a u n q u e a h o r a
µ = 0 ) . E l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s e n e s t a d o s
e x c i t a d o s s e r á m e n o r q u e
N max.
3 . S i T < T 0 ⇒ N max ↓⇒ N 0 ↑. P a r a t e m p e r a t u r a s T < T 0
N 0 (T < T 0) = N − N ≈ N − N max ( 1 8 7 )
o u t i l i z a n d o ( 1 8 5 )
N 0 (T < T 0) = N
1 −
T
T 0
3/2( 1 8 8 )
A e s t a t e m p e r a t u r a µ ≈ 0 . A m e d i d a q u e T → 0 , m á s y m á s p a r -
t í c u l a s s e a g r u p a n e n e l n i v e l f u n d a m e n t a l . E s t e f e n ó m e n o s e l l a m a
c o n d e n s a c i ó n d e B o s e - E i n s t e i n y a T 0 s e l e l l a m a t e m p e r a t u r a d e
c o n d e n s a c i ó n .
P r o p i e d a d e s d e l g a s d e B o s e p a r a T < T 0
P a r a T < T 0 s a b e m o s q u e µ e s p e q u e ñ o . P o d e m o s a p r o x i m a r
E ≈ g4πV
h3 2m3
1/2
ˆ ∞0
d1/2
eβ
−1
( 1 8 9 )
d o n d e h e m o s t e n i d o e n c u e n t a q u e l a s N 0 p a r t í c u l a s e n e l e s t a d o f u n -
d a m e n t a l t i e n e n e n e r g í a n u l a . H a c i e n d o e l c a m b i o d e v a r i a b l e z = βo b t e n e m o s
E = g4πV
h3
2m31/2
β−5/2ˆ ∞0
dzz1/2
ez − 1( 1 9 0 )
E s t a i n t e g r a l e s t á r e l a c i o n a d a c o n l a f u n c i ó n ζ d e R i e m a n n
ζ
5
2
=
4
3√
π
ˆ ∞0
dzz3/2
ez − 1≈ 1,34 ( 1 9 1 )
D e m a n e r a q u e
E (T < T 0) = g 4πV h32m31/2 ζ 52
β−5/2 ( 1 9 2 )
S i r e c o r d a m o s l a d e n i c i ó n d e T 0
E (T < T 0) =3
2N k
T
T 0
3/2ζ (5/2)
ζ (3/2)≈ 0,770N kT ( 1 9 3 )
6 2
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Y p a r a l a c a p a c i d a d c a l o r í c a
C V (T < T 0) = ∂E ∂T
= 1,925N k T
T 0
3/2( 1 9 4 )
L a e c u a c i ó n d e e s t a d o s e o b t i e n e u t i l i z a n d o l a r e l a c i ó n g e n e r a l p a r a l o s
g a s e s i d e a l e s pV = 23
E
pV = 0,513N kT
T
T 0
3/2
( 1 9 5 )
S i
T → 0 ⇒ C V = 0 ( d e a c u e r d o c o n e l t e r c e r p r i n c i p i o d e l a t e r m o d i n á -
m i c a ) .
U t i l i z a n d o ( 1 9 2 ) e n v e z d e ( 1 9 3 ) o b t e n e m o s
p (T < T 0) = g 2π√πh3
2m3
1/2ζ 5
2
β−5/2 ( 1 9 6 )
A q u í v e m o s q u e p (T < T 0) e s p r á c t i c a m e n t e i n d e p e n d i e n t e d e l v o l u m e n .
E s t o e s l ó g i c o p o r q u e l a s p a r t í c u l a s e s t á n e n u n e s t a d o d e = 0 ( c o n
i m p u l s o p = 0 ) y n o c o n t r i b u y e n a l a p r e s i ó n .
9 . E s t u d i o e s t a d í s t i c o d e l m a g n e t i s m o
I n t r o d u c c i ó n
V o l v e m o s a e s t u d i a r e l m a g n e t i s m o , a u n q u e e s t a v e z d e s d e u n p u n t o d e
v i s t a c u á n t i c o . C o m p r o b a r e m o s q u e l o s r e s u l t a d o s c l á s i c o s s o n u n l í m i -
t e d e l o s r e s u l t a d o s c l á s i c o s . T a m b i é n a p a r e c e c e n d e m a n e r a n a t u r a l l a s
t e m p e r a t u r a s n e g a t i v a s .
M o d e l o d e s u s t a n c i a p a r a m a g n é t i c a
C o n s i d e r a m o s u n s i s t e m a c o m p u e s t o p o r N á t o m o s , m o l é c u l a s o i o n e s q u e
n o i n t e r a c c i o n a n e n t r e s í , d e n t r o d e u n c a m p o m a g n é t i c o . C a d a u n a d e l a s
p a r t í c u l a s t i e n e u n c i e r t o m o m e n t o a n g u l a r e l e c t r ó n i c o , y u n m o m e n t o
m a g n é t i c o a s o c i a d o a é l . E l m o m e n t o a n g u l a r ( y p o r t a n t o e l m o m e n t o
m a g n é t i c o ) p u e d e n p r o v e n i r d e l m o m e n t o o r b i t a l d e l o s e l e c t r o n e s , d e s u
e s p í n o d e u n a c o m b i n a c i ó n d e a m b o s .
L = M o m e n t o a n g u l a r o r b i t a l
S = M o m e n t o a n g u l a r d e e s p í n
J = L + S
J e s t a m b i é n u n m o m e n t o a n g u l a r , d e p r o p i e d a d e s :
1 . L o s v a l o r e s p r o p i o s d e
J s o n d e l a f o r m a
2 j ( j + 1) .
jp u e d e s e r
e n t e r o o s e m i e n t e r o . S i
J = L ⇒ j = l d e b e s e r e n t e r o .
6 3
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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a ) L a e s p e c i c a c i ó n d e l e s t a d o c u á n t i c o r e q u i e r e , a d e m á s d e
J , c o -
n o c e r
J z ( r e p r e s e n t a d o p o r
m) . P a r a u n v a l o r d a d o d e
j,
mp u e d e
v a l e r d e s d e −mh a s t a +m
( 2 j + 1 v a l o r e s ) .
b ) E n t r e e l m o m e n t o m a g n é t i c o µ y e l a n g u l a r
J e x i s t e l a r e l a c i ó n
µ = ge
2me
J ( 1 9 7 )
d o n d e g e s e l f a c t o r d e L a n d é
g =3
2+
s (s + 1) − l (l + 1)
2 j ( j + 1)( 1 9 8 )
S u p o n e m o s q u e e s t a m o s e n c o n d i c i o n e s d e l a a p r o x i m a c i ó n d e M a x w e l l -
B o l t z m a n n , d e m a n e r a q u e
e s p o s i b l e i d e n t i c a r l a s p a r t í c u l a s .
Z = ζN
N ! d o n d e ζ e s l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e u n a p a r t í c u l a .
P a r a c a l c u l a r ζ n e c e s i t a m o s c o n o c e r
ζ =r
e−βr ( 1 9 9 )
C o n o c e r l o s e s t a d o s d e u n a p a r t í c u l a i m p l i c a c o n o c e r e l m o v i m i e n t o d e
t r a s l a c i ó n , r o t a c i ó n y v i b r a c i ó n d e l a p a r t í c u l a , a d e m á s d e l m o v i m i e n t o
o r b i t a l d e l o s e l e c t r o n e s y l a o r i e n t a c i ó n d e
J r e s p e c t o a u n e j e ( p a r a l e l o
a l o r i e n t a c i ó n d e l c a m p o e x t e r n o a p l i c a d o ) .
E l m o v i m i e n t o c i n é t i c o y s u o r i e n t a c i ó n r e s p e c t o a l c a m p o m a g n é t i c o s e
c a r a c t e r i z a p o r l o s v a l o r e s p r o p i o s d e
J 2
y
J z( e s d e c i r , m e d i a n t e l o s n ú -
m e r o s c u á n t i c o s j y m )
R e p r e s e n t a r e m o s p o r n e l c o n j u n t o d e l r e s t o d e e s t a d o s c u á n t i c o s ( r o t a -
c i ó n , t r a s l a c i ó n y v i b r a c i ó n ) y l o s s u p o n d r e m o s i n d e p e n d i e n t e s d e j y m .
A s í , l a e n e r g í a d e u n a p a r t í c u l a e n u n e s t a d o d e n i d o s e r á :
njm = n + j + m ( 2 0 0 )
d o n d e n,j,m c o r r e s p o n d e n a l a e n e r g í a a s o c i a d a a l m o v i m i e n t o d e t r a s l a -
c i ó n , r o t a c i ó n y v i b r a c i ó n (n) , l a e n e r g í a a s o c i a d a a l m o v i m i e n t o o r b i t a l
d e l o s e l e c t r o n e s ( q u e d e p e n d e ú n i c a m e n t e d e j ) (j) y l a e n e r g í a m a g n é -
t i c a , q u e a p a r e c e d e b i d a a l a p r e s e n c i a d e u n c a m p o m a g n é t i c o e x t e r n o y
q u e s ó l o d e p e n d e d e m (m) .
ζ =n,j,m
e−β(n+j+m) =n
e−βnj
e−βj+j
m=−je−βm ( 2 0 1 )
P e r o e l p r o b l e m a e s q u e
j y
m n o s o n i n d e p e n d i e n t e s . S i n e m b a r g o ,
j+1−j kT a t e m p e r a t u r a s o r d i n a r i a s , d e m a n e r a q u e s i d e s a r r o l l a m o s
6 4
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l a s u m a q u e a p a r e c e e n ( 2 0 1 ) a t e m p e r a t u r a s n o m u y a l t a s , s ó l o c o n t r i b u y e
e l s u m a n d o c o r r e s p o n d i e n t e a l p r i m e r v a l o r d e j ( q u e c o r r e s p o n d e a l e s t a d o
e l e c t r ó n i c o f u n d a m e n t a l ) . C o n e s t a a p r o x i m a c i ó n :
ζ = ζ nmζ m ( 2 0 2 )
d o n d e
ζ nm = e−βjn
e−βn ( 2 0 3 )
e s l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n n o m a g n é t i c a , m i e n t a s q u e
ζ m =
+jm=−j
e−βm( 2 0 4 )
L a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e l s i s t e m a
Z = Z nmZ m ( 2 0 5 )
Z nm =ζ N nmN !
( 2 0 6 )
Z m = ζ N m ( 2 0 7 )
L a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n ( 2 0 7 ) p u e d e e n t e n d e r s e c o m o l a f u n c i ó n d e p a r t i -
c i ó n d e u n m o d e l o t e ó r i c o c o n s i s t e n t e e n u n c o n j u n t o d e e s p i n e s d e v a l o r
j , l o c a l i z a d o s y s i n i n t e r a c c i ó n e n t r e s í .
N o s c o n c e n t r a m o s e n c a l c u l a r e l v a l o r d e m . L a e n e r g í a p o t e n c i a l d e u n
d i p o l o d e m o m e n t o m a g n é t i c o µ e n u n c a m p o m a g n é t i c o
H v i e n e d a d a
p o r
m = −µ0µ· H ( 2 0 8 )
d o n d e µ0 e s l a p e r m e a b i l i d a d m a g n é t i c a d e l v a c í o .
S u s t i t u y e n d o ( 1 9 7 ) e n e s t a e x p r e s i ó n
m = −µ0ge
2me
J · H = −µ0ge
2meJ zH = −µ0g
e
2memH ( 2 0 9 )
d o n d e h e m o s t o m a d o e l e j e z e n l a d i r e c c i ó n d e l c a m p o
H y h e m o s t e n i d o
e n c u e n t a q u e l o s p o s i b l e s v a l o r e s d e J z e n u n e s t a d o e s t a c i o n a r i o v a l e n
m.
L a e x p r e s i ó n ( 2 0 9 ) s u e l e a b r e v i a r s e c o m o
m = −gµ0µBmH ( 2 1 0 )
d o n d e
µB =e
2me= 9,274 × 10−24JT −1
( 2 1 1 )
6 5
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C á l c u l o d e l a i m a n a c i ó n
m =
jj
−e−mx ( 2 1 2 )
d o n d e p a r a a b r a v i a r ,
x = βµ0µBH = gµ0µBH
kT ( 2 1 3 )
L o s s u m a n d o s d e ( 2 1 2 ) c o n s t i t u y e n l o s t é r m i n o s d e u n a p r o g r e s i ó n g e o -
m é t r i c a d e r a z ó n ex , c o n l o q u e t e n e m o s :
ζ m =ejxex − ejx
ex
−1
=e(j+ 1
2 )x − e−(j+ 12 )x
e12x
−e−
12x
=
=sinh
12 + j
x
sinh
12
x
( 2 1 4 )
L a c o m p o n e n t e
µz d e l m o m e n t o m a g n é t i c o e n l a d i r e c c i ó n d e l c a m p o s e r á
µz = ge
2mem = gµBm ( 2 1 5 )
y p o r t a n t o s u v a l o r m e d i o s e r á :
µz =e−βj
n
+jm=−j gµBme−βne−βm
e−βj
n+jm=−j e−βne−βm
=
c o m o l o s v a l o r e s d e n s o n i n d e p e n d i e n t e s d e m
. . . =
+jm=−j gµBme−βne−βm+j
m=−j e−βne−βm=
=1
ζ m
+jm=−j
gµBm exp(βµ0µBmH ) =
=1
µ0β
∂ ln ζ m
∂H
β
( 2 1 6 )
A p a r t i r d e e s t e r e s u l t a d o s e o b t i e n e p a r a l a i m a n a c i ó n o m o m e n t o m a g -
n é t i c o p o r u n i d a d d e v o l u m e n
M
M =N
V µz =
N
µ0V β
∂ ln ζ m
∂H
β
=1
µ0V β
∂ ln ζ N m
∂H
β
=
=1
µ0V β
∂ ln Z m
∂H
β
( 2 1 7 )
6 6
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L a e c u a c i ó n a n t e r i o r ( 2 1 7 ) e s e q u i v a l e n t e a
M = 1µ0V β
∂ ln Z ∂H
β
( 2 1 8 )
y a q u e
Z nm = Z nm (H ). S i s u s t i t u i m o s e n ( 2 1 6 ) e l v a l o r d e
ζ m o b t e n i d o
e n ( 2 1 4 ) s e o b t i e n e
µz =1
µ0β
d ln ζ mdx
∂x
∂H
β
= gµBd ln ζ m
dx= gµB jBj (x) ( 2 1 9 )
d o n d e
Bj (x) =1
j
j +
1
2
coth
j +
1
2
x
− 1
2coth
1
2x
( 2 2 0 )
e s l a f u n c i ó n d e B r i l l o u i n .
A l n a l ,
M =N
V µz =
N
V gµB jBj (x) ( 2 2 1 )
E n p r e s e n c i a d e u n c a m p o m a g n é t i c o l o s d i p o l o s t i e n d e n a o r i e n t a r s e c o n
e l c a m p o , p e r o e s t a t e n d e n c i a e s c o n t r a r r e s t a d a p o r l a a g i t a c i ó n t é r m i c a .
H = 0 ⇒ M = 0 O r i e n t a c i ó n a l e a t o r i a d e l o s d i p o l o s
H ↑↑ ⇒ M max I m a n a c i ó n d e s a t u r a c i ó n
L a s i t u a c i ó n e s s i m é t r i c a p a r a H < 0
C a s o s l í m i t e s
1 . H ↑↑ y T ↓↓⇒ x 1
lımy→∞ coth y = lım
y→∞ey + e−y
ey − e−y= 1
l o q u e h a c e q u e
lımx→∞
Bj (x) =1
j
j +
1
2
− 1
2
= 1 ( 2 2 2 )
y p o r t a n t o
M =N
V
gµB j ( 2 2 3 )
E n e s t e l í m i t e t e n e m o s s a t u r a c i ó n : t o d o s l o s d i p o l o s e s t á n p a r a -
l e l o s a l c a m p o .
6 7
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2 . H ↓↓ y T ↑↑⇒ x 1 E n e s t e c a s o
coth y =
1 + y + y22 + · · · 1 − y + y2
2 + · · ·1 + y + y2
2 + y3
6 + · · ·
−
1 − y + y2
2 − y3
6 + · · · =
=1 + y2
3 + · · ·y + y3
6 + · · · =
1 +
y2
2+ · · ·
1
y
1
y + y2
6 + · · · =
=
1 +
y2
2+ · · ·
1
y
1 − y2
6+ · · ·
=
=1
y
1 +
y2
3+ · · ·
d e m a n e r a q u e p o d e m o s u s a r l a a p r o x i m a c i ó n
coth y ≈ 1
y+
y
3( 2 2 4 )
c o n l o q u e l a f u n c i ó n d e B r i l l o u i n s e s i m p l i c a
Bj (x 1) ≈ j + 1
3x
( 2 2 5 )
S u s t i t u y e n d o e s t e v a l o r e n ( 2 2 1 ) r e s u l t a p a r a l a i m a n a c i ó n
M ≈ N
V
g2µ2B j ( j + 1)
3kT µ0H
( 2 2 6 )
D e e s t e m o d o h e m o s e n c o n t r a d o d e n u e v o l a l e y d e C u r i e
M = C H
T ( 2 2 7 )
p e r o a h o r a s a b e m o s q u e
C =ng2µ2
Bµ0 j ( j + 1)
3K ( 2 2 8 )
3 . A h o r a e x a m i n a m o s l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s r e s p e c t o a l v a l o r d e l
n ú m e r o c u á n t i c o j . T o m a m o s e l l í m i t e j → ∞ p e r o m a n t e n i e n d o
µ = const. A p a r t i r d e ( 1 9 7 )
µ2 = g2e2
4m2e
j ( j + 1) 2 ( 2 2 9 )
H a c e r
j → ∞ ( c o n
µ =c o n s t ) e s e q u i v a l e n t e a → 0 ( c o n
j =c o n s t . ) . E n e s t e l í m i t e
x = βgµ0µBH = βµ0ge
2meH → 0 ( 2 3 0 )
6 8
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p o r l o q u e p o d e m o s u t i l i z a r l a a p r o x i m a c i ó n ( 2 2 4 ) p a r a coth(x/2).
S u s t i t u y e n d o e n ( 2 2 0 ) , c o n j
→0
Bj (x) ≈ coth( jx) − 1
2 j
2
x= coth (βµ0µH ) − 1
βµ0µH ( 2 3 1 )
S i r e c o r d a m o s l a d e n i c i ó n d e l a f u n c i ó n d e L a n g e v i n L (α) c o n
α = βµµ0H , l a i m a n a c i ó n v i e n e d a d a p o r
M =N
V µL (α)
e s d e c i r , v o l v e m o s a o b t e n e r e l r e s u l t a d o c l á s i c o . E s t o e s l ó g i c o s i
p e n s a m o s q u e s i j → ∞, t o d a s l a s o r i e n t a c i o n e s e s t á n p e r m i t i d a s ,
d e m a n e r a q u e e s t a m o s e n e l l í m i t e c l á s i c o ( s i n c u a n t i z a c i ó n ) .
T e m p e r a t u r a s a b s o l u t a s n e g a t i v a s
C o n s i d e r a m o s u n s i s t e m a c o n s ó l o d o s n i v e l e s m a g n é t i c o s , j = 1/2 y r e -
p r e s e n t a m o s l a e n e r g í a d e l o s n i v e l e s p o r + y − .
L a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n m a g n é t i c a s e r á
Z m =
eβ + e−βN
= (2cosh (β))N
( 2 3 2 )
E m = −N tanh(β) ( 2 3 3 )
y l a e n t r o p í a m a g n é t i c a
S m = k
ln Z m + βE m
= N k [ln(2cosh(β)) − β tanh(β)] ( 2 3 4 )
S u p o n e m o s q u e e l s i s t e m a n o t i e n e m á s g r a d o s d e l i b e r t a d , d e m a n e r a q u e
S m e s l a e n t r o p í a t o t a l d e l s i s t e m a . E n t o n c e s
1
T =
∂S m
∂E m
H
( 2 3 5 )
6 9
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V e m o s q u e a p a r e c e n d e m a n e r a n a t u r a l l a s t e m p e r a t u r a s a b s o l u t a s
n e g a t i v a s y q u e c o r r e s p o n d e n a e n e r g í a s m a y o r e s q u e l a s t e m p e r a t u r a s
p o s i t i v a s .
β =∂ l n Ω (E )
∂E ( 2 3 6 )
C r e í a m o s q u e T > 0 p o r q u e e l n ú m e r o d e e s t a d o s a c c e s i b l e s Ω (E ) e r a
s i e m p r e u n a f u n c i ó n c r e c i e n t e c o n l a e n e r g í a . I m p l í c i t a m e n t e e s t á b a m s o
s u p o n i e n d o q u e l o s n i v e l e s e n e r g é t i c o s n o e s t á n a c o t a d o s s u p e r i o r m e n t e .
F e r r o m a g n e t i s m o
C i e r t a s s u s t a n c i a s p r e s e n t a n u n a t e m p e r a t u r a T C , d e n o m i n a d a t e m p e r a -
t u r a d e C u r i e d e m a n e r a q u e M = 0 . E n e s e p u n t o s e c u m p l e q u e
∂H ∂M
β
= 0 ∂ 2
H ∂ 2M
2β
= 0 ( 2 3 7 )
A d e m á s , p a r a
T < T C s e o b s e r v a
M = 0 i n c l u s o c u a n d o
H = 0.
L a s s u s t a n c i a s m a g n é t i c a s q u e p r e s e n t a n e s t e c o m p o r t a m i e n t o s e d e n o m i -
n a n f e r r o m a g n é t i c a s y e l p u n t o d e n i d o p o r ( 2 3 7 ) s e d e n o m i n a p u n t o
c r í t i c o d e l a t r a n s i c i ó n d e p a r a m a g n é t i c o a f e r r o m a g n é t i c o .
E n l a d e s c r i p c i ó n m i c r o s c ó p i c a n o a p a r e c í a n i n g ú n c o m p o r t a m i e n t o f e -
r r o m a g n é t i c o . E s t o e s l ó g i c o p o r q u e n o c o n s i d e r a m o s i n t e r a c c i o n e s , y e l
f e r r o m a g n e t i s m o s e d e b e a f u e r t e s i n t e r a c c i o n e s m ú t u a s q u e e x i s t e n e n -
t r e l o s d i p o l o s d e l s i s t e m a . S i q u e r e m o s e s t u d i a r l a s p r o p i e d a d e s d e l o s
s i s t e m a s f e r r o m a g n é t i c o s , d e b e m o s i n c o r p o r a r l a s i n t e r a c c i o n e s e n e l s i s -
t e m a . P e r o e s t o i n t r o d u c e e n o r m e s d i c u l t a d e s m a t e m á t i c a s q u e l o h a c e n
i n s o l u b l e .
T e o r í a d e W e i s s
E l c o n j u n t o d e d i p o l o s m a g n é t i c o s c r e a u n c a m p o m a g n é t i c o .
E s t e c a m p o m a g n é t i c o i n t e r a c c i o n a c o n e l c a m p o a p l i c a d o q u e m a -
n e r a q u e
H efect = H ext + H int H int = 0 P a r a m a g n e t i s m o
E s t e c a m p o i n t e r n o e s d i f í c i l d e c a l c u l a r i n c l u s o a n i v e l c o n c e p t u a l .
E l c a m p o e x t e r n o p r o d u c e c i e r t a p o l a r i z a c i ó n e n l o s d i p o l o s , l o q u e
c r e a u n c a m p o a d i c i o n a l . E s t e c a m p o p r o d u c e , a s u v e z , u n m o m e n t o
d e p o l a r i z a c i ó n , l o q u e p r o v o c a u n a u m e n t o d e c a m p o a d i c i o n a l . E s t e
p r o c e s o n o c o n t i n u a i n d e n i d a m e n t e p o r q u e l a a g i t a c i ó n t é r m i c a s e
o p o n e a l p r o c e s o d e o r d e n a c i ó n d e l o s d i p o l o s .
7 0
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L a h i p ó t e s i s f u n d a m e n t a l d e W e i s s f u e s u p o n e r q u e
H int e s p r o p o r -
c i o n a l a l a i m a n a c i ó n , d e m a n e r a q u e e l c a m p o e f e c t i v o s o b r e c a d a
d i p o l o e s
H efect = H + λM ( 2 3 8 )
d o n d e λ e s u n a c o n s t a n t e f e n o m e n o l ó g i c a d e n o m i n a d a p a r á m e t r o
d e c a m p o m o l e c u l a r .
A d m i t i m o s q u e
H int e s e l ú n i c o e f e c t o d e l a i n t e r a c c i ó n d e l a s p a r t í -
c u l a s , d e m a n e r a q u e t o d o e l d e s a r r o l l o a n t e r i o r s i g u e s i e n d o v á l i d o ,
c a m b i a n d o H p o r H efect . E n p a r t i c u l a r , l a i m a n a c i ó n
M =N
V µz =
N
V gµB jBj
βgµ0µB
H + λM
( 2 3 9 )
A c o n t i n u a c i ó n n o s c o n c e n t r a m o s e n c ó m o r e s o l v e r e s t a e c u a c i ó n i m -
p l í c i t a p a r a l a i m a n a c i ó n
M . E m p e z a m o s c o n s i d e r a n d o u n c a s o e s -
p e c i a l , c u a n d o
H = 0 .
M 0M ∗
= Bj
N
V βµ0 (µBg)
2 jλM 0M ∗
( 2 4 0 )
d o n d e
M ∗ =N
V gµB j ( 2 4 1 )
P a r a r e s o l v e r e s t a e c u a c i ó n r e c u r r i m o s a u n m é t o d o g r á c o . R e p r e -
s e n t a m o s
y1 = M 0M ∗ y
y2 = Bj
N V βµ0 (µBg)
2 jλ M 0M ∗
. C o m o
Bj (0) = 0
y
M 0M ∗ = 0 p a r a M ∗ = 0 , s i e m p r e t e n e m o s c o m o m í n i m o u n a s o l u c i ó n .
N o s p r e g u n t a m o s s i e x i s t e o t r a s o l u c i ó n p a r a
λ
= 0.
7 1
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F i g u r a 3 : G r á c o d e l a i m a n a c i ó n e s p o n t á n e a p a r a T < T C
E s d e c i r , q u e r e m o s s a b e r c u á n d o t e n e m o s e l c a s o a y c u á n d o e l c a s o
b . T e n d r e m o s e l c a s o b s i l a p e n d i e n t e d e
y2 e n e l o r i g e n e s m a y o r
q u e l a p e n d i e n t e d e
y1 ( q u e e s l a u n i d a d ) d
dM 0M ∗
Bj (ζ )
M 0/M ∗=0
> 1 ( 2 4 2 )
d e d o n d e
ζ =N
V βµ0 (µBg)
2 jλM 0M ∗
T e n i e n d o e n c u e n t a l a f o r m a d e Bj p a r a v a l o r e s p e q u e ñ o s d e l a r g u -
m e n t o ( o b t e n i d a e n ( 2 2 5 ) ) , l a c o n d i c i ó n ( 2 4 2 ) s e c o n v i e r t e e n
j + 13N V βµ0 (µBg)2 jλ > 1
o l o q u e e s e l e q u i v a l e n t e d e
T < T C c o n
T C =λµ0 (µBg)
2
3kj ( j + 1)
N
V ( 2 4 3 )
V e m o s q u e e x i s t e u n a t e m p e r a t u r a T C p o r d e b a j o d e l a c u a l s o n
p o s i b l e s s o l u c i o n e s M 0 = 0 ( c o n H = 0 )
L a t e o r í a d e W e i s s , p e s e a s u s i m p l i c i d a d , a p o r t a b u e n o s r e s u l t a d o s
a u n q u e n o e x p l i c a p o r q u é a l g u n a s s u s t a n c i a s s o n f e r r o m a g n é t i c a s y
o t r a s n o .
I m a n a c i ó n c e r c a d e l p u n t o c r í t i c o
S i a s u m i m o s q u e e l f e r r o m a g n e t i s m o e s t á a s o c i a d o a l e s p í n d e l o s
e l e c t r o n e s , e n e s t e c a s o t e n e m o s j = s = 12 ⇒ g = 2
B1/2 (x) = 2 coth(x) − cothx
2
= tanh
x
2
( 2 4 4 )
7 2
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E n e s t e c a s o ,
M = M ∗ tanhβgµ
0µB
2H + λM ( 2 4 5 )
d o n d e h e m o s u t i l i z a d o e l v a l o r d e s a t u r a c i ó n ( 2 4 1 ) . T e n i e n d o e n c u e n -
t a l a t e m p e r a t u r a c r í t i c a a h o r a e s
T C =2gµ0µBM ∗
2k( 2 4 6 )
y d e n i e n d o
σ =M
M ∗T =
T
T C ( 2 4 7 )
n o s q u e d a
σ = tanh
β
gµ0µB2
H +σ
T ( 2 4 8 )
P a r a o b t e n e r l a c u r v a d e l a i m a n a c i ó n e s p o n t á n e a e n f u n c i ó n d e l a
t e m p e r a t u r a p a r a
T < T C , p o n e m o s
H = 0 e n ( 2 4 8 ) , d e m a n e r a q u e
σ = tanh σ
T
⇒ T =
σ
ln1+σ1−σ
( 2 4 9 )
q u e n o s d a u n a f o r m a a n a l í t i c a p a r a l a g u r a ( 3 ) .
C e r c a d e T C , t e n e m o s u e σ 1 , d e m a n e r a q u e p o d e m o s d e s a r r o l l a r
e l l o g a r i t m o
T =T
T C ≈ 1 − σ2
3+ · · · ( 2 5 0 )
d e m a n e r a q u e
σ ≈ T C −
T
T C 1/2
( 2 5 1 )
L a e c u a c i ó n ( 2 5 1 ) n o s d a l a f o r m a e n l a q u e l a i m a n a c i ó n s e a c e r c a a
c e r o c u a n d o T → T C ( p o r d e b a j o ) .
E n e l c a s o g e n e r a l , c u a n d o H = 0, v a m o s a c a l c u l a r l a s u s c e p t i b i l i d a d m a n -
g é t i c a χ =∂M ∂H
T
, e s d e c i r , l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a a u n c a m p o m a g n é t i -
c o P a r a r e s o l v e r l o l o e x a c t i t u d d e b e r í a m o s s o l u c i o n a r ( 2 3 9 ) . P e r o n o s o t r o s
n o s v a m o s a q u e d a r c o n e l l í m i t e d e c a m p o s d é b i l e s y d e T > T C , l o q u e
p e r m i t e o b t e n e r u n a e x p r e s i ó n e x p l í c i t a .
M =N
V βµ0 (µBg)
2 j ( j + 1)
3
H + λM
( 2 5 2 )
M =C
T H +T cT M ( 2 5 3 )
d o n d e h e m o s u t i l i z a d o l a d e n i c i ó n d e l a t e m p e r a t u r a d e C u r i e T C e i n -
t r o d u c i d o l a c o n s t a n t e d e C u r i e . D e s p e j a n d o
M =C
T − T C H
( 2 5 4 )
7 3
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E s t a e s l a e x p r e s i ó n c o n o c i d a c o m o l e y d e C u r i e - W e i s s p a r a l a i m a n a c i ó n
d e u n a s u s t a n c i a m a g n é t i c a c e r c a d e s u p u n t o d e C u r i e .
L a s u s c e p t i b i l i d a d e n e s t a s c i r c u n s t a n c i a s v i e n e d a d a p o r
χ =C
T − T C ( 2 5 5 )
A s í , χ → ∞ s i T → T C , l o q u e c o i n c i d e c o n l o s r e s u l t a d o s e x p e r i m e n t a l e s .
1 0 . R a d i a c i ó n e l e c t r o m a g n é t i c a y s ó l i d o s
I n t r o d u c c i ó n
E n e s t e c a p í t u l o v a m o s a e s t u d i a r l a r a d i a c i ó n e l e c t r o m a g n é t i c a y l o s s ó -
l i d o s , q u e a u n q u e n o l o p a r e z c a , t i e n e n m u c h a s c o s a s e n c o m ú n :
l a b a s e d e l p r o b l e m a e s u n m o v i m i e n t o o n d u l a t o r i o .
l a d e s c r i p c i ó n c u á n t i c a p u e d e h a c e r s e e n t é r m i n o s d e l o s c i l a d o r a r -
m ó n i c o . L a s u m a s o b r e e s t a d o s p u e d e a p r o x i m a r s e p o r u n a i n t e g r a l
u t i l i z a n d o u n a d e n s i d a d d e e s t a d o s m u y p a r e c i d a e n a m b o s c a s o s .
l a d e s c r i p c i ó n d e l e s t a d o d e l s i s t e m a p u e d e r e a l i z a r s e e n t é r m i n o s
d e l f o t ó n / f o n ó n . E n a m b o s c a s o s s e o b e d e c e l a e s t a d í s t i c a d e B o s e -
E i n s t e i n c o n
µ = 0 .
R a d i a c i ó n e l e c t r o m a g n é t i c a y f o t o n e s
S e c o n o c e c o m o r a d i a c i ó n u n a f o r m a d e p r o p a g a c i ó n d e l a e n e r g i a q u e n o
r e q u i e r e l a p r e s e n c i a d e u n m e d i o m a t e r i a l .
C a d a p r o c e s o d e r a d i a c i ó n p u e d e c a r a c t e r i z a r s e p o r s u l o n g i t u d d e o n d a
λ o p o r s u f r e c u e n c i a e q u i v a l e n t e ν
ν =c
λ( 2 5 6 )
ω = 2πν ( 2 5 7 )
E l p r i m e r i n t e n t o d e e x p l i c a r l a s p r o p i e d a d e s d e l a r a d i a c i ó n f u e d e b i -
d o a R a i l e i g h y J e a n s , c o n s i d e r a n d o l a r a d i a c i ó n c o n t e n i d a e n u n r e c i n t o
e n e q u i l i b r i o a t e m p e r a t u r a T c o m o u n a s u p e r p o s i c i ó n d e o n d a s e l e c t r o -
m a g n é t i c a s p l a n a s ( u t i l i z a n d o M e c á n i c a E s t a d í s t i c a c l á s i c a ) . O b t u v i e r o n
u n a d e n s i d a d e s p e c t r a l d e e n e r g í a ( e s d e c i r , l a e n e r g í a m e d i a a s o c i a d a c o n
o n d a s e l e c t r o m a g n é t i c a s c o n f r e c u e n c i a e n t r e ω y ω + dω
E (ω) dω = V
kT
π2c3 ω2
dω( 2 5 8 )
E s t a e x p r e s i ó n d a b u e n o s r e s u l t a d o s p a r a ω p e q u e ñ o s , p e r o f a l l a p a r a ωg r a n d e s y a q u e l a e n e r g í a t o t a l c o n t e n i d a e n e l r e c i n t o s e r í a
E =
ˆ ∞0
dωE (ω) → ∞ ( 2 5 9 )
7 4
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L a r a í z d e l p r o b l e m a e s q u e l a m e c á n i c a c l á s i c a e s t a d í s t i c a n o p u e d e d a r
s o l u c i ó n a l p r o b l e m a y h a y q u e a b o r d a r l o d e s d e u n p u n t o d e v i s t a c u á n t i c o .
U t i l i z a n d o l a d u a l i d a d o n d a - c o r p ú s c u l o
= hν = ω ( 2 6 0 )
p =hκ
2π= κ ( 2 6 1 )
|κ| =2π
λ=
ω
c( 2 6 2 )
L a s p a r t í c u l a s a s o c i a d a s a l a r a d i a c i ó n e l e c t r o m a g n é t i c a s e l l a m a n f o t o n e s
y t i e n e n m a s a e n r e p o s o n u l a .
| p| =
c( 2 6 3 )
m = | p|c
= hν c2
= c2
( 2 6 4 )
C o n s i d e r a m o s u n r e c i p i e n t e e n e q u i l i b r i o a t e m p e r a t u r a
T c o m o u n c o n -
j u n t o d e f o t o n e s . L a s o n d a s e l e c t r o m a g n é t i c a s o n p e r p e n d i c u l a r e s ( l a o s -
c i l a c i ó n s e p r o d u c e n e n e l p l a n o p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n d e p r o p a g a -
c i ó n ) . N o s p o d e m o s l i m i t a r a d e s c r i b i r e l c a m p o e l é c t r i c o p o r q u e e l c a m p o
m a g n é t i c o e s p e r p e n d i c u l a r y f u n c i ó n d e l c a m p o e l é c t r i c o e n c a d a p u n t o .
E (r, t) = E 0ei(κr−ωt) ( 2 6 5 )
L a e s p e c i c a c i ó n d e l a o n d a p l a n a e x i g e l a e s p e c i c a c i ó n d e
E 0 y
κ( y a
q u e ω y κ e s t á n r e l a c i o n a d a s ) . S i u t i l i z a m o s q u e s o n o n d a s t r a n s v e r s a l e s ,
e n t o n c e s
E 0
⊥κ . P o d e m o s e l e g i r d o s v e c t o r e s u n i t a r i o s e1 y e2 e n e l p l a n o
p e r p e n d i c u l a r a κ d e m a n e r a q u e
E (r, t) = E 01e1ei(κr−ωt) + E 02e2ei(κr−ωt)( 2 6 6 )
D e m a n e r a q u e u n a v e z j a d a
κ, s ó l o s o n p o s i b l e s d o s d i r e c c i o n e s d e p o -
l a r i z a c i ó n d e
E .
E n u n d e s c r i p c i ó n c o r p u s c u l a r , a c a d a o n d a i n d e p e n d i e n t e s e l e a s o c i a u n
e s t a d o d e f o t ó n i n d e p e n d i e n t e . L a a m p l i t u d d e o n d a m i d e e l n ú m e r o d e f o -
t o n e s q u e s e e n c u e n t r a n e n e l e s t a d o a s o c i a d o . P a r a e s p e c i c a r c a d a u n o d e
l o s e s t a d o s i n d e p e n d i e n t e s d e u n f o t ó n n e c e s i t a m o s e s p e c i c a r s u c a n t i d a d
d e m o v i m i e n t o p ( q u e s e o b t i e n e a p a r t i r d e κ ) y s u e s t a d o d e p o l a r i z a c i ó n
( s ó l o h a y d o s p o s i b l e s ) . E s d e c i r , a c a d a v a l o r d e p l e c o r r e s p o n d e n d o s
e s t a d o s i n d e p e n d i e n t e s d e f o t ó n .
P r o p i e d a d e s d e l f o t ó n
S o n p a r t í c u l a s c u á n t i c a m e n t e i n d i s t i n g u i b l e s .
L a s a m p l i t u d e s c o n l a s q u e a p a r e c e n l a s o n d a s p l a n a s e n u n a
s u p e r p o s i c i ó n s o n a r b i t r a r i a s → p u e d e n s e r t a n g r a n d e s c o m o
q u i e r a n ⇒ l o s f o t o n e s d e b e n s e r b o s o n e s .
7 5
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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L a s o n d a s s o n a b s o r b i d a s y e m i t i d a s ⇒ i n c l u s o e n u n s i s t e m a
c e r r a d o , e l n ú m e r o d e f o t o n e s n o s e r á c o n s t a n t e .
L o s f o t o n e s n o i n t e r a c c i o n a n e n t r e s í , d e m a n e r a q u e s e c o m p o r -
t a n f o r m a n d o u n g a s i d e a l .
U n g a s d e f o t o n e s s e c o m p o r t a c o m o u n g a s i d e a l d e B o s e .
D i s t r i b u c i ó n d e P l a n c k
L a r a d i a c i ó n e l e c t r o m a g n é t i c a c o n t e n i d a e n u n r e c i n t o d e v o l u m e n V c u y a s
p a r e d e s s e m a n t i e n e n a t e m p e r a t u r a T p u e d e t r a t a r s e c o m o u n s i s t e m a
t e r m o d i n á m i c o e n e q u i l i b r i o ( g a s d e f o t o n e s ) . S i n e m b a r g o , h a y m u c h a s
d i f e r e n c i a s c o n u n g a s m o l e c u l a r .
E n u n g a s m o l e c u l a r l a s v e l o c i d a d e s d e l a s p a r t í c u l a s v i e n e n d a d a s
p o r l a d i s t r i b u c i ó n d e M a x w e l l - B o l t z m a n n . E n e l c a s o d e u n g a s d e
f o t o n e s , t o d o s l o s f o t o n e s t i e n e n l a m i s m a v e l o c i d a d
c. L o q u e c a -
r a c t e r i z a r á e l e q u i l i b r i o e n u n g a s d e f o t o n e s s e r á l a d i s t r i b u c i ó n d e
f r e c u e n c i a s ω .
E n e l g a s m o l e c u l a r s a b í a m o s q u e h a b í a i n t e r a c c i ó n e n t r e l a s p a r t í -
c u l a s , d e s p r e c i a b l e a u n q u e i m p o r t a n t e p a r a a l c a n z a r e l e q u i l i b r i o . E n
u n g a s d e f o t o n e s n o h a y n i n g u n a i n t e r a c c i ó n e n t r e l o s f o t o n e s .
E l n ú m e r o d e f o t o n e s e n e l i n t e r i o r d e l r e c i p i e n t e v a r í a a t r a v é s d e u n
p r o c e s o q u e o c u r r e e n e l i n t e r i o r d e l r e c i p i e n t e ( e m i s i ó n y a b s o r c i ó n
p o r l a s p a r e d e s ) y n o c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a i n t e r a c c i ó n c o n o t r o
s i s t e m a ( u n f o c o t é r m i c o d e p a r t í c u l a s , p o r e j e m p l o ) ⇒ e l n ú m e r o d e
p a r t í c u l a s e n e l s i s t e m a n o e s u n a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e ( s e r á
u n a f u n c i ó n d e l a s c o n d i c i o n e s e x t e r n a s : t e m p e r a t u r a y v o l u m e n ) .
E n e q u i l i b r i o
(dF )T,V = 0 = −Sdt − pdV ( 2 6 7 )
S i v a r i a m o s e l n ú m e r o d e p a r t í c u l a s m a n t e n i e n d o l a s i t u a c i ó n d e e q u i l i b r i o
(dF )T,V =
∂F
∂N
T,V
dN = 0 ⇒
∂F
∂N
= 0 = µ
( 2 6 8 )
p o r l o q u e v e m o s q u e
µ = 0 ( 2 6 9 )
L a e n e r g í a d e u n f o t ó n e n u n e s t a d o r e s
r
= hν r
= ωr
( 2 7 0 )
d e m a n e r a q u e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n
ln QF = −r
ln
1 − e−βωr
( 2 7 1 )
7 6
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nr =1
eβωr
−1
( 2 7 2 )
L a e x p r e s i ó n a n t e r i o r e s l a d i s t r i b u c i ó n d e P l a n c k .
E s t u d i a n d o e l n ú m e r o d e o n d a s p l a n a s c o n t e n i d a s e n u n a c a j a o b t e n e m o s
D (κ, α) dκ = 4πκ2dκD (κ, α) =V
2π2κ2dκ ( 2 7 3 )
S i i n t r o d u c i m o s l a f r e c u e n c i a a n g u l a r e i n t r o d u c i m o s u n f a c t o r 2 p a r a t e n e r
e n c u e n t a l a s d o s p o s i b l e s d i r e c c i o n e s d e l a p o l a r i z a c i ó n t e n e m o s
D (ω) dω =V
π2
ω2dω
c3( 2 7 4 )
A p a r t i r d e l a d i s t r i b u c i ó n d e P l a n c k ( 2 7 2 ) y d e ( 2 7 4 ) o b t e n e m o s e l n ú m e r o
m e d i o d e f o t o n e s e n e l i n t e r v a l o d e f r e c u e n c i a s c o n s i d e r a d o :
f (ω) dω = n (ω) D (ω) dω =V
π2c3ω2
eβω − 1dω ( 2 7 5 )
Y e n c o n s e c u e n c i a , l a d i s t r i b u c i ó n e s p e c t r a l d e e n e r g í a r e s u l t a
E (ω) dω =V
π2c3ω3
eβω − 1dω ( 2 7 6 )
A h o r a e s t u d i a r e m o s e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a d i s t r i b u c i ó n d e P l a n c k p a r a
a l g u n o s c a s o s l í m i t e
1 . F r e c u e n c i a s b a j a s
ω
kT 1 ( 2 7 7 )
E n e s t e c a s o ,
eβω ≈ 1 +ω
kT
d e m a n e r a q u e
E (ω) dω ≈ V
π2c3kT ω2dω ( B a j a s f r e c u e n c i a s ) ( 2 7 8 )
q u e c o i n c i d e c o n l a f ó r m u l a d e R e l e i g h - J e a n s .
2 . L í m i t e d e f r e c u e n c i a s a l t a s
ω
kT 1( 2 7 9 )
E n e s t e c a s o p o d e m o s d e s p r e c i a r l a u n i d a d f r e n t e a l a e x p o n e n c i a l
eω/kT − 1 ≈ eω/kT
7 7
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d e m a n e r a q u e
E (ω) dω ≈ V π2c3
ω3e− ωkT dω ( A l t a s f r e c u e n c i a s ) ( 2 8 0 )
V e m o s q u e p a r a a l t a s f r e c u e n c i a s h a y u n d e c r e c i m i e n t o e x p o n e n c i a l ,
p o r l o q u e c o i n c i d e c o n l o s r e s u l t a d o s e x p e r i m e n t a l e s . L a e x p r e s i ó n
( 2 8 0 ) s e s u e l e l l a m a r f ó r m u a l d e W i e n .
V o l v i e n d o a l a e x p r e s i ó n g e n e r a l ( 2 7 6 ) , a u n a t e m p e r a t u r a d a d a , l a d e n s i -
d a d e s p e c t r a l d e e n e r g í a e s p r o p o r c i o n a l a l a f u n c i ó n
η3
eη − 1
d o n d e η = ω/kT .
L a d e n s i d a d e s p e c t r a l p r e s e n t a u n m á x i m o e n η = 2,82
ω
kT = 2,82 ( 2 8 1 )
P e r o s i e l m á x i m o ω1 s e p r e s e n t a a T 1 , p a r a T 2 e l m á x i m o s e d a r á p a r a
o t r a f r e c u e n c i a ω2
ω1
kT 1 =ω2
kT 2 ⇒ω1
T 1 =ω2
T 2( 2 8 2 )
L a e x p r e s i ó n ( 2 8 2 ) e s l a l e y d e d e s p l a z a m i e n t o d e W i e n o e l c o r r i -
m i e n t o a l a z u l .
7 8
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P r o p i e d a d e s t e r m o d i n á m i c a s d e l c u e r p o n e g r o .
A h o r a v a m o s a c a l c u l a r l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n g n e r a l i z a d a ( 2 7 1 ) p a r a l o
q u e c a m b i a m o s
r → ´
dω ( s o b r e t o d a s l a s f r e c u e n c i a s p o s i b l e s )
ln QF = − V
π2c3
ˆ ∞0
dω ω2 ln
1 − e−βω
=
= − V
π2c3
kT
3 ˆ ∞0
dη η2 ln
1 − e−η
( 2 8 3 )
I n t e g r a m o s p o r p a r t e s p a r a e l i m i n a r e l l o g a r i t m o
ˆ ∞0
dη η2 ln
1 − e−η
=
η3
3ln
1 − e−η
∞
0
− 1
3
ˆ ∞0
dηη3
eη − 1
L a i n t e g r a l e s t á t a b u l a d a y v a l e
ˆ ∞0
dηη3
eη − 1=
π4
15( 2 8 4 )
A l n a l , l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n :
ln QF =π2V
45c33(kT )
3=
π2V
45c331
β3( 2 8 5 )
U n a v e z h e m o s o b t e n i d o l a s f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n , o b t e n e m o s l a s p r o p i e -
d a d e s t e r m o d i n á m i c a s d e m a n e r a h a b i t u a l
E =
−∂ ln QF
∂β V =1
15
π2V
c3
3
1
β4
=1
15
π2V
c3
3(kT )
4
q u e s u e l e e s c r i b i r s e c o m o
E =4σV
cT 4 ( L e y d e S t e f a n - B o l t z m a n n ) ( 2 8 6 )
d o n d e s e h a i n t r o d u c i d o l a c o n s t a n t e
σ =π2k4
603c3
E n c u a n t o a l a e n t r o p í a , l a e c u a c i ó n d e e s t a d o y l a c a p a c i d a d c a l o r í c a
S = k ln QF + βE =
16
3
σ
c V T
3
=
4
3
E
T ( 2 8 7 )
pV = kT ln QF =4
3
σ
cV T 4 =
1
3E
( 2 8 8 )
C V =
∂E
∂T
V
= 16σ
cV T 3 = 3S
( 2 8 9 )
7 9
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P o r ú l t i m o v a m o s a c a l c u l a r e l n ú m e r o d e f o t o n e s q u e e x i s t e n e n e l e q u i -
l i b r i o
N =r
nr →ˆ ∞0
dωf (ω) ( 2 9 0 )
S u s t i t u y e n d o l a e x p r e s i ó n ( 2 7 5 ) d e f (ω) t e n e m o s
N =V
π2c3
ˆ ∞0
ω2
eωkT − 1
dω =V
π2c3
kT
3 ˆ ∞0
η2
eη − 1dη ( 2 9 1 )
L a i n t e g r a l p u e d e c a l c u l a r s e n u m é r i c a m e n t e
ˆ ∞0
dηη2
eη − 1≈ 2,404 ( 2 9 2 )
d e m a n e r a q u e a l n a l t e n e m o s
N ≈ 2,404
π2c3V
kT
3
≈ 0,244
c3V
kT
3
( 2 9 3 )
S i T ↑⇒ N V ↑ . S i T ↓⇒ N
V ↓ . E n e l l í m i t e T → 0 v e m o s q u e
N V → 0 , d e
m a n e r a q u e n o h a y c o n d e s a n c i ó n d e B o s e - E i n s t e i n p a r a l o s f o t o n e s .
E s t u d i o d e l a r a d i a c i ó n e m i t i d a p o r u n c u e r p o
A n t e s d e i n i c i a r e l e s t u d i o e n s í m i s m o , r e a l i z a m o s u n a s c u a n t a s d e n i c i o -
n e s :
E m i s i v i d a d
e (κ, α)
e (κ, α) dωdΩ= p o t e n c i a e m i t i d a p o r u n i d a d d e á r e a d e l c u e r p o c o n
u n a p o l a r i z a c i ó n
αc o n f r e c u e n c i a e n
(ω, ω + dω)e n u n a d i r e c c i ó n
d e n t r o d e l á n g u l o s ó l i d o dΩ a l r e d e d o r d e l a d i r e c c i ó n κ.
M a g n i t u d e s r e l a c i o n a d a s c o n l a e m i s i v i d a d
P o d e r e m i s i v o e s p e c t r a l p o l a r i z a d o
e (ω, α) =ˆ
dΩe (κ, α) ( 2 9 4 )
P o d e r e m i s i t v o t o t a l p o l a r i z a d o
e (α) =
ˆ dωe (ω, α) ( 2 9 5 )
8 0
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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P o d e r e m i s i v o e s p e c t r a l ( s i n p o l a r i z a r )
e (ω) = 2e (ω, α)( 2 9 6 )
P o d e r e m i s i v o t o t a l ( s i n p o l a r i z a r )
e =
ˆ dωe (ω) = 2e (α) ( 2 9 7 )
E l f a c t o r 2 e n l a s d o s ú l t i m a s d e n i c i o n e s p r o v i e n e d e l a s d o s
d i r e c c i o n e s i n d e p e n d i e n t e s d e p o l a r i z a c i ó n .
A h o r a c o n s i d e r a m o s l a a c t u a c i ó n d e u n c u e r p o c o m o r e c e p t o r d e r a d i a c i ó n .
I n t e n s i d a d d e r a d i a c i ó n i n c i d e n t e
i (κ, α)
i (κ, α) dωdΩ= p o t e n c i a q u e i n c i d e s o b r e l a u n i d a d d e á r e a d e u n c u e r -
p o c o n u n a p o l a r i z a c i ó n
α, f r e c u e n c i a e n (ω, ω + dω) y u n a d i r e c c i ó n
d e n t r o d e l á n g u l o s ó l i d o
dΩa l r e d e d o r d e l a d i r e c c i ó n
κ.
D e m a n e r a a n á l o g a a l o q u e h e m o s h e c h o c o n l a e m i s i v i d a d p o d r e m o s
d e n i r :
i n t e n s i d a d e s p e c t r a l p o l a r i z a d a i (ω, α)
i n t e n s i d a d t o t a l p o l a r i z a d a i (α)
i n t e n s i d a d e s p e c t r a l ( s i n p o l a r i z a r )
i (ω)
i n t e n s i d a d t o t a l ( s i n p o l a r i z a r )
i
T o d a s e s t a s m a g n i t u d e s n o d e p e n d e n d e l c u e r p o , s i n o d e l a r a d i a c i ó n
q u e e x i s t e e n s u e x t e r i o r .
P o d e r a b s o r b e n t e o c o e c i e n t e d e a b s o r c i ó n
a (κ, α)
E s e l c o c i e n t e e n t r e l a i n t e n s i d a d d e l a r a d i c a c i ó n q u e e s a b s o r b i d a
p o r e l c u e r p o y l a q u e i n c i d e s o b r e é l . E n l a r a d i a c i ó n a b s o r b i d a n o
s e i n c l u y e l a r a d i a c i ó n q u e a t r a v i e s a e l c u e r p o , e n c a s o d e q u e e x i s t a .
A p a r t i r d e a (κ, α) p u e d e n t a m b i é n d e n i r s e a (ω, α) , a (α) , a (ω) y
a.
P r i n c i p i o d e b a l a n c e d e t a l l a d o
E n e q u i l i b r i o , l a s p o t e n c i a s a b s o r b i d a s y e m i t i d a s p o r u n c u e r p o d e b e n
s e r i g u a l e s p a r a c u a l q u i e r e l e m e n t o d e á r e a , p a r a c u a l q u i e r d i r e c c i ó n
d e i n c i d e n c i a , p a r a c u a l q u i e r d i r e c c i ó n d e p o l a r i z a c i ó n y p a r a c u a l -
q u i e r f r e c u e n c i a .
M a t e m á t i c a m e n t e :
e (−κ, α) = a (κ, α) i (κ, α) ( 2 9 8 )
o l o q u e e s e q u i v a l e n t e
i (κ, α) =e (−κ, α)
a (κ, α)( 2 9 9 )
H e m o s t e n i d o e n c u e n t a q u e , p a r a u n a d i r e c c i ó n d a d a , l a e n e r g í a
r a d i a d a y l a a b s o r b i d a c o r r e s p o n d e n a s e n t i d o s o p u e s t o s d e p r o p a g a -
c i ó n , o s e a , v e c t o r e s d e o n d a d e s i g n o s c o n t r a r i o s .
8 1
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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i (κ, α) n o d e p e n d e d e l a n a t u r a l e z a d e l c u e r p o , s i n o ú n i c a m e n t e d e s u
t e m p e r a t u r a , q u e e s l a m i s m a q u e e x i s t e e n e l r e c i n t o q u e l o r o d e a
⇒e l
s e g u n d o m i e m b r o d e ( 2 9 9 ) t a m b i é n t e n d r á l a m i s m a p r o p i e d a d : u n b u e n
e m i s o r s e r á t a m b i é n u n b u e n a b s o r b e n t e ( y v i c e v e r s a ) . E s t a p r o p i e d a d s e
l l a m a L e y d e K i r c h o .
C u e r p o n e g r o
S e d i c e q u e u n c u e r p o e s n e g r o c u a n d o a b s o r b e t o d a l a r a d i a c i ó n
q u e i n c i d e s o b r e é l .
a (κ, α) = 1 ∀κ, α (C u e r p o n e g r o ) ( 3 0 0 )
L e y e s d e L a m b e r t y d e S t e f a n - B o l t z m a n n
C o n s i d e r a m o s u n c u e r p o r a d i a n t e e n e q u i l i b r i o a l a t e m p e r a t u r a
T c o n e l
g a s d e f o t o n e s q u e l o r o d e a . V a m o s a c a l c u l a r l a i n t e n s i d a d d e l a r a d i a c i ó n
q u e i n c i d e s o b r e é l .
E l n ú m e r o m e d i o d e f o t o n e s p o r u n i d a d d e v o l u m e n c o n p o l a r i z a c i ó n α y
v e c t o r d e o n d a κ e n κ, κ + dκ p u e d e e s c r i b i r s e c o m o :
f (κ, α)d3κ
V = D (κ, α) n (ω)
d3κ
V ( 3 0 1 )
d o n d e
D (κ, α) v i e n e d a d a p o r
D (κ, α) d3κ = ∆nx∆ny∆nz =
=
Lxdκx
2π
Lydκy
2π
Lzdκz
2π
=
=V
(2π)3 d3κ ( 3 0 2 )
S i a h o r a c o n s i d e r a m o s l a u n i d a d d e á r e a d e l c u e r p o , e l m i s m o r a z o n a m i e n -
t o d e s i e m p r e n o s d i c e q u e c o n t r a e l l a c h o c a , p o r u n i d a d d e t i e m p o , u n
n ú m e r o d e f o t o n e s d e e s t a c l a s e d a d o p o r
c cos θf (κ, α)d3κ
V ( 3 0 3 )
Y c o m o c a d a f o t ó n l l e v a u n a e n e r g í a ω , o b t e n e m o s
i (κ, α) dωdΩ = ωc cos θf (κ, α)d3κ
V ( 3 0 4 )
P a s a n d o a c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s
d3κ = |κ|2 d |κ| dΩ =ω2
c3dωdΩ
s u s t i t u y e n d o e n ( 3 0 4 )
i (κ, α) =ω3
V c2f (κ, α)cos θ
( 3 0 5 )
8 2
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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A p a r t i r d e e s t a e x p r e s i ó n y u t i l i z a n d o e l p r i n c i p i o d e b a l a n c e d e t a l l a d o
p o d e m o s e s c r i b i r l a e m i s i v i d a d
e (κ, α) = a (−κ, α)ω3
V c2f (κ, α)cos θ ( 3 0 6 )
C o m o
f (κ, α) s ó l o d e p e n d e d e l m ó d u l o d e
κ,
f (−κ, α) = f (κ, α).
S i s u p o n e m o s q u e e l c u e r p o a b s o r b e d e m a n e r a i s ó t r o p a ( e s d e c i r , q u e l a
a b s o r c i ó n n o d e p e n d e d e l a d i r e c c i ó n d e l a r a d i a c i ó n i n c i d e n t e , a (κ, α) =a (α) o b t e n e m o s l a L e y d e L a m b e r t .
L e y d e L a m b e r t
L a p o t e n c i a e m i t i d a p o r u n i d a d d e á r e a e n u n a d i r e c c i ó n y
c o n u n a f r e c u e n c i a y p o l a r i z a c i ó n d a d a s e s p r o p o r c i o n a l a l
c o s e n o d e l á n g u l o f o r m a d o p o r e s a d i r e c c i ó n y l a n o r m a l a
l a s u p e r c i e e n e l p u n t o c o n s i d e r a d o .
D i c h o d e o t r o m o d o , s i | κ1| = | κ2| = ωc , e n t o n c e s
e (κ1, α)
e (κ2, α)=
cos θ1cos θ2
L e y d e L a m b e r t ( 3 0 7 )
A h o r a c o n s i d e r a m o s q u e e l c o e c i e n t e d e a b s o r c i ó n e s t a m b i é n i n -
d e p e n d i e n t e d e l a p o l a r i z a c i ó n
a (κ, α) = a (ω). E n e s t a s i t u a c i ó n
p o d e m o s i n t e g r a r ( 3 0 6 )
e (ω) = 2
ˆ dΩe (κ, α) = a (ω)
2ω3
V c2f (κ, α) 2π
ˆ π/20
dθ cos θ sin θ =
= a (ω) 2πV
ω3
c2f (κ, α) ( 3 0 8 )
d o n d e h e m o s v u e l t o a u t i l i z a r l a i n d e p e n d e n c i a d e f (κ, α) c o n l a
d i r e c c i ó n ( a u n q u e m a n t e n e m o s κ e n l a n o t a c i ó n p a r a e v i t a r c o n f u s i o -
n e s ) .
S i e x p l i c i t a m o s e n ( 3 0 8 ) f (κ, α)
f (κ, α) =V
(2π)3
1
eβω − 1( 3 0 9 )
o b t e n e m o s
e (ω) = a (ω)
4π2
c2
ω3
eβω
− 1
( 3 1 0 )
L a e x p r e s i ó n ( 3 1 0 ) d e t e r m i n a e l p o d e r e m i s i v o d e u n c u e r p o .
S i a (ω) = 1 ( c u e r p o n e g r o ) , o b t e n e m o s l a L e y d e P l a n c k p a r a l a
d i s t r i b u c i ó n e s p e c t r a l d e u n c u e r p o n e g r o .
8 3
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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C o m p a r a n d o ( 3 1 0 ) y ( 2 7 5 ) ( e l n ú m e r o d e f o t o n e s e n u n i n t e r v a l o d e
f r e c u e n c i a s f (ω) dω ) r e s u l t a q u e :
e (ω) = a (ω)1
4
f (ω)
V cω ( 3 1 1 )
i (ω) =1
4
f (ω)
V cω ( 3 1 2 )
F i n a l m e n t e , v a m o s a c a l c u l a r e l p o d e r e m i s i v o t o t a l d e u n c u e r p o .
P a r a e l l o b a s t a c o n i n t e g r a r ( 3 1 1 ) p a r a t o d a s l a s f r e c u e n c i a s . ( S u p o -
n e m o s q u e a (ω) = a, n o d e p e n d e d e l a s f r e c u e n c i a s )
e =
ˆ dω e (ω) = a
1
4
c
V
ˆ ∞0
dωωf (ω) = a1
4
c
V E ( 3 1 3 )
d o n d e h e m o s u t i l i z a d o l a d e n i c i ó n d e e n e r g í a m e d i a E ,
e = aσT 4 ( 3 1 4 )
q u e e n e l c a s o d e u n c u e r p o n e g r o
a = 1
e = σT 4 ( 3 1 5 )
q u e e s l a l e y d e S t e f a n - B o l t z m a n n p a r a l a r a d i a c i ó n d e u n c u e r p o
n e g r o .
P r o p i e d a d e s d e l o s s ó l i d o s
U n s ó l i d o c r i s t a l i n o s e r e p r e s e n t a c o m o u n a d i s p o s i c i ó n r e g u l a r d e á t o m o s .
C o n s i d e r a m o s u n c r i s t a l i d e a l s i n i m p u r e z a s .
C a d a á t o m o s e s u p o n e q u e p u e d e o s c i l a r a l r e d e d o r d e s u p o s i c i ó n d e e q u i -
l i b r i o ( o s c i l a c i o n e s p e q u e ñ a s ) . E s t a s s o n l a s d e n o m i n a d a s v i b r a c i o n e s d e
l a r e d o v i b r a c i o n e s r e t i c u l a r e s .
L a f u e r z a e l á s t i c a q u e t i e n d e a d e v o l v e r a l á t o m o a s u p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o
l a p r o v o c a n l o s r e s t a n t e s á t o m o s d e l c r i s t a l . E l e f e c t o d o m i n a n t e l o e j e r c e n
l o s v e c i n o s p r ó x i m o s , e s d e c i r , l o s á t o m o s c e r c a n o s , a u n q u e t a m b i é n h a y
u n e f e c t o d e l a r g o a l c a n c e .
L o s á t o m o s e s t á n e n p o s i c i o n e s l o c a l i z a d a s d e l a r e d , d e m a n e r a q u e s o n
d i s t i n g u i b l e s .
C o n s i d e r a m o s u n s ó l i d o f o r m a d o p o r N á t o m o s ( n o s r e s t r i n g i m o s a s ó l i d o s
i s ó t r o p o s ) . L a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s e s i n d e p e n d i e n t e d e
l a d i r e c c i ó n d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s .
S i p a r t i m o s d e l a s c o o r d e n a d a s
ξiα = xiα − x(0)iα ( 3 1 6 )
d o n d e i e s e l í n d i c e d e á t o m o y α = 1, 2, 3(x, y, z) , o b t e n e m o s u n h a -
m i l t o n i a n o c o m p l i c a d o , i n c l u s o e n l a a p r o x i m a c i ó n a r m ó n i c a ( o s c i l a c i o n e s
8 4
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p e q u e ñ a s ) . P e r o s a b e m o s q u e a l d e p e n d e r d e l a s c o o r d e n a d a s d e f o r m a
c u a d r á t i c a p o d e m o s t r a n s f o r m a r a c o o r d e n a d a s n o r m a l e s , d e m a n e r a q u e
e l h a m i l t o n i a n o s ó l o t e n g a t é r m i n o s c u a d r á t i c o s r e f e r i d o s a u n s ó l o á t o m o
( s i n p r o d u c t o s c r u z a d o s ) .
E l h a m i l t o n i a n o r e s u l t a n t e e s e q u i v a l e n t e a l d e 3N o s c i l a d o r e s a r m ó n i c o s
m o n o d i m e n s i o n a l e s i n d e p e n d i e n t e s , d o n d e c a d a o s c i l a d o r q u e d a d e t e r m i -
n a d o p o r l a c o o r d e n a d a qr y l a f r e c u e n c i a a n g u l a r ωr
H =m
2
3N r=1
q2r +m
2
3N r=1
ω2rq2r ( 3 1 7 )
L a s s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a ωr = 0 n o c o r r e s p o n d e n a v i b r a c i o n e s
d e l s i s t e m a y d e b e n e x c l u i r s e d e ( 3 1 7 ) , e x t e n d i e n d o l a s u m a s ó l o h a s t a e l
n ú m e r o d e m o d o s n o r m a l e s f v ( p e r o c o m o f v = 3N
−3
−3
≈3N p a r a
N 1 ) .
G r a c i a s a l a f o r m a d e l h a m i l t o n i a n o e n ( 3 1 7 ) , p o d e m o s e s c r i b i r l a f u n c i ó n
d e p a r t i c i ó n d e l s i s t e m a c o m o :
Z =
f vr=1
ξr F u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e l s i s t e m a ( 3 1 8 )
d o n d e
ξr =∞n=0
e−βn,r F u n c i ó n d e p a r t i c i ó n d e 1 p a r t í c u l a ( 3 1 9 )
c o n
n,r =
n + 12
ωr n = 0, 1, 2, . . . ( 3 2 0 )
E f e c t u a n d o l a s u m a e n ( 3 1 9 ) r e s u l t a
ξr =e−βωr/2
1 − e−βωr( 3 2 1 )
C o m o v e m o s , e l p r o b l e m a s e r e d u c e a l d e t e r m i n a r l a s f r e c u e n c i a s ωr .
M o d e l o d e E i n s t e i n
L a b a s e d e e s t e m o d e l o e s :
1 .
f v = 3N
2 . ωr = ωE ∀r
L a o s c i l a c i ó n d e c a d a á t o m o s e d e s c o m p o n e e n t r e s o s c i l a c i o n e s a r m ó n i c a s
d e l a m i s m a f r e c u e n c i a a n g u l a r ωE .
Z = ξN ( 3 2 2 )
8 5
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c o n
ξ =
e−3βωE/2
(1 − e−βωE )3( 3 2 3 )
S i d e n i m o s u n a t e m p e r a t u r a c a r a c t e r í s t i c a d e E i n s t e i n θE ( q u e e n e l
m o d e l o d e E i n s t e i n c a r a c t e r i z a a u n s ó l i d o ) c o m o
θE =ωE
k( 3 2 4 )
t e n e m o s
ξ =e−
32
θET
1 − e−θET
3 ( 3 2 5 )
d e m a n e r a q u e
ln Z = N −3θE
2T − 3 ln
1 − e−
θET
( 3 2 6 )
A p a r t i r d e a q u í y a s e p u e d e n o b t e n e r t o d a s l a s p r o p i e d a d e s t e r m o d i n á -
m i c a s d e l s i s t e m a .
E = kT 2
∂ ln Z
∂T
N
=3
2N kθE +
3N kθEeθE/T − 1
( 3 2 7 )
Y e l c a l o r e s p e c í c o C V
C V = 3NkE (θE/T ) ( 3 2 8 )
d o n d e
E (x) e s l a f u n c i ó n d e E i n s t e i n .
E (x) =x2ex
(ex − 1)2 ( 3 2 9 )
E s t u d i a r e m o s l o s c a s o s l í m i t e s d e C V c o n l a t e m p e r a t u r a :
T e m p e r a t u r a s b a j a s
T θEE n e s t e c a s o , x 1 ⇒ E (x) → x2e−x d e m a n e r a q u e
C V (T θE) ≈ 3N k
θET
e−θE/T ( 3 3 0 )
V e m o s q u e
C V → 0 e x p o n e n c i a l m e n t e c u a n d o
T → 0 .
T e m p e r a t u r a s a l t a s
T θEA h o r a x 1 ⇒ ex ≈ 1 y ex − 1 ≈ x p o r l o q u e E (x) → 1
C V (T θE) ≈ 3N k ( 3 3 1 )
( L e y d e D u l o n g y P e t i t )
C V ≈ 3R = 24,93 J mol−1K −1
8 6
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V e m o s q u e C V e s i n d e p e n d i e n t e d e l a t e m p e r a t u r a ∀T , d e m a n e r a
q u e l a L e y d e D u l o n g y P e t i t n o p r e d i c e C V (T
→0)
→0, l o q u e s e
c o n s i d e r a b a u n f a l l o g r a v e . E l m o d e l o d e E i n s t e i n , a p l i c a n d o i d e a s
c u á n t i c a s , s e c o n s i d e r ó u n é x i t o p u e s C V (T → 0) ∝ e−θE/T → 0( e x p o n e n c i a l m e n t e ) . S i n e m b a r g o , m á s a d e l a n t e s e v i o q u e e n r e a l i d a d
C V (T → 0) ∝ T 3 → 0
M o v i m i e n t o v i b r a c i o n a l d e u n s ó l i d o e l á s t i c o
C o n s i d e r a m o s u n s ó l i d o u n i d i m e n s i o n a l f o r m a d o p o r u n a c a d e n a d e
N p a r t í c u l a s d e m a s a
mu n i d a s p o r m u e l l e s e l á s t i c o s d e c o n s t a n t e
κi g u a l
p a r a t o d o s .
L a d i s t a n c i a d e e q u i l i b r i o e n t r e d o s v e c i n o s p r ó x i m o s e s a p a r a t o d a s l a s
p a r t í c u l a s y t o m a m o s e l o r i g e n d e m a n e r a q u e l a p o s i c i ó n d e l á t o m o n e s
na.
E s t a a p r o x i m a c i ó n n o s l l e v a a u n h a m i l t o n i a n o d e l a f o r m a
H =m
2
n
ξ2n +κ
2
n
ξ2n ( 3 3 2 )
P a r a o b t e n e r l o s m o d o s n o r m a l e s , h a c e m o s e l s i g u i e n t e r a z o n a m i e n t o . C o -
m o l o s m o d o s n o r m a l e s s o n i n d e p e n d i e n t e s , e s p o s i b l e q u e s e e x c i t e ú n i -
c a m e n t e u n o d e e l l o s . E s d e c i r , e x i s t e n c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s t a l e s q u e p o -
d e m o s b u s c a r s o l u c i o n e s d e l a f o r m a
ξ (t) = An cos ωt( 3 3 3 )
E s t o n o s l l e v a r á a q u e l a s s o l u c i o n e s d e l a f o r m a
An = C sin nφ( 3 3 4 )
P e r o r e s u l t a q u e
An+1 + An−1An
= 2 cos φ( 3 3 5 )
P a r a c o n o c e r e l v a l o r d e φ n e c e s i t a m o s c o n o c e r l a s c o n d i c i o n e s e n l o s
e x t r e m o s d e l a c a d e n a . L a s m á s s e n c i l l a s s o n l a s c o n d i c i o n e s p e r i ó d i c a s ,
q u e i m p l i c a n
ξn+N = ξn ( 3 3 6 )
A l n a l , An+N = An , p o r l o q u e u s a n d o ( 3 3 4 ) n o s l l e v a a
N φ = 2πl ⇒ φ =2πl
N l = 1, 2, 3, . . .( 3 3 7 )
C o n e s t o n o s q u e d a
An = C sin
2πl
N n
( 3 3 8 )
8 7
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E l s i g u i e n t e p a s o e s d e t e r m i n a r l a s f r e c u e n c i a s p e r m i t i d a s e n l o s m o d o s
n o r m a l e s . D e s p u é s d e l a n á l i s i s , o b t e n e m o s
ωl = 2 κ
m
1/2sin
πl
N
( 3 3 9 )
S u s t i t u y e n d o o b t e n e m o s N m o d o s n o r m a l e s , q u e c o r r e s p o n d e n a f r e c u e n -
c i a s d i s t i n t a s y l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
F i n a l m e n t e , l o s m o d o s n o r m a l e s s o n
ξn,l (t) = C sin
2πl
N n
cos ωlt ( 3 4 0 )
c o n l a s f r e c u e n c i a s ωl d a d a s p o r ( 3 3 9 ) . E l í n d i c e n s e r e e r e a l a p o s i c i ó n
e n l a r e d y e l í n d i c e l a l m o d o n o r m a l d e l q u e s e t r a t a .
A l m o d o ( 3 4 0 ) l e c o r r e s p o n d e l a l o n g i t u d d e o n d a , m e d i d a e n u n i d a d e s d e
a
λl =N
l( 3 4 1 )
d e m a n e r a q u e ( 3 3 9 ) s e p u e d e e s c r i b i r t a m b i é n
ωl = 2 κ
m
1/2sin
π
λl
( 3 4 2 )
S i i n t r o d u c i m o s l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n cl = λl/T l , d o n d e T l e s e l
p e r i o d o d e l m o d o
cl =
λlωl2π = κ
m1/2 λlπ sin π
λl ( 3 4 3 )
E s t a e s u n a r e l a c i ó n e n t r e l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n y l a l o n g i t u d d e
o n d a d e u n m o d o n o r m a l , l o q u e s e d e n o m i n a u n a r e l a c i ó n d e d i s p e r -
s i ó n . P a r a o n d a s c o n u n a l o n g i t u d d e o n d a m u c h o m a y o r q u e e l e s p a c i a d o
d e l a r e d , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e
lımλl→∞
sinπλl
πλl
= 1
n o s q u e d a , e n u n i d a d e s d e a
cl = κ
m1/2 (c u a n d o
λl a)( 3 4 4 )
d e f o r m a q u e e n e l l í m i t e
λl al a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n e s i n d e p e n -
d i e n t e d e l a l o n g i t u d d e o n d a .
T e n e m o s N m o d o s n o r m a l e s , d e 1 a N , a u n q u e l = N d e b e r í a e l i m i n a r s e ,
p u e s c o n d u c e a u n a f r e c u e n c i a c e r o .
8 8
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D e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s s e d e d u c e l a e x i s t e n c i a d e u n a f r e c u e n c i a
a n g u l a r m á x i m a , i n d e p e n d i e n t e d e N , q u e d e a c u e r d o c o n ( 3 3 9 ) v e n d r á
d a d a p o r
ωMAX = 2 κ
m
1/2( 3 4 5 )
M o d e l o d e D e b y e
U n c r i s t a l n i t o t r i d i m e n s i o n a l t i e n e u n c o n j u n t o d e f r e c u e n c i a s c u y o s
v a l o r e s d e p e n d e n d e :
L a e s t r u c t u r a d e c r i s t a l
l a s c o n d i c i o n e s d e c o n t o r n o
L a t e o r í a d e D e b y e s e b a s a e n q u e , p a r a c a l c u l a r l a s f r e c u e n c i a s d e l o s
m o d o s n o r m a l e s , p o d e m o s c o n s i d e r a r e l c r i s t a l c o m o u n m o d o e l á s t i c o
c o n t í n u o , d e m o d o q u e :
1 . l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l o s m o d o s n o r m a l e s n o d e p e n d e d e l a
f r e c u e n c i a
2 . l a s f r e c u e n c i a s n o d e p e n d e n d e l a s c o n d i c i o n e s d e c o n t o r n o ( a s í p o -
d e m o s u t i l i z a r c o n d i c i o n e s p e r i ó d i c a s ) . C o m o h e m o s v i s t o e n e l c a s o
u n i d i m e n s i o n a l , l a s h i p ó t e s i s s o n v á l i d a s c u a n d o λ a ( o l o q u e e s
l o m i s m o , ω p e q u e ñ a s ) . L a t e o r í a d e D e b y e , p o r t a n t o , e s b u e n a p a r a
t e m p e r a t u r a s b a j a s .
S u p o n e m o s q u e e l c r i s t a l e s u n c u b o d e l a d o L .
U n a o n d a m o n o c r o m á t i c a d e l o n g i t u d d e o n d a
λs e p r o p a g a p o r e l c r i s t a l
d e m a n e r a q u e e l d e s p l a z a m i e n t o d e c u a l q u i e r p u n t o
r (x, y, z) v i e n e d a d o
p o r
Y (r, t) = Aei(κr−ωt) ( 3 4 6 )
d o n d e κ e s e l v e c t o r d e o n d a e n l a d i r e c c i ó n d e p r o p a g a c i ó n , d e m ó d u l o
|κ| = 2πλ
. L a a p l i c a c i ó n d e l o s m i s m o s r a z o n a m i e n t o s u t i l i z a d o s a n t e r i o r -
m e n t e r e s p e c t o a l a s c o n d i c i o n e s d e c o n t o r n o y l a s f r e c u e n c i a s a n g u l a r e s
p e r m i t i d a s n o s l l e v a n a :
λ =2π
|κ| =L
n2x + n2
y + n2z
( 3 4 7 )
d o n d e nx,y,z s o n n ú m e r o s e n t e r o s .
S i a d m i t i m o s q u e l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n e s c o n s t a n t e , c, l a s f r e c u e n -
c i a s d e l a s v i b r a c i o n e s s e r á n
ω = 2πc
λ= 2π
c
L
n2x + n2
y + n2z ( 3 4 8 )
P o r l a s m i s m a s r a z o n e s q u e e n e l s ó l i d o l i n e a l , e n e l c r i s t a l 3 D t a m b i é n
t e n e m o s u n a f r e c u e n c i a m á x i m a ( c u y o v a l o r v i e n e d e t e r m i n a d o p o r t e n e r
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3N g r a d o s d e l i b e r t a d ) . C o m o t e n e m o s u n c r i s t a l m a c r o s c ó p i c o (L 1)l a s d i s t i n t a s f r e c u e n c i a s a n g u l a r e s t i e n e n v a l o r e s m u y p r ó x i m o s e n t r e s í , d e
m a n e r a q u e l o s 3N v a l o r e s s e p u e d e n a p r o x i m a r p o r u n e s p e c t r o c o n t í n u o ,
i n t r o d u c i e n d o u n a d e n s i d a d d e f r e c u e n c i a s a n g u l a r e s D (ω) . A s í , D (ω) dωe s e l n ú m e r o d e m o d o s n o r m a l e s c o n f r e c u e n c i a e n t r e ω y ω + dω .
L a f r e c u e n c i a a n g u l a r m á x i m a e n e l m o d e l o d e D e b y e s e a j u s t a d e m o d o
q u e : ˆ ωm0
dωD (ω) = 3N ( 3 4 9 )
E l c á l c u l o d e D (ω) e s c o m p l e t a m e n t e a n á l o g o a l r e a l i z a d o e n e l a p a r t a d o
p a r a e l e s t u d i o d e l a r a d i a c i ó n . E n p a r t i c u l a r , e s v á l i d a l a e c u a c i ó n ( 2 7 3 )
p a r a l a d i s t r i b u c i ó n d e l o s m o d o s n o r m a l e s c u y o v e c t o r d e o n d a e s t á e n t r e
κ y κ + dκ. L a p r i n c i p a l d i f e r e n c i a e n e l c a s o d e l s ó l i d o e s q u e t e n e m o s
o n d a s l o n g i t u d i n a l e s y t r a n s v e r s a l e s c o n d i f e r e n t e s v e l o c i d a d e s d e p r o p a -
g a c i ó n . T e n e m o s u n a o n d a l o n g i t u d i n a l , c o n A p a r a l e l o a κ y d o s o n d a s
t r a n s v e r s a l e s m u t u a m e n t e i n d e p e n d i e n t e s y o r t o g o n a l e s e n t r e s í .
E n e l t e o r í a d e D e b y e :
1 . cl e s i n d e p e n d i e n t e d e l a f r e c u e n c i a
2 . ct e s i n d e p e n d i e n t e d e l a f r e c u e n c i a y d e l a p o l a r i z a c i ó n
E n e s t e e s c e n a r i o , l a d i s t r i b u c i ó n d e f r e c u e n c i a s s e r á l a s u m a d e l a d i s t r i -
b u c i ó n d e f r e c u e n c i a s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s y a l a s
o n d a s t r a n s v e r s a l e s .
D (ω) = (Dl (ω) + Dt (ω)) dω ( 3 5 0 )
S i u s a m o s
|κl
|= ω/cl y
|κt
|= ω/ct y e l h e c h o d e q u e t e n e m o s d o s t i p o s
d e o n d a s t r a n s v e r s a l e s ( l o q u e i n t r o d u c e u n f a c t o r 2 a d i c i o n a l )
Dl (ω) dω =V
2π2c3lω2dω ( 3 5 1 )
Dt (ω) dω =V
2π2
2
c3tω2dω ( 3 5 2 )
D e m a n e r a q u e l a d i s t r i b u c i ó n d e f r e c u e n c i a s t o t a l e s :
D (ω) dω =V
2π2
1
c3l+
2
c3t
ω2dω =
3V
2π2
ω2
c3dω
( 3 5 3 )
d o n d e h e m o s i n t r o d u c i d o u n a v e l o c i d a d m e d i a d e p r o p a g a c i ó n c d e n i d a
c o m o
3c3
= 1c3l
+ 2c3t
( 3 5 4 )
S u s t i t u y e n d o ( 3 5 3 ) e n ( 3 4 9 ) o b t e n e m o s p a r a l a f r e c u e n c i a m á x i m a
ωm = c
6π2N
V
1/3
( 3 5 5 )
9 0
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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D e m a n e r a q u e l a d i s t r i b u c i ó n d e f r e c u e n c i a s e n e l m o d e l o d e D e b y e t o m a
l a f o r m a
D (ω) = 3V
2π2c3 ω ω ≤ ωm
0 ω > ωm( 3 5 6 )
S i n o s j a m o s , l a λm c o r r e s p o n d i e n t e a ωm e s
λm =2πc
ωm∼
V
N
1/3
∼ a( 3 5 7 )
U n a v e z h e m o s o b t e n i d o l a d i s t r i b u c i ó n d e f r e c u e n c i a s , y a p o d e m o s e n -
c o n t r a r t o d a s l a s p r o p i e d a d e s d e l s ó l i d o e n e l m o d e l o d e D e b y e
ln Z =
f v
r=1 ln ξr ( 3 5 8 )
q u e e n l a a p r o x i m a c i ó n d e D e b y e s e t r a n s f o r m a e n u n a i n t e g r a l s o b r e l a s
f r e c u e n c i a s u s a n d o l a d i s t r i b u c i ó n ( 3 5 6 )
ln Z =
ˆ ωm0
dωD (ω) ln ξ (ω) ( 3 5 9 )
d o n d e ξ (ω) v i e n e d a d o p o r ( 3 2 1 )
ln Z =
ˆ ωm0
dωD (ω) ln
e−βω/2
1 − e−βω
( 3 6 0 )
A s í , l a e n e r g í a m e d i a
E = −∂ ln Z
∂β
V
= E 0 +
ˆ ωm
0
dωω
eβω − 1D (ω) ( 3 6 1 )
d o n d e E 0 e s l a e n e r g í a d e l p u n t o c e r o
E 0 =2
2
ˆ ωm0
dω ω2D (ω) ( 3 6 2 )
Y a p a r t i r d e a q u í , l a c a p a c i d a d c a l o r í c a
C V
C V = k
ˆ ωm0
dω(βω)
2eβω
(eβω − 1)2
D (ω) ( 3 6 3 )
S i h a c e m o s e l c a m b i o x = βω t a n t o p a r a l a e n e r g í a c o m o p a r a e l c a l o r
e s p e c í c o
E = E 0 +3V
2π2β43c3
ˆ βωm0
dxx3
ex − 1( 3 6 4 )
C V = k3V
2π2β33c3
ˆ βωm0
dxx4ex
(ex − 1)2 ( 3 6 5 )
9 1
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P o d e m o s e l i m i n a r V d e e s t a s e x p r e s i o n e s u t i l i z a n d o ( 3 5 5 ) ( l a d e n i c i ó n
d e l a f r e c u e n c i a m á x i m a ) . S i d e n i m o s u n a t e m p e r a t u r a c a r a c t e r í s t i c a d e
D e b y e θD
θD =ωmax
k( 3 6 6 )
r e s u l t a q u e l a e n e r g í a m e d i a
E = E 0 +9N kT 4
θ3D
ˆ θD/T 0
dxx3
ex − 1( 3 6 7 )
Y l a c a p a c i d a d c a l o r í c a
C V = 3N kD
θDT
( 3 6 8 )
d o n d e D (x) e s l a f u n c i ó n d e D e b y e
D (x) =3
x3
ˆ y
0
dyy4ey
(ey − 1)2 ( 3 6 9 )
q u e n o p u e d e c a l c u l a r s e p e r o q u e s e e n c u e n t r a t a b u l a d a .
A h o r a a n a l i z a r e m o s l o s l í m i t e s p a r a a l t a s y b a j a s t e m p e r a t u r a s d e C V
1 . T e m p e r a t u r a s m u y a l t a s
T θD
E n e s t e c a s o
x 1 ⇒
ey ≈ 1
ey − 1 ≈ 1⇒ D (x) ≈ 3
x3
´ x0
dy´ y0
dy y4
y2 = 1
D e m a n e r a q u e o b t e n e m o s d e n u e v o l a L e y d e D u l o n g y P e t i t
C V (T θD) ≈ 3N k
2 . T e m p e r t u r a s m u y b a j a s
T θDE n e s t a r e g i ó n e s d o n d e l a a p r o x i m a c i ó n d e D e b y e f u n c i o n a m e j o r , y a
q u e s ó l o s e e n c u e n t r a n e x c i t a d o s l o s m o d o s n o r m a l e s d e f r e c u e n c i a s
m á s b a j a s .
x 1 ⇒ˆ x0
≈ˆ ∞0
e n l a f u n c i ó n d e D e b y e
D (x 1) ∝ˆ ∞0
dyy4ey
(ey − 1)2 =
4π2
15
=12π4
15x3( 3 7 0 )
Y e l c a l o r e s p e c í c o q u e d a
C V (T θD) ≈ 12π4
5N K
T
θD
3
( 3 7 1 )
V e m o s q u e C V (T → 0) ∝ T 3 → 0 t a l y c o m o s e o b s e r v a e x p e r i m e n -
t a l m e n t e .
9 2
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E l g a s d e f o n o n e s
E n l o s a p a r t a d o s a n t e r i o r e s h e m o s c o n s i d e r a d o l o s m o d o s n o r m a l e s d e
v i b r a c i ó n c o m o u n c o n j u n t o d e o s c i l a d o r e s c u á n t i c o s , i n d e p e n d i e n t e s y
d i s t i n g u i b l e s . V a m o s a h o r a a a n a l i z a r l a s c a r a c t e r í s t i c a s c u á n t i c a s d e e s t e
m o d e l o c o n m á s d e t a l l e .
L a e n e r g í a d e c a d a o n d a l l e v a a s o c i a d a u n a e n e r g í a
n,r =
n +
1
2
ωr ( 3 7 2 )
d o n d e ωr e s l a f r e c u e n c i a d e l m o d o r .
E n m e c á n i c a c u á n t i c a p o d e m o s a s o c i a r u n a p a r t í c u l a a c a d a o n d a . L l a -
m a r e m o s a e s t a p a r t í c u l a f o n ó n . L a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l o s f o n o n e s s o n
s i m i l a r e s a l a s d e l o s f o t o n e s , p o r l o q u e n o s e r á n e c e s a r i o r e p e t i r m u c h o s
d e l o s a n á l i s i s r e a l i z a d o s a n t e r i o r m e n t e .
L a e n e r g í a d e u n m o d o e s (1/2 + n) ωr , p e r o t e n e m o s q u e d e s p r e c i a r l a
e n e r g i a d e l p u n t o c e r o , ωr/2. N o s c o n c e n t r a m o s e n l o s n f o t o n e s e x c i t a d o s
c o n e n e r g í a ωr .
L o s f o n o n e s e s t á n a s o c i a d o s a m o d o s n o r m a l e s , q u e s o n i n d e p e n d i e n t e s
e n t r e s í , l o q u e e s e q u i v a l e n t e a d e c i r q u e l o s f o n o n e s n o i n t e r a c c i o n a n
e n t r e s í ⇒ l o s f o n o n e s s e c o m p o r t a n c o m o u n g a s i d e a l . C o m o p u e d e
h a b e r u n n ú m e r o a l e a t o r i o d e f o n o n e s e n c a d a e s t a d o y l o s f o n o n e s s o n
i n d i s t i n g u i b l e s e n t r e s í , s e t r a t a d e u n g a s i d e a l d e b o s o n e s .
T e n e m o s 3N m o d o s n o r m a l e s , p e r o e l n ú m e r o d e f o n o n e s q u e p u e d e n e x i s -
t i r e n u n c r i s t a l n o e s t á a c o t a d o . E l n ú m e r o m e d i o d e f o n o n e s e n e l g a s
e n e q u i l i b r i o s ó l o e s t á d e t e r m i n a d o p o r l a t e m p e r a t u r a d e l c r i s t a l .
L o s f o n o n e s s o n c r e a d o s y d e s t r u i d o s p o r e l s i s t e m a ( n o i n t e r c a m b i a d o s
c o n u n a f u e n t e e x t e r n a ) . C o m o e n e l c a s o d e l o s f o t o n e s , e s t o n o s l l e v a a
q u e µ = 0.
E l n ú m e r o m e d i o d e f o n o n e s e n u n e s t a d o
nr =1
eβr − 1( 3 7 3 )
y l a e n e r g í a t o t a l d e l s i s t e m a
E = E 0 +3N r=1
nrωr = E 0 +3N r
ωreβωr − 1
( 3 7 4 )
d o n d e E 0 = 3N r=1 ωr2 e s l a e n e r g í a d e l p u n t o c e r o .
E n u n s ó l i d o m a c r o s c ó p i c o l a s f r e c u e n c i a s a n g u l a r e s e s t á n m u y p r ó x i m a s
e n t r e s í , d e m a n e r a q u e p o d e m o s c o n v e r t i r l a s u m a e n u n a i n t e g r a l
E = E 0 +
ˆ ωm0
dωD (ω)ω
eβω − 1( 3 7 5 )
9 3
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d o n d e D (ω) e s l a d e n s i d a d d e e s t a d o s d e f r e c u e n c i a ω .
E s t a e x p r e s i ó n e s l a m i s m a q u e ( 3 6 1 ) , p e r o c o n u n a d e n s i d a d d e e s t a d o s
D (ω) a r b i t r a r i a s u j e t a a l a c o n d i c i ó n
ˆ ωm0
dωD (ω) = 3N ( 3 7 6 )
y a q u e u n s ó l i d o d e
N á t o m o s t i e n e 3N
m o d o s n o r m a l e s .
C o m o c o n s i d e r a m o s e l g a s d e f o n o n e s c o m o i d e a l y e l c r i s t a l c o m o i s ó t r o p o ,
e l n ú m e r o d e e s t a d o s d e f o n ó n c o n κ e n (κ, κ + dκ) v e n d r á d a d o p o r ( 2 7 3 ) ,
e s d e c i r
D (κ) dκ =V
2π2κ2dκ ( 3 7 7 )
T a m b i é n d e b e m o s t e n e r e n c u e n t a q u e c a d a f o n ó n t i e n e t r e s d i r e c c i o n e s
i n d e p e n d i e n t e s d e t r a s l a c i ó n ( u n a l o n g i t u d i n a l y d o s t r a n s v e r s a l e s ) e n e l
c á l c u l o d e l a d e n s i d a d d e e s t a d o s .
P a r a p o d e r a v a n z a r m á s y r e c u p e r a r l o s r e s u l t a d o s d e l m o d e l o d e D e b y e
n e c e s i t a m o s u n a r e l a c i ó n e n t r e l a e n e r g í a d e u n f o n ó n e n u n e s t a d o r ,
r = ωr y s u m o m e n t o pr = κr , p e r o e s t a r e l a c i ó n d e p e n d e d e l
c r i s t a l .
D e b y e s u p u s o q u e e l s ó l i d o e s u n c o n t i n u o e l á s t i c o , l o q u e i m p l i c a q u e
l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l o s f o n o n e s p o l a r i z a d o s t a n t o l o n g i t u d i n a l
c o m o t r a n s v e r s a l m e n t e s o n c o n s t a n t e s
ωrκr
=
cl V e l o c i d a d p a r a l o s f o n o n e s l o n g i t u d i n a l e s
ct V e l o c i d a d p a r a l o s f o n o n e s t r a n s v e r s a l e s
( 3 7 8 )
A s í , l a r e l a c i ó n e n t r e l a e n e r g í a y e l m o m e n t o d e u n f o n ó n e s
r = ωr =
κcl F o n o n e s l o n g i t u d i n a l e s
κct F o n o n e s t r a s n v e r s a l e s
( 3 7 9 )
D e t o d o l o a n t e r i o r s e d e d u c e q u e
D () d =4πV
h3
1
c3l+
2
c3t
2d =
12πV
h3c32d ( 3 8 0 )
A p a r t i r d e ( 3 7 9 ) y ( 3 8 0 ) , l a d e n s i d a d d e e s t a d o s d e f r e c u e n c i a ω e s
D (ω) = 3V
2π2c3 ω2 ω ≤ ωm
0 ω > ωm( 3 8 1 )
d o n d e
ωm e s l a f r e c u e n c i a m á x i m a a n g u l a r o d e c o r t e , t a l q u e s e c u m p l e
l a c o n d i c i ó n ( 3 7 6 ) , q u e v i e n e d a d a p o r ( 3 5 5 ) .
9 4
5/13/2018 Resumen-2011-Mecanica_Estadistica - slidepdf.com
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E n e s t a m i s m a a p r o x i m a c i ó n , l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n g e n e r a l i z a d a p a r a e l
g a s d e f o t o n e s s e r á :
ln QFON = −ˆ ωm0
dω ω2 ln
1 − e−βω
=
= − 3V
2π2c3
ˆ ωm0
dω ω2 ln
1 − e−βω
( 3 8 2 )
A p a r t i r d e l a f u n c i ó n d e p a r t i c i ó n y a p o d e m o s o b t e n e r t o d a s l a s p r o p i e -
d a d e s t e r m o d i n á m i c a s .
E = −
∂ ln QFON ∂β
V
( 3 8 3 )
Y l a c a p a c i d a d c a l o r í c a , u n a v e z h e c h o e l c a m b i o
x = βω
C V =
∂E
∂T
V
= k3V
2π2β33c3
ˆ βωm0
dxx4ex
(ex − 1)2 ( 3 8 4 )
q u e c o m o h e m o s v i s t o , c o i n c i d e c o n e l r e s u l t a d o o b t e n i d o a t r a v é s d e l
m o d e l o d e D e b y e .
9 5
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