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Ecuaciones cuadráticas

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Resolver ecuaciones cuadráticas

mediante factorización

Polinomios de grado 2

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado.

En esta parte del curso resolveremos ecuaciones cuadráticas en una variable.

Ejemplos: 2w2 - 8w + 3 = 0 3x - x2 + 4 = 2x - 6 5x2 - 3 = 6x + 5 7 = 5y2

Ecuación cuadrática en forma

general

Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue

ax2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a≠0

a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2).

b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.)

c es la constante.

Ejemplo: Escriba 4 = 2x (3x + 5) en forma general.

Solución:

4 = 6x2 + 10x

4 – 4 = 6x2 + 10x – 4

0 = 6x2 + 10x – 4 por la propiedad reflexiva,

6x2 + 10x - 4 = 0

Escribir en forma general

Escriba 3x – x2 + 4 = 2x – 6 en forma general.

Solución: 3x – x2 + 4 = 2x – 6 3x – x2 + x2 + 4 = 2x – 6 + x2 3x + 4 = 2x – 6 + x2 3x – 3x + 4 = 2x – 3x – 6 + x2 4 = -x – 6 + x2 4 – 4 = -x – 6 – 4 + x2

0 = -x – 10 + x2

x2 – x – 10 = 0

Ejemplo

ordenar, luego usar propiedad reflexiva

Escriba (5x – 3) (4x + 2) = 3x + 9 en forma general.

Solución: 5x (4x + 2) – 3 (4x + 2) propiedad distributiva

20x2 + 10x – 12x – 6 = 3x + 9 20x2 – 2x – 6 = 3x + 9 20x2 – 2x – 3x – 6 = 3x – 3x + 9 20x2 – 5x – 6 – 9 = 9 – 9 20x2 – 5x – 15 = 0

Ejemplo

Soluciones de una ecuación

Las soluciones de una ecuación cuadrática son aquellos valores de la variable que hacen que la expresión cuadrática tenga un valor de 0.

Ejemplo: Determine si x = 2 es solución de 5x2 – 6x – 8 = 0.

Solución: =5(2)2 – 6(2) – 8 =20 – 12 – 8 =0 2 ES solución de la ecuación.

Ejemplo

Determine si x = -3 es solución de 5x2 – 6x – 8 = 0.

Solución:

= 5(-3)2 – 6(-3 ) – 8

= 5(9) + 18 – 8

= 45 + 18 – 8

= 63 – 8

= 55

Por lo tanto, x = -3 NO es solución de la ecuación.

≠ 0

Soluciones de una ecuación

Una ecuación cuadrática puede tener

• Dos (2) soluciones reales

• Una (1) solución real

• Ninguna (0) solución real

Resolver ecuaciones

cuadráticas

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. • Método de factorización • Método de raíz cuadrada • Método utilizando la fórmula cuadrática

Método de factorización

Factorizamos la ecuación cuadrática y luego aplicamos

el principio del factor cero que establece que:

Si a * b = 0 entonces a = 0 ó b = 0

En otras palabras, si un producto de dos números es cero, es porque por lo menos uno de los números es cero.

Pasos en el método de

factorización

1. Escribir la ecuación de la forma general: ax2 + bx + c = 0 2. Factorizar el polinomio cuadrático ax2 + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0. 4. Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución.

Principio del factor cero

Según este principio, si tenemos:

(x + 2)(x + 3) = 0 podemos decir que

x + 2 = 0 ó x + 3 = 0 por lo que

x = -2 ó x = -3

Estas son las soluciones de la ecuación..

Ejemplo:

Determine las soluciones de

2 – 11x = – 12x2.

Paso 1. Escribir la ecuación en forma general.

12x2 – 11x + 2 = 0

Paso 2. Factoriza el polinomio cuadrático.

Necesitamos factores de 24 que sumen – 11, 12x2 – 8x – 3x + 2 = 0 4x(3x – 2) – (3x – 2) = 0 (4x – 1)(3x – 2) = 0

Ejemplo (cont)

(4x – 1)(3x – 2) = 0

Paso 3. Se utiliza la propiedad del factor cero.

4x – 1 = 0 ó 3x – 2 = 0

Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales.

4x – 1 = 0 ó

4x = 1

x = 1/4

3x – 2 = 0 3x = 2

x = 2/3

El conjunto solución es 1

4,

2

3

Ejemplo

Hallar el conjunto solución : 3x2 – 5x = 0 Solución: Esta ecuación cuadrática tiene solo dos términos que tienen un factor común. x(3x – 5) = 0 Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos que: x = 0 ó 3x – 5 = 0 3x – 5 = 0 3x = 5

x = 5/3 El conjunto solución es 0, 5

3

Ejemplo

Hallar el conjunto solución de 5x2 – 6x – 8 = 0

Solución:

Factorizar la expresión cuadrática.

Necesitamos factores de -40 que sumen -6. Usemos -10 y 4

5x2 – 10x + 4x – 8 = 0

5x(x – 2) + 4(x – 2) = 0

(x – 2)(5x + 4) = 0

Continuación del ejemplo

Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos que:

x – 2 = 0 ó 5x + 4 = 0 por lo que:

x = 2 ó x = -4/5

El conjunto de soluciones de la ecuación son: {2, -4/5}

Cuidado

El principio del factor cero funciona solo con

cero, y no con otros números.

Es común cometer el error de aplicar una

versión similar de este principio con otros

números,

Por ejemplo si, (x + 4)(x – 3) = 5 NO

podemos concluir que x + 4 = 5 ó x – 3 = 5

En ese caso, tendríamos que multiplicar los

binomios y escribir la ecuación en forma

general antes de empezar a factorizar.

Ejemplo

Hallar el conjunto solución de 2x2 + 4x – 9 = 0

Solución:

Factorizar la expresión cuadrática.

Necesitamos factores de -18 que sumen 4. Los posibles son:

(- 2)(9) = -18

(2)(-9) = -18

(3)(-6) = -18

(-3)(6) = -18

(1)(-18) = -18

(-1)(18) = -18

(- 2) + (9) = 7 (2) + ( -9) = -7

(3) + ( -6) = -3

(1) + ( -18) = -17

(-1) + ( 18) = 17

(-3) + ( 6) = 3

La ecuación NO factoriza sobre los reales. Habría que utilizar OTRO método para resolver.

Ejemplo

Resolver: 4x2 – 9 = 0

Solución: Factorizar la expresión cuadrática. Esto es una diferencia de cuadrados, por lo tanto factoriza (2x – 3) (2x + 3) = 0 Por el principio del factor cero tenemos que 2x – 3 = 0 2x = 3 x = 3/2

El conjunto solución

es −3

2,

3

2

2x + 3 = 0 2x = -3 x = -3/2

Ejemplo

Resolver:

Solución: Factorizar la expresión cuadrática. 2𝑥2 + 8𝑥 − 3𝑥 − 12 = 0 2x(x + 4) – 3(x + 4) = 0 (x + 4)(2x – 3)=0 Por el principio del factor cero tenemos que

x + 4=0

x= -4

El conjunto solución es −4, 3/2

2x – 3 = 0 2x = 3 x = 3/2

Ejemplo

Resolver:

Solución: Factorizar la expresión por factor común. 𝑥3 − 8𝑥2 + 16𝑥 = 0

𝑥(𝑥2 − 8𝑥 + 16) = 0 Factoriza el trinomio cuadrático x(x – 4)(x – 4) = 0

x – 4 = 0

x= 4

El conjunto solución es 0,4

x = 0

Aplicar el principio del factor cero .

Ejemplo

Resolver: 16𝑥2 − 9𝑥4 = 0

Solución: Factorizar la expresión por factor común. 16𝑥2 − 9𝑥4 = 0 𝑥2(16 − 9𝑥2) = 0 Factorizar la diferencia de cuadrados 𝑥2(4 − 3𝑥)(4 + 3𝑥) = 0

4 – 3x = 0

x= 4/3

El conjunto solución es 𝟎, −𝟒

𝟑, 𝟒/𝟑

x2 = 0 x = 0

Aplicar el principio del factor cero

4 + 3x = 0 x= - 4/3

Ejercicios

A. Escriba en forma general

1) 3x - 5 = 2x2 + 10

2) (4x - 5)(3x + 2) - 3x = 5

3) 7x - 3x2 = 4 - 6x

B. Determine si el número a la derecha es solución

o no de la ecuación.

1) x2 - 5x - 24 = 0 {8}

2) 2x2 - 4x + 5 = 0 {2}

3) 3x2 + x - 2 = 0 {-1}

Soluciones

A. Escriba en forma general

1) -2x2 - 3x + 15 = 0

2) 12x2 - 10x - 15 = 0

3) -3x2 + 13x - 4 = 0

B. Determine si el número a la derecha es solución

o no de la ecuación.

1) cierto

2) falso

3) cierto

Ejercicios

Soluciones