resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización · polinomios de grado 2 una ecuación...
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Ecuaciones cuadráticas
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
Resolver ecuaciones cuadráticas
mediante factorización
Polinomios de grado 2
Una ecuación cuadrática es un polinómio de grado dos.
En esta parte del curso resolveremos ecuaciones cuadráticas en una variable.
Ejemplos: 2w2 - 8w + 3 = 0 3x - x2 + 4 = 2x - 6 5x2 - 3 = 6x + 5 7 = 5y2
Ecuación cuadrática en forma
general
Una ecuación cuadrática tiene la forma general: ax2 + bx + c = 0,
donde a, b,c son valores reales; y a≠0
a es el coeficiente del término principal (Es el coeficiente del término cuadrático;
Es el coeficiente de la variable de grado 2).
b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.)
c es el término constante o simplemente la constante.
Ejemplo: Escriba 4 = 2x (3x + 5) en forma general.
Solución:
4 = 6x2 + 10x por la propiedad distributiva
4 – 4 = 6x2 + 10x – 4 por la propiedad de igualdad
0 = 6x2 + 10x – 4
6x2 + 10x - 4 = 0 por la propiedad reflexiva,
Escribir en forma general
Escriba 3x – x2 + 4 = 2x – 6 en forma general.
Solución: 3x – x2 + 4 = 2x – 6 3x – x2 + x2 + 4 = 2x – 6 + x2 3x + 4 = 2x – 6 + x2 3x – 3x + 4 = 2x – 3x – 6 + x2 4 = -x – 6 + x2 4 – 4 = -x – 6 – 4 + x2
0 = -x – 10 + x2
x2 – x – 10 = 0
Ejemplo
ordenar, luego usar propiedad reflexiva
Escriba (5x – 3) (4x + 2) = 3x + 9 en forma general.
Solución: 5x (4x + 2) – 3 (4x + 2) propiedad distributiva
20x2 + 10x – 12x – 6 = 3x + 9 20x2 – 2x – 6 = 3x + 9 20x2 – 2x – 3x – 6 = 3x – 3x + 9 20x2 – 5x – 6 – 9 = 9 – 9 20x2 – 5x – 15 = 0
Ejemplo
Soluciones de una ecuación
Las soluciones de una ecuación cuadrática son aquellos valores de la variable que hacen que la expresión cuadrática tenga un valor de 0.
Ejemplo: Determine si x = 2 es solución de 5x2 – 6x – 8 = 0.
Solución: =5(2)2 – 6(2) – 8 =20 – 12 – 8 =0 2 ES solución de la ecuación.
Ejemplo
Determine si x = -3 es solución de 5x2 – 6x – 8 = 0.
Solución:
= 5(-3)2 – 6(-3 ) – 8
= 5(9) + 18 – 8
= 45 + 18 – 8
= 63 – 8
= 55
Por lo tanto, x = -3 NO es solución de la ecuación.
≠ 0
Soluciones de una ecuación
Una ecuación cuadrática puede tener
• Dos (2) soluciones reales
• Una (1) solución real
• Ninguna (0) solución real
Resolver ecuaciones
cuadráticas
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. • Método de factorización • Método de raíz cuadrada • Método utilizando la fórmula cuadrática
Método de factorización
Factorizamos la ecuación cuadrática y luego aplicamos
el principio del factor cero que establece que:
Si 𝒂 × 𝒃 = 0 entonces a = 0 ó b = 0
En otras palabras, si un producto de dos expresiones es cero, es porque por lo menos uno de las dos expresiones es igual a cero.
Pasos en el método de
factorización
1. Escribir la ecuación de la forma general: ax2 + bx + c = 0 2. Factorizar el polinomio cuadrático ax2 + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0. 4. Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución.
Principio del factor cero
Según este principio, si tenemos una ecuación cuadrática en su forma factorizada:
(x + 2)(x + 3) = 0 podemos decir que
x + 2 = 0 ó x + 3 = 0 por lo que
x = -2 ó x = -3
El conjunto solución de la ecuación es {-2, 3}.
Ejemplo:
Determine las soluciones de
2 – 11x = – 12x2.
Paso 1. Escribir la ecuación en forma general.
12x2 – 11x + 2 = 0
Paso 2. Factoriza el polinomio cuadrático.
Necesitamos factores de 24 que sumen – 11, 12x2 – 8x – 3x + 2 = 0 4x(3x – 2) – (3x – 2) = 0 (4x – 1)(3x – 2) = 0
Ejemplo (cont)
(4x – 1)(3x – 2) = 0
Paso 3. Se utiliza la propiedad del factor cero.
4x – 1 = 0 ó 3x – 2 = 0
Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales.
4x – 1 = 0 ó
4x = 1
x = 1/4
3x – 2 = 0 3x = 2
x = 2/3
El conjunto solución es 𝟏
𝟒,
𝟐
𝟑
Ejemplo
Hallar el conjunto solución : 3x2 – 5x = 0 Solución: Esta ecuación cuadrática tiene solo dos términos que tienen un factor común. x(3x – 5) = 0 Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos que: x = 0 ó 3x – 5 = 0 3x – 5 = 0 3x = 5
x = 5/3
El conjunto solución es 0, 𝟓
𝟑
Ejemplo
Hallar el conjunto solución de 5x2 – 6x – 8 = 0
Solución:
Factorizar la expresión cuadrática.
Necesitamos factores de -40 que sumen -6. Usemos -10 y 4
5x2 – 10x + 4x – 8 = 0
5x(x – 2) + 4(x – 2) = 0
(x – 2)(5x + 4) = 0
Continuación del ejemplo
Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos que:
x – 2 = 0 ó 5x + 4 = 0 por lo que:
x = 2 ó x = -4/5
El conjunto de soluciones de la ecuación son: {2, -4/5}
Cuidado
El principio del factor cero funciona solo con la
ecuación igualada a cero, y no con otros números.
Es común cometer el error de aplicar una versión
modificada de este principio con otros números,
Por ejemplo si, (x + 4)(x – 3) = 5 NO podemos
concluir que x + 4 = 5 ó x – 3 = 5
En ese caso, tendríamos que multiplicar los binomios
y escribir la ecuación en forma general antes de
empezar a factorizar.
Ejemplo
Hallar el conjunto solución de 2x2 + 4x – 9 = 0
Solución:
Factorizar la expresión cuadrática.
Necesitamos factores de -18 que sumen 4. Los posibles son:
(- 2)(9) = -18
(2)(-9) = -18
(3)(-6) = -18
(-3)(6) = -18
(1)(-18) = -18
(-1)(18) = -18
(- 2) + (9) = 7 (2) + ( -9) = -7
(3) + ( -6) = -3
(1) + ( -18) = -17
(-1) + ( 18) = 17
(-3) + ( 6) = 3
La ecuación NO factoriza sobre los reales. Habría que utilizar OTRO método para resolver.
Ejemplo
Resolver: 4x2 – 9 = 0
Solución: Factorizar la expresión cuadrática. Esto es una diferencia de cuadrados, por lo tanto factoriza (2x – 3) (2x + 3) = 0 Por el principio del factor cero tenemos que 2x – 3 = 0 2x = 3 x = 3/2
El conjunto solución es
−𝟑
𝟐,
𝟑
𝟐
2x + 3 = 0 2x = -3 x = -3/2
Ejemplo
Resolver:
Solución: Factorizar la expresión cuadrática. 2𝑥2 + 𝟖𝒙 − 𝟑𝒙 − 12 = 0 2x(x + 4) – 3(x + 4) = 0 (x + 4)(2x – 3)=0 Por el principio del factor cero tenemos que
x + 4=0
x= -4
El conjunto solución es −4, 3/2
2x – 3 = 0 2x = 3 x = 3/2
𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎
Ejemplo
Resolver:
Solución: Primeramente, factorizar la expresión por factor común. 𝑥3 − 8𝑥2 + 16𝑥 = 0
𝑥(𝑥2 − 8𝑥 + 16) = 0 Luego, factorizar el trinomio cuadrático x(x – 4)(x – 4) = 0
x – 4 = 0
x= 4
El conjunto solución es 𝟎, 𝟒
x = 0
Aplicar el principio del factor cero .
𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 = 𝟎
Ejemplo
Resolver: 16𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟒 = 𝟎
Solución: Factorizar la expresión por factor común. 16𝑥2 − 9𝑥4 = 0 𝑥2(16 − 9𝑥2) = 0 Factorizar la diferencia de cuadrados 𝑥2(4 − 3𝑥)(4 + 3𝑥) = 0
4 – 3x = 0
x= 4/3
El conjunto solución es 𝟎, −𝟒
𝟑, 𝟒/𝟑
x2 = 0 x = 0
Aplicar el principio del factor cero
4 + 3x = 0 x= - 4/3
Ejercicios
A. Escriba en forma general
1) 3x - 5 = 2x2 + 10
2) (4x - 5)(3x + 2) - 3x = 5
3) 7x - 3x2 = 4 - 6x
B. Determine si el número a la derecha es solución
o no de la ecuación.
1) x2 - 5x - 24 = 0 {8}
2) 2x2 - 4x + 5 = 0 {2}
3) 3x2 + x - 2 = 0 {-1}
Soluciones
A. Escriba en forma general
1) -2x2 - 3x + 15 = 0
2) 12x2 - 10x - 15 = 0
3) -3x2 + 13x - 4 = 0
B. Determine si el número a la derecha es solución
o no de la ecuación.
1) cierto
2) falso
3) cierto
Ejercicios
Soluciones