Aplicaciones de las Ecuaciones Cuadráticas

• Ejemplo 1 (Jardinería): Un jardín rectangular es 60 por 80 pies. Parte del jardín ha sido removido para instalar una acera de ancho uniforme alrededor de el. El área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín.

Indique el ancho de la acera.

Ejemplo 1 (Jardinería) …

1. Planteamiento del problema.

xx

xxx

xx

x

60 pies

80 pies

Jardín viejo

Jardín nuevo

Acera

Como no sabemos el ancho de la acera, llamamos a su ancho x.

60 – 2x

80 – 2x

Ejemplo 1 (Jardinería) …

2. Traduzca en una ecuación. El área de un rectángulo es largo por ancho.

Área del jardín viejo = 60 ∙ 80;

Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x)

Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín, tenemos:

(60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80

3. Solucionar la ecuación:

2

2

2

160 2 80 2 60 80

2

4800 120 160 4 2400

4 280 2400 0

70 600 0

10 60 0

10 o 60

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

Multiplicando en ambos miembros.

Agrupando y transponiendo términos.

Dividiendo entre 4

Factorizando

Usando el principio de cero como producto

4. Comprobación: Sustituimos en la ecuación original.

10 60

60 2 60 2

60 2 60 20 60 2 60 120

40 60

80 2 80 2

80 2 80 20 80 2 80 120

10 60

60

10 60

40

x x

x x

x x

Para Para

Ancho Ancho

Ancho pies Ancho

Largo Largo

Largo pies Largo

Solución verdadera porque el ancho y largo dan números positivos

x = 60 no puede ser porque el ancho y largo dan negativo y no puede ser negativo.

5. Respuesta:El ancho de la acera es de 10 pies.

• Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) :

Una escalera se reclina contra un edificio, como se indica en el dibujo. La escalera mide 20 pies de largo. La altura donde se apoya la escalera es 4 pies mayor que la distancia (d) de la escalera al edificio.

Encuentre la distancia d y la altura donde se apoya la escalera.

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …

1. Planteamiento del problema.

Primero hacemos un dibujo y lo identificamos. Queremos encontrar d y d + 4.

20 ft 4d

d

20 ft d + 4

d

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …

2. Traduzca en una ecuación.

Usando el Teorema de Pitágoras, dado que se forma un triángulo rectángulo en la figura, tenemos:

2 2 2

22 220 4

c a

d d

b

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …

3. Resolver la ecuación.

22 2

2 2

2

2

20 4

400 8 16

2 8 384 0

4 192 0

16 12 0

16 0 o 12 0

16 o 12

d d

d d d

d d

d d

d d

d d

d d

Elevando al cuadrando.

Agrupando y transponiendo términos.

Dividiendo por 2.

Factorizando.

Usando los productos nulos.

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …

4. Resultado final.

La distancia d es 12 pies y la altura a la que se apoya la escalera es 12 + 4 (d + 4), o 16 pies.

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) .

Suponga que la escalera en el Ejemplo 2 tiene una longitud de 10 ft.

Encuentre la distancia d y la distancia d + 4.

Usando el mismo razonamiento del problema anterior (Ejemplo 2), traducimos el problema a la ecuación102 = d2 + (d + 4)2.

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) …

Usando la fórmula cuadrática:

2 2

2

2

22 4 4

100 8 16

2 8 84 0

4 42 0

44

2 2

4 16 168 4 184

2 2

4 4 46 4 2 46

1 4

2 6

1

4

2

2 2

d d d

d d

d d

b b acd

a

Elevando al cuadrando

Agrupando términos.

Multiplicando por ½, o dividiendo entre 2

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) …

2 26 0 46 2,

2 46 2 6.782 4.782

4 4.782 4 8.782

d

d

Dado que y encontramos que

pies

pies

Respuesta:

d = 4.782 pies. d + 4 = 8.782 pies.

• Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) :

La temperatura T, a la cual hierve el agua, se relaciona con la altitud h, en metros sobre el nivel del mar, mediante la fórmula:

Válida entre .

La elevación aproximada del Monte Everest es de 8840, ¿cuál será la temperatura a la cual hierve el agua en la cima de esa montaña ?

21005801001000 TTh

10095 T

• Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)

1.- Obtención de la ecuación:

Se sustituye h = 8840 en la fórmula, esto es:

Ahora se sustituye temporalmente , resultando:

Que también se puede representar como:

Dividiendo entre 10, tenemos:

210058010010008840 TT

Tx 100

258010008840 xx

088401000580 2 xx

088410058 2 xx

• Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)

2.- Solución de la ecuación:

Se aplica la ecuación cuadrática con: a = 58, b = 100, c = -884.

86.4116

563

135.3116

77.363

116

463100

116

215088100

116

20508810000100

582

884584100100

2

1

2

x

xx

x

x

x

• Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)

3.- Solución del problema:

Se sustituyen los resultados en la expresión x = 100 – T, y obtenemos:

100 – T = 3.135 y 100 – T = -4.86

Por lo que T toma los Valores: T = 96.86, y T = -104.86

Examinando con detenimiento el problema, en el enunciado se señala que la fórmula es válida para 95 T 100, por lo que la solución T = -104.86 no es válida y se debe desechar.

En conclusión, la temperatura a la que hierve el agua en la cima de monte Everest es:

T = 96.86 °C.