redes de secuencia

Método de las componentes simétricas: Este método, está basado en el teorema de Fortescue que permite analizar fallas asimétricas en sistemas trifásicos, pero puede ser usado para resolver cualquier sistema cuyas condiciones sean asimétricas en un momento. Los casos en los que se usa este método, regularmente son:

Falla monofásica a tierra

Falla Bifásica a tierra

Falla bifásica

Pérdida de un conductor

Componentes Simétricas Fortescue estableció que " Cualquier sistema

asimétrico de n vectores, puede ser descompuesto en n sistemas simétricos con n vectores, cada uno“.

Para el caso de los sistemas trifásicos podemos descomponer el sistema en tres conjuntos de tres vectores cada uno y de esta forma tendremos tres componentes simétricas. Si tomamos el ejemplo de la representación de las tensiones de fase, tenemos…

Componente de secuencia 0 Consiste en tres fasores de magnitudes iguales y desplazamiento de fase “0”.

𝑉𝑎0 𝑉𝑏0 𝑉𝑐0

Componente de secuencia “positiva” Consta de tres fasores de magnitudes iguales y desplazamiento de fases ±120𝑜 y con secuencia positiva

𝑉𝑎0

𝑉𝑏0

𝑉𝑐0

Componente de secuencia “negativa” Consta de tres fasores de magnitudes iguales y desplazamiento de fases ±120𝑜 y con secuencia negativa.

𝑉𝑎0

𝑉𝑏0

𝑉𝑐0

Representación de las fases Ahora como tenemos tres sistemas trifásicos, podemos simplificar trabajar únicamente con las componentes de secuencia positiva de la fase “a” y el sistema estaría presentado por:

𝑉𝑎

𝑉𝑏

𝑉𝑐

=1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

.

𝑉𝑎0

𝑉𝑎1

𝑉𝑎2

en donde 𝑎 = 1∠1200

Representación de fases Dado que únicamente vamos a trabajar con las secuencias de fase de Va podemos simplificar retirando el subíndice a y reemplazamos 𝑉𝑎0, 𝑉𝑎1 𝑦 𝑉𝑎2 𝑐𝑜𝑛 𝑉0, 𝑉1

𝑦 𝑉2 respectivamente, con lo que tenemos

𝑉𝑎

𝑉𝑏

𝑉𝑐

=1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

.𝑉0

𝑉1

𝑉2

en donde 𝑎 = 1∠1200

Representación de fases … para representar la anterior expresión de manera

mas compacta podemos nombrar vectores 𝑉𝑝, 𝑉𝑠 y la

matiz A como sigue

𝑉𝑝 =

𝑉𝑎

𝑉𝑏

𝑉𝑐

𝑉𝑠 =𝑉0

𝑉1

𝑉2

𝐴 =1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

Quedando 𝑉𝑝=A𝑉𝑠

Representación de las componentes simétricas De manera inversa tenemos que

𝑉𝑠 =A−1. 𝑉𝑝

En donde

𝐴−1 =1

3

1 1 11 𝑎 𝑎2

1 𝑎2 𝑎

Representación de las componentes simétricas Ahora podemos representar 𝑉𝑠 =A−1. 𝑉𝑝 como tres

ecuaciones separadas

𝑉0 =1

3𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 + 𝑉𝑐

𝑉1 =1

3𝑉𝑎 + 𝑎2𝑉𝑏 + 𝑎𝑉𝑐

𝑉2 =1

3𝑉𝑎 + 𝑎𝑉𝑏 + 𝑎2𝑉𝑐

y se puede observar que si el sistema es balanceado 𝑉0 = 0

Representación de las componentes simétricas De igual manera pueden ser representadas las componentes de secuencia para las corrientes de fase

𝐼0 =1

3𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐

𝐼1 =1

3𝐼𝑎 + 𝑎2𝐼𝑏 + 𝑎𝐼𝑐

𝐼1 =1

3𝐼𝑎 + 𝑎𝐼𝑏 + 𝑎2𝐼𝑐

… y sabiendo que la corriente a neutro es 𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐

Deducimos que 𝐼𝑛 = 3𝐼0

Redes de secuencia de impedancias de cargas Tomemos como base el sistema balanceado de la siguiente figura

… deduciendo la tensión de fase Va tenemos que

𝑉𝑎 = 𝑍𝑌𝐼𝑎 + 𝑍𝑛𝐼𝑛

Y como sabemos que 𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏+ 𝐼𝑐

𝑉𝑎 = (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛)𝐼𝑎+𝑍𝑛𝐼𝑏+𝑍𝑛𝐼𝑐

Redes de secuencia de impedancias de cargas

de igual manera podemos deducir 𝑉𝑏 y 𝑉𝑐, obteniendo la matriz de impedancia de fase

𝑍𝑝 =

(𝑍𝑌 + 𝑍𝑛) 𝑍𝑛 𝑍𝑛

𝑍𝑛 (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛) 𝑍𝑛

𝑍𝑛 𝑍𝑛 (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛)

de esta manera podemos decir que 𝑉𝑝 = 𝑍𝑝𝐼𝑝 ↔ A𝑉𝑠 =𝑍𝑝𝐴𝐼𝑠

Y despejando 𝑉𝑠 =(𝐴−1𝑍𝑝𝐴)𝐼𝑠

Redes de secuencia de impedancias de cargas

Y en forma matricial (𝐴−1𝑍𝑝𝐴) será

(𝐴−1𝑍𝑝𝐴) =1

3

1 1 11 𝑎 𝑎2

1 𝑎2 𝑎

(𝑍𝑌 + 𝑍𝑛) 𝑍𝑛 𝑍𝑛

𝑍𝑛 (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛) 𝑍𝑛

𝑍𝑛 𝑍𝑛 (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛)

1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

(𝐴−1𝑍𝑝𝐴) = 𝑍𝑠 =

(𝑍𝑌 + 3𝑍𝑛) 0 00 𝑍𝑌 00 0 𝑍𝑌

Redes de secuencia de impedancias de cargas

… y de esta manera podemos describir las componentes de secuencia de la impedancia

𝑍0 = 𝑍𝑌 + 3𝑍𝑛

𝑍1 = 𝑍𝑌

𝑍2 = 𝑍𝑌

Redes de secuencia de impedancias de cargas

Para el caso de carga en delta tenemos

𝑍0 =𝑍∆

3+ ∞

𝑍1 =𝑍∆

3

𝑍2 =𝑍∆

3

Redes de secuencia de impedancias de cargas

Redes de secuencia de impedancias de cargas

Redes de secuencia de impedancias serie

Para el caso de las impedancias serie debemos considerar también las impedancias mutuas y podemos expresar de forma matricial:

𝑉𝑎 − 𝑉𝑎′

𝑉𝑏 − 𝑉𝑏′

𝑉𝑐 − 𝑉𝑐′

=

𝑍𝑎𝑎 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑎𝑐

𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑏𝑏 𝑍𝑏𝑐

𝑍𝑎𝑐 𝑍𝑏𝑐 𝑍𝑐𝑐

𝐼𝑎

𝐼𝑏

𝐼𝑐

Si operamos de igual forma como en el caso de la impedancia de carga,

𝑉𝑠 − 𝑉𝑠′ = 𝑍𝑠𝐼𝑠, 𝑐𝑜𝑛 𝑍𝑠 = 𝐴−1𝑍𝑝𝐴

En donde 𝑍𝑝 es la matriz de impedancias de fase para la red serie

Redes de secuencia de impedancias serie

y bajo la condición de que 𝑍𝑎𝑎 = 𝑍𝑏𝑏 = 𝑍𝑐𝑐 𝑍𝑎𝑐 = 𝑍𝑎𝑏 = 𝑍𝑏𝑐

obtenemos que

𝑍0 = 𝑍𝑎𝑎 + 2𝑍𝑎𝑏

𝑍1 = 𝑍𝑎𝑎 − 𝑍𝑎𝑏

𝑍2 = 𝑍𝑎𝑎 − 𝑍𝑎𝑏

𝑉0 − 𝑉0′ = 𝑍0𝐼0

𝑉1 − 𝑉1

′ = 𝑍1𝐼1

𝑉2 − 𝑉2′ = 𝑍2𝐼2

Redes de secuencia de impedancias serie

Redes de secuencia de impedancias serie

Redes de secuencia de máquinas rotativas

Para este caso tenemos

𝑉𝑎

𝑉𝑏

𝑉𝑐

=

𝐸𝑎

𝐸𝑏

𝐸𝑐

−

𝑍𝑔 + 𝑍𝑛 𝑍𝑛 𝑍𝑛

𝑍𝑛 𝑍𝑔 + 𝑍𝑛 𝑍𝑛

𝑍𝑛 𝑍𝑛 𝑍𝑔 + 𝑍𝑛

𝐼𝑎

𝐼𝑏

𝐼𝑐

De forma simplificada 𝑉𝑝 = 𝐸𝑝 − 𝑍𝑝𝐼𝑝

𝐴𝑉𝑝 = 𝐴𝐸𝑝 − 𝑍𝑝𝐴𝐼𝑝

𝑉𝑠 = 𝐸𝑠 − (𝐴−1𝑍𝑝𝐴)𝐼𝑠

𝑉𝑠 = 𝐸𝑠 − 𝑍𝑠𝐼𝑠

Redes de secuencia de máquinas rotativas

… en donde

𝐸𝑠 =0

𝐸𝑎

0

𝑍𝑠 = 𝐴−1𝑍𝑝𝐴 =

𝑍𝑔 + 3𝑍𝑛 0 0

0 𝑍𝑔 0

0 0 𝑍𝑔

=

𝑍0 0 00 𝑍1 00 0 𝑍2

y finalmente

𝑉0

𝑉1

𝑉2

=𝐸0

𝐸1

𝐸2

−𝑍0 0 00 𝑍1 00 0 𝑍2

𝐼0

𝐼1

𝐼2

Redes de secuencia de máquinas rotativas

Redes de secuencia de máquinas rotativas

Redes de secuencia de trafos

Redes de secuencia de trafos

Redes de secuencia de trafos

Aplicaciones Como se mencionó inicialmente, el método permite el análisis de las fallas asimétricas especialmente, que son:

Falla monofásica a tierra

Falla Bifásica a tierra

Falla bifásica

Pérdida de un conductor

Cabe recordar que el método también nos permite el análisis de fallas simétricas

Falla monofásica a tierra Ya que la falla ocurre en una falla podemos deducir que: 𝑉𝑎 = 0 𝐼𝑏 = 𝐼𝑐 = 0 𝑉𝑎 = 𝑉0 + 𝑉1 + 𝑉2 = 0

𝐼𝑎 = 𝐼0 + 𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝐼𝑏 = 𝐼0 + 𝑎2𝐼1 + 𝑎𝐼2 = 0 𝐼𝑐 = 𝐼0 + 𝑎𝐼1 + 𝑎2𝐼2 = 0 De donde deducimos que: 𝐼0 = 𝐼2 = 𝐼3

Falla monofásica a tierra

Cortocircuito bifásico aislado de tierra

Deducimos que:

𝐼𝑎 = 0 𝐼𝑐 = −𝐼𝑏 𝑉𝑏𝑔 − 𝑉𝑐𝑔 = 𝑍𝑓𝐼𝑏

De las que obtenemos:

𝐼0 = 0 𝐼1 = −𝐼2 𝑉1 − 𝑉2 = 𝑍𝑓𝐼1

Cortocircuito bifásico aislado de tierra

Deducimos que:

𝐼𝑎 = 0 𝑉𝑏𝑔 = 𝑉𝑐𝑔 = 𝑍𝑓 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐

Cortocircuito bifásico a tierra

Y obtenemos:

𝐼0 + 𝐼1 + 𝐼2 = 0 𝑉0 − 𝑉1 = 3𝑍𝑓𝐼1

𝑉1 = 𝑉2

Cortocircuito bifásico a tierra

Pérdida de una fase de alimentación

Deducimos que:

𝐼𝑎 = 0 𝐼𝑏 = −𝐼𝑐

Y obtenemos que

𝐼0 = 0 𝐼1 = −𝐼2

Pérdida de una fase de alimentación

GRACIAS