proyecto mercy ortega

UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA

FACULTAD DE CIENCIAS

EMPRESARIALES

PROYECTO DE AULA

MATEMATICAS

NOMBRE: MERCY ORTEGA

PROFESORA: SARA CRUZ

INFORMACIÓN DE LA ASIGNATURA

1.1 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MATEMÁTICAS

1.2 MALLA CURRICULAR: CURSO DE NIVELACIÓN

1.3 PERIODO ACADEMICO: 2012 - 2013

1.4 DESCRIPCION DE LA ASIGNATURA

Mediante el transcurso del curso de nivelación por parte de la Senecyt, la

asignatura de matemática ha estado a cargo del Ing. Sara Cruz, quien como

docente académico a retroalimentado los saberes aprendidos en Bachillerato,

se puede decir que la asignatura de matemáticas es media complicada pero

nuestro docente, ha sabido enseñarnos y explicarnos las dudas que hemos

tenido.

1.5 ENFOQUE Y ESTRATEGIA

¿Cuál es el enfoque?

El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo;

aprender

Con una visión sistemática, humana e integral de la persona, el aprendizaje y la

La base operativa de esta concepción del aprendizaje se sustenta en la

metodología

De procesos, el desarrollo de las habilidades de matemáticas, la transferencia

procesos al aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje significativo.

¿Cuál es la estrategia?

En cuanto a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo

autónomo,

para la conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y

diferenciadas;

Alcanzar el hábito de aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para

Alcanzar las competencias necesarias para utilizar los procesos

espontáneamente, con acierto y efectividad.

El aprendizaje se logrará:

Mediante la mediación y el monitoreo del docente para lograr el desarrollo

progresivo de la autonomía del alumno para aprender continuamente hasta

lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.

Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, el

constructivismo, el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizaje

significativo y el desarrollo integral humano.

A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual, y la verificación y

retroalimentación permanentes.

1.6 ACTITUDES Y VALORES REQUERIDOS PARA APRENDER Y

APRENDER A APRENDER

Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para

generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con otros.

Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interés y

humildad.

Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y del crecimiento

personal.

Valorar el interés de docentes, familiares y amigos, en beneficio del crecimiento

personal y social.

Mostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y los

beneficios de aprender y aprender a aprender.

1.7 OBJETIVOS GENERALES

Realizar actividades que sean motivadores y que lleven al alumno a

considerar que las matemáticas están presentes en todos los ámbitos

donde se desenvuelve su vida diaria.

Elevar el índice de rendimiento y conocimiento en la asignatura de

matemáticas de los futuros alumnos del curso de nivelación SNNA de la

Facultad de Ciencias Empresariales de la Universidad Técnica de

Machala, con la finalidad de fortalecer los conocimientos que ofrecen los

profesores en las aulas y así mejorar el rendimiento de los aspirantes

antes mencionados.

1.8 ESTANDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR

Se utilizara una escala de cinco niveles para verificar el avance de los

estudiantes en el desarrollo de las competencias del curso, la cual se describe

a continuación:

Desempeño

Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.

Realiza o demuestra el desempeño esperado con la medición del

docente

Realiza o demuestra el desempeño esperado por su propia iniciativa.

Realiza o demuestra el desempeño esperado por su cuenta y es capaz

de corregir tus propios errores.

Realiza todo lo anterior y además es capaz de guiar a otros, de tomar

una decisión para introducir modificaciones en su trabajo y de crear

nuevos escenarios o productos. Reconoce el valor y la utilidad de sus

aprendizajes.

1.9 PROGRAMACION TEMATICA (Contenido de la asignatura)

CAPITULO 1

LOGICA MATEMATICAS.

CAPITULO 2

NUMEROS BINARIOS

CAPITULO 3

FUNCIONES

CAPITULO 4

TRIGONOMETRIA

CAPITULO 11

TABLAS DE FRECUENCIAS

1.10 TEXTO Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS:

TEXTO GUIA:

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS.

1.11 DESCRIPCION DE LA METODOLOGIA DE LA ASIGNATURA

ESTRATEGIAS PEDAGOGICAS DEL DOCENTE

-Organizar grupos de trabajo y de estudio de las temáticas a tratar.

-Realizar tareas de refuerzo en clase a través de talleres de ejercicios.

-Definir tareas de aprendizaje a ejecutarse como refuerzo extraclase.

-Seleccionar artículos de internet y ofrecerlos a los estudiantes para su análisis.

-Utilizar las Tics a través del diseño y aplicación del aula virtual de la

asignatura.

TRABAJOS QUE DEBE REALIZAR EL ESTUDIANTE

-Participar activamente y responsablemente de los grupos de trabajo y de

estudio.

-Ejecutar las tareas de aprendizaje propuestas tanto en clase como las extra

clase.

-Analizar críticamente los artículos de internet dados por el docente.

-Participar de las actividades de aprendizaje propuestas en el aula virtual de la

asignatura.

1.12 PORTAFOLIO DE LA ASIGNATURA

En el portafolio de la asignatura constará lo siguiente:

- Datos informativos

- Programa analítico de la asignatura

- Tareas de refuerzo en los talleres de clase

- Tareas de refuerzo extraclase

- Evaluaciones parciales

- Evaluación final

- Trabajo final

1.13 RECURSOS DIDACTICOS

Los recursos didácticos a emplearse son:

-Texto guía y textos adicionales

-Tecnologías de la información (Tics )

-Computador conectado a internet

-Proyector

-Aulas de Clase, Pizarrón y marcadores

1.14 EVALUACION DE LA ASIGNATURA

La evaluación de la asignatura se hará en base a los siguientes parámetros:

Parámetros de evaluación Porcentaje

LOGROS DE APRENDIZAJE 50%

Pruebas parciales

Examen Final

Proyecto de Aula

PROCESO DE APRENDIZAJE 50%

Participación en clase: Talleres de ejercicios

Control de lectura en clases

Trabajo autónomo

Total…………………………………………………….. 100 %

PROGRAMA ANALÍTICO DE

LA ASIGNATURA

UNIDAD N°1

LOGICA MATEMATICA.

PROPOSICIONES.

No es proposición cuando están incompletos, o son preguntas

Se representa con las primeras letras del abecedario en minúsculas.

And = Y

Or = Ó

Not = O

VALORES DE VERDAD

El valor de verdad es una proposición es la cualidad de veracidad que describe

adecuadamente la proposición, este puede ser verdadero o falso.

Usualmente el valor verdadero se lo asocia como: True, 1, V, mientras que el

valor falso se lo asocia como: False, 0, F. Se podría utilizar cualquiera de ellas,

pero la más usual de 1 y 0.

TABLA DE VERDAD

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad

que podrían tomar una proposición.

a b0 11 0

a b c0 0 10 1 00 0 11 1 01 0 11 1 0

OPERADORES LÓGICOS

NEGACIÓN

Sea “a” una proposición, la negación de “a” representada simbólicamente por

“¬a”; es una nueva proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente

tabla de verdad:

Este operador lógico cambia de valor de verdad de una proposición si “a” es

una proposición verdadera, la negación de “a” será una proposición falsa; si “a”

es una proposición falsa la negación de “a” será verdadera.

La negación de “a” se representa con los términos gramaticales: “no”, “ni”, “no

es cierto que”, “no es verdad que”.

a: Tengo un billete de $5 dólares

¬a: No tengo un billete de $5 dólares

CONJUNCIÓN

Sean “a” y “b” proposiciones, la conjunción entre “a” y “b” se representa

simbólicamente por “a ^ b”, es una proposición cuyo valor de verdad está dado

a¬0110

por las siguientes tablas de verdad .Este operador lógico relaciona 2

proposiciones para formar una nueva en la cual la proposición resultante será

verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es

verdadero. En español la conjunción copulativa se representa con los términos

gramaticales: “y”, “pero”, “más”, y signos de puntuación

como: “,” - “.” y el “;”.

a: Obtengo buenas notas

b: Gano una beca

a ^ b: Obtengo buenas notas y gano una beca

a: Trabajo mucho

b: Recibo un bajo sueldo

a ^ b: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo

DISYUNCIÓN.

Sean “a” y “b” proposiciones, la disyunción entre a y b se representa

simbólicamente por “a V b”, es una nueva proposición cuyo valor de verdad

esta dado por la siguiente tabla de verdad:

Este operador lógico relación 2 proposiciones para formar una nueva, en la

cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad

de ambas proposiciones es falso.

En español la disyunción se representa con el término gramatical “o”

a: Tengo un libro de trigonometría

b: Tengo un libro de álgebra

aVb: Tengo un libro de trigonometría o tengo un libro de álgebra

a b a ^b

A b a V b

Como se podrán notar en este ejemplo existe la posibilidad, razón por la cual

esta disyunción merece el nombre de disyunción inclusiva.

En el lenguaje español suelen representarse situaciones que son mutuamente

excluyentes entre sí. La expresión “o estoy en Quito o estoy en Guayaquil”

denota la imposibilidad de estar físicamente en Quito o en Guayaquil al mismo

tiempo.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Sean “a” y “b” proposiciones, la disyunción exclusiva entre a y b representado

simbólicamente por a V b, es una proposición cuyo valor de verdad está dado

por la siguiente tabla de verdad:

En español la disyunción exclusiva se representa por el termino gramatical “o”,

“o solo”, “o solamente”, “,”.

CONDICIONAL

Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b representada

simbólicamente por ab, a y b, es una nueva proposición cuyo valor de

verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Las formas gramaticales para expresar condicional son: “si a entonces b”, “a

solo si b”, “a solamente si b”, “b si a”.

Se tienen las proposiciones

a b a V b

a: Juan gana el concurso

b: Juan dona $10.000 dólares

ab: Si Juan gana el concurso entonces Juan dona $10.000 dólares.

ba: Juan dona $10.000 si Juan gana el concurso.

TIPO DE CONDICIONAL:

Recíproca.- b a “b implica a”

Contra recíproca.- ¬b ¬a

Inversa.- ¬a ¬b

EJERCICIO

A partir de la preposición

Si es un automóvil, entonces es un medio de transporte

-Si es un medio de transporte, entonces es un automóvil ( ba )

-Si no es un automóvil, entonces no es un medio de transporte (¬a ¬b)

-Si no es un medio de transporte, entonces no es un automóvil (¬b ¬a)

BICONDICIONAL

“a si solo si b”

“a si y solamente si b”

“a implica b y b implica a”

a b a->b

a b a<->b

“a cuándo y solo cuando b”

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Traduzca al lenguaje simbólico la siguiente proposición:

“Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la

ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen pero la

seguridad privada es efectiva, entonces el turismo no se desarrolla.”

-La seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la ciudad

y el turismo se desarrolla. (a b ^ c)

-Los índices de asalto no disminuyen pero la seguridad privada es efectiva,

entonces el turismo no se desarrolla. (¬b ^ ¬a ¬c)

a: La seguridad privada es efectiva

b: Disminuyen los índices de asalto en la ciudad

c: El turismo se desarrolla

[ a (b ^ c) ^ (¬b ^ ¬a) ] (¬c)

Traduzca al lenguaje formal la siguiente proposición.

-“Estudio y apruebo el examen de admisión o repruebo y lo intento una vez

mas”

a: Estudio

b: Apruebo el examen de admisión.

c: Lo intento una vez más.

[(a˄b) ˅ (˥b˄c)]

-Mi equipo gana el juego de futbol y obtiene los 3 puntos, o pierde y trata de

ganar el próximo juego.

a: Mi equipo gana el juego de futbol.

b: Obtiene los 3 puntos.

c: trata de ganar el próximo juego.

[(a˄b) ˅ (˥a˄c)]

˥(a˅b)→(c˄˥d)

˥(0˅0)→(1˄0)

˥(0)→(0)

˥(c↔d) ˅ (b˄d)

˥(1↔1) ˅ (0˄1)

˥ (1) ˅ (0)

0 ˅ 0

(a˄b) ˅ (c˄d)

(0˄0) ˅ (1˄1)

0 ˅ 1

(a↔c) ˅ (a˅d)

(0↔1) ˄ (0˅1)

0 ˄ 1

(b↔c) ˅ (c˅d)

(0↔1) ˅ (0˅1)

0 ˅ 1

FORMAS PROPORCIONALES

A:[(p˄q)→(r˅˥q)]˄r

P Q R p˄q ˥q r˅˥q (p˄q)→(r˅˥q) A

0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 0

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

TAUTOLOGÍA.- Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos

los valores de verdad de las variables proporcionalmente, se dice que es una

tautología.

CONTRADICCIÓN.- Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los

valores de verdad de las variables proporcionales, se dice que es una

contradicción.

CONTINGENCIA.- Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras

falsas para los valores de verdad de las variables proporcionales, se dice que

es una contingencia.

IMPLICACIÓN LÓGICA.- Sean A y B 2 formas proporcionales se dice que A

implica lógicamente a B, denotado por A→B, si y solo si A→B es una

tautología. Ejemplo:

p Q q→p P=>(q→p)

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1

EQUIVALENCIA LÓGICA.- Sean A y B 2 formas proporcionales, se dice que A

es equivalente lógicamente a B, denotado por A↔, si y solo si la bicondicional

de A y B es una tautología.

p→ (q˄r) p:1

1→(0˄0) q:0

1→0 r: 0

˥(p˄˥q˄˥r)

p Q R ˥q ˥r p˄˥q (p˄˥q˄˥r) ˥(p˄˥q˄˥r)

0 0 0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1 1 0

1 0 1 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0 1

LEYES DE OPERADORES FUNDAMENTALES.

Conjunción Disyuncion

(p˄q)=(q˄p) Conmutativa (p˅q)=(q˅p)

[(p˄q)˄r]=[(p˄(q˄r)] Asociativa [(p˅q)˅r]=[(p˅(q˅r)]

p˄p= p Idempontencia (p˅p)=p

p˄1=p Identidad (pv0)=p

(p˄0)=o Absorción (pv1)=1

Negación

˥(˥p)=0 Doble negación Involutiva

p˅(q˄r)=(p˅q)˄(p˅r)

p˄(q˅r)=(p˄q)˅(p˄r)

Distributivas

˥(p˄q)= (˥p˅˥q)

˥(p˅q)= (˥p˄˥q)

De Morgan

(p˅˥p)= 1 Tercero excluido

(p˄˥p)= 0 Contradicción

(p→q).(˥q→˥p) Contradicción contra reciproca.

(p→q)=(˥p˅q)

˥(p→˥q)=(p˄q)

(˥p→q)=(p˅q)

Implicacioón

[(p→r)˄(q→r)]= [(p˅q)→r)

[(p→r)˄(q→r)]= [p→(q˄r)]

[(p˄q)˄(p→r)] - [p→(q→r)] Exportación

(p→q)=[(p˅˥q)→0] Reducción al Absurdo

[(pq)= [(p→q)]˄ (q→p)]

(pq)=(qp)

Forma Simbolica Tautología

p→p Trivial

p→(p˅p) Adiccion

(p˄q)→p Simplificación

[(p→q)˄p]→q Suposición del Antecedente

[(p→q)˄˥q]=>˥q Silogismo Disyuntytivo

[(p→q)˄(r→s)]=>(p˄r)→(q˄s)]

[(p→q)˄(r→s)]=>[(p˅r)→(q˅s)]

Dilemas constructivas

[(p→q)˄(q→r)]=>[(p→r)

[(pq)˄(q→r)]=>(p→r)

Transitividad

Sigolismo

Hipotético

Aplicando leyes lógicas determina si la forma proporcional es una tautología,

contradicción o falacia.

[p→(p˅q)]→0

˥p˅(p˅q)→0 Implicación

(˥p˅p)˅q→0 Asociación

1˅q→0 Tercero excluido

1→0 Absorción/Disyunción

Contradicción

RAZONAMIENTO

Es una expresión de la forma H1˄H2˄H3˄………..Hn→c

VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO.

Un razonamiento es válido si su forma proporcional es una tautología y n o

valido si su forma proporcional una falacia.

Método de Reducción al Absurdo.

Consiste en obligar al razonamiento a que sea falsa, para ello asignamos

valores a las variables proporcionales, de tal forma que la hipótesis, sean

verdaderas y la conclusión falsa, para de esa forma obtener la combinación

1→0 correspondiente a falso. Si se logra lo anterior el razonamiento no es

válido, porque se a encontrado un falso en la tabla de verdad. Si no es posible

lograr esta (posibilidad) combinación, no existe el falso en la tabla de verdad y

se concluye que el razonamiento es válido.

H1˄H2˄H3→C 1→0=0

EJERCICIO.

Determine si el siguiente razonamiento es válido.

“Si pablo recibió el email, entonces tomo el avión y estará aquí al medio día.

Pablo tomo el avión. Luego. Pablo no recibió el email.

a: Pablo recibió el e-mail

b: Pablo tomo el avión.

c: Pablo estaría aquí al medio día.

[a→(b˄c)˄˥b)→˥a

H1: a→(b˄c) a→p H1:p→(q˄r)

H2:˥b b→q H2:˥q

C:˥a c→r C:˥p

H1˄H2→C

[p→(q˄r)˄˥q]→˥p

P q R ˥p ˥q (q˄r) p→(q˄r) p→(q˄r)˄˥q C

0 0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 1 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1 0 1

[p→(q˄r)˄˥q]→˥p

˥[p→(q˄r)˄˥q]˅˥p

˥[˥p˅(q˄r)˄˥q]˅˥p

˥[˥p˅(q˄r)]˅˥(˥q˅˥p)

Determinar si la forma proporcional p˄(q˅r)]˄˥(˥q˅˥p) es una tautología,

contradicción o falacia.

p˄(q˅r)]˄˥(˥q˅˥p)

P q ˥p ˥q p˅q p˄(p˅q) ˥p˅˥q p˄(p˅q)˄(˥p˅˥q)

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 0 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 0 0

p˄(p˅q)˄(˥p˅˥q)

p˄(˥p˅˥q)

(p˄˥p)˅(p˄˥q)

0˅(p˄˥q)

(p˄˥q) → Contingencia.

Reducción

p˄(p˅q) = p

p˅(p˄q) = p

p˄(p˅q)˅(˥p˅˥q)

p˄(˥p˅˥q) Reducción

(p˄˥p)˅(p˄˥q) Distributiva

0˅(0˄˥q) Identidad/Disyunción

p˄˥q Contingencia.

Determinar la forma proporcional es una tautología, contradicción.

P→[(˥r˅p)→p]

P r ˥r (˥r˅p) (˥r˅p)→p p→[(˥r˅p)→p

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1

1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

p→[(˥r˅p)→p] Implicación

˥p˅[(˥r˅p)→p] Implicación

˥p˅[˥(˥r˅p)˅p] Doble negación

˥p˅˥(˥r)˄(˥p)˅p] Morgan

˥p˅(r˄˥p)˅p Tercero excluido

(˥p˅p)˅(r˄˥p) Absorción

1˅(r˄˥p)

EJERCICOS DE APLICACIÓN

[˥p˄(p˅q)]˄˥q

P q ˥p p˅q ˥q ˥p˄(p˅q) ˥p˄(p˅q)˄˥q

0 0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 0 1 0

1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 1 0 0 0

Contradicción

[˥p˄(p˅q)]˄˥q Distributiva

(˥p˄p) ˅ (˥p˄q) ˄˥q Contradicción

(0˅(˥p˄q)˄˥q Identidad/Disyuntiva

(˥p˄q) ˄˥q Asociación

(q˄˥q)˄˥p

0˄(˥p) Absorción

Dado el razonamiento.

H1.Si lo intento con ahincó y tengo talento, entonces me convierto en músico.

H2. Si me convierto en músico seré feliz.

Si no voy a ser feliz, entonces no lo intento con ahincó o no tengo talento.

H1˄H2→C

a. Lo intento con ahinco

b. Tengo talento

c. Me convierto en músico.

(a˄b)→c

a. Convierto en músico

b. Sere feliz

(c˄d)

H1. (a˄b)→c

H2. (c˄d)

H1 (p˄q)→r

H2 (r˄s)

[(p˄q)→r] ˄ (r˄s)

[p→(q→r)]˄(r˄s)

Si trabajo arduamente, gano un buen sueldpo, pero no gano un buen sueldo.

Por lo tanto no trabajo arduamente.

a. Trabajo arduamente

b. Gano un buen sueldo

H1. [ (a ˄ b) ˄ ˥b ]→a

H1 H2 C

[ (p˄q)˄˥q]→˥p

p q p˄q ˥q (p˄q)˄˥q ˥p [(p˄q)˄˥q]→˥p

0 0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 1

CONJUNTOS

Un conjunto es una conexión bien definida de objetos llamados elementos. Por

lo general se utiliza las primeras letras del alfabeto para representar dicho

conjuntos.

Los elementos suelen colocarse en A{….}

Pertenencia.- El símbolo de pertenencia relaciona un elemento con un

conjunto, el símbolo es: ϵ

CARDINALIDAD.- La Cardinalidad del conjunto.

A es el número de elementos que contiene A

A 1,3,4,5 N(A)=4

Si se define el conjunto.

A={ 1,3,5,8,9 } B={ a,s,d,f,g }

N(A)=5 N(B)=5

e ϵ B F

a ϵ B V

f ϵ B V

EXTENSIÓN POR TABULACIÓN.

Especifica cada elemento del conjunto. Los elementos se cierran en [ ….]

Comprensión: Se especifican las características de los elementos que

pertenecen al conjunto.

Representa los siguientes conjuntos por extensión.

A [ x/x ]

A [e,i,o] N(A) = 3 a. vocales de escritorio

B [4,6,8,10,12] N(B)=5 b. x/x es un numero par entre 3 y 12.

C [x/ x>3˄x≤14˄ x es impar] c. [5, 7,9,11,13]

D [x/ 2< = x≤14˄ x es primo] d. [2,3,5,7,11,13]

Conjuntos Importantes.

VACIO.- No tiene elementos y se representa así Φ

UNITARIO.- Se denomina conjunto a quien tiene un elemento.

FINITO.- Conjunto con una cantidad determinada de elementos.

INFINITO.- Conjunto con una cantidad no determinada de elementos.

REFERENCIAL.- El conjunto referencial o conjunto Universo, es el con junto

que tiene todos los elementos y se lo representa así: Re , U.

Representación Grafica.

DIAGRAMA DE VENN.- Es la representación grafica de un conjunto por lo

general conjunto Universo se representa por un y el resto de conjuntos

con u otras figuras geométricas todas dentro del Universo.

Representar gráficamente los siguientes conjuntos.

U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, }

A= {1, 3, 5, 7} U=

B= { 2, 3, 5, 6}

C= {1, 2, 4, 5, 6}

RELACIONES ENTRE CONJUNTO.

IGUALDAD: El conjunto A es igual a B

Si A y B tienen los mismos elementos.

A= { 1, 2, 3 }

B= { 1, 2, 4 }

SUBCONJUNTO c

A es subconjunto de B si todo elemento de A es elemento de B, es decir A c B

Ξ X ϵ A→X ϵ B.

B= { a, b, c, d }

A= { a, b }

SUBCONJUNTO PROPIO C

A el c B, si A es c de B pero no es igual a B.

A c B Ξ A c B ˄ ˥ (A=B)

B={ 1, 2, 3, 4, 5 }

A= { 1, 2, 3 }

CONJUNTOS DISYUNTOS.-

Los conjuntos son disyuntos si no tienen elementos en común.

A { 1, 2} a) A = B F

B { 1, 2, 3 } b) A = C V

C { 1, 2 } c) B y D son disyuntos V

D { 3, 4, 5 } d) A y D son disyuntos V

Φ c A V

A c A V

A c B V

A c C V

A c C F

Todo conjunto vacio es un conjunto de cualquier conjunto.

CONJUNTO POTENCIA.- (P) Es el conjunto representado P(A), es el conjunto

que tiene como elementos todos los subconjuntos de A.

P(A)= { x/x s A}

A={1, 2, 3 }

N(P(A)) = 2

P(A)={ (1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),Φ,A}

B ={4, 5, 7,2}

N(P(B))= 2

P(B)={ (4),(5),(7),(2),(4,5),(4,7),(4,2),(5,7),(5,2),(4,5,7),(4,5,2),(4,7,2),

(5,7,2),(7,4,2),Φ,B}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTO.

Complemento.- El complemento de A representado como ᶜ, es el conjunto

formado por todos los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto

INTERSECCIÓN.- La intersección entre A y B esta representado A∩ B es el

conjunto formado ´por los elementos comunes al conjunto A y al conjunto B, es

decir:

A ∩ B= {4, 5 }

A∩B= { x/x ϵ A ˄ ϵ B }

UNIÓN.- La union entre A y B representada como AuB es el conjun to formado

por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.

M = { x/x es la palabra de Popeye}

N = { x/x es la vocal de la palabra pepino}

M= { p, y}

N= { e, i, o}

M u N= { p, y, e, i, o }

DIFERENCIA.- La diferencia entre A y B representada como A es el conjunto

formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero no a B.

A – B = { x/x ϵ A AɆ B}

LA DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B representada como A Ʌ B esel

conjunto formado por los elementos que pertenece a la Unión entre A y B pero

no a la intersección.

A Ʌ B { 1, 2, 3, 5, 6 }

A Ʌ B {x/x € AᴜBɅɆ AɅB}

EJERCICIO.

Ejercicio de Aplicación.

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A={1, 2, 3, 4, 5}

B={2, 4, 6, 8}

C={1, 3, 6, 7}

a)Aᶜ

Aᶜ = { x/€ Re ɅɆA}

A B123

Aᶜ= {6, 7, 8}

b) AᴜB= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

c) A∩B= {2, 4}

d) B-C= {2, 4, 8}

e) A Ʌ B= { 1, 3, 5, 6, 8}

U= {a, b, c, d, e, f, g}

A= {a, b, c, d}

B= {b, e, f}

C= {a, b, ga)ᶜ= {e, f, g}

A ∩B= {b}

AᴜC= {a, b, c, d, g}

A-C= {c, d}

AɅC= {c, d, g}

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A= {1, 2, 3, 4, 5}

B= {2, 4, 6, 8}

C= {1, 3, 6, 7}

a.- (A-B)ᴜ(Cᶜ-B)

A-B= {1, 3, 5}

Cᶜ= {2, 4, 5, 8}

Cᶜ-B= {5}

U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A= {1, 2, 3, 4, 5}

B= {2, 4, 6, 8}

C={ 1, 3, 6, 7}

Cᶜ= {2, 4, 5, 8}

Bᶜ= {1, 3. 5. 7}

(Cᶜ U Bᶜ)= { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

(A U B) ∩ (Cᶜ ∩ Bᶜ)= { 1, 2, 3, 4, 8}

Determina los conjuntos A y B si se conoce que:

U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A – B = { 1, 2, 3}

A – C = { 1, 2}

(B – C) –A= (4)

C – (A U B) = (5)

(A U B U C)ᶜ= (6)

Desarrollo del Ejercicio 99.

Sean A, B, C conjuntos no vacios. Respecto del siguiente diagrama de Venn.

= 1, 2, 3, 4 3, 4, 5, 6

c= 2, 4, 6, 7

La región sombreada corresponde a.

d) (A-B)∩C a) (A-B)-C= 3) (A∩B)-A= Φ

c)(AᴜB)-C= (1, 2, 3, 4, 5)= (1, 3,5)

d) (A-B)∩C= (1, 2)= (2)

Desarrollo del Ejercicio 100.

Sean A, B, C conjuntos no vacios. Respecto del siguiente diagrama de Venn.

La Región sombreada corresponde a:

a.- (1, 2, 3, 4, 5)

b.- (2, 5, 6, 7, 8)

c.- (4, 5, 8, 9)

a.- Aᶜᴜ(B∩C)

(6, 8, 7, 9)ᴜ (4, 5, 8)= (4, 5, 6, 7, 8, 9)

b.- B-(AᴜC)

(1, 2, 3, 4, 5, 8, 9)- (2, 5, 7, 8) = (6, 7, 8)

c.-[(A∩B)∩Cᶜ] ᴜ[(AᴜB)ᶜ∩C]

6 1 32

a.- (1, 2, 3, 4, 5)

b.- (2, 3, 4,6, 7, 8,9)

c.- (4, 5, 7, 8, 10, 11)

(2, 3, 4)∩ (1, 2, 3, 6, 9)ᴜ(5, 10)∩(4, 5, 7, 8, 10, 11)

(2, 3)ᴜ(5, 10)= 2, 3, 5, 10.

CONMUTATIVA

AᴜB= BᴜA

A∩B= B∩A

ASOCIATIVA

(AᴜB)ᴜC= Aᴜ(BᴜC)

(A∩B)∩C= A∩(B∩C)

DISTRIBUTIVA.

Aᴜ(B∩C)= (AᴜB)∩(AᴜC)

A∩(BᴜC)= (A∩B)ᴜ(A∩C)

REDUCCIÓN

Aᴜ(A∩B)=A

A∩(AᴜB)=A

TERCER EXCLUIDO

AᴜAᶜ= Re

CONTRADICCIÓN

A∩Aᶜ=Φ

DE MORGAN

(AᴜB)ᶜ= Aᶜ∩Bᶜ

(A∩B)ᶜ= AᶜᴜBᶜ

IDEMPOTENCIA.

AᴜA= A

A∩A= A

IDENTIDAD.

AᴜΦ= A

A∩Re= A

ABSORCIÓN

Aᴜ Re= Re

A∩Φ= Φ

INVOLUCIÓN

(Aᶜ)ᶜ= A

COMPLEMENTO.

Reᶜ=Φ

Φᶜ= Re

DIFERENCIA.

A-B = A∩Bᶜ

Ejercicios de Aplicación.

*N(AᴜB)= N(A)+N(B)-N(A∩B)

*N(AᴜB∩C)= N(A)+N(B)+N(C)-N(A∩B)-N(A∩C)-N(B∩C)+N(A∩B∩C)

En una encuesta realizada a 500 alumnos se obtuvo la siguiente información

220 estudian matemáticas, 180 estudian física, 300 estudian química, 150

estudian física y Química, 120 estudian matemáticas y Química, 60 estudian

matemática y física, 50 estudian las 3 materias.¿ Cuantos alumnos no estudian

materia alguna?

U= 500

El Jefe de una empresa entrevista 300 personas que persiguen obtener uno de

los puestos disponibles en dicha empresa, entre los datos recolectados obtuvo

los siguientes idiomas: 140 ingles, 120 francés, 140 alemán, 30 hablan ingles y

francés, 40 ingles alemán, 60 francés y alemán y 20 no domina ninguno de los

tres idiomas.

U= 300

U-(IᴜFᴜA) = 20 U= 300

300-(IᴜFᴜA) 20 N(IᴜFᴜA)= N(I)N(F)+(A)-N(A∩B)-N(A∩C)-N(B∩C)

+N(A∩B∩C) IᴜFᴜA = 300-20 280= 140+120+140-30-40-60+ N(A∩B∩C)

IᴜFᴜA=280A∩B∩C)280-140-120- 140+30+40+60

N(A∩B∩C) = 10

Se entrevisto a 90 personas para saber que hacen en sus tiempos libres, en los

datos obtenidos se obtuvo, 50 música, 20 película y 60 escuchan música o ven

películas. Determinar cuántas personas realiza las dos actividades.

70 50 100

U = 90

U-(MᴜP)= 60

N(MᴜP)=N(M)+N(P)-N(M∩P)

60= 50+20-N(M∩P)

N(M∩P)=50+20-60

N(M∩P)= 10

EL PREDICADO P(x)

Es un predicado del Referencial si al reemplazar cualquier elemento del

Referencial en la variable x, se forma una proposición.

Si al reemplazar a por la variable x en el predicado se forma una proposición

verdadera se dice que a sastiface a P(x), es decir, a sastiface el predicado de x

si solo si.

P(a)=1

U= {Quito, Lima, Bolivia, Santiago}

a= p(x):x es capital.

b= q(x): x+2 = 5

P(Quito). Quito es capital.

CONJUNTO DE VERDAD.

El conjunto solución del predicado, representado, es el conjunto formado por

todos los elementos del referencial que satisface al predicado.

Teoremas.

P(x) Ap(x)

A˥p(x) Ξ Aᶜ p(x)

A(p(x)Ʌq(x)) Ξ Ap(x)ᴜAq(x)

A(p(x)˅q(x)) Ξ Ap(x)ᴜAq(x)

A(p(x)q(x)) Ξ Aᶜp(x)ᴜAq(x)

U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

p(x): x es un número primo

q(x) : x< 5

A(p(x)Ʌq(x))= Ap(x)ᴜAq(x)

Ap(x)= {1, 2, 3, 5, 7}

Aq(x) = { -4, -3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, 5}

= {1, 2, 3, 5, 7} ∩ { -4, -3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, 5}

= {1, 2, 3, 5}

Dado el conjunto Re = (-3, -2, -1, 1, 2, 3 ) y los predicados.

P(x): -2 (-2+2) =0 Aq(x) = {-3, -2, -1, 1, 2, 3}

P(x) : -2 (0) = 0

P(x) : 0 = 0

CUANTIFICADORES.-

Cuantificador Universal.- Actúa sobre un predicado, para formar la proposición

xp(x), que se lee: Todo “x” cumple p(x) o cada “x” cumple el p(x).

xp(x) es verdadero si el conjunto solución p(x) es igual al Referencial o U.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Ξ

El cuantificador Ξ actúa sobre un predicado p(x) para formar la proposición:

Ξxp(x) que se lee, existe por lo menos x que cumple el p(x), o Algun x cumple

un p(x). El cuantificador Ξ es verdadero si el conjunto solución del p(x) tiene al

menos un elemento. U= {1, 2, 3, 4, 5}

P(x): x > 2

V xp = Ap(x)= (2, 3, 4, 5) F

Ξ xp(x) = Ap(x)= (2, 3, 4, 5) V

U= {-4, -3, -2, -1, 3, 5, 7}

a) Vx x>3

Ap(x) (5,7)

b) V x es par

Ap(x) =-2 F

c)Vx x>-5

Ap x= (-4, -3, -2, -1, 3, 5, 7)

d)Ξx x es par y x<3

Ap(x): Φ

e) Vx x>7

Si p(x) y q(x) son predicados de un Re

Ξxp(x)˅q(x)) Ξ xp(x)Ξxp(x)

Ξxp(x)˄q(x)) →Ξ xp(x)˄Ξxp(x)

Vxp (x)˄Vxq (x) ΞVx (p(x)˅q(x))

EJERCICIO 140.

Sea Re= (1, 2, 3, 4, 5 ), p (x): es divisor de 32, 4, 12; q (x): es primo (1, 2, 3, 5).

Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a.Vx[p(x) ˅q(x)]

p (x) ᴜ q (x)

(1, 2, 3, 4) ᴜ (1, 2, 3, 5)

(1, 2, 3, 4, 5) V

b.Ξ x[p (x) ˄q(x)]

Ξ xp (x)˄ Ξ xq (x)

(1, 2, 3, 4) ∩ (1, 2, 3, 5)

(1, 2, 3) V

c. Ξ x [ ˥p(x) ˄ q (x)]

Aᶜ p x ˄ q (x)

Aᶜp x (5) ˄ (1, 2, 3, 5)

LECTURA LOGICA

CONJUNTOS

a Satisface p (x) p (a) Ξ 1 a € A p (x)

todo p (x) es q (x) Vx(p(x)q(x)) Ap(x)ᶜ Aq

Ningún p (x) es q (x) Vx(p(x)˥q(x)) Ap (x) ᶜ Aᶜq

Algun p(x) es q(x) Ξx (p(x)˄q(x))

Ap(x)∩Aq(x)≠Φ

No todo p(x) es q(x) Ξx(p(x)˄˥q(x))

Ap(x)∩Aᶜq(x)≠Φ

˥Vx p(x) Ξ Ξx ˥p(x)

˥Ξx p(x) Ξ Vx ˥p(x)

Si tienes los predicados:

p(x): x es poeta

q(x): x es romantico.

Niega la proposición todos los poetas son romanticos.

Vx (p(x)q(x))

Vx(p(x) ˥q(x)

PRODUCTO CARTESIANO.-

Entre los dos conjuntos a y b representado A x B, esta formado x todos los

pares ordenados en los cuales el primer componente pertenece al conjunto A y

el segundo componente al conjunto B.

A x B= ((x,y) (x € A ʌ y € B)

N (A x B) = N(A)N(B)

Ax (B∩C) = (A x B) ∩ (A x C)

Ax (B C) = (A x B) (A x C)⋃ ⋃

Ax (B – C) = (A x B) – (A x C)

Ax (B ʌ C) = (A x B) (A x C)

Se define los conjuntos:

A= {1, 2, 3}

B= {a, b}

A x B= {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

A= (a, b)

B= {1, 2}

B x A= {(1,(a, b))} . {(2, (a, b))}

RELACION.-

Una relación de A en B que se representa como:

R: AB, es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B, A se

denomina conjunto de partida y B punto de llegada.

DOMINIO.-

Sea r: AB sea una relación de A en B, entonces el dominio de r,

representado como: dom r, es el conjun to formado por los elementos de

conjunto de partida que están relacionados, es decir dom r = { X € A/(x, y) € r}

RANGO.-

Sea una relación de A en B, entonces el rango de r, representado por rg. r, es

el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que están

relacionados.

rg. r = { Y € B (x, y) € r}

Si se tienen los conjuntos:

A= (1, 2, 3)

B= (3, 5, 7, 9)

Determine si el conjunto.

r. {(1, 5, (3,9)} es A en B X

Si se tienen los conjuntos.

A = {a, b, c}

B= {2, 4, 6, 8}

Determinar si los siguientes conjuntos son relacionados de B en A.

r =𝟇r = { (a, 2), (b, 6), (c, 8)}

r = {(2, a), (2, b), (2, c)}

FUNCIÓN DE A EN B, es una relación de A en B, que asigna a cada elemento

de A un único elemento de B. según esta definición el dom de A en Funcion es

= al punto de partida y cada elemento del conjunto de partida se relaciona con

un único elemento del conjunto de llegada.NIDAD Nº 2

UNIDAD N° 2

NÚMEROS BINARIOS.-

1 byte = 8 bites ⑦⑥⑤④③②① 0

1Mb = 1024 bytes 2 2 2 2 2 2 2 2

173 2 1 0 1 0 1 1 0 1

13 86 2

(1) 06 43 2 128 + 32 + 8 +4 +1 =173

(0) 03 21 2

(1) 01 10 2

(1) (0) 5 2

(1) 2 2

⑦⑥⑤④③②① 0

2 2 2 2 2 2 2 2

1 0 1 1 1 0 1 0

128 + 32 + 16+8 +2 =186

06 93 2

(0) 13 46 2

(1) 06 23 2

(0) 03 11 2

(1) (1) 5 2

(1) 2 2

EJERCICIO.

07 438 2

17 03 219 2

18 019 109 2

(0) (1) 09 54 2

(1) 14 27 2

(0)07 13 2

(1) (1) 6 2

(0) 3 2

(1) 1 9 8⑦⑥⑤④③②① 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

512+256+64+32+8+4+1=877

07 338 2

17 13 169 2

18 09 804 2

(0) (1) 004 402 2

(0) 002 201 2

(0)(001)10 2

(0) 5 2

(1) 2 2

9 8⑦⑥⑤④③②① 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

512+128+32+4+1= 677

SUMA BINARIA

0 +0 = 0 ⑦⑥⑤④③②① 0

1 + 0 = 1 2 2 2 2 2 2 2 2

0 + 1 = 1 1 0 1 0 1 0 0 1

1 + 1= 10 128 + 32 + 8 + 1 = 169

1 0 1 0 1 0 0 1 ⑦⑥⑤④③②① 0

1 1 1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2

11 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0

128 + 64 + 32 + 8 + 1 =233

169 2 101010101

09 84 2

(1) 04 42 2

(0) 02 21 2

(0) (01) 10 2

(1) 2 2

233 2 10101001

03 116 2

13 16 58 2

(1) (0) 18 29 2

(0) 09 14 2

(1) (0) 7 2

(1) 3 2

(1) 1 11101001

CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE NUMEROS REALES

-Un numero que es divisible por:

2: cuando es par y tiene el cero.

3: si la suma de sus cifras es 1 múltiplo de 3.

4: si sus 2 últimas cifras o es múltiplo de 4.

5: si termina en 0, o en 5.

6: si es divisible para 2 y para 3.

7: si es divisible para si mismo.

9: si la suma de sus cifras es ultimo de 9.

NUMEROS PRIMOS.-

Un numero entero positivo es primo si y solo si sus únicos factores son

exactamente 1 y primos.

NUMEROS COMPUESTOS.-

Un numero entero positivo es compuesto si solo si no es primo.

DESCRIPCION DE NUMEROS COMPUESTOS.-

426 2 2.3.7.1.

MAXIMO COMUN DIVISOR.

El M.C.D. de un conjunto de números enteros es entero positivo que es divisor

de c/u de los números de conjunto.

Ej. 36 2

Un vendedor dispone de 24, 36 y 48 unidad de 3 artículos diferentes

respectivamente. Necesita elaborar paquete por cada artículo de tal forma que

el número de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el más grande

positivo. El vendedor necesita calcular el número de unidad que tiene cada

paquete y cuantos paquetes por artículos tendrá.

M.C.D.

24 = 2³ 1 2

36= 2². 3² 2 3

4 48= 24. 3 3 4 M.C.D.= 12

MAXIMO COMUN MULTIPLO.

El M.C.M. de un conjunto de números enteros positivos es el menor entero

positivo que es el múltiplo de cada uno de los números dados.

12= 2³. 3

M.C.M. 8 = 2³. 2. 3 = 8 . 9 = 72

36=2 ². 3²

12 2 8 2 36 2

6 2 4 2 18 2

3 3 2 2 9 3

1 1 3 3

DESCOMPOSICION.-

M.C.D. - M.C.M

256 = 28. 2

312 =24. 29 . M.C.D. 2 = 4

548 =2². 137 M.C.M. 2. 29.137= 1017088

256 2 312 2 548 2

128 2 156 2 274 2

64 2 58 2 137 137

32 2 29 29 1

16 8 1

M.C.D. - M.C.M

128 = 27

516 =2². 3. 43 M.C.D. 2 = 4

712 =2. 89 M.C.M. 2. 89.3.43 = 1469568

128 2 516 2 712 2

64 2 258 2 356 2

32 2 124 3 178 2

16 8 43 43 89 89

2 2 (0) (0)

M.C.D. - M.C.M

481 = 481

424 =2. 53 M.C.D. 2³ = 8

312 =2. 39 M.C.M 39. 53. 481 = 994227

481 481 424 2 312 2

1 212 2 156 2

106 2 78 2

53 53 39 39

M.C.D. - M.C.M

128 = 2

128 =2. 107 M.C.D. 2 =

324 =2. 41 M.C.M 2. 41. 107 = 561536.

128 2 324 2 428 2

64 2 164 2 214 2

32 2 82 2 107 107

16 8 41 41 1

2 2 (1)

NUMEROS PARES E IMPARES.

PAR ↔ a = Zn, n € Z

IMPAR ↔ a = zn + 1, n € Z.

12 = 2(6)

-5 = 2(-3)

0 = 2(0)

31= 2 (15) + 1

-140 = 2(-70)

81= 2(40)+ 1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

4 + 5 + 2 Expresión

4ax²y Expresiones Algebraicas.

Una expresión algebraica es la combinación de simbolos (números y letras)

Atravez de las diferentes operaciones fundamentales, los términos de las

expresiones algebraicas corresponden a cada una de sus partes las cuales

están separadas entre si por los signos “+” o “-”.

2x²+4x²-3x²+y+5x-6y.

3x²+5x-5y.

2x²+5xy²-5x²y+10xy²

-3x²y+15xy²

5ab²+4ab+b³+4b³+a²b+b²+b².

a²b+2b²+4ab+5ab²+4ab

81ab²+42a²b-13ab²-2²b

68ab²+40a2b.

Si x = -1 y = -2

2x²-y³

2(-1)²-(-2)³

2(1)-(-8)

Si a= 3, b= -4 y c= -2.

a+b²-c

2√a+1−b

3+(-4)²-(-2)

2√3+1−(−4 )

3+(-16)-(-2)

2√4−(−4 )

PROPIEDADES DE LA FRACCION.

b≠0, c#0, d≠0

a = c = (ad=bc)

a = ac

a + c = ad+bc

b d bd

a . c = ad

b d bc

b = ad

2ab + 4ab – 3a = 2ab (a+b) (b)+4ab(b)3a(ab)²

(a+b) (a+b)² b (a+b)²b

=2ab²(a+b)+ 4ab²-3a(a²+2ab+b)

(a²+2ab+b²)b

=2ab²+2a+b³+4ab²-3a³-6a²b-3ab²

a²b+2ab³+b³

= 2a²b²+2ab³+ab²-3a³-6a²b.

x+y x-y

x-y x+y

(x-y) x- y(x+y) (x²-xy)-(xy-y²)

(x+y) (x-y) = x² - xy + xy -y²

X(x+y) +y(x-y) (x²+xy)+(xy-y²)

(x-y) (x+y) x² + xy – xy - y²

x² -xy –xy- y² x² - 2xy - y² = x²- 2xy- y²

x² -xy+ xy- y² = x²- xy+ xy- y² = x²- y²

x²+ xy- xy- y² x²+ xy+ xy- y² x²+ 2xy- y²

x²+ xy- xy- y² x²+ xy- xy- y² x²- y²

(x²- y²) (x²- 2xy- y²) = x²- 2xy- y²

(x²-y²) (x²+ 2xy- y²) x²+2xy-y²

Simplificar la siguiente expresión:

1-a 1+a

1+a 1-a

2(1+a) + 2(1-a) (2+ 2 a) + (a-2 a)

(1-a) (1+a) = 1 + 1 a – 1 a - a²

2(1-a) – 2(1+a) (2 -2 a) – (2+ 2 a)

(1+a) (1-a) 1- 1 a + 1ª - a²

2+ 2 a+2- 2 a

1+ 1 a- 1 a- a² = 4 = 1

2+2 a- 2 + 2ª 4a² a²

1-1 a + 1 a-a²

PROPIEDADES DE EXPONENTES.

aⁿ. aᵐ= aⁿ+ᵐ

aⁿ = aⁿ-ᵐ

aⁿbⁿ=

aⁿbᵐ= (ab)ⁿ

aⁿ = a ⁿ

bᵑ b

(aⁿ) ⁿ =aᵐⁿ

1 = aᵑ

aº= 1

EJERCICIOS.

(2xⁿ+¹)² x³ˉⁿ =

x² ⁿ+¹ ˟ⁿ ²

= 4x²ⁿ+² x³ˉⁿ = 4x(²ⁿ+²+³ˉⁿ)

x²ⁿ+² x²ⁿ x(²ⁿ+²+²ⁿ)

= 4 xⁿ+¿5¿ = 4 xⁿ+¿5ˉ 4 ¿ⁿˉ² = 4xˉ³ⁿ+³

x4ⁿ+²

PRODUCTOS NOTABLES

(2x+3y)² = (2x)²+2(2x)(3y)+(3y)² = 4x+ 42xy+9y²

(aᵐ+aⁿ)² = (aᵐ)+2(aᵐ)(aⁿ)+(aⁿ)² = aᵐ²+2a²ᵐⁿ+aⁿ².

(a˟+b˟+¹)²= (a˟)²+2(a˟)(b˟+¹)² = a²˟+2a˟b˟+¹+b²˟+²

(3ª-5b)² = (3 a)²+2(3 a)(-5b)+(-5b4)² = 9a² -30ab-25b4

(a˟ˉ²-5b)² =(a˟ˉ²)²+2(a˟ˉ²)(-5)+(-5)² = 2a²˟ˉ 4- 10a˟ˉ²-25.

FACTORIZACION.

PRIMER CASO FACTOR COMUN.

x³+5x = pqr-p²qr+pqr²

x(x²+5) pqr(1-p+r)

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

2ax-by-ay+2bx

(2ax+ 2bx)- (by+ay)

2x(a+b) –y(a+b)

(a+b)(2x-y)

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.

2x²-m4=

(5x+m²)(5x-m²)

DIFERENCIA DE POTENCIA A LA N.

(a7-b7)=

(a – b)(a6+a5+a4b ²+a ³b ³+a ²b4+ab5+b6)

243m5-32s5

(3m-2s)[(3m¿4+(3m)³(2s)+(3m)²(2s)²+(3m)(2s)³+(2s¿4)]

(3m-2s) [(81m4+54m3 s+36m ² s ²+24ms ³+16 s4)

TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c.

x²- 5x+ 6.

(x-3) (x-2)

m4−2m ²−120

(m²-12) (m²+10)

TRINOMIO DE LA FORMA ax²+bx+c.

5x²- 8x+ 3

(5x-5)(5x-3) = 5(x-1)(5x-3) = (x-1) (5x-3)

25s²+20s+4

(5s+10)(5s+10)

5(5s+2)5(5s+2)

(5s+2)(5s+2)

RACIONALIZACION.

2 .√3 = 2 √3 = 2√3

√3 √3 (√3¿² 3

1 = √7 + √3 = √7+√3

√7-√3 √7 +√3 4

(√7)²-(√3)²

10 - 8 = 10 . 1-√3 - 8 . 2+√21+√3 2-√2 1+√3 1-√3 2-√2 2+√2

10 (1-√3) - 8 (2+√2)12-(√3)² 2² -(√2)²

10(1-√3) - 8(2+√2)2 2

5(1-√3) - 4 (2+√2)

-5+5√3 -8 -4√2

-13+5 √3−4√2

VALOR ABSOLUTO.

Todo número se caracteriza por 2 elementos: el signo y su valor absoluto.

En el entero -5, el valor absoluto es -5 y su signo es negativo.

x²+xy xy+y²

4 + 4 = 4y+ 4x = 4(y+x) = 4(y+x) = 4(y+x) Ʀ

x(x+y) y(x+y) xy(x+y) xy(x+y) xy(x+y) xy(x+y)

2x - x = 2x - x

x²+3x+2 x²-4 (x+2)(x+1) (x+2)(x-2)

= 2x(x-2)-x(x+1) = 2x²- 4x- x²- x

(x+2)(x+1)(x-2) (x+2)(x+1)(x-2)

= x(x-5) Ʀ

(x+2)(x+1)(x-2)

3x + 2 - 2 = 3x +2(x-1)

x- 1 x x-1 x (x-1)

3x² +2x- 2- 2x = 3x² - 2 Ʀ

x² - x x² - x

ECUACIONES LINEALES.

4(x -10) = -6(2-x) -6x

4x – 40 = -12+6x -6x

4x – 6x+6x = -12 + 40

4x = 28

x = 28

2(x +1) -3(x- 2) = x + 6

2x +2 -3x +2 = x+ 6

2x -3x –x = 6 -2 -6

-2x = -2

x = -2

x- 1 - x- 5 = x+ 5

4 36 9

9(x- 1) – (x- 5) = 4(x+5)

9x – 9 - x +5 = 4x + 20

9x – x – 4x = 20 – 5 + 9

4x = 24

ECUACIONES CUADRATICAS.

6X + 17X -23 = 0

x= -17+√ (17 )2−4 (6 ) (−23 )

x= -17+ √289+55212

x=-17+ √841

x= -17 + 29

x= -17+ 29 x= -17 - 29

x = 12 x= 46

x= 1 x= 23

ECUACIONES RADICALES.

(√ (3 x−5) ²+¿

(3x-5)²+2(√3 x−5) (√3 x−14¿¿+(√3 x−14¿¿² =81

3x-5+2 - √9 x ²−42x−15 x+70+3 x−14=81

2 (√9 x ²−57 x+70 = 81+14-3x-3x+5 =

(2 (√9 x ²−57 x+70 )² = (100-6x)²

4 ( 9x² - 57x + 70 ) = (100)²-(100)(6x)+(6x)²(100)²- 2(100)(6x)+(6x)²=

10000-1200+36x²- 36x² +228—280.

9720 – 972x = 0

972x= -9720

X = 9720

972 X= 10 Ʀ

(√X+10)² - √X+19¿¿² = (-1)²

√X+10 - √X+19 = 1

(√X+10)² - 2 √X+10 √X+19 + (√X+19¿ ²= 1

x+10- 2 √ x ²+19x+10 x+190 + x + 19 = 1

-2√ x ²+19x+10 x+190 = -x -10 –x -19 +1.

-2√ x ²+29x+190 = 2x – 28

(-2√ x ²+29x+190¿ ² ¿ = (2 x−28) ²

4 (x² + 29x + 190) = (2x)² - 2 (2x)(-28) +(28)²

4x² + 116x +760 = 4x² +112x +784

4x² +116x -4x² -112x = 784- 760

4x =24

x = 24

x= 6 Ʀ.

(√9 x+7 - √ x - √4 x+9)² = 0

(√9 x+7¿¿² −2√9x ²+7 √ x - √4 x+9 = 0

9x +7 −2√9x ²+7x -4x+9 = 0

(−2√9x ²+7)² =-9x-7+4x -9

-4√9 x ²+7x = (-5x -16)²

-4√9 x ²+7x = (5x)² -2 (5x)(16)+(16)²

-36x² +28x = 25x² +160x +256

61x² - 132x -256.

132+ √ (132 )2−4 (61 ) (256 )

132+ √17424−62,464122

132 + √55046122

132+ 234,60

132 + 234,60 132 + 234,60

122 122

366 102,60

122 122

X= 3 x= 0,84

INECUACIONES.

5x + 1 < 6

5x < 6 – 1 -x 0 1 +x

5x < 5 x= 0 x=2

x< 1 5(0)+1< 6 5(2)+1< 6

1 < 6 V 11 < 6 F

[-∝ ,1¿Ʀ

x+ 3x < 8 – x

x + 3x + x < 8 -∝ ∝

5x < 8 x = 0 0 x = 2

x < 8 0 + 3 (0) < 8 – 0 2+ 3(2) < 8 - 2

5 0 < 8 V 2 + 6 < 6

8 < 6 F

(-∝ ,1,6¿

5 < - 9 – x ˉ 15 ˉ 14 ˉ 13

x < -9 -5 -∝ ∝

x < -14 x = -15 x= -13

5< -9 – (-15) 5 < -9 – (13)

5 < 6 V 5< + 4 F

(-∝ ,−14¿

4 -2t > t -5

-2t – t > - 4 – 5

3t > - 9 0

t > - 9 t = -4 t = -2

3 4- 2(-3) < -3 -5 4- 2(-2)<-2 -5

t > - 3 4 + 6 > +8 4 + 4 > 7

10 > 8 V 8 > 7 V

(-∝, -3)

2x -6 > 3x +1 -∝ +∝

2x -3x > 6+1 0

X > -7 x= 0 x= -6

2(-8) -6 > 3(-8)+1 2(-6) -6 > 3(-6) +1

-16 -6 > -24 +1 -12 -6 > -18 +1

-22 > 23 F -18 > -7 V

(∝ ,−7¿

X - 6 < 18 - 7x -∝ +∝

X +7x < 6 + 18 0

8x < 24 x= 4 x= 2

x < 24 4 – 6 < 18 – 7 (4) 2- 6 < 18 -7 (2)

8 2 < 18 -28 -4 < 18 -14

x < 3 2 < -10 F -4< 4 V

[∝ ,3¿

FORMULA DE BINOMIO DE NEWTON

(a+b)n=nan−1b+n(n- 1) an−2b ²+n (n−1 ) (n−2 )an−¿+n (n−1 )(n−2) (n−3 )an−4b 4+n (n−1 )(n−2)(n−3)(n−4) . bn¿

1.2 1.2.3.4 1.2.3.4

1.2.3.4.5

(3ª +b¿¿10= (3a¿¿10 +10(3a¿¿9b +10(9) (3a¿¿8b ²+10 (9 ) (8 ) .¿

1.2 1.2.3 1.2.3.4

(3a¿¿6b4+10(9)(8)(7)(6). (3a¿¿5b5+10(9)(8)(7)(6)(5) . (3a¿¿4b6+10 (9 ) (8 ) (7 )(6)(5)

1.2.3.4.5. 1.2.3.4.5.6. 1.2.3.4.5.6.7

(3a¿¿3b7+ 10(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3) .(3a¿¿2b8+10(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2) .(3a¿b¿9+

b10=¿ ¿

1.2.3.4.5.6.7.8 1.2.3.4.5.6.7.8.9

59,049+ 196,83ab+295,245ab²+262,440ab³+153,090ab4+61,235ab5+ 17,010ab6

+810ab7+ 162ab8+ 30ab9+b10.

UNIDAD N°3

FUNCIONES.

F (x) = x+2

F (1) = 3

F (2) = 4

F(3) = 5

F (4) = 6

Dom rango

DOMINIO DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL.

El dominio de una función se encuentra constituido por todos los valores de x

estos valores serán aquellos que están definidos en los números reales el

dominio se representa simbólicamente f que es dominio de una función.

Las restricciones posibles de números reales sean las siguientes.

-Si f (x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace 0, por lo

que se debe excluir el dominio de aquellos valores x que provoca esta

situación.

-Si f (x) contiene una raíz de índice par, esta existirá solo si el radicando es

positivo o 0.

F (x) =√ x+1 radicando. −∝ -1 +∝

Índice 0

X+1 > 0 dom f = (-∝, .1] U [-1, ∝)

X > -1

f(x) = 3x +2

dom f = R

f(x) = 2x +1

x – 3

Dom f = R – (3)

Dom f = (-∝ ,3¿ (3 ,∝)

F(x) = √ x ²−4 > 0

x² > 4

√ x ² > √4X > + 2

x > +2 x > -2 (-∝, -2] U [2, +∝ ¿.

RANGO DE UNA VARIABLE DE FUNCION REAL.

El rango es el elemento de todas las imágenes de los elementos del dominio.

El rango se lo representa simbólicamente con rg f.

-Un procedimiento para obtener la imagen de una función, es el siguiente

despejar algebraicamente la variable x en la función.

- El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y, una vez

despejada la variable x.

F(x) = 3x +2

y = 3x +2

x = y -2

Rg f = R

y = x +1

xy = x + 1

x(y-1) = 1

y – 1 y

f (x) = 3 + x 1

x y= 3 + x y 2

1 y= 3 +1 4 3

2 y= 3 +2 5 4

3 y= 3 +3 6 1 2 3 4 x

UNIDAD N° 4

TRIGONOMETRIA.

4.1. MEDIDAS DE ANGULOS

4.2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

4.3. IDENTIDADES.

4.1. MEDIDAS DE ANGULOS

Transformar de Grados a radianes.

90° = π

ANGULO AGUDO

360°Z

ANGULO

ANGULO OBTUSO.

270° 360°

III IV

180° = π

360 ° = 2 π

270° = 3π

ANGULOS COTERMINALES.

Gráficamente se puede observar como los ángulos finalizan en una misma

semirrecta en ángulos consecutivos ∝ , βde un mismo plano consecutivo

cuando solo tiene un lado común.

β ∝ 45°

ANGULOS ADYACENTES.

Dos ángulos alfa y Beta, son adyacentes cuando son consecutivos y los lados

no comunes son semirrectas en la misma recta pero en sentido contrario la

suma de las medidas alfa y Beta es 180°.

ANGULOS COMPLEMENTARIOS.

Dos Ángulos complementarios, cuando la suma de sus , medidas constituye la

medida de un ángulo recto.

ANGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos ∝ y β son suplementarios cuando la suma de sus medidas

constituye la medida de 2 ángulos rectos.

∝ β

∝ β ∝+β =90°

∝+β = 180°

180°∝ β

ANGULOS OPUESTOS.

Dos ángulos ∝ y β, se dicen opuestos por el vértice cuando los dados del 1

son semirrectas opuestas a los lados del otro.

TRIANGULO RECTO.

FORMULA DE TRIGONOMETRIA.

SO C A T O

Sen O Cos H

45° 45°

∝ β

∝=β

Cos A Cos h

Tan O Ctg A

H=√(4) ²-(3)² Sen = √7 4

H=√16−9 Sec = 4

H= √7 Cos = 3

MATRIZ.

2 1 6 4 0

A = 3 4 B= 1 2 1

2 x 2 2 x 3

Lunes 1 -4Martes 2 -3Miércole

-4 2Jueves 0

MATRIZ NULA.

Se determina cuando todos su valores son cero.

MATRIZ FILA.

Se llama matriz fila, cuando solo existe una fila.

A = [1 2 3 -4 - 1]

MATRIZ COLUMNA.

Cuando solo existe una sola columna.

MATRIZ CUADRADA.

Se le denomina matriz cuadrada cuando hay el mismo número tanto en las filas

como en las columnas.

A= 7 -5

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR.

A partir de la diagonal hacia arriba son cero.

A= 3 2 0

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.

De la misma manera solo que a partir de la diagonal todos los valores de abajo

son cero.

3 -5 1

B= 0 0 6

MATRIZ DIAGONAL.

Se le denomina Matriz diagonal solo a los valores de la diagonal

C= 3 4 0

OPERACIONES CON MATRICES.

2 1 3 2 0 4

A -4 2 1 B 3 2 5

2 0 4 0 1 -1

A+B= 3 2 5 A – B = 7 0 -4

PRODUCTO POR UN NUMERO REAL.

2 x A = 2 x 3 2 x 3

2 4 4 2 4 4 4 8 8

A 3 -1 2 2.A= 3 -1 2 6 -2 4

PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN NUMERO REAL.

K (a+b) = k. a + k. b

(k + d) . A = k. A + D.A

K (d . a) = (k.d) . A

1 .A = A

MATRIZ TRASPUESTA At

2 4 4 2 1 0

A 1 2 3 = 4 2 4

0 4 2 4 3 2

2 3 -5 4 2 2

B 2 -4 -3 7 3 -4

2 x 4 -5 -3

PROPIEDADES DE LA TRANSPUESTA.

(AT) = A

(A + B) = AT+ BT

2 0 6 2 1

A 1 -4 8 AT 0 -4

(At ¿ t 1 -4 8

3 2 0 4 3 2 1

1 1 3 0 1

2 X 3 4 3

1 3 3 1 1 2

A 1 4 3 B 2 0 -1

1 3 4 -6 -1 0

Calcular 3At - Bt

1 3 3 1 2 -6

3 3 4 3 1 0 -1

3 3 4 2 -1 0

3 3 3 1 2 -6 2 1 9

9 12 9 - 1 0 -1 = 8 12 10

9 9 12 2 -1 0 7 10 12

9 – (-1) = 10

3 – (-6) = 9

12 – 0 = 12

MULTIPLICACION DE MATRICES

1 2 -2 4 1 2 0

A 0 3 6 3 B 0 4 -1

2 x 4 4 2 2

3 -1 4

5 2 10

A . B= 33 21 21

PROPIEDADES DE MULTIPLICACION DE MATRICES.

A= 1 4 2 x 2

B = -4 -1 2 x 2

A . B -17 -2

2 (-1) + 3(4)

-2 – 12 = -14

2 (2) + 3 (-1) =

4 – 3 = 1

1(-1) + 4 (-4) = 1

-1 -16 = 17

1(2) + 4 (-1) =

2 - 4 = -2

UNIDAD N° 11

TABLAS DE FRECUENCIAS.

Según el número de observaciones y el rango y el rango de la variable

podemos clasificar las tablas de la siguiente manera.

TABLAS DE TIPO 1.

El tamaño de la población o muestra es pequeño, solo se ordena de manera

creciente o decreciente.

TABLA DE TIPO 2.

El tamaño de la población o muestra es grande y el rango de la variable es

grande.

TABAL DE TIPO 3

El tamaño de la población o muestra es grande y el rango de las variables es

grande.

TIPO 3

24 23 44 10 28 40

25 43 38 7 24 31

28 12 5 20 18 47

50 27 14 16 30 26

55 27 42 50 27 36

Rg= Xmax-Xmin = 55 -5= 50

i = R = 50 = 3,85 > 4

# int 13

# int Fi Xm.c Fi hi Hi

[5,9) 2 7 2 0,07 0,07

[9,13) 2 11 4 0,07 0,14

[13,17) 3 15 7 0,010 0,24

[17,21) 2 19 9 0,07 0,31

[ [21,25) 3 23 12 0,010 0,41

[25,29) 6 27 18 0,2 0,61

[29,33) 2 31 20 0,07 0,68

[33,37) 1 35 21 0,03 0,71

[37,41) 2 39 23 0,07 0,78

[41,45) 3 43 26 0,010 0,89

[45,49) 1 47 27 0,03 0,91

[49,53) 2 51 29 0,07 0,95

[53,57) 1 55 30 0,03 1

total 30 1

TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.

Generalmente las tablas de tipo 2 y tipo 3 se complementan con distintos tipos

de frecuencias tales como:

FRECUENCIA ABSOLUTA.

Es el número de veces que aparece dicho valor, como resultado de la medición

de la variable y se representa por fi.

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.

Es el resultado de sumar a la frecuencia absoluta del valor correspondiente a la

frecuencia absoluta del valor anterior.

Se representa por Fi.

FRECUENCIA ABSOLUTA RELATIVA.

Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra o

población, se representa por hi.

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.

Es el resultado de sumar a la frecuencia relativa del valor correspondiente la

frecuencia relativa anterior y se representa por Hi.

llamadas Xm.c fi Fi hi Hi

[0,100) 50 11 11 0,28 0,28

[100,200) 150 12 23 0,3 0,58

[200,300) 250 14 37 0,35 0,93

[300,400) 350 1 38 0,025 0,95

[400,500) 450 2 40 0,05 1

total 40 1

10 → HISTOGRAMA.

0 100 200 300 400 500

MEDIA ARITMETICA.

Se define como el cociente entre la suma de los valores que toma la variable y

el total de observaciones.

𝝌= 10 + 8 + 7 +6 +10 = 8,2

𝝌= ∑ ( Xi . fi)

𝝌= ( 1 x 5) (2 x 2) (3 x 5) (4 x 5)

𝝌= 8 + 4 + 15 + 20 = 47 = 2,35

Sueldos Fi Xm.c 𝝌[400,450) 10 425

[450,500) 20 475 70,37

[500,550) 30 525 116,67

[550,600) 40 575 170,37

[600,650) 15 625 69,44

[650,700) 10 675 50,00

700.750)

[750,800)|

Total 135 563,9

𝝌= (10x425)(20x475)(30x525)(40x575)(15x625)(10x675)(5x725)(5x775)135

135𝝌= 4250+9500+15,750+ 23,000+9,375+6,750+3625+3875.

𝝌= 76,125 = 5,629

MEDIANA 𝒳

Se define como el valor central de una distribución que tiene un número impar

de datos, una vez ordenado los datos de manera creciente o decreciente el

dato que representa la mediana divide la distribución en 2 grupos.

Un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores.

FORMULA.

1 4 5 6 7 8 9

𝝌= X (n +1) (impares) 𝝌= X4 𝝌= 6

12 9 2 4 5 10

𝝌= x2n+x2

n+1 (pares) 2 4 5 9 10 12

𝝌= X26+X2

𝝌= X3 + X4

𝝌 = 5 + 9 𝝌= 14 𝝌= 7

Se define moda como el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta o el

valor que más se repite.

Puede haber más de una moda para el caso que existan 2 se tiene una

distribución bimodal, para más de 2 se llamara polimodal.

60 75 75 80 90 100 90

Mo= 75 -90

MEDIDAS DE TENDENCIAS NO CENTRALES.

Estas medidas también son denominadas medidas de localización, permite

conocer otros puntos característicos de la distribución, que no son los

centrales, se suelen utilizar una serie de valores que diveiden la muestra en

tramos iguales.

CUARTILES.

Son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o

decreciente, en 4 tramos en lo que cada uno de ellos concentran el 25% de los

datos.

DECILES .

X Fi Fi Hi Hi %

1 5 5 0,25 0,25 25%

2 2 7 0,1 0,35 35%

3 3 10 0,15 0,5 50%

4 10 20 0,5 1 100%

Total 20 1

Son los valores que distribuyen la serie de datos ordenada de forma creciente o

decreciente en 10 tramos, en lo que cada uno de ellos, concentra el 10% de los

datos.

PECERTILES.

So los valores que distribuyen la serie de datos ordenada de forma creciente o

decreciente en 100 tramos, en lo que cada uno de ellos, concentra el 1% de los

datos.

MEDIDAS DE DISPERSION.

VARIANZA.

Mide la distancia existente de la serie entre los valores y la media aritmética se

calcula como la sumatoria de las diferencias.

Entre cada valor y la media, multiplicamos por el número de veces se a

repetido cada valor, la sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la

muestra.

S²= ∑ (Xi – 𝝌)² * fi

DESVIACION TIPICA O ESTÁNDAR.

Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.

S²= 49

S² = √49

Nivel de

cotinina

fi Xm.c fi Hi Hi

[9, 100) 11 50 11 0,28 0,28

[100,200] 12 150 23 0,3 0,58

[200.300) 14 250 37 0,35 0,93

[300,400) 1 350 38 0,025 0,95

[400,500) 2 450 40 0,05 1

total 40 1

Mo= 14

S²= (1- 177,5)²*11+(2-177,5)²* 12 +(3-177,5)²*14 +(4-177,5)² * 1+(5-177,5)²*2=

S²= 346,557+ 378,051+ 426,303+ 31,502 +63,002=

S² = 3.288 S= √3,288 S= 1,81

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE INTRA

Y EXTRA CLASE

MATRICES

DESARROLLO EN CLASES:

9 1 1 1 1 10 2 2

A 1 2 1 B 1 1 C 2 3 2

1 18 1 1 1 2 19 2

3 x 3 3 x 2 3 x 3

9 + 1 + 1= 11

9 + 1 + 1 = 11 11 11

1 + 2 + 1 = 4 4 4

1 + 2+ 1 = 4 20 20

1 + 18 + 1 = 20

Bt . A t

Bt 1 1 1 At 9 1 1 11 4 20

1 1 1 1 2 18 = 11 4 20

2 x 3 1 1 1

9 + 1 + 1 = 11

1 + 2 +1 = 4

1 + 18 + 1 = 20

9 + 1 + 1 = 11

1 + 2 + 1 = 4

1 + 18 + 1 = 20

C) C . A

10 2 2 9 1 1 94 50 14

2 3 2 1 2 1 23 44 7

2 19 2 1 18 1 39 76 23

90 + 2+ 2 = 4

10 + 4 + 36 = 50

10 + 2 + 2 = 14

18 + 3 + 2 = 23

2 + 54 + 2 = 58

2 + 6 + 36 = 44

2 + 3 + 2 = 7

18 + 19 + 2 = 39

2 + 38 + 36 = 76

2 + 19 + 2 = 23

9 1 1 1 1 10 2 2

A= 1 2 1 B= 1 1 C= 2 3 2

1 18 1 1 1 2 19 2

3 x 3 2 x 3 3 x3

a¿ A ²+2 A .C+C ²

9 1 1 9 1 1 83 29 11

A² 1 2 1 1 2 1 = 12 23 4

1 18 1 1 18 1 28 55 20

9 1 1 10 2 2 94 40 22

A 1 2 1 C 2 3 2 = 16 27 8

1 18 1 2 19 2 48 58 40

188 80 44

2.AC = 32 54 16

96 116 80

10 2 2 10 2 2 108 64 28

C² 2 3 2 3 2 2 30 51 14

2 19 2 2 19 2 62 99 46

83 29 11 188 80 14 271 109 55

A² 12 23 4 +2AC 32 54 16 = 44 87 20

28 55 20 96 112 80 124 205 100

271 119 47 108 64 28 379 183 75

C.A 51 94 10 + C² 30 51 14 81 145 33

115 189 83 62 99 40 177 288 129

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