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PROGRAMACIÓN LÓGICA

LÓGICA DE PRIMER ORDEN

Juan Juárez Fuentes

IntroducciónLógica de primer orden

La lógica proposicional es uno de los lenguajes de representación más sencillos, que permite mostrar las cuestiones fundamentales.

Sin embargo, su ontología es muy limitada, y abarca sólo aquellos mundos constituidos por hechos.

La lógica de primer orden tiene alcances ontológicos más amplios. Considera el mundo constituido por objetos y propiedades que los distingan.

IntroducciónLógica de primer orden

Entre estos objetos hay varios tipos de relaciones, algunas de las cuales son las funciones.

EjemplosObjetos: gente, casas, números, teorías, Ronald McDonald, colores, juegos de béisbol, guerras, siglos, …

Relaciones: hermano de, mayor que, dentro de, parte de, de color, sucedió luego de, es el dueño de, …

Propiedades: rojo, redondo, de varios pisos, falso, lo mejor, …

Funciones: padre de, mejor amigo de, tercer tiempo de, uno más que, …

IntroducciónLógica de primer orden

“Uno más dos es igual a tres”Objetos: uno, dos, tres, uno más dos.Relación: es igual aFunción: más

“Los cuadros cercanos a la pintura brillan”Objetos: cuadros, pinturaPropiedad: brillaRelación: cercanía

“El malvado rey Juan gobernó Inglaterra en 1200”Objetos: Juan, Inglaterra, 1200Relación: gobernóPropiedades: malvado, rey

Sintaxis y semánticaTérminos

En la lógica proposicional, cada expresión es una oración, que representa un hecho. En la lógica de primer orden hay oraciones, pero también términos que representan objetos.

Los signos que representan constantes, las variables y los signos de funciones sirven todos para construir términos; los cuantificadores y los signos de predicados sirven para construir oraciones.

Sintaxis y semánticaTérminos (2)

Un término es una expresión lógica que se refiere un objeto. Los signos de constante son términos.

A veces es más práctico utilizar una expresión para referirse a un objeto, por ejemplo, en vez de LaPiernaIzquierdaDeJuan es más práctico usar PiernaIzquierdaDe(Juan)

Sintaxis y semánticaElementos

Signos de constantes: A, B, C, Juan…

Signos de predicado: Redondo, Hermano…

Ejemplo, Hermano hace referencia al conjunto de tuplas {<Rey Juan, Ricardo Corazón de León> <Ricardo Corazón de León, rey Juan>}

Signos de funciones: Coseno, PadreDe, PiernaIzquierdaDe…

Son relaciones en las que un objeto está relacionado justamente con otro objeto.

Sintaxis y semánticaOraciones atómicas

Los términos y signos de predicado se combinan para formar oraciones atómicas, mediante las que se afirman hechos.

Una oración atómica está formada por un signo de predicado y por una lista de términos entre paréntesis, ejemplo

Hermano (Ricardo, Juan)

Casado (PadreDe (Ricardo), MadreDe (Juan))

Se dice que una oración atómica es verdadera si la relación a laque alude el signo de predicado es válida para los objetos a losque aluden los argumentos.

Sintaxis y semánticaOraciones complejas

Mediante los conectores lógicos se pueden construir oraciones más complicadas, como en cálculo proposicional, ejemplo:

Hermano (Ricardo, Juan) ∧ Hermano

(Juan, Ricardo)

Mayor (Juan, 30) ∨ Menor (Juan, 30)

Mayor (Juan, 30) ⇒ ¬Menor (Juan, 30)

¬Hermano (Robin, Juan)

Sintaxis y semánticaCuantificadores

Los cuantificadores permiten expresar propiedades de grupos completos de objetos en vez de enumerarlos por sus nombres.

La lógica de primer orden contiene dos cuantificadores estándar, denominados universales y existenciales.

Sintaxis y semánticaCuantificación universal (∀)

Facilita la expresión de reglas generales, ejemplo: en vez de decir “Mancha es un gato” y “Mancha es un mamífero” se usa:

∀x Gato (x) ⇒ Mamífero (x)

Lo cual equivale a:

Gato (Mancha) ⇒ Mamífero (Mancha) ∧ Gato (Rebeca) ⇒Mamífero (Rebeca) ∧ Gato (Félix) ⇒ Mamífero (Félix) ∧ Gato (Juan) ⇒ Mamífero (Juan) ∧ …

Sintaxis y semánticaCuantificación universal (∀)

Por lo tanto la primera expresión será valida si y sólo si todas estas últimas son también verdaderas, es decir, si P es verdadera para todos los objetos x del universo. Por lo tanto, a ∀ se le conoce como cuantificador universal.

Cuando un término no tiene variables se le conoce como término de base.

Sintaxis y semánticaCuantificación existencial (∃)

Con ella podemos hacer afirmaciones sobre cualquier objeto del universo sin tener que nombrarlo, ejemplo, si queremos decir que Mancha tiene un hermano que es un gato:

∃x Hermano (x, Mancha) ∧ Gato (x)

En general, ∃x P es verdadero si P es verdadero para ciertoobjeto del universo.

Sintaxis y semánticaCuantificación existencial (∃)

∃x Hermano (x, Mancha) ∧ Gato (x) equivale a las oraciones:

(Hermano (Mancha, Mancha) ∧ Gato (Mancha)) ∨ (Hermano (Rebeca, Mancha) ∧ Gato (Rebeca)) ∨ (Hermano (Félix, Mancha) ∧ Gato (Félix)) ∨ (Hermano (Ricardo, Mancha) ∧ Gato (Ricardo)) ∨…

Así como ⇒ es el conector natural para ∀, ∧ es el conector natural para ∃.

Sintaxis y semánticaCuantificadores anidados

“Para toda x y toda y, si x es el padre de y, entonces y es el hijo de x”

∀x,y Padre (x,y) ⇒ Hijo (y,x)

“Para toda x y toda y, si x es hermano de y, entonces y es hermano de x”

∀x,y Hermano (x,y) ⇒ Hermano (y,x)

Sintaxis y semánticaCuantificadores anidados (2)

“Todas las personas aman a alguien”

∀x ∃y Aman (x,y)

“Siempre hay alguien a quien todos aman”

∃y ∀x Aman (x,y)

Sintaxis y semánticaFórmula bien formada

Una oración como ∀x P (y), en la que y carece de cuantificador, es incorrecta.

El término fórmula bien configurada o fbc se emplea para calificar oraciones en las que todas sus variables se han introducido adecuadamente.

También se puede decir formula bien formada o fbf.

Sintaxis y semánticaRelaciones entre ∀ y ∃

Ambos cuantificadores están estrechamente relacionados entre sí mediante la negación.

“A todos les desagradan las espinacas” ≡ “No hay alguien a quien le gusten las espinacas”

∀x ¬LeGustan(x, espinacas) ≡ ¬∃x LeGustan (x, espinacas)

“A todos les gusta el helado” ≡ “No hay alguien a quien no le guste el helado”

∀x LeGusta(x, helado) ≡ ¬∃x ¬LeGusta (x, helado)

Sintaxis y semánticaRelaciones entre ∀ y ∃

Puesto que ∀ es una conjunción de objetos del universo y ∃ es su disyunción, es natural que obedezcan las leyes de De Morgan:

¬P ∧ ¬Q ≡ ¬(P ∨ Q)¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬QP ∧Q ≡ ¬ (¬P ∨ ¬Q)P ∨Q ≡ ¬ (¬P ∧ ¬Q)

∀x ¬P ≡ ¬∃x P¬∀x P ≡ ∃x ¬P∀x P ≡ ¬∃x ¬P∃x P ≡ ¬∀x ¬P

Sintaxis y semánticaIgualdad

Para formular aseveraciones en las que los dos términos se refieren a un mismo objeto se utiliza el símbolo de igualdad:

Padre(Juan) = Enrique

El signo de igualdad sirve para describir las propiedades de una función determinada o se puede emplear en la negación para insistir en que dos términos no son el mismo objeto:

∃x,y Hermano(Mancha, x) ∧ Hermano(Mancha, y) ∧ ¬(x=y)

Extensiones en la NotaciónLógica de orden superior

El nombre lógica de primer orden se basa en el hecho de que con ella se cuantifican objetos (las entidades de primer orden que en realidad existen en el mundo), aunque no permiten cuantificar las relaciones o funciones que existen entre dichos objetos.

Mediante la lógica de orden superior es posible cuantificar relaciones y funciones al igual que objetos.

∀x,y (x=y) ⇔ (∀p p(x) ⇔ p(y))

∀f,g (f=g) ⇔ (∀x f(x) ⇔ g(x))

Extensiones en la NotaciónOperador λ

Expresiones funcionales y de predicado usando el operador λ.

El operador λ se usa para convertir términos en funciones, especificando sus argumentos:

λx,y x2 - y2

Esta expresión se aplica a los argumentos para producir un término lógico de la misma manera que lo haría una función común:

(λx,y x2 - y2) (25,24) = 252 – 242 = 49

Extensiones en la NotaciónEl cuantificador de unicidad ∃!

Se utiliza para afirmar la existencia de un objeto específico que satisface determinado predicado.

“Existe un solo rey”

∃! Rey(x)

“Todo país tiene exactamente un gobernante””

∀ c País(c) ⇒ ∃! r Gobernante(r, c)

Extensiones en la NotaciónEl operador de unicidad ι

Se utiliza para representar directamente el objeto específico, ejemplo:

“El único gobernante de Libertania está muerto”

Muerto (ι r Gobernante(r, Libertania))

Que es una abreviatura de

∃! r Gobernante (r, Libertania) ∧ Muerto (r)

Uso de una lógica de primer ordenDominio

En la representación del conocimiento, un dominio es un fragmento del mundo acerca del que deseamos expresar un determinado conocimiento.

Uso de una lógica de primer ordenDominio (2)

El dominio del parentesco

En este dominio están presentes hechos tales como:

“Isabel es la madre de Carlos” y “Carlos es el padre de Guillermo”

Y reglas como:

“Si x es la madre de y y y es padre de z, entonces x es la abuela de z”

Los objetos de este dominio son personas.

Uso de una lógica de primer ordenDominio (3)

El dominio del parentesco

Entre las propiedades que poseen están el género y las relaciones que guardan entre sí son las de padres, hermanos, esposos, etc.

Por lo tanto, hay dos predicados unarios: Hombre y Mujer.

La mayoría de las relaciones de parentesco serán predicados binarios:

Progenitor, Hijo, Hermano, Hermana, Progenie, Hijo, Hija, Esposo, Esposa, Cónyuge, Abuelo, Nieto, Primo, Tía, Tío.

Para Madre y Padre se usarán funciones, puesto que todo mundo cuenta con ellos desde un punto de vista biológico.

Uso de una lógica de primer ordenDominio (4)

El dominio del parentesco

La madre de alguien es su progenitor femenino:

∀m,c Madre(m,c) ⇔ Mujer(m) ∧ Progenitor(m,c)

El esposo de alguien es su cónyuge masculino

∀w,h Esposo(h,w) ⇔ Hombre(h) ∧ Cónyuge(h,w)

Masculino y femenino son categorías disyuntas:

∀x Hombre(x) ⇔ ¬Mujer(x)

Uso de una lógica de primer ordenDominio (5)

El dominio del parentesco

Progenitor y progenie son relaciones inversas:∀p,c Progenitor(p,c) ⇔ Progenie(c,p)

Un(a) abuelo(a) es progenitor del progenitor de alguien:∀g,c Abuelo_a(g,c) ⇔ ∃p Progenitor(g,p) ∧Progenitor(p,c)

Un hermano es otro de los hijos de los progenitores de alguien:

∀x,y Hermanos(x,y) ⇔ x ≠ y ∧ ∃p Progenitor(p,x) ∧Progenitor(p,y)

Uso de una lógica de primer ordenAxiomas, definiciones y teoremas

Los matemáticos crean axiomas para capturar los hechos básicos acerca de un dominio, para definir otros conceptos en función de tales hechos básicos y para utilizar los axiomas y las definiciones para demostrar teoremas.

¿Cómo saber si se han postulado una cantidad suficiente de axiomas de tal manera que un dominio quede completamente especificado? Postulando un conjunto de predicados básicos en función de los cuales se pueden definir los demás.

¿Y si tenemos demasiadas oraciones? Revisar cuáles oraciones no son necesarias y se pueden inferir con otras oraciones.

Uso de una lógica de primer ordenAxiomas, definiciones y teoremas

Sin embargo, hay axiomas independientes, que son aquellos que no se pueden obtener a partir de otros axiomas.

Un axioma como ∀x,y P(x,y) ≡… se conoce como definición de P, porque sirve para definir exactamente para qué objetos P se cumple y para cuáles no.

Uso de una lógica de primer ordenEl dominio de los conjuntos

En este dominio, ConjuntoVacío es una constante, Miembro y Subconjunto son predicados; Intersección, Unión y Adyuncióno Incorporación son funciones. Conjunto es un predicado únicamente válido en los conjuntos.

Los ocho axiomas siguientes estipulan que:

Los únicos conjuntos son el conjunto vacío y aquellos que resultan de incorporar algo a un conjunto

∀s Conjunto(s) ⇔ (s = ConjuntoVacio) ∨ (∃x,s2Conjunto(s2) ∧ s=Adyunto(x, s2))

Uso de una lógica de primer ordenEl dominio de los conjuntos

El conjunto vacío es aquel que no tiene incorporado ningún elemento.

¬∃x,s Adyunto(x, s) = ConjuntoVacío

La adyunción de un elemento que ya esté en el conjunto no produce efecto alguno.

∀x,s Miembro(x,s) ⇔ s = Adyunto(x,s)

Los únicos miembros de un conjunto son los elementos que ya fueron incorporados a dicho conjunto.

∀x,s Miembro(x) ⇔ ∃y,s2 (s=Adjunto(y, s2) ∧ (x=y ∨Miembro(x,s2)))

Uso de una lógica de primer ordenEl dominio de los conjuntos

Un conjunto es subconjunto de otro si y sólo si todos los miembros del primer conjunto son miembros del segundo conjunto.

∀s1,s2 Subconjunto(s1,s2) ⇔ (∀x Miembro(x, s1) ⇒ Miembro(x, s2)))

Dos conjuntos son iguales si y sólo si cada uno de ellos es subconjunto del otro.

∀s1,s2 (s1 = s2) ⇔ (Subconjunto(s1,s2) ∧ Miembro(s2, s1)))

Uso de una lógica de primer ordenEl dominio de los conjuntos

Un objeto es miembro de la intersección de dos conjuntos si y sólo si es también miembro de cada uno de los conjuntos.

∀x,s1,s2 Miembro (x, Intersección(s1,s2)) ⇔ Miembro (x,s1) ∧Miembro (x,s2)

Un objeto es miembro de la unión de dos conjuntos si y sólo si es también miembro de uno de los dos conjuntos

∀x,s1,s2 Miembro (x, Unión(s1,s2)) ⇔ Miembro (x,s1) ∨Miembro (x,s2)

Uso de una lógica de primer ordenNotaciones

Notaciones especiales para conjuntos, listas y aritmética

[] = Nada[x] = Cons(x, Nada)[x,y] =Cons(x, Cons(y, Nada))[x,y|l] =Cons(x, Cons(y, l))

∅ = Conjunto vacío{x} = Adjunto(x, Conjunto vacío){x,y} = Adjunto(x, Adjunto(y, Conjunto vacío){x,y|s} =Adjunto (x, Adjunto(y,s))r ∪ s = Unión(r,s)r ∩ s = Intersección (r,s)x∈ s = Miembro(x,s)r ⊆ s = Subconjunto(r,s)

Uso de una lógica de primer ordenPreguntas o consultas

Cómo formular preguntas y obtener respuestas

Para añadirle oraciones a la base de conocimientos BC, diríamos:

Decir(BC, (∀m,c Madre(m,c) ⇔ Mujer(m) ∧Progenitor(m,c)))Decir(BC, (Mujer(Maxi) ∧ Progenitor(Maxi,Mancha) ∧Progenitor(Mancha,Botas)))

Y luego podríamos preguntarPreguntar(BC, Abuelo_a(Maxi, Botas))

Uso de una lógica de primer ordenPreguntas o consultas (2)

Cómo formular preguntas y obtener respuestas

Las oraciones añadidas al utilizar DECIR se llaman aseveraciones.A las preguntas formuladas mediante PREGUNTAR se les conoce como consultas u objetivos.También se pueden hacer preguntas básicamente cuantificadas como:

Preguntar(BC,∃x Hijo(x,Mancha))

Las preguntas del tipo “¿Existe una x tal que…?” se resuelve proporcionando esa x, mediante una sustitución o lista de enlace.

Caso de aplicaciónAgentes lógicos para el mundo de wumpus

Se consideran tres arquitecturas:Agentes reflejosAgentes basados en modelosAgentes basados en metas

Lo primero que se debe hacer es definir la interfaz entre el agente y el ambiente.

Percepción([Hedor, Brisa, Resplandor, Nada],5)

La acción del agente debe ser una de las siguientes:Vuelta(Derecha), Vuelta(Izquierda), Adelante, Disparar, Tomar, Soltar, Saltar

Caso de aplicación Agentes lógicos para el mundo de wumpus(2)

Para decidir cuál es la mejor, la función HACER-CONSULTA-SOBRE-ACCION crea una consulta tal como

∃a Acción(a,5)

Caso de aplicación Un agente reflejo simple

El más sencillo de los agentes funciona mediante reglas que conectan directamente percepciones y acciones. Tales reglas se parecen a los reflejos o a los instintos, ejemplo:

∀s,b,u,c,t Percepción([s,b,Resplandor,u,c],t) ⇒Acción(Tomar,t)

La relación entre percepción y acción puede estar regulada por reglas de percepción, mediante las cuales se elabora una abstracción de la entrada perceptual inmediata y se le convierte en formas más útiles.

∀b,g,u,c,t Percepción([Hedor,b,g,u,c],t) ⇒ Hedor(t)∀s,g,u,c,t Percepción([s,Brisa,g,u,c],t) ⇒ Brisa(t)∀s,b,u,c,t Percepción([s,b,Resplandor,u,c],t) ⇒ EnOro(t)…

Caso de aplicación Un agente reflejo simple (2)

De esta forma, se puede establecer una conexión entre los predicados anteriores y las posibles acciones:

∀t , EnOro(t) ⇒ Acción(Tomar, t)

Caso de aplicación Un agente reflejo simple (3)

Limitaciones de los agentes reflejos simples

El mundo del wumpus es difícil para los simples agentes reflejos.

La acción Saltar permite ver el porqué. Un agente reflejo puro no sabe con seguridad cuándo saltar, puesto que ni tener el oro ni estar en el cuadro inicial son parte de su percepción.

También son incapaces de evitar los ciclos infinitos.

Caso de aplicación Cómo representar los cambios en el mundo

Cualquier sistema que tome sus decisiones basándose en percepciones anteriores puede ser reelaborado para que en vez de tales percepciones utilice un conjunto de oraciones que se refieran al estado actual del mundo.

Las reglas que describen la manera como cambia (o no cambia) el mundo se conocen como reglas diacrónicas, del griego “a través del tiempo”.

Caso de aplicación Cómo representar los cambios en el mundo (2)

Una manera de manejar el cambio es sustituir oraciones en la BC. La inconveniencia es que pierde todo conocimiento acerca del pasado.

Otra es que el agente pueda explorar estados del pasado y posibles estados del futuro, donde cada uno se representa mediante una BC diferente

En principio, representar situaciones y acciones no es distinto que representar objetos más concretos como los gatos y los reyes, o relaciones concretas como el hermanazgo.

Caso de aplicación Cómo representar los cambios en el mundo (3)

Cálculo de situaciones

Es el nombre dado para una manera particular de describir el cambio en la lógica de primer orden.

Concibe al mundo como una secuencia de situaciones, cada una de las cuales es como una “instantánea” del estado del mundo.

Las situaciones se generan mediante acciones desde situaciones anteriores.

Caso de aplicación Cómo representar los cambios en el mundo (4)

Cálculo de situaciones

Para hacer esto, se proporciona al predicado correspondiente un argumento de situación adicional. Por ejemplo, en vez de usar En(Agente, ubicación), tendríamos

En(Agente, [1,1],S0 ∧ Agente, [1,2],S1)

Caso de aplicación Cómo representar los cambios en el mundo (5)

Cálculo de situaciones

Para representar cómo cambia el mundo de una situación a otra se emplea la función resultado:

Resultado (HaciaAdelante,S0) =S1

Resultado (DarVuelta(ALaDerecha, S1) =S2

Resultado (HaciaAdelante,S2) =S3

Caso de aplicación Cómo representar los cambios en el mundo (6)

Cálculo de situaciones

También se cuenta con:

Axiomas de efecto, para definir el efecto que produce el realizar alguna acción.

Axiomas de cuadro, para describir cómo el mundo permanece igual

Axiomas de estado sucesor, para definir cuando un predicado es válido después de una acción siempre y cuando sea verdadero o lo siga siendo, y falso en cualquier otro caso.

Caso de aplicación Hacia un agente basado en metas

Una vez encontrado el oro, las políticas deben modificarse radicalmente. El objetivo ahora es regresar al cuadro de partidaa la brevedad posible. Lo que ahora desearíamos es inferir que el agente tiene como meta encontrarse en la ubicación [1,1].

Caso de aplicación Hacia un agente basado en metas (2)

Lo anterior se puede lograr de tres maneras por lo menos:

Inferencia

Búsqueda

Planificación

BibliografíaGenesereth, Michael and Kao, Eric. Introduction to logic. Morgan \& Claypool Publishers. 2013.

David Barker-Plummer, Jon Barwise, and John Etchemendy. CSLI Publications, Stanford, CA, USA, 2nd edition.

Armin Biere, Marijn J. H. Heule, Hans van Maaren, and TobyWalsh, editors. Handbook of Satisfiability, volume 185 ofFrontiers in Artificial Intelligence and Applications. IOS Press, Lansdale, PA, USA, February 2009.

Hans K. Buning and T. Letterman. Propositional Logic: Deduction and Algorithms. Cambridge University Press, NewYork, NY, USA, 1999.

Bibliografía (2)Chin-Liang Chang and Richard C. Lee. Symbolic Logic andMechanicalTheorem Proving (Computer Science Classics). AcademicPress, Salt Lake City, UT, USA, May 1973.

Herbert B. Enderton. A Mathematical Introduction to Logic. AcademicPress, Salt Lake City, UT, USA, 2nd edition, 2001.

Timothy Hinrichs and Michael Genesereth. Herbrand logic. TechnicalReport LG-2006-02, Stanford University, Stanford, CA, USA, 2006. http://logic.stanford.edu/reports/LG-2006-02.pdf.

John Alan Robinson and Andrei Voronkov, editors. Handbook ofAutomated Reasoning (in 2 volumes). MIT Press, Cambridge, MA, USA, 2001.