presentación polígonos, poliedros
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Triángulo Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida.
Triángulo Isósceles: Tiene dos lados de igual medida.
Triángulo Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS
TRIÁNGULOS
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS
Triángulo Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos.
Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto.
Triángulo Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
Propiedad
La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º
A + B + C = 180°
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE LOS TRIÁNGULOS
MEDIANAS ALTURAS
MEDIATRICES BISECTRICES
ncentro
Circunferencia
inscrita
TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
ELEMENTOS:
Hipotenusa: Lado mayor
Catetos: Lados menores
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 + b2 = c2
TEOREMA DE PITÁGORAS
DEMOSTRACIÓN
c2 = a2 + b2
APLICACIONES DEL
TEOREMA DE PITÁGORAS
A) Calcular un lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos
B) Averiguar si un triángulo es rectángulo
62 + 72 ≠ 112 62 + 82 = 102
x = 6,71 m y = 8,66 cm z = 36,05 dm
CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS
Lados paralelos dos a dos
NO PARALELOGRAMOS
TRAPECIOS:Dos de sus lados,
(normalmente
llamados bases) son paralelos.
TRAPEZOIDES:Cuadriláteros que no
tienen lados paralelos.
P
A
R
A
L
E
L
O
G
R
A
M
O
S
RECTÁNGULO:Paralelogramo que tiene
los cuatro ángulos rectos.
ROMBO:Paralelogramo que tiene
los cuatro lados iguales.
CUADRADO:Tiene cuatro ángulos rectos,
y cuatro lados iguales,
en consecuencia es un
rectángulo y un rombo.
ROMBOIDE:Paralelogramo que sus
ángulos no son rectos
ni sus lados son iguales
PROPIEDADES
• Lados iguales dos a dos.
• Las diagonales son iguales y
se cortan en el punto medio
de cada una.
• Los ángulos opuestos son iguales.
• Diagonales perpendiculares que
se cortan en el punto medio
de ambas, y son ejes de simetría.
• Diagonales iguales y
perpendiculares.
• Las diagonales son
bisectrices de sus ángulos.
• Las diagonales no son iguales
y se cortan en sus puntos
medios.
• Lados y ángulos iguales dos a
dos.
N
O
P
A
R
A
L
E
L
O
G
R
A
M
O
S
TRAPECIOS• Los lados paralelos se
llaman bases y la distancia
entre ellos, altura.
TRAPEZOIDES• Son de formas muy variadas,
la más común es en forma de COMETA
TRAPECIOS RECTÁNGULOSDos ángulos rectos
TRAPECIOS ISÓSCELESLos lados no paralelos iguales
CLASIFICAR LOS SIGUIENTES CUADRILÁTEROS
PERÍMETROS Y
ÁREAS DE
FIGURAS PLANAS
LONGITUDES Y
ÁREAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
Y EN EL CÍRCULO
CIRCUNFERENCIAS Y RECTAS: posición relativa
No tienen ningún
punto en común
Se cortan
en un punto
Se cortan
en dos puntos
El radio r, la mitad de la cuerda, c/2, y
la distancia del centro a la cuerda, d,
forman un triángulo rectángulo.
Por tanto , se cumple que:
2
2
2
2d
cr
Desde un punto exterior se pueden
Trazar dos tangentes a una
circunferencia. Cada una de ellas es
perpendicular al radio en el punto de
tangencia. Por tanto, el triángulo de
lados d, r y t es rectángulo.
222 trd
ACTIVIDADES
1. Observando la figura y sabiendo
que la cuerda mide 18 cm.
¿Cuál es la distancia del centro
de la circunferencia a la recta?
AB
2. Halla la longitud del segmento PT
= 12 cm
= 36 cm
AB
PT
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ÁNGULO CENTRAL
La medida angular de un arco PQ
es el ángulo central
correspondiente POQ
PQ = POQ
ÁNGULO INSCRITO
La medida de un ángulo inscrito
en una circunferencia es igual a
la mitad del arco que abarca,
es decir, a la mitad del
ángulo central correspondiente
ACTIVIDADES
1. ¿Cuánto miden los ángulos , y
si AOB es un ángulo recto?
P̂ Q̂ R̂
2. El triángulo ABC es isósceles,
¿cuánto miden los ángulos de ese triángulo?
3. Halla el valor de los ángulos señalados en cada figura:
“ “ “
ACTIVIDADES
Calcula el área de la parte coloreada en las siguientes figuras
10 cm
16 cm
5 cm
AB
CD
AC BD
a)
b)
r = 2 cm
R = 5 cm
c)
FIGURAS EN EL ESPACIO
FIGURAS POLIÉDRICAS FIGURAS DE REVOLUCIÓN
Son cuerpos geométricos
limitados por polígonosSon cuerpos que se engendran al
hacer girar figuras planas alrededor
de un eje.
Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO
POLIEDROS
Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos
caras consecutivas tienen una arista en común.
Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del
poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.
Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista
en común.
Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y
tienen un vértice común.
Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no
pertenecientes a la misma cara.
Caras
Aristas
Vértices
Ángulos diedros
Ángulos poliédricos
Diagonales
PRISMASTienen dos caras iguales y paralelas, BASES.
Caras laterales que son paralelogramos.
ARISTA BÁSICA
ARISTA LATERAL
ALTURA
APOTEMA BASE
Otros elementos importantes de los prismas
PRISMAS
OBLICUOS
RECTOS
IRREGULARESREGULARES
Sus caras son romboides
o rombos
Sus bases son
polígonos regulares
Sus bases son
polígonos irregulares
Sus caras laterales son rectángulos o cuadrados
PIRÁMIDESTienen una sola base.
Caras laterales son triángulos.
CARAS LATERALES
BASE
a´
APOTEMA LATERAL O
ALTURA DE LA CARA
ALTURA DE LA PIRÁMIDE
ARISTA LATERAL
APOTEMA BASE
ARISTA BÁSICA
BASE
Otros elementos importantes de las pirámides
PIRÁMIDES
OBLICUAS
RECTAS
IRREGULARESREGULARES
Su base es un
polígono regular
Su base es un
polígono irregular
Alguna de sus caras
no es triángulo isósceles
Sus caras son triángulos isósceles
Pirámides rectas y oblicuas
El nombre te dice dónde está la punta (ápice) de la pirámide.
Si el ápice está directamente sobre el centro de la base, es una pirámide
recta, si no es una pirámide oblicua
Pirámide Recta Pirámide Oblicua
Centro de la base
ALGUNAS FIGURAS POLIÉDRICAS: ELEMENTOS
PARALELEPÍPEDO
Prisma cuyas bases
son paralelogramos.
Tiene 6 caras y todas
son paralelogramos.
ORTOEDRO:
Paralelepípedo cuyas caras
son rectángulos
CUBO:
Paralelepípedo cuyas
6 caras son cuadrados
Clasifica los siguientes cuerpos geométricos:
¿Qué tienen en común todos estos cuerpos geométricos?
Poliedros Regulares
Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus
ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares
iguales.
Sólo existen cinco poliedros regulares:
Tetraedro: cuatro caras que son triángulos equiláteros
Hexaedro o cubo: seis caras que son cuadrados
Octaedro: ocho caras que son triángulos equiláteros
Dodecaedro: doce caras que son pentágonos regulares
Icosaedro: veinte caras que son triángulos equiláteros
Poliedros Regulares
Tetraedro
Hexaedro
Icosaedro
Octaedro
Dodecaedro
TEOREMA DE EULER
Siempre en un poliedro simple o convexo (poliedro que no
tiene orificios), al contar sus caras (c), sus vértices (v) y sus
aristas (a), se cumple la siguiente relación:
A = C + V – 2 Fórmula de Euler
Caras = 8
Vértices = 12 8 + 12 – 2 = 18
Aristas = 18
DIAGONALES DE UN POLIEDRO
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
ESFERA
CILINDRO
CONO
CILINDRO
radio
genera
triz
altura
EJE GIRO
RADIO
GENERATRIZ
BASE
Se obtiene al girar un rectángulo alrededor
de uno de sus lados.
Se obtiene al girar un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos.
radio
eje
giro
altura
EJE GIRO
GENERATRIZ
RADIO
BASE
CONO
Se obtiene al girar un semicírculo alrededor
de su diámetro.diá
metr
o
eje
giro
GENERATRIZ
CENTRO
RADIO
EJE DE GIRO
ESFERA
ALGUNAS FIGURAS DE REVOLUCIÓN: ELEMENTOS
Vista nocturna del monumento en recuerdo y
homenaje a las víctimas del atentado del 11-M,
erigido en las proximidades de la estación de
Atocha, en Madrid
A continuación tienes dibujados algunos cuerpos
a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos?.
b. Clasifica cada uno de ellos.
c. Indica número de vértices, caras y aristas de cada uno de ellos.
d. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros.
De las siguientes figuras indica cuáles son poliedros y cuáles cuerpos de
Revolución.
Indica también el nombre de cada uno de ellos.
Áreas y Volúmenes
de cuerpos en el
espacio
PRISMA
CILINDRO
PIRÁMIDE
CONO
ESFERA
1. Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes
figuras son poliedros. ¿Alguno de los poliedros que hay es regular?
ACTIVIDADES
2. Halla el volumen y el área total de cada una de estas figuras:
V A C Nombre (Procede del...)Polígonos que lo forman:
Tr Cu Pe Ex Oc De
12 18 8 Tetraedro truncado (T) 4 4
24 36 14 Cubo truncado (C) 8 6
24 36 14 Octaedro truncado (O) 6 8
60 90 32 Dodecaedro truncado (D) 20 12
60 90 32 Icosaedro truncado (I) 12 20
12 24 14 Cuboctaedro (C,O) 8 6
24 48 26 Rombicuboctaedro (C,O) 8 18
48 72 26 Gran rombicuboctaedro (C,O) 12 8 6
24 60 38 Cubo doblemente truncado (C) 32 6
30 60 32 Icosidodecaedro (D,I) 20 12
60 120 62 Rombicosidodecaedro (D,I) 20 30 12
120 180 62 Gran rombicosidodecaedro (D,I) 30 20 12
60 150 92 Dodecaedro doblemente truncado (D) 80 12
SÓLIDOS PLATÓNICOS
TETRAEDRO TRUNCADO CUBOTRUNCADO
OCTAEDRO TRUNCADO
ICOSAEDRO TRUNCADO DODECAEDRO TRUNCADO
ROMBICUBOCTAEDRO
CUBO ACHATADO DODECAEDRO ACHATADO
ICOSIDODECAEDRO CUBOCTAEDRO
GRAN ROMBICUBOCTAEDRO
GRAN ROMBICOSIDODECAEDRO
ROMBICOSIDODECAEDRO
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