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TEMA 2

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES

EXPERIMENTOS: EJEMPLOS

Deterministas

•Calentar agua a 100ºC

•Soltar objeto

Aleatorios

•Lanzar un dado

•Resultado fútbol

•Respuesta en una encuesta

puntos

quinielavapor

cae

Sí/No

EXPERIMENTO ALEATORIO

•Los experimentos determinísticos son modelizados mediante ecuaciones que ponen en relación la respuesta con las variables causales

•Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado.

•El desconocimiento de las causas que provocan una respuesta tiene como consecuencia que sea más fácil modelizar un experimento como aleatorio.

ESPACIO MUESTRAL

Aunque no se conozca el resultado particular de un experimento aleatorio, sí es posible conocer el conjunto de todos los posiblesresultados.

ESPACIO MUESTRAL

Ω

ESPACIO MUESTRAL

El espacio muestral es un conjunto no vacío que puede ser:

Finito numerableLanzamiento de un dado: Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito numerableContar el número de lanzamientos de un dado hasta que salga cara por primera vez: Ω=1, 2, ....

Infinito no numerableEscoger al azar un punto en el intervalo unidad: Ω=[0,1]

SUCESOS

Un elemento cualquiera ω perteneciente a Ω se denomina suceso elemental

Un suceso es cualquier subconjunto A de Ω

Un suceso A ocurre si el resultado del experimento aleatorio es un elemento ωperteneciente a A

SUCESOS ALEATORIOS. EJEMPLOS

EJEMPLOS:

Dado:

A=“puntuación par”=2, 4, 6

B=“puntuación mayor que 5”=6

Número al azar en intervalo [0,1]:

A=“mayor que 0.5”=(0.5,1]

B=“racional”=Q ∩ [0,1 ]

SUCESOS ELEMENTALESY COMPUESTOS (II)

EJEMPLOS:

Dado:

A=“Obtener puntuación par”

B=“Obtener múltiplo de 3”

C=“Obtener múltiplo de 5”

Quiniela:A=“Empatar”

B=“No ganar en casa”

Elemental

Compuesto

C

A,BElemental

Compuesto

A

B

SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (I)

• Ω es el suceso seguro

• ∅ es el suceso imposible

SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (II)

Dado:

A=“Obtener puntuación menor que 7

B=“Obtener múltiplo de 7”

A es suceso seguro, B es suceso imposible

Futbol:

A=“Algún equipo obtenga puntos”

B=“Ningún equipo obtenga puntos”

A es suceso seguro, B es suceso imposible

OPERACIONES CON SUCESOS

Los sucesos son conjuntos y por lo tanto pueden ser manipulados con las operaciones:UNIÓN

Ocurre el suceso A o el B: A ∪ B

INTERSECCIÓNOcurren los sucesos A y B: A ∩ B

COMPLEMENTARIONo ocurre el suceso A: Ac

UNIÓNA∪B=B∪A(A∪B)∪C=A∪(B∪C)A∪Ac=WA∪∅=A

INTERSECCIÓNA∩B=B∩A(A∩B) ∩C=A∩ (B∩C)A∩Ac=∅A∩∅=∅

A∪(B ∩ C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B ∩ C)=(A∪B)∩(A∪C)

OPERACIONES CON SUCESOS: PROPIEDADES

COMPLEMENTARIOWc =∅ ∅c = W (Ac)c=A

(A∪B)c=Ac ∩Bc (A∩B)c=Ac∪Bc

ÁLGEBRAS

ÁLGEBRAS. PROPIEDADES

ÁLGEBRAS. EJEMPLOS

s-ÁLGEBRAS

CÁLCULO DE

PROBABILIDADES

INTRODUCCIÓN

La idea de probabilidad surge por la necesidad

de medir la incertidumbre o verosimilitud que

posee cada suceso asociado a un experimento

aleatorio.

DEFINICIÓN EMPÍRICA (I)

Interpretación frecuentista de la probabilidad

0

0,5

1

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

N

frec

uenc

ia

rela

tiva

EJEMPLO:Anotamos el número de caras en N lanzamientos de una moneda y calculamos su frecuencia relativa

DEFINICIÓN EMPÍRICA (II)

Supongamos que se repite un experimento n veces y se observa que el suceso A ocurre k veces, entonces:

No es posible desarrollar una teoría coherentecon esta definición

PROPIEDADES DE LA DEFINICIÓN EMPÍRICA.

•La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.

•La frecuencia relativa de cualquier suceso es no negativa

•La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las frecuencias de ambos.

ESPACIOS DE PROBABILIDAD

PROPIEDADES BÁSICAS

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Ω=ω1, ω2,... NUMERABLEUna función de probabilidad es una aplicación, p, que a cada ωk le asigna un valor pk=p(ωk), tal que:

1. pk≥0

2. Σkpk=1

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Dada una función de probabilidad p sobre unespacio muestral Ω=ω1, ω2,... NUMERABLEse define:

Entonces

es un espacio de probabilidad

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Si Ω=ω1, ω2,..., ωΝ es finito yp1=p2=...=pN=1/N

REGLA DE LAPLACE

TÉCNICAS PARA CONTAR.

Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles.A veces son útiles los diagramas de árbol.

No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo la característica que cumplen. A veces es muy útil la Combinatoria: permutaciones, variaciones,...

TÉCNICAS PARA CONTAR.

PROBABILIDAD DEL SUCESO COMPLEMENTARIO

Ejemplo: Probabilidad de que en una clase de n personas haya al menos 2 con la misma fecha de cumpleaños.

0.9940.9700.8910.7060.4110.117p

605040302010n

Para n=22, p=0.476, para n=23, p=0.507

PROBABILIDAD CONDICIONADA (I)

Probabilidad de un suceso, sabiendo que otro ha ocurrido.

Ejemplo: DadoSupongamos que sale un múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 3?

A=obtener el 3 B=múltiplo de 3

P(A|B)=1/2

Sin embargo: P(A)=1/6

PROBABILIDAD CONDICIONADA (II)

La probabilidad de que ocurra un suceso A condicionado a que otro suceso B con probabilidad no nula haya ocurrido es

( )( / )( )

P A BP A BP B∩

=

La probabilidad de la intersección de sucesos es:

( ) ( / ) ( )P A B P A B P B∩ = ⋅

PROBABILIDAD CONDICIONADA. EJEMPLO

Sorteo no equitativo: En una clase de 27 alumnos, el AMPA sortea un premio en la fiesta de fin de curso. Cada alumno tiene un número asignado.

•Se coge una bolsa con 27 bolas y se extrae una al azar.

•Se cogen bolas numeradas del 0 al 9 y se realiza una extracción en dos pasos. En el primero se extraen una de las bolas 0, 1 y 2. En el segundo se extrae una de entre todas las bolas.

INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Dados dos sucesos A y B con probabilidades no nulas, decimos que son independientes si

( / ) ( ) y ( / ) ( )P A B P A P B A P B= =

En estos sucesos se puede calcular cómodamentela probabilidad de la intersección.

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅

INDEPENDENCIA DE SUCESOS. EJEMPLOS

Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al sumar la puntuación obtenida en el lanzamiento de dos dados, obtengamos un 10.

INTERSECCIÓN DE MÁS DE DOS SUCESOS

• Sucesos no independientes:

1 2

1 2 1 2 1 1

( )( / ) ( / ) ( )

n

n n

P A A AP A A A A P A A P A−

∩ ∩ ∩ == ∩ ∩ ∩ ⋅ ⋅ ⋅

…… …

Regla de la multiplicación.

• Sucesos independientes:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A∩ ∩ ∩ = ⋅ ⋅ ⋅… …

SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS

Los conjuntos A1, A2,... An forman un sistema completo de sucesos si

( )i jA A i j∩ =∅ ∀ ≠

1 2 nA A A∪ ∪ ∪ = Ω…

Encuesta:A=“ningún hijo”B=“un hijo”C=“dos hijos”D=“más de dos hijos”

Los sucesos A, B, C y D

forman un sistema

completo de sucesos

PROBABILIDAD TOTAL (I)

Dado un sistema completo de sucesos A1, A2,...,An la probabilidad de un suceso S es

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )n nP S P A P S A P A P S A P A P S A= ⋅ + ⋅ + + ⋅…

PROBABILIDAD TOTAL (II)

Ejemplo: Supongamos que en un centro educativo la altura del 4% de alumnos y del 1% de las alumnas es superior a 1.80 metros. Además el 60% de estudiantes es mujer. Encontrar la probabilidad de coger a un estudiante de altura superior a 1.80 metros.

P(S|M)=0.01P(S|H)=0.04P(M)=0.6

S=“altura superior a 1.80”M=“ser mujer”H=“ser hombre”

P(S)=P(S|M)P(M)+P(S|H)P(H)=0.022

TEOREMA DE BAYES (I)

Dado un sistema completo de sucesos A1, A2,...,An y un suceso cualquiera S con probabilidad no nula

1

( ) ( / ) ( )( / )( ) ( / ) ( )

i i ii n

j jj

P A S P S A P AP A SP S P S A P A

=

∩ ⋅= =

⋅∑

con P(Ai) la probabilidad a priori de Ai y P(Ai|S) la probabilidad a posteriori de Ai.

TEOREMA DE BAYES (II)

En el ejemplo anterior, calcular la probabilidad de que el estudiante escogido fuera mujer sabiendo que medía más de 1.80.

( / ) ( ) 3( / ) 0.27( ) 11

P S M P MP M SP S

⋅= = =

TEOREMA DE BAYES (III)

Ejemplo • Se administra una prueba para detectar

usuarios de drogas.• Prevalencia en la población: 3%• Detecta el 95% de los usuarios (sensitividad)• Cuando se administra a alguien que no la usa,

da negativa en el 98% de los casos (especificidad).

• La prueba dio positiva, ¿cuál es la probabilidad de que la persona use drogas?

TEOREMA DE BAYES (IV)

• P( Usa) = .03• P( Prueba + | Usa) = .95• P( Prueba - | No usa) = .98

Queremos saber P( Usa | Prueba +)

TEOREMA DE BAYES (V)

Selecciono una persona

Usa

.03

No Usa

.97

.95

Prueba +

.02

Prueba +

.05

Prueba -

.98

Prueba -

Si estoy aquí o aquí, ¿cuál es la probabilidad de haber pasado por aquí?

Diagrama de árbol

TEOREMA DE BAYES (VI)

++ = =

++

=+ + +⋅

=⋅ + ⋅

ii i

( Pr )( /Pr )

(Pr )(Pr / ) ( )

(Pr / ) ( ) (Pr / ) ( )0.03 0.95

0.03 0.95 0.97 0.02

P Usa y uebaP Usa ueba

P uebaP ueba Usa P Usa

P ueba Usa P Usa P ueba No Usa P No Usa