tema 3: probabilidad. modelos probabilidadmdhuete/bioestadistica/tema3.pdftema 4: probabilidad...

1

� Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles. � Ejemplos:

� Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz.� Selección al azar de un alumno entre los 30 de una clase: Resultados posibles uno

cualquiera de los 30.

� La imprecisión de los resultados nos lleva a plantearnos la medición de la incertidumbre ligada a estos resultados, evaluándola numéricamente.

� Esto nos lleva a la probabilidad.

� Conceptos básicos� Supongamos que se realiza un experimento aleatorio

� Se llama suceso elemental a cada uno de los resultados posibles.� Se llama Espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles� Se llama suceso al compuesto por uno o más sucesos elementales� Se llama suceso seguro , que notaremos con E, al formado por todos los resultados

posibles� Se llama suceso imposible , que notaremos con ,al que no contiene ninguno de

resultados posibles

TEMA 3: Probabilidad. Modelos

φ

Probabilidad

2

Probabilidad

BA ∩

Ejemplo:Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado

E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Espaciomuestral 1

42

3 5

6

SucesoElemental: A={5}

Suceso: B={2, 4, 6}

•Operaciones con sucesos•Unión de dos sucesos A y B es un nuevo suceso, AUB, constituido por los sucesos elementales de A y los de B. Se realiza cuando tiene lugar cualquieralos sucesos elementales que lo forma.

•Intersección de dos sucesos A y B es un nuevo suceso, , constituidopor los sucesos elementales que están a la vez en A y en B. Se realiza, cuando se realiza A y B.

•Contrario de un suceso A : Está formado por todos los sucesos elementales de E que no están en A. Se nota con•Dos sucesos A y B se dicen incompatibles si su intersección es el suceso imposible

A

3

Probabilidad

ABBAABBA ∩=∩∪=∪ ;

Ejemplo:Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado

1

42

3 5

6

Suceso A={3,4,5,6}

Suceso B={2, 4, 6}

•Propiedades de las Operaciones con sucesos

AAAAAA =∩=∪ ;

)()();()( CBACBACBACBA ∩∩=∩∩∪∪=∪∪

EE == φφ;

φ=∩=∪ AAEAA ;

)()()();()()( CBCACBACBCACBA ∪∩∪=∪∩∩∪∩=∩∪

( ) BABABABA ∪=∩∩=∪ ;

Suceso intersección de A y B={4, 6}

Suceso uniónde A y B

={2,3,4,5,6}

4

� Algebra de sucesos� El conjunto de todos los sucesos está dotado de una estructura denominada

álgebra de sucesos.

� Un álgebra de sucesos es una clase, F, formada por subconjuntos de Edenominados sucesos del espacio muestral que verifica:

� Si un suceso pertenece a F, también pertenece su complementario o contrario.� Si una serie de sucesos A1, A2, … , An, … pertenece a F, también pertenece la unión.� El suceso imposible también pertenece a F

� Por tanto, las propiedades de unión, intersección y complementación de sucesos

de F da lugar a sucesos que pertenecen a F.

Probabilidad

5

� Concepto de probabilidad� Dado un experimento y su espacio muestral asociado, E, una aplicación que

asocia a cada suceso un número real

Probabilidad

P: F R

A P(A)

es una probabilidad si verifica los siguientes axiomas:� 1) Para cualquier suceso A, su probabilidad P(A) es mayor o igual a cero

� 2) La probabilidad del suceso seguro, E, es uno: P(E)=1

� 3) Dados dos sucesos incompatibles A y B se verifica que la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos:

P(AUB) = P(A) + P(B)

� Toda aplicación que cumpla esos axiomas es una probabilidad definida sobre el álgebra de sucesos F. Se denomina espacio de probabilidad a la terna (E, F, P).

6

Probabilidad� Concepto clásico o de Laplace de probabilidad

� Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos� Se asume que todos los resultados posibles ligados al experimento aleatorio tienen la

misma oportunidad de aparecer.� Dado un suceso A se determina su probabilidad como el cociente

posibles casos de nº

A suceso al favorables casos de nº)( =AP

� Concepto frecuencialista de probabilidad� Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos� Se asume que el experimento aleatorio puede realizarse un número grande de veces.� Dado un suceso A , se determina su probabilidad como la frecuencia relativa con que

aparece o tiene lugar.

7

Probabilidad� Propiedades derivadas de los axiomas de la probabilidad

)(1)( APAP −=

� La probabilidad del suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso

� La probabilidad del suceso imposible es cero

0)( =φP

� La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección

)()()()( BAPBPAPAUBP ∩−+=� Si el suceso A está incluido en el B, la probabilidad de A es menor o igual

a la de B)()( BPAPBA ≤⇒⊂

� La probabilidad del cualquier suceso es menor o igual a 1

1)( ≤AP

8

Probabilidad� Probabilidad condicionada

)(

)()/(

BP

BAPBAP

∩=

� Dado un suceso B con probabilidad no nula, la probabilidad de que ocurra A, supuesto que ha ocurrido B, se denomina probabilidad condicionada de A dado B. Se determina como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso condicionado:

� De modo similar se define la probabilidad del suceso condicionado B dado A, supuesto que A no es el suceso imposible:

� Observa que estas igualdades nos permiten expresar la probabilidad del sucesointersección mediante:

)(

)()/(

AP

BAPABP

∩=

)()/()()/()( BPBAPAPABPBAP ==∩

� Sucesos independientes� Dos sucesos A y B se dice que son independientes si la realización de uno de

ellos no afecta a la realización del otro. Es decir:� P(A/B)=P(A), o de modo equivalente, P(B/A)=P(B)� O bien, también de modo equivalente, si la probabilidad de la intersección es

igual al producto de las probabilidades

)()()( BPAPBAP =∩

9

Probabilidad� Ejemplos

4,025,0

1,0

)(

)()/( ==∩=

MP

QMPMQP

En una Facultad el 25% de los alumnos suspendió matemáticas, el 15% química y el 10% las dos. Se selecciona un estudiante al azar.

a) Si suspendió química, ¿cuál es la probabilidad de que suspendiera matemáticas?b) Si suspendió matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que suspendiera química?c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya suspendido matemáticas o química?d) ¿Cuál es la probabilidad de que no suspenda química?e) ¿Cuál es la probabilidad de que no suspenda ninguna de las dos?f) ¿Son independientes los dos sucesos?

1,0)(;15,0)(;25,0)( =∩== QMPQPMPa)

667,015,0

1,0

)(

)()/( ==∩=

QP

QMPQMP

b)

10

Tema 4: Probabilidad� Ejemplos

85,015,01)(1)( =−=−= QPQP

0375,015,025,0)()()(1,0 =⋅=≠∩= QPMPQMP

1,0)(;15,0)(;25,0)( =∩== QMPQPMP

c)

7,03,01)(1)()( =−=∪−=∪=∩ QMPQMPQMP

d)

3,01,015,025,0)()()()( =−+=∩−+=∪ QMPQPMPQMP

e)

f)

No son independientes

11

Tema 4: Probabilidad� Ejemplo

� La tabla siguiente muestra la clasificación de un grupo de trabajadores de una empresa según sector de producción en que trabaja y número de bajas registradas durante un año.

sector producción

Dias de BAJA Sector A Sector B Sector C

0-10 100 120 50

10-20 150 100 60

más de 20 98 130 80

Seleccionado un trabajador al azar, determina:a) Probabilidad de que esté de baja más de 20 díasb) Probabilidad de que pertenezca al sector Bc) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días y pertenezca al sector Bd) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días o que pertenezca al sector Be) Dado que pertenece al sector B, ¿qué probabilidad hay de que esté de baja más de 20 días?f) Son independientes los sucesos estar de baja más de 20 días y perteneceral sector B?

g) Probabilidad de no estar de baja más de 20 díash) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días y no pertenecer al sector B

12

Tema 4: Probabilidad

� Ejemplo (Continuación)

3714,03941,0

1464,0

)(

)20()/20( ==∩=

BP

BMPBMP

g) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días

a) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días

sector producción

Dias de BAJA Sector A Sector B Sector C total

0-10 100 120 50 270

10-20 150 100 60 310

más de 20 98 130 80 308

Total 348 350 190 888

3468,0888

308)20( ==MP

b) Probabilidad de que esté en el sector B

3941,0888

350)( ==BP

c) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días y pertenezca al sector B

1464,0888

130)20( ==∩ BMP

d) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días o pertenezca al sector B5945,01464,03941,03468,0)20()()20()20( =−+=∩−+=∪ BMPBPMPBMP

e) Dado que pertenece al sector B, ¿qué probabilidad hay de que esté de baja más de 20 días?

f) Son independientes los sucesos estar de baja más de 20 días y pertenecer al sector B?

No, porque no se verifica la igualdad )()20()20( BPMPBMP ⋅=∩

h) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días y no pertenecer al sector B

6532,03468,01)20(1)20( =−=−= MPMP

5945,01)20(1)20()20( −=∪−=∪=∩ BMPBMPBMP

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Probabilidad� Teorema de la Probabilidad Total

EAnAA =∪∪ ...21U

� Dado un conjunto de sucesos A1, A2, …, An que verifica

� Su unión es el suceso seguro

� Para cualesquiera sucesos Ai, Aj, su intersección es el suceso imposible

jiAjAi ,∀=∩ φ

� En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica

)/()()(1

AiSPAiPSPn

i∑

=

=

A1

A3

A2

AjAiAn

…

…

S

14

Probabilidad� Teorema de Bayes

EAnAA =∪∪ ...21U

� Dado un conjunto de sucesos A1, A2, …, An que verifica

� Su unión es el suceso seguro

� Para cualesquiera sucesos Ai, Aj, su intersección es el suceso imposible

jiAjAi ,∀=∩ φ

� En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica

)/()(

)/()()/(

1

AjSPAjP

AiSPAiPSAiP

n

j∑

=

=

Ejemplo 1:3 oficinas O1, O2 y O3 de una Compañía Aseguradora tienen respectivamente un total de asegurados igual a 1200, 2300 y 750. Los porcentajes de reclamaciones porparte de sus clientes son respectivamente del 2%, 1,8% y 3%.-Si se selecciona al azar un asegurado, ¿cuál es la probabilidad de que reclame?-Dada una reclamación ¿qué probabilidad hay de que proceda de la oficina O2?

15

Probabilidad

0207,003,0176,0018,0541,002,0282,0)/()()(3

1

=⋅+⋅+⋅==∑=

OiRPOiPRPi

282,075023001200

1200)1( =

++=OP 541,0

75023001200

2300)2( =

++=OP

4686,00207,0

018,0541,0

)(

)2/()2(

)/()(

)2/()2()/2( 3

1

=⋅===∑

=

RP

ORPOP

OjRPOjP

ORPOPROP

j

1._ Estamos en las condiciones del teorema total. Cada asegurado procede de una oficina.

176,075023001200

750)3( =

++=OP

Las probabilidades de reclamaciones, dadas las oficinas son

03,0)3/(;018,0)2/(;02,0)1/( === ORPORPORP

Por el teorema de la probabilidad total

2._ Estamos en las condiciones del teorema Bayes.

16

Probabilidad� Ejemplo 2

3,0)2(;7,0)1( == MPMP

391,0115,0

045,0

15,03,01,07,0

15,03,0

)/()(

)2/()2()/2( 2

1

==⋅+⋅

⋅==∑

=

MjDPMjP

MDPMPDMP

j

Dos máquinas M1 y M2 producen el 70% y 30%, respectivamente del totalde artículos de la producción. El 10% de los artículos producidos por M1 y 15% delos producidos por M2 son defectuosos.

Se selecciona al azar un artículo y resulta ser defectuoso. ¿Qué probabilidad hay de que proceda de M2?

15,0)2/(;1,0)1/( == MDPMDP

17

Variable aleatoria

� Variable aleatoria unidimensional� Dado un espacio de Probabilidad (E, F, P), una variable

aleatoria X es una aplicación del espacio muestral E al conjunto de los números reales R, tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un suceso.

X : E R

s X(s)

FxsXEsS ∈≤∈= })(;{

Por tanto, para cualquier número real x, el conjunto S de sucesos elementalestales que X(s)<x constituye un suceso.

• Tipos de variable aleatorias •Discretas : Si los números asignados a los sucesos elementales de E constituyen puntos aislados. •Continuas : Los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos

18

Variable aleatoria

� Distribución de probabilidad de una Variable aleatoria� Variable aleatoria discreta

Sea una variable aleatoria X que toma un conjunto de valores x1,x2, …, xk.

Se define la función de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) i=1, …, k, donde pi=P(X=xi) y la suma de las probabilidades es 1

∑=

=k

i

pi1

1

•Podemos expresarla en una tabla, de modo similar a las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas discretas.

•La probabilidad pi=P(X=xi) es la probabilidad del suceso S formado por los sucesos elementales a los que asignamos mediante X el número real xi

19

Variable aleatoria

� Variable aleatoria continuaSea una variable aleatoria X continua. La función de densidad de X , que

notaremos con f(x), cumple la siguientes propiedades:1) f(x) es siempre mayor o igual a cero2) Dado un intervalo (a, b), la probabilidad de que la variable tome valores

en dicho intervalo es igual al área que encierra la curva en dicho intervalo.

3) El área total que encierra la curva vale 1

f(x)

Xa b

P(a<X<b

f(x)

X

Área=1

Dado un intervalo infinitesimal (x-dx/2, x+dx/2) de amplitud dx, f(x) es el límite del cociente entrela probabilidad de que la variable tome valores en dicho intervalo y la amplitud del mismo

dx

dxx

dxxP

xfdx

)2

,2

()( lim

0

+−=

→

20

Variable aleatoria

� Función de distribución de una variable aleatoria � Dada una variable aleatoria X, ligada al espacio de probabilidad (E, F,

P), la función de distribución F es una aplicación del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales:

F : R R

x F(x)=P(X<x)

�A partir del conocimiento de la función de distribución, F(x), podemos obtener la probabilidad de que la variable estécomprendida en cualquier intervalo.

�Propiedades de la Función de distribución:

F(a)-F(b)b)XP(a3.

)F(x'F(x) x' xque tal,x'x, decir, Es e.decrecient no es F.2

1)(;0)(.1

=≤<≤⇒<∀

=+∞=−∞ FF

21

Variable aleatoria

� Función de distribución de una variable aleatoria d iscreta y continua� Dada una variable aleatoria discreta

∑∑≤≤

===≤=xxixxi

pixiXPxXPxF )()()(

�Dada una variable aleatoria continua X

∫ ∞−=≤=

xdttfxXPxF )()()(

Es el área que encierra la función de densidad en el intervalo desde menosinfinito a x.

F(x)

x

22

Variable aleatoria

� Ejemplos de Variable aleatoria unidimensional� 1) Sea el experimento lanzar un dado. Se define la variable X=1 si

el número es impar y X=0 si es par

X P(X=x)

0 1/2

1 1/2

X : E R

1 1

�2) Sea el experimento seleccionar un trabajador al azar de una empresa determinada, donde el 20% no tienen hijos, el 30% tienen 1, 30% tienen 2 y el resto tiene 3. Se define la variable Y=número de hijos del trabajador

2 03 1… …

6 0

Función de probabilidad X

6/3})6,4,2({)( == PparSucesoP

6/3})5,3,1({)( == PimparSucesoP

23

Variable aleatoria

Y P(Y=y)

0 0,2

1 0,3

2 0,3

3 0,2

100/20)1( =ASucesoP

100/20)4( =ASucesoP

Y : E R

1 023 1… 26 3

Función de probabilidad de Y

Trab. sin hijos

Trab. 1 hijo

Trab. 2 hijos

Trab. 3 hijos

100/30)3( =ASucesoP

100/30)2( =ASucesoP

A1

A2A3

A4

1)Función de distribución de X 2)Función de distribución de Y

X F(x)

0 1/2

1 1

Y F(y)

0 0,2

1 0,5

2 0,8

3 1

24

Variable aleatoria

∫+∞

∞−

⋅= dxxfxXE )()(

∑=

⋅=k

i

pixiXE1

)(

∑=

⋅=k

i

pixiXE1

)(X P(X=x)

0 1/2

1 1/2

Esperanza de una variable aleatoria X:

Variable discreta

Variable continua

Varianza de una variable aleatoria X:

∫+∞

∞−

−= dxxfXExXV )())(()( 2

Variable discreta 222

1

2

1

2 )()()())(()( XEXEXEpixipiXExiXVk

i

k

i

−=−=⋅−= ∑∑==

Variable continua

Ejemplos:

2/12/112/10)( =⋅+⋅=XE

25,05,0)2/112/10()()()( 22222 =−⋅+⋅=−= XEXEXV

25

Modelos de distribuciones de Probabilidad

∑=

⋅=k

i

pixiXE1

)(Y P(Y=y)

0 0,2

1 0,3

2 0,3

3 0,2

Ejemplos:

5,12,033,023,012,00)( =⋅+⋅+⋅+⋅=XE

2222222 5,1)2,033,023,012,00()()()( −⋅+⋅+⋅+⋅=−= XEXEXV

pXE =)(X P(X=x)

0 q

1 p

Modelos de probabilidad de variables aleatorias dis cretas

Se aplica este modelo a una situación derivada de un experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la defracaso. Se define la variable aleatoria X =1 si tiene lugar un éxito y X=0, si es un fracaso.

qpXV ⋅=)(

Función de probabilidad

MODELO BERNOULLI

26


∑=

⋅=k

i

pixiXE1

)(

Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas

ppqXE =⋅+⋅= 10)(

pqppppppqXEXEXV =−=−=−⋅+⋅=−= )1()10()()()( 222222

MODELO BERNOULLI (continúa)

Ejemplo

La proporción de parados en una población es de 0,2. Se selecciona un individuo al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria Y =1 si está en paro, e Y=0, si no lo está.Determina le media y varianza de Y.

E(Y)=0,2; V(Y)=0,16

27


n ..., 2, 1, 0,kcon )!(!

!)( =

−== −knk qp

knk

nkXP

npXE =)(


Se aplica este modelo a una situación derivada de repetir n veces una prueba o experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la de fracaso.

La probabilidad de éxito permanece constante en las n repeticiones o realizacionesLas pruebas son independientes. El resultado de cualquiera de ellas no afecta a los resultadosde las otras.Se define la variable aleatoria X =número de éxitos entre las n repeticiones del ex perimento aleatorio.La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n. La función de probabilidad viene dada por

qpnXV ⋅⋅=)(


MODELO BINOMIAL

Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo binomial de parámetros n y p

),( pnBX →

28


n ..., 2, 1, 0,kcon )2,01(2,0)!(!

!)( =−

−== −knk

knk

nkYP

8,02,04)( =⋅== npXE


64,08,02,04)( =⋅⋅=⋅⋅= qpnXV


EJEMPLO MODELO BINOMIAL

La proporción de parados en una población es de 0,2. Se seleccionan 4 individuos al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria Y=número de parados entre los 4 seleccionados

a) Determina la media y varianza de Y.b) P(ninguno esté en paro)c) P(al menos 2 parados)

)2,0,4(BY →

4096,08,08,02,0)!04(!0

!4)0( 440 ==

−==YP

[ ])1()0(1)2(1)2( =+=−=<−=≥ YPYPYPYP

a)

b)

c)

4096,08,02,0!3!1

!48,02,0

)!14(!1

!4)1( 3131 ==

−==YP

[ ] 1808,04096,04096,01)1()0(1)2( =−−==+=−=≥ YPYPYP

29


... n, ..., 2, 1, 0,con x!

)( ===−

x

exXP

xλλ

continuo espacio de unidadpor éxitos de medio ºn)( == λXE


Se aplica este modelo a una situación derivada de observar sobre un espacio continuo (tiempo, longitud, área, etc.) el número de veces que ocurre un suceso determinado (éxito). Por ejemplo, número de accidentes laborales ocurridos en un año en una empresa.

La probabilidad del suceso éxito permanece constante en todo el espacio continuo.Dadas dos partes disjuntas del espacio continuo, el número de éxitos ocurridos en una de ellas es independiente del número ocurrido en la otra.

Se define la variable aleatoria X =número de éxitos ocurridos por unidad de espacio continuo.

La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n,…La función de probabilidad viene dada por

λ=)(XV


MODELO POISSON

Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo Poisson de parámetro lambda:

)(λPX →

Donde

30


... n, ..., 2, 1, 0,con x!

3,1)(

3,1

===−

x

exXP

x

2725,0!0

3,1e0)P(X 3,1

0-1,3

==== −e


El número de clientes nuevos diario que llega a una asesoría laboral sigue en modelo de Poisson. Se sabe que el número medio de clientes nuevos diario es de 1,3Determinaa) Probabilidad de que en un día dado no llegue ningunob) Probabilidad de que lleguen al menos 2.

[ ])1()0(1)1(1)2(1)2( =+=−=≤−=<−=≥ XPXPXPXPXP


EJEMPLO MODELO POISSON

)3,1(PX →Donde e=2,718281828a)

b)

3543,03,1!1

3,1e1)P(X 3,1

1-1,3

==== −e

3543,02725,01)2( −−=≥XP

31


2

2

1

2

1)(

−−= σ

µ

σπ

x

exf

Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas

Este modelo es uno de los más utilizados en la estadística clásica. Presenta una función dedensidad simétrica, con forma de campara (campana de Gauss). En el centro de la

distribución coinciden la media, mediana y moda. Notaremos con las letras mu y sigma la media y desviación típica, respectivamente. Estos dos parámetros caracterizan a la distribución.

Función de densidad

MODELO NORMAL

),( σµNX →

µ

32


)()()()( ba zZzPb

Za

PbXa

PbXaP <<=−<<−=−<−<−=<<σ

µσ

µσ

µσ

µσ

µ


Existen tablas de la función de distribución de la variable normal estadarizada, Z, que permiten determinar las probabilidades en un modelo normal cualquiera X, sin más quetener en cuenta la siguiente propiedad:

La probabilidad de que la variable X tome valores en un intervalo cualquiera (a, b) es igual a la probabilidad de que la variable estandarizada tome valores en el intervalo estandarizado.

MODELO NORMAL (continúa)

),( σµNX →

µ

)1,0(NX

Z →−=σ

µ

X

Z

a

za 0

b

zb

Estandarización o tipificación

33


0228,09772,01)2(1)2()400

12002000

400

1200()2000( =−=<−=>=−>−=> ZPZP

XPXP


El consumo energético anual por hogar en una ciudad sigue un modelo normal de media 1200y desviación típica 400 €.

a) Probabilidad de que seleccionado al azar un hogar, tenga un consumo superior a 2000.b) ¿Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800€?c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?

EJEMPLO DE MODELO NORMAL

)400,1200(NX → )1,0(400

1200N

XZ →−=

X

Z0

2000

2


a)

0,0228

0,0228

1200

34


1587,0)1()400

1200800()800( =−<=−<=< ZPZPXP


b) ¿Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800€?

EJEMPLO DE MODELO NORMAL (continúa)

)400,1200(NX →

1200

)1,0(400

1200N

XZ →−=

X

Z0

800

-1


b)

c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?

0,1587

0,1587

35


28,190)90()400

120090()90(9,0 =⇒<=−<=<= ZZ

XX PPZP

PZPPXP


EJEMPLO DE MODELO NORMAL (continúa)

)400,1200(NX →

1200

)1,0(400

1200N

XZ →−=

X

Z0

P90

P90

c)

c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?

0,1

0,1

0,9

0,912004009090

400

12009090 +⋅=⇒

−= ZXX

Z PPP

P

1712120040028,190 =+⋅=XP

36


Aproximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas

Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad

( )npqnpN

p

n

pnBX

== →

<<>→

σµ ,

9,01,0

30

),(

aproxima se

Si el parámetro n de una distribución binomial es grande y p no presenta valoresmuy extremos (fuera del intervalo de extremos 0,1 y 0,9) la distribución delmodelo de Binomial se puede aproximar a la de un modelo normal:

),( npqnpNX →

),( pnBX →

Aproximación

Esta estrategia de aproximación es útil para simplificar los cálculos en aquelloscasos que no se dispone de tablas de distribución binomial para valores altos de n

37



Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad

Observa que para aproximar la variable discreta a la continua hemos de asignaral suceso constituido por un punto (X=k), todos aquellos valores que están máspróximos a k, es decir, el suceso formado por el intervalo (k-0,5; k+0,5)

)7,03,050,3,050( ⋅⋅⋅→ NX

),( pnBX →k k+1k-1

0,50,5

Ejemplo: En una variable X que sigue un modelo B(50,0,3) la P(X=7) se aproxima a

P(6,5 < X < 7,5)

en una normal

38


)5,7,75(NX →


Ejemplo: Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal

Se ha seleccionado una muestra de 300 trabajadores de una población grande.La probabilidad de pertenecer a un sindicato A es 0,25.a)Determina la probabilidad de que en la muestra seleccionada, haya más 100 afiliados al sindicato.b)P(más de 70 y menos de 77)

0)4,3(1)5,7

755,100(1)5,100(1)100(1)100( =<−=−≤−=≤−≈≤−=> ZPZPXPXPXP

NormalBinomialBinomial

)25,0,300(BX → Aproximación

a)

b)

)2,06,0()5,7

755,76

5,7

755,70()5,765,70()7671()7770( <≤−=−≤≤−=≤≤≈≤≤=<< ZPZPXPXPXP

NormalBinomialBinomial

305,02743,05793,0)6,0()2,0()2,06,0( =−=−≤−≤=≤≤−= ZPZPZP

tema 3: probabilidad. modelos probabilidadmdhuete/bioestadistica/tema3.pdftema 4: probabilidad...

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