ppt-sesión 09
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CÁLCULO 3
¿Es posible volver a conocer nuestro rostro joven?
¿Saben quien es el niño del medio?
¿Cuál es la aplicación que hace posible
transformar el rectángulo del sistema rθ en la
figura del sistema XY ?
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería utilizando las integrales dobles con ayuda del Jacobiano, de forma coherente.
Dada una función vectorial , donde son las
funciones escalares componentes de f . Si . Definimos la
Matriz Jacobiana de f en el punto , denotado por , mediante la matriz
mn RRAf : ),...,,,( 321 mffff
miafi ,...,2,1)(
Aa )(aJf
nmn
mmm
n
n
m
ax
fa
x
fa
x
f
ax
fa
x
fa
x
f
ax
fa
x
fa
x
f
af
af
af
aJf
)(....)()(
..........................
)(....)()(
)(....)()(
)(
...
)(
)(
)(
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
MATRIZ JACOBIANA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Ejemplo 01: Dada una función vectorial
)3;3(),(;),(),(),(
:
22
21
22
yxyxyxfyxfyxfyx
RRAf
13
62
),(),(
),(),(
),(
),(),(
22
11
2
1 yx
yxy
fyx
x
f
yxy
fyx
x
f
yxf
yxfyxJf
EL JACOBIANO
El determinante jacobiano es el determinante de la matriz jacobiana; describe la
orientación de un plano tangente a la función en un punto dado, es decir, que en
un momento dado da información importante sobre el comportamiento de la
función cerca de un punto. De esta manera, el jacobiano generaliza el gradiente
de una función de múltiples variables.
Si el determinante jacobiano en un punto es positivo, entonces la función conserva la
orientación cerca de dicho punto; si es negativo, invierte la orientación. El valor
absoluto del determinante jacobiano nos da el factor por el cual la función expande o
contrae su volúmen cerca del punto en cuestión.
Los nombres de estos conceptos son en honor al matemático Carl Gustav Jacob Jacobi.
El Jacobiano también puede ser pensado como la descripción de la cantidad de "estiramiento" que impone una transformación.
Si y , entonces el jacobiano de x y y con respecto a u y
v, denotado por , es
),( vugx ),( vuhy
),(
),(),(
vu
yxvuJ
v
x
u
y
v
y
u
x
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yxvuJ
),(
),(),(
Si Ruv es una región compacta y conexa en el plano contenida en un conjunto abierto A
de R2. Sea con r(u,v)=(x(u,v); y(u,v)), una función continua con derivadas
parciales continuas tal que r es invertible en el interior de Ruv y es no
nulo en el interior de Ruv . Sea Ruv=r(Ruv) y una función continua.
Entonces,
2: RAr
RRf xy :
Teorema(cambio de variable)
),(
),(),(
vu
yxvuJ
Hallar el jacobiano para el cambio de variables definido por: x = rcosƟ; y = rsenƟ
Ejemplo 01
Solución De acuerdo con la definición de un jacobiano, se obtiene:
rrsen
rsen
y
r
y
x
r
x
r
yx
cos
cosdet
),(
),(
Ejemplo 02
Sea R la región limitada o acotada por las rectas: x-2y=0; x-2y=-4; x+y=4; x+y=1. Como se muestra en la figura. Hallar una transformación T de una región S a R tal que S sea una región rectangular (con lados paralelos a los ejes u o v).
Ejemplo 03
BIBLIOGRAFÍA
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1 515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
2 515
STEW/M 2002
STEWART, JAMES
Cálculo Multivariable
Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson
3 515 HOFF/C
2006
HOFFMANN, LAURENCE D.
Cálculo Aplicado Para Administración,
Economía Y Ciencias Sociales
Octava edición, México
2007,.Mcgrawhill
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