permutaciones espaciales gaussianas y proceso puntual de

1

Permutaciones espaciales Gaussianasy proceso puntual de bosones

Pablo A. FerrariUniversidad de Buenos Aires and Conicet

Picture by Daniel Ueltschi

Congreso Monteiro, Bahia Blanca 2019

En colaboracion con Ines Armendariz y Sergio Yuhjtman.

2

Proceso binomial en un segmento entero

Fijamos un entero positivo L y una probabilidad p ∈ (0, 1).

A cada entero en [1, . . . , L] le asignamos independientemente valor:

1 con probabilidad p.

0 con probabilidad (1− p).

El numero de 1’s es Binomial(N, p).

El subconjunto χ ⊂ [1, . . . , L] ocupado por los 1’s es aleatorio:

Proceso puntual.

χ es una variable aleatoria en el espacio de subconjuntos de [1, . . . , L].

3

Proceso binomial en la caja Λ = [1, L]× [1, L] ⊂ Z2

Lo mismo pero los N puntos se eligen uniformemente en una caja.

χ es el conjunto de puntos en la caja.

|χ| es el numero de puntos elegidos.

P (|χ|) = k) =(Nk

)pk(1− p)n−k.

Configurationes con k puntos tienen probabilidad pk(1− p)n−k.(Nk

)es el numero de configurationes con k puntos.

Para subconjuntos A,B ⊂ Λ las variables

|χ ∩A| y |χ ∩B| son independientes

|χ ∩A| ∼ Binomial( |A|L2 λ)

4

Proceso de Poisson como lımite de Binomial

Hacemos LN ensayos en los instantes iN , i = 0, . . . , LN .

Rescalamos p = λ/N

χN conjunto de puntos con valor 1.

Cuenta:

P (|χN | = k) =

(LN

k

)( λN )k(1− λ

N )LN−k → e−λL (λL)k

k!

Cuando N es grande tenemos un numero de puntos Poisson(Lλ).

Las cantidades de puntos en regiones disjuntas son independientes:

|χ ∩A| y |χ ∩B| son independientes

|χ ∩A| ∼ Poisson(|A|λ)

5

Definicion de proceso de Poisson en un espacio general

Sea (D,m) un espacio de medida.

Por ejemplo D = Rd y m(A) = volumen de A, medida de Lebesgue.

χ es un proceso de Poisson en subconjuntos localmente finitos de D sipara Ai de medida finita, vale

|χ ∩Ai| son independientes

|χ ∩Ai| ∼ Poisson(m(Ai))

6

Ejemplo: proceso de Poisson de pares de puntos

D = (R2)2 (pares de puntos de R2).

m(A×B) =

∫A

∫BλJ(x, y)dydx

donde J(x, y) = Ce−‖x−y‖2/2 densidad de una Normal de media x

calculada en y.

Construccion: X un proceso de Poisson en R2 con tasa λ y para cadax ∈ X sea Gx una variable aleatoria con densidad J(0, y) independi-entes e independientes de X.

El proceso es

χ = {(x, x+Gx) : x ∈ X}

7

Mientras tanto, Feynmann en 1953 estudia el Gas de Bose...

Picture by Daniel Ueltschi

Proceso de Poisson χ arriba (tiempo 0)

Mismo proceso χ abajo (tiempo t)

Brownianos que van desde los puntos de arriba a los puntos de abajoen tiempo t.

8

Mientras tanto, Feynmann en 1953 estudia el Gas de Bose...

Picture by Daniel Ueltschi

Si los Brownianos son independientes, queda es una biyeccion aleatoria

σ : χ→ χ

.

El par (χ, σ) es una permutacion espacial aleatoria.

9

Permutaciones espaciales aleatorias en conjuntos acotados

P ((χ, σ) ∈ A) =1

Z

∑σ∈SN

∫ΛN

1{(χ,σ)∈A} e−α

∑i ‖xi−xσ(i)‖2 dx1 . . . dxN .

(1)

χ = {x1, . . . , xN}

Z : factor de normalizacion

α > 0 temperatura.

SN := permutaciones de {1, . . . , N}.

Λ := conjunto acotado de Rd.

10

Permutaciones espaciales aleatorias en conjuntos acotados

P ((χ, σ) ∈ A) =1

Z

∑σ∈SN

∫ΛN

1{(χ,σ)∈A} e−α

∑i ‖xi−xσ(i)‖2 dx1 . . . dxN .

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

bb

b

b

b

b bb

Realizacion tıpica de una permutacion espacial aleatoria en un con-junto acotado Λ.

11

Trabajos precedentesPuntos fijos, permutaciones aleatoriasGandolfo, Ruiz, Ueltschi 2007 Points = ZdBiskup Ritchammer 2015 Points = Z or PP in d = 1 quenched.Armendariz, F., Groisman, Leonardi 2015 Subcritical Zd

Marginal de puntos: BosonesMacchi 1975Fichtner 1991Suto 1993 2002 Loop independence.Shirai Takahashi 2003 Subcritical.Tamura Ito 2006 2007 Supercritical: mixture of 2 processesEisenbaum 2008 Cox process, infinite divisibility

Marginal de permutaciones:Ginivre 1971 cycle distributionBenfatto Cassandro Merola Presutti 2005 macro cycle convergenceBetz Ueltschi 2006 2009 2010 2011 macro cycle Poisson-DirichtletElboim-Peled 2017 more Poisson-Dirichtlet

12

Permutaciones espaciales infinitas en volumen infinito Rd

Vamos a construir

(χ, σ) con distribucion µρ

χ: proceso puntual)

σ : χ→ χ permutacion

tal que µρ is homogeneo y tiene densidad puntual ρ

µρ es Gibbs (compatible) con la permutacion espacial aleatoria envolumen finito (1)

13

Biyeccion entre permutacion espacial y sopa de ciclos espaciales

(χ, σ) 7→ Γ, the set of loops given by

Γ : sopa de ciclos.

La densidad factoriza para χ finito:

e−α∑x∈χ ‖σ(x)−x‖2 =

∏γ∈σ e

−α∑x∈{γ} ‖γ(x)−x‖2

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

bb

b

b

b

b bb

Loops induced by a spacial random permutation in a box.

14

Sopa de ciclos Gaussiana en Rd

D : Espacio de ciclos espaciales.

Medida de intensidad:

Qlsλ(d[x1, . . . , xk]) := λk

k

(απ

)d/2e−α

∑ki=1 ‖xi−γ(xi)‖2 dx1 . . . dxk,

Sopa de ciclos Gaussiana:

Γlsλ := Proceso de Poisson en D con intensidad Qls

λ ,

µlsλ := Distribucion de Γls

λ .

(Brownian loop soup. Lawler and Werner 2004, Lawler and TrujilloFerreras 2007, Le Jan 2017.)

15

Densidad de puntos

ρ(λ) =(απ

)d/2∑k≥1

λk

kd/2

Densidad crıtica:

ρc := ρ(1) =(απ

)d/2∑k≥1

1

kd/2

{=∞ if d ≤ 2

<∞ if d ≥ 3.

d ≥ 3:

Sopa Gaussiana no puede tener densidad puntual mayor que ρc.

16

Interlazos Gaussianos d ≥ 3.

W := Trayectorias doblemente infinitas.

W :={w : Z→ Rd, lim

n→±∞‖w(n)‖ =∞

}P x distribucion de paseo aleatorio empezando en x con incrementosGaussianos.

nA(w) := Numero de visitas a A:

Intensidad

QAg :=

∫AEx[g

nA

]dx.

Se extiende a una medida de intensidad infinita Q.

17

Interlazos Gaussianos:

Γriρ := Proceso de Poisson en W con intensidad ρQ,

µriρ := Distribucion de Γri

ρ .

bb

b

b

b

b

b

b bb

b

( Sznitman 2010 Brownian interlacements)

Densidad puntual de los interlazos Gaussianos es ρ.

18

Permutacion espacial Gaussiana a densidad ρ > 0:

(χ, σ)ρ := Γlsλ(ρ∧ρc) ∪ Γri

(ρ−ρc)+

Es una superposicion de realizaciones independientes de:

• Sopa de ciclos Gaussianos a densidad min{ρ, ρc}

• Interlazos Gaussianos a densidad (ρ− ρc)+.

b

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b bb

bb

19

• Sopa de ciclos Gaussiana condicionada a n puntos en Λ tiene dis-tribucion (1).

• Permutacion espacial aleatoria es Gibbs (compatible) para las es-pecificaciones inducidas por (1).

• La marginal de puntos de la sopa de ciclos Gaussiana es un procesopermanental:

para λ ∈ (0, 1], νlsλ tiene correlaciones

ϕlsλ(x1, ..., xn) = perm (Kλ(xi, xj))

ni,j=1 ,

• Calculo explıcito de las correlaciones de los interlazos Gaussianos.

• Las marginales puntuales coinciden con las estudiadas anteriormentepor Tamura-Ito, Shirai-Takahashi y Eisenbaum

20

Correlaciones

KxxKyyKzz

KxzKyyKzxKxzKyxKzyKxyKyzKzx

KxyKyxKzzKxxKyzKzy

Figure 1: Gaussian loop soup 3-point correlations. A directed lacebetween two points means that the points belong to the sameloop in the order indicated (relevant only for 3 or more pointsin the same loop). Point x is blue, y is red and z is green.

21

β3

2βKxzKzy2βKxyKyz

2β2Kxz2β2Kyz2β2Kxy

2βKzxKxy

Figure 2: Gaussian random interlacements 3-point correlations. Eachsquare represents one set of the trajectory partition. Thepoint x is blue, y is red and z is green.

22

Current problems.

Thermodynamic limit of canonical measure.

Gaussian random permutation in a box Λ converges to the infinitevolume GRP constructed here.

Extensions: Poisson process on Zd

Other interactions besides Gaussian.

Quantum case, when the Brownian trajectories from x to y interact.(BCMP 2005 treated the mean field case).

23

Gracias!

24

Conditioned Gaussian loop soup is Canonical permutation

HΛ,N := {Γ :∑

γ∈Γ|γ|1{γ}⊂Λ = N}

Recall:

µlsλ = loup soup;

GΛ,Ng =1

ZΛ,N

∑σ∈SN

∫ΛN

g(x, σ)e−H(x,σ)dx canonical

Proposition 1. For g depending on the cycles totally included in Λ:

µlsλ(g|HΛ,N ) = GΛ,Ng.

Proof. Density of loop soup is the product of intensity of its cycles.Same as density given by the permutation.

25

Specifications Λ compact, (χ, σ) and (ζ, κ) spatial permutations.

Λ-compatibility: (χ, σ) ∼Λ (ζ, κ) if

χ \ Λ = ζ \ Λ,

σ(x) = κ(x) if {x, κ(x)} ⊂ ζ \ Λ,

σ−1(χ ∩ Λ) \ Λ = κ−1(ζ ∩ Λ) \ Λ,

σ(χ ∩ Λ) \ Λ = κ(ζ ∩ Λ) \ Λ.

Conditioned Hamiltonian:

HΛ((χ, σ)|(ζ, κ)) :=∑

x∈[χ∩Λ]∪[κ−1(ζ∩Λ)\Λ]

‖x− σ(x)‖2.

Specification: measure GΛ,λ(·|(ζ, κ)) with density

fΛ,λ((χ, σ)|(ζ, κ)) :=1

ZΛ,λ(ζ, κ)λ|χ∩Λ| exp

(− αHΛ((χ, σ)|(ζ, κ))

),

26

Gaussian random permutation on Rd is Gibbs

Theorem 2 (AFY). For d ≥ 3 and λ ≤ 1 the loop soup measure

µlsλ is Gibbs for the specifications (GΛ,λ : Λ compact):

µlsλg =

∫dµls

λ(ζ, κ)GΛ,λ(g|(ζ, κ)) DLR

For all ρ ≥ ρc the measure

µls1 ∗ µri

ρ−ρc is Gibbs for the specifications (GΛ,1 : Λ compact). (2)

Corollary 3. Point and permutation marginals can be computed ex-plicitely.

27

Point marginal of Gaussian loop soup is permanental

νlsλ := Point marginal of Gaussian loop soup µls

λ

Recall fugacity λ ∈ (0, 1] and

Kλ(x, y) :=∑k≥1

λk( απk

)d/2e−

αk‖x−y‖2 , x, y ∈ Rd

For λ ∈ (0, 1], νlsλ has correlations

ϕlsλ(x1, ..., xn) = perm (Kλ(xi, xj))

ni,j=1 ,

(Permanental point process).

AFY using the density of the Poisson process νlsλ .

28

Point marginal of Gaussian interlacements

νriρ := Point marginal of Gaussian interlacements µri

ρ

Correlations:

ϕriρ (x1, . . . , xn) =

∑P∈Pn

∏I∈P

∑σ∈SI

Vρ(xσ(i1), . . . , xσ(i|I|)). (3)

Pn := partitions of {1, . . . , n} with nonempty sets,SI := permutations of set I,(i1, . . . , i|I|) arbitrary order of I and

Vρ(x1, . . . , x`) := ρK(x1, x2) . . .K(x`−1, x`)

AFY using the density of the Poisson process νriρ .

29

Thermodynamic limit of Point marginal

Theorem (Shirai-Takahashi, Tamura-Ito). Fix density ρ > 0.

GpointΛ,|Λ|ρ := law of X-marginal with |Λ|ρ points.

GpointΛ,|Λ|ρ ⇒ νTI

ρ as Λ↗ Rd

Subcritical case. ρ ≤ ρc or d ≤ 2 Fichtner 1991; Tamura-Ito 2006.

νTIρ = νls

λ(ρ), the point marginal of loop soup at intensity λ(ρ).

Supercritical case. ρ > ρc and d ≥ 3 Tamura-Ito 2007.

νpointρ = νTI

ρc ∗ ν∞ρ−ρc . (4)

ν∞ρ = νriρ , the point marginal of Gaussian interlacements at ρ.

30

Partial “Thermodynamic limit” of permutation marginal

GpermutΛ,|Λ|ρ := σ-marginal of GΛ,|Λ|ρ

GpermutΛ,ρ ⇒ νpermut

ρ for cycle-size distribution.

Macroscopic cycles: cycles with size bigger than ε|Λ|.

Subcritical case. ρ ≤ ρc or d = 1, 2

The expected fraction of points in macroscopic cycles is zero. BU 2011

Supercritical case. ρ > ρc or d ≥ 3

(a) expected fraction of points in macroscopic cycles is ρ−ρcρ .

(b) Rescaled macroscopic cycles have random lenght:Benfatto, Cassandro, Merola Presutti 2005.

Poisson-Dirichlet distribution (as uniform permut): Betz-Ueltschi 2011.

31

Current problems.

Thermodynamic limit of canonical measure.

Gaussian random permutation in a box Λ converges to the infinitevolume GRP constructed here.

Extensions: Poisson process on Zd

Other interactions besides Gaussian.

Quantum case, when the Brownian trajectories from x to y interact.(BCMP 2005 treated the mean field case).

32

References

[1] Ines Armendariz, Pablo A. Ferrari, Pablo Groisman, and FlorenciaLeonardi, Finite cycle Gibbs measures on permutations of Zd, J. Stat.Phys. 158 (2015), no. 6, 1213–1233. MR 3317411

[2] Giuseppe Benfatto, Marzio Cassandro, I. Merola, and E. Presutti, Limittheorems for statistics of combinatorial partitions with applications tomean field Bose gas, J. Math. Phys. 46 (2005), no. 3, 033303, 38. MR2125575

[3] V. Betz and D. Ueltschi, Critical temperature of dilute Bose gases, Phys.Rev. A 81 (2010), no. 2, 023611.

[4] Volker Betz and Daniel Ueltschi, Spatial random permutations and infi-nite cycles, Comm. Math. Phys. 285 (2009), no. 2, 469–501. MR 2461985

[5] , Spatial random permutations and Poisson-Dirichlet law of cyclelengths, Electron. J. Probab. 16 (2011), no. 41, 1173–1192. MR 2820074

33

[6] Marek Biskup and Thomas Richthammer, Gibbs measures on permuta-tions over one-dimensional discrete point sets, Ann. Appl. Probab. 25(2015), no. 2, 898–929. MR 3313758

[7] Nathalie Eisenbaum, A Cox process involved in the Bose-Einstein con-densation, Ann. Henri Poincare 9 (2008), no. 6, 1123–1140. MR 2453257

[8] Dor Elboim and Ron Peled, Limit distributions for euclidean randompermutations, arXiv:1712.03809 (2017), 1–54.

[9] Karl-Heinz Fichtner, On the position distribution of the ideal Bose gas,Math. Nachr. 151 (1991), 59–67. MR 1121197

[10] , Random permutations of countable sets, Probab. Theory Re-lated Fields 89 (1991), no. 1, 35–60. MR 1109473

[11] Daniel Gandolfo, Jean Ruiz, and Daniel Ueltschi, On a model of randomcycles, J. Stat. Phys. 129 (2007), no. 4, 663–676. MR 2360227

[12] Jean Ginibre, Some applications of functional integration in statistical

34

mechanics, Statistical Mechanics and Quantum field theory (C. Le Wittand R. Stora, eds.), Gordon and Breach, 1971, pp. 327–443.

[13] Gregory F. Lawler and Jose A. Trujillo Ferreras, Random walk loop soup,Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007), no. 2, 767–787. MR 2255196

[14] Gregory F. Lawler and Wendelin Werner, The Brownian loop soup,Probab. Theory Related Fields 128 (2004), no. 4, 565–588. MR 2045953

[15] Yves Le Jan, Markov loops, coverings and fields, Ann. Fac. Sci. ToulouseMath. (6) 26 (2017), no. 2, 401–416. MR 3640896

[16] Odile Macchi, The coincidence approach to stochastic point processes,Advances in Appl. Probability 7 (1975), 83–122. MR 0380979

[17] Tomoyuki Shirai and Yoichiro Takahashi, Random point fields associ-ated with certain Fredholm determinants. I. Fermion, Poisson and bosonpoint processes, J. Funct. Anal. 205 (2003), no. 2, 414–463. MR 2018415

[18] Andras Suto, Percolation transition in the Bose gas, J. Phys. A 26

35

(1993), no. 18, 4689–4710. MR 1241339

[19] , Percolation transition in the Bose gas. II, J. Phys. A 35 (2002),no. 33, 6995–7002. MR 1945163

[20] Alain-Sol Sznitman, Vacant set of random interlacements and percola-tion, Ann. of Math. (2) 171 (2010), no. 3, 2039–2087. MR 2680403

[21] H. Tamura and K. R. Ito, A random point field related to Bose-Einsteincondensation, J. Funct. Anal. 243 (2007), no. 1, 207–231. MR 2291436

[22] H. Tamura and K.R. Ito, A canonical ensemble approach to thefermion/boson random point processes and its applications, Communi-cations in Mathematical Physics 263 (2006), no. 2, 353–380.

[23] Daniel Ueltschi, Feynman cycles in the Bose gas, J. Math. Phys. 47(2006), no. 12, 123303, 15. MR 2285149