matemáticas básicas: sistemas lineales

Matemáticas Básicas: SistemasLineales

M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017

ESDAI, Universidad Panamericana

1

1 Determinantes

Determinantes de Segundo Orden

Determinantes de tercer orden

Ejemplos

2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas

Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales

Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales

Ejemplos

Oferta y demanda

2

Determinantes

3

Determinantes

Determinantes de Segundo Orden

4

Definición

Definición 1.1. ∣∣∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣∣∣ = ad − bc.

5

Ejemplo 1.1. ∣∣∣∣∣∣ 2 3−1 −2

∣∣∣∣∣∣ =

6

Si consideremos el siguiente sistema de ecuacionesa1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2... (1.1)

7

...y definimos

∆ =

∣∣∣∣∣∣a1 b1

a2 b2

∣∣∣∣∣∣∆x =

∣∣∣∣∣∣c1 b1

c2 b2

∣∣∣∣∣∣∆y =

∣∣∣∣∣∣a1 c1

a2 c2

∣∣∣∣∣∣ ...

8

...entonces

x = ∆x

∆y = ∆y

∆

(1.2)

9

Ejemplo 1.2.Resuelva el sistema 2x + 3y = 8

x − 2y = −3

10

Determinantes

Determinantes de tercer orden

11

Figura 1.1: Determinante 3 × 3

12

Figura 1.2: Como desarrollar un determinante 3 × 3

13

Ejemplo 1.3.

Desarrolle el siguiente determinante

14

Ejemplo 1.4.

Resuelva el siguiente sistemax + 2y − z = −33x + y + z = 4x − y + 2z = 6

15

Determinantes

Ejemplos

16

El método de solución de sistemas de ecuaciones linales, pormedio de determinantes, se conoce como Regla de Cramer.

17

Ejemplo 1.5.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer4x + 2y = 5

3x − 4y = 1

18

Ejemplo 1.6.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer3u + 2v = 18

−5u − v = 12

19

Ejemplo 1.7.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer

2x + y − z = 53x − 2y + 2z = −3x − 3y − 3z = −2

20

Ejemplo 1.8.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer

x + 2z = 73x + y = 52y − 3z = −6

21

Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una únicasolución si y solo si su determinante principal ∆ 6= 0.

En este caso, decimos que el sistema es consistente.

22

Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una únicasolución si y solo si su determinante principal ∆ 6= 0.

En este caso, decimos que el sistema es consistente.

22

Si ∆ = 0, entonces o bien existen multiples soluciones, o bienno existe alguna en absoluto.

En cualquier caso, decimos que el sistema es inconsistente.

23

Determine si 5x − 2y = 1010x − 4y = 20

es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.

24

Determine si 5x + 3y = 1510x + 6y = 60

es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.

25

Determine si x − 3y + 2z = 42x + y − 3z = −24x − 5y + z = 5

es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.

26

Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas

27

Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas

Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales

28

Supongamos que ai, bi, ci, i = 1, 2 son número dados:a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

En el sistema anterior, nuetro objetivos es encontrar dosnúmeros x, y tales que cumplan ambas ecuacionessimultaneamente.

29

Ejemplo 2.1.La solución del sistema x + y = 7

x − y = 3

es x = 5, y = 2.

30

A continuación, ejemplificaremos algunos de los métodos máscomunes para resolver sistemas de ecuaciones.

31

Suma y resta

Ejemplo 2.2.

2x − y = 4 (2.1)x + 2y = −3 (2.2)

32

Método de sustitución

Despejando de (2.1), obtenemos

y = 2x − 4.

Sutituyendo en (2.2), obtenemos

x + 2(2x − 4) = −3.

33

Método de sustitución

Despejando de (2.1), obtenemos

y = 2x − 4.

Sutituyendo en (2.2), obtenemos

x + 2(2x − 4) = −3.

33

Método gráfico

Figura 2.1: 2x-y=4 , x+2y=-3

34

Tipos de sistemas

35

Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas

Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales

36

Supongamos que ai, bi, ci, di, i = 1, 2, 3 son número dados:a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

En el sistema anterior, nuetro objetivos es encontrar dosnúmeros x, y, z tales que cumplan las ecuacionessimultaneamente.

37

Ejemplo 2.3.Resuelva

2x + 5y + 4z = 4 (a)x + 4y + 3z = 1 (b)x − 3y − 2z = 5 (c)

38

Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas

Ejemplos

39

Ejemplo 2.4.

2x − y = 4x + y = 5

40

Ejemplo 2.5.

5x + 2y = 32x + 3y = −1

41

Ejemplo 2.6.

2x + 3y = 36y − 6x = 1

42

Ejemplo 2.7.

5y = 3 − 2x

3x = 2y + 1

43

Ejemplo 2.8.

x − 23 + y + 1

6 = 2x + 3

4 − 2y − 12 = 1

44

Ejemplo 2.9.

Encuentre dos números sabiendo que si uno de ellos se sumacon el doble del otro se obtiene 21, y que si este último sesuma con el doble del primero resulta 18.

45

Ejemplo 2.10.

Hace seis años, Agustín era 4 veces mayor que Pablo.Encuentre sus edades actuales sabiendo que dentro de 4 añossólo será dos veces mayor que Pablo.

46

Ejemplo 2.11.

Dos libras de café y 3 kg de mantequilla cuestan $4.20. Alcabo de 1 mes, el precio del café ha subido 10 % y el de lamantequilla 20 % de forma que la adquisición de los productosanteriores cuesta ahora $4.86. Determine el precio original decada uno de los productos.

47

Ejemplo 2.12.

Si se mezclan 3 galones de aceite del tipo A con 7 galones deltipo B el precio de la mezcla es de 43 pesos/galón. Sinembargo, si se mezclan 3 galones del aceite A con 2 galonesdel B el precio de la mezcla es de 46 pesos/galón. Encuentre elprecio del galón de cada uno de los tipos de aceite.

48

Ejemplo 2.13.

Un inversionista tiene colocado parte de su capital a 3 % y elresto a 5 % de interés simple, percibiendo anualmente $116 deintereses. Si aumenta en 25 % el dinero que tiene a 3 % y en40 % el que tiene a 5 %, sus intereses anuales aumentan en$41. Calcule el dinero que tiene invertido a cada uno de lostipos de interés.

49

Ejemplo 2.14.

Encuentre 3 números sabiendo que el primero es igual alsegundo más la mitad del tercero, que la suma del segundo y eltercero es igual al primero más 1, y que si se resta el segundode la suma del primero con el tercero el resultado es 5.

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Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas

Oferta y demanda

51

El costo total C de un lote de mercancía está dado por

C(q) = C0 + C ′ ∗ q

donde q es el número de unidades, C0 es un costo fijo por lotey C ′ es el costo marginal, i.e., el costo por unidad.

52

El ingreso total I por un lote de mercancía está dado por

I(q) = p ∗ q,

donde p es el ingreso marginal, i.e, el ingreso por unidad(generalmente el precio unitario de venta), mientras que q esnuevamente el número de unidades.

53

La ganancia (o utilidad) U(q) por un lote de mercancía estádada por

U(q) = I(q) − C(q) = p ∗ q − (C0 + C ′ ∗ q) ,

o de manera equivalente

U(q) = (p − C ′) ∗ q − C0.

54

El punto de equilibrio se alcanza cuando los costos son igualesa los ingresos, es decir,

I(q) = C(q),

o de manera equivalente, cuando la ganancia es nula:

U(q) = I(q) − C(q) = 0.

55

Ejemplo 2.15.

Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y delos materiales por reloj es de $15 dólares y los costos fijos sonde $2000 dólares al día. Si se vende cada reloj a $20 dólares.a) ¿Cuántos relojes deberá producir y vender para mantenerseen el punto de equilibrio? b) ¿Cuántos relojes deberá venderpara tener una utilidad de $3000 dólares?

56

Ejemplo 2.16.2.-El costo total diario de producir manzanas caramelizadasesta dado por: y = 2.5x + 300.

(a) Si cada manzana se vende a $4 ¿Cuál es el punto deequilibrio?

(b) Si el precio de venta incremente a $5 ¿Cuál es el nuevopunto de equilibrio?

(c) Si se sabe que al menos 150 manzanas pueden venderse aldía ¿Qué precio deberá fijarse para garantizar que no hayapérdidas?

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