matemáticas administrativas_unidad 2
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Matemáticas AdministrativasUNIDAD 2: Límites y continuidad
Propósitos
En esta unidad:
Identificarás los elementos del álgebra de límites y teórico práctico de la continuidad de una
función.
Aplicarás los elementos del álgebra de límites para determinar el alcance de un proceso
desde el punto de vista económico-administrativo.
Calcularás la continuidad de una función en relación a los puntos en los que el proceso de
producción presenta una tendencia diferente de costos.
Competencia específica
Determina el comportamiento de una función de acuerdo a los límites de la misma para
conocer su impacto en los procesos económico-administrativos, mediante la aplicación de
los teoremas de límites de una función y su relación con funciones continuas y
discontinuas.
Introducción
En la unidad anterior vimos el concepto de función y algunos de los diferentes tipos de
funciones, así como su aplicación para describir el comportamiento de las diversas
situaciones que se presentan dentro del área económico-administrativa, tales como
ingresos, costos, utilidades y punto de equilibrio.
En la presente unidad estudiaremos el concepto de límite y cómo describe precisamente el
comportamiento de una función cuando los valores de la variable independiente están
muy próximos, aunque nunca igual, a un valor constante y su utilidad en los procesos
económico- administrativos, como rendimiento y producción máxima. Asimismo,
determinaremos cuando una función es continua y revisaremos su aplicación en
procesos productivos y su impacto en los
costos de producción.
2.1 Álgebra de límites
Conceptos básicos:
El límite de una función describe el comportamiento de una función f(x) conforme la
variable independiente se aproxima a un valor constante.
Ejemplo: Se tiene la función y se requiere determinar su comportamiento
cuando los valores de x tienden o se acercan a 1.
Solución: Podemos observar que la función no está definida en x = 1, es decir, que cuando
x toma el valor de 1 la función tiende al infinito:
Ya que cualquier número dividió entre cero es igual a infinito.
Sin embargo, si se podemos determinar el comportamiento o valores que va tomando la
función cuando x → 1 (x tiende a 1), ya sea con valores más pequeños a uno o, bien, más grandes
a uno: 1 > x > 1.
Así tenemos que:
X Gráfica
-0.5 0.1666670.5 0.5000000.6 -0.2000000.7 -1.5666670.8 -4.6000000.9 -14.300000
0.95 -34.1500000.98 -94.060000
0.999 -1994.00300.9999 -19994.0003
1 ∞1.0001 20006.0003
1.001 2006.003
1.01 206.03
1.1 26.3
1.5 11.5
Se puede observar que conforme x se acerca a 1 la función es igual a ± 20000,
dependiendo de si se va acercando por la derecha o por la izquierda a 1, es decir:
En conclusión, tenemos que:
Cuando f(x) se acerca cada vez más a un número límite (C), conforme x se aproxima a un valor
constante “a” por cualquier lado, entonces C será el límite de la función y se escribe:
Algebra de límites: A continuación se muestran la fórmula y las operaciones que se realizan para
determinar los límites de una función:
Sean dos funciones cuya variable independiente tiene a un valor a:
y
Entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
2.1.1 Límite de una función y sus propiedades
1. Límite de una función constante: Si se tiene una función constante f(x) = C, el límite de la
función cuando x tienda a un valor “a”, será siempre C. Esto es:
Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = 10, cuando x → 8.
Solución: Siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:
2. Límite de una función idéntica: Si se considera la función idéntica f(x) = x, cuando x tiende
a un valor “a”, su límite será siempre el valor constante “a”, es decir:
Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = x, cuando x → 3.
Solución: Siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:
3. Límites infinitos: Cuando se tiene una función racional en la que q(x) se hace
cero cuando x tiende a un valor constante “a”, entonces, f(x) = ∞, es decir:
Ejemplo: Determina el límite de la función: cuando x → 1.
Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función se tiene que:
4. Límite de cualquier función: Para cualquier función f(x), se tiene que el límite de la
función cuando x → a. El límite es el número constante que resulta de sustituir el valor de
“a” en la función.
Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = , cuando x → 0 y cuando x →
5. Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función para cada caso se tiene que:
Y
Ejemplo: Determina el límite de la función: cuando x → 0 y cuando x → 2.
Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función para cada caso se tiene que:
Y
2.1.2 Límites de una función cuando la variable tiende al infinito
Cuando x → ∞, el valor de la función puede crecer o decrecer indefinidamente. Sin
embargo, existen casos en los que la función adquiere valores reales. A continuación veremos
ejemplo para el cálculo de límite de una función cuando la variable independiente tiende al
infinito.
Ejemplo. ¿Cuál será el límite de f(x) = 7x4 – 2x3 + x2 +100, cuando x →∞?
Solución: Al aplicar el límite infinito en la función, se tiene que:
NOTA: Es suficiente observar que el coeficiente con mayor potencia tendrá como resultado un
valor infinito, al sustituir el límite en la función.
Ejemplo: En una fábrica de electrodomésticos, se tienen costos fijos de producción de
$1’000,000.00 anuales y sus costos específicos son del orden de $430.00 por electrodoméstico.
¿Hasta qué punto puede reducir los costos promedio de producción al aumentar la producción
indefinidamente?
Solución: Se observa que la función de costo tendrá la forma C(x)=430x + 1’000,000, en
donde x representa la cantidad de electrodomésticos producidos. Para determinar el costo
promedio de producción, se tendrá que dividir la función de costo entre el número de artículos a
producir, x:
Y si lo que se desea conocer es el costo promedio de producción cuando el nivel de
producción se eleve indefinidamente se tiene que:
Por tanto, el costo promedio de producción será de $430.00 cuando el nivel de fabricación
de productos electrodomésticos crezca indefinidamente.
NOTA: Es importante notar que cuando se divide un número cualquiera entre ∞, el resultado
siempre será cero, ya que el valor del divisor siempre será mucho más grande que el valor
del número que se quiere dividir.
Ejemplo. El nivel de satisfacción (%) de clientes en un autoservicio, de acuerdo al número
de artículos comprados, fue medido mediante la siguiente función:
En donde x representa el número de artículos comprados. Determina ¿cuál será el nivel de
satisfacción del cliente (%) conforme aumentan sus compras?
Solución: Si se considera que el cliente comprará un número infinito de artículos
podremos observar cuál será el comportamiento del nivel de satisfacción del cliente en el punto
más alto de sus compras:
Con el fin de eliminar la indeterminación, en el caso de una función racional es
conveniente dividir cada uno de los factores de la función entre la variable independiente con la
potencia más alta, así se tiene que, para este caso en particular, se tiene que:
Por lo que el nivel de satisfacción del cliente será del 83.33% y nunca podrá ser mayor a este.
Actividad 1. Maximización de costo promedio
Resuelve el ejercicio 1. “Maximización de costo promedio” que se encuentra en el Cuadernillo de
ejercicios: Los límites y aplicación en funciones.
Guarda el documento y envíalo a la sección de Tareas.
Actividad 2. Foro Maximización de costo promedio
Responde a la siguiente pregunta:
¿Qué elementos consideraste para resolver el problema de “Maximización de costo promedio”?
Tema 2.2 Funciones continuas y discontinuas
2.2.1 Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una función
Según se pudo observar, al realizar el cálculo de límites de una función, no siempre el
límite coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se aproxima la variable
independiente. Esto es fácil de detectar al graficar la función en los valores cercanos al límite, ya
que la gráfica de la función se puede cortar o tener una interrupción en algún punto cercano al
límite.
Por ejemplo, se tiene la siguiente función: en la que se dice que x → 1. Al graficar las coordenadas que van acercándose al límite, se tiene la siguiente gráfica:
En donde se observa que hay un punto exactamente cuando x = 1, en el que la gráfica de
la línea ya no continúa con el resto de los valores, es decir, que hay un ruptura en la gráfica.
De esta forma, podemos definir que una función es continua cuando no se presenta un
corte en la línea que representa su gráfica, y una función es discontinua cuando se presentan
cortes en la línea que representa la gráfica de la función.
Existen tres condiciones que nos permiten descubrir si una función es continua o
discontinua:
1. Una función será continua si f(x) está definida en x = a, es decir, si sus valores son reales.
2. Una función será continua si el límite de la función f(x) cuando x → a existe.3. Una función será continua si:
Si una de las condiciones anteriores no se cumple la función será discontinua.
Operaciones con funciones continuas
1. Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en un punto a, entonces las funciones podrán
sumarse, multiplicarse o dividirse (para g(x) ≠ 0 en el caso de división).
2. Toda función polinomial es continua.
2.2.2 Aplicación de funciones continuas y discontinuas
EJEMPLO: Oferta y demanda. Un vendedor de aceites orgánicos en frascos de 250 ml,
vende aceite de uva a $90.00 cada frasco, pero si le compran más de 5 frascos, el precio por frasco
es de $68.00. ¿Qué se le podría recomendar al vendedor para que pueda conservar su escala de
precios de mayoreo sin que se le presenten problemas económicos con su promoción?
Solución: Si definimos como p(x) a la función de precio de x frascos de aceite de uva, se
tiene la siguiente función:
El modelo gráfico que representa esta función de oferta versus demanda es:
Con esto se observa que el precio de 10 frascos es de $900.00, y de 11 frascos es de
$935.00, por lo que para evitar contradicciones, el precio de 11 frascos debe ser superior al de 10.
Si decimos que p es el precio de cada frasco de aceite cuando se compran más de 10 frascos, se
debe cumplir que 11p > 900. Es decir, p > 900/11 = $81.81. Por tanto, el vendedor debe asignar un
precio superior a $81.81 para cada frasco cuando le compren más de 10 frascos de aceite de uva.
Actividad 3. Costo total
Resuelve el ejercicio 2. “Costo total” que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Los límites y
aplicación en funciones.
Guarda el documento y envíalo a la sección de Tareas.
Actividad 4. Autoevaluación
Resuelve el cuestionario Autoevaluación, de cinco preguntas y elige la respuesta correcta.
Evidencia de aprendizaje. Álgebra de límites y continuidad
Resuelve los ejercicios del archivo Álgebra de límites y continuidad:
1. “Cálculo de límites”, que consiste en relacionar columnas, para saber la respuesta
se deben elaborar cálculos necesarios.
2. “Rentabilidad con límites al infinito”.
Guarda el documento y consulta la escala de
evaluación. Envíalo al Portafolio de evidencias.
Consideraciones específicas de la unidad
En esta unidad se resolverán ejercicios para practicar el uso de las fórmulas y la
aplicación de límites.
La evidencia con la que se evaluará la unidad 2 será la solución de problemas de límites
y continuidad de una función para determinar su impacto en los procesos
económico- administrativos y una vez terminada de revisar la unidad tendrás que ir a tu
cuadernillo de ejercicios y resolver los ejercicios correspondientes a ésta.
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