mate uni
Post on 28-Aug-2015
223 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
Matemt
Solucionario
2011 -IIExamen de admisin
Matemtica
1
TEMA P
PREGUNTA N. 1Indique la alternativa correcta despus de determi-nar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado:I. Existen 8 nmeros de 3 cifras tales que al ser
divididos entre 37 dan un residuo igual a la cuarta parte del cociente.
II. Sean a,b N; si (a+x)(b x)=ab, entonces se tiene que x=0.
III. Si D=dc+r con 0 r < c y c >1, entonces el conjunto
{x Z / D+x=(d+x)c+r} es unitario.
A) VVV B) VVF C) FFV D) FVF E) FFF
Resolucin
Tema: Lgica proposicional
Anlisis y procedimientoI. (F)
abc
k 4k
37 abc=37(4k)+k
abc=149k1; 2; 3; 4; 5; 6
6 valores
II. (F)
(a+x)(b x)=ab; a; b N
ab ax bx x ab + =2
(b a)x=x2
x(x (b a))=0
x=0 x=b a
x no necesariamente es 0.
III. (V)
D=dc+r con 0 r < c y c > 1
{x Z/ D+x=(d+x)c+r}
D+x=dc+xc+r}
D+x=dc+r+ xc}
D
x=x c x(c 1)=0
Como c > 1, entonces x=0
Entonces el conjunto
{x Z/ D+x=(d+x)c+r}={0} es unitario.
RespuestaFFV
AlternAtivA C
PREGUNTA N. 2Qu cantidad de desinfectante (en litros) al 80% se debe mezclar con 80 litros del mismo desinfectante al 50% para obtener un desinfectante al 60%?Indique adems el porcentaje de desinfectante al 50% en la solucin final.
A) 40 y 33,33% B) 40 y 66,67% C) 60 y 33,33% D) 60 y 66,67% E) 66,67 y 60%
-
2unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
Resolucin
Tema: Regla de mezcla
Anlisis y procedimientoDel enunciado, tenemos que
n
n+80
80% 50%
60%
80
pierde20%
gana10%
Volumen del desinfectante al 80%
Se sabe que
(ganancia aparente)=(prdida aparente)
10% 80=20%n
n=40
Por lo tanto, el volumen de desinfectante al 80%
es 40 litros.
Adems, debemos calcular el tanto por ciento de
desinfectante al 50% en la solucin final. Para
ello, debemos realizar lo siguiente.
x%volumendel desinfectanteal 50%volumendel desinfectanteal 0
=
6 %%%
100
Reemplazando los valores, tenemos
x
n% %=
+
8080 100
x% %=
+
8040 80 100
x%=66,67%
Por lo tanto, el tanto por ciento del desinfectante
al 50% en la solucin final es 66,67%.
Respuesta40 y 66,67%
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 3Un empresario firma una letra por S/.48 000 a ser pagada en 8 meses al 7% de descuento anual. Luego de transcurridos 3 meses decide cancelar la letra, pues debe viajar para radicar en Australia. Calcule la diferencia entre la cantidad que recibi y cancel el empresario en nuevos soles, sabiendo que el acreedor cede un bono del 0,2% sobre el valor nominal, si se cancela.
A) 740 B) 742 C) 744 D) 746 E) 748
Resolucin
Tema: Regla de descuentoPara el clculo del valor actual (Va) en el descuento comercial, debemos tener en cuenta lo siguiente.
Va Vn
t
Dc
Dc=Vn r% t
Va=Vn Dc
-
3unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Anlisis y procedimientoRealizamos un diagrama de tiempo.
Va1 Va2 Vn=S/.48 000
cantidad que recibi
3 meses 5 meses
D1
D2
cantidad que deba cancelar sin bono
Va1=48 000 48 000
712
8 45 760%
= S/.
Va2=48 000 48 000
712
5 46 600%
= S/.
Bono=0,2%(48000)=S/.96
La cantidad que se cancel con el bono es
S/.46 600 S/.96=S/.46 504
Finalmente, la diferencia entre la cantidad que recibi y cancel el empresario es
S/.4 S/.4 S/.744lo quecancel
lo querecibi
6 504 5 760 =
Respuesta744
AlternAtivA C
PREGUNTA N. 4Sean A=1a14, B=1101a y C=1a24a5.
Determine la suma en cifras de C en base decimal, si C=AB.
A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15
Resolucin
Tema: Numeracin Recordemosqueenunnumerallascifrasson
menores que la base. Paraexpresarunnmerodeunabasedistinta
de 10 a base 10 se emplea la descomposicin polinmica.
Ejemplo
2357=272+371+5=124
2357=124
Anlisis y procedimientoSe tienen los numerales
A=1a14; B=1101a; C=1a24a5
Se observa que
1 < a < 4
a=2 a=3
A=1a14 B=1101a C=1a24a5
a=2 1214=25 11012=13 122425=947
a=3 1314=29 11013=37 132435=1073
Como
C = A B
947=2513
1073=2937
C=1073
Entonces la suma de cifras de C es 11.
Respuesta11
AlternAtivA C
-
4unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
PREGUNTA N. 5El nmero N=3b 5a (con a 1) tiene tres divisores ms que M=2a 53. Determine la suma de las inversas de los divisores de M.
A) 1,564 B) 1,852 C) 2,184 D) 1,248 E) 1,384
Resolucin
Tema: Estudio de los divisores
Anlisis y procedimiento
N=3b5a
CD(N)=(b+1)(a+1)
M=2a53
CD(M)=(a+1)4
Dato
CD(N) CD(M)=3
(a+1)(b+1) (a+1)4=3
a b+( ) ( ) =1 3 33 1
; como a 1
a=2; b=4
Luego
M=2253
SID( )M =
+ +( ) + + +( )=
1 2 4 1 5 25 125
2 52 1842 3,
Respuesta2,184
AlternAtivA C
PREGUNTA N. 6Determine la cantidad de fracciones propias e irreductibles que estn comprendidas entre 9/33 y 45/47 tales que la suma de sus trminos sea 90.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resolucin
Tema: FraccionesSabemos que
ND
fraccin propia N < D
ND
fraccin irreductible N y D son PESI
SiN y D son PESI N y N+D son PESI
Anlisis y procedimiento
Sea ND
fraccin propia e irreductible, adems,
N+D=90
Por condicin del problema
933
4547
<
-
5unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Respuesta6
AlternAtivA D
PREGUNTA N. 7Sea 2 ab+6 ab+12 ab+20 ab+...+72 ab un nmero natural, cuya cantidad de divisores es impar. Cuntos valores puede tomar ab?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolucin
Tema: PotenciacinRecuerde que
12+23+34+...+
+n(n+1)=n n n+( ) +( )1 2
3
La cantidad de divisores de un nmero na-tural es impar si y solo si dicho nmero es un cuadrado perfecto.
Siunnmeronaturalespotenciaperfecta de grado 2, entonces todos los exponentes de los factores primos en su descomposicin
cannica son 2 .
Anlisis y procedimientoSea
A=2ab+6ab+12ab+20ab+...+
+72ab
donde A N CD (A) es impar.
Entonces
A=ab[12+23+34+45+...+89]=K2
K ab2
8 9 103
=
K2=2435ab ab35
3522
ab=15 ab=60
Entonces existen dos valores para ab.
Respuesta2
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 8El mnimo comn mltiplo de dos nmeros distin-tos es al mximo comn divisor de ellos como 35 es a 1. Si el nmero mayor es 3017, determine la suma de las cifras del nmero menor.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 5 E) 16
Resolucin
Tema: MCD - MCM
Anlisis y procedimientoSean A y B los nmeros donde A > B.
Adems, MCD(A; B)=d.
Por propiedad se sabe que
A=d pB=d q p y q son PESI
Luego
MCM(A; B)=d p q
Ahora segn la condicin del problema se
tiene que
MCM( ; )MCD( ; )
A BA B
= 351
-
6unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
Reemplazando tenemos
d p qd = 35
1 (simplificando)
p q=75 ( p > q pues A > B)
Luego
(p=7 q=5) ( p=35 q=1)
Adems, se sabe que el mayor de los nmeros es 3017 (A=3017 p 35).
Entonces
A=d 7=3017 d=431
B=d 5=2155
431
Por lo tanto, la suma de cifras del menor nmero (B) es 13.
Respuesta13
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 9Sean los conjuntos
A x x x M= { }RB x x x M= + { }REntonces los valores de M tales que A B son:
A) M {0}
B) M
12
12
;
C) M [1; 1]
D) M [0;
E) M ;
Resolucin
Tema: Inecuaciones con valor absolutoSabemos que
Sib 0: |a| b a [ b; b].
Sib < 0: |a| b a no toma ningn valor
en R.
Anlisis y procedimientoDados
A x x x M= { }R B x x x M= + { }RTenemos que
M 0: x=0 A B
A B
M < 0: A= B=
A B=
Luego
A B M 0
M [0;
RespuestaM [0;
AlternAtivA D
PREGUNTA N. 10Dadas las siguientes proposiciones:I. Si existe n N tal que n2 < 0, entonces
existe n N tal que n 3=0.II. Si para todo x R se tiene x2 0, entonces
existe x 1; 1 tal que ex < 0.III. Si existe n N tal que n2 < 0, entonces
existe x R tal que ex < 0.Indique la secuencia correcta despus de deter-minar si es verdadera (V) o falsa (F).
A) VVV B) VFV C) FVV D) VVF E) FFF
-
7unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Resolucin
Tema: Lgica proposicionalLa tabla de verdad del operador condicional es la siguiente.
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Anlisis y procedimiento
I. Si existe
tal que
n
n
0 b 1
Anlisis y procedimiento
Me ee e
=
+ ( ) + + +1
3 101
303 3log log log log
+
+ ( ) + 1
10 31
13log log loge e
La suma de logaritmos en la misma base es logaritmo del producto.
Me e e ee
= + + + 130
130
130
11
3 3log log log log
M ee e e e= + + + log log log log30 30 303 10 3 1
M ee= + log30 30 3 1 Ln
M = + =1 3 1 3Ln Ln
RespuestaLn(3)
AlternAtivA D
PREGUNTA N. 17
Considere la matriz Ak
kk k
=
1 41 41
Determine el conjunto de valores de k para que A sea invertible.
A) k R\{0} B) k R C) k R\{4}
D) k = 4 E) k=0
Resolucin
Tema: Matrices - determinantes1. Para que una matriz cuadrada A sea inver-
tible, |A| 0.
2. Aplicamos operaciones con filas.
Anlisis y procedimientoPiden el conjunto de valores para que la matriz
Ak
kk k
=
1 41 41
sea invertible.
Entonces |A| 0.
Aplicando propiedades
Ak
kk k
F F
F F=
1 4
1 41
2 1
3 2
A
kk k
k=
1 44
0 40 40
|A|=(k 4)2 0 k 4
k R {4}
Respuestak R\{4}
AlternAtivA C
PREGUNTA N. 18
Al resolver el sistema z i
y
=
=
3 2
12x donde z=x+iy
es un nmero complejo; la suma de las ordenadas
de los puntos solucin es:
A) 9 B) 8 C) 7
D) 6 E) 5
-
12
unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
Resolucin
Tema: Sistema de ecuaciones en CPara dar respuesta a este problema, debemos recordar el mdulo de un complejo y relacionarlo con la ecuacin de una circunferencia, finalmente resolveremos una ecuacin cuadrtica.
Anlisis y procedimientoDado el sistema
z i
y x
=
3 2 (I)
=1 (II)2
La ecuacin (I) representa una circunferencia con centro en (0; 3) y radio r=2.Como z=x+yi (x; y), la ecuacin equivalente a I es x2+(y 3)2=22 (III)De (II) obtenemos x2=y 1, reemplazamos en (III) y obtenemos y 1+(y 3)2=4.
y2 5y+4=0 (y 1)(y 4)=0
y1=1 y2=4, reemplazando II
Luego
CS ( ; ), ; , ;= ( ) ( ){ }0 1 3 4 3 4Piden 1+4+4=9
Respuesta9
AlternAtivA A
PREGUNTA N. 19Sea
S={(x,y)/a1x+b1y C1, a2x+b2y C2, x 0,
y 0}
La regin admisible de un problema de progra-macin lineal.Indique la secuencia correcta despus de determi-nar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si se modifica S, obtenindose
S1={(x, y)/a1x+b1y C1, a2x+b2y C2,
a3x+b3y C3, x 0, y 0}, la solucin no
cambia, en un problema de maximizacin.
II. Si f(x,y) es la funcin objetivo, y (x0, y0) es la
solucin en S1 entonces, en un problema de
minimizacin se tendr f(x0, y0) f(x1, y1).
III. En general S1, la nueva regin admisible,
puede o no variar en relacin a S.
A) FFV B) FVV C) FFF D) VVF E) VFV
Resolucin
Tema: Programacin linealCondicin de mnimo en un problema de programacin lineal f(x0; y0) es el mnimo (x; y) S
f(x0; y0) f(x; y) (x; y) S
Anlisis y procedimientoI. Al aumentar una condicin ms (a3x+b3y C3) se obtendr un subconjunto
S1 de S; por lo tanto, los vrtices (puntos extremos) pueden ser otros y cambiar la solucin.
Veamos un contraejemplo.
SS
Y
X
(0; 3)(2; 2)
(3; 0)
mxf(x; y)=x+y
La solucin es (2; 2)
S1S1
Y
X
(0; 2)
(2; 0)
mxf(x; y)=x+y
A
B
-
13
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
La solucin es cualquier punto de la recta AB.
Por lo tanto, la proposicin I es falsa.
II. Como S1 S y f(x0; y0) f(x; y) (x; y) S
porque estamos minimizando, entonces un
caso particular es (x; y)=(x1; y1) S1 S.
f fx y x y0 0 1 1; ;( ) ( ) Por lo tanto, la proposicin II es verdadera.
III. S1 en relacin a S s puede variar como el
ejemplo de la proposicin I.
Por lo tanto, la proposicin III es verdadera.
RespuestaFVV
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 20Sea una sucesin de rectngulos R1, R2, ..., Rk,
donde el k-simo rectngulo tiene lado 1 1
3k ky
+;
entonces, la suma de las reas de todos los rectngulos es igual a:
A) 1 B) 1118
C) 76
D) 13
E) 16
Resolucin
Tema: SeriesPara resolver este problema haremos uso de algunas propiedades de sumatorias, en particular de la propiedad telescpica.
f f f fk k
k
n
n( ) +( )=
( ) +( )( ) = 11
1 1
Finalmente, aplicaremos lmites cuando n tiende al infinito y obtendremos el resultado requerido.
Anlisis y procedimientoSea {Rk} la sucesin de rectngulos, tal que el
k-simo rectngulo tiene de lados 1 1
3k ky
+.
Luego, Ak kk
=
+( )13
representa el rea de este
k-simo rectngulo.
Luego, debemos calcular Akk=
1
, as
Ak kkk k= =
=+( )
1 1
13
=
+
=
131 1
31 k kk
=
++
+
++
+
+
=
131 1
111
12
12
131 k k k k k kk
=
+
+ + + +
==
13
1 11
11
1211 k k k kkk
+
+
+
=
12
131 k kk
=
+
+ + + +
+ ==
13
1 11
11
1211
l mn k
n
k
n
k k k k
+
+
+
=
12
131 k kk
n
Usamos la propiedad telescpica y obtenemos
An nk nk
=
++
+
+ +
=
13 111
12
12
0 0
1lm
+
+
13
13
0
n
Akk
= + + =
=
13 112
13
11181
Akk
=
=
111812
u
Respuesta1118
AlternAtivA B
-
14
unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
PREGUNTA N. 21En un cono circular recto la generatriz mide 12 cm y una cuerda de la circunferencia de la base mide 16 cm. Si la distancia del centro de dicha circunferencia a la cuerda es 4 cm, entonces el volumen del cono (en cm3) es:
A) 6403
B) 6413
C) 6423
D) 6433
E) 6443
Resolucin
Tema: Cono de revolucin
Anlisis y procedimientoSe pide el volumen del cono V.
A
M48
8
BB
V
54O
r
12 12h
SesabequeV =r h2
3 (I)
AltrazarOM AB MB MA = = 8
OMB: OB = 4 5
En el VOB: h22 24 5 12+ ( ) =
h=8
Reemplazando en (I)
V =( ) pi 4 5 8
3
2
V =
6403
pi
Respuesta6403
AlternAtivA A
PREGUNTA N. 22Considere dos esferas tangentes exteriormente, cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectivamente. Calcule el volumen (en cm3) del cono circular recto circunscrito a las dos esferas.
A) 80 B) 81 C) 82 D) 83 E) 84
Resolucin
Tema: Esfera
R
h
Vcono =piR h2
3
-
15
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Anlisis y procedimientoNos piden Vcono.
A
r
12
30
30
M
NO1
O2
2
3
3
1
V
R
T
H
33
Datos: Las esferas tangentes exteriores estn inscritas en el cono de revolucin.
Adems, r=1 y R=3
Se observa que
O1O2H: Not. de 30 y 60
m HO1O2=30
Como O H VM1 // , entonces
m TVA=30
En VTA: TA = 3 3
Vcono =
( ) pi 3 3 93
2
Vcono=81
Respuesta81
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 23En una pirmide regular de base cuadrangular, el punto medio de la altura dista de una cara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respectivamente. Calcule la altura (en u) de la pirmide.
A) 6 2
B) 12 2
C) 18 2
D) 24 2
E) 34 2
Resolucin
Tema: Slidos geomtricos (pirmide) Entodotringulorectngulo
ah
b
1 1 12 2 2h a b
= +
Anlisis y procedimientoPiden OP.
OP=2h
2m
mm FF
66hh
88
BBGG
hh
OO 2m2m M
C
DA
E
P
222m2m
-
16
unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
Como O: Centro del cuadrado ABCD
= ( )OA OM2
Setraza
GE // AO y GF // OM
Por teora de la base media
AO=2(EG)
OM=2(GF)
Porrelacionesmtricas
EGP:1
8
1 1
22 2 2= + ( )h m
FGP: 1
6
1 12 2 2= +h m
Luego
164
1 1
22 2= +h m
(I)
136
1 12 2= +h m
(II)
Operandolasexpresiones(I)y(II)
h = 12 2
=OP 24 2
Respuesta
24 2
AlternAtivA D
PREGUNTA N. 24En la figura, C1 es un cilindro circular recto de radio R y altura h. Si en C1 se inscribe un prisma regular cuadrangular y luego en este prisma se inscribe un cilindro circular recto C2 y as se repite el proceso obteniendo los cilindros C3, C4, C5, ...
Si el cilindro C21 es tal que su rea total es 3 veces su rea lateral, entonces el rea lateral de C1 es:
C2
C1
...
A) piR2
402( )
B) piR2
302( )
C) piR2
202( )
D) piR2
152( )
E) piR2
102( )
Resolucin
Tema: Cilindrorea de la superficie del cilindro
h
rea total
AST=2R2+2Rh
-
17
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
rea de la superficie lateral
ASL=2Rh
Anlisis y procedimiento
Nos piden ASL de C1.
C2
C1h
...
R
Dato: En el cilindro 21 se tiene
AT(C21)=3ASL(C21)
Sea R21 el radio de la base del cilindro 21.
Entonces en el dato tenemos
2(R21)2+2(R21)h=3(2(R21)h)
R21=2h
hR
= 212
(I)
Luego
ASL(C1)=2Rh (II)
Reemplazando (I) en (II) tenemos
ASL(C1)=R(R21) (III)
Hallando R21 en funcin de R tenemos lo si-guiente.
Analizamos las bases.
C1C2
C3
R1=R
2R
R2R2
R4=2R
2
R3=R/2R3=R/2
R2=R2=22RR
22
Del grfico se observa que
C1 R1=R
C2 R2=R 2
2
C3 R3=R2
C4 R4=R 24
C5 R5=R4
Por induccin se tiene que
C R
R R21 21 101024 2
= =
RR
21 102= (IV)
Reemplazando (IV) en (III) se tiene que
ASL C R
R1 210( )
=
pi
( ) = ( )ASL CR
1
2
202
pi
-
18
unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
RespuestapiR2
202( )
AlternAtivA C
PREGUNTA N. 25En la figura ABCDEF.... es un polgono regular cuyo lado mide 2 cm. Calcule PF (en cm).
A
B
C D
E
F
P
A) 4 3 B) 2 13 C) 3 6
D) 6 2 E) 4 6
Resolucin
Tema: Polgonos regularesRecuerde que
A
B
CD
E
F
G
ABCDEFG...: polgono regular
m m mAB BC CD = = = ...
Anlisis y procedimientoPiden PF.
Delgrficom m mBC CD DE = = =
BCE
+ =2
90 a=60
A
B
C D
E
F
P
2 3
2 3
/2
22
22
22
226060
30
3030
m CEF=90 y del PEF
PF( ) = + ( )2 2 22 4 3 PF = 2 13
Respuesta2 13
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 26Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O, respectivamente, son tangentes exteriormente en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P y desde O se traza una tangente a C1 en Q (OP no se interseca con OQ). Si se tiene que PQ se interseca con OO en T, entonces la relacin de los radios de dichas circunferencias es:
A) 13
B) 12
C) 1
D) 2 E) 3
-
19
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Resolucin
Tema: CircunferenciaCircunferencias tangentes exteriores
P
Q
r RT
Se cumple que
m mQT TP =
Anlisis y procedimientoPiden
rR
P
Q
r
r R
R
O'OT
Debido a la propiedad m mQT TP = , tenemos
mPQO=mQPO=q
En P, a+q=90
mQOP=90
Luego, OPOQ es un rectngulo
r=R
rR
= 1
Respuesta1
AlternAtivA C
PREGUNTA N. 27En un rectngulo ABCD, M y N son puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente, tales que AM = 2 2 cm y BN = 17 cm . Si P es el punto de interseccin de los segmentos AM y BN, entonces el valor de PM+PN en cm es:
A) 2 2 17
5+
B) 2 2 2 17
5+
C) 3 2 17
5+
D) 2 2 3 17
5+
E) 3 2 3 17
5+
Resolucin
Tema: Semejanza de tringulos
Anlisis y procedimiento
2a
a
2a
2b
2b
b
M
Q
C
D
NNPP
B
4m4m
m
3x3x2x2x
bbRA
a
Nos piden
PM+PN
Datos
AM BN= =2 2 17;
-
20
unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
Se observa que T BPM y T RPA son semejantes, entonces
PM=m; AP=4m
Pero
AM = 2 2
m m m+ = =4 2 2
2 25
Tambin T BPA y T NPQ son semejantes, entonces
BP=2x; PN=3xPero
BN = 17
2 3 17
175
x x x+ = =
Luego
PN = 3 17
5
PM PN+ =+2 2 3 175
Respuesta2 2 3 17
5+
AlternAtivA D
PREGUNTA N. 28En una circunferencia de 10 cm de radio, dos cuerdas se cortan de manera que el producto de los segmentos que cada una determina sobre s es 1296 cm4. Determine a qu distancia (en cm) del centro se halla el punto de interseccin.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Resolucin
Tema: Relaciones mtricas en la circunferencia
Recordemos el teorema de las cuerdas en la circunferencia.
ab=cd
a
c
d
b
Anlisis y procedimientoDato
abcd=1296 y R=10
d
a
R
R
Ox
bc
(R x)
Nos piden x.
Por teorema de las cuerdas tenemos
(R+x)(R x)=ac (I)
Tambin ac=bd
En el dato
(ac)(bd)=1296
(ac)2=1296
Luego
ac=36 y R=10
En (I) tenemos
(10+x)(10 x)=36
Resolviendo x=8.
-
21
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Respuesta8
AlternAtivA D
PREGUNTA N. 29Los dimetros AB y CD de una circunferencia son
perpendiculares. Si E BD, AE interseca a CD en el punto F y FD=1 cm, entonces la longitud de la circunferencia circunscrita al tringulo FED (en cm) es:
A) 2 B) 2 2 C) 2 3 D) 3 2 E) 3 3
Resolucin
Tema: Circunferencia y figuras circunscritasSe sabe que la longitud de una circunferencia de radio R es igual a 2R.
Anlisis y procedimientoNos piden la longitud de la circunferencia circunscrita al FED=2R.
Datos:
A B
C
D
E
F
1R
RR
O 45
9090
45
Sea R la longitud del radio de la circunferencia circunscrita y DF=1 cm.
Por teorema del inscrito:
m AED=45
mDF = 90
En el DOF: notable 45, R = 22
Luego la longitud de la circunferencia es igual a
22
2pi
2
Respuesta 2
AlternAtivA A
PREGUNTA N. 30El volumen y el rea lateral de un prisma recto de base triangular son 50 m3 y 200 m2, respectiva-mente. Calcule el radio (en m) de la circunferencia inscrita en la base del prisma.
A) 0,25 B) 0,5 C) 1 D) 2 E) 3
Resolucin
Tema: Prisma rectoSe sabe que
A =pr
A
B Ca
bcrr
donde
pa b c
=
+ +
2
-
22
unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
Anlisis y procedimientoDatos:
V=50 m2
ASL=200 m2
AA
B Crr
Se pide r
Del primer dato
(pr)h=50 m2 (I)
Del segundo dato
2ph=200 m2 (II)
Del (I)(II)
r=0,5
Respuesta0,5
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 31En un tringulo ABC en el espacio, la altura relati-va a AC es 5 3 cm. Sus vrtices A y C estn en un plano horizontal P y el vrtice B es exterior a P de modo que el diedro B-AC-B (B es la proyeccin de B sobre P) mide 37. Si AB=10 cm, entonces la longitud de AB (en cm) es:
A) 10
B) 10,6
C) 127
D) 5 6
E) 6 5
Resolucin
Tema: Geometra del espacio (ngulo diedro)Cuando se pide calcular la medida de un ngulo diedro, recuerde que podemos utilizar el teorema de las tres rectas perpendiculares, y en el caso de que dicha medida sea dato, tambin podemos usar el teorema.
Anlisis y procedimientoPiden AB.
AB=x
B
x
AA
CC
MM
B'B'3737
1010
3355
33
AltrazarBM AC por teorema de las tres perpendiculares:
BM AC
Deldato:
mBMB=37
BBM: notable de 37 y 53
MB BB= =5 3 3 3'
Del ABB:
x2 2 23 3 10= ( ) +
x = 127
-
23
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Respuesta
127
AlternAtivA C
PREGUNTA N. 32Las diagonales de un trapecio dividen a este en cuatro tringulos. Si las reas de los tringulos adyacentes a las bases son A1 y A2, entonces el rea total del trapecio en funcin de A1 y A2 es:
A) A A A A1 2 1 2+ +
B) 2 1 2A A
C) A1A2
D) A A1 22
+( ) E) A A A A1 2 1 2+
Resolucin
Tema: rea de regiones cuadrangulares
Recuerde que si BC // AD
A D
B C
BBAA
A=B
BBCC
DD
AA
Se cumple que AC= BD
Anlisis y procedimientoNos piden A ABCD.
M O M
A1A1
A2A2
A D
B C
Delgrfico
A ABO=A COD=M
Entonces
A ABCD=A1+A2+2M (I)
Luego
A1A2=MM
M A A= 1 2 (II)
Reemplazamos(II)en(I)
A ABCD=A A A A1 2 1 22+ +
A ABCD= A A1 22
+( )
Respuesta
A A1 22
+( )
AlternAtivA D
-
24
unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
PREGUNTA N. 33En la figura, O es el centro del crculo trigonom-
trico. Si OA=1 u y tan , = 33
calcule el rea de
la regin sombreada (en u2).
OO A
. A) 79
B) 56
C) 67
D) 78
E) 89
Resolucin
Tema: rea del sector circularDe
rr
SS
S=r2
Adems
3a
a2a
30
Anlisis y procedimiento
30303030
30302r2r
11
rr
Y
X
C2
C1
Del dato
tan = 3
3
q=30
Si r es el radio de C 2, segn el grfico se tiene
3r=1
r = 13
Por lo tanto
A somb.=AC1 AC2
= ( ) pi pi1 13
22
=
89pi
Respuesta89
AlternAtivA e
-
25
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N. 34En la circunferencia trigonomtrica de la figura
mostrada, el arco pi pi2; , calcule el rea de
la regin sombreada. AM =
OA
X
Y
M
A) 12
12
coscos
B) 21
coscos
C) 12
21
coscos
D) 12
21
+
coscos
E) 12
12
+
coscos
Resolucin
Tema: Circunferencia trigonomtrica
Anlisis y procedimientoSe pide rea ABC
Del grfico
BHO CPO
=
cos1
1 hh
1
1 =cos
h
=
h1
1 cos
Y
XPP
4545
4545
hh
hh
1 h1 h A
B
C
M
OH
cos
1
A ABC=A AOB+A OCA
A ABC=1 12
12
11
+
( )cos
= +
12 11
1 cos
=
1221
coscos
Respuesta12
21
coscos
AlternAtivA C
PREGUNTA N. 35
Si tan tan ,47
37
xa
xb = =y entonces al
simplificar
E a b xx
= ( ) 1 72 2 tan( ) tan ; se obtiene:
A) a b B) a2 b2 C) a+b
D) ab E) a/b
-
26
unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO
Resolucin
Tema: Identidades trigonomtricas de arcos compuestos
Se sabe que
tantan tan
tan tanx y
x yx y
+( ) = +1
tantan tan
tan tanx y
x yx y
( ) = +1
Anlisis y procedimientoPiden simplificar la expresin E.
E a b x
x= ( ) ( ) 1 72 2 tan tan
Dato:
tan47x
a = y tan 37x
b =
Entonces
E a b
x x x x= ( ) + 1 47
37
47
37
2 2 tan tan
E a b
a bab
a bab
= ( ) +
+ 1 1 12 2
E a b
a b
a b= ( ) ( )
( )1 12 2
2 2
2 2
Finalmente
E=a2 b2
Respuesta
a2 b2
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 36
Si x pipi
;54
, determine el rango de la funcin
f x x x( ) = +1 2 sen cos
A) 022
;
B) 0; 1
C) 0 2;
D) 0 3;
E) 0 2 1; +
Resolucin
Tema: Funciones trigonomtricas
Anlisis y procedimiento
Piden el Ran(f ).
f x x xx( ) = + <
-
27
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Del grfico
0 < sen2x < 1
0 > sen2x > 1
1 > 1 sen2x > 0
1 > 1 2 sen x > 0
1 > f(x) > 0
Ran(f )=0; 1
Respuesta0; 1
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 37Para 0 < x < 1, resuelva la ecuacin
arccot arctanxx
=
11
A) +1 5
2
B) +1 4
2
C) +1 3
2
D) +1 2
2
E) +2 2
2
Resolucin
Tema: Funciones trigonomtricas inversas
arccot( ) arctan ;xx
x= >1 0
ax bx c xb b ac
a2
20
42
+ + = =
Anlisis y procedimientoDe la condicin
arccot arctan ;x
xx=
< 0.
tan = +3 2 3
tan2 21 12 3 =
sec2 1 21 12 3 =
sec2 22 12 3 =
Respuesta22 12 3
AlternAtivA B
PREGUNTA N. 39Si A, B y C son los ngulos de un tringulo, 1,2;
2,3 y 3 son las longitudes de sus lados opuestos
a dichos ngulos respectivamente y sen A=L,
calcule el valor de la expresin siguiente:
DA B A C B C
A B C=
+( ) + +( ) + +( )+ +
sen sen sencos cos cos53 42 35
A) L4
B) L6
C) L8
D) L10
E) L12
Resolucin
Tema: Resolucin de tringulos oblicungulosTeorema de senos:
aA
bB
cCsen sen sen
= =
Teorema de proyecciones
a=bcos C+ccos B
b=acos C+ccos A
c=acos B+bcos A
A
B
C
a
b
c
Anlisis y procedimientoSe pide calcular
D
A B A C B CA
C B A
=
+ + + + +
+
sen( ) sen( ) sen( )cos
180 180 180
53 42
ccos cosB C+ 35
DC B AA B C
=
+ +
+ +
sen sen sencos cos cos53 42 35
(a)
A
B
C
1,2
2,3
3
-
29
unI 2011 -IISolucionario de Matemtica
Por el teorema de senos tenemos
1 2 2 3 3,sen
,sen senA B C
= =
+ +
+ +=
1 2 2 3 3 1 2, ,sen sen sen
,senA B C A
+ +
=
6 5 1 2,sen sen sen
,A B C L
+ + =sen sen senA B CL65
12 (I)
Por el teorema de proyeccin tenemos
1,2=3cos B+2,3cos C
3=1,2cos B+2,3cos A
2,3=3cos A+1,2cos C
Sumando las tres relaciones
6,5=5,3cos A+4,2cos B+3,5cosC
65=53cos A+42cos B+35cosC (II)
Al reemplazar (I) y (II) en (a) se tiene que
D
L=12
RespuestaL12
AlternAtivA e
PREGUNTA N. 40Cul es la ecuacin de la circunferencia cuyo
centro est sobre la recta y+x=0. Adems, pasa
por los puntos (3; 4) y 3 2 7;( )? A) x2+y2=5
B) x2+y2=9
C) x2+y2=15
D) x2+y2=16
E) x2+y2=25
ResolucinTema: Ecuacin de la circunferencia
(h; k)
r
(x h)2+(y k)2=r 2
Anlisis y procedimientoEcuacin de la circunferencia:
C : (x h)2+(y k)2=r 2
Por dato
I. (h; k) L: y+x=0 k= h
Por lo tanto
C : (x h)2+(y+h)2=r 2
II. (3; 4) 3 2 7;( ) C entonces (3 h)2+(4+h)2=r 2
3 2 72 2 2
( ) + +( ) =h h r
Igualando, tenemos que h=0, entonces k=0
Luego
C : x2+y2=r 2
Como (3; 4) C
32+42=r 2 r 2=25
C : x2+y2=25
Respuestax2+y2=25
AlternAtivA e
top related