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EQUIPO EDITORIAL

ADMINISTRACIÓN GENERAL DE EDITORIAL

Luis Tuesta Reategui

EDITORA GENERAL

Alida Valencia García

JEFATURA DE EDICIONES

Rolando Bartolo M.

COORDINADOR EDITORIAL

Mario Mendoza Gloria

SUPERVISORA DE ACADEMIASMercedes Nunura Sánchez

COORDINACIÓN DE MATERIALES EDITORIALMónica Camarena Z.

DIRRECIÓN GENERAL DE LÍNEAElena Trujillo

COORDINACIÓN DE MATERIALESElizabeth Geronimo Ayala

PROFESORES RESPONSABLES

• John Gonzáles • Sergio Bautista

• Jorge Manrique • Juan Ramos

• Ruben Quispe • Jesus Bustillos

• Aaron Ramos • Carlos Flor Vicente

• Ernesto Quispe • Adriano Ynfanzon

• Deivhy Montiel

PRE PRENSA DIGITAL

• Sergio Hookings Larenas • Veronica Pacherres Ato

• Betty Picoy Rosas • Maribel Quispe Condori

• Linda Romero Corrales • Ynes Romero Corrales

• Karina Ubillus López • Jose Siesquén Aquije

• Julissa Ventocilla Fernandez • Sara Yañez Urbina

© Derechos Reservados

Ediciones e Impresiones Paz de Corporación Educativa Pamer S.A.C.

Prohibida la reproducción total o parcial de este volumen

Edición 2013

www.pamer.edu.pe

Estimado amigo:

Has elegido postular a la UNI, y por ello desde ya te felicitamos, puesto que, sin duda,eres una persona a la que le gustan los grandes retos. Por tal motivo, la CorporaciónEducativa PAMER te brinda el solucionario del examen de admisión UNI 2013 - II, quees una excelente herramienta que te ayudará a absolver dudas, reforzar conocimientos yconocer el modelo de preguntas que propone el examen de admisión UNI.

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Nuestro equipo de profesores es especialista en preparación UNI y desarrolla un altonivel académico con clases dinámicas. A nuestros profesores realmente les interesa queaprendas y, con la finalidad de que puedas consultar y pedir ayuda cada vez que lorequieras, te brindan toda la confianza necesaria.

Sin duda, somos un equipo sólido y es por eso que tenemos la seguridad de que estematerial que hoy tienes en tus manos te beneficiará. Estamos y estaremos gustosos deayudarte siempre que lo necesites.

Tus amigos,

Corporación Educativa Pamer

5Pág.4Pág.

8. Dadas las siguientes proposiciones:

I. Si A es una matriz cuadrada tal queA2 = A, entonces AK = A, K� ��.

II. Si B es simétrica, entonces –B2 es anti-simétrica.

III. C es matriz cuadrada tal que CK = 0

para algún K��, entonces K

i

i 11 C�

=

+ es

inversible.¿Cuáles de las siguientes proposiciones sonverdaderas?A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I y IIE) I y III

9. La siguiente figura da la idea de tres planosinterceptándose según la recta LLLL . ¿Cuál(es)de los sistemas de ecuaciones dados repre-senta a la figura dada?

I. 2x + 3x – z = 1

–x + 5y + 2z = 4

x + 8y + z = 5

II. x – y + 3z = –2

–2x + 2y – 6z = –4

–x + y – 3z = 2

III. 2x – y + z = 3

–x + 3y – z = 1

x – 2y + 2z = 2

A) Solo I B) I y IIIC) Solo III D) I, II y IIIE) Solo II

MATEMÁTICA PARTE 1

1. Sean A, B conjuntos del mismo universo U.Señale la alternativa que presenta la secuen-cia correcta, después de determinar si la pro-posición es verdadera (V) o falsa (F).

I. �

�

= +

–

Card(A B) Card(A) Card(B)Card(A B)

II. �

�

=

+ –

Card(P(A B)) Card (P(A))Card (P(B)) Card(P(A B))

donde P(A) es el conjunto potencia de A.

III. Si � =Card(A B) 0 entonces �=A o �=B .

A) VVV B) VVFC) VFF D) FFVE) FFF

2. Encuentre el conjunto solución de la ecuación:x8 – 257x4 + 256 = 0

A) 2, 2i, 4i, 4� � � ��

B) 4, 4i, 1, i� � � ��

C) 4, 2i, 2, i� � � ��

D) 1, i, 3, 3i� � � ��

E) 3, 3i, 4, 4i� � � ��

3. Sea �� f : una función, donde � es elconjunto de los números racionales, tal que:

I. + = +f (r s) f(r) f(s)

II. �=f (rs) f(r) f(s)

III. =f (1) 1

Señale, la alternativa que permite la secuen-

cia correcta, después de determinar si la pro-

posición es verdadera (V) o falsa (F):

I. � ��=f(n) n, n

II. � ��=f(r) r, r

III. � ��=m nf(n ) m , m, n

A) VVV B) VVF

C) VFF D) FFV

E) FFF

4. La función f(x) = ax2 + bx + c es inyectiva

en � +2; y g(x) = ax2 + bx + d es inyectiva

en – ; 2 . Halle el valor de 4a + b, sabien-

do que a 0�� .

A) –2 B) –1 C) 0D) 1 E) 2

5. El valor numérico de:

5 4 3P(x) x (3 3 3)x 9 3x 5x 7 3= + = – + +

para x 3 3= es:

A) 20 3 B) 22 3

C) 24 3 D) 26 3

E) 28 3

6. Dada la ecuación:(log2 2x)2 + (log2 0,5x)2 + (log2 0,25x)2 = 5El menor valor de sus raíces es:

A) 1 B) 3 2

C) 2 D) 3

E) 3

7. Señale la gráfica que mejor representa a lafunción f(x) = y en su dominio.

A) B)

C) D)

E)

10. Sea la sucesión (ak), donde:

k1a k Ln 1k

��

�= +

Entonces podemos afirmar que:A) (ak) converge a 1.

B) (ak) converge a 1Ln 1k

�� + .

C) (ak) converge a Ln 2.D) (ak) converge a 0.E) (ak) no converge.

11. Sabiendo que se cumple:a b c = 0a + b + c = 1Halle el valor de:

2 2 2 3 3 3a b c a b cK2 3

+ + + += –

A) 0 B) 1/6 C) 1/3D) 1/2 E) 1

12. Un sistema de n ecuaciones con n incógnitasse puede expresar como Ax = b, donde A esuna matriz cuadrada de orden n x n, b esuna matriz de orden n x 1 y las incógnitas sonlos elementos de la matriz x de orden n x 1. SiS es el conjunto solución del sistema Ax = b,entonces podemos afirmar que:A) S �= o S es infinito..B) Los elementos de S pueden ser hallados

por la regla de Cramer.C) Si los elementos de b son mayores que 0,

entonces S �= o S es un conjunto unitario..D) Si A es inversible, entonces S es finito.E) Si los elementos de b son todos iguales a

cero, entonces no podemos utilizar la reglade Cramer para hallar los elementos de S.

13. Un juego de azar (tipo lotería) consiste enelegir 5 números diferentes de los primeros30 números naturales. Cada persona queparticipa en este juego compra 26 jugadasdiferentes. Calcule la cantidad mínima de ju-gadores que se necesita para ganar el juego.A) 2349 B) 3915 C) 5481D) 6264 E) 7047

7Pág.6Pág.

14. Si los coeficientes del primer y último términodel desarrollo del binomio (3a2x3 + ay4)20

son iguales (a > 0), determine el coeficientedel décimo octavo término.

A) 211903

B) 213803

C) 201903

D) 203803

E) 193803

15. Determine la cantidad de números de cuatrocifras en base 8, que contienen al número tres.A) 1520 B) 1522C) 1524 D) 1526E) 1528

16. Al multiplicar un número A de cuatro cifraspor 999 se obtiene un número que terminaen 5352. Calcule la suma de las cifras delnúmero A.A) 18 B) 19 C) 20D) 21 E) 22

17. Considere el mayor de los números N cuyadescomposición en sus factores primos deuna cifra es a 3 u r2 5 m 3� � � , sabiendo quecuando se divide por 40 se obtiene otro nú-mero de 54 divisores y además a + u + r < 9.Calcule la suma de sus cifras.A) 9 B) 10 C) 12D) 15 E) 18

18. Consideremos la expresión:

E 0, 3 a 0, 33 a 0, 333 a� � �= + +

Determine el valor de a de manera que E estálo más próximo posible a 1,0740.A) 1 B) 2 C) 3D) 6 E) 9

19. Las raíces cúbicas inexactas de dos enterospositivos son dos números consecutivos y susresiduos, en cada caso, son los máximos po-sibles. Halle la suma de estos números si ladiferencia de sus residuos es 54.

A) 1416 B) 1524C) 1727 D) 1836E) 1976

20. Sean 1 2 na ,a ...,a 0;� cualesquiera, n \ {1}��

arbitrario y MA(n), MG(n) y MH(n) su media

aritmética, media geométrica y media ar-

mónica respectivamente. Indique la alterna-

tiva correcta después de determinar si cada

proposición es verdadera (V) o falsa (F), en

el orden dado:

I. nG A HM (n) M (n)M (n) ; n \ {1}� ��=

II. A H 1 2 nM (n) M (n) a a ...a ; n \ {1}� ��= =

III.2

1 2A G

A G

(a a )M (2) M (2)

4 (M (2) M (2))+

– =+

A) VVV B) VFFC) FVF D) FFVE) FFF

MATEMÁTICA PARTE 2

21. Calcule el resultado, simplificado de la siguien-te expresión:E = 25 sen5° sen10° sen50° sen70° sen85°

sen110° sen130°

A)14 B)

12 C) 1

D) 2 E) 4

22. En la figura:

Si a = 3, b = 25, c = 26, mtgn

�= donde m

y n son primos entre sí, calcule m + n.A) 727 B) 728 C) 729D) 730 E) 731

23. Dada la ecuación en el plano complejo:

(1 i) z (1 i) z 2 0– + – + =

determine la ecuación cartesiana.A) 2x + 2y + 1 = 0B) x + y + 1 = 0C) 2x – 2y + 1 = 0D) –x + y + 1 = 0E) –2x + y + 2 = 0

24. Halle el dominio de la función:

3f(x) 17 arc sec x2

��

= –

A) 1 5; ;2 2

� � �� – –

B) 1 5; ;2 2

� � �� –

C) 3 1; ;2 2

� � �� – –

D) 1 1; ;2 2

� � �� – –

E)5 3; ;2 2

� � �� – –

25. En la figura mostrada, las ruedas A y B dan2n y n vueltas respectivamente (n > 2) desdesu posición inicial, hasta el instante en quellegan a tocarse; además, rA = 1 u y rB = 9 u.Calcule D en u.

A) 10 n� B) 15 n 1�+

C) 20 n 2�+ D) 22 n 4�+

E) 22 n 6�+

26. El área de un triángulo cuyos vértices sonA(x; y), B (3; 4) y C(5; –1), es 7 u2. Ademásy + 3x = 4 y x > –2. Calcule x + y.

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

27. En la circunferencia trigonométrica adjunta,determine:

área del PORárea del RQO

��

A) csc (2 ) 1� + B) csc ( ) 1� +

C) sec ( ) 1� + D) sec (2 ) 1� +

E) sec (2 ) 2� +

28. Sean xf(x)2 �� = , g(x) = sen(2x), para:

3x ; ; 22 2� � � ��

Entonces podemos afirmar que:

A) f(x) g(x)�

B) f(x) g(x)��

C) f(x) g(x)�

D) f(x) g(x)��

E) f(x) g(x), x ; y g(x) f(x)2� ��

�� ,

3x ; 22� ��

9Pág.8Pág.

29. Se da un trapecio en el cual la base menormide b. Si la base mayor es 8 veces la basemenor (figura), y se divide trapecio en 3 tra-pecios semejantes por dos paralelas a lasbases, halle el valor de x (la menor paralela).

A) 2b B) 2,5 b C) 3b

D) 1,5 b E) 3,5 b

30. En la figura, el triángulo ABC recto en B, BH

es la altura, BD es la bisectriz del ángulo ABH

y BE es la bisectriz del ángulo HBC. Si AB = 7 u

y BC = 24 u. Calcule el valor del segmento

DE (en u).

A) 4 B) 5 C) 6D) 8 E) 9

31. Se tiene un triángulo equilátero ABC inscritoen una circunferencia de radio r = 6 cm, siM es el punto que divide al arco AB en partesiguales �(M C), entonces el área de la regióntriangular AMB en cm2 es:

A) 8 3 B) 9 3

C) 10 3 D) 11 3

E) 12 3

32. En un triángulo ABC, AB = 4 u, BC = 6 u.Se traza DE paralela a BC donde los puntosD y E pertenecen a los segmentos AB y ACrespecticamente, de modo que el segmentoBE sea bisectriz del ángulo B. Calcule el valorde BD (en u).A) 1,8 B) 2,0 C) 2,2D) 2,4 E) 2,8

33. Dos segmentos paralelos en el plano tienenlongitudes 3 cm y 1 cm respectivamente. Si ladistancia entre esos segmentos es de 1 cm,calcule el radio de la circunferencia que pasapor los extremos de dichos segmentos.

A) 32

B) 52

C) 72

D) 92

E) 2,5

34. Se colocan ocho monedas de igual radio, tan-gentes dos a dos, tangencialmente alrededorde una moneda de mayor radio, entonces larelación entre el radio de la moneda mayor yel radio de la moneda menor es:

A) –

–

2 22 2

B) 2 12 2

–

–

C) –

–

2 12

2 2D) –

–

2 14

2 2

E) –

–

2 18

2 2

35. ABCD-EFGH es un hexaedro regular. Si O esel centro de ABCD y R es punto medio deHG. Halle la medida del diedro que formanel plano BRD y la cara EFGH.

A) Arc tan 2 B) Arctan(2)

C) Arc tan 2 2 D) Arc tan 3 2

E) ��

7 2Arc tan2

36. En la figura: O, O1, O2, O3 y O4 son centrosde circunferencias, donde A, B, C y D sonpuntos de tangencia. Si AO = 1 cm, entoncesel área de la superficie sombreda es:

A) 1,85 B) 1,90 C) 1,95

D) 2,00 E) 2,14

37. De un recipiente lleno de agua que tiene laforma de un cono circular recto de 20 cm deradio y 40 cm de altura, se vierte el agua a unrecipiente cilíndrico de 40 cm de radio, en-tonces a qué altura, en cm, se encuentra elnivel del agua en el recipiente cilíndrico.

A) 5 B)103 C)

52

D) 2 E)53

38. En un tronco de prisma triangular oblicuo, lalongitud del segmento que une los baricentrosde sus bases es 16 cm. Calcule la longitud dela menor arista (en cm), si éstas están enrazón de 3, 4 y 5.A) 4 B) 8 C) 12D) 16 E) 48

39. En un semicírculo cuyo radio mide R cm, seinscribe un triángulo rectángulo ABC ( ACdiámetro) tal que al girar alrededor de lahipotenusa genera un sólido, cuyo volumenes la mitad de la esfera generada por dichosemicírculo. Entonces el área de la superficieesférica es el área de la región triangular ABCcomo:

A) �83

B) �3 C) 4�

D) �163

E) �8

40. Si el perímetro del desarrollo de la superficielateral del octaedro mide 30 u; determine lasuperficie lateral del poliedro mencionado.

A) 214 3 u B) 216 3 u

C) 218 3 u D) 220 3 u

E) 222 3 u

10Pág. 11Pág.

RESOLUCIÓN 1

TEMA: Conjuntos

Ubicación de incógnitaEvaluar la veracidad de las proposiciones conrespecto a dos conjuntos: A y B.

Análisis de los datos o gráficosGráfico general:

Operación del problema

= + –� �I. Card(A B) Card(A) Card(B) Card(A B)

+ + = + + + – = + +a b c (a b) (b c) b a b c (V)

(A B) (A) (B)

(A B)

II. Card(P ) Card(P ) Card(P )

Card(P )�

�

= +

–

= + –� �n(A B) n(A) (B) n(A B)2 2 2 2

+ + + += + –a b c a b b c b2 2 2 2

+ = + –a c a c2 2 2 1

• Como: + ++� �x y x y2 2 2 ; x;y ��

Entonces + + + –� �a c a c a c2 2 2 2 2 1

la proposición es falsa: (F)

III.Card(A B) 0 A ó B� � = = =

Se sabe: = =� � � Card(A B) 0 A B

Luego A y B son disjuntos (no necesariamen-te son vacíos) la proposición es falsa (F).

Conclusiones y respuestaConclusión: VFF

Respuesta: C) VFF

RESOLUCIÓN 2

TEMA: Ecuaciones II

Ubicación de incógnitaDeterminar el CS de una ecuación

Análisis de los datos o gráficos

– + =8 4x 257x 256 0


– – =4 4(x 1)(x 256) 0

+ – + – =2 2 2 2(x 1)(x 1)(x 16)(x 16) 0

+ – + – + – + – =(x i)(x i)(x 1)(x 1)(x 4i)(x 4i)(x 4)(x 4) 0Aquí reconocemos que:

= = = =� � � �x i;x 1;x 4i;x 4

Conclusiones y respuesta

=! � � � �CS 4; 4i; 1; i

Respuesta: B) � � � �4; 4i; 1; i

RESOLUCIÓN 3

TEMA: Función

Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de verdad de las proposicio-nes

Análisis de los datos o gráficosI. f(r + s) = f(r) + f(s)II. f(rs) = f(r).f(s)III. f(1) = 1

Operación del problemaPrimera proposición:• Verdadero

En efecto de (I) y (III) tenemos:f(n) = n.(1)f(n) = n.1

f(n) = n; � �n ��

Segunda proposición:* Verdadero

En efecto de (I) y (II) tenemos:

= = � � �" "� � � � � ��

p 1 1f f p f(p) f ; p,q P.E.S.Iq q q

= = = � " " " "� ��

p p1 1f f(p) f(1) p 1q f(q) q q

Tercera proposición:* Falso

En efecto según la primera proposición estaproposición no es verdadera, por ejemplo sin = 1 # m = 2 se tendrá f(1) = 2

Conclusiones y respuesta!Valor verdadero = VVF

Respuesta: B) VVF

RESOLUCIÓN 4TEMA: Funciones

Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de 4a + b.


�

�

2

2

f(x) ax bx c ; x 2

g(x) ax bx d ; x 2

= + +

= + +

Operación del problemaComo f y g son inyectivas:

b 22a– =

b 4a– =


! 4a b 0+ =

Respuesta: C) 0

RESOLUCIÓN 5

TEMA: Funciones

Ubicación de incógnita

Determinar un valor numérico P(3 3)


P(x) x (3 3 3)x 9 3x 5x 7 3$ 5 4 3+ + +_ _

x 3 3=



P(3 3) 22 3! =

Respuesta: B) 22 3

RESOLUCIÓN 6

TEMA: Logaritmación en �


Determinar la menor raíz de la ecuación dada.


x x(Log (2x) Log Log 52 4

� � � ��

2 22

2 2 2+ =

13Pág.12Pág.


3

(1 Log x) (Log x 1) (Log x 2) 5

3(Log x) 4(Log x) 1 0

(3Log x 1)(Log x 1) 0

1Log x Log x 13

x 2 x 2

2 2 22 2 2

22

2

2

2

2

2

+ + +

– +

– –

= =

=

=

=

=

=

_ _

%%%%

%%%%


! Menor raíz = x = 3 2

Respuesta: B) 3 2

RESOLUCIÓN 7

TEMA: Funciones

Conclusiones y respuestaAsí:Para esbozar la gráfica de la función f es necesa-rio conocer la regla de correspondencia, y comoésta no se da en el problema no se puede determi-nar la gráfica de f.

Nota: Falta información

Respuesta: Falta información hace falta

conocer la regla de correspondencia

RESOLUCIÓN 8TEMA: Matrices

Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de verdad de las proposiciones.

Análisis de los datos o gráficosI. Verdadero

Por condición A = A2

Luego A1 = A, A2 = A, A3 = A2 . A =A .A=A,...Por inducción se prueba Ak = A, K� ��

En caso los planos no sean paralelos, son secantes

Conclusiones y respuestaPor lo tanto:• El sistema I, corresponde a planos secantes

dos a dos que se intersectan en una recta yaque el sistema presenta infinitas soluciones.

• El sistema II, las 2 últimas ecuaciones corres-ponden a planos paralelos.

• El sistema III, corresponde a 3 planos que seintersectan en un punto, ya que el sistematiene una solución.

Respuesta: A) Solo I

RESOLUCIÓN 10TEMA: Sucesiones


kkLím a�


k1a k.Ln 1k

��

= +

Operación del problemak

kk k k

1 1Lím a Lím k Ln 1 Lím Ln 1k k� � �

� � � �� = + = + =

k

k

1Ln Lím 1 Ln e 1k�

� �&� ��

= =


Por lo tanto la sucesión ka converge a 1.

Respuesta: A) ka converge a 1

RESOLUCIÓN 11TEMA: Ecuaciones


+ + + += –

2 2 2 3 3 3a b c a b cK2 3

Análisis de los datos o gráficos� � =a b c 0

a + b + c = 1

Operación del problema• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

sup. ab + bc + ac = x, se tiene:2 2 2a b c 1 2x+ + = –

• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc1 – 3x = a3 + b3 + c3

Conclusiones y respuestaPor lo tanto:

– –= – =

1 2x 1 3x 1K2 3 6

Respuesta: B) 16

RESOLUCIÓN 12TEMA: Sistema de ecuaciones


Estudio del sistema A x b� =

Análisis de los datos o gráficos• A x b� = (ecuación correspondiente a un sis-

tema de ecuaciones)• A: Matriz de n×n (matriz de coeficientes li-

neales)• b: matriz de n×1 (matriz de términos inde-

pendientes)• x: Matriz de incógnitas de n×1


• En caso �A 0, el sistema presenta una solu-ción, esto implica que su conjunto solución Ses unitario.

• En caso A 0= , el sistema puede presentar

infinitas soluciones o bien no admite solución.

Operación del problemaII. Falso

Por condición B = BT, luego supongamos A = –B2

T 2 T 2 T T 2 2A ( B ) (B ) B ) B A(– – – = – == = =

esto implica que A es simetrica.III. Verdadero

Por condición kC 0,= luego R 1C 0+ = .

1

1

1

1

I C C ... C (C I)(C I)

I .(C I)

I . (C I)

I . C I 0

'

'

'

'�

2 k+ + + + – –

= – –

– –

– –

=

=

=

k + 1

Pues cada factor es no nulo, esto implica que:I + C + C2 + ....+ Ck es inversible

Conclusiones y respuestaLas propiedades I y III son verdaderas.

Respuesta: E) I y III

RESOLUCIÓN 9TEMA: Sistema de ecuaciones

Ubicación de incógnitaAsociar el gráfico dado con algún sistema deecuaciones dados.

Análisis de los datos o gráficosEl gráfico dado corresponde a tres planos secan-tes en una recta.


Consideremos ax by cz dmx ny pz q()*

+ + =

+ + =

Si a b c dm n p q

�= = = se trata de 2 planos coin-

cidentes.

Si a b c dm n p q

� �= = se trata de 2 planos paralelos.

Por condición B

15Pág.14Pág.

Conclusiones y respuestaPor lo tanto, si �A 0 (lo que equivale decir, A esinversible) el conjunto solución S es finito.

Respuesta: D) Si A es inversible, entonces S

es finito

RESOLUCIÓN 13TEMA: Análisis combinatorio

Ubicación de incógnitaEl número mínimo de jugadores que compraron26 boletos cada uno.

Análisis de los datos o gráficosSea el número de jugadores: xPara que x sea mínimo, cada jugador compra 26boletos diferentes y diferentes entre cada jugador.

Operación del problemaTotal de boletos: 26xComo se escoge 5 números de 30

Total de boletos

Luego:

Conclusiones y respuestax = 5481

Respuesta: C) 5481

RESOLUCIÓN 14TEMA: Potencia de un polinomio


Coeficiente de 18T


Es dado 202 3 43a x ay+

1 21Coef t coef t=

�a o


(i)20 K K20 2 3 4

K 1 Kt C 3a x ay ;

K 0,1, 2..., 20�

–

+ =

(ii) 1 21

20 40 20 1

De coef t Coef t

3 a a a 3+ +� –

=

= =

(iii)3 1720 2 3 4 9 68

18 17 19380t C 3a x ay x y3� �= =


Por lo tanto 18 19380Coef t3

=

Respuesta: E) 19

3803

RESOLUCIÓN 15

TEMA: Numeración

Ubicación de incógnitax = cantidad de números de 4 cifras en base 8

que contienen 3.

Análisis de los datos o gráficosDel total de números de 4 cifras de base 8, resta-remos el total de números de 4 cifras que noutilizan la cifra 3, quedando las que utilizan el 3.

Operación del problema* Total de números de 4 cifras en base 8:

8a b c d a: 1, 2, 3, ...; 7 (7 valores), , , , b: 0, 1, 2, ...; 7 (8 valores)

Total = 7-8-8-8 c: 0, 1, 2, ...; 7 (8 valores)= 3584 d: 0, 1, 2, ...; 7 (8 valores)

Sin utilizar cifra 3:Total = 6 - 7 - 7 - 7= 2058

Conclusiones y respuestaLuego, quedan:Total: 3584 – 2058 = 1526

Respuesta: D) 1526

RESOLUCIÓN 16TEMA: Cuatro Operaciones

Ubicación de incógnitaCalcule la suma de cifras A.

Análisis de los datos o gráficosA es un número de cuatro cifrasA multiplicado por 999 termina en 5352


abcd 999 ...5352- =

abcd 1000 1 ...5352- – =

Conclusiones y respuestad = 8 c = 4 b = 6 a = 2A = 2648!!!!Suma de cifra A es: 2 + 6 + 4 + 8 = 20

Respuesta: C) 20

RESOLUCIÓN 17TEMA: Clasificación Z+

Ubicación de incógnitaCalcule la suma de cifras del mayor N.

Análisis de los datos o gráficos• La descomposición canónica de N en facto-

res primos de una cifra.

• La ��

NCD 5440=

• a + u + r < 9


De la descomposición:

- - -a 3 u rN 2 5 m 3=

m = 7 (primo de una cifra)


- - -a 3 2 u rN 2 5 7 3 (D.C.)40

–=

� -� ��

NCD (a 2)(u 1)(r 1) 3 5440= – + + =

��2 3 3

(a 2) (u 1) (r 1) 18– + + =

- - -4 3 2 2N 2 5 7 3=

N = 882 000

Suma de cifras de N es 18.

Respuesta: E) 18

RESOLUCIÓN 18

TEMA: Racionales


Determinar el valor de a.


E 0,3a 0,33a 0,333a= + +

debe ser lo más próximo a 1,0740


Se define:

�

0,3a 0,33a 0,333a 1,0740+ +

33a 33 333a 3333a 3 1,074090 900 9000

�– ––

+ +

�8667 11a 1,07409000+

�a 9

Conclusiones y respuesta! El máximo valor de a = 9

Respuesta: E) 9

17Pág.16Pág.

RESOLUCIÓN 19TEMA: Potenciación - Radicación

Ubicación de incógnitaS: suma de dos números cuyas raíces cúbicas sonconsecutivas y sus residuos son máximos.

Análisis de los datos o gráficosSean los números A y B y sus raíces cúbicas:k y k + 1Residuo máximo con A = 3k(k + 1)Residuo máximo con B = 3(k + 1)(k + 2)

3 3A k 3k(k 1) (k 1) 1= + + = + –

3 3B (k 1) 3(k 1)(k 2) (k 2) 1= + + + + = + –


Dato: �3(k 2)(k 1) 3(k 1)k 54 k 8+ + – + = =

Luego: 3A 9 1 728= – =

3B 10 1 999= – =

Conclusiones y respuestaPor lo tanto: A + B = 1727

Respuesta: C) 1727

RESOLUCIÓN 20TEMA: Promedios

Ubicación de incógnitaDeterminar si es verdadero (V) o falso (F) cadaproposición.


Sea 1 2 3 na , a , a ,..., a 0 ,� ; ��n 1

MA(n): media aritméticaMG(n): media geométricaMH(n): media armónica

I. nMG(n) MA(n) MH(n) ; n- � ��= solo se cum-ple para: n = 2 o a1 = a2 = a3 = ... = an enlos demás casos no cumple. (F)

II. MA(n) × MH(n) = a1a2...an; � ��n 1 .Es igual a la proposición (I), elevado al expo-nente n. (F)

III.2

1 2a aMA(2) MG(2)

4(MA(2) MG(2))+

– =+

Multiplicando:

2 221 24 MA(2) (MG(2)) a a– = +

2 21 2 1 2a a a a– = + (F)

Conclusiones y respuestaLuego: FFF

Respuesta: E) FFF

RESOLUCIÓN 21

TEMA: Ángulos múltiples


. . .

. . . . . . .��5

Cos5 Sen70 Sen150E 2 Sen5 Sen10 Sen50 Sen70 Sen85 Sen110 Sen130=


� � �

� � � �

Sen2 2Sen Cos

Sen3 4Sen Sen 60 60

=

– +=


. . . . . . .4E 2 .2Sen5 Cos5 Sen10 Sen50 Sen70 Sen50 Sen70=

. . . . . .E 4Sen10 Sen50 Sen70 4Sen10 Sen50 Sen70=

. .E Sen30 Sen30=


1E4=

Respuesta: A)14

RESOLUCIÓN 22TEMA: Resolución de triángulos



• �CotA CotB CotC Cot+ + = ... (I)

• /323 323CosA CotA325 36

= =

• /5 5CosB CotB13 12

= =

• /7 7CosC CotC25 24

=– = –

Reemplazando en (I):

�323 5 7 Cot36 12 24+ – =

� 625Cot72

=

� 72 mTan655 n

= =

Conclusiones y respuestam y n son PESIm + n = 727

Respuesta: A) 727

RESOLUCIÓN 23TEMA: Números complejos


1 i z 1– i z 2 0– + + =


1 i x yi x yi xi y x y y x i

1 i x yi x y y x i

2 x y

0,

0

– + + – + + + –= =

+

– + + – –= =

+=


2 x y 2 0

x y 1 0

+ + =

+ + =!!!!

Respuesta: B) x y 1 0+ + =

RESOLUCIÓN 24

TEMA: Función inversa


��

� �

� �

3f x 17 ArcSec x2

3 3x 1 x 12 2

5 1x x2 2

–=

– – –��

��

� � � �� 1 5pf : ; ;2 2

– + � � � � � � � �

Respuesta: B) 1 5; ;2 2� � ��

– + � � � �

RESOLUCIÓN 25

TEMA: Longitud de Arco


19Pág.18Pág.


D = dA + dB + 6 ... (I)


1vdn

2 r�

d 2n(2 .1) 4 n...(II)

d n(2 .9) 18 n...(III)

� �

� �A

B

1 11 11 11 1

1 11 11 11 1


Reemplazando (II) y (III) en (I):

�D 22 n 6= &&&&

Respuesta: E) &&&&22 n 6�

RESOLUCIÓN 26

TEMA: Geometría analítica




2S = |20 + 3y – x – (–3 + 4x + 5y)| =

2S = |15 + x| = 14

• 15 + x = 14 / x = – 1 # y = 7

• 15 + x = –14 / x = –29 # y = 91

• x > –2

! x + y = –1 + 7 = 6

Respuesta: C) 6

RESOLUCIÓN 27TEMA: Circunferencia trigonométrica



��

=+

y Sen21 1 Cos2


Respuesta: D) Sec2 1� +

RESOLUCIÓN 28

TEMA: Funciones trigonométricas


xf(x) sen T 42� �= =

g(x) sen 2x T� �= =



f(x) g(x)

xsen sen(2x)2

3x ; ; 22 2

�

�

� � � ��

Respuesta: B) �f(x) g(x)

RESOLUCIÓN 29

TEMA: Semejanza


Calcule: MN = x



b x xy ...(1)x y b

/2

= =

yx y 8bx...(2)y 8b

/ 2= =

(1) en (2): x 8bxb

��

22=


x 2b! =

Respuesta: A) 2b

RESOLUCIÓN 30TEMA: Triángulos

Ubicación de incógnitaDE = x

Análisis de los datos o gráficosAB = 7, BC = 24además: AC = 25

21Pág.20Pág.

Operación del problemaIdentificamos los triángulos isósceles BAE y BCDdonde AB = AE = 7 y BC = CD = 24.

Conclusiones y respuestaDel gráfico:

AD = 1 / AE = 1 + x = 7

x 6! 1111

Respuesta: C) 6

RESOLUCIÓN 31

TEMA: Área de Regiones Planas


Calcule: A �AMB = Sx

Análisis de los datos o gráficosr = 6

mAM = mMB = 60°


MB : L6 / MB = r = 6

Como mAM =mMB

/ AM = MB = 6

AMBC: Inscrito

m�AMB = 120

Sx = (6)(6)2

Sen120


!Sx =9 3

Respuesta: B) 9 3

RESOLUCIÓN 32TEMA: Semejanza


Piden: BD = x


Aplicando el teorema de la bisectriz:

AE 4EC 6=

/ AE = 2k y EC = 3k

�BDE: Isósceles BD = DE = x


�DAE �BAC

x 2k6 5k=


x 2, 4=

Respuesta: D) 2,4

RESOLUCIÓN 33TEMA: Semejanza

Ubicación de incógnitaCalcule: R


BC = 1, AD = 3 y CH = 1

BC // AD


ABCD: Trapecio IsóscelesAT = HD = 1

CHD: =CD 2

AHC: =AC 5Teorema del Producto de 2 lados

=2 5 (1)(2R)


! =5R2

Respuesta: B) 52

RESOLUCIÓN 34TEMA: Poligonos regulares


R ?r=


Reconocemos que el triángulo AOB es triángulo ele-mental del octógono regular (circunradio = R + r)


Puesto que: 8AB L=

tenemos que: AB OA 2 2= –

2r R r 2 2� = + –

2r R r2 2

= +

–

2rR r2 2

= –

–


R 2 1r

2 2= –

–

Respuesta: B) '

'

2 12 2

23Pág.22Pág.

RESOLUCIÓN 35

TEMA: Geometría del Espacio


Calcule la medida del diedro PR = x.


R: Punto medio de HG.


TL = LG = a

ET = TG = TH = FT = 2a

ETH: EH = 2a 2

AE = EH = OT = 2 2a

OTL: Tanx = 2a 2a

Tanx = 2 2


! x = arctan(2 2)

Respuesta: C) (2 2 )

RESOLUCIÓN 36

TEMA: Áreas


Área de la región sombreada = Sx


Del gráfico por segmentos circulares congruentes.


=AB ( 2)

=2

xS 2


Sx = 2

Respuesta: D) 2

RESOLUCIÓN 37

TEMA: Sólidos geométricos


Calcule: h


cono cilíndroV V=


� �2 21 20 40 40 h3

. .=


10h3=!!!!

Respuesta: B) 103

RESOLUCIÓN 38

TEMA: Tronco de prisma

Ubicación de incógnitaPiden: Menor arista: BE = 3K


1 2AD // G G // MN

Operación del problemaEn el trapecio EBCF

3k 4k 7kMN2 2+

= =

En el trapecio ANMD

+

7k5k m 2m216

m 2m

. .+

=

de donde k = 4

Conclusiones y respuestaBE = 3(4) = 12

Respuesta: C) 12

RESOLUCIÓN 39TEMA: Esfera - Teorema de Pappus


Calcule: �

sup. esférica

ABC

A

A


�SG ABC1V2= SGV

Operación del problemaPor teorema de Pappus:

� ��

+ 30 h 0 2R h 1 42 R3 2 2 3

.. .

+=

/ =h R

�

� �2sup . esférica

ABC

A 4 R R4h2R hA

2

= =

24Pág.


�

�sup .esférica

ABC

A4

A=!!!!

Respuesta: C) 4�

RESOLUCIÓN 40

TEMA: Poliedros regulares


Piden: =SL SLoctaedro regularA A


=del desarrollo2p 30

Operación del problema10a = 30

a = 3= 2

SLA 2a 3= 2

SLA 2(3) 3

Conclusiones y respuesta! =SLA 18 3

Respuesta: C) 18 3

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