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MATE 3031
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 13
MATE 3031
Razones de cambio: aplicaciones
Recuerde que si y = f (x) , entonces la derivadadydx
se puede interpretar
como la razón de cambio de y con respecto a x . En esta sección sepresentarán ejemplos de aplicaciones a la física, química, biología,economía, entre otros.Recuerde, en la sección 2.7 se estudió razón de cambio:
Cambio en x : Dx = x2 − x1Cambio en y : Dy = f (x2)− f (x1)
Cociente de diferencias:DyDx
=f (x2)− f (x1)
x2 − x1La razón de cambio promediode y con respecto a x enel intervalo [x1, x2]
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 13
MATE 3031
El límite de la razón de cambio cuando Dx ! 0 es la derivada f 0 (x) , querepresenta la razón de cambio instantánea de y con respecto a x y por lanotación de Leibnitz, se tiene:
dydx= lim
Dx!0
DyDx
Aplicaciones:FísicaSi s = f (t) es la función de posición de una partícula que se mueve en
línea recta, entoncesDsDt
representa la velocidad promedio sobre el
intervalo de tiempo Dt y v =dsdtrepresenta la velocidad instantánea.
La razón de cambio instantánea de la velocidad con respecto del tiempo
es la aceleración, a (t) , es decir: a (t) =dvdt=d2sdt2
.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 13
MATE 3031
Ejemplo1. Una partícula se mueve de acuerdo a s (t) = 0.01t4 − 0.03t3, s en piesy t en segundos:a. Halle la velocidad v (t)
b. Halle la velocidad después de 3 segundos
c. ¿Cuándo la partícula está en su posición de descanso?
d. ¿Cuándo la partícula se mueve en su dirección positiva?
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 13
MATE 3031
e. Halle la distancia total recorrida en los primeros 8 segundos.
f. Trace un diagrama del movimiento de la partícula
g. Halle la aceleración después de 3 segundos
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 13
MATE 3031
2.Se muestran las gráficas de la función posición de dos partículas, dondet es dado en segundos. Determine cuando las partículas estan acelerandoy desacelerando
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 13
MATE 3031
3. Si una bola se lanza hacia arriba con un velocidad inicial de 80pies/seg, entonces su altura después de t segundos es s = 80t − 16t2.a. Determine el tiempo que la bola alcanza su altura máxima
b. Determine la velocidad cuando la bola está a una altura de 96 pies,subiendo y bajando
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 13
MATE 3031
BiologíaSea n = f (t) el número de individuos en una población animal o deplantas en el tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre lostiempos t = t1 y t = t2 es Dn = f (t2)− f (t1) y la razón de cambiopromedio en el intervalo de tiempo [t1, t2] es:
DnDt
=f (t2)− f (t1)
t2 − t1La razón de cambio instantánea de crecimiento es dada por:
limDt!0
DnDt
=dndt
4. Suponga que una población de bacterias se cuadriplica cada hora yempieza con 500 bacterias. Encuentre una expresión para el número debacterias n después de t horas y usela para estimar la razón de cambiopromedio de la población después de 2.5 horas.
.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 13
MATE 3031
EconomíaSuponga que C (x) es el costo total de una compañía que incurre alproducir x unidades de un cierto producto. La función C es llamada lafunción de costo. S el número de unidades del producto aumenta de x1a x2, entonces el costo adicional es: DC = C (x2)− C (x1) y la razón decambio promedio es:
DCDx
=C (x2)− C (x1)
x2 − x1=C (x1 + Dx)− C (x1)
Dx
La razón de cambio instantánea del cambio del costo es llamado el costomarginal por los economistas, y es dado por:
Costo marginal = limDx!0
DCDx
=dCdx
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 13
MATE 3031
5 La función de costo para producir un determinado producto es
C (x) = 339+ 5x − 0.09x2 + 0.0004x3
a. Halle e interprete C 0 (100)
b. Compare C 0 (100) con el costo de producir la unidad 101.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 13
MATE 3031
6 Una piedra se lanza a un lago, creando ondas circulares que se seexpanden a una velocidad de 60 cm/sg. Halle la razón a la cual el áreadentro del círculo está aumentando, después de:a. 1 seg.
b. 3 seg
c. ¿Qué puede concluir?
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 13
MATE 3031
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 13
MATE 3031
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 13
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