lista de ejercicio de teoria de semigrupos

Universidad Nacional de TrujilloFacultad de Ciencias Fısicas y MatematicasDepartamento de Matematicas

Conjunto de problemas Nro 1(Teorıa de semigrupos)

1. Sea X el espacio de Banach de dimension finita. Si A : X −→ X es un operador lineal acotadosobre X, demostrar que G(t) = etA es un grupo uniformemente continuo sobre X.

2. Sea X = `2 ={

x = (ξk)k∈N : ξk ∈ C y∑∞

k=1 |ξk|2 < ∞}

. Si se define {S(t)}t≥0 tal que para

cada x ∈ `2,S(t)x =

{e−k2txk

}k∈N

∈ `2 para cada t ≥ 0,

demostrar que {S(t)}t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo sobre X.

3. Sea 1 ≤ p < ∞ y X = Lp(R). Si para cada f ∈ Lp(R) se define {G(t)}t≥0 como

G(t)f(x) = f(x + t) c.t.p en x ∈ R.

Demostrar que {G(t)}t≥0 es un grupo fuertemente continuo sobre X. (Grupo de traslaciones enLp(R), 1 ≤ p,∞)

4. Sea 1 ≤ p < ∞ y X = Lp(0, 1). Si para cada f ∈ Lp(R) se define {S(t)}t≥0 como

(S(t)f)(x) =

{f(x− t) si t < x < 1

0 en otros casos.

Demostrar que {S(t)}t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo. (Semigrupo de traslaciones enLp(0, 1), 1 ≤ p,∞)

5. Sea X = L2(R) y defina la distribucion de probabilidad Gaussiana Nt : R −→ R, tal que para cadat > 0,

Nt(x) =1√2πt

e−x22t .

Si para cada u ∈ L2(R) se define

S(t)u(x) =

{∫RNt(x− ξ)u(ξ)dξ, si t > 0

u, si t = 0.

Demostrar que {S(t)}t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo sobre X. (Semigrupo gaussiano)

6. Sea X = B(X) el espacio de la funciones continuas y acotadas sobre R con la norma ‖f‖ =supx∈R |u(x)|. Defina

S(t)u(x) = e−λt∞∑

k=0

(λk)k!

u(x− kµ), para t > 0.

Demostrar que {S(t)}t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo sobre X.

Trujillo, mayo, 12 del 2011

Presentacion via electronica: 10/06/2011 (aulicesz@gmail.com)

Presentacion fısica: 13/06/2011

Sustentacion ejercicios 1,2 y 3: 13/06/2011

Sustentacion ejercicios 4,5 y 6: 14/06/2011

1