ley del coseno

ESCUELA SUPERIOR POLITÉNICA DEL LITORAL

Allison Elena Moreira Vega

27 de julio de 2012

• Introducción• Ley del Coseno• Demostración• Ejercicio• Bibliografía

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros lados, menos el doble producto de estas longitudes por el coseno del ángulo que forman.

c2 = a2 + b2 – 2ba. Cos γ

------------------A

B

C

c

b

a

s M

Ley del Coseno con respecto al lado c

Cos γ = b – s / a

Despejamos s

a . Cos γ = b – ss = b – a . Cos γ 1

h

γ

Por teorema de Pitágoras sacaremos la hipotenusa del triangulo AMB

c2= s2 + h2

2Para calcular el triangulo

CMB por el teorema de Pitágoras tendremos: a2 = h2 + (b-s)2

3 3

h2 = c2 - s2

h2= a2 - (b-s)2

Igualamos las ecuaciones 2 y 3 en las que despejamos h

2 = 3c2 - s2 = a2 - (b-s)2

Lo resolvemos

c2 - s2 = a2 - (b2-2bs+s2)

c2 - s2 = a2 -b2+2bs-s2

c2 = a2 -b2+2bs

h2 = c2 - s2 2

h2= a2 - (b-s)2 3

s = b – a . Cosγ

1

Como ya tenemos solo una s la remplazamos con la s de la primera ecuación

c2 = a2 -b2+2bs

c2 = a2 -b2+2b (b – a . Cosγ)

Por propiedad distributiva tendremos

c2 = a2 -b2+2b2 – 2ba. Cos γ

c2 = a2 + b2 – 2ba. Cos γ

Las tres variables, depende del lado y el ángulo que estemos buscando

b2 = a2 + c2 – 2ac. Cos β

c2 = a2 + b2 – 2ba. Cos γ

c

ab

60º

A B

C

Solución:

Ejercicio 1

100 millas

150 millas

?

Entonces por definición de congruencia de triángulos sabemos que β: 120º Aplicamos la ley de Cosenos con respecto al lado bb2 = a2 + c2 – 2ac cos(120º)b2 = (1oo millas)2 + (150 millas)2 – 2(1oomillas )(150 millas) (-1/2)b2 = 1oooo millas2 + 225oo millas2 – 15000millas2

b2 = 47500 millas2

b = √47500 millas2

b = 217, 9449 millas

Ejercicio 2

Solución :

b

c a

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A C

B

7m

5m 8m

Aplicamos la Ley de los Cosenos:b2 = a2 + c2 – 2ac cos(β)Despejamos:cos(β) = a2 + c2 – b2 / 2accos(β) = (8m)2 + (5m)2 – (7m)2 / 2(8m)(5m)cos(β) = 40m2/ 80 m2

cos(β) = ½ β = cos -1 (½) β = 60º

• Fundamentos de matemáticas ESPOL • http://

www.youtube.com/watch?v=UDdxdYZav4A

• https://sites.google.com/site/timesolar/teoremapitagoras/leycoseno