la plática del día de hoy forma parte de un esfuerzo conjunto que busca, principalmente, el...

• La plática del día de hoy forma parte de un esfuerzo conjunto que busca, principalmente, el motivar y promover el estudio de las matemáticas.

• El tema a tratar está relacionado con los temas de ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales y el de la tranformada de Laplacetranformada de Laplace.

• Tu presencia el día de hoy nos motiva a seguir participando en este esfuerzo conjunto.

• Comité organizador

“Modelación y Estudio de las ecuaciones diferenciales l.c.c.c. en el dominio de Laplace (frecuencia)

utilizando MATLAB-SIMULINK”

Maestro: Francisco Palomera Palacios

Departamento de Mecatrónica y Automatización,

ITESM, Campus Monterrey

fpalomera@itesm.mx

Motivación• Análisis y estudio intuitivo (no formal) de las

ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a través de la transformada de Laplace.

• Ilustrar el comportamiento de la respuesta de sistemas físicos con la ayuda del programa computacional MATLAB-SIMULINK.

El que haya personas interesadas en promoverpromover, motivarmotivar y escuchar sobre el tema de ecuaciones ecuaciones diferenciales y la Transformada de Laplacediferenciales y la Transformada de Laplace.

ModelaciónModelación de Sistemas Dinámicos utilizando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Sistema

Físico

Sistema (Físico)

a modelarFunción forzante

y(t)u(t)

Respuesta del sistema

-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)

- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)

- Sistema térmico (temperatura en un horno)

-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)

- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )

- Sistema Económico ( inflación)

- Sistema de producción (producción entre máquinas)

Relación causalRelación causal

Para obtenerobtener una ecuación diferencial, podemos utilizar:

• Leyes físicasLeyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema, rigen la relación causal entre las variables de interés.

• Pruebas experimentalesPruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria del sistema ante una función forzante conocida).

• Por analogíasanalogías de comportamientos entre sistemas que guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.

• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.

……

Sistemas físico: Temperatura en un horno

Horno

Flujo de

Combustible:

qi(t)

Temperatura:

T(t)horno

Temperatura

Flujo de gas

Relación causal

Sistema Físico:Llenado de un tanque

qo(t): C a uda l de s a lida

q i(t): C a uda l de e ntra da

A :área d el tanq ue

p(t): s eñal q ue regula el c aud al hac ia el tanq ue.

h(t): altura d el tanq ue

R h : res is tenc ia H id ráulic a

TanqueCaudal de entrada

qi(t)

Nivel: h(t);

Caudal de

Salida, qo(t)

Relación causal

Análisis de una ecuación diferencial lineal c. c. c.

2 -3t

2d y(t) dy(t)

+ 0.4 + 0.03 y(t) = 1.5 + Sen10t dtdt e

Sistema (Físico)

a modelar

u(t): Comportamiento deseado

La respuesta y(t) de un sistema mecánico ante una función forzante u(t) está definida por la ecuación diferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0

Función forzante

y(t)u(t)

Respuesta del sistema

)()(13.0)(

4.0)(

2

2

tutydt

tdy

d

ty

td

Función forzante: u(t)

deFun mación e gnituds calón 1.5;

multiplicada por Función una expoSenoid nenal cial

-3t= 1.5 + Senu(t) 10t e

Analogía de Sistemas de Primer OrdenR

Cv i(t): fuente d e vo ltaje

i(t):

vo(t)

v i(t): fuente d e vo ltaje

vo(t): vo ltaje d e s alid a

C : C ap ac ito r

R : R es is tenc ia

q o(t): C a uda l de s a lida

q i(t): C a uda l de e ntra da

A :área d el tanq ue

p(t): s eñal q ue regula el c aud al hac ia el tanq ue.

h(t): altura d el tanq ue

R h : res is tenc ia H id ráulic a

i

i

oo

oo

v (t)v (t)

v (t)

v (

d

dtd

dtv (t

)t) )

tv (

R.C

dc(t) + c(t) = .

dtτ K u(t) KK: Ganancia en estado estable

: Constante de tiempo

qi(t)

0(t)

dq0(t)

qdt

ddt

qi(t)+ q0(t) =

R.A

q0t

La transformada de LaplaceLa transformada de Laplace en la

modelación, estudio y soluciónmodelación, estudio y solución de

las ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales.

Relación entre f(t) y su equivalente F(s).

{ }f(t)L 0

-st df(t) te

{ }1

s 6

-6te

L

f(t)

tiempoj: Eje Imaginario

: Eje real

F(s)F(s)

Plano Complejo: s = + j

16 16

4 82

22 Se{ }

st =4

sn

2

L

26s 9 6s4 132

-3t 2 10 10

2 2 2(s+3) s

Sen2t5 =s

{ } 5e

L

EjemplosEjemplos

Principales funciones a obtener de una ecuación diferencial: G(s) y Y(s) Y(s)

Y(s)

U(s)c.i.=02) G(s)

Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran interés:

1) Y(S): 1) Y(S): La función respuestaLa función respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la función forzante)

; Función de transferenciaFunción de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y no se sustituye la función forzante.

n(s)

n(s) 0;ceros

K( K

K : ganancia

:

d

s a)...;

(s b)(s (s)

d(s) 0;p

c)...

olos

(o)

: (X)

jw

x

o o x

x

Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:

G(s)G(s) y Y(s)Y(s)

0 ., . 2)(

; . . 8.0)0(

);(2.1)()(

10

tparaideutu

ideuy

tutydt

tdy

ciaTransferendeFunciónss

sGsU

sY

sUyssY

sUsYyssY

tutydt

tdy

ic :

1.0

12.0

110

2.1)(

)(

)(

);()0(10]110)[(

);()()0(10)(10

)}({)}()(

10{

| 0..

LL

jw

X

-0.1

Para la ecuación diferencial

Solución:

RespuestaFunción :)1.0(

)3.0(8.0

)110(

4.28)(

4.288

22.1]110)[(

;2

2.1)8.0(10]110)[(

);(2.1)()0(10)(10

)}(2.1{)}()(

10{

ss

s

ss

ssY

s

s

sssY

sssY

sUsYyssY

tutydt

tdyLL

jw

o X X

-0.3 -0.1 0

Obtener: a) G(s)G(s) y, b) , b) Y(s)Y(s)

Obtención del valor inicial y final de Obtención del valor inicial y final de y(t)y(t)

RespuestaFunción :)1.0(

)3.0(8.0

)110(

4.28)(

ss

s

ss

ssY

1.0

6.14.2

1.0)(

sss

b

s

asY

0.8

1

8.0

)1.0(

)3.0(8.0

)1.0(

)3.0(8.0.)(.)0(

:

limlimlimlimssss s

s

ss

sssYsy

inicialvalordelTeorema

jw

o X X

-0.3 -0.1 0

4.1.0

)3.0)(8.0(

)1.0(

)3.0(8.0

)1.0(

)3.0(8.0.)(.)(

:final valor del Teorema

limlimlim000

2

s

s

ss

sssYsy

sss

2.4

0.8

t

Polo dominante

Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)Y(s)

1200

1600)(

1600]1200)[(

;0)()0(200)(200

80)0( ;0)()(

200

ssY

ssY

sYyssY

Cytydt

tdy

80200

1600

1200

1600)()0( limlim

ssssYy

ss

01200

1600)()( limlim

00

ssssYy

ss

Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento. Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y()

Teorema de valor inicial:

Teorema del valor final:

t

80 ºC

0 ºC

Programa MATLAB-SIMULINK (MATLAB-SIMULINK (basado en basado en la representación a bloquesla representación a bloques))

• Para modelar y analizarmodelar y analizar los elementos de una ecuación diferencial a partir de las ecuaciones de un sistema físico.

• Obtener la respuestaObtener la respuesta en el tiempo para una función Y(s).

• Obtener Obtener las gráficas de las diferentes variables dentro de mismo sistema físico, sin requerir obtener su representación en el tiempo.

• …

Modelación de una ecuación diferencial Modelación de una ecuación diferencial mediante Diagrama a bloquesmediante Diagrama a bloques.

1

As

o 0iH(s)

(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.Rh

1

Rh

Caudal de salida

Caudal

Acumulado==

Qi(s) +

Qo(s)

H(s)H(s) QQoo(s)(s)Qi(s) – Qo(s)

qo(t): C a uda l de s a lida

q i(t): C a uda l de e ntra da

A :área d el tanq ue

p(t): s eñal q ue regula el c aud al hac ia el tanq ue.

h(t): altura d el tanq ue

R h : res is tenc ia H id ráulic a

Caudal de entrada

)1( ...... dt

dh(t)AAv(t) (t)(t)(t) qqq acum0i

(2) ..... Rh

h(t)(t)q0

Simulación del sistema hidráulico utilizando la herramienta computacional Matlab-SimulinkMatlab-Simulink

Dos Tanques

dt

tdhAtttt qqqq acumi

)()()()()(

0201

Rq

Rq

h

h

tht

tht

202

101

)()(

;)(

)(

As

1

)( )()()()(0201

sHsAssss QQQQ acumi

RQ

RQ

h

h

sHs

sHs

202

101

)()(

;)(

)(

Rh1

1

Rh2

1

H(s)H(s)Qi(s)Qi(s) – Q01(s) – Q02(s)

Q01(s)

Q02(s)

-

+

-

h(t)

q i(t)

R h 1R h 2

q 0 1 (t)

A

p (t)

q 0 2 (t)

V 1 V 2

Modelaciòn y simulación del sistema de dos tanques mediante SIMULINK.

Gráficas de Simulación (tanque_1entrada_2salidas)

Flujo de salida q02(t)

Flujo de salida q02(t)

h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque

Qi(t): Flujo de entrada

Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensión de un auto

Masa: m

AmortiguadorResorte

z(t): desplazamiento

o respuesta del sistema

f(t)entrada: fuerza de entrada

tdd

tzmmafuerzas

i2

2

1

)(

Aplicación del sistema básico: masa-resorte-amortiguador

Simulación mediante SIMULINKSIMULINK

t

dd

tzmmaFuerzas 2

2 )(

dt

dz(t)B

)(

)(

)(

)(

)()(

tf

tf

tftff

oramortiguad

resorte

oramortiguadresortei

tzk

tfuerzas

Z(s)

k

B s

sm 2

1Fi(s)

F(s)resorte

F(s)amortiguador

Fi(s) - F(s)resorte – F(s)amortiguador = m s2 Z(s)

-

+

-

)(

)(

)(

)(

ssZB

sZk

sF

sF

oramortiguad

resorte

fi(t)

z(t)

Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK

Paso por un bache sencillo

Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos con superficie rugosa.

Agradecimiento

• Agradezco la invitación a este evento y me uno al esfuerzo y al interés mostrado no

sólo de los profesoresprofesores del Departamento de Matemáticas, sino también el de los

alumnosalumnos de los cursos de ecuaciones diferenciales, y a los voluntarios proactivosvoluntarios proactivos

para la organización de este evento.

En lo personal: gracias gracias a los organizadores, y a la audiencia que nos acompaña, por su tiempo para permitirme compartir un poco sobre el tema de la Transformada de Laplace.

Quedo a sus órdenes

• MaestroMaestro Francisco Palomera Palacios

• fpalomera@itesm.mx

• Departamento de Mecatrónica y Automatización, Campus Monterrey

Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo correspondiente)

• Para el caso del tanque con dos válvulas de descarga:

• 1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salida en ambas válvulas, si las dos válvulas están igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2

• 2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 ¿Cómo se afecta la altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuye el valor del área del tanque de un valor A = 4 m2, por el de A = 2 m2?

Parte 2: actividad

• Para la función )5)(2(

40210)(

2

sss

ssY s

Obtenga:1) Su expansión en fracciones parciales sin

calcular el valor de los coeficientes.2) ¿A qué función en el tiempo corresponde cada

uno de los término de la expansión realizada en el inciso anterior?

3) Obtenga el valor de y(0) y de y() a partir de la función Y(s).