investigacion de operaciones-uigv

Facultad de Ingeniería de Sistemas, Computación y Telecomunicaciones

IO98 - INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

1) Resolver los ejercicios de Programación Entera utilizando el Método de Ramificación y Acotamiento (Ver archivo Programación Entera).

2) Resolver los ejercicios DE PERT/CPM, elaborar su Diagrama de Red y Gráfico de Gantt (Ver archivo Modelos de Red).

3) Conceptos teóricos y aplicaciones de:

- Modelo de transporte

- Modelo primal y dual

Presentado por

Albites Azarte, Walter

Lima – PerúFebrero – 2014

INDICE

1. Resolver los ejercicios de Programación Entera utilizando el Método de Ramificación y Acotamiento.

2. Resolver los ejercicios DE PERT/CPM, elaborar su Diagrama de Red y Gráfico de Gantt.

3. Conceptos teóricos y aplicaciones de:Modelo de transporte, Modelo primal y dual.

PROGRAMACION LINEAL ENTERA

Resolver utilizando ramificación y acotamiento para los problemas PLE

1.- Max Z=X1+5X2

11X1+6X2<=66

5X1+50X2<=225

X1, X2>=0, ENTEROS

L1:11X1+6X2=66

L2:5X1+50X2=225

11 x (5X1 + 50X2 = 225) X2=4.12 X1=3.75

55X1 + 550X2 = 2475 (-) Z=24.35

55X1 + 30X2 = 330

P2: MAX Z=X1+5X2 P3: MAX Z=X1+5X2

S.a S.a

11X1+6X2<=66 11X1+6X2<=66

5X1+50X2<=225 5X1+50X2<=225

X1<=3 X1>=4

X1, X2>=0, ENTEROS X1, X2>=0 , ENTEROS

X1=3, X2=4.2 X1=4, X2=3.6

Z=24 Z=22.33

P4: MAX Z=X1+5X2 P5: MAX Z=X1+5X2

S.a S.a

11X1+6X2<=66 11X1+6X2<=66 5X1+50X2<=225

5X1+50X2<=225

X1<=3 X1<=3

X2<=4 X2>=5

X1, x2>=0 X1, X2>=0

X2=4 x1=3 NO FACTIBLE

X1<=3 X1>=4

X2<=4 X2>=5

Z=24.35

X1=3.75

X2=4.125

X2=4.2

Z=22.33

X2=3.5

NO INFALIBLE

RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=3 X2=4 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 23

87654321

3 4 6 7 8 9 11 X2

2.- MAX Z=8X1+5X2

X1+X2<=6

9X1+5X2<=45

X1, X2>=0, ENTEROS.

L1: X1+X2=6

L2: 9X1+5X2<=45

9 x (X1+X2=6)

9X1+9X2=54 (-)

9X1+5X2=45

X2=2.25

9X1+5X2=45

9X1+5(2.25)=45

9X1+11.25=45

X1=3.75

COTA SUPERIOR:

Z= 8X1+5X2 =8(3.75)+5(2.25)=41.25

COTA INFERIOR

Z=8(3)+5(2)=34

P2: MAX Z= 8X1+5X2 P3: MAX Z= 8X1+5X2

S.a S.a

X1+X2<=6 X1+X2<=6

9X1+5X2<=45 9X1+5X2<=45

X1=3 X2=3 X1>=4

X1+X2=6

P4: MAX Z=8X1+5X2 4+X2=6

S.a X2=1.8 Z=41

X1+X2<=6

9X1+5X2<=45

X2<=1 X1>=4 Z=37

P5: MAX Z=8X1+5X2 P6: MAX Z=8X1+5X2

S.a PROBABILIDAD INFALIBLE

X1+X2<=6

9X1+5X2<=45

X1>=4 X2>=2

PROBABILIDAD INFALIBLE

P7: MAX Z=8X1+5X2

X1+X2<=6

9X1+5X2<=45

X1>=4 X2<=1 X1>=5 Z=40

8765 PTO. OPTIMO4321

3 4 6 7 8 9 11 X2

X1<=3 X1>=4

X2<=1X2>=2

X1<=4 X1>=5

COTASUP.U=41.25

COTA INF=34

X1=3.75

X2=2.25

X2=1.8

PROBABILIDAD INFALIBLE

PTO. OPTIMO

3.-MAX Z= 5X1+2X2

3X1+X2<=12

X1+X2<=5

X1, X2<=0 ; X1, X2 ENTEROS

L1: 3X1+X2=12

L2: X1+X2=5

3 x (X1+X2<=5)

3X1+3X2=15 (-)

3X1+X2=12

X1=3.5 X2=1.5

COTA SUPERIOR

Z=5X1+2X2

Z=5(3.5)+2(1.5)=20.5

COTA INFERIOR

Z=5(3)+2(1)=17

P2: MAX Z=5X1+2X2

3X1+X2<=12

X1+X2=5 X1=3 X2=2 Z=19

P3: MAX Z=5X1+2X2

3X1+X2<=12

X1+X2=5

X1=4 X2=0 Z=20

X1<=3 X1>=4

PTO. OPTIMO

COTA SUPERIOR U=20.5

COTA INF. Z=17

X1=3.5

X2=1.5

8765 PTO. OPTIMO4321

3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2

4.-MAX Z=2X1+3X2

X1+2x2<=10

3x1+4x2<=25

X1, X2<=0 X1, X2 ENTEROS.

L1: X1+2X2=10

L2:3x1+4x2=25

0 6.25

8.33 0

P1: MAX Z= 2X1+3X2

2 x (X1+X2=10)

2X1+4x2=20 (-)

3X1+4X2=25

X1=5 X2=2.5

COTA INFERIOR:

Z=2X1+3X2

Z=3(5)+3(2)=16

COTA SUPERIOR

Z=2X1+3X2

Z=2(5)+3(2.5)=17.5

P2: MAX Z=2X1+3X2

X1+X2=10

3X1+4X2=25

X2=2 X1=5.7 Z=17.4 P4: MAX Z=2X1+3X2

P3: MAX Z=2X1+3X2 X1+X2=10

X1+X2=10 3X1+4X2=25

3X1+4X2=25 X2<=2 X1<=5 Z=16

X2=3 X1=4 Z=17 P6: MAX Z=2X1+3X2

P5: MAX Z=2X1+3X2 X1+X2=10

X1+X2=10 3X1+4X2=25

3X1+4X2=25 X2<=2 X1>=6 X2<=1 X1=7

X2<=2 X1>=6 X2=1.75 Z=17.25 Z=17

P7: MAX Z=2X1+3X2

X2>=2 X1>=6 X1=0.44

PROBABILIDAD NO FACTIBLE

X2<=2 X2>=3

X1<=5 X1<=6 PUNTO ÓPTIMO

X2<=1 X2>=2

COTA SUPERIOR U=17.5

COTA INF. Z=16

X2=2.5

X1=5.7

Z=17.33

X2=1.75

Z=17.25

PROBABILIDAD NO FACTIBLE

1098765 PTO. OPTIMO4321

3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2

5.- MAX Z=4X1+3X2

4X1+9X2<=26

8X1+5X2<=17

X1, X2>=0 X1, X2 ENTEROS

L1: 4X1+9X2<=26

0 2.89

L2: 8X1+5X2<=17

2.13 0

P1: MAX Z=4X1+3X2

2 x (4X1+9X2<=26)

8X1+18X2=52

X2=2.69 X1=0.44

COTA SUPERIOR:

Z= 4X1+3X2

4(0.44)+3(2.69)=9.83

COTA INFERIOR

Z=4(0)+3(2)=6

P2: MAX Z=4X1+3X2

4X1+9X2<=26

8X1+18X2=52

X1=0 X2=0.03 Z=10.2

4X1+9X2<=26 4X1+9X2<=26

8X1+18X2=52 8X1+18X2=52

X1=1 X2=1.8 Z=9.4 PROBABILIDAD INFALIBLE

4X1+9X2<=26 4X1+9X2<=26

8X1+18X2=52 8X1+18X2=52

X1<=0 X2=1 X1=1.5 Z=9 X1=1 X2=1 Z=7

PROBABILIDAD INFALIBLE X1=2 X2=0.2 Z=8.6

P9: MAX Z=4X1+3X2

X1=2 X2=0 Z=8

PTO. OPTIMO

1098765 PTO. OPTIMO4321

3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2L2

6.-MAX Z=4X1+5X2

3X1+2X2<=10

X1+4X2<=11

3X1+3X2<=13

X1, X2>=0 X1, X2 ENTEROS

L1: 3X1+2X2<=10

3.33 0

L2: X1+4X2=11

0 2.75

L3:3X1+3X2=13

0 4.33

4.33 0

P1: MAX Z=4X1+5X2

X1=1.33 X2=3

COTA SUPERIOR:

Z=4X1+5X2=20.32

COTA INFERIOR

Z=4(1)+5(3)=19

P2: MAX Z=4X1+5X2

X1=1 X2=2.5 Z=16.5

P3: MAX Z=4X1+5X2

X1=2 X2=2 Z=18

PTO. OPTIMO

L3765 PTO. OPTIMO

3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2L2

X1<=1 X1>=2

COTA SUP U= 20.32

COTA INF Z=19

X1=1.33

PROB INFALIBLE

PTO. OPTIMO

7.- NO SE ENTIENDE

8.-MAX Z=7X1+3X2

2X1+X2<=9

3X1+2X2=13

L1: 2X1+X2=9

L2:3X1+2X2=13

P1: MAX Z=7X1+3X2

2 x (2X1+X2=9)

4X1+2X2=18

3X1+2X2=13

X1=5 X2=-1

MODELOS DE RED, CPM Y PERT

1.Widgetco está a punto de introducir un nuevo producto (producto 3).Una ciudad del producto 3 se produjo ensamblado 1 unidad del producto1 y una unidad del producto 2.Antes que comience la producción del producto 1 o 2, se debe comprar las materias primas y capacitar a los trabajadores. Antes de poder ensamblar los productos 1 y 2 en el producto 3, es necesario inspeccionar el producto terminado 2.La tabla 12 es una lista de actividades y sus predecesores y de la duración de cada actividad. Para esto dibuje un diagrama de proyecto.

TABLA 1

ACTIVIDADES

ABCDEF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 SEMANAS

RESPUESTA LAS ACTIVIDADES TERMINA EN 38 SEMANAS

DIAGRAMA PERT, CPM CON RUTA CRITICA

C8 F12A6

2. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red

TABLA DE PRECEDENCIA PARA LAS TAREAS DEL PROYECTO DE PERIOD PUBLISHING COMPANY

GRAFICO GANTT

ACTIVIDADES

HGFEDCBA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 SEMANAS

2.- DIAGRAMA PERT, CPM CON RUTA CRITICA

A30 G14F8

PRIMERA LISTA DE ACTIVIDADES

3.- DIAGRAMA PERT

PRIMERA LISTA DE ACTIVIDADES CON TIEMPOS ESPERADOS (EN SEMANAS)

GRAFICO GANTT

ACTIVIDADES

JIHGFEDCBA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 SEMANAS

4.- DIAGRAMA DE RED PERT, CPM CON RUTA CRITICA

LISTA DE ACTIVIDADES DEL PROYECTO DE LA ASPIRADORA PORTA-VAC

5.- DIAGRAMA DE RED

FA E D

MODELO DE TRANSPORTE.

Tenemos una red de carreteras. Hay varios puntos donde se va a producir algo y otros puntos donde se va a demandar algo.

Conociendo los costes de transporte, hay que elegir el camino para que el coste sea el mínimo posible.

Elegir desde que centro de producción atenderemos a cada centro de demanda.

Solución:

Lo primero que haremos será definir las variables:

Pi ------ producción máxima de cada centro i

Cij ---- coste de transporte de un centro i a un centro de demanda j

dj ----- demanda máxima en cada centro j

F.O..: Minimizar Σ Xij * Cij

Siendo Xij lo que producido en el centro i vamos a mandarlo al centro j.

S.a..: Para todo i: Σ Xij ≤ Pi

Para todo j: Σ Xij ≥ dj

Para todo i,j: Xij ≥ 0

Este problema se podría complicar dando nuevas restricciones como podrían ser el tener una demanda máxima y otra mínima. Lo mismo se podría aplicar a la producción.

Otro tipo de restricciones que se podrían introducir vendrían dadas por la aparición de almacenes intermedios. En ellos podríamos almacenar lo que hiciese falta, para repartirlo en otro momento por otros vehículos. Esto sería un modelo de transbordo.

También se puede dar una capacidad máxima a cada almacén.

El método simplex, manteniendo su factibilidad por aplicación sucesiva del

criterio2, trata de conseguir la factibilidad del dual, a la vez que su optimalidad.

Vamos a ver un caso de dualidad.

PRIMAL

F.O.: Min Σ Cj Xj

S.a.: Σ aij Xj ≥ dj para j = 1,...,n

Siendo:

Cj ≡ coste de producción (función de la materia prima consumida).

Xj ≡ consumo de materia prima.

di ≡ demanda

F.O.: Max Σdi Yi para i = 1, ... , m

S.a.: Σ aij Yi ≤ Cj esto dice que no incremente los costes de producción.

Siendo:

Yi: Beneficio por satisfacer la demanda.

TEOREMA DEL MÉTODO DUAL.

El dual del dual es el primal.

DUAL-PRIMAL-DUAL entonces PRIMAL

P≡ Solución primal.

D≡ Solución dual.

Entonces se cumple:

P ≤ D

Si P = D entonces solución óptima.

Nota: Hay que tener en cuenta que una restricción del tipo:

2 X1 + 3 X2 + 5 X3 = 8 podemos transformarla en dos restricciones:

2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≥ 8

2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ 8 de aquí podemos pasar a:

-2 X1 – 3 X2 – 5 X3 ≤ -8

2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ 8

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