investigacion operaciones v3

INVESTIGACION DE OPERACIONES EN MINERIA

CONTENIDOCAPITULO I.............................................................................................................................................. 1INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES.........................................................11.1. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?...........................................................11.2. HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.....................................................11.3. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES...........................................21.3.1. Definición del problema.......................................................................................................21.3.2. Desarrollo de un Modelo Matemático y Recolección de Datos....................................31.3.3. Resolución del Modelo Matemático...................................................................................31.3.4. Validación, Instrumentación y Control de la Solución...................................................31.3.5. Modificación del Modelo......................................................................................................41.4. USOS Y VENTAJAS DE LOS MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES......41.5. RESUMEN.................................................................................................................................... 5CAPITULO II............................................................................................................................................ 6CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS.....................................................................62.1. PASOS GENERALES Y TÉCNICAS DE LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS....................................................................................................................................... 6

EJEMPLO 2.1 EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE CASE CHEMICALS Case Chemicals produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de Cleveland. Las empresas que compran estos solventes los usan para disolver ciertas sustancias tóxicas que se producen durante procesos de fabricación particulares. La planta opera 40 horas a la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete máquinas que mezclan ciertos químicos para producir cada solvente. Los productos salen del departamento de mezclado para ser refinados en el departamento de purificación, que actualmente tiene siete purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana.................................................................................................................................................. 6Identificación de las variables de decisión...................................................................................6Identificación de los datos del problema.......................................................................................7Identificación de la función objetivo..............................................................................................8Identificación de las restricciones..................................................................................................9Formulación matemática del problema........................................................................................10

2.2. EJEMPLOS DE FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS....................................112.2.1. Problemas de planeamiento de produccion...................................................................112.2.1.1. Planeamiento de produccion del Sindicato Minero Pacococha SA......................112.2.1.2. Planeamiento de produccion de una compañía minera...........................................132.2.1.3. Planeamiento de produccion de explosivos..............................................................152.2.1.4. Planeamiento de transporte de concentrado.............................................................162.2.1.5. Planeamiento de produccion de un taller de metalmecanica.................................18Producto................................................................................................................................................. 18Contribución......................................................................................................................................... 18($)/unidad................................................................................................................................................ 18Taladrado............................................................................................................................................... 18

Producto............................................................................................................................................. 19Contribución...................................................................................................................................... 19

Taladrado............................................................................................................................................... 192.2.1.6. Planeamiento de produccion de bombas...................................................................202.2.2. Ejemplos de problemas de redes: el problema de transporte....................................212.2.2.1. Transporte de automoviles............................................................................................212.2.2.2. Problema de transporte de Medequip Company.......................................................242.2.3. Ejemplos de problemas de redes: el problerma del flujo maximo.............................262.2.3.1. Problema de transporte de Hexon Oil Company.......................................................262.2.4. Administracion de inversiones, uso de variables binarias..........................................292.2.4.1. Problema de inversion de Centauro Gold Company................................................292.2.5. Ejemplos de problemas de diseño...................................................................................322.2.5.1. Problema de diseño de Containers Inc.......................................................................322.2.6. Problema de mezclas: aleaciones....................................................................................332.2.6.1. Problema de produccion de aleacion..........................................................................332.2.7. Problema de disminucion de contaminacion.................................................................35

Facultad de Ingeniería de MinasUniversidad Nacional del Altiplano

Derechos Reservados © MCA-FIM 2012

i

MSc Ing Mario Cuentas Alvarado

2.2.7.1. Problema de abatimiento de contaminacion de Nori&Leets Co.............................352.2.8. Problemas de mezclas........................................................................................................ 382.2.8.1. Problema de optimizacion de mezcla de Luz del Centro.........................................382.2.8.2. Problema de merzcla de crudos de Exxon Oil Co.....................................................402.2.8.3. Problema de mezclas de Ananea Chemicals Co.......................................................422.2.8.4. Problema de mezcla de gasolinas................................................................................43CAPITULO III......................................................................................................................................... 473.1. Modelos de programación lineal para decisiones de mezcla de productos................473.1.1. Problema de mezcla de Explosives Inc...........................................................................47En Explosives, Inc. se mezclan azufre, carbón y salitre para producir pólvora. El producto final debe contener al menos 10%, pero no más de 20%, de carbón por unidad de peso. La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la cantidad de carbón usado. Para evitar una explosión accidental, la suma de 50% del azufre mas 60% de carbón mas 30% del salitre usados no puede exceder 35% del producto final. El azufre es con mucho el componente más caro. Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ingrediente que debe utilizarse para producir cada libra de pólvora que satisfaga las restricciones y, a la vez, que requiera la menor cantidad de azufre....................................................................................................................................................... 473.1.2. Problema de mezcla de aditivos a gasolina...................................................................483.1.3. Problema de mezcla de petróleo de World oil Company.............................................503.1.4. Problema de mezcla de la Tomas River Chemicals.......................................................523.2. Modelos de programación lineal para decisiones de fabricación o compra................533.3. Modelos de programación lineal para decisiones de producción.................................583.4. Modelos de programación lineal para problemas de transporte....................................773.5. Modelos de programación lineal para administración de cartera de valores..............783.6. Modelos de programación lineal para problemas de mezclas........................................823.7. Modelos de programación lineal para planeación de producción agregada...............883.8. xx.................................................................................................. ¡Error! Marcador no definido.CAPITULO IV......................................................................................................................................... 95SOLUCIÓN A PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL USANDO SOFTWARE.................95USO DE SOLVER DE EXCEL.............................................................................................................. 95

EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA..................................................................................................................................... 95

USO DE SOLVER DE WinQSB...........................................................................................................98EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA..................................................................................................................................... 98

USO DE LINDO.................................................................................................................................... 103SINTAXIS DEL MODELO LINDO...................................................................................................103EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA................................................................................................................................... 103

CAPITULO IV....................................................................................................................................... 108ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD USANDO SOFTWARE:..................................................................108EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE CASE CHEMICALS........................108

CONCEPTOS BÁSICOS EN ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD......................................................1081. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON EXCEL..........................................................................109ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO........112ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS VALORES DEL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES (RECURSOS DISPONIBLES, RHS)..............................................................113ANÁLISIS PARAMÉTRICO DE LOS RECURSOS DISPONIBLES (VALORES DEL LADO DERECHO)....................................................................................................................................... 115

2. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON LINDO...............................................................................1173. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON WinQSB............................................................................117EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA....................................................................................................................................... 118

EJEMPLOS DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD USANDO SOFTWARE.....................................125CAPITULO V........................................................................................................................................ 152PROBLEMAS DE REDES DE DISTRIBUCIÓN: TRANSPORTACIÓN, ASIGNACIÓN Y TRANSBORDO.................................................................................................................................... 152

¿QUÉ ES UNA RED DE DISTRIBUCIÓN?...................................................................................152EL PROBLEMA DE TRANSPORTACIÓN.....................................................................................153EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN................................................................................................160



ii


EL PROBLEMA DE TRANSBORDO.............................................................................................168CAPITULO VI....................................................................................................................................... 173ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS:.............................................................................................173PERT - CPM......................................................................................................................................... 173

DESARROLLO DE LA RED DE PROYECTOS............................................................................174Identificación de las tareas individuales................................................................................174Obtención de estimaciones de tiempo para cada tarea......................................................175Creación de la tabla de precedencia para el proyecto.........................................................176Trazo de la red de proyectos....................................................................................................176ARCO............................................................................................................................................. 177ARCO FICTICIO........................................................................................................................... 177La red de proyectos para el proyecto de Santa Rosa Mining............................................179

ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS USANDO TIEMPOS DETERMINÍSTICOS (CPM).......179Cálculo del tiempo de terminación de proyecto.......................................................................180Identificación de las tareas críticas.............................................................................................181Administración de proyectos con tiempos determinísticos de tarea: uso de la computadora.................................................................................................................................... 184Expedición de un proyecto usando técnicas de crashing.....................................................186Obtención de datos de costos adicionales para las tareas....................................................187Desarrollo del modelo de choque...............................................................................................188Resolución del modelo de choque..............................................................................................192

ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS USANDO TIEMPOS DE TAREA PROBABILISTICOS (PERT)................................................................................................................................................... 192BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................................... 194



iii


CAPITULO I

INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

1.1. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?

En la ciencia de la administración (que también se conoce como investigación de operaciones), los administradores utilizan las matemáticas y las computadoras para tomar decisiones racionales en la resolución de problemas. Aunque algunos problemas son lo bastante simples como para que un administrador pueda aplicar su experiencia personal para resolverlos, en el complejo mundo actual muchos problemas no pueden resolverse de esta manera. La evaluación de cada alternativa es demasiado difícil o tardada debido a la cantidad y complejidad de la información que debe ser procesada o porque el número de soluciones alternativas es tan vasto que un administrador simplemente no puede evaluarlas todas para seleccionar una apropiada.

Las técnicas de la administración se aplican a las siguientes dos categorías básicas de problemas:

1. Problemas determinísticos, en los que toda la información necesaria para obtener una solución se conoce con certeza.

2. Problemas estocásticos, en los que parte de la información necesaria no se conoce con certeza, sino más bien se comporta de una manera probabilística.

La resolución de un problema determinístico es similar a decidir en cuál aerolínea comprar boleto para volar hoy de Nueva York a Los Ángeles dado que se pueden obtener exactamente las mismas tarifas en todas las aerolíneas. En contraste, considere hacer el mismo viaje dentro de un mes. El decidir si comprar el mejor boleto disponible hoy o arriesgarse a esperar una mejor tarifa es un problema estocástico, porque no se conocen las tarifas futuras. La obtención de soluciones a estos dos grupos de problemas de decisión -determinísticos y estocásticos- a menudo requiere de técnicas de administración muy diferentes.

1.2. HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

El campo de la administración surgió durante la Segunda Guerra Mundial, cuando había una gran necesidad de administrar los escasos recursos. La Fuerza Aérea Británica formó el primer grupo que desarrollaría métodos cuantitativos para resolver estos problemas operacionales y bautizó a sus esfuerzos como investigación operacional. Poco después, las fuerzas armadas estadounidenses formaron un grupo similar, compuesto por científicos físicos e ingenieros, cinco de los cuales posteriormente fueron laureados con el premio Nobel, Los esfuerzos de estos



1


grupos, especialmente en el área de la detección por radar, se consideran vitales en el triunfo de la guerra aérea de Gran Bretaña.

Después de la Segunda Guerra Mundial, los administradores de la industria reconocieron el valor de aplicar técnicas similares a sus complejos problemas de decisión. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y procedimientos correspondientes para solucionar problemas que surgían en áreas tales como la programación de refinerías de petróleo, la distribución de productos, la planeación de producción, el estudio de mercados y la planeación de inversiones. Estos procedimientos de soluciones se hicieron posibles con el advenimiento de computadoras de alta velocidad, porque la resolución del típico problema de investigación de operaciones requiere demasiados cálculos para ser realizados prácticamente a mano. El uso de técnicas de administración ha aumentado con los avances en los cálculos hasta el punto en que actualmente estas técnicas son empleadas rutinariamente en una computadora de escritorio para solucionar muchos problemas de decisión.

1.3. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

El uso de métodos cuantitativos para solucionar problemas, generalmente implica a mucha gente de toda la organización. Los individuos de un equipo de proyectos proporcionan información de sus áreas respectivas respecto a diversos aspectos del problema. El proceso de aplicar métodos cuantitativos requiere una sucesión sistemática de pasos ilustrados en la figura 1. 1. Cada uno de estos pasos se describe con detalle en esta sección.

Figura 1.1 La metodología de la investigación de operaciones.

1.3.1. Definición del problema

El primer paso es identificar, comprender y describir, en términos precisos, el problema que la organización enfrenta. En algunos casos, el problema está bien definido y es claro.

En otras situaciones, el problema puede no estar tan bien definido y puede requerir bastantes discusiones y consenso entre los miembros del equipo de proyectos. Por ejemplo, puede haber varios objetivos que entren en conflicto. Tal vez usted desee maximizar la satisfacción del cliente y, sin embargo, también minimizar los costos totales. Es improbable que pueda lograr ambas metas. Se tendrán que tomar decisiones corporativas respecto a un objetivo global. Algunas veces la cuantificación del objetivo mismo es difícil. Por ejemplo, ¿cómo se mide la "satisfacción del cliente"? Todas estas cuestiones deben resolverse y clarificarse por consenso del equipo de proyectos durante la fase de definición del problema.

1.3.2. Desarrollo de un Modelo Matemático y Recolección de Datos



2


Después de que el problema está claramente definido y comprendido, el siguiente paso es expresar el problema en una forma matemática, esto es, formular un modelo matemático. Una vez construido el modelo, existen muchas técnicas matemáticas disponibles para obtener la mejor solución, a pesar del vasto número de alternativas y/o de la complejidad implicada.

1.3.3. Resolución del Modelo Matemático

Una vez formulado un modelo matemático del problema, el siguiente paso es resolver el modelo, es decir, obtener valores numéricos para la variable de decisión. Para el ejemplo de las inversiones, esto significa obtener los mejores valores para S y B. La forma en que se obtengan estos valores depende de la forma o tipo específico del modelo matemático. Es decir, una vez que identifique el tipo de modelo que tiene, podrá elegir una técnica de administración apropiada para resolverlo. Estas técnicas pertenecen a una de dos categorías:

1. Métodos óptimos, que producen los mejores valores para las variables de decisión, es decir, aquellos valores que satisfacen simultáneamente todas las limitaciones y proporcionan el mejor valor para la función objetiva.

2. Métodos heurísticos, que producen valores para las variables que satisfacen todas las limitaciones. Aunque no necesariamente óptimos, estos valores proporcionan un valor aceptable para la función objetiva.

En contraste con los métodos óptimos, los métodos heurísticos son computacionalmente más eficientes y, por tanto, se usan cuando la obtención de soluciones óptimas lleva demasiado tiempo o es imposible porque el modelo es demasiado complejo.

Un objetivo de este curso es mostrar muchos métodos matemáticos diferentes y sus procedimientos de solución asociados. La mayor parte de las veces, se dispondrá de estos procedimientos en una computadora, y usted aprenderá cómo obtener e interpretar las soluciones al modelo.

1.3.4. Validación, Instrumentación y Control de la Solución

Después de resolver el modelo matemático, es extremadamente importante validar la solución, es decir, revisar la solución cuidadosamente para ver que los valores tienen sentido y que las decisiones resultantes puedan llevarse a cabo. Algunas de las razones para hacer esto son:

1. El modelo matemático puede no haber captado todas las limitaciones del problema real.

2. Ciertos aspectos del problema pueden haberse pasado por alto, omitido deliberadamente o simplificado.

3. Los datos pueden haberse estimado o registrado incorrectamente, tal vez al introducirlos a la computadora.

También es importante darse cuenta que aun cuando el modelo y la solución pueden ser válidos, tal vez no sea factible llevar a cabo una decisión basándose en esos resultados. Puede haber aplicaciones conductuales o políticas que no pueden incluirse en el modelo. Por ejemplo, el resultado de un modelo puede indicar que es más eficiente en cuanto a costos transferir algunos trabajadores del turno de día al de noche. Sin embargo, tal cambio puede enfrentar resistencia de los empleados (o administradores) por razones personales, políticas o de otra índole. Una forma de evitar este tipo de dificultades es incluir representantes de todos los grupos potencialmente afectados como parte del equipo de proyectos.

Los resultados y su posterior instrumentación deben supervisarse cuidadosamente, no sólo para asegurar que la solución trabaja según lo planeado, sino también porque el problema, los datos o ambos pueden cambiar con el tiempo.

1.3.5. Modificación del Modelo

Si durante el paso de validación se encuentra que la solución no puede llevarse a cabo, se pueden identificar las limitaciones que fueron omitidas durante la formulación del problema original o puede uno darse cuenta de que algunas de las limitaciones originales eran incorrectas y necesitan



3


mortificarse, En estos casos, debe regresarse a la etapa de formulación del problema y hacer cuidadosamente las modificaciones apropiadas para reflejar con más exactitud el problema real.

Este proceso de modificación de un modelo obteniendo la nueva solución y validándola, puede tener que repetirse varias veces antes de encontrar una solución aceptable y factible (véase la figura 1.1).

1.4. USOS Y VENTAJAS DE LOS MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

En general, los modelos matemáticos ayudan a los administradores a tomar dos tipos de decisiones: estratégicas y operacionales. Las decisiones estratégicas, generalmente decisiones de una sola vez, tienen un efecto sobre intervalos de tiempo relativamente largos. Considere las siguientes decisiones que probablemente tuviera que tomar como administrador:

¿Debería reemplazarse un sistema existente con un nuevo sistema recién propuesto? Por ejemplo, ¿debería convertir una de tres casetas de peaje en un carril expreso para carros de dos o más pasajeros? Otro ejemplo, ¿debería abrir una nueva instalación de producción?

¿Debería cambiar su política de administración? Por ejemplo, ¿debería reordenar inventarios a intervalos de tiempo regulares en lugar de cada vez que el nivel caiga por debajo de alguna cantidad especificada?

Como los modelos que construye para llegar a decisiones estratégicas generalmente se usan únicamente para hacer una determinación a largo plazo, no debe preocuparse demasiado por la cantidad de esfuerzo computacional requerido para obtener la solución. Es muy probable que las decisiones estratégicas tengan un impacto importante en la organización, así que debe dedicar la mayor parte de sus esfuerzos a asegurar que el modelo sea válido, que incluya todos los aspectos importantes del problema y que los datos sean lo más exactos posibles.

Las decisiones operacionales, por el contrario, afectan procesos en curso sobre periodos más cortos. Considere las siguientes decisiones operacionales que tal vez tenga que tomar regularmente:

· ¿Cómo puede la empresa programar de la manera más eficiente la fuerza de trabajo semanalmente?

· ¿Cuál es el plan de producción mensual óptimo?

· ¿Cuál es el plan de embarque más efectivo en costos para distribuir productos desde las plantas hasta los mercados al por menor?

A diferencia de los modelos para planeación estratégica, los modelos para decisiones operacionales se usan repetidamente. Por tanto, vale la pena gastar tiempo y esfuerzo extras en identificar o desarrollar los procedimientos de solución más eficientes, ya que hacerlo puede redituar ahorros significativos en costos computacionales con el tiempo.

Sin importar si se requiere de una decisión estratégica u operacional, los modelos matemáticos proporcionan los siguientes beneficios a los administradores:

a) Un método de determinación de la mejor manera de lograr un objetivo, como asignar recursos escasos.

b) Una forma de evaluar el impacto de un cambio propuesto o un nuevo sistema sin el costo y tiempo de llevarlo a cabo primero.

c) Una forma de evaluar la fortaleza de la solución óptima al hacer preguntas de sensibilidad de la forma "¿Qué sucedería si ... ?" Por ejemplo, ¿qué le sucedería al plan de inversión óptima y retribución anual si se esperara que el fondo de acciones produjera sólo 8% (en vez del 10% original)?

d) Un procedimiento para lograr un objetivo que beneficie a la organización global al incluir en el modelo consideraciones correspondientes a muchas otras partes de la organización.

1.5. RESUMEN



4


Los pasos generales comprendidos en la aplicación de las técnicas de la administración para resolver problemas de decisión determinísticos y estocásticos son los siguientes:

a) Definición del problema, mediante su identificación y comprensión de manera que pueda expresarle de manera precisa.

b) Desarrollar un modelo matemático, a menudo identificando variables de decisión, un objetivo matemático global y limitaciones.

c) Resolución del modelo, usando una técnica de administración apropiada.

d) Validación de la solución, usando la intuición y la experiencia para determinar si la solución obtenida del modelo tiene sentido y puede llevarse a cabo de manera realista. Si no, puede ser necesario que modifique el modelo adecuadamente para obtener la nueva solución.

e) Poner en práctica y supervisar la solución; si se encuentran resultados no anticipados, o si los datos cambian, necesitará modificar el modelo en consecuencia y validar la nueva solución.



5


CAPITULO II

CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

1.6. PASOS GENERALES Y TÉCNICAS DE LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS

En el capítulo 1 aprendió que el primer paso al usar técnicas de administración es identificar y describir el problema. El siguiente paso es formular el problema en un marco matemático. Esta sección proporciona pasos y técnicas sistemáticas que puede aplicar al formular sus propios modelos determinísticos. Para ilustrar, considere el problema enfrentado por la gerencia de producción de Case Chemicals.

EJEMPLO 2.1 EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE CASE CHEMICALS Case Chemicals produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de Cleveland. Las empresas que compran estos solventes los usan para disolver ciertas sustancias tóxicas que se producen durante procesos de fabricación particulares. La planta opera 40 horas a la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete máquinas que mezclan ciertos químicos para producir cada solvente. Los productos salen del departamento de mezclado para ser refinados en el departamento de purificación, que actualmente tiene siete purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana.

Case Chemicals tiene una provisión casi ¡limitada de la materia prima que necesita para producir los dos solventes. Case Chemicals puede vender cualquier cantidad de CS-01, pero la demanda del producto más especializado, CS-02, está limitada a lo más a 120 000 galones por semana. Como gerente de producción, usted desea determinar el plan de producción semanal óptimo para Case Chemicals. (¿Qué cantidad de cada solvente debe producir Case Chemicals para maximizar la ganancia?

El objetivo ahora es convertir esta descripción cualitativa del problema a una forma matemática que pueda resolverse. Este proceso es llamado formulación del problema y generalmente implica cuatro pasos, cada uno de los cuales es descrito en las siguientes secciones.

Identificación de las variables de decisión

El primer paso en la formulación del problema es identificar las variables de decisión, a menudo simplemente llamadas variables. Los valores de estas variables, una vez determinados, proporcionan la solución al problema. Para el ejemplo 2.1, usted puede identificarlas variables de decisión preguntándose qué información necesita proporcionar al personal de producción, los departamentos de mezclado y purificación, para que sepan cómo proceder. Su respuesta a esta pregunta debería ser:



6


1. El número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente.

2. El número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente.

Como los valores de estos elementos no se conocen todavía, a cada variable de decisión se le da un nombre simbólico. Usted puede elegir el nombre simbólico que quiera, pero encontrará útil seleccionar un nombre simbólico que le recuerde la cantidad que la variable de decisión representa. Para el ejemplo que estamos viendo, podría crear las siguientes variables, correspondientes a los dos elementos identificados anteriormente:

CS1 = el número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente


Observe que estas descripciones son precisas. Incluyen las unidades asociadas con las cantidades que las variables representan (miles de galones, en este caso). No es suficiente definir una variable como la "cantidad" de un elemento, porque para las otras personas que leyeran su formulación, el término "cantidad" podría tener varios significados (por ejemplo, miles de litros en este caso).

La necesidad de identificar las variables de decisión correctamente es vital. De otra manera, la formulación de un modelo válido que capte todos los aspectos del problema es imposible. La elección de estas variables no es única, y no existen reglas fijas. Sin embargo, las siguientes pautas son útiles en la identificación de un conjunto adecuado de variables de decisión para virtualizar cualquier problema.

CARACTERÍSTICAS CLAVE

Pautas generales para identificar variables de decisión

¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias (o, en general, el objetivo global)?

¿Qué elementos puede elegir y/o controlar libremente? ¿Qué decisiones tiene que tomar?

¿Qué valores, una vez determinados, constituyen una solución para el problema? Póngase en la posición de alguien que tiene que implantar su solución, y luego pregúntese qué información se requiere.

Para el ejemplo 2.l, las respuestas a todas estas preguntas son iguales y lo llevan a identificar las variables de decisión como el número de miles de galones de CS-01 y CS-02 por producir semanalmente.

Identificación de los datos del problema

La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las variables de decisión que ha identificado. Usted requiere conocer cierta información para ayudar a determinar esos valores. Por ejemplo, para determinar las cantidades reales de.los dos solventes a producir para maximizar las ganancias corporativas, necesitará saber:

1. El número de horas de trabajo disponibles en el departamento de mezclado.

2. El número de horas de trabajo disponibles en el departamento de purificación.

3. La cantidad de ganancias obtenidas al producir y vender cada tipo de solvente.

Estas cantidades constituyen los datos del problema. En problemas determinísticos, se requiere conocer (u obtener) estos valores en el momento de formular el problema. Para Case Chemicals:

1. Como se estableció en la descripción del problema, el departamento de mezclado tiene cinco trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno)y dos trabajadores de tiempo parcial (15 horas cada uno). Esto da un total de 230 horas de trabajo a la semana en el departamento de mezclado.

2. De manera similar, los seis trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno) y el trabajador de tiempo parcial (10 horas) representan un total de 250 horas de trabajo a la semana en el departamento de purificación.

3. El departamento de contabilidad estima un margen de ganancias de $0.30 por galón de CS-01 y de $0.50 por galón de CS-02, esto es, $300 por mil galones de CS-01 y $500 por mil galones de CS-02.



7


A diferencia de las variables de decisión, cuyos valores usted puede controlar, usted no puede controlar directamente los valores de los datos.


La necesidad de que algunos de los datos del problema pueden aclararse cuando especifica el problema. Otros datos pueden hacerse necesarios al desarrollar el modelo matemático y descubrir que se requiere información adicional para ayudar a determinar los valores de las variables de decisión.

Identificación de la función objetivo

El siguiente paso en la formulación del problema es expresar el objetivo organizacional global en forma matemática usando las variables de decisión y los datos conocidos del problema. Esta expresión, la función objetivo, generalmente se crea en tres etapas.

1. Establecer el objetivo en forma verbal. Para el ejemplo 2.1, este objetivo es:

Maximizar la ganancia semanal total de la producción de CS-01 y CS-02

2. Donde sea adecuado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia o producto de cantidades individuales. Para el ejemplo 2. 1, la ganancia total puede calcularse como la suma de la ganancia de CS-01 y la de CS-02:

Maximizar ganancia = (ganancia de CS-01) + (ganancia de CS-02)

3. Expresar las cantidades individuales matemáticamente usando las variables de decisión otros datos conocidos en el problema.

Para lograr la tarea en la tercera etapa, a menudo es útil elegir algunos valores específicos para las variables de decisión y luego usar esos valores para determinar la forma en que se calcula la función objetivo. Se hace referencia a esta técnica como trabajo a través de un ejemplo específico. En el ejemplo 2.l, supongamos que se producen 10 mil galones de CS-01 y 20 mil galones de CS-02 (así que CS, = 10 y CS 2= 20). El departamento de contabilidad le ha dicho que cada mil galones de CS-01 contribuye con $300 a la ganancia y que cada mil galones de CS-02 contribuye con $500. Se puede escribir:

Ganancia de CS-01 = 300(10) = $ 3 000 + Ganancia de CS-02 = 500(20) = $ 10 000

Ganancia total = $ 13 000

Sin embargo, el propósito de usar valores específicos para las variables no es obtener la ganancia total de estos valores, sino más bien ayudarlo a determinar cómo calcular el objetivo cuando los valores de las variables no se conocen explícitamente. En este problema, se puede ver fácilmente de los cálculos anteriores que si CS1 es el número no especificado de miles de galones de CS-01 y CS 2 es el número no especificado de miles de galones de CS-02 por producir, entonces la ganancia es:

Ganancia de CS-01 = 300CS1 + Ganancia de CS-02 = 500CS 2 Ganancia total = 300CSI + 500CS2

Por lo tanto, la función objetiva matemática expresada en términos de las variables de decisión y de los datos del problema es:

Maximízar 300CSI + 500CS2


Este problema ilustra las siguientes características clave:

Creación de la función objetivo mediante:

a. Enunciado del objetivo de manera verbal.

b. Cuando sea apropiado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia, y/o producto de términos individuales.

e. Expresar los términos individuales en (b) usando las variables de decisión y otros datos de problemas conocidos.



8


Identificación de las restricciones

Trabajar con un ejemplo específico para determinar cómo se expresa la función objetivo en una forma matemática, eligiendo valores específicos para las variables de decisión y realizando los cálculos necesarios.

Su objetivo es maximizar las ganancias. La función objetivo le dice que mientras más grande sea el valor de las variables, más grande será la ganancia. Pero el mundo real pone un límite en los valores que puede asignar a estas variables. En el ejemplo 2. 1, os departamentos de mezclado y purificación tienen ciertas restricciones físicas: un número limitado de horas de trabajo disponible cada uno. Estas limitaciones, así como otras consideraciones que imponen restricciones sobre los valores de las variables, son las restricciones. El paso final en la formulación del problema es identificar estas restricciones y escribirlas en forma matemática.

Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para constituir una solución "aceptable". Estas restricciones por lo general surgen de:

1. Limitaciones físicas (el número limitado de horas de trabajo en los departamentos de mezclado y purificación, por ejemplo).

2. Restricciones impuestas por la administración (por ejemplo, ésta pudo haber prometido una cierta cantidad de un producto a un cliente estimado).

3. Restricciones externas (por ejemplo, Case Chemicals no puede vender más de 120 mil galones de CS-02 a la semana, y no hay razón para producir más que la cantidad demandada).

4. Relaciones implicadas entre variables (por ejemplo, en el problema de inversión de Mark de la sección 1.1, las dos fracciones que representan la proporción de dinero a invertir en los dos fondos debe sumar l).

5. Restricciones lógicas sobre variables individuales (por ejemplo, el número de carros producidos debe ser un número entero, y Case Chemicals no puede producir una cantidad negativa de solventes).


Después de identificar estas restricciones, debe expresarías en forma matemática usando las variables de decisión y otros datos del problema. Este proceso es idéntico al usado para especificar la función objetivo.

Expresar las restricciones en forma verbal.

Cuando es apropiado, descomponer la restricción en una suma, diferencia y/o producto de cantidades individuales.

Trabaja con un ejemplo específico para expresar las cantidades individuales en una forma matemática, usando las variables de decisión y otros datos conocidos del problema.

Considere las restricciones del ejemplo 2. l.

RESTRICCIÓN DE TRABAJO EN EL DEPARTAMENTO DE MEZCLADO (LIMITACIÓN FÍSICA)

Forma verbal: Horas totales usadas en el mezclado no pueden exceder de 230 Horas

Descomposición: Horas usadas @ para CS-01 + Horas usadas @ para CS-02 no pueden exceder de 230

Matemáticas: para expresar las horas usadas para CS-0 1 y CS-02 en el departamento de mezclado trate de trabajar con un ejemplo específico. Por ejemplo, suponga que CS1 = 15 mil y que CS 2 = 10 mil galones. ¿Cómo calcula el número de horas usadas en el departamento de mezclado? Estos valores son datos del problema (además de los datos ya identificados en la sección 2.1.2) que usted debe obtener. Supongamos que usted llama al departamento de procesos y recoge los siguientes datos para los departamentos de mezclado y purificación:

HORAS POR MILES DE GALONES DE

CS-01 CS-02

Mezclado 2 1



9


Purificación 1 2

Resulta entonces fácil calcular las horas usadas en el departamento de mezclado trabajando con valores específicos de CS, = 15 y CS2 = 10:

Horas para 15 mil galones de CS-01 = 2(15) = 30

+ Horas para 10 mil galones de CS-02 = 1(10) = 10

Total de horas en el mezclado = 2(15) + 1(10) = 40

El propósito de usar este ejemplo numérico específico es ayudarle a escribir una restricción matemática general cuando los valores de las variables (CS, y CS2, en este caso) no se conocen. De los cálculos anteriores, usted obtiene la siguiente restricción matemática general:

2CSI +1CS2 < 230

RESTRICCIÓN DE TRABAJO EN EL DEPARTAMENTO DE PURIFICACIÓN (LIMITACIÓN FÍSICA)

Forma verbal: Horas totales usadas no pueden exceder de 250 en la purificación

Horas Horas

Descomposición: usadas + usadas no pueden exceder de 250

@ para CS-01 para CS-02

Matemáticas: 1CS1 + 2CS 2 < 250

RESTRICCIÓN DE LÍMITE (LIMITACIÓN EXTERNA)

La limitación de que a lo más pueden venderse 120 mil galones de CS-02 da pie a la siguiente restricción sobre el valor de CS 2 :

CS2 < 120

RESTRICCIÓN DE NO NEGATIVIDAD (LIMITACIONES LOGICAS)

Claro está que usted sabe que los valores de estas variables de decisión deben ser no negativos, esto es, cero o positivos. Tales restricciones implícitas de las que usted está consciente deben hacerse explícitas en la formulación matemática. Para este problema, debe incluir las siguientes restricciones:

cs 1> 0 y CS 2> 0 o CSJ' cs 2 > 0

Juntando todas las piezas de los pasos anteriores, la formulación matemática completa del problema de planeación de producción de Case Chemicals es la siguiente:

Formulación matemática del problema

FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE CASE CHEMICALS

Maximizar 30OCS1 + 50OCS 2 (ganancia)

Condicionado por:

2CS1 + 1CS2 2 < 230 (mezclado)

1CS1 + 2C2 < 250 (purificación)

CS2 < 120 (limitado en CS-02)

CS1, CS2 > 0 (no negatividad)

donde:

CS1, = el número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente


En el capítulo 4 aprenderá el procedimiento de solución para este tipo de problema. La aplicación de ese procedimiento da por resultado la solución óptima:

cs, = 70



10


cs 2 = 90

Es decir ,el plan de producción óptima es de 70000 galonesdeCS1 y de 90000 galones de CS-02, lo que representa una ganancia semanal de $66 000.

En esta sección, usted ha aprendido los pasos a tomar en la formulación de problemas identificando (1) las variables de decisión, (2) los datos del problema, (3) la función objetivo y (4) Ias restricciones. Para escribir la función objetiva y las restricciones en una forma matemática, use las variables junto con los datos del problema que usted tenga al formular el modelo. Es posible que no conozca todos los datos necesarios al definir por primera vez el problema. La necesidad de datos adicionales puede descubrirse cuando proceda con la formulación del problema. Estos valores de datos deben obtenerse de fuentes apropiadas dentro de la organización. Para ahorrar tiempo y espacio, los enunciados de problemas futuros en este libro incluirán todos los datos necesarios. La formulación consistirá en estos tres pasos:

Paso 1. Identificación de las variables de decisión.

Paso 2. Identificación de la función objetivo.

Paso 3. Identificación de las restricciones.

El problema de esta sección involucro sólo dos variables de decisión y unas cuantas restricciones. Los problemas de importancia práctica a menudo contienen cientos o miles de variables y un número similar de restricciones. Estos problemas más complejos también pueden formularse usando los pasos que aprendió en esta sección.

1.7. EJEMPLOS DE FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS

1.7.1. Problemas de planeamiento de produccion

1.7.1.1. Planeamiento de produccion del Sindicato Minero Pacococha SA

El Sindicato Minero Pacococha S.A. viene soportando un incesante incremento en sus costos de producción, por lo tanto urge optimizar el uso de sus recursos. La gerencia ha determinado explotar las vetas Colquechaca y 10 de mayo, para ello debemos satisfacer algunas restricciones referentes a las leyes y la capacidad de la planta concentradora:

Vetas

LeyesCosto

$/tonAg (onz/ton)

Pb (%)

Colquechaca 4 3,5 7,0

10 de mayo 16 1,15 9,0

Otros datos que debemos considerar son: el precio de la plata: $ 20,0 /onz; precio del plomo 0,70 $/lb; capacidad de la planta concentradora: 95 ton/día, ley minima de cabeza de plata: 6 onz/ton, ley máxima de cabeza de plata: 8 onz/ton.

Como gerente de producción, formule un modelo matemático para determinar el tonelaje a extraer de cada veta.

Solución:

Paso 1: Identificación de las variables de decisión

Xc = el número de toneladas de mineral a extraer de la veta Colquechaca por día

Xm = el número de toneladas de mineral a extraer de la veta 10 de mayo por día

Paso 2: Identificación de los datos del problema

a) Costo de 1 tonelada de mineral extraída de la veta Colquechaca: $ 7,0

b) Costo de 1 tonelada de mineral extraída de la veta 10 de mayo: $ 9,0

c) Ley de plata del mineral extraído de la veta Colquechaca: 4,0 onz/tonFacultad de Ingeniería de Minas

Universidad Nacional del AltiplanoDerechos Reservados © MCA-FIM 2012

11


d) Ley de plata del mineral extraído de la veta 10 de mayo 16,0 onz/ton

e) Ley de plomo del mineral extraído de la veta Colquechaca: 3,5%

f) Ley de plomo del mineral extraído de la veta 10 de mayo: 1,15%

g) Precio de la plata: $ 20,0 /onz

h) Precio del plomo 0,70 $/lb

i) Capacidad de la planta concentradora: 95 ton/día.

j) Ley mínima de cabeza de plata de la planta concentradora: 6 onz/ton.

k) Ley máxima de cabeza de plata de la planta concentradora: 8 onz/ton.

l) Ganancia por 1 tonelada de mineral de la veta Colquechaca

= ingreso por plata + ingreso por plomo – costo de producción

= 4 onz/ton x $ 20,0/onz +0,035 x 2 200lb/ton x $0,70/lb – $ 7,0/ton

= $ 126,9 /ton.

m) Ganancia por 1 tonelada de mineral de la veta 10 de mayo

= ingreso por plata + ingreso por plomo – costo de producción

= 16 onz/ton x $ 20,0/onz +0,0115 x 2 200lb/ton x $0,70/lb – $ 9,0/ton

= $ 328,71 /ton.

Paso 3 Identificación de la función objetivo

FV: Maximizar la ganancia por venta de mineral

D : Maximizar (ganancia1 por mineral de la veta Colquechaca + ganancia por mineral de la veta 10 de mayo)

FM: Maximizar 126,9 Xc + 328,71 Xm

Paso 4 Identificación de las restricciones

a) Capacidad de la planta concentradora

FV: La capacidad de tratamiento de la planta es de 95 ton de mineral por día

D : (el mineral procedente de la veta Colquechaca + el mineral procedente de la veta 10 de mayo) debe ser máximo 95 toneladas

FM: Xc + Xm <= 95

b) Ley mínima de cabeza de plata de la planta concentradora

FV: la ley mínima de cabeza es de 6 onz/ton

D : ((contenido de plata en el mineral de Colquechaca + contenido de plata en el mineral de 10 de mayo)/(tonelaje de mineral de Colquechaca + tonelaje de mineral de 10 de mayo)) debe ser mayor de 6 onz/ton

FM: - Xc + 5 Xm >= 0

c) Ley máxima de cabeza de plata de la planta concentradora

FV: la ley máxima de cabeza es de 8 onz/ton

D : ((contenido de plata en el mineral de Colquechaca + contenido de plata en el mineral de 10 de mayo)/(tonelaje de mineral de Colquechaca + tonelaje de mineral de 10 de mayo)) debe ser menor de 8 onz/ton

1 ganancia = ganancia por 1 ton de mineral x número de toneladas de mineral a extraer.



12


FM: - Xc + 2,0 Xm <= 0

d) Restricciones lógicas

Xc y Xm >= 0

Paso 5 Formulación matemática del modelo

Maximizar 126,9 Xc + 328,71 Xm

Sujeto a:

Xc + Xm <= 95

- Xc + 5 Xm >= 0

- Xc + 2 Xm <= 0

Xc y Xm >= 0

Donde:

Xc = el número de toneladas de mineral a extraer de la veta Colquechaca por día

Xm = el número de toneladas de mineral a extraer de la veta 10 de mayo por día

Nota: Al resolver el modelo matemático, los resultados indican que la veta Colquechaca debe producir 63,33 ton de mineral y la veta 10 de mayo 31,67 ton de mineral, para obtener una ganancia de $ 18 446,15 por día.

Fuente: Selvino Paz, “PERT – CPM una alternativa en problemas mineros”, UNI, Lima Perú.

1.7.1.2. Planeamiento de produccion de una compañía minera

Una compañía minera opera tres minas. El mineral obtenido en cada una se separa en dos calidades antes de su distribución. Las capacidades de producción diarias de cada mina, así como sus costos de operación diarios, son los siguientes:

Mineral de alta calidad (ton/día)

Mineral de baja calidad (ton/día)

Costo de operación (dólares/día)

Mina 1 40 40 20 000

Mina 2 60 40 22 000

Mina 3 10 60 18 000

La compañía se ha comprometido a entregar 540 toneladas de mineral de alta calidad y 650 de baja calidad en el plazo de una semana. Los contratos firmados le garantizan la paga del día completo por cada día o fracción que la mina está abierta.

Formule el modelo matemático correspondiente para determinar el número de días que debe funcionar cada mina durante la próxima semana para cumplir el compromiso con un costo mínimo.

Solución:


M1 = el número de días que trabaja la mina 1

M2 = el número de días que trabaja la mina2



a) Capacidad de producción de mineral de alta calidad de la mina 1: 40 ton/día



13


b) Capacidad de producción de mineral de alta calidad de la mina 2: 60 ton/día

c) Capacidad de producción de mineral de alta calidad de la mina 3: 10 ton/día

d) Capacidad de producción de mineral de baja calidad de la mina 1: 40 ton/día

e) Capacidad de producción de mineral de baja calidad de la mina 2: 40 ton/día

f) Capacidad de producción de mineral de baja calidad de la mina 3: 60 ton/día

g) Costo de operación de la mina 1: 20 000 dólares/día

h) Costo de operación de la mina 2: 22 000 dólares/día

i) Costo de operación de la mina 3: 18 000 dólares/día

j) Cantidad de mineral de alta calidad que debe entregar la empresa: 540 ton/semana

k) Cantidad de mineral de bajaa calidad que debe entregar la empresa: 650 ton/semana


FV: Minimizar el costo de operación semanal de las unidades mineras de la empresa.

D : Minimizar (costo de operación de la mina 1 + costo de operación de la mina 2 + costo de operación de la mina 3)

FM: Minimizar 20 000 M1 + 22 000 M2 + 18 000 M3


a) Compromiso de entrega de mineral de alta calidad

FV: La producción semanal de mineral de alta calidad debe ser al menos 540 toneladas

D : (producción semanal de mineral de alta calidad de la mina 1 + producción semanal de mineral de alta calidad de la mina 2 + producción semanal de de mineral de alta calidad de la mina 3) debe ser al menos 540 toneladas

FM: 40 M1 + 60 M2 + 10 M3 >= 540

b) Compromiso de entrega de mineral de baja calidad

FV: La producción semanal de mineral de baja calidad debe ser al menos 650 toneladas

D : (producción semanal de mineral de baja calidad de la mina 1 + producción semanal de mineral de baja calidad de la mina 2 + producción semanal de de mineral de baja calidad de la mina 3) debe ser al menos 650 toneladas

FM: 40 M1 + 40 M2 +610 M3 >= 650

c) Número de días trabajados por semana

FV: El número de días trabajados por semana en la mina 1 debe ser menor o igual a 7

FM: M1 <= 7

De manera similar en las minas 2 y 3

M2 <= 7

M3 <= 7


M1, M2 y M3 >= 0 y enteros


Minimizar 20 000 M1 + 22 000 M2 + 18 000 M3

Sujeto a:

40 M1 + 60 M2 + 10 M3 >= 540

40 M1 + 40 M2 +610 M3 >= 650



14


M1 <= 7

M2 <= 7

M3 <= 7

M1, M2 y M3 >= 0 y enteros

Donde




1.7.1.3. Planeamiento de produccion de explosivos

Dos fábricas de explosivos producen 3 tipos de diferentes dinamitas, de bajo, medio y alto grado. Se tiene un contrato de venta para vender 15 cajas de dinamita de bajo grado, 2 cajas de dinamita de medio grado y 10 cajas de alto grado, los costos de operación son de $ 2 720,0/día para la primera fábrica y $ 3 200,0/día para la segunda.

La fábrica 1 produce 8 cajas de bajo grado, 1 caja de medio grado y 2 cajas de alto grado en un día de operación; la fábrica 2 produce 2 cajas de bajo grado, 1 caja de grado medio y 7 cajas de alto grado por día.

Formule un modelo matemático para determinar el número de días que debe trabajar cada fábrica para cumplir con el mencionado contrato en la forma mas económica.

Solución:


F1 = el número de días que trabaja la fábrica 1



n) Contrato de venta para dinamita de bajo grado: 15 cajas

o) Contrato de venta para dinamita de medio grado: 2 cajas

p) Contrato de venta para dinamita de alto grado: 10 cajas

q) Costo de operación de la fábrica 1: $ 2 720,0 por día

r) Costo de operación de la fábrica 2: $ 3 200,0 por día

s) La fábrica 1 produce 8 cajas de bajo grado, 1 caja de medio grado y 2 cajas de alto grado en un día de operación.

t) La fábrica 2 produce 2 cajas de bajo grado, 1 caja de grado medio y 7 cajas de alto grado por día.


FV: Minimizar el costo de operación total de las fábricas

D : Minimizar (costo de operación de la fábrica 1 + costo de operación de la fábrica 2)

FM: Minimizar 2 720 F1 + 3 200 F2


e) Compromiso de venta de dinamita de bajo grado

FV: La producción de dinamita de bajo grado debe ser al menos 15 cajas

D : (producción de dinamita de bajo grado de la fábrica 1 + producción de dinamita de bajo grado de la fábrica 2) debe ser al menos 15 cajas

FM: 8 F1 + 2 F2 >= 15



15


f) Compromiso de venta de dinamita de medio grado

FV: La producción de dinamita de medio grado debe ser al menos 2 cajas

D : (producción de dinamita de medio grado de la fábrica 1 + producción de dinamita de medio grado de la fábrica 2) debe ser al menos 2 cajas

FM: F1 + F2 >= 2

g) Compromiso de venta de dinamita de alto grado

FV: La producción de dinamita de alto grado debe ser al menos 10 cajas

D : (producción de dinamita de alto grado de la fábrica 1 + producción de dinamita de alto grado de la fábrica 2) debe ser al menos 10 cajas

FM: 2 F1 + 7 F2 >= 10

h) Restricciones lógicas

F1 y, F2 >= 0 y enteros


Minimizar 2 720 F1 + 3 200 F2

Sujeto a:

8 F1 + 2 F2 >= 15

F1 + F2 >= 2

2 F1 + 7 F2 >= 10

F1 y, F2 >= 0 y enteros

Donde



1.7.1.4. Planeamiento de transporte de concentrado

Una compañía de transporte de concentrado de mineral tiene 10 camiones con capacidad de 20 toneladas y 5 camiones de 15 toneladas de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operación de $ 0,30/Km y los mas pequeños de $0,25/km. La próxima semana, la compañía debe transportar 200 toneladas de concentrado de plomo para un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos impone que por cada dos camiones medianos mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Se pregunta ¿Cual es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar el concentrado?

Solución:

a. Formulación del modelo matemático


CG = el número de camiones grandes empleados por semana.

CM = el número de camiones medianos empleados por semana.


a) La compañía posee 10 camiones con capacidad de 20 toneladas.

b) La compañía posee 5 camiones con capacidad de15 toneladas.

c) El costo de operación de un camión grande es de $0,30 / km.

d) El costo de operación de un camión mediano es de $0,25 / km.

e) Costo de operación de un camión grande para un recorrido de 800 km = $0,30 * 800 = $240

f) Costo de operación de un camión grande para un recorrido de 800 km = $0,25 * 800 = $200



16


g) En reserva debe quedarse un camión grande por cada dos camiones medianos.


FV: Minimizar el costo de operación de los camiones a movilizar

D : Minimizar (costo de operación de los camiones grandes a movilizar + costo de operación de los camiones medianos a movilizar)

FM: Minimizar 240 CG + 200 CM


a) Tonelaje a transportar

FV: La compañía debe transportar 200 toneladas de concentrado

D : (toneladas de concentrado transportado por camiones grandes + toneladas de concentrado transportado por camiones medianos ) es igual 200 toneladas de concentrado

FM: 20 CG + 15 CM = 200

b) Relación de reserva de camiones

FV: por cada dos camiones medianos mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos un camión grande

FM: 2(5- CM) <= (10 – CG)

CG –2 CM <= 0

c) Número de camiones

FV: La compañía puede utilizar un máximo de 10 camiones grandes

FM: CG <= 10

De manera similar para los camiones medianos

CM <= 5


CG y CM >= 0


Minimizar 240 CG + 200 CM

Sujeto a:

20 CG + 15 CM = 200

CG –2 CM <= 0

CG <= 10

CM <= 5

CG y CM >= 0 y enteros

Donde



1.7.1.5. Planeamiento de produccion de un taller de metalmecanica

Una compañía elabora cuatro productos metálicos: a, b, c y d, los cuales fluyen a través de cuatro departamentos taladrado, torneado, fresado y ensamblado. Las horas para el tiempo en el departamento, que se requiere para cada uno de los productos por unidad son:

Producto Taladrado Torneado Fresado Ensamblado



17


a 3 0 3 4

b 7 2 4 6

c 4 4 0 5

d 0 6 5 3

Las contribuciones unitarias de los cuatro productos y las horas de disponibilidad en los cuatro departamentos son:

ProductoContribución

($)/unidad

a 9

b 18

c 14

d 11

Departamento Horas disponibles

Taladrado 70

Torneado 80

Fresado 90

Ensamblado 100

Formule el modelo matemático correspondiente.

Solución:


A = El número de unidades del producto “a” a producir.

B = El número de unidades del producto “b” a producir.

C = El número de unidades del producto “c” a producir.

D = El número de unidades del producto “d” a producir.


a) Horas de proceso empleados en los departamentos para producir los productos

Producto Taladrado Torneado Fresado Ensamblado

a 3 0 3 4

b 7 2 4 6

c 4 4 0 5

d 0 6 5 3

b) Utilidades generadas por los productos

ProductoContribución

($)/unidad

a 9

b 18

c 14

d 11

c) Horas disponibles por departamento de producción



18


Departamento Horas disponibles

Taladrado 70

Torneado 80

Fresado 90

Ensamblado 100


FV: Maximizar las utilidades de la empresa

D : Maximizar (las utilidades generadas por el producto a + las utilidades generadas por el producto b + las utilidades generadas por el producto c + las utilidades generadas por el producto d)

FM: Maximizar 9A +18B +14 C +11 D


a) Departamento de taladrado

FV: El número de horas disponibles en el departamento de taladrado es de 70

D : (número de horas de taladrado empleados en el producto a + número de horas de taladrado empleados en el producto b + número de horas de taladrado empleados en el producto c + número de horas de taladrado empleados en el producto d) debe ser menor de 70 horas

FM: 3A + 7B + 4C <= 70

b) Departamentos de torneado, fresado y ensamblado

De manera similar al caso anterior:

Departamento de torneado:

2B + 4C + 6D <= 80

Departamento de fresado:

3A + 4B + 5D <= 90

Departamento de ensamblado:

4A + 6B + 5C + 3D <= 100

c) Restricciones lógicas

A, B, C y D >= 0 y enteros.


Maximizar 9A +18B +14 C +11 D

Sujeto a:

3A + 7B + 4C <= 70

2B + 4C + 6D <= 80

3A + 4B + 5D <= 90

4A + 6B + 5C + 3D <= 100

A, B, C y D >= 0 y enteros.

Donde

A = El número de unidades del producto “a” a producir.

B = El número de unidades del producto “b” a producir.

C = El número de unidades del producto “c” a producir.

D = El número de unidades del producto “d” a producir.



19


1.7.1.6. Planeamiento de produccion de bombas

Una compañía produce dos tipos de bombas. Cada bomba del tipo 1 requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todas las bombas son del tipo 2, la compañía puede producir un total de 500 bombas al día. El mercado limita las ventas diarias del tipo 1 y 2 a 150 y 250 bombas respectivamente. Suponga que los beneficios por cada bomba son $80 para el tipo 1 y $50 para el tipo 2. determine el número de bombas a ser producidos de cada tipo para maximizar el beneficio.

Solución:

a. Formulación del modelo matemático


B1 = el número de bombas del tipo 1 producidas por día.

B2 = el número de bombas del tipo 2 producidas por día


a) Una bomba del tipo 1 requiere el doble de tiempo en mano de obra que la bomba de tipo 2.

b) La compañía si solo produce bombas del tipo 2, puede producir 500 unidades.

c) La venta máxima de bombas de tipo 1 es de 150 unidades.

d) La venta máxima de bombas de tipo 2 es de 250 unidades.

e) El beneficio por la venta de una bomba de tipo 1 es de $80,0.

f) El beneficio por la venta de una bomba de tipo 2 es de $50,0.


FV: Maximizar los beneficios obtenidos por la venta de bombas. .

D : Maximizar (beneficios por la venta de bombas del tipo 1 + beneficios por la venta de bombas del tipo 2)

FM: Maximizar 80 B1 + 50 B2


a) Tiempo en mano de obra

FV: Si la compañía produce solo bombas de tipo 2, puede producir 500 unidades

D : (tiempo en mano de obra para producir bombas del tipo 1 + tiempo en mano de obra para producir bombas del tipo 2) es igual al tiempo para producir 500 bombas del tipo 2

FM: B1T1 + B2T2 <= 500T2, donde T1 = 2T2

B1 2T2 + B2T2 <= 500T2

2B1 + B2 <= 500

b) Ventas diarias

FV: El número de bombas del tipo 1 que se puede vender es un máximo de 150 unidades

FM: B1 <= 150

De manera similar con la venta de bombas del tipo 2

B2 <= 250


B1 y B2 >= 0


Maximizar 80 B1 + 50 B2

Sujeto a:



20


2B1 + B2 <= 500

B1 <= 150

B2 <= 250

B1 y B2 >= 0

Donde

B1 = el número de bombas del tipo 1 producidas por día.

B2 = el número de bombas del tipo 2 producidas por día

1.7.2. Ejemplos de problemas de redes: el problema de transporte

1.7.2.1. Transporte de automoviles

Un fabricante de automóviles tiene un contrato para exportar 400 automóviles de modelo A y 500 del modelo B. El automóvil modelo A ocupa un volumen de 12 metros cúbicos y el modelo B ocupa un volumen de 15 metros cúbicos. Se dispone de 3 barcos para transportar los automóviles. Estos llegaran al puesto de destino, a principios de enero, mediados de febrero y fines de marzo, respectivamente. El primer barco solo transporta automóviles modelo A a un costo de 450 dólares por automóvil. El segundo y tercer barco transportan ambos modelos a un costo de 35 y 40 dólares por metro cúbico respectivamente. El primer barco solo puede acomodar 200 automóviles y el segundo y tercero tienen disponibles volúmenes de 4500 y 6000 metros cúbicos. Si el fabricante se ha comprometido a entregar al menos 250 del modelo A y 200 del modelo B para mediados de febrero, y el resto para fines de marzo, ¿Cuál es modelo matemático a desarrollar para minimizar el costo total?

Solución:


AB1e = el número de automóviles de modelo A a ser transportados en el barco 1 que llega a principios de enero.

AB2f = el número de automóviles de modelo A a ser transportados en el barco 2 que llega a mediados de febrero.

BB2f = el número de automóviles de modelo B a ser transportados en el barco 2 que llega a mediados de febrero.

AB3m = el número de automóviles de modelo A a ser transportados en el barco 3 que llega a fines de marzo.

BB3m = el número de automóviles de modelo B a ser transportados en el barco 3 que llega a fines de marzo.



21



a) El fabricante debe exportar 400 automóviles del modelo A.

b) El fabricante debe exportar5400 automóviles del modelo B.

c) El modelo A de automóvil ocupa 12 m3.

d) El modelo B de automóvil ocupa 15 m3.

e) El costo de transporte de los automóviles se presenta en el siguiente cuadro:

Costo de transporte ($/automóvil)

Barco 1 Barco 2 Barco 3

Modelo A 450 35*12 = 420 35*15 = 525

Modelo B - 40*12 = 480 40*15 = 600

f) El barco 1 solo puede transporta automóviles de modelo A.

g) La capacidad del barco 1 es de 200 automóviles de modelo A.

h) La capacidad del barco 3 es de 4500 m3.

i) La capacidad del barco 3 es de 6000 m3.

j) El fabricante se ha comprometido a entregar al menos 250 automóviles del modelo A y 200 del modelo B para mediados de febrero y el resto a fines de marzo.


FV: Minimizar el costo de transporte de automóviles

D : Minimizar (costo de transporte de automóviles antes de mediados de febrero + costo de transporte de automóviles para fines de marzo)

FM: Minimizar 450AB1e + 420AB2f + 480BB2f + 525AB3m + 600BB3m


i) Contrato para exportar automóviles del modelo A

FV: Se debe transportar 400 automóviles del modelo A

D : (transporte de automóviles de modelo A antes de inicios de enero + transporte de automóviles de modelo A antes de mediados de febrero + transporte de automóviles de modelo A para fines de marzo) debe ser 400

FM: AB1e + AB2f + AB3m = 400

j) Contrato para exportar automóviles del modelo B

FV: Se debe transportar 500 automóviles del modelo B

D : (transporte de automóviles de modelo B antes de mediados de febrero + transporte de automóviles de modelo B para fines de marzo) debe ser 500

FM: BB2f + BB3m = 500

k) Capacidad de transporte del barco 1

FV: La capacidad de transporte del barco 1 es de 200 automóviles de modelo A.

FM: AB1e <= 200

l) Capacidad de transporte del barco 2

FV: La capacidad de transporte del barco 2 es de 4500 m3.

D : (transporte de automóviles de modelo A + transporte de automóviles de modelo B) debe ser 4500 m3



22


FM: 12AB2f + 15BB2f < =4500

m) Capacidad de transporte del barco 3

FV: La capacidad de transporte del barco 3 es de 6000 m3.

D : (transporte de automóviles de modelo A + transporte de automóviles de modelo B) debe ser 6000 m3

FM: 12AB3m + 15BB3m < =6000

n) Compromiso de entrega de automóviles del modelo A a mediados de febrero

FV: A mediados de febrero se debe entregar al menos 250 automóviles del modelo A

D : (el número de automóviles del modelo A transportados que llegan a inicios de enero + el número de automóviles del modelo A transportados que llegan a mediados de febrero) debe ser al menos 250

FM: AB1e + AB2f >= 250

o) Compromiso de entrega de automóviles del modelo B a mediados de febrero

FV: A mediados de febrero se debe entregar al menos 200 automóviles del modelo B

D : (el número de automóviles del modelo B transportados que llegan a inicios de enero + el número de automóviles del modelo B transportados que llegan a mediados de febrero) debe ser al menos 200

FM: BB2f >= 200

p) Restricciones lógicas

AB1e, AB2f, BB2f, AB3m yBB3m >= 0 y enteros


Minimizar 450AB1e + 420AB2f + 480BB2f + 525AB3m + 600BB3m

Sujeto a:

AB1e + AB2f + AB3m = 400

BB2f + BB3m = 500

AB1e <= 200

12AB2f + 15BB2f < =4500

12AB3m + 15BB3m < =6000

AB1e + AB2f >= 250

BB2f >= 200

AB1e, AB2f, BB2f, AB3m yBB3m >= 0 y enteros

1.7.2.2. Problema de transporte de Medequip Company

La Medequip Company produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La tabla presenta el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro. Además muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas por cada cliente.

Costo unitario de envío Producción

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

Fabrica 1 $600 $800 $700 400 und

Fabrica 2 $400 $900 $600 500 und

Orden 300 und 200 und 400 uns

Formule un modelo matemático para decidir cuantas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente.



23


Solución:


F1C1 = Número de equipos a ser enviados de la fábrica 1 al cliente 1







a. El costo unitario de envío de cada fabrica a cada cliente, la capacidad de producción y la demanda es el siguiente:

Costo unitario de envío Producción

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

Fabrica 1 $600 $800 $700 400 und

Fabrica 2 $400 $900 $600 500 und

Orden 300 und 200 und 400 uns


FV: Minimizar el costo de envío de los equipos médicos

D : Minimizar (costo de envío de la fábrica 1 al cliente 1 + costo de envío de la fábrica 1 al cliente 2 + costo de envío de la fábrica 1 al cliente 3 + costo de envío de la fábrica 2 al cliente 1 + costo de envío de la fábrica 2 al cliente 2 + costo de envío de la fábrica 2 al cliente 3).

FM: Minimizar 600F1C1+ 800F1C2+ 700F1C3+ 400F2C1+ 900F2C2+ 600F2C3


a) Capacidad de producción en la fábrica 1

FV: La fabrica 1 tiene una capacidad de producción de 400 equipos.

D : (El número de equipos enviados al cliente 1 + El número de equipos enviados al cliente 2 + El número de equipos enviados al cliente 3) debe ser igual a 400.

FM: F1C1 + F1C2 + F1C3 = 400

b) Capacidad de producción en la fabrica 2

De manera similar a la restricción anterior:

F2C1 + F2C2 + F3C3 = 500

c) Demanda del cliente 1

FV: El cliente 1 requiere de 300 equipos para vender

D : (el número de equipos enviados de la fabrica 1 + el número de equipos enviados de la fabrica 2)al cliente 1 debe ser igual a 300.

FM: F1C1 + F2C1 = 300

d) Demanda del cliente 2 y cliente 3

De manera similar a la restricción anterior:

F1C2 + F2C2 = 200



24


F1C3 + F2C3 = 400

e) Restricciones lógicas

F1C1, F1C2, F1C3, F2C1, F2C2 y F2C3 >= 0


Minimizar 600F1C1+ 800F1C2+ 700F1C3+ 400F2C1+ 900F2C2+ 600F2C3

Sujeto a:

F1C1 + F1C2 + F1C3 = 400

F2C1 + F2C2 + F3C3 = 500

F1C1 + F2C1 = 300

F1C2 + F2C2 = 200

F1C3 + F2C3 = 400

F1C1, F1C2, F1C3, F2C1, F2C2 y F2C3 >= 0

Donde







1.7.3. Ejemplos de problemas de redes: el problerma del flujo maximo

1.7.3.1. Problema de transporte de Hexon Oil Company

Hexon Oil Company tiene una gran refinería localizada en Newark, New Jersey. La gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamiento en Filadelfia a través de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en Sayerville, Easton, Trenton, Bridgewater y Allentown. El oleoducto está construido en segmentos que conectan parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número máximo conocido de galones por hora que pueden enviarse. Estos segmentos y sus respectivas capacidades en galones por hora son:

DE A CAPACIDAD

Newark Sayerville 150 000

Sayerville Trenton 125 000

Trenton Filadelfia 130 000

Newark Bridgewater 80 000

Sayerville Bridgewater 60 000

Bridgewater Easton 100 000

Easton Allentown 75 000

Easton Trenton 50 000

Allentown Filadelfia 90 000

En la región de Filadelfia se espera un aumento en la conducción en los próximos meses de verano ¿Tendrá Hexxon suficiente gasolina para satisfacer la mayor demanda en las estaciones de servicio? Antes de incrementar la tasa de producción de la refinería, la administración de Hexxon desea conocer el número máximo de galones de gasolina por hora que pueden enviarse a través de la red de oleoductos a los tanques de almacenamiento de Filadelfia.



25


Formule un modelo matemático.

Solución:

Antes de formular el modelo, dibujaremos un diagrama de redes que nos ayude a visualizar la información y los datos del problema:


Para resolver el problema debemos determinar el número de galones de gasolina que se pueden enviar por hora a lo largo de cada segmento del oleoducto:

XNS = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Newark a Sayerville.

XST = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Sayerville a Trenton.

XTF = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Trenton a Filadelfia.

XNB = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Newark a Bridgewater.

XSB = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Sayerville a Bridgewater.



26


XBE = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Bridgewater a Easton.

XEA = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Easton a Allentown.

XET = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Easton a Trenton.

XAF = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Allentown a Filadelfia.


DE A CAPACIDAD

Newark Sayerville 150 000

Sayerville Trenton 125 000

Trenton Filadelfia 130 000

Newark Bridgewater 80 000

Sayerville Bridgewater 60 000

Bridgewater Easton 100 000

Easton Allentown 75 000

Easton Trenton 50 000

Allentown Filadelfia 90 000


FV: Maximizar el número de galones por hora enviado a Filadelfia.

D: Maximizar (número de galones por hora desde Allentown + numero de galones por hora desde Trenton)

FM: Maximizar XAF + XTF


a) Restricciones de límite

FV: El número de galones por hora enviado de Newark a Sayerville no debe exceder su capacidad.

FM: XNS <= 150 000

De manera similar en el resto de los segmentos:

XNB <= 80 000

XSB <= 60 000

XST <= 125 000

XBE <= 100 000

XEA <= 75 000

XET <= 50 000

XAF <= 90 000

XTF <= 130 000

b) Restricciones de equilibrio

Debemos especificar que en cada estación de bombeo, la cantidad de gasolina por enviada debe ser precisamente igual a la cantidad recibida.

FV: La cantidad de gasolina recibida en Bridgewater debe ser igual a la cantidad de gasolina enviada desde Bridgewater.



27


D: La cantidad recibida desde Newark + la cantidad recibida desde Sayerville debe ser igual a la cantidad enviada a Easton.

FM: XBE = XNB + XSB

XBE - XNB - XSB = 0

De manera similar para cada estación de bombeo:

XST- XSB – XNS = 0 (balance en Sayerville)

XEA – XET – XBE = 0 (balance en Easton)

XTF – XST - XET = 0 (balance en Trenton)

XAF – XEA = 0 (balance en Allentown)


XNS, XNB, XSB, XST, XBE, XEA, XET, XAP y XTP >= 0


Maximizar XAF + XTF

Sujeto a:

XNS <= 150 000

XNB <= 80 000

XSB <= 60 000

XST <= 125 000

XBE <= 100 000

XEA <= 75 000

XET <= 50 000

XAF <= 90 000

XTF <= 130 000

XBE - XNB - XSB = 0

XST- XSB – XNS = 0

XEA – XET – XBE = 0

XTF – XST - XET = 0

XAF – XEA = 0

XNS, XNB, XSB, XST, XBE, XEA, XET, XAF y XTF >= 0

Donde

XNS = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Newark a Sayerville.

XST = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Sayerville a Trenton.

XTF = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Trenton a Filadelfia.

XNB = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Newark a Bridgewater.

XSB = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Sayerville a Bridgewater.

XBE = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Bridgewater a Easton.

XEA = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Easton a Allentown.

XET = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Easton a Trenton.

XAF = El numero de galones de gasolina por hora que se enviara a lo largo del segmento de Allentown a Filadelfia.

1.7.4. Administracion de inversiones, uso de variables binarias

1.7.4.1. Problema de inversion de Centauro Gold Company



28


El Directorio de Centauro Gold Mining Inc. ha decidido invertir un millon de dolares en proyectos mineros. El departamento de inversiones ha identificado seis proyectos con estrategias de inversion variables, resiultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla.

Proyecto 1 2 3 4 5 6

Precio ($/acción) 45 76 110 17 23 22

Devolución esperada (%)

30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo alto alto alto mediano mediano bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos proyectos. Para este fin la administración de Centauro Gold Mining, Inc ha especificado las siguientes pautas.

a. la cantidad total invertida en proyectos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera.

b. la cantidad total invertida en proyectos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera.

c. la cantidad total invertido en los proyectos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, espaciar el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de Centauro Gold Mining, Inc ha especificado que la cantidad invertida en los proyectos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3, respectivamente. La cantidad invertida en los proyectos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.

Con estas pautas, ¿Qué proyectos debería usted, gerente de inversiones, recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?

Solución:


P1 = La fracción de la cartera por invertir en el proyecto 1







a) Capital a invertir $100 000 000

b) Rendimientos potenciales y riesgos asociados

Proyecto 1 2 3 4 5 6

Precio ($/acción) 45 76 110 17 23 22

Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo alto alto alto mediano mediano bajo

c) La cantidad total invertida en proyectos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera.

d) La cantidad total invertida en proyectos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera.

e) La cantidad total invertido en los proyectos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

f) La cantidad invertida en los proyectos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3, respectivamente.



29


g) La cantidad invertida en los proyectos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.


FV: Maximizar el rendimiento total esperado.

D : Maximizar (rendimiento esperado del proyecto 1 + rendimiento esperado del proyecto 2 + rendimiento esperado del proyecto 3 + rendimiento esperado del proyecto 4 + rendimiento esperado del proyecto 5 + rendimiento esperado del proyecto 6).

FM: Maximizar 0.30P1 +0.20P2 + 0.15P3 + 0.12P4 + 0.10P5 + 0.07P6


d) Inversión en proyectos de alto riesgo

FV: La cantidad total invertida en proyectos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera.

D : ((la cantidad invertida en el proyecto 1 + la cantidad invertida en el proyecto 2 + la cantidad invertida en el proyecto 3)) debe estar entre 50 y 75% de la cartera.

FM: P1 + P2 + P3 >= 0.50 (mínimo en alto riesgo)

P1 + P2 + P3 <= 0.75 (máximo en alto riesgo)

e) Inversión en proyectos de mediano riesgo

FV: La cantidad total invertida en proyectos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera.

D : ((la cantidad invertida en el proyecto 4 + la cantidad invertida en el proyecto 5)) debe estar entre 20 y 30% de la cartera.

FM: P4 + P5 >= 0.20 (mínimo en mediano riesgo)

P4 + P5 <= 0.30 (máximo en mediano riesgo)

f) Inversión en proyectos de bajo riesgo

FV: La cantidad total invertida en proyectos de bajo riesgo debe ser al menos el 5% de la cartera.

D : ((la cantidad invertida en el proyecto 6)) debe ser al menos el 5% de la cartera.

FM: P6 >= 0.05 (mínimo en bajo riesgo)

g) Diversificación de inversión en proyectos de alto riesgo

FV: La cantidad invertida en los proyectos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3, respectivamente.

D : La cantidad invertida en el proyecto2 debe ser el doble de lo invertido en el proyecto 1.

FM: -2P2 + P1 = 0

De manera similar:

-3P1 + P3 = 0

h) Diversificación de inversión en proyectos de mediano riesgo

FV: La cantidad invertida en los proyectos de mediano riesgo 4 y 5 deben estar en la tasa 1:2, respectivamente.

D : La cantidad invertida en el proyecto5 debe ser el doble de lo invertido en el proyecto 4.

FM: -2P4 + P5 = 0

i) Capital de inversión

FV: El capital disponible para invertir en todos los proyectos es de $100 000 000

FM: P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1

j) Restricciones lógicas

P1, P2, P3, P4, P5 y P6 >= 0




30


Maximizar 0.30P1 +0.20P2 + 0.15P3 + 0.12P4 + 0.10P5 + 0.07P6

Sujeto a:

P1 + P2 + P3 >= 0.50 (mínimo en alto riesgo)

P1 + P2 + P3 <= 0.75 (máximo en alto riesgo)

P4 + P5 >= 0.20 (mínimo en mediano riesgo)

P4 + P5 <= 0.30 (máximo en mediano riesgo)

P6 >= 0.05 (mínimo en bajo riesgo)

-2P2 + P1 = 0

-3P1 + P3 = 0

-2P4 + P5 = 0

P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1

P1, P2, P3, P4, P5 y P6 >= 0

Donde







1.7.5. Ejemplos de problemas de diseño

1.7.5.1. Problema de diseño de Containers Inc.

Containers Inc., ha recibido un pedido para hacer tambores de acero cilíndricos, con la base y la tapa circulares. El volumen total del contenedor debe ser al menos de 10 pies cúbicos. El costo de acero para hacer el costado del contenedor es $3 por pie cuadrado. El costo de la base y la tapa es de $3.82 por pie cuadrado. Como ingeniero de producción, formule un modelo matemático para determinar un diseño que minimice el costo del acero requerido.

Solución:


R = radio de la base en pies

H = altura del cilindro en pies


a. El volumen total del contenedor debe ser al menos de 10 pies cúbicos.

b. El costo de acero para hacer el costado del contenedor es $3 por pie cuadrado.

c. El costo de la base y la tapa es de $3.82 por pie cuadrado.


FV: Minimizar el costo de acero requerido para construir el contenedor.

D: Minimizar (costo del acero del costado del contenedor + costo del acero de la base y de la tapa)

FM: Minimizar (2πRH pie2 x $3 / pie2 + 2πR2 pie2 x $3.82 / pie2)

Minimizar 6πRH + 7.64πR2




31


a) Volumen del contenedor

FV: El volumen total del contenedor debe ser al menos de 10 pies cúbicos.

D: (πR2H) debe ser al menos de 10 pies cúbicos.

FM: πR2H >= 10

b) Restricciones lógicas

R y H >= 0


Minimizar 6πRH + 7.64πR2

Sujeto a:

πR2H >= 10

R y H >= 0

Donde

R = radio de la base en pies

H = altura del cilindro en pies

1.7.6. Problema de mezclas: aleaciones

1.7.6.1. Problema de produccion de aleacion

Un productor de aluminio fabrica una aleación especial que el garantiza que contiene un 90% o más de aluminio, entre 5% y 8% de cobre y el resto de otros metales. La demanda para esta aleación es muy incierta de modo que el productor no mantiene un stock disponible. El ha recibido una orden de 1.000 kg. a $450/kg. La aleación debe hacerse a partir de barras de dos tipos de materiales de desecho, de cobre puro y de aluminio puro. El análisis de los materiales de desecho es el siguiente:

Al Cu Otros

Material de desecho 1 95 3 2

Material de desecho 2 85 1 14

Los respectivos costos son: Material de desecho 1 = $150/kg; Material de desecho 2 = $50/kg; Cobre puro = $150/kg; y Aluminio puro $500/kg.

Cuesta $50 fundir un kilogramo de metal. Se tienen más de 1.000 kg. de cada tipo de metal disponible. Como debe el productor cargar su horno de manera que maximice sus utilidades?

Solución:


MD1 = Kilogramos de material de desecho 1 a utilizar para obtener 1 kilogramo de aleación especial


AL = Kilogramos de aluminio puro a utilizar para obtener 1 kilogramo de aleación especial.

CU = Kilogramos de cobre puro a utilizar para obtener 1 kilogramo de aleación especial.


h) La aleación especial debe tener 90% o más de aluminio.

i) La aleación especial debe tener 5% o mas de cobre

j) La aleación especial debe tener 8% o menos de cobre

k) 1 kg de material de desecho cuesta $150.0

l) 1 kg de material de desecho2 cuesta $50.0



32


m) 1 kg de aluminio puro cuesta $500.0

n) 1 kg de cobre puro cuesta $150.0

o) El costo de fundición de 1 kg de metal es $50.0

p) 1 kg de aleación especial es vendido a $450.0

q) La aleación especial debe tener 90% o mas de aluminio


FV: Minimizar el costo de los insumos de la aleación especial para obtener 1 kg de aleación.

D : Minimizar (costo de material de desecho 1 + costo de material de desecho 2 + costo de aluminio puro + costo de cobre puro) para 1 kg de aleación.

FM: Minimizar 150MD1 +50MD2 + 500AL + 150AL


k) Contenido mínimo de aluminio en aleación especial

FV: La aleación especial debe tener 90% o más de aluminio

D : ((contenido de aluminio en el material de desecho 1 + contenido de aluminio en el material de desecho 2 + contenido de aluminio en el aluminio puro)/(peso del material de desecho 1 + peso del material de desecho 2 + peso del aluminio puro + peso del cobre puro)) debe ser mayor o igual a 90% de aluminio

FM: 0.05MD1 -0.05MD2 + 0.1AL -0.9CU >= 0

l) Contenido mínimo de cobre en aleación especial

FV: La aleación especial debe tener 5% o más de cobre

D : ((contenido de cobre en el material de desecho 1 + contenido de cobre en el material de desecho 2 + contenido de cobre en el cobre puro)/(peso del material de desecho 1 + peso del material de desecho 2 + peso del aluminio puro + peso del cobre puro)) debe ser mayor o igual a 5% de cobre

FM:-0.02MD1 -0.04MD2 -0.05AL + 0.95CU >= 0

m) Contenido máximo de cobre en aleación especial

FV: La aleación especial debe tener 8% o menos de cobre

D : ((contenido de cobre en el material de desecho 1 + contenido de cobre en el material de desecho 2 + contenido de cobre en el cobre puro)/(peso del material de desecho 1 + peso del material de desecho 2 + peso del aluminio puro + peso del cobre puro)) debe ser menor o igual a 8% de cobre

FM:-0.05MD1 -0.07MD2 -0.08AL + 0.92CU >= 0

n) Contenido de 1 kg de aleación especial

FV: La aleación especial debe pesar 1 kg

D : (peso del material de desecho 1 + peso del material de desecho 2 + peso de aluminio puro + peso del cobre puro) debe ser igual a 1 kg

FM: MD1+ MD2 + AL + CU = 1

o) Restricciones lógicas

MD1, MD2, AL y CU >= 0



33



Minimizar 150MD1 +50MD2 + 500AL + 150AL

Sujeto a:

0.05MD1 -0.05MD2 + 0.1AL -0.9CU >= 0

0.02MD1 -0.04MD2 -0.05AL + 0.95CU >= 0

-0.05MD1 -0.07MD2 -0.08AL + 0.92CU >= 0

MD1+ MD2 + AL + CU = 1

MD1, MD2, AL y CU >=0

Donde



AL = Kilogramos de aluminio puro a utilizar para obtener 1 kilogramo de aleación especial.

CU = Kilogramos de cobre puro a utilizar para obtener 1 kilogramo de aleación especial.

1.7.7. Problema de disminucion de contaminacion

1.7.7.1. Problema de abatimiento de contaminacion de Nori&Leets Co.

La Nori&Leets Co., una de las mayores productoras de acero del mundo occidental está localizada en la ciudad de Steeltown y es la única empresa grande de la localidad. La comunidad ha crecido y prosperado junto con la compañía, que de momento emplea cerca de 50 000 residentes. La actitud de los habitantes ha sido siempre un ¨lo que es bueno para Nori&Leets es bueno para nosotros¨. Sin embargo, esta actitud está cambiando, la contaminación no controlada del aire debido a los altos hornos de la planta está en camino de arruinar la apariencia de la ciudad y de poner en peligro la ciudad la salud de sus habitantes.

Como resultado, después de una revuelta entre los accionistas se eligió un nuevo consejo directivo más responsable. Los nuevos directores han decidido seguir políticas de responsabilidad social y realizar pláticas con las autoridades de la ciudad y con grupos de ciudadanos para tomar medidas respecto de la contaminación ambiental. Juntos han establecido estándares rigurosos de calidad del aire para la ciudad de Steeltown.

Los tres tipos principales de contaminantes son partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que la compañía reduzca su emisión anual de estos contaminantes en las cantidades que se presenta en la tabla 1. El Consejo directivo ha dado instrucciones a la administración para que el personal de ingeniería determine cómo lograr estas reducciones en la forma más económica.

Tabla 1. Estándares de aire limpio de Nori & Leets Co.

Contaminante Reducción requerida de la tasa de emisión anual (millones de libras)

Partículas 60

Óxidos de azufre 150

Hidrocarburos 125

La fabricación de acero tiene dos fuentes principales de contaminación: los altos hornos para fabricar el arrabio (lingotes de acero) y los hornos Siemens-Martín para transformar el hierro en acero. En ambos casos los ingenieros determinaron que los métodos de abatimiento más eficaces son: 1) aumentar la altura de las chimeneas, 2) usar filtros (con trampas de gas) en ellas y 3) incluir limpiadores de alto grado en los combustibles de los hornos. Todos estos métodos tienen limitaciones tecnológicas en cuanto al nivel en que pueden usarse; por ejemplo, un incremento factible máximo de las alturas de las chimeneas, pero también existe una gran flexibilidad para usar el método en cualquier nivel fraccionario de su límite tecnológico.



34


La tabla 2. Muestra la cantidad de emisión (en millones de libras anuales) que se puede eliminar de cada tipo de horno mediante el empleo del método de abatimiento al máximo límite tecnológico. Para fines de análisis se supone que cada método se puede usar a un nivel menor para lograr cualquier fracción de reducción de las tasas de emisión que se presentan en esta tabla. Más aún, las fracciones pueden ser diferentes para los altos hornos y los hornos Siemens-Martín, y el uso simultáneo de otro método no afecta de manera significativa la reducción de emisiones que alcanza cada uno de ellos.

Después de obtener estos datos, quedó claro que ningún método por sí solo podía lograr las reducciones requeridas. Por otro lado, la combinación de los tres métodos a toda su capacidad -lo que sería demasiado caro si se quiere que los productos tengan precios competitivos- genera un resultado mucho más elevado de lo que se pide. Por todo esto, la conclusión de los ingenieros fue que debían usar alguna combinación de métodos, tal vez con capacidades fraccionarias basadas en sus costos relativos. Aún más, debido a las diferencias entre los altos hornos y los hornos Siemens-Martín, es probable que la combinación sea diferente para cada tipo de horno.

Tabla 2. Reducción de la tasa de emisión (en millones de libras por año) con el uso máximo factible del método de abatimiento de Nori & Leets Co.

Chimeneas más altas

Filtros Mejores combustibles

Contaminante Altos hornos

Hornos Siemens –

Martins

Altos hornos

Hornos Siemens –

Martins

Altos hornos

Hornos Siemens –

Martins

Partículas 12 9 25 20 17 13

Óxidos de azufre 35 42 18 31 56 49

Hidrocarburos 37 53 28 24 29 20

Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada método de abatimiento. El costo anual de un método incluye el aumento de los gastos de operación y mantenimiento al igual que la reducción de los ingresos de vida a cualquier pérdida de eficiencia en el proceso de producción que puede generar el uso del método. El otro costo importante es el costo fijo inicial (el capital inicial) que se requiere para instalar el método. Para hacer que este costo único fuera conmensurable con los costos anuales, se usó el valor del dinero en el tiempo para calcular el gasto anual (sobre el tiempo esperado de vida del método) que sería equivalente a este costo fijo inicial.

El análisis permitió estimar los costos anuales totales en millones de dólares que se presentan en la tabla 3., en la que se incurre al usar los métodos a toda su capacidad de abatimiento. También se determinó que el costo de un método que se utiliza a un nivel menor es esencialmente proporcional a la capacidad fraccionada de la capacidad de abatimiento que se logra, aspecto que se presenta en la tabla 2. Entonces, para cualquier fracción que se logre, el costo total anual sería en esencia la fracción de la cantidad correspondiente de la tabla 3.

Tabla 3. Costo anual por el uso máximo factible del método de abatimiento de Nori & Leets Co. (millones de dólares)

Método de abatimiento Altos hornos Hornos de corazón abierto

Chimeneas más altas 8 10

Filtros 7 6

Mejores combustibles 11 9

En esta etapa todo está listo para desarrollar el marco general del plan de la compañía para disminuir la contaminación. Éste plan especifica qué tipo de métodos de reducción deberán emplearse y a que fracciones de su capacidad para: 1) los altos hornos y 2) los hornos Siemens-Martín. Debido a la naturaleza combinatoria del problema de encontrar un plan que satisfaga a los requisitos con el menor costo posible, se formó un equipo de investigación de operaciones para resolverlo. El equipo decidió enfocar el problema desde un punto de vista de programación lineal y debe formular un modelo matemático.

Solución:Facultad de Ingeniería de Minas


35



ChAl = Fracción del uso máximo de chimeneas mas altas para altos hornos.

ChHo= Fracción del uso máximo de chimeneas mas altas para hornos Siemens- Martins .

FiAl= Fracción del uso máximo de filtros para altos hornos.

FiHo= Fracción del uso máximo de filtros para hornos Siemens- Martins .

MeAl= Fracción del uso máximo de mejores combustibles para altos hornos.

MeHo= Fracción del uso máximo de mejores combustibles para hornos Siemens- Martins..3


a. Estándares de aire limpio de Nori & Leets Co.

Contaminante Reducción requerida de la tasa de emisión anual (millones de libras)

Partículas 60

Óxidos de azufre 150

Hidrocarburos 125

b. Reducción de la tasa de emisión (en millones de libras por año) con el uso máximo factible del método de abatimiento de Nori & Leets Co.

Chimeneas más altas Filtros Mejores combustibles

Contaminante Altos hornos

Hornos Siemens –

Martins

Altos hornos

Hornos Siemens –

Martins

Altos hornos

Hornos Siemens –

Martins

Partículas 12 9 25 20 17 13

Óxidos de azufre 35 42 18 31 56 49

Hidrocarburos 37 53 28 24 29 20

c. Costo anual por el uso máximo factible del método de abatimiento de Nori & Leets Co. (millones de dólares)

Método de abatimiento Altos hornos Hornos de corazón abierto

Chimeneas más altas 8 10

Filtros 7 6

Mejores combustibles 11 9


FV: Minimizar el costo total de la disminución de la contaminación mediante métodos de abatimiento.

D: Minimizar (Costo del método de chimeneas más altas para altos hornos + costo del método de chimeneas más altas para hornos Siemens- Martins + costo del método de filtros para altos hornos + costo del método de filtros para hornos Siemens- Martins + costo del método de mejores combustibles para altos hornos + costo del método de de mejores combustibles para hornos Siemens- Martins)

FM: Minimizar 8 ChAl + 10 ChHo + 7FiAl + 6FiHo +11MeAl + 9MeHo


p) Reducción requerida de la emisión de partículas anualmente

FV: La reducción requerida de emisión de partículas es de 60 millones de libras anualmente.

D: (reducción de la tasa de emisión empleando el método de chimeneas más altas para altos hornos + reducción de la tasa de emisión empleando el método de chimeneas más altas para hornos Siemens- Martins + reducción de la tasa de emisión empleando el método de filtros para altos hornos + reducción de la tasa de emisión empleando el método de filtros para hornos Siemens- Martins + reducción de la tasa de emisión empleando el método de mejores combustibles para altos hornos + reducción de la



36


tasa de emisión empleando el método de mejores combustibles para hornos Siemens- Martins) debe ser mayor o igual a 60 millones de libras.

FM: 12 ChAl + 9 ChHo + 25FiAl + 20FiHo +17MeAl + 13MeHo >= 60

De manera similar para los métodos de abatimiento de filtros y el uso de mejores combustibles:



q) Eficiencia tecnológica de los métodos

FV: La máxima eficiencia tecnológica del método de chimeneas más altas para altos hornos es del 100%.

FM: ChAl <= 1

De manera similar para los otros métodos de abatimiento:

ChHo <= 1

FiAl <= 1

FiHo <= 1

MeAl <= 1

MeHo <= 1

r) Restricciones lógicas

ChAl, ChHo, FiA, FiHo, MeAl y MeHo >= 0


Minimizar 8 ChAl + 10 ChHo + 7FiAl + 6FiHo +11MeAl + 9MeHo

Sujeto a:

12 ChAl + 9 ChHo + 25FiAl + 20FiHo +17MeAl + 13MeHo >= 60



ChAl <= 1

ChHo <= 1

FiAl <= 1

FiHo <= 1

MeAl <= 1

MeHo <= 1

ChAl, ChHo, FiA, FiHo, MeAl y MeHo >= 0

Donde

ChAl = Fracción del uso máximo de chimeneas mas altas para altos hornos.

ChHo= Fracción del uso máximo de chimeneas mas altas para hornos Siemens- Martins .

FiAl= Fracción del uso máximo de filtros para altos hornos.

FiHo= Fracción del uso máximo de filtros para hornos Siemens- Martins .

MeAl= Fracción del uso máximo de mejores combustibles para altos hornos.

MeHo= Fracción del uso máximo de mejores combustibles para hornos Siemens- Martins..3

1.7.8. Problemas de mezclas



37


1.7.8.1. Problema de optimizacion de mezcla de Luz del Centro

Luz del Centro es dueña de una central turbogeneradora. Como en los alrededores hay abundantes depósitos de carbón, la central genera su vapor con ese combustible. Sin embargo, eso puede causar una emisión que no cumpla con las normas ambientales, que limitan la descarga de dióxido de azufre a 2 000 partes por millón por tonelada de carbón quemado, y la descarga de humo por las chimeneas a 20 libras por hora. La empresa recibe dos clases de carbón pulverizado, C1 y C2, que usa en sus calderas. Las dos clases se suelen mezclar antes de quemarlas. Para simplificar, se puede suponer que el dióxido de azufre contaminante de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado para cada clase que se usa en la mezcla. Los datos siguientes se basan en 1 tonelada de consumo por hora, de cada una de las dos clases de carbón.

Clase de carbón

Descarga de azufre

Partes por millón

Descarga de humo

Lb/hora

Vapor generado

Lb/hora

C1 1 800 2,1 12 000

C2 2 100 0,9 9 000

Determine la relación óptima de mezcla de las dos clases de carbón.

Solución:

a) Formulación del modelo matemático


C1 = El número de toneladas de carbón pulverizado tipo 1 a mezclarse por hora.



b) Emisión de contaminantes por la quema de carbón y vapor generado por 1 tonelada de consumo por hora

Clase de carbón

Descarga de azufre

Partes por millon

Descarga de humo

Lb/hora

Vapor generado

Lb/hora

C1 1 800 2,1 12 000

C2 2 100 0,9 9 000

a. Limite máximo permisible de emisión de dióxido de azufre = 2 000 ppm

b. Limite máximo permisible de descarga de humo por las chimeneas = 20 lb/h


FV: Maximizar el vapor generado por la central turbogeneradora

D : Maximizar (el vapor generado por el carbón tipo 1 + el vapor generado por el carbón tipo)

FM: Maximizar 12 000C1 + 9 000C2


a) Limite máximo permisible de dióxido de azufre

FV: La cantidad total de dióxido de azufre emitido por la quema de carbón no debe ser mayor de 2 000 ppm.

D : (La cantidad de dióxido de azufre emitido por la quema del carbón 1 + La cantidad de dióxido de azufre emitido por la quema del carbón 2) no debe ser mayor de 2 000 ppm.

FM:



38


FM: -200C1 + 100C2 <= 0

b) Limite máximo permisible de descarga de humo

FV: La cantidad total de descarga de humo emitido por la quema de carbón no debe ser mayor de 20 lb.

D : (La cantidad de descarga de humo emitido por la quema del carbón 1 + La cantidad de descarga de humo emitido por la quema del carbón 2) no debe ser mayor de 20 lb

FM: 2,1C1 + 0,9C2 <= 20


C1 y C2 >= 0 y enteros.


Maximizar 12 000C1 + 9 000C2

Sujeto a:

F-200C1 + 100C2 <= 0

2,1C1 + 0,9C2 <= 20

C1 y C2 >= 0 y enteros.

Donde



1.7.8.2. Problema de merzcla de crudos de Exxon Oil Co.

Exxon Oil Co. Construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para avión. Las demandas (en barriles/día) de esos productos son: 14 000, 30 000, 10 000 y 8 000, respectivamente. Irán y Dubai tienen contrato para enviar crudo a Exxon Oil Co. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. Exxon Oil Co. pronostica que estas cuotas de demanda y crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes.

Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0,2 barril de diesel, 0,25 barril de gasolina, 0,1 barril de lubricante y 0,15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0,1, 0,6, 0,15 y 0,1 respectivamente.

Exxon Oil Co. Necesita determinar la capacidad mínima de la refinería en barriles de crudo por día.

Solución:


CI = el número de barriles de crudo comprados a Irán diariamente.

CD = el número de barriles de crudo comprados a Dubai diariamente.


a) Demanda de productos

Diesel = 14 000 barriles/día

Gasolina = 30 000 barriles/día

Lubricantes = 10 000 barriles/día

Combustible para avión = 8 000 barriles/día

b) Rendimiento de los crudos



39


Procedencia

Rendimiento (barriles)

Diesel Gasolina LubricantesCombustible para avión

Irán 0,2 0,25 0,1 0,15

Dubai 0,1 0,6 0,15 0,1

c) Mínimo de crudo procedente de Irán = 40%


FV: Minimizar la cantidad de crudo comprado por día

D : Minimizar ( cantidad de crudo comprado a Irán + cantidad de crudo comprado a Dubai)

FM: Minimizar CI + CD


a) Producción de diesel

FV: la producción de diesel debe ser al menos 14 000 barriles/día

D : (diesel procedente del crudo de Irán + diesel procedente del crudo de Dubai)debe ser al menos 14 000 barriles /día

FM: 0,2CI + 0,1 CD >= 14 000

b) Producción de gasolina, lubricante y combustible para avión


Producción de gasolina:

0,25 CI + 0,6CD >= 30 000

Producción de lubricante:

0,1 CI + 0,15CD >= 10 000

Producción de combustible para avión:

0,15 CI + 0,1CD >= 8 000

c) Crudo comprado de Irán

FV: al menos debe recibir el 40% de crudo de Irán

DM: crudo de Irán debe ser mayor de 0,4x(crudo de Irán + crudo de Dubai)

FM: CI >= 0,4(CI + CD)

0,6CI – 0,4CD >= 0


CI y CD >= 0 y enteros.


Minimizar CI + CD

Sujeto a:

0,2CI + 0,1 CD >= 14 000

0,25 CI + 0,6CD >= 30 000

0,1 CI + 0,15CD >= 10 000

0,15 CI + 0,1CD >= 8 000

0,6CI – 0,4CD >= 0



40


CI y CD >= 0 y enteros.

Donde

CI = el número de barriles de crudo comprados a Irán diariamente.

CD = el número de barriles de crudo comprados a Dubai diariamente.

1.7.8.3. Problema de mezclas de Ananea Chemicals Co.

En Ananea Chemicals Co., se usan las materias primas I y II para producir dos soluciones para lixiviación, A Y B. La disponibilidad diaria de las materias primas I y II es de 150 y 140 galones respectivamente. Una unidad de solución A consume 0,5 unidad de materia prima I y 0,6 unidad de materia II; una unidad de solución B requiere 0,5 unidad de materia prima I y 0,4 unidad de materia prima II. Las utilidades unitarias de las soluciones A y B son $8 y $10, respectivamente. La demanda diaria de la solución A esta entre 30 y 150 unidades, y la de la solución B entre 40 y 200 unidades.

Solución:


SA = el número de unidades de solución A a producir diariamente.

SB = el número de unidades de solución B a producir diariamente.


a) Consumo y disponibilidad de las materias primas I y II

Materia Prima Solución A Solución BDisponibilidad

Gl/x día

I 0,5 0,5 150

II 0,6 0,4 140

b) Utilidades unitarias de las soluciones

Solución A: $ 8,0

Solución B: $ 10,0

c) Demanda de las soluciones

a. Solución A: entre 30 y 150 unidades

b. Solución B: entre 40 y 200 unidades

c.


FV: Maximizar las utilidades por la venta de las soluciones A y B

D : Maximizar (utilidades por la venta de la solución A + utilidades por la venta de la solución B)

FM: Maximizar 8SA + 10SB


a) Consumo del material I

FV: El consumo del material I no debe exceder de 150 gl/día

D : (consumo del material I para producir la solución A + consumo del material I para producir la solución B) no debe de exceder de 150 gl/día.

FM: 0,5 SA + 0,5SB <= 150

b) Consumo del material II



41


FV: El consumo del material II no debe exceder de 140 gl/día

D : (consumo del material II para producir la solución A + consumo del material II para producir la solución B) no debe de exceder de 140 gl/día.

FM: 0,6 SA + 0,4SB <= 140

c) Demanda de la solución A

FV: La demanda de la solución A está entre 30 y 150 gl/día

FM: SA >= 30 y SA<= 150

d) Demanda de la solución B

FV: La demanda de la solución B está entre 40 y 200 gl/día

FM: SB >= 40 y SB<= 200


SA y SB >= 0 y enteros.


Maximizar 8SA + 10SB

Sujeto a:

0,5 SA + 0,5SB <= 150

0,6 SA + 0,4SB <= 140

SA >= 30

SA<= 150

SB >= 40

SB<= 200

SA y SB >= 0 y enteros

Donde

SA = el número de unidades de solución A a producir diariamente.

SB = el número de unidades de solución B a producir diariamente.

1.7.8.4. Problema de mezcla de gasolinas

Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, normal y súper, que vende a sus estaciones de servicio a 120 y 140 dólares/barril respectivamente. Ambos tipos de gasolina se realizan mezclando combustible nacional y extranjero de sus almacenes, y debe cumplir las siguientes especificaciones:

Presión de

vapor máxima

Octanaje

mínimo

Demanda máxima

barriles/semana

Entregas mínimas

barriles/semana

Normal 23 88 100 000 50 000

Súper 23 93 20 000 5 000

Las características del combustible disponible en el almacén son:

Presión de

Octanaje

Barriles en el

Costo

$/barril



42


vapor almacén

Nacional 25 87 40 000 80

Extranjero 15 98 60 000 150

¿Qué cantidades de combustible nacional y extranjero deben mezclarse para producir las dos gasolinas y obtener los máximos beneficios semanales? Formule el modelo matemático correspondiente.

NOTA: Los componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de acuerdo a su porcentaje en la mezcla.

Solución:


GN = Número de barriles de gasolina normal a producir por semana

GS= Número de barriles de gasolina super a producir por semana

CNN= Número de barriles de combustible nacional para producir gasolina normal por semana

CEN= Número de barriles de combustible extranjero para producir gasolina normal por semana

CNS= Número de barriles de combustible nacional para producir gasolina super por semana

CES= Número de barriles de combustible extranjero para producir gasolina super por semana.


a) Precio de 1 barril de gasolina normal = 120 $

b) Precio de 1 barril de gasolina super = 140 $

c) Especificaciones técnicas de las gasolinas

Presión de vapor

máxima

Octanaje mínimo

Demanda máxima

barriles/semana

Entregas mínimas

barriles/semana

Normal 23 88 100 000 50 000

Súper 23 93 20 000 5 000

d) Características del combustible

Presión de vapor

Octanaje Barriles en el almacén

Costo

$/barril

Nacional 25 87 40 000 80

Extranjero 15 98 60 000 150


FV: Maximizar los beneficios semanales por concepto de venta de gasolina

D : Maximizar (ingresos por concepto de venta de gasolina normal + ingresos por concepto de venta de gasolina super – egreso por concepto de compra de combustible nacional – egreso por concepto de compra de combustible extranjero)

FM: Maximizar 120 GN + 140 GS – 80 CNN – 80 CNS – 150 CEN – 150 CES


a) Demanda máxima de gasolina normal

FV: La demanda máxima de la gasolina normal por semana es de 100 000 barriles

FM: GN <= 100 000



43


b) Demanda máxima de gasolina super

De manera similar al caso anterior

GS <= 20 000

c) Entrega mínima de gasolina normal

FV: La entrega mínima de la gasolina normal por semana es de 50 000 barriles

FM: GN >= 50 000

d) Entrega mínima de gasolina super


GS >= 5 000

e) Presión de vapor máxima de la gasolina normal

FV: La presión de vapor de la gasolina normal debe ser menos de 23

D : (presión de vapor aportado por el combustible nacional + presión de vapor aportado por el combustible extranjero) debe ser menor de 23

FM: 25 CNN + 15 CEN <= 23 GN

25 CNN + 15 CEN - 23 GN <= 0

f) Presión de vapor máxima de la gasolina super


25 CNS + 15 CES - 23 GS <= 0

g) Octanaje mínimo de la gasolina normal

FV: El octanaje de la gasolina normal debe ser mayor de 88

D : (octanaje aportado por el combustible nacional + octanaje aportado por el combustible extranjero) debe ser mayor de 88

FM: 87 CNN + 98 CEN >= 88 GN

87 CNN + 98 CEN - 88 GN >= 0

h) Octanaje mínimo de la gasolina super


87 CNS + 98 CES - 93 GS >= 0

i) Existencia de combustible nacional en el almacén

FV: El número de barriles de combustible nacional que puede utilizarse para producir gasolina es máximo 40 000

FM: CNN + CNS <= 40 000

j) Demanda máxima con el combustible extranjero


CEN + CES <= 60 000

k) Igualdad para gasolina normal

FV: El volumen de Combustible utilizado es igual al volumen de gasolina normal producido

D : (Volumen combustibles nacional + volumen de combustible extranjero = Volumen de gasolina normal)

FM: CNN + CEN = GN

CNN + CEN - GN = 0

l) Igualdad para gasolina normal


CNS + CES - GS = 0

m) Restricciones lógicas



44


GN, GS, CNN, CNS, CEN y CES >= 0


Maximizar 120 GN + 140 GS – 80 CNN – 80 CNS – 150 CEN – 150 CES

Sujeto a:

GN <= 100 000

GS <= 20 000

GN >= 50 000

GS >= 5 000

25 CNN + 15 CEN - 23 GN <= 0

25 CNS + 15 CES - 23 GS <= 0

87 CNN + 98 CEN - 88 GN >= 0

87 CNS + 98 CES - 93 GS >= 0

CNN + CNS <= 40 000

CEN + CES <= 60 000

CNN + CEN - GN = 0

CNS + CES - GS = 0

GN, GS, CNN, CNS, CEN y CES >= 0

Donde

GN = Número de barriles de gasolina normal a producir por semana

GS= Número de barriles de gasolina super a producir por semana

CNN= Número de barriles de combustible nacional para producir gasolina normal por semana

CEN= Número de barriles de combustible extranjero para producir gasolina normal por semana

CNS= Número de barriles de combustible nacional para producir gasolina super por semana

CES= Número de barriles de combustible extranjero para producir gasolina super por semana.



45


CAPITULO III

APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1.8. Modelos de programación lineal para decisiones de mezcla de productos

1.8.1. Problema de mezcla de Explosives Inc.

En Explosives, Inc. se mezclan azufre, carbón y salitre para producir pólvora. El producto final debe contener al menos 10%, pero no más de 20%, de carbón por unidad de peso. La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la cantidad de carbón usado. Para evitar una explosión accidental, la suma de 50% del azufre mas 60% de carbón mas 30% del salitre usados no puede exceder 35% del producto final. El azufre es con mucho el componente más caro. Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ingrediente que debe utilizarse para producir cada libra de pólvora que satisfaga las restricciones y, a la vez, que requiera la menor cantidad de azufre.

Solución:


C = cantidad de libras de carbón utilizados para producir 1 lb de pólvora

A = cantidad de libras de azufre utilizados para producir 1 lb de pólvora

S = cantidad de libras de salitre utilizados para producir 1 lb de pólvora


a. El producto final debe contener al menos 10%, pero no más de 20%, de carbón por unidad de peso.

b. La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la cantidad de carbón usado.

c. Para evitar una explosión accidental, la suma de 50% del azufre más 60% de carbón mas 30% del salitre usados no puede exceder 35% del producto final.

d. El azufre es con mucho el componente más caro.


FV: Minimizar el uso de azufre en la producción de pólvora

FM: Minimizar S



46



s) Porcentaje máximo de carbón

FV: El producto final debe contener al menos 10% de carbón por unidad de peso.

FM: S >= 0.10

t) Porcentaje mínimo de carbón

FV: El producto final debe contener no más de 20% de carbón por unidad de peso.

FM: S <= 0.20

u) Cociente salitre/carbón

FV: La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la cantidad de carbón usado

FM: S <= 0.5C

S - 0.5C <= 0

v) Cantidad de componentes

FV: Para evitar una explosión accidental, la suma de 50% del azufre más 60% de carbón mas 30% del salitre usados no puede exceder 35% del producto final

FM: 0.5A + 0.6C +0.3S <= 0.35

a) Balance

FV: se debe mezclar azufre, carbón y salitre para producir 1 lb de pólvora

FM: A + C + S = 1.00

w) Restricciones lógicas

A, C y S >= 0


Minimizar S

Sujeto a:

S >= 0.10 (% máximo de carbón)

S <= 0.20 (% mínimo de carbón)

S - 0.5C <= 0 (cociente salitre/carbón)

0.5A + 0.6C +0.3S <= 0.35 (cantidad de componentes)

A + C + S = 1.00 (balance)

A, C y S >= 0

Donde

C = cantidad de libras de carbón utilizados para producir 1 lb de pólvora

A = cantidad de libras de azufre utilizados para producir 1 lb de pólvora

S = cantidad de libras de salitre utilizados para producir 1 lb de pólvora

1.8.2. Problema de mezcla de aditivos a gasolina

Una compañía petrolera utiliza dos aditivos, x y y, que se mezcla con gasolinas de alto grado. Después de un cuidadoso análisis se han determinado las siguientes restricciones:

a. Si se emplea más de un cuarto de litro de aditivos totales por carro cisterna, los aditivos forman depósitos perjudiciales en los carburadores.

b. 2x + y no puede ser menor que un cuarto o la gasolina no tendrá su color distintivo (un punto principal en las ventas).



47


c. Medio litro de aditivo x añadiera 100 unidades equivalentes de octano por carro cisterna y medio litro del aditivo y añadiera 200 unidades equivalentes de octano por carro cisterna. El número total de unidades equivalentes por carro cisterna no puede ser menor a 60, a fin de asegurar los estándares de rendimiento.

d. El aditivo x cuesta $ 150 por medio litro y el aditivo y cuesta $ 400 por medio litro.

Determine el modelo matemático para realizar el cálculo de la mezcla óptima de aditivos.

Solución:


x = cantidad de litros de aditivo x a mezclar para producir 1 litro de gasolina de alto grado

y = cantidad de litros de aditivo y a mezclar para producir 1 litro de gasolina de alto grado


a. Se utiliza los aditivos x y y para producir gasolina de alto grado

b. Si se emplea más de un cuarto de litro de aditivos totales por carro cisterna, los aditivos forman depósitos perjudiciales en los carburadores.

c. 2x + y no puede ser menor que un cuarto o la gasolina no tendrá su color distintivo (un punto principal en las ventas).

d. Medio litro de aditivo x añadiera 100 unidades equivalentes de octano por carro cisterna y medio litro del aditivo y añadiera 200 unidades equivalentes de octano por carro cisterna. El número total de unidades equivalentes por carro cisterna no puede ser menor a 60, a fin de asegurar los estándares de rendimiento.

e. El aditivo x cuesta $ 150 por medio litro y el aditivo y cuesta $ 400 por medio litro.


FV: Minimizar el costo de los aditivos x y y para producir gasolina de alto grado

D: Minimizar el costo del aditivo x mas el costo del aditivo y utilizados para producir gasolina de alto grado

FM: Minimizar 300x + 400y


a) Uso máximo de aditivos

FV: Si se emplea más de un cuarto de litro de aditivos totales por carro cisterna, los aditivos forman depósitos perjudiciales en los carburadores

D: el aditivo x mas el aditivo y deben ser menor de un cuarto de litro

FM: x + y <= 0.25

b) Color distintivo de la gasolina

FV: 2x + y no puede ser menor que un cuarto o la gasolina no tendrá su color distintivo

FM: 2x + y >= 0.25

c) Unidades mínimas de octano

FV: Medio litro de aditivo x añadiera 100 unidades equivalentes de octano por carro cisterna y medio litro del aditivo y añadiera 200 unidades equivalentes de octano por carro cisterna. El número total de unidades equivalentes por carro cisterna no puede ser menor a 60

D: las unidades de octano añadidos por el aditivo x mas las unidades de octano añadidos por el aditivo y deben ser mayor de 60

FM: 200x + 400y >= 60




48


x, y >= 0


Minimizar 300x + 400y

Sujeto a:

x + y <= 0.25 (uso máximo de aditivos)

2x + y >= 0.25 (color distintivo de la gasolina)

200x + 400y >= 60 (unidades mínimas de octano)

x, y >= 0

Donde

x = cantidad de litros de aditivo x a mezclar para producir 1 litro de gasolina de alto grado

y = cantidad de litros de aditivo y a mezclar para producir 1 litro de gasolina de alto grado

1.8.3. Problema de mezcla de petróleo de World oil Company

World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25 por barril y crudo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:

Petróleo Crudo Gasolina Turbosina Queroseno

Crudo ligero 0,35 0,36 0,22

Crudo pesado 0,45 0,18 0,28

Cada barril de petróleo crudo ligero produce un desecho de 0,07 de barril que se tira a un costo de $1 por barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0,09 de barril y su eliminación cuesta $ 1,50 por barril.

La refinería se ha comprometido a entregar 960 000 barriles de gasolina, 1 200 000 barriles de turbosina y 450 000 barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que satisfaga la demanda apropiada.

Solución:


CL = el número de de barriles de crudo ligero a adquirir

CP = el número de de barriles de crudo pesado a adquirir


a) Costo de 1 barril de crudo ligero

= costo compra + costo de deposición de desecho

= $25,0 + $1,0 = $26,0

b) Costo de 1 barril de crudo pesado

= costo compra + costo de deposición de desecho

= $22,0 + $1,5 = $23,5

c) Productos obtenidos de 1 barril de crudo ligero

a. Gasolina: 0,35 barril

b. Turbosina: 0,36 barril



49


c. Queroseno: 0,22 barril

d. Desecho: 0,07 barril

d) Productos obtenidos de 1 barril de crudo pesado

a. Gasolina: 0,45 barril

b. Turbosina: 0,18 barril

c. Queroseno: 0,28 barril

d. Desecho: 0,09 barril

e) Compromisos de venta adquiridos

a. Gasolina: 960 000 barril

b. Turbosina: 1 200 00 barril

c. Queroseno: 450 000 barril


FV: Minimizar el costo total de la compra de crudos

D : Minimizar costo = Minimizar ( costo2 de crudo ligero + costo de crudo pesado)

FM: Minimizar 26,0 CL + 23,5 CP


a) Compromiso de venta de gasolina

FV: producir un mínimo de 960 000 barriles de gasolina

D : la producción de (gasolina de crudo ligero + gasolina de crudo pesado) debe ser al menos 960 000 barriles

FM: 0,35CL + 0,45CP >= 960 000

b) Compromiso de venta de turbosina

FV: producir un mínimo de 1 200 000 barriles de gasolina

D : la producción de (turbosina de crudo ligero + turbosina de crudo pesado) debe ser al menos 1 200 000 barriles

FM: 0,36CL + 0,18CP >= 1 200 000

c) Compromiso de venta de queroseno

FV: producir un mínimo de 450 000 barriles de queroseno

D : la producción de (queroseno de crudo ligero + queroseno de crudo pesado) debe ser al menos 450 000 barriles

FM: 0,22CL + 0,28CP >= 450 000


CL y CP >= 0 y enteros


Minimizar 26,0 CL + 23,5 CP

Sujeto a:

0,35CL + 0,45CP >= 960 000

0,36CL + 0,18CP >= 1 200 000

0,22CL + 0,28CP >= 450 000

CL y CP >= 0 y enteros

2 Costo = costo de 1 barril de crudo x número de barriles de crudo a adquirir.



50


Donde

CL = el número de de barriles de crudo ligero a adquirir

CP = el número de de barriles de crudo pesado a adquirir

1.8.4. Problema de mezcla de la Tomas River Chemicals

La Tomas River Chemicals Inc., debe producir 1 000 lb de una mezcla especial para un cliente, compuesta de los ingredientes AX1, AX2, AX·. El ingrediente AX1 cuesta $ 7,0 la libra, el AX2 cuesta $ 6,9/lb y la AX3 $7,0/lb. No pueden usarse mas de 300 libras de AX1 y debe usarse por lo menos 150 lb de AX2. Además se requieren de por lo menos 200 lb de AX3.

Como la empresa desea minimizar los costos, formule un modelo matemático para determinar la cantidad de cada ingrediente que debe utilizar la empresa.

Solución:


AX1 = el número de libras del ingrediente AX1 a usarse para producir la mezcla




a) La empresa debe producir 1 000 lb de una mezcla especial

b) El ingrediente AX1 cuesta $ 7,0 la libra

c) El ingrediente AX2 cuesta $ 6,9 la libra

d) El ingrediente AX3 cuesta $ 7,0 la libra

e) No puede usarse más de 300 lb del ingrediente AX1

f) Debe usarse por lo menos 150 lb del ingrediente AX2

g) Se requiere por lo menos 200 lb de AX3


FV: Minimizar el costo de operación de la empresa.

D : Minimizar (costo del ingrediente AX1 + costo del ingrediente AX2 + costo del ingrediente AX3)

FM: Minimizar 7 AX1 + 6,9 AX2 + 7 AX3


a) Producción

FV: La empresa debe producir 1 000 lb de una mezcla especial

D : (costo del ingrediente AX1 + costo del ingrediente AX2 + costo del ingrediente AX3) debe ser al menos 1 000 lb

FM: AX1 + AX2 + AX3 >= 1 000

b) Uso del ingrediente AX1

FV: No puede usarse más de 300 lb del ingrediente AX1

FM: AX1 <= 300

c) Uso del ingrediente AX2

FV: Debe usarse por lo menos 150 lb del ingrediente AX2

d) Uso del ingrediente AX3

FV: Se requiere por lo menos 200 lb de AX3



51




Minimizar 7 AX1 + 6,9 AX2 + 7 AX3

Sujeto a:

AX1 + AX2 + AX3 >= 1 000

AX1 <= 300

AX2 >= 150

AX3 >= 200

AX1, AX2 y AX3 >= 0 y enteros

Donde




1.9. Modelos de programación lineal para decisiones de fabricación o compra

1.9.1. Problema de planeamiento de producción de Ananea Gold Pump

Ananea Gold Pump Corporation tiene tres plantas sucursales con capacidades de producción en exceso. Las tres plantas tienen los elementos necesarios como para producir distintos tamaños de bombas y el gerente ha decidido usar parte de la capacidad de producción en exceso para este fin. Las bombas pueden fabricarse en tres tamaños: grande, mediano y pequeño, que dan como resultado una utilidad unitaria neta de $140, $120 y $100 respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen la capacidad de mano de obra y equipo en exceso como para producir 750, 900 y 450 unidades a las semana de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o combinación de tamaños que se aplique. Sin embargo el espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso también impone una limitación sobre las tasas de producción. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso, para una semana de producción. Cada unidad de los tamaños grande, mediano y pequeño producida por semana requiere de 20, 15 y 12 pies cuadrados respectivamente.

Los pronósticos de venta indican que pueden venderse semanalmente 900, 1200 y 750 bombas de los tamaños grande, mediano y pequeño.

Con el fin de mantener una carga uniforme de trabajo entre las plantas y conservar cierta flexibilidad, el gerente ha decidido que la producción adicional asignada a cada planta debe usar el mismo porcentaje de la capacidad de mano de obra y equipo en exceso.

El gerente desea saber cuánto debe producirse de cada uno de los tamaños en cada una de las plantas para maximizar la utilidad.

Solución


Para resolver el problema debemos determinar el número de bombas de distinto tamaño que debe producir cada planta.

XG1 = El número de bombas de tamaño grande que debe producir la planta 1 en una semana.



XM1 = El número de bombas de tamaño mediano que debe producir la planta 1 en una semana.





52


XP1 = El número de bombas de tamaño pequeño que debe producir la planta 1 en una semana.




BombasUtilidad

Unitaria Neta ($)

Espacio de Almacenamient

o (pies cuadrados)

Demanda Semanal

(Und)

Grande 140 20 900

Mediana 120 15 1200

Pequeña 100 12 750

Planta de Producción

Capacidad de Producción

(Und)

Espacio de Almacenamient

o (pies cuadrados)

1 750 13000

2 900 12000

3 450 5000

La producción adicional asignada a cada planta debe usar el mismo porcentaje de la capacidad de mano de obra y equipo en exceso.


FV: Maximizar la utilidad obtenida por la venta de bombas de distinto tamaño.

D: Maximizar (utilidad obtenida por la venta de bombas grandes producidas en las plantas de producción 1,2 y 3 + utilidad obtenida por la venta de bombas mediana producidas en las plantas de producción 1,2 y 3 + utilidad obtenida por la venta de bombas pequeñas producidas en las plantas de producción 1,2 y 3)

FM: Maximizar 140 (XG1 + XG2 + XG3) + 120(XM1 + XM2 + XM3) + 100(XP1 + XP2 + XP3)


a) Capacidad de producción de la planta 1

FV: La capacidad de producción de bombas de la planta 1 es de 750 unidades.

D: La producción de bombas grandes + La producción de bombas medianas + La producción de bombas pequeñas es de 750 unidades.

FM: XG1 + XM1 + XP1 <= 750

De manera similar en las plantas 2 y 3:

XG2 + XM2 + XP2 <= 900

XG3 + XM3 + XP3 <= 450

b) Capacidad del espacio de almacenamiento de la planta 1

FV: El espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso de la planta 1 es de 13000 pies cuadrados.



53


D: El espacio de almacenamiento disponible para (bombas grandes en proceso + bombas medianas en proceso + bombas pequeñas en proceso) de la planta 1 es de 13000 pies cuadrados.

FM: 20XG1 + 15XM1 + 12XP1 <= 13000

De manera similar en las plantas 2 y 3:

20XG2 + 15XM2 + 12 XP2 <= 12000

20XG3 + 15XM3 + 12XP3 <= 5000

c) Demanda del mercado de la bomba de tamaño grande

FV: Los pronósticos de venta indican que pueden venderse semanalmente 900 bombas de tamaño grande.

D: Las (bombas grandes producidas en la planta 1 + bombas grandes producidas en la planta 1 + bombas grandes producidas en la planta 1) que pueden venderse semanalmente es de 900 unidades.

FM: XG1 + XG2 + XG3 <= 900

De manera similar en las bombas medianas y pequeñas:

XM1 + XM2 + XM3 <= 1200

XP1 + XP2 + XP3 <= 750

d) Condición de la gerencia

FV: la producción adicional asignada a cada planta debe usar el mismo porcentaje de la capacidad de mano de obra y equipo en exceso.

FM:

900XG1 +900 XM1 +900 XP1 - 750XG2 - 750XM2 - 750XP2 = 0

De manera similar en las producción de las plantas 1 y 3, 2 y 3.

450XG1 + 450XM1 + 450XP1 - 750XG3 - 750XM3 - 750XP3 = 0

900XG3 +900 XM3 +900 XP3 - 450XG2 - 450XM2 - 450XP2 = 0


XG1 , XG2 , XG3 , XM1 , XM2 ,, XM3 , XP1 , XP2 , XP3>= 0 y enteros


Maximizar 140 (XG1 + XG2 + XG3) + 120(XM1 + XM2 + XM3) + 100(XP1 + XP2 + XP3)

Sujeto a:

XG1 + XM1 + XP1 <= 750

XG2 + XM2 + XP2 <= 900

XG3 + XM3 + XP3 <= 450

20XG1 + 15XM1 + 12XP1 <= 13000

20XG2 + 15XM2 + 12 XP2 <= 12000

20XG3 + 15XM3 + 12XP3 <= 5000

XG1 + XG2 + XG3 <= 900

XM1 + XM2 + XM3 <= 1200

XP1 + XP2 + XP3 <= 750

900XG1 +900 XM1 +900 XP1 - 750XG2 - 750XM2 - 750XP2 = 0

450XG1 + 450XM1 + 450XP1 - 750XG3 - 750XM3 - 750XP3 = 0

900XG3 +900 XM3 +900 XP3 - 450XG2 - 450XM2 - 450XP2 = 0

XG1, XG2, XG3, XM1, XM2, XM3, XP1, XP2, y XP3 >= 0 y enteros

Donde:



54











1.9.2. Problema de compra de equipo militar

El gobierno ha dispuesto $ 1500 millones de dólares de su presupuesto general para fines militares. Sesenta por ciento del presupuesto militar se utilizara para comprar tanques, aviones y proyectiles. Estos pueden adquirirse a un costo por unidad de $ 600000, $ 2 millones y $ 800000, respectivamente. Se ha decidido que se deben adquirir al menos 200 tanques y 200 aviones. Debido a la escasez de pilotos experimentados, también se ha decidido no comprar más de 300 aviones. Por razones estratégicas, la proporción de proyectiles a aviones comprados debe estar en el rango de ¼ a ½. El objetivo es maximizar la utilidad total de estas armas, en donde las utilidades individuales están dadas como 1, 3 y 2, respectivamente. Formular el programa lineal.

Solución:


T = Número de tanques a adquirir

A= Número de aviones a adquirir

P= Número de proyectiles a adquirir


El gobierno dispone de $ 1500 millones de dólares de su presupuesto general para fines militares.

Sesenta por ciento del presupuesto militar se utilizara para comprar tanques, aviones y proyectiles. = 0.60 x $ 1500 millones = $ 900 millones

Los tanques cuestan por unidad $ 600000.

Los aviones cuestan $ 2 millones cada uno.

Los misiles 800000 cada uno.

Se ha decidido que se deben adquirir al menos 200 tanques y 200 aviones.

Debido a la escasez de pilotos experimentados, también se ha decidido no comprar más de 300 aviones.

Por razones estratégicas, la proporción de proyectiles a aviones comprados debe estar en el rango de ¼ a ½.

El objetivo es maximizar la utilidad total de estas armas, en donde las utilidades individuales están dadas como 1, 3 y 2, respectivamente.


FV: Maximizar la utilidad de las armas que se piensa adquirir.

D: Maximizar (utilidad de tanques + utilidad de aviones + utilidad de misiles)

FM: Maximizar 1 x T + 3 x A +2 x P

Maximizar T + 3A + 2P



55



a) Disponibilidad de presupuesto

FV: El gobierno utilizara $ 900 millones para adquirir tanques, aviones y proyectiles.

D: (compra de tanques + compra de aviones + compra de misiles) es menor o igual a 900 millones.

FM: 0.6T + 2A + 0.8P <= 900

b) Preferencia de tanques

FV: El gobierno debe adquirir al menos 200 tanques.

FM: T >= 200

c) Preferencia de aviones

FV: El gobierno debe adquirir al menos 200 aviones.

FM: A >= 200

d) Disponibilidad de pilotos

FV: Debido a la escasez de pilotos experimentados el gobierno no debe adquirir más de 300 aviones.

FM: A <= 300

e) Razones estratégicas

FV: La proporción de proyectiles a aviones comprados debe estar en el rango de ¼ a ½..

FM: 1/4 = P/A = ½

De donde tenemos:

4P – A >= 0

2P – A <= 0

f) Restricciones lógicas

T, A y P >= 0


Maximizar T + 3A + 2P

Sujeto a:

0.6T + 2A + 0.8P <= 900

T >= 200

A >= 200

A <= 300

4P – A >= 0

2P – A <= 0

T, A y P >= 0

Donde

T = Número de tanques a adquirir

A= Número de aviones a adquirir

P= Número de proyectiles a adquirir

1.10. Modelos de programación lineal para decisiones de producción

1.10.1. Problema de producción de energía del departamento de energía del Paraguay

El departamento de energía de Paraguay actualmente está en el proceso de desarrollar un plan nacional de energía para el año 2009. Paraguay puede generar energía de cualquiera de cinco



56


fuentes: carbón, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo. Los datos sobre los recursos de energía, las capacidades de generación medidas en megawatt-horas (MW-hr, y los costos unitarios de generación se dan en la tabla 1.

Tabla 1. Capacidades de generación y costos

Fuente de Energía Capacidad Total

(MW-hr)

Costo de Generación

($/MW-hr)

Carbón 45 000 6,0

Gas natural 15 000 5,5

Nuclear 45 000 4,5

Hidroeléctrica 24 000 5,0

Petróleo 48 000 7,0

Paraguay necesita 50 000 MW-hr de energía de uso domestico, y el país tiene un compromiso para producir 10 000 MW-hr para la exportación. Más aun, a fin de conservar los recursos de energía y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones.

1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energía total generada por Paraguay.

2. Debe utilizarse al menos 80% de las capacidades de la plantas de carbón

3. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites especificados en la tabla 2.

4. la cantidad de energía generada a partir del gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir del petróleo.

Tabla 2. Datos de contaminación en la generación de energía

Fuente de Energía

Contaminante (g/MW-hr)

Dióxido de Azufre

Monóxido de Carbono

Partículas de Polvo

Desechos sólidos

Carbón 1,5 1,2 0,7 0,4

Gas natural 0,2 0,5 - -

Nuclear - 0,1 0,2 0,7

Hidroeléctrica - - - -

Petróleo 0,4 0,8 0,5 0,1

Kg máximos permitidos

75 60 30 25

Formule el modelo matemático correspondiente.

Solución:


C = el número de MW-h generados con carbón

G = el número de MW-h generados con gas natural

N = el número de MW-h generados con material nuclear.

H = el número de MW-h generados con proyectos hidroeléctricos.

P = el número de MW-h generados con petróleo.


a) Demanda de energía:



57


Consumo domestico: 50 000 MW-hr

Exportación: 10 000 MW-h

Total: 60 000 MW-hr

b) La generación de energía por plantas nucleares no debe exceder el 20% de la energía total generada.

20% de 60 000 MW-hr = 12 000 MW-hr

c) Se debe utilizar al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbón.

80% de 45 000 MW-hr = 36 000 MW-hr

d) La cantidad de generada a partir del gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir del petróleo.

e) Capacidades de generación y costos:

Fuente de Energía Capacidad Total

(MW-hr)

Costo de Generación

($/MW-hr)

Carbón 45 000 6,0

Gas natural 15 000 5,5

Nuclear 45 000 4,5

Hidroeléctrica 24 000 5,0

Petróleo 48 000 7,0

f) Información de contaminación durante la generación de energía:

Fuente de Energía

Contaminante (g/MW-hr)

Dióxido de Azufre

Monóxido de Carbono

Partículas de Polvo

Desechos sólidos

Carbón 1,5 1,2 0,7 0,4

Gas natural 0,2 0,5 - -

Nuclear - 0,1 0,2 0,7

Hidroeléctrica - - - -

Petróleo 0,4 0,8 0,5 0,1

Kg máximos permitidos

75 60 30 25


FV: Minimizar los costos de generación de energía

D : Minimizar (los costos de generación de energía con carbón + los costos de generación de energía con gas natural + los costos de generación de energía con material nuclear + los costos de generación de energía con hidroeléctricas + los costos de generación de energía con petróleo )

FM: Minimizar 6,0C + 5,5G + 4,5N+ 5,0H+ 7,0P

Nota: Costo de generación = Costo unitario de generación x N° de MW-hr generados.


a) Demanda de Energía

FV: la producción de energía debe ser igual a 60 000 MW-hr

D : (generación de energía con carbón + generación de energía con gas natural + generación de energía con material nuclear + generación de energía con hidroeléctricas + generación de energía con petróleo ) debe ser igual a 60 000 MW-hr

FM: C + G + N + H + P = 60 000



58


b) Capacidad total de generación de energía con carbón

FV: La capacidad total de generación de energía con carbón no debe exceder 45 000 MW-hr

FM: C <= 45 000

c) Capacidad total de generación de energía con gas, material nuclear, hidroeléctricas y petróleo


Capacidad total de generación de energía con gas

FM: G <= 15 000

Capacidad total de generación de energía con material nuclear

FM: N <= 45 000

Capacidad total de generación de energía con hidroeléctricas

FM: H <= 24 000

Capacidad total de generación de energía petróleo

FM: P <= 48 000

d) Generación de energía en plantas nucleares

FV: La generación de energía por plantas nucleares no debe exceder el 20% de la energía total generada

D : La generación de energía por plantas nucleares no debe exceder el 20% de 60 000 MW-hr

FM: N <= 12 000

e) Generación de energía en plantas de carbón

FV: Se debe utilizar al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbón

D : La generación de energía por plantas de carbón debe ser mayor del 80% de 45 000 MW-hr

FM: C >= 36 000

f) Generación de energía en plantas de gas natural

FV: La cantidad de energía generada a partir del gas natural debe ser al menos 30% de la energía generada a partir del petróleo.

FM: G >= 0,3P

G – 0,3P >= 0

g) Limite máximo permisible de Dióxido de Azufre

FV: La cantidad total de dióxido de azufre emitido por la generación de energía no debe ser mayor de 75 kg.

D : (La cantidad de dióxido de azufre emitido por las plantas de carbón + La cantidad de dióxido de azufre emitido por las plantas de gas natural + La cantidad de dióxido de azufre emitido por las plantas nucleares + La cantidad de dióxido de azufre emitido por las hidroeléctricas + La cantidad de dióxido de azufre emitido por las plantas de petróleo) no debe ser mayor de 75 kg

FM: 1,5C + 0,2G + 0,4P <= 75 000

Nota: se uniformizan las unidades a ambos lados ( 1 000 g = 1 kg)

h) Limite máximo permisible de monóxido de carbono, partículas de polvo y desechos sólidos


Limite máximo permisible de monóxido de carbono

1,2C + 0,5G +0,1N + 0,8P <= 60 000

Limite máximo permisible de partículas de polvo

0,7C + 0,2N + 0,5P <= 30 000

Limite máximo permisible de desechos sólidos

0,4C + 0,7N + 0,1P <=25 000



59


i) Restricciones lógicas

C, G, N, H yP >= 0 y enteros.


Minimizar 6,0C + 5,5G + 4,5N+ 5,0H+ 7,0P

Sujeto a:

C + G + N + H + P = 60 000

C <= 45 000

G <= 15 000

N <= 45 000

H <= 24 000

P <= 48 000

N <= 12 000

C >= 36 000

G – 0,3P >= 0

1,5C + 0,2G + 0,4P <= 75 000

1,2C + 0,5G +0,1N + 0,8P <= 60 000

0,7C + 0,2N + 0,5P <= 30 000

0,4C + 0,7N + 0,1P <=25 000

C, G, N, H yP >= 0 y enteros.

Donde

C = el número de MW-h generados con carbón

G = el número de MW-h generados con gas natural

N = el número de MW-h generados con material nuclear.

H = el número de MW-h generados con proyectos hidroeléctricos.

P = el número de MW-h generados con petróleo.

1.10.2. Problema de planeamiento de producción de acero

Un fabricante de acero produce 4 tamaños de vigas de tipo I en: pequeño, mediano, grande y extra grande. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas: M1, M2 y M3. A continuación se indican las longitudes (en pies) de las vigas I que pueden producir las máquinas por hora:

VigaMáquina

M1 M2 M3

Pequeña 300 600 800

Mediana 250 400 700

Larga 200 350 600

Extra Larga 100 200 300

Supóngase que cada maquina se puede usar hasta 50 horas por semana y que los costos de operación por hora de estas maquinas son $30, $50 y $80 respectivamente. Supóngase, además, que semanalmente se requieren 10 000, 8 000, 6 000 y 6 000 pies de los distintos tamaños de las vigas I.

Formular un modelo matemático para el problema de programación de las maquinas.



60


Solución:


P1 = Número de pies de vigas pequeñas producidas por la máquina 1



M1 = Número de pies de vigas medianas producidas por la máquina 1



L1 = Número de pies de vigas largas producidas por la máquina 1



EL1 = Número de pies de vigas extra largas producidas por la máquina 1




e) Disponibilidad de cada máquina: 50 horas por semana

f) Costo horario de operación de la máquina 1: $ 30,0

g) Costo horario de operación de la máquina 2: $ 50,0

h) Costo horario de operación de la máquina 3: $ 80,0

i) Demanda de vigas pequeñas: 10 000 pies por semana

j) Demanda de vigas medianas: 8 000 pies por semana

k) Demanda de vigas grandes: 6 000 pies por semana

l) Demanda de vigas extra grandes: 6 000 pies por semana

m) Producción horaria de las máquinas

VigaMáquina

M1 M2 M3

Pequeña 300 600 800

Mediana 250 400 700

Larga 200 350 600

Extra Larga 100 200 300


FV: Minimizar el costo de operación de las máquinas

D : Minimizar (costo de operación de la máquina 1 + costo de operación de la máquina 2 + costo de operación de la máquina 3)

Minimizar (costo de producción de vigas pequeñas por la máquina 1 + costo de producción de vigas medianas por la máquina 1 + costo de producción de vigas largas por la máquina 1 + costo de producción de vigas extra largas por la máquina 1 + costo de producción de vigas pequeñas por la máquina 2 + costo de producción de vigas medianas por la máquina 2 + costo de producción de vigas largas por la máquina 2 + costo de producción de vigas extra largas por la máquina 2 + costo de producción de vigas pequeñas por la máquina 3 + costo de producción de vigas medianas por la máquina 3 + costo de producción de vigas largas por la máquina 3 + costo de producción de vigas extra largas por la máquina 3)



61


FM:

Minimizar 0,1 P1 + 0,12 M1 + 0,15 L1 + 0,3 EL1 + 0,083 P2 + 0,125 M2 + 0,143 L2 +0,25 EL2 + 0,1 P3 +0,114 M3 +0,133 L3 +0,267 EL3


e) Disponibilidad de la máquina 1

FV: La disponibilidad de la máquina 1 es de 50 horas

D: (horas de producción de vigas pequeñas + horas de producción de vigas medianas + horas de producción de vigas grandes + horas de producción de extra grandes) es de 50 horas

FM:

3,33 P1 + 4 M1 + 5 L1 + 10 EL1 <= 50 000

f) Disponibilidad de la máquina 2


1,67 P2 + 2,5 M2 + 2,86 L2 + 5 EL2 <= 50 000

g) Disponibilidad de la máquina 3


1,25 P3 + 1,43 M3 + 1,67 L3 +3,33 E 3 <= 50 000

h) Demanda semanal de vigas pequeñas

FV: La demanda semanal de vigas pequeñas es de 10 000 pies

D: (la producción de vigas pequeñas de la máquina 1 + la producción de vigas pequeñas de la máquina 2 + la producción de vigas pequeñas de la máquina 3) es de 10 000 pies

FM: P1 + P2 + P3 >= 10 000

i) Demanda semanal de vigas medianas


M1 +M2 +M3 >= 8 000

j) Demanda semanal de vigas largas


L1 +L2 +L3 >= 6 000

k) Demanda semanal de vigas extra largas


EL1 +EL2 +EL3 >= 6 000

l) Restricciones lógicas

P1, P2, P3, M1, M2, M3, L1,L2, L3, EL1, EL2 y EL3 >= 0


Minimizar 0,1 P1 + 0,12 M1 + 0,15 L1 + 0,3 EL1 + 0,083 P2 + 0,125 M2 + 0,143 L2 +0,25 EL2 + 0,1 P3 +0,114 M3 +0,133 L3 +0,267 EL3

Sujeto a:

3,33 P1 + 4 M1 + 5 L1 + 10 EL1 <= 50 000

1,67 P2 + 2,5 M2 + 2,86 L2 + 5 EL2 <= 50 000

1,25 P3 + 1,43 M3 + 1,67 L3 +3,33 E 3 <= 50 000



62


P1 + P2 + P3 >= 10 000

M1 +M2 +M3 >= 8 000

L1 +L2 +L3 >= 6 000

EL1 +EL2 +EL3 >= 6 000

P1, P2, P3, M1, M2, M3, L1,L2, L3, EL1, EL2 y EL3 >= 0

Donde













1.10.3. Problema de mezcla de mineral

Una pequeña compañía minera produce mineral en dos tajeos. El mineral del tajeo A contiene una ley promedio de 6 onz/ton de plata y 0,36% de arsénico y proporciona una utilidad de 4,30 $/ton, el mineral del tajeo B tiene una ley promedio de 3,5 onz/ton de plata y 0,65 % de arsénico, con una utilidad de 5,0 $/ton.

La fundición requiere que el contenido de arsénico promedio del mineral enviado no puede exceder de 0,5%; el sistema de transporte de la mina hace imposible cargar más de 400 ton/día y la planta concentradora, indica que la ley de cabeza de plata debe ser al menos 4,0 onz/ton.

Su objetivo, como Superintendente de mina es optimizar las utilidades por día. Formule un modelo matemático con dicho fin.

Solución:


A = el número de toneladas de mineral a extraer del Tajeo A por día

B = el número de toneladas de mineral a extraer del Tajeo B por día


a) Producción por tajeo

Ley de Ag (onz/ton) Ley de As (%) Utilidad ($/ton)

Tajeo A 6,0 0,36 4,3

Tajeo B 3,5 0,65 5,0

b) Contenido máximo de arsénico del mineral enviado a la fundición: 0,5%

c) Capacidad del sistema de transporte: 400 ton/día

d) Ley minima de cabeza de planta: 4,0 onz Ag/ton




63


FV: Maximizar las utilidades de la empresa.

D : Maximizar (utilidades obtenidas del mineral extraído del Tajeo A + utilidades obtenidas del mineral extraído del Tajeo B)

FM: Maximizar 4,3 A +5,0 B


a) Contenido de arsénico enviado a la fundición

FV: El contenido máximo de arsénico del mineral enviado a la fundición es de: 0,5&

D : (( el contenido de arsénico en el mineral extraído del Tajeo A + el contenido de arsénico en el mineral extraído del Tajeo B)/ (tonelaje de mineral extraído del Tajeo A + tonelaje de mineral extraído del Tajeo B)) debe ser menor al 5%

FM: -14 A + 15B <= 0

b) Ley de cabeza de plata de la planta concentradora

FV: la ley de cabeza de plata de la planta concentradora debe ser al menos 4 onz/ton

D : (( el contenido de plata en el mineral extraído del Tajeo A + el contenido de plata en el mineral extraído del Tajeo B)/ (tonelaje de mineral extraído del Tajeo A + tonelaje de mineral extraído del Tajeo B)) debe ser mayor de 4 onz/ton

FM: 2 A – 0,5 B >= 0

c) Capacidad de transporte

FV: El sistema de transporte de la mina hace imposible transportar más de 400 ton por día

D: (el mineral extraído del Tajeo A + el mineral extraído del Tajeo B) debe ser un máximo de 400 ton por día

FM: A + B <= 400


A y B >= 0


Maximizar 4,3 A +5,0 B

Sujeto a:

-14 A + 15B <= 0

2 A – 0,5 B >= 0

A y B >= 0

Donde

A = el número de toneladas de mineral a extraer del Tajeo A por día

B = el número de toneladas de mineral a extraer del Tajeo B por día

1.10.4. Problema de extracción de mineral

Una compañía extrae tres tipos de mineral en tres pozos distintos. Para esto cuenta con tres equipos de las siguientes características:

Capacidad de trabajo (rendimiento) en Ton/día



64


Equipo Pozos Días de mantenimiento por mes (30 días)

P1 P2 P3

E1 90 70 78 5

E2 65 80 65 2

E3 50 70 85 2

Por compromisos adquiridos anteriormente, debe arrendarse otro equipo de las siguientes características


P1 P2 P3

E4 90 72 58 1

que está disponible los 30 días del mes, pero no se arrienda por menos de 10 días/mes.

La empresa que recibe el material admite las capacidades siguientes:

Mineral Pozo P1 2500 Ton/mes



Los costos de operación que tiene cada equipo están en el cuadro siguiente ($/día):

Equipo Pozos

P1 P2 P3

E1 12 25 22

E2 4 17 20

E3 9 20 21

E4 15 30 25

Los gastos de salario y jornales de la mano de obra asociada a cada equipo son:

Equipo E1 E2 E3 E4

($/dia) 20 35 30 40

Suponiendo que los pozos deben explotarse los 30 días del mes, plantee el problema de programación lineal, de manera que el programa de explotación produzca máximas utilidades.

Solución:


E1P1 = el número de días de trabajo durante 1 mes del equipo 1 en el pozo 1.












65





a) Rendimiento diario de los equipos:


P1 P2 P3

E1 90 70 78 5

E2 65 80 65 2

E3 50 70 85 2

E4 90 72 58 1

b) Producción mensual del pozo 1: 2500ton.

c) Producción mensual del pozo 2: 2300ton.

d) Producción mensual del pozo 3: 2250ton.

e) Costo de operación total de los equipos ($)

Equipo Pozos

P1 P2 P3

E1 32 45 42

E2 39 52 55

E3 39 50 51

E4 55 70 65


FV: Minimizar el costo de operación de los equipos utilizados en la extracción de mineral.

D : Minimizar (costo de equipo 1 + costo de equipo 2 + costo de equipo 3 + costo de equipo4)

FM: Minimizar 32E1P1 + 45E1P2 + 42E1P3 + 39E2P1 + 52E2P2 + 55E2P3 + 39E3P1 + 50E3P2 + 51E3P3 + 55E4P1 + 70E4P2 + 65E4P3


a) producción de mineral del pozo 1

FV: La producción de mineral del pozo 1 debe ser de 2500 ton/mes

D : (producción de mineral con el equipo 1 + producción de mineral con el equipo 2 + producción de mineral con el equipo 3 + producción de mineral con el equipo 4) debe ser 2500 ton/mes

FM: 90E1P1 + 65E2P1 + 50E3P1 +90E4P1 = 2500

b) producción de mineral del pozo 2



FM: 70E1P2 + 80E2P2 + 70E3P2 +72E4P2 = 2300

c) producción de mineral del pozo 3





66


FM: 78E1P3 + 65E2P3 + 85E3P3 +58E4P3 = 2250

d) Días efectivos de trabajo de la máquina 1

FV: la máquina 1 trabaja 25 días efectivos mensualmente.

D : (días de trabajo de la máquina 1 en el pozo 1 + días de trabajo de la máquina 1 en el pozo 2+ días de trabajo de la máquina 1 en el pozo 3) debe ser menor de 25 días.

FM: E1P1 + E1P2 + E1P3 <= 25

e) Días efectivos de trabajo de la máquina 2

FV: la máquina 2trabaja 28ías efectivos mensualmente.

D : (días de trabajo de la máquina 2en el pozo 1 + días de trabajo de la máquina 2en el pozo 2+ días de trabajo de la máquina 2en el pozo 3) debe ser menor de 28ías.

FM: E2P1 + E2P2 + E2P3 <= 28

f) Días efectivos de trabajo de la máquina 3



FM: E3P1 + E3P2 + E3P3 <= 28

g) Días efectivos de trabajo de la máquina 4



FM: E4P1 + E4P2 + E4P3 <= 29

h) Días mínimos de trabajo de la máquina 4

FV: la máquina 4 debe trabajar minimamente 10 días mensualmente.

D : (días de trabajo de la máquina 4 en el pozo 1 + días de trabajo de la máquina 4 en el pozo 2+ días de trabajo de la máquina 4 en el pozo 3) debe ser al menos 10 días.

FM: E4P1 + E4P2 + E4P3 >=10

i) Días de trabajo en el pozo 1

FV: El pozo 1 debe trabajar 30 días mensualmente

D : (días de trabajo de la máquina 1 en el pozo 1 + días de trabajo de la máquina 2 en el pozo 1 + días de trabajo de la máquina 3 en el pozo 1 + días de trabajo de la máquina 4 en el pozo 1) debe ser 30 días.

FM: E1P1 + E2P1 + E3P1 + E4P1 = 30

j) Días de trabajo en el pozo 2



FM: E1P2 + E2P2 + E3P2 + E4P2 = 30

k) Días de trabajo en el pozo 3



FM: E1P3 + E2P3 + E3P3 + E4P3 = 30

l) Restricciones lógicas

E1P1, E1P2, E1P3, E2P1, E2P2, E2P3, E3P1, E3P2, E3P3, E4P1, E4P2 y E4P3 >= 0 y enteros



67



Minimizar 32E1P1 + 45E1P2 + 42E1P3 + 39E2P1 + 52E2P2 + 55E2P3 + 39E3P1 + 50E3P2 + 51E3P3 + 55E4P1 + 70E4P2 + 65E4P3

Sujeto a:

90E1P1 + 65E2P1 + 50E3P1 +90E4P1 = 2500

70E1P2 + 80E2P2 + 70E3P2 +72E4P2 = 2300

78E1P3 + 65E2P3 + 85E3P3 +58E4P3 = 2250

E1P1 + E1P2 + E1P3 <= 25

E2P1 + E2P2 + E2P3 <= 28

E3P1 + E3P2 + E3P3 <= 28

E4P1 + E4P2 + E4P3 <= 29

E4P1 + E4P2 + E4P3 >=10

E1P1 + E2P1 + E3P1 + E4P1 = 30

E1P2 + E2P2 + E3P2 + E4P2 = 30

E1P3 + E2P3 + E3P3 + E4P3 = 30

E1P1, E1P2, E1P3, E2P1, E2P2, E2P3, E3P1, E3P2, E3P3, E4P1, E4P2 y E4P3 >= 0 y enteros

Donde













1.10.5. Problema de producción de la compañía Guantes de Acero Co.

La compañía Cueros de Acero Co. produce guantes y correas de seguridad para minería. La materia prima para los guantes cuesta S/. 2,0 por unidad, mientras que la materia prima para cada correa de seguridad cuesta 2,5. Una correa de seguridad requiere dos horas de maquina de obra en el departamento 1 y tres horas en el departamento 2. Mientras que un guante requiere cuatro horas en el departamento 1 y dos horas en el departamento 2. El jornal por hora en ambos departamentos es de S/. 2,0. Ambos productos se venden a S/. 18,0 y el número de horas de mano de hora disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180 horas respectivamente, Como gerente de producción determine la producción óptima de la compañía.

Solución:

a) Formulación del modelo matemático


G = El número de pares de guantes producido..

C= El número de unidades de correas producidos.




68


a) Utilidades producto de la venta de guantes

Utilidad = Costo de venta – Costo de producción

Utilidad = Costo de venta – (costo de materia prima + costo de maquina 1 + costo de maquina 2)

Utilidad = Costo de venta – (costo de materia prima + costo unitario de maquina 1 x horas utilizadas de maquina 1 + costo unitario de maquina 2 x horas utilizadas de maquina 2)

Utilidad = S/. 18,0 – (S/.2,0 + 2,0 S/./h x 4h + 2,0 S/./h x2h)

Utilidad = S/. 4,0

b) Utilidades producto de la venta de correas de seguridad

Utilidad = S/. 18,0 – (S/.2,5 + 2,0 S/./h x2h + 2,0 S/./h x3h)

Utilidad = S/. 5,5

c) Horas máquina empleados para producir guantes y correas

Producto Máquina 1 Máquina 2

Guantes (par) 4 2

Correas 2 3

Total 160 180


FV: Maximizar las utilidades de la empresa

D : Maximizar (las utilidades generadas por la venta de guantes + las utilidades generadas por la venta de correas)

FM: Maximizar 4G + 5,5C


a) Uso de la máquina 1

FV: El número de horas disponibles de la máquina 1 es de 160

D : (número de horas de máquina 1 empleados en los guantes + número de horas de taladrado empleados en las correas) debe ser menor de 160 horas

FM: 4G + 2C <= 160

b) Uso de la máquina 2


2G + 3C <= 180


G y C >= 0 y enteros.


Maximizar 4G + 5,5C

Sujeto a:

4G + 2C <= 160

2G + 3C <= 180

G y C >= 0 y enteros.

Donde

G = El número de pares de guantes producido..

C= El número de unidades de correas producidos.



69


1.10.6. Problema de producción de artículos electrónicos

Una compañía de artículos electrónicos produce 3 líneas de productos que son: transistores, micromódulos y circuitos armados y el centro de producción tiene cuatro áreas de proceso:

Área 1 Producción de transistores

Área 2 Ensamblaje de circuitos

Área 3 Control de transistores y micromódulos

Área 4 Prueba de circuitos y embalaje

La producción de un transistor requiere:

0.1 Horas - hombre en el área 1

0.5 horas - hombre en el área 3

S/. 70 en costos directos

La producción de un micromódulo requiere:

0.4 horas-hombre en el área 2

0.5 horas - hombre en el área 3

3 transistores


La producción de un circuito armado requiere:

0.1 horas-hombre en el área 2

0.5 horas – hombre en el área 4

1 transistor

3 micromódulos


Cada uno de los tres productos se pueden vender a 200, 800 y 2500 soles respectivamente (transistores, micromódulos y circuitos armados). La cantidad de venta es ilimitada; si hay 200 horas-hombre disponibles en cada área de trabajo. Formule el modelo matemático para obtener una ganancia máxima.

Solución:


T = Número de transistores producidos por la compañía

M = Número de micromódulos producidos por la compañía

C = Número de circuitos armados producidos por la compañía


Los datos del problema los podemos resumir en el cuadro siguiente:

Producto Horas - hombre Costo directo S/.

Precio de venta S/.

Área 1 Área 2 Área 3 Área 4

Transistores 0.1 0.5 70 200

Micromódulos 0.4 0.5 50 800

Circuitos armados

0.1 0.5 200 2500



70


a) La producción de un micromódulo requiere 3 transistores

b) La producción de un circuito armado requiere 1 transistor y 3 micromódulos

c) Hay 200 horas-hombre disponibles en cada área de trabajo.

d) Utilidad en la venta de 01 transistor = S/. 200 - S/. 70 = S/. 130

e) Utilidad en la venta de 01 micromódulo = S/. 800 - S/.50 – 3 x S/. 70 = S/. 540

f) Utilidad en la venta de 01 circuito armado = S/. 2500 - S/.200 – 1 x S/. 70 – 3 x S/. 220 = S/. 1490


FV: Maximizar las utilidades de la compañía.

D : Mazimizar (utilidades por venta de transistores + utilidades por venta de micromódulos + utilidades por venta de circuitos armados).

FM: Maximizar 130T + 540M + 1490C


a) Área 1 Producción de transistores

FV: El número de horas – hombres disponibles en el área 1 es de 200 horas – hombre

D : El número de horas – hombre disponibles para la producción de transistores debe ser menor o igual a 200 horas – hombre

FM: 0.1T <= 200

b) Área 2 Ensamblaje de circuitos


D : (número de horas – hombre disponibles para la producción de micromódulos + número de horas – hombre disponibles para la producción de circuitos armados) debe ser menor o igual a 200 horas – hombre

FM: 0.4M + 0.1C <= 200

c) Área 3 Control de transistores y micromódulos


D : (número de horas – hombre disponibles para la producción de transistores + número de horas – hombre disponibles para la producción de micromódulos) debe ser menor o igual a 200 horas – hombre

FM: 0.5T + 0.5M <= 200

d) Área 4 Prueba de circuitos y embalaje


D : El número de horas – hombre disponibles para la producción de circuitos armados debe ser menor o igual a 200 horas – hombre

FM: 0.5C <= 200

e) Requerimiento de transistores en la producción de micromódulos

FV: La producción de un micromódulo requiere 3 transistores

D : El número de transistores debe ser tres veces mayor o igual que el número de micromódulos

FM: T >= 3M

T –3 M >= 0

f) Requerimiento de transistores en la producción de circuitos armados

FV: La producción de un circuito armado requiere 1 transistor y 3 micromódulos

D : El número de transistores debe ser diez veces mayor o igual que el número de circuitos armados

FM: T >=10 C

T –10 C >= 0



71


g) Requerimiento de micromódulos en la producción de circuitos armados

FV: La producción de un circuito armado requiere 3 micromódulos

D : El número de micromódulos debe ser tres veces mayor o igual que el número de circuitos armados

FM: M >= 3C

M – 3C >= 0


T, M y C >= 0


Maximizar 130T + 540M + 1490C

Sujeto a:

0.1T <= 200

0.4M + 0.1C <= 200

0.5T + 0.5M <= 200

0.5C <= 200

T –3 M >= 0

T –10 C >= 0

M – 3C >= 0

T, M y C >= 0

Donde

T = Número de transistores producidos por la compañía

M = Número de micromódulos producidos por la compañía

C = Número de circuitos armados producidos por la compañía

1.10.7. Problema de planeamiento de producción

Una compañía manufactura tres productos A, B y C. Cada unidad de producto A requiere de 1 hora de servicio de ingeniería, 8 horas de mano de obra directa y 4 libras de material; para producir 1 unidad del producto B se requiere 3 horas de ingeniería. 3 horas de mano de obra directa y 3 libras de material; cada unidad del producto C requiere de 2 horas de ingeniería, 4 horas de mano de obra directa y 2 libras de material se dispone de 80 horas de ingeniería. 800 horas de mano de obra y 300 libras de material cada mes. Las utilidades son como sigue:

PRODUCTO A PRODUCTO B PRODUCTO C

Ventas

unidades

Utilidad unitaria $

Ventas

unidades

Utilidad unitaria $

Ventas

unidades

Utilidad unitaria $

0-40

40-100

100-150

Más de 150

10

9

8

6

0-50

50-100

Más de 100

6

4

3

0-100

Más de 100

5

4

Formule un modelo de programación lineal para determinar el programa de producción que aporte la máxima utilidad.

Solución:




72


A1 =Numero de unidades del producto A, producidas con una utilidad unitaria de $ 10.




B1 =Numero de unidades del producto B, producidas con una utilidad unitaria de $ 6.



C1 =Numero de unidades del producto C, producidas con una utilidad unitaria de $ 5.



a) Requerimiento de insumos

Producto Requerimiento

Horas servicio ingeniería

Horas mano obra directa

Lb de material

A 1 8 4

B 3 3 3

B 2 4 2

Disponible 80 800 300

b) Utilidades

PRODUCTO A PRODUCTO B PRODUCTO C

Ventas

unidades

Utilidad unitaria $

Ventas

unidades

Utilidad unitaria $

Ventas

unidades

Utilidad unitaria $

0-40

40-100

100-150

Más de 150

10

9

8

6

0-50

50-100

Más de 100

6

4

3

0-100

Más de 100

5

4


FV: Maximizarlas utilidades de la empresa

D : Maximizar (utilidades por venta del producto A + utilidades por venta del producto B + utilidades por venta del producto C)

FM: Maximizar 10A1 + 9A2 + 8A3 + 6A4 + 6B1 + 4B2 + 3B3 + 5C1 + 4C2


a) Disponibilidad de horas de servicio de ingeniería

FV: La cantidad total de horas de servicio de ingeniería disponibles es de 80horas.

D : ((horas de servicio de ingeniería empleados en el producto A + horas de servicio de ingeniería empleados en el producto B + horas de servicio de ingeniería empleados en el producto C)) debe ser menor o igual a 80 horas.

FM: A1 + A2 + A3 + A4 + 3B1 + 3B2 + 3B3 + 2C1 +2C2 <= 80

b) Disponibilidad de horas de mano de obra directaFacultad de Ingeniería de Minas


73


FV: La cantidad total de horas de mano de obra directa disponibles es de 800 horas.

D : ((horas de mano de obra directa empleados en el producto A + horas de mano de obra directa empleados en el producto B + horas de mano de obra directa empleados en el producto C)) debe ser menor o igual a 800 horas.

FM: 8A1 + 8A2 + 8A3 + 8A4 + 3B1 + 3B2 + 3B3 + 4C1 +4C2 <= 800

c) Disponibilidad de libras de material

FV: La cantidad de libras de material disponibles es de 300 horas.

D : ((libras de material empleados en el producto A + libras de material empleados en el producto B + libras de material empleados en el producto C)) debe ser menor o igual a 300 libras.

FM: 4A1 + 4A2 + 4A3 + 4A4 + 3B1 + 3B2 + 3B3 + 2C1 +2C2 <= 300

d) Utilidad unitaria en el producto A

FV: La utilidad unitaria del producto A es de la siguiente manera: <0, 40>= $10, <40, 100>= $9, <100, 150>= $8 y + de 150 = $6.

Nota: para construir las restricciones utilizaremos variables del tipo binario (0 o 1)

FM: A1 <= 40

A1 – 40Y1 >= 0

A2 – 60Y1 <= 0

A2 – 60Y2 >= 0

A3 – 50Y2 <= 0

A3 – 50Y3 >= 0

A4 – MY3 <= 0

e) Utilidad unitaria en el producto B

De manera similar a la restricción anterior

FM: B1 <= 50

B1 – 50U1 >= 0

B2 – 50U1 <= 0

B2 – 50U2 >= 0

B3 – MU3 <= 0

f) Utilidad unitaria en el producto A

g) De manera similar a la restricción anterior

FM: C1 <= 100

C1 – 100V1 >= 0

C2 – MV1 <= 0


A1,A2, A3, A4, B1, B2, B3, C1, C2 >= 0

Y1, Y2, Y3, Y4, U1, U2, U3, V1 binario


Maximizar 10A1 + 9A2 + 8A3 + 6A4 + 6B1 + 4B2 + 3B3 + 5C1 + 4C2

A1 + A2 + A3 + A4 + 3B1 + 3B2 + 3B3 + 2C1 +2C2 <= 80

8A1 + 8A2 + 8A3 + 8A4 + 3B1 + 3B2 + 3B3 + 4C1 +4C2 <= 800

4A1 + 4A2 + 4A3 + 4A4 + 3B1 + 3B2 + 3B3 + 2C1 +2C2 <= 300

A1 <= 40

A1 – 40Y1 >= 0

A2 – 60Y1 <= 0



74


A2 – 60Y2 >= 0

A3 – 50Y2 <= 0

A3 – 50Y3 >= 0

A4 – MY3 <= 0

B1 <= 50

B1 – 50U1 >= 0

B2 – 50U1 <= 0

B2 – 50U2 >= 0

B3 – MU3 <= 0

C1 <= 100

C1 – 100V1 >= 0

C2 – MV1 <= 0

A1,A2, A3, A4, B1, B2, B3, C1, C2 >= 0

Y1, Y2, Y3, Y4, U1, U2, U3, V1 binario

Donde










1.11. Modelos de programación lineal para problemas de transporte

1.11.1. Problema de transporte de concentrado

Una compañía de transporte de concentrados mineros dispone de $ 400 000 para comprar una nueva flota y está considerando comprar tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10 t y se espera que promedie 35 km/h. Su costo es de $ 8000. El vehículo B tiene una capacidad de 20 t y se espera que promedie 30 km/h su costo es de $ 13000. El vehículo C es un modelo modificado de B, tiene un sitio para que duerma un chofer, lo cual reduce su capacidad a 18 t y eleva su costo a $ 15000.

El vehículo A requiere una tripulación de un hombre y si opera durante tres turnos por día, puede trabajar un promedio de 18 horas por día. Los vehículos B y C requieren una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 18 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía, que dispone de 150 chóferes al día, tendría muchas dificultades para obtener tripulaciones adicionales. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículos no puede exceder de 30. Formule un modelo matemático para determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si la compañía desea maximizar su capacidad de transporte en toneladas por kilómetro por día.

Solución:


A = Número de vehículos a comprar del tipo A

B = Número de vehículos a comprar del tipo B



75


C = Número de vehículos a comprar del tipo C


a. La compañía dispone de $ 400 000 para comprar una nueva flota

b. El vehículo A puede transportar 10 t y se espera que promedie 35 km/h. Su costo es de $ 8000.

c. El vehículo B tiene una capacidad de 20 t y se espera que promedie 30 km/h su costo es de $ 13000.

d. El vehículo C es un modelo modificado de B, tiene un sitio para que duerma un chofer, lo cual reduce su capacidad a 18 t y eleva su costo a $ 15000.

e. El vehículo A requiere una tripulación de un hombre y si opera durante tres turnos por día, puede trabajar un promedio de 18 horas por día.

f. Los vehículos B y C requieren una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 18 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias.

g. La compañía, que dispone de 150 chóferes al día, tendría muchas dificultades para obtener tripulaciones adicionales.

h. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículos no puede exceder de 30.


FV: Maximizar la capacidad en toneladas-km por día de la compañía.

D : Maximizar (capacidad x km x horas diarias x unidades del vehículo A + capacidad x km x horas diarias x unidades del vehículo B + capacidad x km x horas diarias x unidades del vehículo C).

FM: Maximizar 10 x 35 x 18 x A + 20 x 30 x 18 x B + 18 x 30 x 21 x C

Maximizar 6300A + 10800B + 11340 C


a) Disponibilidad de choferes

FV: La compañía dispone de 150 choferes por día.

D : (El número de choferes que se requiere para los vehículos del tipo A + el número de choferes que se requiere para los vehículos del tipo B + el número de choferes que se requiere para los vehículos del tipo C) debe ser menor o igual a 150.

FM: 3A + 6B + 6C <= 150

b) Disponibilidad de mantenimiento

FV: La capacidad de mantenimiento de la compañía es de 30 vehículos por día.

D : ((El número de vehículos del tipo A + El número de vehículos del tipo B + El número de vehículos del tipo C) que pueden tener el servicio de mantenimiento por día debe ser un máximo de 30.

FM: A + B + C <= 30

c) Disponibilidad de inversión

FV: La compañía dispone de $ 400 000 para comprar una nueva flota

D : ((el costo de los vehículos de tipo A + el costo de los vehículos de tipo B + el costo de los vehículos de tipo C) debe ser menor o igual a $ 400 000.

FM: 8000A + 13000B + 15000C <= 400 000


A, B, C >= 0


Maximizar 6300A + 10800B + 11340 C



76


Sujeto a:

3A + 6B + 6C <= 150 (disponibilidad de choferes)

A + B + C <= 30 (disponibilidad de mantenimiento)

8000A + 13000B + 15000C <= 400 000 (disponibilidad de inversión)

A, B, C >= 0

Donde

A = Número de vehículos a comprar del tipo A

B = Número de vehículos a comprar del tipo B

C = Número de vehículos a comprar del tipo C

1.12. Modelos de programación lineal para administración de cartera de valores

1.12.1. Problema de Inversiones Mineras Rinconada SAA

La gerencia general de Inversiones Mineras Rinconada SAA, está considerando invertir en seis prospectos mineros, cada uno de ellos requiere una cierta cantidad de capital inicial. El asesor financiero de la empresa luego de la evaluación de la información de cada prospecto, de la inversión inicial, del factor de riesgo asociado (entre 0 y 1) y la recuperación anual, presenta la tabla siguiente:

PROYECTOCAPITAL

INICIAL (US $)RIESGO DEVOLUCIÓN

P1 1 000 000 0.50 0.60

P2 2 000 000 0.40 0.45

P3 1 700 000 0.70 0.90

P4 2 500 000 0.65 0.75

P5 4 000 000 0.45 0.51

P6 2 500 000 0.75 1.20

El directorio de la empresa ha acordado que el riesgo total, obtenido al sumar los factores de riesgo de cada proyecto aprobado, no debe exceder a 3.0. también, cuando mucho dos proyectos pueden tener un factor de riesgo mayor a 0.6.

Se debe determinar en que proyectos de debe invertir el presupuesto de diez millones de dólares que dispone para lograr la mayor recuperación anual posible.


Solución:


En el presente problema podemos elegir aceptar o rechazar cada una de las seis propuestas. Entonces crearemos una variable entera para cada proyecto, de la manera siguiente:

P11, si Inversiones Mineras Rinconada SAA debe invertir en el proyecto 1

0, si Inversiones Mineras Rinconada SAA no debe invertir en el proyecto 1











77





a. Evaluación de los proyectos:

PROYECTOCAPITAL

INICIAL (US $)RIESGO

TASA DE DEVOLUCIÓN

P1 1 000 000 0.50 0.60

P2 2 000 000 0.40 0.45

P3 1 700 000 0.70 0.90

P4 2 500 000 0.65 0.75

P5 4 000 000 0.45 0.51

P6 2 500 000 0.75 1.20

b. El riesgo total, obtenido al sumar los factores de riesgo de cada proyecto aprobado, no debe exceder a 3.0.

c. Cuando mucho dos proyectos pueden tener un factor de riesgo mayor a 0.6.

d. Se dispone de un presupuesto de US $ 10 000 000.


FV: Maximizar el rendimiento total de las inversiones.

D: Maximizar (rendimiento del proyecto 1 + rendimiento del proyecto 2 + rendimiento del proyecto 3 + rendimiento del proyecto 4 + rendimiento del proyecto 5 + rendimiento del proyecto 6)

FM: Maximizar 1 000 000 x 0.60P1 + 2 000 000 x 0.45P2 + 1 700 00 x 0.90P3 + 2 500 000 x 0.75P4 + 4 000 000 x 0.51P5 + 2 500 000 x 1.20P6

Maximizar 600 000P1 + 900 000P2 + 1 530 000P3 + 1 875 000P4 + 2 040 000P5 + 3 000 000P6


a) Flujo de efectivo anual

FV: Se dispone de 10 000 000 para invertir anualmente.

D: (Inversión en el proyecto 1 + Inversión en el proyecto 2 + Inversión en el proyecto 3 + Inversión en el proyecto 4 + Inversión en el proyecto 5 + Inversión en el proyecto 6) debe ser menor o igual a 10 000 000.

FM: 1 000 000P1 + 2 000 000P2 + 1 700 00P3 + 2 500 000P4 + 4 000 000P5 + 2 500 000P6 <= 10 000 000

P1 + 2P2 + 1,7P3 + 2,5P4 + 4P5 + 2,5P6 <= 10

b) Riesgo total

FV: El riesgo total, obtenido al sumar los factores de riesgo de cada proyecto aprobado, no debe exceder a 3.0.

D: (el riesgo del proyecto 1 + el riesgo del proyecto 2 + el riesgo del proyecto 3 + el riesgo del proyecto 4 + el riesgo del proyecto 5 + el riesgo del proyecto 6) debe ser menor o igual a 3.0.

FM: 0.5P1 + 0.4P2 + 0.7P3 + 0.65P4 + 0.45P5 + 07.5P6 <= 3.0

c) Riesgo de proyecto



78


FV: Cuando mucho dos proyectos pueden tener un factor de riesgo mayor a 0.6.

D: (proyecto 3 + proyecto 4 + proyecto 6) es menor o igual a 2.

FM: P3 + P4 + P6 <= 2


P1, P2, P3, P4, P5 y P6 binarios


Maximizar 600 000P1 + 900 000P2 + 1 530 000P3 + 1 875 000P4 + 2 040 000P5 + 3 000 000P6

Sujeto a:

P1 + 2P2 + 1,7P3 + 2,5P4 + 4P5 + 2,5P6 <= 10

0.5P1 + 0.4P2 + 0.7P3 + 0.65P4 + 0.45P5 + 07.5P6 <= 3.0

P3 + P4 + P6 <= 2

P1, P2, P3, P4, P5 y P6 binarios

1.12.2. Problema de inversión

Hoy es su día de suerte. Acaba de ganar $ 10000. Dedicara $ 4000 al pago de impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $ 6000. Al oír esta noticia, dos amigos la han ofrecido una oportunidad de convertirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo.

Para ser un socio pleno en el caso del primer amigo debe invertir $ 5000 y 400 horas, su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor de su tiempo) seria de $ 4500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $ 4000 y 500 horas, con una ganancia estimada igual a la anterior. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirán asociarse con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad plena (inversión de tiempo y dinero, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción.

Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada.

Formule un modelo matemático para encontrar la mejor combinación.

Solución:


A = La cantidad de dólares a invertir en el negocio del primer amigo.

B = La cantidad de dólares a invertir en el negocio del segundo amigo.


a. Acabo de ganar $ 10000. Dedicare $ 4000 al pago de impuestos y diversiones, pero he decidido invertir los otros $ 6000.

b. Un primer amigo desea que invierta $ 5000 y 400 horas en su negocio, la ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor de su tiempo) seria de $ 4500.

c. Un segundo amigo me solicita $ 4000 y 500 horas, con una ganancia estimada igual a la anterior.

d. Ambos amigos son flexibles y me permitirán asociarme con cualquier fracción de participación que quiera. Si elijo una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad plena (inversión de tiempo y dinero, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción.

e. En verano dispondré de un máximo de 600 horas para trabajo.




79


FV: Maximizar la ganancia total de mis inversiones.

D : Maximizar (la ganancia en el negocio de mi primer amigo + la ganancia en el negocio de mi segundo amigo).

FM: Maximizar A x 4500/5000 + B x 4500/4000

Maximizar 0.9A + 1.125B


a) Disponibilidad de $ 6000 para invertir

FV: La disponibilidad de capital para invertir es de $ 6000.

D : (La inversión en el negocio del primer amigo + La inversión en el negocio del segundo amigo) debe ser menor o igual a $6000.

FM: A + B <= 6000

b) Inversión en el negocio del primer amigo

FV: El negocio del primer amigo necesita una inversión de $ 5000.

FM: A <= 5000

c) Inversión en el negocio del segundo amigo

FV: El negocio del segundo amigo necesita una inversión de $ 4000.

FM: B <= 4000

d) Disponibilidad de horas de trabajo

FV: Dispongo de 600 h de trabajo para el verano

D : (El número de horas de trabajo en el negocio de mi primer amigo + El número de horas de trabajo en el negocio de mi segundo amigo) debe ser menor o igual a 600 horas.

FM: A x 400/5000 + B x 500/4000 <= 600

0.08A + 0.125B <= 600


A y B >= 0


Maximizar 0.9A + 1.125B

Sujeto a:

A + B <= 6000

A <= 5000

B <= 4000

0.08A + 0.125B <= 600

A y B >= 0

Donde

A = La cantidad de dólares a invertir en el negocio del primer amigo.

B = La cantidad de dólares a invertir en el negocio del segundo amigo.

1.13. Modelos de programación lineal para problemas de mezclas

1.13.1. Problema de mezcla de Metalco Company

Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones posibles que tienen las siguientes propiedades:

Propiedad Aleación



80


1 2 3 4 5

Porcentaje de aluminio 60 25 45 20 50

Porcentaje de zinc 10 15 45 50 40

Porcentaje de plomo 30 60 10 30 10

Costo ($/libra) 77 70 88 84 94

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo.


Solución:


A1 = Número de libras de la aleación 1 utilizados para preparar 1 lb de la nueva aleación.






a. Preparar una aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo.

b. Características de las aleaciones a utilizar:

PropiedadAleación

1 2 3 4 5

Porcentaje de aluminio 60 25 45 20 50

Porcentaje de zinc 10 15 45 50 40

Porcentaje de plomo 30 60 10 30 10

Costo ($/libra) 77 70 88 84 94


FV : Minimizar el costo de producción de 1 libra de aleación.

D : Minimizar (costo de la aleación 1 + costo de la aleación 2 + costo de la aleación 3 + costo de la aleación 4 + costo de la aleación 5).

FM : Minimizar 77A1 + 70A2 + 88A3 + 84A4 + 94A5


a) Porcentaje de aluminio en la nueva aleación

FV: El porcentaje de aluminio en la nueva aleación es de 40%.

D : (Aluminio procedente de la aleación 1 + Aluminio procedente de la aleación 2 + Aluminio procedente de la aleación 3 + Aluminio procedente de la aleación 4 + Aluminio procedente de la aleación 5 ) debe ser el 40% de la nueva aleación.

FM: 0.6A1 + 0.25A2 + 0.45A3 + 0.2A4 + 0.5A5 = 0.4

b) Porcentaje de zinc en la nueva aleación

FV: El porcentaje de zinc en la nueva aleación es de 35%.



81


D : (Zinc procedente de la aleación 1 + Zinc procedente de la aleación 2 + Zinc procedente de la aleación 3 + Zinc procedente de la aleación 4 + Zinc procedente de la aleación 5 ) debe ser el 35% de la nueva aleación.

FM: 0.1A1 + 0.15A2 + 0.45A3 + 0.5A4 + 0.4A5 = 0.35

c) Porcentaje de plomo en la nueva aleación

FV: El porcentaje de plomo en la nueva aleación es de 25%.

D : (Plomo procedente de la aleación 1 + Plomo procedente de la aleación 2 + Plomo procedente de la aleación 3 + Plomo procedente de la aleación 4 + Plomo procedente de la aleación 5 ) debe ser el 40% de la nueva aleación.

FM: 0.3A1 + 0.6A2 + 0.1A3 + 0.3A4 + 0.1A5 = 0.25

d) Balance de materia en la nueva aleación

FV: La suma de los componentes debe ser igual a 1 libra

D : (Aleación 1 + aleación 2 + aleación 3 + aleación 4 + aleación 5 ) debe ser igual a 1 libra.

FM: A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 1


A1, A2, A3, A4 y A5 >= 0


Minimizar 77A1 + 70A2 + 88A3 + 84A4 + 94A5

Sujeto a:

0.6A1 + 0.25A2 + 0.45A3 + 0.2A4 + 0.5A5 = 0.4 (porcentaje de aluminio en la nueva aleación)

0.1A1 + 0.15A2 + 0.45A3 + 0.5A4 + 0.4A5 = 0.35 (porcentaje de zinc en la nueva aleación)

0.3A1 + 0.6A2 + 0.1A3 + 0.3A4 + 0.1A5 = 0.25 (porcentaje de plomo en la nueva aleación)

A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 1 (balance de materia)

A1, A2, A3, A4 y A5 >= 0

Donde






1.13.2. Problema de mezcla de Save It Co.

La Save It Company opera un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de materiales de desechos sólidos y los trata para amalgamarlos en un producto que pueda lanzarse al mercado. El tratamiento y el amalgamado son dos procesos diferentes. Se pueden obtener tres grados diferentes de este producto (vea la primera columna de la tabla 1), según la mezcla de materiales que se use. Aunque existe alguna flexibilidad para esta mezcla en cada grado, los estándares de calidad especifican una cantidad minina y una máxima de la proporción de los materiales permitidos en ese grado (la proporción es el peso del material expresado como un porcentaje del peso total del producto de ese grado) Para los dos grados más altos se especifica un porcentaje fijo de uno de los materiales. Estas especificaciones se presentan en la tabla 1 junto con el costo de amalgamado y el precio de venta de cada grado.

Tabla 1. Datos de productos de la Save It Company

Grado EspecificaciónAmalgamado, costo ($) por

libra

Precio de venta ($) por libra

A Material 1: no más de 30% del total 3.00 8.50



82


Material 2: no menos del 40% del total

Material 3: no más del 50% del total

Material 4: exactamente 20% del total

B

Material 1: no más de 50% del total

2.50 7.00Material 2: no menos del 10% del total


C Material 1: no más de 70% del total 2.00 5.50

El centro de reciclado recoge los materiales de desecho solido de ciertas fuentes habituales por lo que casi siempre puede mantener una tasa de producción estable para tratarlos, en la tabla 2 se muestran las cantidades disponibles para la recolección y tratamiento semanal, al igual que el costo de proceso de cada tipo de material.

La Save It Company es propiedad de Green Earth, una organización dedicada a asuntos ecológicos, por lo que las ganancias se usan para apoyar las actividades de Green Earth. Esta organización ha logrado contribuciones y apoyos por la cantidad de 30 000 dólares semanales, que deben usarse solo para cubrir el costo de tratamiento completo de los desechos sólidos. El consejo directivo de Green Earth ha girado instrucciones a la administración de Save It Co. Para que divida este dinero entre los materiales, de manera tal que se recolecte y se trate al menos la mitad de la cantidad disponible de cada tipo de material. Estas restricciones adicionales se enumeran en la tabla 2.

Tabla 2. Datos de los materiales de desechos sólidos de Save It Company

MaterialLibras por

semana disponible

Costo del tratamiento ($)

por libraRestricciones adicionales

1 3000 3.00 1. De cada material debe recolectarse y tratarse al menos la mitad de las libras disponibles por semana.

2. Deben usarse $ 30 000 semanales para tratar estos materiales.

2 2000 6.00

3 4000 4.00

4 1000 5.00

Con las restricciones especificadas en las tablas 1 y 2, la administración desea determinar la cantidad que debe producirse de cada grado y la mezcla exacta de materiales que usara para cada uno, de manera que maximice la ganancia semanal neta – ingresos totales por ventas menos costo total del amalgamado - independiente del costo de tratamiento fijo de 30 000 dólares por semana que será cubierto por donaciones.

Solución:


X1A = Número total de libras del material 1 asignadas al producto grado A por semana.

X1B = Número total de libras del material 1 asignadas al producto grado B por semana.

X1C = Número total de libras del material 1 asignadas al producto grado C por semana.













83


a. Datos de productos de la Save It Company

Grado EspecificaciónAmalgamado, costo ($) por

libra

Precio de venta ($) por

libra

Ganancia ($) por libra

A


3.00 8.50 5.50Material 2: no menos del 40% del total

Material 3: no más del 50% del total


B


2.50 7.00 4.50Material 2: no menos del 10% del total


C Material 1: no más de 70% del total 2.00 5.50 3.50

b. Datos de los materiales de desechos sólidos de Save It Company

MaterialLibras por

semana disponible

Costo del tratamiento ($)

por libraRestricciones adicionales

1 3000 3.00 1. De cada material debe recolectarse y tratarse al menos la mitad de las libras disponibles por semana.

2. Deben usarse $ 30 000 semanales para tratar estos materiales.

2 2000 6.00

3 4000 4.00

4 1000 5.00


FV: Maximizar la ganancia semanal neta.

D: Maximizar la ganancia semanal neta por venta del (material grado A + material grado B + material grado A +)

FM: Maximizar 5.50 (X1A + X2A + X3A + X4A) + 4.50 (X1B + X2B + X3B + X4B) + 3.50 (X1C + X2C + X3C + X4C).


a) Especificaciones de mezcla

FV: El contenido del material 1 en el producto de grado A no debe ser más del 30% del total.

FM: X1A <= 0.30 (X1A + X2A + X3A + X4A).

Operando tenemos:

0.70X1A – 0.30X2A – 0.30X3A – 0.30X4A <= 0

De manera similar, tenemos:

- 0.40X1A + 0.60X2A – 0.40X3A – 0.40X4A >= 0

- 0.50X1A – 0.50X2A + 0.50X3A – 0.50X4A <= 0

- 0.20X1A – 0.20X2A – 0.20X3A + 0.80X4A = 0

0.50X1B – 0.50X2B + 0.50X3B – 0.50X4B <= 0

- 0.10X1B + 0.90X2B - 0.10X3B – 0.10X4B >= 0

- 0.10X1B - 0.10X2B - 0.10X3B + 0.90X4B = 0



84


0.30X1C - 0.70X2C - 0.70X3C – 0.70X4C <= 0

b) Disponibilidad de materiales

FV: Se dispone de 3000 libras de material 1 semanalmente.

D: Se dispone de 3000 libras de material1 para (producto de grado A + producto de grado B + producto de grado C).

FM: X1A + X1B + X1C <= 3000


X2A + X2B + X2C <= 2000

X3A + X3B + X3C <= 4000

X4A + X4B + X4C <= 1000

c) Cantidades tratadas

FV: Se debe tratar semanalmente al menos la mitad de las libras disponibles de material 1.

D: Se debe tratar semanalmente al menos la mitad de las libras disponibles de material 1 para (producto de grado A + producto de grado B + producto de grado C).

FM: X1A + X1B + X1C >= 1500


X2A + X2B + X2C >= 1000

X3A + X3B + X3C >= 2000

X4A + X4B + X4C >= 500

d) Restricciones sobre el costo de tratamiento

FV: Debe usarse $ 30 000 semanales para tratar los materiales

D: El costo de tratamiento del ( material 1 + material 2 + material 2 + material 4) debe ser $ 30 000 semanales.

FM: 3.00 (X1A + X1B + X1C) + 6.00 (X2A + X2B + X2C) + 4.00 (X3A + X3B + X3C) + 5.00 (X4A + X4B + X4C) = 30 000


X1A, X2A, X3A , X4A, X1B , X2B , X3B , X4B , X1C , X2C , X3C y X4C >= 0


Maximizar 5.50 (X1A + X2A + X3A + X4A) + 4.50 (X1B + X2B + X3B + X4B) + 3.50 (X1C + X2C + X3C + X4C)

Sujeto a:

0.70X1A – 0.30X2A – 0.30X3A – 0.30X4A <= 0

- 0.40X1A + 0.60X2A – 0.40X3A – 0.40X4A >= 0

- 0.50X1A – 0.50X2A + 0.50X3A – 0.50X4A <= 0

- 0.20X1A – 0.20X2A – 0.20X3A + 0.80X4A = 0

0.50X1B – 0.50X2B + 0.50X3B – 0.50X4B <= 0

- 0.10X1B + 0.90X2B - 0.10X3B – 0.10X4B >= 0

- 0.10X1B - 0.10X2B - 0.10X3B + 0.90X4B = 0

0.30X1C - 0.70X2C - 0.70X3C – 0.70X4C <= 0

X1A + X1B + X1C <= 3000

X2A + X2B + X2C <= 2000

X3A + X3B + X3C <= 4000

X4A + X4B + X4C <= 1000

X1A + X1B + X1C >= 1500



85


X2A + X2B + X2C >= 1000

X3A + X3B + X3C >= 2000

X4A + X4B + X4C >= 500

3.00 (X1A + X1B + X1C) + 6.00 (X2A + X2B + X2C) + 4.00 (X3A + X3B + X3C) + 5.00 (X4A + X4B + X4C) = 30 000

X1A, X2A, X3A , X4A, X1B , X2B , X3B , X4B , X1C , X2C , X3C y X4C >= 0

Donde













1.14. Modelos de programación lineal para planeación de producción agregada

1.14.1. Problema de asignación de aviones a rutas de transporte

Hay un problema de asignación de aviones a cuatro rutas, que se muestra en los siguientes datos:

Tipo de avión

Capacidad (pasajeros)

Cantidad de aviones

Cantidad de viajes diarios en la ruta

1 2 3 4

1 50 5 3 2 2 1

2 30 8 4 3 3 2

3 20 10 5 5 4 2

Cantidad diaria de clientes 1000 2000 900 1200

Los costos asociados, incluyendo las penalizaciones por perder clientes por falta de espacio son:

Tipo de avión Costo de operación (US $) por viaje en ruta

1 2 3 4

1 1000 1100 1200 1500

2 800 900 1000 1000

3 600 800 800 900

Penalización ($) por cliente perdido

40 50 45 70

Formule un modelo matemático para determinar la asignación optima de aviones a rutas y la cantidad asociada de viajes.

Solución:


A11 = Número de aviones del tipo 1 destinados a la ruta 1 diariamente.



86













N1 = Número de clientes no transportados en la ruta 1.





Tipo de avión

Capacidad (pasajeros)

Cantidad de aviones

Cantidad de viajes diarios en la ruta

1 2 3 4

1 50 5 3 2 2 1

2 30 8 4 3 3 2

3 20 10 5 5 4 2

Cantidad diaria de clientes 1000 2000 900 1200

Tipo de avión Costo de operación (US $) por viaje en ruta

1 2 3 4

1 1000 1100 1200 1500

2 800 900 1000 1000

3 600 800 800 900

Penalización ($) por cliente perdido

40 50 45 70


FV: Minimizar el costo de operación de los aviones y la penalización por cliente perdido.

D: Minimizar (costo de operación del avión tipo 1 destinado a la ruta 1 + costo de operación del avión tipo 1 destinado a la ruta 2 + costo de operación del avión tipo 1 destinado a la ruta 3 + costo de operación del avión tipo 1 destinado a la ruta 4 + costo de operación del avión tipo 2 destinado a la ruta 1 + costo de operación del avión tipo 2 destinado a la ruta 2 + costo de operación del avión tipo 2 destinado a la ruta 3 + costo de operación del avión tipo 2 destinado a la ruta 4 + costo de operación del avión tipo 3 destinado a la ruta 1 + costo de operación del avión tipo 3 destinado a la ruta 2 + costo de operación del avión tipo 3 destinado a la ruta 3 + costo de operación del avión tipo 3 destinado a la ruta 4) + (penalización por clientes no transportados en la ruta 1 + penalización por clientes no transportados en la ruta 2 + penalización por clientes no transportados en la ruta 3 + penalización por clientes no transportados en la ruta 4)



87


FM: Minimizar 3 x 1000A11 + 2 x 1100A12 + 2 x 1200A13 + 1 x 1500A14 + 4 x 800A21 + 3 x 900A22 + 3 x 1000A23 + 2 x 1000A24 + 5 x 600A31 + 5 x 800A32 +4 x 800A33 + 2 x 900A34 + 40N1 + 50N2 + 45N3 + 70N4

Minimizar 3000A11 + 2200A12 + 2400A13 + 1500A14 + 3200A21 + 2700A22 + 3000A23 + 2000A24 +3000A31 + 4000A32 +3200A33 + 1800A34 + 40N1 + 50N2 + 45N3 + 70N4


a) Requerimiento de pasajeros a transportar en la ruta 1

FV: La cantidad diaria de pasajeros a transportar en la ruta 1 es de 1000 clientes.

D: (cantidad de clientes transportados en aviones tipo 1 + cantidad de clientes transportados en aviones tipo 2 + cantidad de clientes transportados en aviones tipo 3) es mayor o igual a 1000 clientes.

FM: 50 x 3A11 + 30 x 4A21 + 20 x 5A31 >= 1000

150A11 + 120A21 + 100A31 >= 1000

De manera similar para los aviones tipo, tipo 3 y tipo 4.

100A12 + 90A22 + 100A32 >= 2000

100A13 + 90A23 + 80A33 >= 900

50A14 + 60A24 + 40A34 >= 1200

b) Disponibilidad de aviones de la compañía

FV: La compañía tiene 5 aviones del tipo 1.

D: (el número de aviones de tipo 1 destinados a la ruta 1 + el número de aviones de tipo 1 destinados a la ruta 2 + el número de aviones de tipo 1 destinados a la ruta 3 + el número de aviones de tipo 1 destinados a la ruta 4) debe ser menor o igual a 5.

FM: A11 + A12 + A13 + A14 <= 5

De manera similar para los aviones de tipo 2 y 3

A21 + A22 + A23 + A24 <= 8

A31 + A32 + A33 + A34 <= 10

c) Balance de pasajeros en las rutas

FV: el numero de pasajeros a transportar en la ruta 1 debe ser igual a 1000..

FM: N1 + 150A11 + 120A21 + 100A31 = 1000

De manera similar para las rutas 2, 3 y 4

N2 + 100A12 + 90A22 + 100A32 = 2000

N3 + 100A13 + 90A23 + 80A33 = 900

N4 + 50A14 + 60A24 + 40A34 = 1200


A11, A12, A13, A14, A21, A22, A23, A24, A31, A32, A33, A34, N1, N2, N3 y N4 >= 0


Minimizar 3000A11 + 2200A12 + 2400A13 + 1500A14 + 3200A21 + 2700A22 + 3000A23 + 2000A24 +3000A31 + 4000A32 +3200A33 + 1800A34 + 40N1 + 50N2 + 45N3 + 70N4

Sujeto a:

150A11 + 120A21 + 100A31 >= 1000

100A12 + 90A22 + 100A32 >= 2000

100A13 + 90A23 + 80A33 >= 900

50A14 + 60A24 + 40A34 >= 1200

A11 + A12 + A13 + A14 <= 5



88


A21 + A22 + A23 + A24 <= 8

A31 + A32 + A33 + A34 <= 10

N1 + 150A11 + 120A21 + 100A31 = 1000

N2 + 100A12 + 90A22 + 100A32 = 2000

N3 + 100A13 + 90A23 + 80A33 = 900

N4 + 50A14 + 60A24 + 40A34 = 1200

A11, A12, A13, A14, A21, A22, A23, A24, A31, A32, A33, A34, N1, N2, N3 y N4 >= 0

Donde

















1.14.2. Problema de distribución de carga

Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen límite de capacidad tanto de peso como de espacio. Los datos se resumen a continuación:

Compartimiento Capacidad de peso (ton)

Capacidad de espacio (ft3)

Delantero 12 7000

Central 18 9000

Trasero 10 5000

Más aun, para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad.

Se tienen ofertas para transportar cuatro cargamentos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:

Carga Peso (ton)

Volumen (ft3/ton)

Ganancia ($/ton)

1 20 500 320

2 16 700 400

3 25 600 360



89


4 13 400 290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar cual cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y como distribuirla en los compartimientos para maximizarla ganancia del vuelo.


Solución:


C1D = Número de toneladas de la carga 1 a ser transportado en el almacén delantero




C1C = Número de toneladas de la carga 1 a ser transportado en el almacén central




C1T = Número de toneladas de la carga 1 a ser transportado en el almacén trasero





a. Las capacidades de peso y volumen de los compartimientos del avión son:

Compartimiento Capacidad de peso (ton)

Capacidad de espacio (ft3)

Delantero 12 7000

Central 18 9000

Trasero 10 5000

b. Se tienen ofertas para transportar cuatro cargamentos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:

Carga Peso (ton) Volumen (ft3/ton) Ganancia ($/ton)

1 20 500 320

2 16 700 400

3 25 600 360

4 13 400 290

c. Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas.


FV: Maximizar la ganancia por transportar carga.

D : Maximizar la (ganancia por transportar la carga 1 + ganancia por transportar la carga 2 + ganancia por transportar la carga 3 + ganancia por transportar la carga 4).

FM: Maximizar 320C1D + 320C1C + 320C1T +400C2D + 400C2C + 400C2T + 360C3D + 360C3C + 360C3T + 290C4D + 290C4C + 290C4T



90



a) Capacidad de peso del compartimiento delantero

FV: La capacidad de peso del compartimiento delantero es de 12 toneladas.

D : (El número de toneladas de la carga 1 + El número de toneladas de la carga 2 + El número de toneladas de la carga 3 + El número de toneladas de la carga 4) a ser transportado en el compartimiento delantero debe ser de 12 tonelada.

FM: C1D + C2D + C3D + C4D <= 12

De manera similar para los compartimientos central y trasero:

C1C + C2C + C3C + C4C <= 18

C1T + C2T + C3T + C4T <= 10

b) apacidad de volumen del compartimiento delantero

FV: La capacidad de volumen del compartimiento delantero es de 7000 pies cúbicos.

D : (El volumen de la carga 1 + El volumen de la carga 2 + El volumen de la carga 3 + El volumen de la carga 4) a ser transportado en el compartimiento delantero debe ser de 7000 pies cúbicos

FM: 500C1D + 700C2D + 600C3D + 400C4D <= 7000

De manera similar para los compartimientos central y trasero:

500C1C + 700C2C + 600C3C + 400C4C <= 9000

500C1T + 700C2T + 600C3T + 400C4T <= 5000

c) Balance de peso de la carga 1

FV: El peso de la carga 1 es de 20 toneladas.

D : (el peso de la carga 1 a ser transportado en el compartimiento delantero + peso de la carga 1 a ser transportado en el compartimiento central + peso de la carga 1 a ser transportado en el compartimiento trasero) debe ser menor o igual a 20 toneladas.

FM: C1D + C1C + C1T <= 20

De manera similar para las cargas 2, 3 y 4

C2D + C2C + C2T <= 16

C3D + C3C + C3T <= 25

C4D + C4C + C4T <= 13


C1D, C1C, C1T, C2D, C2C, C2T, C3D, C3C, C3T, C4D, C4C y C4T >= 0


Maximizar 320C1D + 320C1C + 320C1T +400C2D + 400C2C + 400C2T + 360C3D + 360C3C + 360C3T + 290C4D + 290C4C + 290C4T

Sujeto a:

C1D + C2D + C3D + C4D <= 12

C1C + C2C + C3C + C4C <= 18

C1T + C2T + C3T + C4T <= 10

500C1D + 700C2D + 600C3D + 400C4D <= 7000

500C1C + 700C2C + 600C3C + 400C4C <= 9000

500C1T + 700C2T + 600C3T + 400C4T <= 5000

C1D + C1C + C1T <= 20

C2D + C2C + C2T <= 16

C3D + C3C + C3T <= 25

C4D + C4C + C4T <= 13



91


C1D, C1C, C1T, C2D, C2C, C2T, C3D, C3C, C3T, C4D, C4C y C4T >= 0

Donde













ESTUDIOS DE CASO



92


CAPITULO IV

SOLUCIÓN A PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL USANDO SOFTWARE

USO DE SOLVER DE EXCEL

En esta sección, se utiliza el software Excel de Microsoft Office para resolver y analizar el problema de programación lineal.

EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA


Vetas

LeyesCosto

$/ton

Tonelaje a extraerAg

(onz/ton)Pb (%)

Colquechaca 4 3,5 7,0 Xc

10 de mayo 16 1,15 9,0 Xm

Otros datos que debemos considerar son: el precio de la plata: $ 20,0 /ton; precio del plomo 0,70 $/lb; capacidad de la planta concentradora: 95 ton/día.

Como gerente de producción, formule un modelo para determinar el tonelaje a extraer de cada veta.

Cuya formulación dio el siguiente modelo matemático:


Sujeto a:

Xc + Xm <= 95

- Xc + 5 Xm >= 0

- Xc + 2 Xm <= 0

Xc y Xm >= 0 y enteros



93


La única dificultad que tenemos es el de modelar el programa dentro del Excel, y eso, es muy fácil. Por supuesto, hay infinidad de maneras de hacerlo, aquí propongo una.

PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

Se activa Excel y en una hoja...

Se ubican las celdas que se corresponderán con el valor de las variables de decisión; en éste caso, las celdas B6 y C6, se les da un formato para diferenciarlas de las demás (ver captura abajo). Se ubica también, las celdas que contendrán los coeficientes de las variables de decisión, B4 y C4, y se llenan con sus respectivos valores, 126,9 y 328,71. Aunque éste último paso, se podría omitir y dejar los coeficientes definidos en la celda de la función objetivo, así es mejor para los análisis de sensibilidad y para que la hoja quede portable para otro programa.

Se ubica la celda que se corresponderá con la función objetivo (celda objetivo), la B3. En ella se escribe la función que sea, en éste caso, será el coeficiente de X1 (en B4) por el valor actual de Xc (en B6) mas el coeficiente de Xm (en C4) por el valor actual de Xm (en C6) o sea: = $B$4*$B$6+$C$4*$C$6

Coeficientes para la primera restricción: los podemos escribir en la misma columna de las variables de decisión; en las celdas B7 y C7, con los valores 2 y 1, seguido del sentido de la desigualdad (<=) y de su correspondiente RHS: 230. A la derecha ubicaremos el valor actual de consumo de la restricción, ella se escribirá en función de las variables de decisión y de los coeficientes de la restricción. Esta celda, la utilizará Solver como la real restricción, cuando le digamos que el valor de ésta celda no pueda sobrepasar la de su correspondiente RHS. De nuevo será el valor del coeficiente por el de la variable: = B7*$B$6+C7*$C$6. Notese que ahora B7 y C7 no tienen el signo $. Pues es que luego que se haya escrito ésta celda, se podrá arrastrar hacia abajo para que Excel escriba la fórmula por nosotros (la pereza!), pero tome los valores relativos a los coeficientes que le corresponda a los mismos valores de las variables de decisión. Se repite los pasos anteriores para las otras restricciones, pero ahora la fórmula será: = B8*$B$6+C8*$C$6 y = B9*$B$6+C9*$C$6.

El resto del formato es para darle una presentación más bonita a la hoja. Ahora a resolverlo! Al hacer clic en Herramientas, Solver se tendrá una pantalla como la siguiente. Lo primero que hay que hacer es especificar la celda objetivo y el propósito: maximizar. Se escribe B3 (o $B3 ó B$3 ó $B$3 como sea, da igual), en el recuadro "cambiando las celdas", se hace un clic en la flechita roja, para poder barrer las celdas B6 y C6; lo mismo da si se escriben directamente los nombres.



94


Y ahora para las restricciones: se hace clic en agregar...

En F7 está la primera restricción, como se puede ver en la captura. Se especifica el sentido de la restricción <=, >= ó =. Aquí también se puede especificar el tipo de variable, por defecto es continua, pero se puede escoger "Int" para entera o "Bin" para binaria. En el recuadro de la derecha establecemos la cota. Aquí podemos escribir 95 pero mejor escribimos $E$7 para que quede direccionado a la celda que contiene el 95, y después lo podríamos cambiar y volver a encontrar la respuesta a manera de análisis de sensibilidad.

Se repite éste paso para las otras dos restricciones.

La condición de no negatividad hay que incluirla manualmente, así:

El cuadro de diálogo debe lucir así:



95


Y listo! Se hace clic en resolver y ya. Parece un poco largo en comparación con los otros paquetes de programación lineal, pero esto se hará sólo una vez, para los próximos programas se podrá utilizar la misma hoja cambiando los coeficientes. Sin embargo, como se puede notar, la flexibilidad de modelamiento es muy grande.

Los resultados para el Sindicato Minero Pacococha en la forma de un plan de producción semanal son los siguientes:

Cantidad de mineral de la veta Colquechaca por producir = 63,33 toneladas

Cantidad de mineral de la veta 10 de Mayo por producir = 31,67 toneladas

Margen de ganancia semanal = $ 18 446,15

USO DE SOLVER DE WinQSB

En esta sección, se utiliza el software WinQSB para resolver y analizar el problema de programación lineal continua.



Vetas

LeyesCosto

$/ton


(onz/ton)Pb (%)




96


10 de mayo 16 1,15 9,0 Xm





Sujeto a:

Xc + Xm <= 95

- Xc + 5 Xm >= 0

- Xc + 2 Xm <= 0

Xc y Xm >= 0

PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN:

1. En la barra de tareas de la parte inferior de la pantalla, abrir el menú Inicio y clic en el menú Programas.

2. Seleccione el menú WinQSB y haga clic en el botón Linear and Integer Programming.

3. Tendremos la presentación del programa WinQSB



97


4. Luego tendremos la interface del programa y desde el menú seleccionaremos: File | New Problem

5. Se presentara una ventana donde colocaremos el nombre del problema, en nuestro caso Sindicato Minero Pacococha y el numero de variables y restricciones de nuestro problema: 2 y 3 respectivamente, a continuación seleccionaremos el criterio del objetivo, el tipo de variable y el formato de entrada de datos

y pulsaremos OK.

6. En la nueva ventana que se presenta ingresaremos los datos del problema:



98


Podemos editar el nombre de las variables y de las restricciones

7. En la barra de menú, seleccionaremos el icono para procesar los datos

8. WinQSB procesara los datos, presentándonos la siguiente ventana:


Cantidad de mineral de la veta Colquechaca por producir = 63,33 toneladasFacultad de Ingeniería de Minas


99




9. Si deseamos observar la gráfica, seleccionaremos el icono y se presentara la siguiente ventana:

10. WinQSB presentara el siguiente gráfico:



100


USO DE LINDO

En esta sección, se utiliza el software LINDO para resolver y analizar el problema de programación lineal continua.

LINDO (Linear Interactive Discrete Optimization) es una herramienta que fue diseñada por Linus Shorage en 1985 para resolver problemas de programación lineal, entera y cuadrática

SINTAXIS DEL MODELO LINDO

1. Todos los modelos empiezan con el comando MAX o MIN seguido de la función objetivo que debe ser del tipo ctx.

2. Los nombres de las variables pueden contener a lo sumo 8 caracteres

3. Los nombres de las restricciones deben terminar con un paréntesis y pueden contener a lo sumo 8 caracteres

4. Se pueden usar los operadores +, -, =, > (equivale a >=), < (equivale a <=)

5. No reconoce la situación (2+5-4)*X1, debemos poner 3 X1 ni tampoco 2(x1+x2) hay que escribir 2x1+2x2

6. Los comentarios comienzan con el signo de exclamación ¡

7. Podemos utilizar más de una línea para escribir la función objetivo o las restricciones

8. No distingue entre mayúsculas y minúsculas

9. En el lado derecho de las restricciones (denotado por RHS) sólo pueden aparecer valores numéricos

10. En el lado izquierdo de las restricciones sólo pueden aparecer las variables y sus coeficientes

11. Se supone que todas las variables son no negativas, por eso no se introducen las restricciones de no negatividad

12. El esquema que se sigue es:

MAX <función objetivo>

SUBJECT TO (st)

Restriccion1)

…

Restricción m)

END

13. Si queremos indicar que alguna variable no tiene restricción de signo, que es entera, binaria, etc, tenemos una serie de comandos que se utilizan después de END

- FREE <variable> se usa si variable no tiene restricción de signo

- GIN <variable> se usa si variable sólo toma valores enteros no negativos

- INT <variable> se usa si variable es binaria

- SLB <variable> <VALOR> se usa si variable está acotada inferiormente por valor

- SUB <variable> <VALOR> se usa si variable está acotada superiormente por valor




101



Vetas

LeyesCosto

$/ton


(onz/ton)Pb (%)


10 de mayo 16 1,15 9,0 Xm





Sujeto a:

Xc + Xm <= 95

- Xc + 5 Xm >= 0

- Xc + 2 Xm <= 0

Xc y Xm >= 0

PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN:

11. En la barra de tareas de la parte inferior de la pantalla, abrir el menú Inicio y haga clic en el menú Programas.

12. Seleccione el menú LINDO 6.1 y haga clic en el botón Windows32.

13. Luego tendremos la interface del programa y una pantalla <untitled>.



102


14. En la pantalla <untitled> escribiremos nuestro modelo

15. A continuación guardaremos nuestro modelo seleccionando: File | Save As

16. En la pantalla Save As: en File Name: ingresaremos el nombre que deseemos para el modelo, en este caso CaseChemicals.ltx y en Directories podremos seleccionar el fichero donde guardarlo



103


17. Para procesar el modelo, seleccionaremos : Solve | Solve

18. A continuación se presentará la ventana LINDO preguntándonos, si deseamos realizar un análisis de sensibilidad?:

19. Luego tendremos la ventana LINDO Solver Status, que nos indicara las características de la solución:

20. LINDO procesara los datos, presentándonos el siguiente reporte:



104



Cantidad de mineral de la veta Colquechaca por producir = 63,33 toneladas





105


CAPITULO IV

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD USANDO SOFTWARE:

EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE CASE CHEMICALS

Case Chemicals produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de Cleveland. Las empresas que compran estos solventes los usan para disolver ciertas sustancias tóxicas que se producen durante procesos de fabricación particulares. La planta opera 40 horas a la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete máquinas que mezclan ciertos químicos para producir cada solvente. Los productos salen del departamento de mezclado para ser refinados en el departamento de purificación, que actualmente tiene siete purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana.

Case Chemicals tiene una provisión casi ilimitada de la materia prima que necesita para producir los dos solventes. Case Chemicals puede vender cualquier cantidad de CS-01, pero la demanda del producto más especializado, CS-02, está limitada a lo más a 120 000 galones por semana.

El departamento de contabilidad estima un margen de ganancias de $0,30 por galón de CS-01 y de $0,50 por galón de CS-02, esto es, $300 por mil galones de CS-01 y $500 por mil galones de CS-02.

Como gerente de producción, usted desea determinar el plan de producción semanal óptimo para Case Chemicals. ¿Qué cantidad de cada solvente debe producir Case Chemícals para maximizar la ganancia?

Formulando el modelo matemático, tenemos:

Maximizar 300 CS1 + 500 CS2

Dependiendo de: 2 CS1 + CS2 ≤ 230

CS1 + 2 CS2 ≤ 250

CS2 ≤ 120

CS1, CS2 ≥ 0

Donde: CS1 = El número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente

CS2 = El número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente

CONCEPTOS BÁSICOS EN ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD



106


El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas diferenciadas del problema:

1. Los coeficientes de la función objetivo (Coeficientes Objetivo). Los cambios en los coeficientes objetivo NO afectan la forma de la región factible, por lo que no afectaran a la solución optima (aunque si al valor de la función objetivo).

2. Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos coeficientes provocaran cambios sustanciales en la forma de la región factible.

3. Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para 2 variables), los cambios en el RHS suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución optima.

1. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON EXCEL

El primer paso será plantear el modelo en la hoja de cálculo:

Activando la función Solver de Excel, tendremos:



107


Activemos Adoptar modelo lineal en la ventana Opciones de Solver:

Haciendo clic en el botón Resolver, obtendremos la ventana Resultados de Solver, donde elegiremos Respuesta y Sensibilidad en Informes:

Excel resolverá el modelo matemático:



108


Nos presentará el siguiente Informe de respuestas:

Su interpretación es inmediata: la solución óptima sería un plan de producción semanal de 70000 galones de CS-01, 90000 galones de CS-02 y tendremos un margen de ganancia semanal de $ 66000.

Excel, también nos presentará el siguiente Informe de sensibilidad:



109


Después de formular y resolver un problema de programación lineal, un gerente debe hacerse un numero de preguntas importantes de la forma: “¿Qué sucede si …..?”. Por ejemplo:

1. Supongamos que, debido a una competencia reciente en el mercado por CS-01, la gerencia de Case Chemicals ha decidido disminuir el precio de venta de su producto en $ 25 por cada 1 000 galones. Este cambio disminuye el coeficiente de ganancia de CS-01 de 300 dólares por mil galones a 275 dólares. ¿Cómo afecta este cambio el plan de producción?

2. Supongamos que cada uno de los dos empleados de tiempo parcial del departamento de mezclado de Case Chemicals trabaja 10 horas en vez de 15 a la semana. Este cambio reduce las horas disponibles de mano de obra en el departamento de mezclado de 230 a 220. ¿Cómo afecta este cambio el plan de producción y la ganancia óptima?

Estas preguntas tienen que ver con el tópico del análisis de sensibilidad. Usted, gerente, se pregunta qué tan sensibles son la solución óptima y el valor de la función objetivo con respecto a los cambios en los datos del problema, es decir, los coeficientes en la función objetivo y las restricciones. ¿Qué tanto impacto tendrá en la solución un cambio en cualquiera de los datos?

Para dicho análisis, utilizaremos el Informe de sensibilidad de Excel.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Análisis de sensibilidad del coeficiente de la función objetivo para CS1

Basándose en la solución óptima obtenida, la compañía ha estado produciendo 70 mil galones de CS-01 y 90 mil galones de CS-02. Debido a una competencia reciente en el mercado por CS-01, la gerencia ha decidido disminuir el precio de venta de CS-01 en $25 por mil galones. ¿Cómo debería cambiar el plan de producción para CS-01 y CS-02?

El primer paso para responder esta pregunta es darse cuenta de que una disminución de $25 en el precio de venta de cada mil galones de CS-01 tiene como resultado una disminución correspondiente en el margen de ganancia de CS-01 de $300 a $275. La pregunta a formularse es: ¿qué sucede con la solución óptima anterior para CS1 = 70 y CS2 = 90 cuando el coeficiente de CS1 en la función objetivo disminuye de 300 a 275?

Una forma de contestar esta pregunta es resolver el problema después de cambiar el coeficiente de CS1 en la función objetivo a 275. Sin embargo, el análisis de sensibilidad le permite responder ésta y otras preguntas relacionadas sin tener que resolver el problema cada vez que se hace una pregunta similar.



110


En el Informe de sensibilidad de Excel, obtenemos el intervalo de sensibilidad de los coeficientes de objetivo y de los recursos disponibles:

Podemos ver que el intervalo de sensibilidad del coeficiente CS1 es <250, 1000>3. Esto significa que si todos los demás datos permanecen inalterados y el coeficiente de CS1 de la función objetivo permanece en el intervalo <250, 1000>, la solución actual de CS1 = 70 y CS2 = 90 sigue siendo óptima.

Ahora puede responder la pregunta original de cómo cambiar el plan de producción de Case Chemicals cuando el precio de CS-01 disminuye en $25 por mil galones. Aunque esta disminución ocasiona que el coeficiente de CS1 disminuya de su valor actual de 300 a 275, este nuevo valor de 275 está dentro del intervalo <250, 1000>. Por tanto, la solución óptima anterior sigue siendo óptima, es decir, Case Chemicals no debería cambiar su plan de producción de 70 mil galones de CS-01 y 90 mil galones de CS-02 a la semana. Sin embargo, el margen de ganancia semanal cambia:

Nuevo margen de ganancia = 275 CS1 + 500 CS2

= 275(70) + 500(90)

= 64 250

Esto es, su margen de ganancia semanal disminuye a $64 250.

Análisis de sensibilidad del coeficiente de la función objetivo para CS2

Puede conducir un análisis similar sobre el coeficiente de ganancia de CS2 del ejemplo, asumiendo que el coeficiente de CS1 permanece inalterado en su valor original de 300. Considere el coeficiente de CS2 de la función objetivo como una variable y conociendo el intervalo de sensibilidad de <150, 600>. Tenemos que, si todos los demás datos permanecen inalterados, la solución óptima actual CS1 = 70 y CS2 = 90 sigue siendo óptima, siempre que la ganancia por vender cada mil galones de CS-02 esté dentro del intervalo <150, 600>. El tamaño de este intervalo indica qué tan sensible es la solución óptima a su coeficiente.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS VALORES DEL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES (RECURSOS DISPONIBLES, RHS)

Usted puede aplicar el análisis de sensibilidad no sólo a los cambios en los coeficientes de la función objetivo, sino también a los cambios en los valores del lado derecho de las restricciones (recursos disponibles). Por ejemplo, como gerente de producción de Case Chemicals, puede estar interesado en cualquiera de las siguientes preguntas.

1. Ante los posibles recortes de presupuesto por parte de la administración superior, usted desea saber: ¿qué sucede con el margen de ganancia de Case Chemicals si cada uno de los dos

3 El valor minimo del intervalo, se obtiene realizando $F$9 – $H$9 y el valor máximo: $F$9 + $G$9Facultad de Ingeniería de Minas


111


empleados de tiempo parcial del departamento de mezclado trabaja 10 horas (en vez de 15) a la semana?

2. Al observar que todas las horas disponibles de mano de obra del departamento de mezclado se utilizan según el plan de producción actual, ¿se incrementará el margen de ganancia si las horas disponibles aumentan al hacer que uno de los empleados de tiempo parcial trabaje de tiempo completo y se prescinde del otro?

3. Como una alternativa a la pregunta 2, ¿en cuánto se incrementaría el margen de ganancia si se contratara un trabajador adicional de tiempo completo en el departamento de purificación?

Cada una de estas preguntas puede reformularse de la siguiente forma general:

¿Qué le sucede al valor óptimo de la función objetivo de un programa lineal cuando uno de los valores del lado derecho de una restricción (recursos disponibles) se modifica y los otros datos del problema permanecen inalterados?

Una forma de responder este tipo de pregunta es solucionar un nuevo problema de programación lineal en el que se modifique el valor de interés del lado derecho, y todo lo demás sea igual. Sin embargo, las técnicas presentadas a continuación le permiten responder tales preguntas sin tener que resolver todo el problema.

Análisis de sensibilidad del valor del lado derecho de la restricción (1): Proceso de mezclado

De los resultados del Informe de sensibilidad de Excel, puede concluirse que, mientras el valor del lado derecho de la restricción (1) permanece dentro del intervalo de <140, 500>, la solución óptima y el margen de ganancia cambian.

El cambio del margen de ganancia total, puede calcularse utilizando el valor del precio sombra, o precio dual, de la restricción, que es 33,33333.

Esto significa que por cada hora adicional de mano de obra disponible en el departamento de mezclado por encima del valor actual de 230 y hasta 500 horas, el margen de ganancia corporativo se incrementa en $33.33.

Observe que el precio sombra de 33,3333 también indica que cada recorte de hora del actual nivel de 230 hasta 140 tiene como resultado una pérdida de $33.33 en el margen de ganancia.

Con esta información, podemos responder las preguntas planteadas:

1. ¿Qué sucede con el margen de ganancia de Case Chemicals si cada uno de los dos empleados de tiempo parcial del departamento de mezclado trabaja 10 horas (en vez de 15) a la semana (es decir, si el valor Id de la restricción (1) disminuye a 220 de su valor actual de 230)?

Como este cambio está dentro del intervalo <140, 500>, cada hora perdida disminuye el margen de ganancia en el precio sombra:



112


Utilizando la ecuación:

Nuevo margen de ganancia = (Viejo margen de ganancia) + (Precio sombra) x

(Incremento en horas de mano de obra)

Tenemos:

= 66 000 + 33,3333 x (220 – 230)

= $ 65 667

2. ¿Qué sucede con el margen de ganancia si uno de los empleados de tiempo parcial del departamento de mezclado trabaja tiempo completo y se prescinde del otro (es decir, el valor del lado derecho de la restricción (1) se incremento a 240?

Como este cambio está dentro del intervalo <140,500>, el margen de ganancia se incrementa en la proporción del precio sombra, es decir:

Nuevo margen de ganancia = (viejo margen de ganancia) + (precio sombra) x

(incremento en horas de mano de obra)

= 66 000 + 33,3333 x (240 – 230)

= $66 333,33

Análisis de sensibilidad del valor del lado derecho de la restricción (2): Proceso de refinación

Usando la misma lógica, descubrirá que, mientras este valor del lado derecho permanezca en el intervalo <115, 295>, la solución óptima estará determinada por la intersección de las restricciones (1) y (2). Podemos observar que el precio sombra, o precio dual, del recurso es de 233,33.

Por cada hora adicional de mano de obra disponible en el departamento de purificación arriba del valor actual de 250 y hasta 295 horas, el margen de ganancia se incrementa en $233,33. De manera similar, cada recorte de hora del actual nivel de 250 hasta 115 horas tiene como resultado una pérdida de $233,33 en el margen de ganancia.

Ya podemos responder la pregunta planteada al principio de esta sección, que se repiten aquí:

3. ¿Qué sucede con el margen de ganancia si se contrata un trabajador adicional de tiempo completo en el departamento de purificación (esto es, si el valor del Iado derecho de la restricción (2) se incremento a 290 de su valor actual de 250)?

Como este cambio está dentro del intervalo <115, 295>, cada hora ganada incrementa el margen de ganancia en el precio sombra:

Nuevo margen de ganancia = (viejo margen de ganancia) - (precio sombra) x

(incremento en horas de mano de obra)

= 66 000 + 233,33 x (290 – 250)

= $75 333,33

ANÁLISIS PARAMÉTRICO DE LOS RECURSOS DISPONIBLES (VALORES DEL LADO DERECHO)

Con el análisis de sensibilidad, usted está preparado para responder ciertas preguntas del tipo "¿Qué sucede si ... ?', siempre y cuando los cambios en los coeficientes estén dentro del intervalo de sensibilidad. Sin embargo, ¿qué sucede si esos cambios están fuera del intervalo? Por ejemplo, como gerente de Case Chemicals, podría enfrentarse con una de las siguientes preguntas (pero no ambas simultáneamente):

1. ¿Qué sucede con la ganancia semanal si el departamento de mezclado se reduce a dos trabajadores de tiempo completo y uno de tiempo parcial de 30 horas a la semana?

2. ¿Qué le sucede al margen de ganancia semanal si el departamento de purificación se amplía a nueve purificadores con nueve trabajadores de tiempo completo?



113


El primer paso es darse cuenta de que ambas preguntas tienen que ver con cambios en los valores del lado derecho. Estas preguntas pueden reformularse de la siguiente manera:

1. ¿Qué le sucede al margen de ganancia semanal óptimo si el valor del lado derecho de la restricción (1) disminuye de su valor actual de 230 a 110 (dos trabajadores de tiempo completo de 40 horas semanales y uno de tiempo parcial de 30 horas a la semana)?

2. ¿Qué le sucede al margen de ganancia semanal óptimo si el valor del lado derecho de la restricción (2) se incremento de su valor actual de 250 a 360 (nueve trabajadores de tiempo completo de 40 horas semanales)?

Observe que el nuevo valor de 120 para el Iado derecho en la pregunta 1 está fuera del intervalo de sensibilidad <140,500> calculado para la restricción (1). De manera similar, el nuevo valor de 360 para el Iado derecho en la pregunta 2 está fuera del intervalo de sensibilidad <115,295> para la restricción (2). Para responder las preguntas relativas a los valores del Iado derecho, fuera del intervalo de sensibilidad, se realiza de nuevo los cálculos con el nuevo valor del lado derecho de la restricción (1).

En otras palabras, si el número de horas en el departamento de mezclado se reduce a 110, el margen de ganancia semanal cae de $66 000 a $55 000. Esta información debería usarse junto con otros factores al tomar una decisión gerencial.

Para responder la pregunta 2, necesita un análisis similar para el valor del lado derecho de la restricción (2):

En otras palabras, si el número de horas en el departamento de purificación se incremento a 360, el margen de ganancia semanal se incremento de $66 000 a $76 500. Esta información debería usarse junto con otros factores al tomar una decisión gerencial. Por ejemplo observe que puede obtenerse el mismo margen de ganancia de $76 500 si el valor del lado derecho de la restricción (2) es de 295. La gerencia podría obtener este valor con siete trabajadores de tiempo completo y uno de tiempo parcial de 15 horas a la semana. Por tanto, tal vez no sea necesario contratar nueve trabajadores de tiempo completo.

2. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON LINDO

Utilizamos el software LINDO para resolver el modelo matemático:



114


Obtenemos el siguiente resultado:

Con los resultados, podremos realizar un análisis similar al realizado con los Informes de Excel.

3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON WinQSB

Al usar el software WinQSB, obtendríamos el siguiente reporte:



115


De manera similar al análisis con Excel, podemos trabajar con el reporte de WinQSB.

CONCLUSIÓN

En esta sección, usted ha aprendido a preguntar y contestar preguntas relativas a qué tan sensibles son la solución óptima y el valor de la función objetivo en uno de los coeficientes de la función objetivo o en valores del lado derecho. Tales preguntas son de particular importancia para gerentes que deben tomar decisiones cuando los datos para un problema están sujetos a cambios o incertidumbre.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

Kamlesh Mathur, Daniel Solow, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Edit.Prentice hall Hispanoamericana S.A., México, 1996.



Vetas

LeyesCosto

$/ton


(onz/ton)Pb (%)


10 de mayo 16 1,15 9,0 Xm



Formulación matemática del modelo


Sujeto a:

Xc + Xm <= 95



116


- Xc + 5 Xm >= 0

- Xc + 2 Xm <= 0

Xc y Xm >= 0

Fuente: Selvino Paz, “PERT – CPM una alternativa en problemas mineros”, UNI, Lima Perú,

Conceptos Básicos en Análisis de Sensibilidad

El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas diferenciadas del problema:

4. Los coeficientes de la función objetivo (Coeficiente Objetivo). Los cambios en los coeficientes objetivo NO afectan la forma de la región factible, por lo que no afectaran a la solución optima (aunque si al valor de la función objetivo).

5. Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos coeficientes provocaran cambios sustanciales en la forma de la región factible.

6. Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para 2 variables), los cambios en el RHS suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución optima.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON EXCEL

El primer paso será plantear el modelo en la hoja de cálculo:

Activando la función Solver de Excel, tendremos:



117


Activemos Adoptar modelo lineal en la ventana Opciones de Solver:

Haciendo clic en el botón Resolver, obtendremos la ventana Resultados de Solver, donde elegiremos Respuesta y Sensibilidad en Informes:

Excel nos dará el siguiente Informe de respuestas:



118


Una vez identificados los componentes del informe, su interpretación es casi inmediata:

La veta Colquechaca debe producir 63,33 ton de mineral y la veta 10 de mayo 31,67 ton; para una ganancia máxima de $ 18 446,15.

Después de formular y resolver un problema de programación lineal, un gerente debe hacerse un numero de preguntas importantes de la forma: “¿Qué sucede si …..?”. Por ejemplo:

1. ¿Qué le sucede a la solución óptima y al valor de la función objetivo correspondiente si un coeficiente particular de la función objetivo se modifica? Por ejemplo, supongamos que, debido a una sobreoferta de plata en el mercado mundial la cotización de la plata baja a $ 10,0 /onz. Este cambio disminuye el coeficiente de ganancia de Xc de $126,9 a $ $86,9 y Xm de $328,71 a $ 168,71. ¿Cómo afecta este cambio en el coeficiente de la función objetivo el plan de producción?

2. ¿Qué sucede con la solución óptima y con el valor de la función objetivo correspondiente si se modifica un valor particular del extremo derecho de las restricciones? Por ejemplo, durante un mes existen problemas con el área de molienda de la planta concentradora y solo trabaja al 80% de su capacidad total. Este cambio reduce la capacidad de la planta de 95 ton/día a 76 ton/día. ¿Cómo afecta este cambio en el valor del extremo derecho de la capacidad de la planta concentradora el plan de producción y la ganancia óptima?

Estas preguntas tienen que ver con el tópico del análisis de sensibilidad. Usted, gerente, se pregunta qué tan sensibles son la solución óptima y el valor de la función objetivo con respecto a los cambios en los datos del problema, es decir, los coeficientes en la función objetivo y las restricciones. ¿Qué tanto impacto tendrá en la solución un cambio en cualquiera de los datos?

Estas preguntas de sensibilidad son importantes para un gerente porque los datos del problema a menudo tienen que estimarse y por tanto están sujetos a inexactitudes. Antes de implantar la solución obtenida de un programa lineal, es ventajoso para el gerente saber lo que podría suceder si las estimaciones de los datos son ligeramente inexactas. El análisis de sensibilidad indica qué coeficientes afectan más significativamente la solución óptima.

Para dicho análisis, Excel también nos proporcionará el Informe de sensibilidad:



119


Podemos utilizar el informe de sensibilidad, adjuntando algunos cálculos:

Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo

Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo para Xc y Xm

Basándose en la solución óptima obtenida, la veta Colquechaca ha estado produciendo 63,33 ton de mineral y la veta 10 de mayo 31,67 ton.

Debido a una sobreoferta de plata en el mercado mundial la cotización de la plata baja a $ 10,0 /onz. ¿Cómo debería cambiar el plan de producción para las vetas Colquechaca y 10 de mayo?

El primer paso para responder esta pregunta es darse cuenta de que una disminución de $10 en la cotización de la plata tiene como resultado una disminución correspondiente en el margen de ganancia de la veta Colquechaca de $126,9 a $ $86,9 y de $328,71 a 168,71 en la veta 10 de mayo. La pregunta a formularse es: ¿qué sucede con la solución óptima anterior para Xc = 63,33 y Xm = 31,67 cuando el coeficiente de Xc en la función objetivo disminuye de 126,9 a 86,9 y el coeficiente Xm disminuye de $328,71 a $ 168,71?.

Una forma de contestar esta pregunta es resolver el problema después de cambiar el coeficiente de Xc y Xm en la función objetivo a 86,9 y 168,71. Sin embargo, el análisis de sensibilidad le permite responder ésta y otras preguntas relacionadas sin tener que resolver el problema cada vez que se hace una pregunta similar.

En el Informe de sensibilidad de Excel, podemos ver que el intervalo de sensibilidad del coeficiente Xc es [-164,355 , 328,71] y el intervalo de sensibilidad del coeficiente Xm es [126,9 , M]. Esto significa que si todos los demás datos permanecen inalterados, entonces mientras el coeficiente de Xc de la función objetivo permanezca en el intervalo [-164,355 , 328,71] y el coeficiente Xm en el intervalo [126,9 , M] , la solución actual de Xc = 63,33 y Xm = 31,67 sigue siendo óptima. El



120


valor de la función objetivo en este punto, sin embargo, cambia. El tamaño de este intervalo indica qué tan sensible es la solución óptima a su coeficiente. Por ejemplo, un intervalo para Xc de [110,5, 150,5] indicaría que la solución óptima es más sensible a un cambio en este coeficiente de función objetivo que el intervalo anterior de [-164,355 , 328,71].

Ahora puede responder la pregunta original de cómo cambiar el plan de producción de Pacococha cuando el precio de la plata disminuye en $10 por onza. Aunque esta disminución ocasiona que el coeficiente de Xc disminuya de su valor actual de $126,9 a $86,9, este nuevo valor de 86,9 está dentro del intervalo [-164,355 , 328,71] calculado en el análisis de sensibilidad; de la misma manera el nuevo valor de 168,71 para el coeficiente Xm está dentro del intervalo [126,9 , M]. Por tanto, la solución óptima anterior sigue siendo óptima, es decir, la veta Colquechaca debe producir 63,33 ton de mineral y la veta 10 de mayo 31,67 ton.

Sin embargo, el margen de ganancia cambia:

Nuevo margen de ganancia = 86,9 Xc + 168,71 Xm

= 86.9 (63,33) + 168.71(31,67)

= 10 846,42

Esto es, su margen de ganancia disminuye a $7 599,73.

Conclusión: Si todos los demás datos permanecen inalterados, la solución óptima actual Xc = 63,33 y Xm = 31,67 sigue siendo óptima, siempre que las variaciones de los coeficientes estén dentro de los intervalos proporcionados por el análisis de sensibilidad. El tamaño de este intervalo indica qué tan sensible es la solución óptima a su coeficiente.

Análisis de sensibilidad de los valores del lado derecho (recursos)

Usted puede aplicar el análisis de sensibilidad no sólo a los cambios en los coeficientes de la función objetivo, sino también a los cambios en los valores del lado derecho de las restricciones (recursos). Por ejemplo, como gerente de producción de Pacococha, puede estar interesado en cualquiera de las siguientes preguntas.

4. Ante la existencia de problemas en el área de molienda de la planta concentradora que viene trabajando al 80% de su capacidad total. Y por ende la reducción de la capacidad de la planta de 95 ton/día a 76 ton/día. ¿en cuanto disminuirá el margen de ganancia?

Podemos formular la pregunta de la siguiente forma general:

¿Qué le sucede al valor óptimo de la función objetivo de un programa lineal cuando uno de los valores del lado derecho de una restricción se modifica y los otros datos del problema permanecen inalterados?

Una forma de responder este tipo de pregunta es solucionar un nuevo problema de programación lineal en el que se modifique el valor de interés del lado derecho, y todo lo demás sea igual. Sin embargo, las técnicas presentadas a continuación le permiten responder tales preguntas sin tener que resolver todo el problema.

Análisis de sensibilidad del valor del lado derecho de la restricción

De los resultados del Informe de sensibilidad de Excel, puede concluirse que, si no cambian otros datos del problema, entonces, mientras el valor del lado derecho de la restricción (1) permanece dentro del intervalo de [0 , M], la solución óptima sigue siendo la misma. Sin embargo, incluso dentro de este intervalo, los valores específicos de las variables en la solución óptima cambian.

Hasta ahora usted ha visto cómo cambia la solución óptima. Como gerente de Pacococha también debería estar interesado en lo que le sucede a la ganancia total, esto es, lo que le sucede al valor de la función objetivo en la solución óptima al cambiar el valor Id de la restricción (1). Podemos observar que el precio sombra, o precio dual, del recurso es de 194,17.

Esto significa que por cada tonelada adicional de capacidad de planta concentradora disponible por encima del valor actual de 95 el margen de ganancia corporativo se incrementará en $194,17.

Observe que el precio sombra de 194,17 también indica que cada recorte de hora del actual nivel de 95 tiene como resultado una pérdida de $194,17en el margen de ganancia.

Conociendo el precio sombra de la restricción, ya puede responder la pregunta planteada:



121


Nuevo margen de ganancia = (viejo margen de ganancia) + (precio sombra)*

(incremento en toneladas de capacidad de tratamiento)

= 18 446,15 + 194,17(76 - 95)

= $14 756,92

Análisis paramétrico de los valores del lado derecho

Con el análisis de sensibilidad, usted está equipado para responder ciertas preguntas del tipo "¿Qué sucede si ... ?', siempre y cuando los cambios en los coeficientes estén dentro del intervalo de sensibilidad. Sin embargo, ¿qué sucede si esos cambios están fuera del intervalo?.

Para responder preguntas relativas a los valores del Id fuera del intervalo de sensibilidad, se realiza cálculos con el nuevo valor del ld de la restricción.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON LINDO

Con el software LINDO obtendríamos el siguiente resultado:

Con los resultados, podremos realizar una análisis similar al realizado con los Informes de Excel.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON WinQSB

Al usar el software WinQSB, obtendríamos el siguiente reporte:



122


De manera similar al análisis con Excel, podemos trabajar con el reporte de WinQSB.

CONCLUSIÓN

En esta sección, usted ha aprendido a preguntar y contestar preguntas relativas a qué tan sensibles son la solución óptima y el valor de la función objetivo en uno de los coeficientes de la función objetivo o en valores del lado derecho. Tales preguntas son de particular importancia para gerentes que deben tomar decisiones cuando los datos para un problema están sujetos a cambios o incertidumbre.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

Kamlesh Mathur, Daniel Solow, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Edit.Prentice hall Hispanoamericana S.A., México, 1996.

EJEMPLOS DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD USANDO SOFTWARE

1. Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0,5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado. Cada pie de tubo B requiere 0,45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0,6 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C, respectivamente.

Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como solo se dispone de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de maquina y 11000 onzas de material de soldar. No se espera que continúe este nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie de tubo A, $6 por pie de tubo B y $7 por pie del tubo C. estos diversos datos se resumen en la tabla. Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.

TIPO PRECIO DE VENTA

($/pie)

DEMANDA (pie)

TIEMPO DE MAQUINA (min/pie)

MATERIAL PARA

SOLDAR

COSTO DE PRODUCCIÓ

N ($/pie)

COSTO DE COMPRA

($/pie)



123


(oz/pie)

A 10 2 000 0,50 1 3 6

B 12 4 000 0,45 1 4 6

C 9 5 000 0,60 1 4 7

Cantidad disponible 40 5 500 oz

El modelo matemático para el problema es:

Maximizar ganancia = 7AP + 8BP + 5CP + 4AJ + 6BJ + 2CJ

Dependiendo de:

Restricciones de demanda

AP + AJ = 2 000 (demanda A)

BP + BJ = 4 000 (demanda B)

CP + CJ = 5 000 (demanda C)

Restricciones de recursos

0,5AP + 0,45BP + 0,6CP <= 2 400 (tiempo de maquina)

AP + BP + CP <= 5 500 (material para soldar)

Restricciones lógicas

AP, BP, CP, AJ, BJ, CJ >= 0

Utilice el software WinQSB para responder a las preguntas siguientes:

a) ¿Cuál es el plan de producción/adquisición óptimo para la MTV Steel?

MTV Steel debe producir 2,000 pies de tubo A y 2,333.33 pies de tubo C; debe comprar de sus proveedores del Japón 4,000 pies de tubo B y 2,666,67 pies de tubo C para cumplir con sus pedidos. La venta de estos productos le va a reportar $ 55,000 de ganancia.



124


b) ¿Cuáles de las dos restricciones de recursos son acotantes4?

Solo la restricción para el recurso tiempo de máquina es limitante, debido a que su variable de holgura (Snack o Surplus) tiene valor de cero.

c) Si pudiera obtener más material para soldar o más tiempo de máquina, pero no ambas cosas, ¿Cuál escogería? Explique.

Escogería el tiempo de máquina, pues es un recurso limitado, mientras que aún tenemos 1 666,67 onzas de material para soldar.

d) Los japoneses acaban de aumentar el precio de sus tubos tipo C de $7 a $8 por pie. ¿de qué manera cambia el plan de producción/adquisición actual? (Si no puede hacerlo, obtenga la respuesta resolviendo un modelo apropiadamente modificado).

El incremento del precio, disminuye nuestra ganancia en el tubo C comprado a $1,0, cuyo valor queda fuera del intervalo de sensibilidad <1.4 – 2.333>. Se debe volver a resolver el problema con las nuevas condiciones:

El nuevo plan de producción optimo es producir 4,000 pies de tubo C y comprar de sus proveedores del Japón 2,000 pies de tubo A; 4,000 pies de tubo B y 1,000 pies de tubo C para cumplir con sus pedidos. La venta de estos productos le va a reportar una ganancia de $ 53,000

e) La compañía desea aumentar sus ganancias a $ 57 500. ¿Cuántas horas más de tiempo maquina se necesitan para lograr este objetivo? (Si no puede hacerlo, obtenga la respuesta resolviendo un modelo apropiadamente modificado).

Nuevo margen de ganancia = (viejo margen de ganancia) + (precio sombra) x (incremento en horas de mano de obra)

(incremento en horas de mano de obra) = [(nuevo margen de ganancia) – (viejo margen de ganancia)]/(precio sombra)

incremento en horas de mano de obra = ($57,500 - $55,000)/$5,0/h) = 500 min = 8,33 h.

Comprobando con el software tenemos:

4 Acotante es sinónimo de limitante.Facultad de Ingeniería de Minas


125


f) La compañía puede vender su material para soldar con una ganancia de $ 32 por libra. ¿Cuánto deberá vender? Explique.

2. HiDec produce dos modelos de artículos electrónicos, donde se usan resistores, capacitores y chips. La tabla siguiente es un resumen de lo datos de este caso.

Recurso

Requerimientos del recursos por unidad

Modelo I (unidades)

Modelo 2 (unidades)

Disponibilidad máxima (unidades)

Resistor 2 3 1 200

Capacitor 2 1 1 000

Chips 0 4 800

Utilidad ($) 3 4

El modelo matemático es el siguiente:

Maximizar 3M1 + 4M2

Sujeto a:

2M1 + 3M2 <= 1 200 (disponibilidad de resistores)

2M1 + M2 <= 1 000 (disponibilidad de capacitores)

4M2 <= 800 (disponibilidad de chips)

M1, M2 >= 0

Utilice el software WinQSB para responder a las preguntas siguientes:

a. Determine la solución óptima con WinQSB



126


HiDec debe producir 450 unidades de M1 y 100 unidades de M2 para obtener una ganancia de S/. 1 750,00.

b. En función de la utilidad óptima, determine el valor de un resistor. De un capacitor. De un chip.

El valor de los elementos está determinado por el precio sombra de cada uno de ellos, para un resistor es S/. 1,25, para un capacitor S/. 0,25 y para un chip es 0.

c. Si la cantidad disponible de resistores aumenta a 1 300 unidades, ¿Qué sucede?

Podemos observar que el recurso resistor posee un intervalo de <1 000, 1 400> y 1 300 se encuentra dentro del rango, por lo tanto, podemos calcular la variación de la ganancia óptima:

(Nuevo valor de z) = (valor original de z) + (precio sombra) x (cambio en el valor del lado derecho)

z = 1 750,00 + (1,25) x (1 300-1 200) = S/. 1 875,0

d. Si se reduce la cantidad de chips disponible a 350 unidades, ¿Podría usted determinar la solución óptima nueva en forma directa a partir de la información? Explique por qué.

El valor de 350 no se encuentra dentro del intervalo <400, M>, por lo tanto, debemos volver a calcular la producción óptima con el nuevo valor.

Con el cambio de valor del recurso chips, HiDec debe producir 456 unidades de M1 y 87 unidades de M2 para obtener una ganancia de S/. 1 716,0.

e. Si la disponibilidad de los capacitores se limita por el intervalo de aplicabilidad calculado en b), determine el intervalo correspondiente de utilidad óptima y los intervalos correspondientes de la cantidad de unidades a producir de los modelos 1 y 2 .

Para responder, utilizaremos el análisis paramétrico de WinQSB



127


Del gráfico, podemos deducir que para el intervalo de los capacitores <800, 1 200>, el intervalo del margen de ganancia es <1 700, 1 800>.

Para calcular el valor los intervalos correspondientes a la cantidad de unidades a producir de los modelos 1 y 2, realizaremos nuevos cálculos son los valores extremos del intervalo <800, 1 200>:

El intervalo para M1 será <300, 600> y para M2 <0, 200>.

f. Un nuevo contratista ofrece vender a HiDec mas resistores a 40 centavos cada uno, pero solo si HiDec compra un mínimo de 500 unidades. ¿debe aceptar la oferta HiDec?

Volvemos a calcular con 1 700 resistores:



128


Observamos que la ganancia se incrementa en S/. 250,0 (2 000,0 – 1 750,0) y el gasto sería de S/. 200,0 (500 unidades x $0,4/unidad), por lo tanto, es recomendable realizar la compra.

3. Toyco arma tres juguetes: trenes, camiones y coches, con tres operaciones. Los límites de tiempo disponible para las tres operaciones son 430, 460 y 420 minutos, respectivamente, y las utilidades por tren, camión y coche de juguete son $3, $2 y $5, respectivamente. Los tiempos de armado por tren, en las tres operaciones son 1, 3 y 1 minutos, respectivamente. Los tiempos respectivos por camión y por coche son (2, 0, 4) y (1, 2, 0) minutos (un tiempo de cero indica que no se usa la operación). Si x1, x2 y x3 representan la cantidad diaria de unidades armadas de trenes, camiones y coches. El modelo matemático formulado será:

Maximizar z = 3x1 + 2x2 + 5x3

Sujeto a:

x1 + 2x2 + x3 <= 430 (Operación 1)

3x1 + 2x3 <= 460 (Operación 2)

x1 + 4x2 <= 420 (Operación 3)

x1, x2, x3 >= 0

a) Determine la solución óptima del problema usando WinQSB.

Toyco debe producir 100 unidades de camiones y 230 unidades de coches para obtener una ganancia de S/. 1 350,00.

b) Si usted pudiera redistribuir la capacidad en exceso de la operación 3 de 20 minutos, ¿Cuál de las dos operaciones (1 ó 2) escogería?

Los minutos no utilizados en la operación 3 son 20 minutos, el valor de los mismos es:

Operación 1 = 20 minutos x $1/minuto = $20

Operación 2 = 20 minutos x $2/minuto = $40

Asignaría los 20 minutos a la operación 2, lo que permitiría aumentar mi margen de ganancia en $40,0.



129


c) Suponga que para los trenes de juguete el tiempo por unidad de operación 2 se puede reducir de 3 minutos a cuando mucho 1,25 minutos. ¿Cuánto debe reducirse el tiempo por unidad de la operación 1 para hacer que los trenes de juguete sean apenas rentables?

La variación sucede en el lado izquierdo de la restricción 2, observemos el nuevo modelo planteado y su solución:

El plan de producción óptimo y el margen de ganancia se mantienen; el coeficiente 1 de la restricción 1 (operación 1) lo haremos variar, hasta que la solución nos reporte producción de trenes:

Tiempo por unidad de

operación 1

Unidades de trenes

Unidades de camiones

Unidades de coches

Margen de ganancia

0,9 0 100 230 1 350,0

0,8 0 100 230 1 350,0

0,7 0 100 230 1 350,0

0,6 0 100 230 1 350,0

0,5 0 100 230 1 350,0

0,4 13,7931 101,5517 221,379 1 351, 379

Acercamos el valor del tiempo a 0,5 (0,4999999), para hallar la nueva producción óptima.



130


Toyco puede producir 16 unidades de trenes, 101 unidades de camiones y 220 unidades de coches para obtener una ganancia de S/. 1 350,00, cuando el tiempo por unidad de operación 2 se reduzca a 1,25 minutos y el tiempo por unidad de operación 1 sea menor de 0,5 minutos.

d) Suponga que Toyco estudia la posibilidad de introducir un cuarto juguete: carro de bomberos. En el armado no se usa la operación 1. Sus tiempos de armado por unidad en las operaciones 2 y 3, son 1 y 3 minutos respectivamente. La utilidad por unidad es $4. ¿Aconsejaría usted a Toyco que introdujera este nuevo producto?

El nuevo modelo matemático será:

Maximizar z = 3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4

Sujeto a:

x1 + 2x2 + x3 <= 430 (Operación 1)

3x1 + 2x3 + x4 <= 460 (Operación 2)

x1 + 4x2 + 3x4 <= 420 (Operación 3)

x1, x2, x3, x4 >= 0

La solución del modelo matemático con WinQSB, nos reporta:

La diferencia de utilidades es solo S/. 10,0. No aconsejaría la introducción del nuevo producto,

e) Suponga que todo tiempo adicional para la operación 1, respecto a su capacidad actual de 430 minutos diarios, se debe hacer en tiempo extra, a $50 por hora. El costo por hora incluye tanto la mano de obra como el funcionamiento de la maquina. ¿hay ventajas económicas de recurrir al tiempo extra para la operación 1?

Del análisis paramétrico de la restricción 1 (operación 1):



131


Solo habrá incremento en el margen de ganancia de S/.10 (S/.1 350 a S/.1 360), incrementando los minutos de 430 a 440; luego así se incrementen más minutos, no habrá incremento en el margen de ganancia (ver gráfica).

f) Suponga que el trabajador de la operación 2 conviene en trabajar 2 horas de tiempo extraordinario diarias a $45 por hora. Además el costo de la operación misma es $ 10 por hora. ¿Cuál es el efecto de esta actividad sobre la utilidad diaria?

En la operación 2, con el incremento de 2 horas extras o sea 120 minutos, el total sería de 580 minutos que se encuentra dentro del intervalo <440, 860>, por lo tanto el incremento en las ganancias sería de $2 x 240 = $480,0 y los gastos serían de 2 x ($45,0 + $10,0) = $110,0, dando un saldo positivo de $370 ($480 - $110).

g) ¿Vale la pena usar tiempo extra para la operación 3?

El análisis paramétrico para la operación 3 es:



132


Observamos que el margen de ganancia no se incrementa, a pesar de incrementar los minutos de operación, por lo tanto no vale la pena usar tiempo extra.

h) Suponga que aumenta la disponibilidad diaria de la operación 1 a 440 minutos. Todo tiempo extra incurrido en exceso de la capacidad máxima actual costara $40 por hora. ¿Qué sucede con la solución optima hallada?

Analizando el reporte de análisis paramétrico para la operación 1:

El nuevo margen de ganancia es de $1 360,0, $10 más que el anterior; los 10 minutos adicionales cuestan $6,67, tendríamos un incremento de ganancia efectivo de $3,33.

i) Suponga que disminuye la disponibilidad de la operación 2 en 15 minutos diarios, y que el costo por hora de la operación durante el tiempo normal es $30. ¿Vale la pena disminuir la disponibilidad de la operación 2?

La disminución a 445 minutos, está dentro del intervalo <440, 860>, por lo tanto una disminución de 15 minutos nos disminuiría el margen de ganancia en $2 x 15 = $30,0, de la misma manera el ahorro sería de $7,5, ocasionando una pérdida de $22,5. No vale la pena disminuir la disponibilidad de la operación 2.

4. Cauchos Perú, fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso), Extendex (material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en a tabla:

PRODUCTO Ingrediente (oz/lb de producto)

Polímero A Polímero B Polímero C Base

Airtex 4 2 4 5

Extendex 2 2 3 8

Resistex 5 3 5 2



133


Cauchos Peru, tiene el compromiso de producir al menos 1200 libras de Airtex, 500 libras de Extendex y 300 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender mas de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B, 650 libras del polímero C y 1100 libras de la base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $/.7, cada libra de Extendex una ganancia de $6,5 y cada libra de Resistex una ganancia de $6.

El modelo matemático planteado es:

Maximizar ganancia = 7A+ 6,5E + 6R

Sujeto a:

Restricciones de recursos

4A + 2E + 5R <= 8000 (polímero A en onzas)

2A + 2E + 3R <= 6800 (polímero B en onzas)

4A + 3E + 5R <= 10400 (polímero C en onzas)

5A + 8E + 2R <= 17600 (base en onzas)


A >= 1200 (Airtex en libras)

E >= 500 (Extendex en libras)

R >= 300 (Resistex en libras)


A, E, R >= 0

Utilice el resultado del uso de software, Solver de Excel para responder a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es el plan de producción óptimo?



134


Cauchos Perú debe producir 1 200 lb de Airtex, 850 lb de Extendex y 300 lb de Resistex. La venta de estos productos le va a reportar $ 15 725 de ganancia.

b. ¿Cuáles de las cuatro restricciones son acotantes?

Solo la restricción para el recurso polímero A es limitante, debido a que su variable de holgura (Snack o Surplus) tiene valor de cero.

c. Con el plan de producción actual, ¿para cuál de los tres productos se puede cumplir con una demanda adicional de 5%? Explique

d. Si usted pudiera obtener cantidades adicionales de únicamente uno de los tres polímeros ¿Cuál de ellos recomendaría? Explique.

Solicitaría cantidades adicionales del polímero A.

e. La compañía desea aumentar sus ganancias a $18 000 adquiriendo más cantidad del polímero A ¿Cuánto más del polímero A se necesita? Explique.

Nuevo margen de ganancia = (viejo margen de ganancia) + (precio sombra) x (incremento en polímero A)

(incremento en polímero A) = [(nuevo margen de ganancia) – (viejo margen de ganancia)]/(precio sombra)

incremento en polímero A = ($18,000 - $15,725)/$3,25/oz) = 700 oz..

Comprobando con el software tenemos:

f. Si la demanda de Airtex aumenta en 2%, ¿Cuál es el nuevo plan de producción óptimo? Explique

La demanda de Airtex, seria 1224 lb,



135


g. ¿Qué coeficiente o coeficientes de ganancia podrían duplicarse, mientras se mantienen fijos todos los demás coeficientes, sin que se afecte el plan de producción optimo? Explique.

En el producto Airtex, sí duplicamos la ganancia de $7 a $14, este nuevo valor sale del rango de variación de coeficiente de ganancia de [0 , 13].

En el producto Extendex, sí duplicamos la ganancia de $6,5 a $13, este nuevo valor se encuentra dentro del rango de variación de coeficiente de ganancia de [3,5 , M].

En el producto Resistex, sí duplicamos la ganancia de $6 a $24, este nuevo valor se encuentra dentro del rango de variación de coeficiente de ganancia de [0 , 16,25].

En conclusión, podemos duplicar el coeficiente de ganancia de Extendex y Resistex.

h. La ganancia de Extendex acaba de disminuir en 20%. ¿Cuál es el nuevo plan de producción y la ganancia total? Explique.

La nueva ganancia en el producto Extendex, sería de $5,2, este nuevo valor esta dentro del rango de variación de coeficiente de ganancia de [3,5 ,M]. Por lo tanto, se conserva el plan de producción obtenido, con la ganancia de $ 14 620.

i. El compromiso de producir 300 lbs de Resistex acaba de caer en 10%. ¿Qué le sucede a la ganancia optima? Explique



136


Cauchos Perú debe producir 1 200 lb de Airtex, 500 lb de Extendex y 270 lb de Resistex. La venta de estos productos le va a reportar $ 13 270 de ganancia.

5. Mobil Oil del Peru, obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Talara, Loreto y Ucayali. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre, plomo y fósforo, como se muestra en la tabla. El costo de cada componente también se presenta. Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo crudo de Talara resulta solo en 0,40 de galón de producto final, que contiene 0,07% de azufre. De manera similar, cada galón de crudo de Loreto produce 0,50 de galón de producto final que contiene 0,08% de sulfuro y cada galón de crudo de Ucayali resulta en 0,30 de galón de producto final que contiene 0,10 de azufre. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones para controlar las cantidades de azufre, plomo y fósforo:

a. Cada galón debe tener a lo más 0,07% de azufre.

b. Cada galón debe tener entre 1,25 y 2,5 gramos de plomo.

c. Cada galón debe tener entre 0,0025 y 0,0045 gramos de fósforo.

d. La cantidad total de aditivos no puede exceder de 19% de la mezcla.

Petróleos crudos Aditivos

Talara Loreto Ucayali 1 2

Azufre (%) 0,07 0,08 0,10 - -

Plomo (g/gal) - - - 7 6

Fósforo (g/gal) - - - 0,025 0,02

Costo 8$/gal) 0,55 0,47 0,33 0,08 0,12


Minimizar 0,55T + 0,47L + 0,33U + 0,08A1 + 0,12A2

Sujeto a:

Restricciones de producción

0,35T + 0,40L + 0,30U + A1 + A2 = 1

Restricciones de composición de mezclado

0,000245T + 0,00032L + 0,0003U <= 0,0007 (azufre)

7A1 + 6A2 <= 2,50 (limite superior en plomo)

7A1 + 6A2 >= 1,25 (limite inferior en plomo)



137


0,025A1 + 0,02A2 <= 0,0045 (limite superior en fósforo)

0,025A1 + 0,02A2 >= 0,0025 (limite inferior en fósforo)

A1 + A2 <= 0,19 (limite superior en aditivos)


T, L, U, A1, A2 >= 0

Utilice el resultado del uso de software WinQSB para responder a las siguientes preguntas:


Mobil Oil del Perú debe mezclar 1,375 gal de petróleo crudo de sus pozos de Loreto con 0,8667 gal de petróleo crudo de sus pozos de Ucayali con 014 gal de Aditivo 1 y 0,05 gal de Aditivo 2. Con un costo de 0,9495 $/gal de producto final.

b. Identifique que ingredientes (azufre, plomo y fósforo) están en su límite permitido.

Los elementos que están en sus límites permisibles son: Azufre y Fósforo en su límite superior.

c. Analice el efecto de los aumentos y disminuciones individuales en los costos de los tres petróleos crudos antes de que las cantidades actuales de los ingredientes deban cambiarse.

El precio del petróleo crudo procedente de Talara, puede fluctuar en el rango de [0,424, M] y no alterarse la mezcla optima, si los otros precios no varían.

El precio del petróleo crudo procedente de Loreto, puede fluctuar en el rango de [0,4400 – 0,5657] y no alterarse la mezcla optima, si los otros precios no varían.

El precio del petróleo crudo procedente de Ucayali, puede fluctuar en el rango de [0,1146 – 0,3525] y no alterarse la mezcla optima, si los otros precios no varían.

d. Explique el impacto de los cambios en el contenido máximo de azufre sobre el costo de la mezcla óptima.



138


e. Proporcione la mezcla óptima y el costo asociado si el precio del petróleo crudo Ucayali aumenta en 10%.

f. Proporcione la mezcla óptima y el costo asociado si el límite sobre la cantidad total de aditivos disminuye de 19% a 15%.

6. La comunidad de Ichu tiene 50 Has. De tierra en la que se puede plantar cualquier cantidad de maíz, cebolla y lechuga. La siguiente tabla muestra la información relevante con respecto a la producción, la ganancia neta y los requerimiento de agua para cada cultivo:

CULTIVO PRODUCCIÓN (Kg/Ha)

GANANCIA NETA (S/./Kg)

AGUA REQUERIDA

(litros/kg)

Maíz 640 1,0 8,75

Cebolla 500 0,8 5,00

Lechuga 400 0,6 2,25

Dado que se tienen disponibles 100 000 litros de agua y que la comunidad se ha comprometido a vender al menos 5 120 kg de maíz, se desarrollo el siguiente programa lineal, en el que CN es el numero de Has. Que se van a plantar con maíz, SB es el numero de Has. Que se van a plantar con cebolla y LT es el número de Has que se van a plantar con lechuga:

Maximizar 640 CN + 400SB + 240LT

Sujeto a:

CN + SB + LT <= 50 (tierra)

5600CN + 2500SB + 900LT <= 100 000 (agua)

CN >= 8 (demanda de maíz)

CN, SB, LT >= 0


a. ¿Cuántos kilogramos de cada cultivo serán cosechados?

Maíz = 8 Ha x 640 kg/Ha = 5 120 kg.



139


Cebolla = 10,875 Ha x 500 kg/Ha = 5 437,50 kg.

Lechuga = 31,125 Ha x 400 kg/Ha = 12 450 kg.

b. En la solución optima ¿cuánta agua y cuánta tierra no se utilizan? Explique

Agua= Se utiliza el 100% del recurso, pues el Slack o Surplus es 0.

Tierra = Se utiliza el 100% del recurso, pues el Slack o Surplus es 0.

c. ¿En qué cantidad tendría que disminuir la ganancia neta por kilogramo de lechuga antes de que cambie la solución optima actual?

El rango de variación del coeficiente de ganancia de la lechuga es [144 , 276,129], entonces la ganancia neta por lechuga puede disminuir hasta 144/400 = 0,36, sin cambiar la solución optima.

d. Con la misma cantidad de dinero la gerencia puede arrendar 10 Has. De terreno adicionales para la estación o adquirir 13 000 litros de agua. ¿Cuál de las dos alternativas recomendaría usted? Explique.

Terreno = 10 x 150 = S/. 1500

Agua = 13 000 x 0,1 = 1 300

Recomiendo adquirir agua, por tener menor costo.

e. La gerencia desea obtener una ganancia neta de $25 000. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para lograr esta meta, suponiendo que la cantidad de tierra es la misma?

Nuevo margen de ganancia = (viejo margen de ganancia) + (precio sombra) x (incremento en agua)

(incremento en agua) = [(nuevo margen de ganancia) – (viejo margen de ganancia)]/(precio sombra)

incremento en agua = ($25 000 - $16 940)/$0,1/l) = 80 600 litros.

f. La gerencia acaba de recibir la oferta de arrendar su tierra para la temporada a $/. 200 por Ha. ¿Cuántas Has. Si lo hace, deberá arrendar? Explique

Debe arrendar todo, pues le ofrecen $200 y su Shadow Price es $150.

7. la compañía Muñani Cueros SRL fabrica guantes, correas y mochillas para minería. En la fabricación de los tres productos se necesita cuero, metal y materiales sintéticos, y el cuero es la materia prima limitante. En el proceso de producción se usan dos clases de mano de obra calificada: costura y acabado. La tabla siguiente muestra la disponibilidad de los recursos, su uso en los tres productos y las utilidades por unidad.

Recurso

Requerimiento del recurso por unidad

Guante Correa MochilaDisponibilidad

diaria

Cuero (pie2) 2 1 3 42

Costura (h) 2 1 2 40

Acabado (h) 1 0.5 1 45

Utilidad (S/.) 24 22 45

El modelo matemático formulado es:

Maximizar 24G + 22C+ 45M

Sujeto a:

2G + 1C + 3M <= 42 (disponibilidad de pie2 de cuero)

2G + 1C + 2M <= 40 (disponibilidad de horas de costura)

1G + 0,5C + 1M <= 45 (disponibilidad de horas de acabado)

G, C, M >= 0

Determine la solución óptima con WinQSB



140


Muñani Cueros SRL, debe producir 36 unidades de correas y 2 unidades de mochillas para obtener una ganancia diaria de S/. 882,0.

A continuación comente como influyen los cambios siguientes en los recursos:

a. El cuero disponible aumenta a 45 pie2 (1pto).

Podemos observar que el recurso cuero posee un intervalo de [40 , 60] y 45 se encuentra dentro del rango, por lo tanto, podemos calcular la variación de la ganancia optima:

(Nuevo valor de z) = (valor original de z) + (precio sombra)x(cambio en el valor del lado derecho)

z = 882,0 + (1,0)x(45-42) = S/. 885,0

b. El cuero disminuye a 1 pie2 (1pto).

El valor de 1 no se encuentra dentro del intervalo [40 , 60], por lo tanto, debemos volver a calcular la producción óptima con el nuevo valor.

Con el cambio de valor del recurso cuero, Muñani Cueros SRL, debe producir 1 correa para obtener una ganancia diaria de S/. 22,0.

c. Las horas disponibles de costura cambian a 38 (1pto).

El recurso costura posee un intervalo de [28 , 42] y 38 se encuentra dentro del rango, por lo tanto, podemos calcular la variación de la ganancia optima:


z = 882,0 + (21,0)x(38-40) = 882,6 – 42,0 = S/. 840,0

d. Las horas disponibles de costura cambian a 46 (1pto).



141


El valor de 46 no se encuentra dentro del intervalo [28 , 42], por lo tanto, debemos volver a calcular la producción óptima con el nuevo valor.

Con el cambio de valor del recurso costura, Muñani Cueros SRL, debe producir 42 correas para obtener una ganancia diaria de S/. 924,0.

e. Las horas disponibles de acabado disminuyen a 15 (1pto).

El valor de 15 no se encuentra dentro del intervalo [20 , M], por lo tanto, debemos volver a calcular la producción óptima con el nuevo valor.

Con el cambio de valor del recurso acabado, Muñani Cueros SRL, debe producir 6 correas y 12 mochilas para obtener una ganancia diaria de S/. 672,0.

f. Las horas disponibles de acabado aumentan a 50 (1pto).

El recurso acabado posee un intervalo de [20 , M] y 50 se encuentra dentro del rango, por lo tanto, podemos calcular la variación de la ganancia optima:


z = 882,0 + (0,0)x(50-45) = 882,0 + 0,0 = S/. 882,0

g. ¿Recomendaría usted contratar un costurero mas a S/.15 por hora? (1pto).

Si observamos el precio sombra del recurso costura es de S/. 21,0 mayor que S/. 15,0, por lo tanto, recomendamos contratar un nuevo costurero por hora.

8. Gapco tiene un presupuesto diario de 320 horas de mano de obra y 350 unidades de materia prima, para fabricar dos productos. Si es necesario, la empresa puede emplear hasta 10 horas de tiempo extra de mano de obra, con un costo adicional de $2 por hora. Se necesita 1 hora de mano de obra y 3 unidades de materia prima para producir una unidad de producto 1, y 2 horas de mano de obra y 1 unidad de materia prima para producir una unidad de producto 2. la utilidad por unidad de producto 1 es de $10, y la del producto 2 es $12. Sean x1 y x2 las



142


cantidades diarias fabricada de productos 1 y 2 respectivamente. y x3 las horas diarias de tiempo extra usadas. El modelo matemático formulado será:

Maximizar 10x1 + 12x2 – 2x3

Sujeto a:

x1 + 2x2 – x3 <= 320 (Horas de mano de obra)

3x1 + x2 <= 350 (Materia prima)

x3 <= 10 (Tiempo extra)

x1, x2, x3 <= 0

a) Determine la solución óptima del problema usando Solver de Excel

La producción diaria de Gapco debe ser de 74 unidades del producto 1 y 128 unidades del producto 2, debe usar 10 horas de tiempo extra y tendrá una ganancia de $ 2 256,0.

b) Actualmente, Gapco paga $2 adicionales por hora de tiempo extra. ¿Cuánto es lo máximo que puede pagar la empresa? (1 pto).

Si observamos el rango del coeficiente de x3 [-5,2 , M], podemos deducir que el monto máximo que podemos pagar es de $5,2 sin alterar la solución óptima hallada. El nuevo valor de z será Z = 10(74) + 12(128) – 5,2(10) = $ 2 224,0.

c) Si Gapco puede adquirir 100 unidades diarias más de materia prima a $1,50 cada una. ¿Aconsejaría usted que lo hiciera? ¿Y si el costo de la materia prima fuera $2 por unidad? (1 pto).

Las unidades diarias de materia prima serán 350,0 + 100,0 = 450,0 cuyo valor se encuentra dentro del intervalo [165 , 990] y el precio sombra es $ 1,6 por unidad de materia prima, por lo tanto, se aconseja adquirir hasta un costo máximo de $1,6, por encima de este costo no se debe adquirir.

d) Suponga que Gapco puede adquirir cuando mucho 200 unidades adicionales de materia prima por día. Determine la solución óptima asociada (1,5 ptos).

Las unidades diarias de materia prima serán 350,0 + 200,0 = 550,0 cuyo valor se encuentra dentro del intervalo [165 , 990], por lo tanto, podemos calcular la variación de la ganancia optima:




143


z = 2 256,0 + (1,6)x(200,0) = $ 2576,0. Para calcular la solución óptima empleamos WinQSB.


e) Suponga que Gapco no puede usar más de 8 horas diarias de tiempo extra. ¿la solución óptima inicial hallada es todavía correcta? (1,5 ptos).

El valor de 8 se encuentra dentro del intervalo [0 , 380], por lo tanto, podemos calcular la variación de la ganancia optima:


z = 2 256,0 + (3,2)x(8-10) = $ 2249,6. Para calcular la solución óptima empleamos WinQSB.


La producción diaria de Gapco debe ser de 74,4 unidades del producto 1 y 126,8 unidades del producto 2, debe usar 8 horas de tiempo extra y tendrá una ganancia de $ 2 249,6.

9. Una compañía minera opera tres minas. El mineral obtenido en cada una se separa en dos calidades antes de su distribución. Las capacidades de producción diarias de cada mina, así como sus costos de operación diarios, son los siguientes:



144


Mineral de alta calidad (ton/día)

Mineral de baja calidad (ton/día)

Costo de operación (dólares/día)

Mina 1 40 40 20 000

Mina 2 60 40 22 000

Mina 3 10 60 18 000

La compañía se ha comprometido a entregar 540 toneladas de mineral de alta calidad y 650 de baja calidad en el plazo de una semana. Los contratos firmados le garantizan la paga del día completo por cada día o fracción que la mina está abierta.


Minimizar 20 000 M1 + 22 000 M2 + 18 000 M3

Sujeto a:

40 M1 + 60 M2 + 10 M3 >= 540

40 M1 + 40 M2 +60 M3 >= 650

M1 <= 7

M2 <= 7

M3 <= 7

M1, M2 y M3 >= 0

Donde:






La mina 1 debe trabajar 1,75 días, la mina 2 de trabajar 7 días y la mina 3 debe trabajar 5 días, con un costo mínimo de producción de $ 279 000.

b. ¿Cuáles de las cinco restricciones son acotantes y que significan?

Las restricciones 1, 2 y 4 son acotantes, en el caso de las restricciones 1 y 2 significa que se ha producido lo solicitado en un 100%, en el caso de la restricción 4 significa que se trabaja los 7 días de la semana.

c. ¿Si el costo de producción de la Mina 1 disminuye a US$ 18 000 / día, Que sucede con el plan de producción óptimo? Explique.



145


El rango de variación de la variable M1 es <$18 250, $72 000>, como $18 000, se encuentra fuera de este rango, se debe volver a calcular la producción óptima:

La mina 1 debe trabajar 7 días, la mina 2 de trabajar 3,7 días y la mina 3 debe trabajar 3,7 días, con un costo mínimo de producción de $ 274 187,5.

d. Si la compañía desea disminuir sus costos de operación a US $ 250 000 / semana y debe disminuir la producción de la Mina 2 ¿Cuántos días debe dejar de producir? Explique.

La función objetivo es:

z = 20 000 M1 + 22 000 M3 + 18 000 M3, con el resultado de a) y la disminución del costo de operación tenemos:

z = 25 000 = 20 000 (1,75) + 18 000 (M2) + 18 000 (5), donde M2 = 5,681 días, entonces la mina 2 debe dejar de producir 7 – 5,681 = 1,319 días.

e. Si la compañía recibe un pedido de 700 ton de mineral de baja calidad para la próxima semana ¿Cuál es el nuevo costo de operación de la compañía? Explique.

El pedido de 700 ton de mineral de baja ley se encuentra dentro del rango <400 , 750>, por lo que, para calcular el nuevo costo de operación podemos utilizar el valor de 260 como precio sombra, entonces:

Nuevo margen de ganancia = (viejo margen de ganancia) – (precio sombra) x (incremento en tonelaje)

= 279 000 – (260)(650 – 700) = $292 000.



146


10. Una compañía de transporte de concentrado de mineral tiene 10 camiones con capacidad de 20 toneladas y 5 camiones de 15 toneladas de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operación de $ 0,30/Km y los mas pequeños de $0,25/km. La próxima semana, la compañía debe transportar 200 toneladas de concentrado de plomo para un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos impone que por cada dos camiones medianos mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes.


Minimizar 240 CG + 200 CM

Sujeto a:

20 CG + 15 CM = 200

CG –2 CM <= 0

CG <= 10

CM <= 5

CG y CM >= 0 y enteros

Donde:



Utilice el resultado del uso de software, WinQSB para responder a las siguientes preguntas:

a) ¿Cual es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar el concentrado?

Se utilizaran para el transporte del concentrado 7 camiones grandes y 4 camiones medianos, con un costo de $ 2 480.

b) ¿Qué sucede con el número óptimo de camiones, Si el costo de operación de los camiones grandes se incrementa en un 10%? Explique.

El nuevo costo de transporte para los camiones grandes, sería: $ 240 x 1,1 = $ 264, calculando con este nuevo costo, tenemos:



147


Observamos que el plan de transporte se mantiene, incrementándose el costo a $ 2 648.

c) Si tres camiones grandes son enviados a otro proyecto ¿Qué sucede con el transporte del concentrado? Explique.

Tenemos 10 camiones, de los cuales solo se utiliza 7 camiones, podemos enviar los 3 camiones que tenemos en stand by.

d) Si de la demanda del transporte de concentrado sube a 250 toneladas. ¿En que porcentaje se incrementa el costo de operación? Explique.

Utilizando el precio sombra de la restricción 1, tenemos:

Nuevo margen de ganancia = (viejo margen de ganancia) – (precio sombra) x (incremento en tonelaje)

= 2 480 + 13,3333 x (250 – 200) = $ 3146, 665

Entonces el costo de producción, se incrementa en (3 146,665 – 2 480)x100 / (2 480) = 26,88%.

e) Si dos camiones medianos sufren desperfectos y no pueden operar ¿Qué sucede con el transporte del concentrado? Explique.

No podemos cumplir con la programación, pues solo podríamos reemplazar 1 camión, faltando 1.



148


CAPITULO V

PROBLEMAS DE REDES DE DISTRIBUCIÓN: TRANSPORTACIÓN, ASIGNACIÓN Y TRANSBORDO

Muchos problemas, cuando se les formula, muestran una estructura especial en sus restricciones o en su función objetivo. Mediante el diseño de procedimientos de solución (algoritmos) para aprovechar la estructura especial, es posible resolver problemas de una manera más eficiente que si se estuviera en cualquier otra circunstancia. Este capítulo presenta uno de los problemas de tal tipo, problemas de redes de distribución.

¿QUÉ ES UNA RED DE DISTRIBUCIÓN?

Una clase de problemas que tiene una estructura especial en sus restricciones cuando se le formula de manera matemática tiene que ver con la distribución de bienes. Por lo general, estos bienes deben ser enviados desde puntos de suministro conocidos (fábricas, plantas, etcétera) hasta puntos de demanda conocidos (clientes, tiendas detallistas, etcétera), posiblemente a través de puntos intermedios (almacenes regionales y/o de campo, por ejemplo). El objetivo general consiste en hallar el mejor plan de distribución, es decir, la cantidad que se debe enviar por cada una de las rutas desde los puntos de suministro, a través de los puntos intermedios, hasta los puntos de demanda. Con el término "mejor" se entiende un plan que minimice los costos totales de envío, produzca la mayor ganancia u optimice algún otro objetivo corporativo especificado por la gerencia. También es necesario satisfacer ciertas restricciones:

1. No enviar más de la capacidad especificada desde cada punto de suministro.

2. Enviar bienes solamente por las rutas válidas.

3. Cumplir (o exceder) los requerimientos de bienes en los puntos de demanda.

Un problema de este tipo es un problema de redes de distribución. Una característica favorable de esta clase de problema es que muchos aspectos pueden representarse de manera concisa mediante un diagrama, conocido como red de distribución. Una red de distribución consiste en una colección finita de círculos, llamados nodos, cada uno de los cuales representa una planta, un almacén o una tienda al menudeo. Los nodos desde los cuales se van a enviar los bienes (como fábricas y plantas) son nodos de suministro. Los nodos que van a recibir los bienes en cumplimiento de una demanda conocida (como las tiendas detallistas) se conocen como nodos de demanda. Los nodos que reciben bienes de otros nodos para su redistribución (como el caso de los almacenes) se conocen como nodos de transbordo o nodos intermedios.

Las parejas de nodos seleccionados de una red están conectadas mediante una flecha, conocida como arco, que representa una ruta de envío válida desde el nodo de origen al nodo de destino,



149


según lo indica la dirección en la que apunta la flecha (véase la figura 1). La representación de la red puede contener varios datos del problema. Por ejemplo, el número colocado al lado de cada nodo de suministro de la figura 1 representa la capacidad de dicho nodo de suministro; es decir, el número máximo de unidades que pueden ser enviadas desde ese nodo. Por ejemplo, la planta representada por el nodo 1 de la figura 1 puede enviar hasta 1000 unidades. Similarmente, el número colocado junto a cada nodo de demanda en la figura 1 representa la demanda en dicho nodo; esto es, el número mínimo de unidades que necesita recibir ese nodo para cumplir la demanda en él. Por ejemplo, la demanda en la tienda detallista representada por el nodo 6 es de 700 unidades. Cada arco puede, también, tener un número asociado a él. Por ejemplo, el número que se encuentra encima de los arcos de la figura 1, representa el costo de envío de una unidad entre los dos nodos conectados por ese arco. El costo de envío de una unidad desde el nodo 1 al nodo 4 es 4 (que pueden ser $4, $400 o, incluso, $4000). En la red también se puede incluir otro tipo de información sobre el problema, como podría ser el número máximo de unidades que se pueden enviar a lo largo de un arco dado.

Figura 1. Una red de distribución general

EL PROBLEMA DE TRANSPORTACIÓN

En la presente sección, usted aprenderá acerca de una clase específica de problemas de distribución comunes a muchas empresas: cómo enviar bienes terminados, de la manera menos costosa posible, directamente desde las plantas hasta las tiendas detallistas, sin que haya almacenes intermedios. A este problema de distribución se le conoce como problema de transportación. El problema de Cosmic Computer Company (CCC) es un ejemplo de problema de transportación.

EL PROBLEMA DE TRANSPORTACIÓN DE CCC.- CCC posee tres plantas de ensamblado de microcomputadoras. La que se encuentra localizada en San Francisco tiene una capacidad de producción mensual de 1700 unidades, la que está localizada en Los Ángeles tiene una capacidad de producción mensual de 2000 unidades y la de Phoenix tiene una capacidad de producción mensual de 1700 unidades. Las microcomputadoras son vendidas a través de tiendas al menudeo. Para el mes siguiente, la tienda que se encuentra en San Diego ha hecho un pedido de 1700 unidades, la que está en Barstow tiene un pedido de 1000 unidades, la de Tucson ha pedido 1500 unidades y la situada en Dallas tiene un pedido de 1200 unidades. El costo de envío de una microcomputadora desde cada planta de ensamblado a cada una de las diferentes tiendas detallistas se presenta en la tabla 1. Como gerente de distribución, usted desea formular un modelo matemático para encontrar el programa de envíos de menor costo.



150


Tabla 1. Costos de embarque ($/maquina) de plantas a tiendas

TIENDAS

PLANTAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS

San francisco

Los Angeles

Phoenix

5

4

6

3

7

5

2

8

3

6

10

8

Figura 2. La red de distribución de CCC

FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA

Minimizar (5xss + 3xsb + 2xst, + 6xsd) +

(4xls + 7xlb + 8xlt+ 10xld) +

(6xps + 5xpb + 3xpt + 8xpd)

Dependiendo de:

RESTRICCIONES DE CAPACIDAD

xss + xsb + xst, + xss = 1 700 (San Francisco)

xls + xlb + xlt + xld = 2 000 (Los Ángeles)

xps + xpb + xpt + xpd = 1 700 (Phoenix)

RESTRICCIONES DE DEMANDA

xss + xls + xps = 1 700 (San Diego)

xsb + xlb + xpb = 1 000 (Barstow)

xsi + xlt + xpt = 1 500 (Tucson)

xsd + xld + xpd = 1 200 (Dallas)



151


RESTRICCIONES LÓGICAS

Xss, xsb, xst, xsd, xls, xlb, xlt, xld, xps, xpb, xpt, xpd > 0 y enteras

USO DE LA COMPUTADORA

En la presente sección, aprenderá cómo es utilizado el software winQSB para resolver problemas de transportación.

1. Elija la opción Network Modelling

2. Seleccione la opción Transportation Problem

3. Ingrese la información del problema:

1. La solución optima es:

La primera parte del informe trata sobre la planta localizada en San Francisco (Source 1), la segunda sección de dicho informe trata sobre la planta situada en Los Ángeles (Source 2) y la tercera sección trata sobre la planta de Phoenix (Source 3).

De la columna “Shipment”, se puede ver que es óptimo embarcar 700 computadoras desde San Francisco a Barstow, 1 000 a Dallas y ninguna a San Diego ni a Tucson. De la misma manera, es óptimo enviar 1700 computadoras de Los Ángeles a San Diego, 300 a Barstow y ninguna a Dallas ni a Tucson. De la misma columna de la tercera sección del informe, es óptimo enviar 200 computadoras desde Phoenix a Dallas, 1500 a Tucson y ninguna a San Diego ni a Barstow.

La columna etiquetada “Unit Cost” en el informe representa el costo de transportación original por cada unidad embarcada desde la correspondiente planta a la tienda al menudeo. La columna etiquetada '”Total Cost” es el costo total del envío del número de unidades de la columna etiquetada con el término “Shipment” en esa celda, es decir 'Shipment' * 'Unit Cost'.

El costo total de embarque es de $23 100.

22. Una empresa contratista tiene que acarrear grava a tres construcciones. Puede comprar hasta 18 toneladas en una cantera al norte de la ciudad y 14 toneladas en otra al sur. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en las respectivas construcciones 1, 2 y 3. El precio de compra por tonelada en cada cantera y los costos de acarreo son los siguientes:

CanteraCosto por tonelada acarreada ($) Precio por

tonelada1 2 3

Norte 30 60 50 100

Sur 60 30 40 120



152


La empresa contratista desea determinar cuantas toneladas de grava debe acarrear de cada cantera a cada construcción de manera que se minimice el costo total de compra y acarreo de la grava.

a. Dibuje la representación de red para este problema. (2puntos)

b. Formule el modelo de programación lineal. (6 puntos)


N1 = el número de toneladas de grava a transportar desde la cantera Norte a la construcción 1



S1 = el número de toneladas de grava a transportar desde la cantera Sur a la construcción 1




FV: Minimizar el costo de transporte de grava de las canteras a las construcciones.

D : Minimizar (costo de transporte de grava de las canteras Norte y Sur a las construcciones 1,2 y 3)

FM: Minimizar 30N1 +60N2 + 50N3 +60S1 + 30S2 + 40S3.


f) Restricciones de Capacidad de producción

N1 + N2 + N3 <= 18 (Cantera Norte)

S1 + S2 + S3 <= 14 (Cantera Sur)

g) Restricciones de demanda

N1 + S1 = 10 (Construcción 1)




N1, N2, N3, S1, S2 y S3


3Minimizar 30N1 +60N2 + 50N3 +60S1 + 30S2 + 40S3.

Dependiendo de:Facultad de Ingeniería de Minas


153


Restricciones de capacidad

N1 + N2 + N3 <= 18 (Cantera Norte)

S1 + S2 + S3 <= 14 (Cantera Sur)






N1, N2, N3, S1, S2 y S3 > 0 y enteras

23. Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente 500, 700 y 600 toneladas de madera. El fabricante puede comprar la madera a 3 compañías madereras. Los primeros dos fabricantes de madera tienen virtualmente un suministro ilimitado, mientras que por compromisos, el tercer fabricante no puede surtir más de 500 toneladas pos semana. El primer fabricante de madera usa el ferrocarril como medio de transporte y no hay límite de peso que pueda enviar a las fábricas de muebles. Por otra parte, las otras dos compañías madereras usan camiones, lo cual limita a 200 toneladas el peso máximo que pueden enviar a cualquiera de las fábricas de muebles. En la siguiente tabla se da el costo de transporte de las compañías madereras a las fabricas de muebles ($/ton):

Compañía maderera

Fábrica de muebles

1 2 3

1 2 3 5

2 2.5 4 4.8

3 3 3.6 3.2

Formular este problema como un programa lineal.

Solución

Antes de formular el modelo, dibujaremos un diagrama de redes que nos ayude a visualizar la información y los datos del problema:



154



XC1F1 = El numero de toneladas de madera transportadas de la compañía maderera 1 a la fábrica de muebles 1 por semana.










a) Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente 500, 700 y 600 toneladas de madera.

b) El fabricante puede comprar la madera a 3 compañías madereras. Los primeros dos fabricantes de madera tienen virtualmente un suministro ilimitado, mientras que por compromisos, el tercer fabricante no puede surtir más de 500 toneladas por semana.

c) El primer fabricante de madera usa el ferrocarril como medio de transporte y no hay límite de peso que pueda enviar a las fábricas de muebles.

d) Las otras dos compañías madereras usan camiones, lo cual limita a 200 toneladas el peso máximo que pueden enviar a cualquiera de las fábricas de muebles.

e) Costo de transporte de las compañías madereras a las fabricas de muebles ($/ton):

Compañía maderera

Fábrica de muebles

1 2 3

1 2 3 5

2 2.5 4 4.8

3 3 3.6 3.2


FV: Minimizar el costo de transporte de madera de las compañías madereras a las fábricas de muebles.

D: Minimizar el costo de transporte de (la compañía maderera 1 a la fábrica de muebles 1 + la compañía maderera 1 a la fábrica de muebles 2 + la compañía maderera 1 a la fábrica de muebles 3 + la compañía maderera 2 a la fábrica de muebles 1 + la compañía maderera 2 a la fábrica de muebles 2 + la compañía maderera 2 a la fábrica de muebles 3 + la compañía maderera 3 a la fábrica de muebles 1 + la compañía maderera 3 a la fábrica de muebles 2 + la compañía maderera 3 a la fábrica de muebles 3)

FM: Minimizar 2XC1F1 + 3XC1F2 + 5XC1F3 + 2.5XC2F1 + 4XC2F2 + 4.8XC2F3 + 3XC3F1 + 3.6XC3F2 + 3.2XC3F3


a) Restricciones de disponibilidad de madera

FV: La compañía maderera 1 tiene una capacidad de suministro de madera ilimitada.



155


D: (El suministro de madera a la fábrica de muebles 1 + El suministro de madera a la fábrica de muebles 2 + El suministro de madera a la fábrica de muebles 3) es ilimitada

FM: XC1F1 + XC1F2 + XC1F3 <= M

Donde M significa una cantidad sin límite o una cantidad muy grande.

De manera similar para las compañías madereras 2 y 3:

XC2F1 + XC2F2 + XC2F3 <= M

XC3F1 + XC3F2 + XC3F3 <= 500

b) Restricciones de requerimiento de madera

FV: La fábrica de muebles 1 requiere 500 toneladas de madera semanalmente.

D: (El suministro de madera de la compañía maderera 1 + El suministro de madera de la compañía maderera 2 + El suministro de madera de la compañía maderera 3) debe ser de 500 toneladas de madera semanalmente.

FM: XC1F1 + XC2F1 + XC3F1 <= 500

De manera similar para las fabricas de muebles 2 y 3:

XC1F2 + XC2F2 + XC3F2 <= 700

XC1F3 + XC2F3 + XC3F3 <= 600

c) Restricciones de capacidad de transporte de madera

FV: La compañía maderera 1 usa el ferrocarril como medio de transporte y no hay límite de peso que pueda enviar a las fábricas de muebles.

D: El suministro de madera de la compañía maderera 1 a la fábrica de muebles 1 puede ser ilimitada.

FM: XC1F1 <= M, XC1F2 <= M, XC1F3 <= M

De manera similar para las compañías madereras 2 y 3:

XC2F1 <= 200, XC2F2 <= 200, XC2F3 <= 200

XC3F1 <= 200, XC3F2 <= 200, XC3F3 <= 200


XC1F1, XC1F2 , XC1F3 , XC2F1 , XC2F2 , XC2F3 , XC3F1 , XC3F2 y XC3F3 >= 0


Minimizar 2XC1F1 + 3XC1F2 + 5XC1F3 + 2.5XC2F1 + 4XC2F2 + 4.8XC2F3 + 3XC3F1 + 3.6XC3F2 + 3.2XC3F3

Sujeto a:

XC1F1 + XC1F2 + XC1F3 <= M

XC2F1 + XC2F2 + XC2F3 <= M

XC3F1 + XC3F2 + XC3F3 <= 500

XC1F1 + XC2F1 + XC3F1 <= 500

XC1F2 + XC2F2 + XC3F2 <= 700

XC1F3 + XC2F3 + XC3F3 <= 600

XC1F1 <= M

XC1F2 <= M

XC1F3 <= M

XC2F1 <= 200

XC2F2 <= 200

XC2F3 <= 200



156


XC3F1 <= 200

XC3F2 <= 200

XC3F3 <= 200

XC1F1, XC1F2 , XC1F3 , XC2F1 , XC2F2 , XC2F3 , XC3F1 , XC3F2 y XC3F3 >= 0

Donde:










M significa una cantidad sin límite o una cantidad muy grande.

EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN

En muchos problemas de decisión es necesario asignar un elemento a un grupo (como una maquina, un empleado, etc.) a un elemento de un segundo grupo (como una tarea, un proyecto, etc.). Considere, por ejemplo, asignar trabajaos a maquinas en una planta industrial, asignar representantes de ventas a territorios o asignar investigadores a proyectos.

Al hacerse una asignación, a menudo debe cumplirse dos condiciones:

1. cada elemento del primer grupo debe asignarse a exactamente un elemento del segundo grupo.

2. cada elemento del segundo grupo debe asignarse a exactamente un elemento del primer grupo.

Debido a que cada pareja asignada existe un “costo” asociado, por ejemplo, la cantidad de tiempo que toma una tarea asignada a una maquina particular, el objetivo es elegir asignaciones que minimicen el costo total.

Para satisfacer estas dos condiciones de asignación, el numero de elementos de cada grupo debe ser el mismo. Un problema de este tipo se denomina problema de asignación equilibrado.

EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE CONTAINERS INC. Containers,Inc., fabrica contenedores de muchos tamaños y formas. Recientemente ha recibido pedidos para producir diversas cantidades de contenedores de cocinas de cinco diferentes tamaños. Cada tamaño de contenedor puede producirse en cualquiera de cuatro máquinas. Debido a las distintas tecnologías y tiempos de disposición, el número total de horas, incluyendo el tiempo de disposición, necesarias para procesar cada tamaño de contenedor en cada máquina varía, como se muestra en la tabla 2. En la tabla, el tamaño del contenedor se indica en la primera columna mediante su altura y diámetro en pulgadas.



157


Adecuar una máquina para que cambie el tamaño de un contenedor toma largo tiempo, así que la gerencia ha decidido que cada máquina producirá contenedores de un solo tamaño. Por tanto, sólo se producirán cuatro de los cinco tamaños en las cuatro máquinas disponibles dentro de la fecha límite asignado. Como los ingresos por cada tamaño de contenedor son aproximadamente iguales, la gerencia de Containers, Inc., es indiferente en cuanto a cuál de los cinco pedidos no satisfacer. Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido determinar cuáles cuatro de los cinco pedidos aceptar y desarrollar un plan de producción que minimice el tiempo de procesamiento total para satisfacer esos pedidos.

En este problema, puede reconocerlas características de un problema de asignación. Tiene que asignar un elemento de un grupo, esto es, un pedido de uno de los cinco tamaños, a un elemento de un segundo grupo, es decir, las máquinas. En este caso, el problema es desequilibrado porque hay cinco pedidos para sólo cuatro máquinas. Para resolver este problema, se puede hacer lo siguiente:

1. Añada tantos elementos figurados a uno de los grupos como sea necesario para igualar el tamaño de los dos grupos.

2. Por cada elemento figurado, identifique un costo apropiado asociado con la asignación de cada elemento del otro grupo a este elemento figurado.

En cuanto al problema de Containers, Inc., es necesario añadir una máquina figurada. Ahora hay cinco pedidos y cinco máquinas, dando como resultado un problema de asignación equilibrado. Recuerde que la máquina 5, de hecho, no existe. Los contenedores asignados a esta máquina no son producidos y por tanto, no contribuyen en nada al tiempo total de procesamiento. Los datos para el problema de asignación se muestran en la tabla 3.

Tabla 2. Tiempo total de procesamiento (hr) para producir cada tamaño de contenedor en cada maquina

TAMAÑO DEL MAQUINA

CONTENEDOR 1 2 3 4

3 X 4

4 X 6

6 X 8

8 X 12

12 X 18

25

24

30

38

40

20

22

30

32

40

28

25

28

30

28

30

23

25

30

30

Tabla 3. Tiempo total de procesamiento (hr) para producir cada tamaño de contenedor en cada maquina incluyendo la maquina figurada 5

TAMAÑO MAQUINA

CONTENEDOR 1 2 3 4 5

3 X 4

4 X 6

6 X 8

8 X 12

12 X 18

25

24

30

38

40

20

22

30

32

40

28

25

28

30

28

30

23

25

30

30

0

0

0

0

0

Figura 3. Representación de la red del problema de asignación



158



Minimizar 25x11 + 20x12 + 28x13 + 30x14 + 0x15 +

24x 21 + 22x22 + 25x23 + 23x24 + 0x25 +

30x31 + 30x32 + 28x33 + 25x34 + 0x35 +

38X41 + 32x42 + 30X43 + 30X44 + 0x45 +

40x51 + 40x52 + 28x53 + 30x54 + 0x55

Dependiendo de:

RESTRICCIONES DE ASIGNACIÓN DE PEDIDO

x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 1 (Orden 1)

x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 1 (Orden 2)

x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 1 (Orden 3)

x41 + x42 + x43 + x44 + x45 = 1 (Orden 4)

x51 + x52 + x53 + x54 + x55 = 1 (Orden 5)

RESTRICCIONES DE ASIGNACIÓN DE MÁQUINA

X11 + x21 + x31 + x41 + 51 = 1 (Máquina 1)

X12 + x22 + x32 + x42 + 52 = 1 (Máquina 2)

X13 + x23 + x33 + x43 + 53 = 1 (Máquina 1)

X14 + x24 + x34 + x44 + 54 = 1 (Máquina 1)

X15 + x25 + x35 + x45 + 55 = 1 (Máquina 1)



159



Todas las variables deben ser variables enteras 0-1

SOLUCIÓN POR COMPUTADORA

En la presente sección, aprenderá cómo es utilizado el software winQSB para resolver problemas de asignacion

1. Elija la opción Network Modelling

2. Seleccione la opción Assignment Problem



Como resultado se tiene un tiempo total de procesamiento de 97 horas. Observe que el pedido 4 no esta satisfecho porque se le asigno la maquina figurada 5.

42. Arthur J. Big and Company es una compañía de contabilidad que tiene un especialista en impuestos en cada una de sus oficinas en Washington, D.C., Cleveland, Louisville y Atlanta. La oficina central ha recibido una solicitud para un especialista en impuestos de cada uno de sus clientes de Columbus, Nashville, Charleston y Pittsburg. Los costos de viajes son proporcionales a las distancias, que se dan (en millas) en la siguiente tabla:

Desde

Hacia

Columbus Nashville Charleston Pittsburgh

Washington 431 659 342 247

Cleveland 140 533 248 129

Louisville 214 174 259 393

Atlanta 585 246 501 683

a. Dibuje una red de distribución que indique los suministros, demandas y otros datos relevantes apropiados (2 ptos).



160


b. Como socio general de la compañía, formule un modelo matemático para determinar como enviar un especialista a cada ciudad para minimizar los costos totales de viaje (4 ptos).

Minimizar 431WCo + 659WN + 342WCh + 247WP + 140 CCo + 533 CN + 248 CCh + 129CP + 214LCo + 174LN + 259LCh + 393LP + 585ACo + 246AN + 501Ach + 683AP

Sujeto a:

Restricciones de disponibilidad

WCo + WN + WCh + WP = 1

CCo + CN + CCh + CP = 1

LCo + LN + LCh + LP = 1

ACo + AN + ACh + AP = 1


WCo + CCo + LCo + ACo = 1

WN + CN+ LN + AN = 1

WCh + CCh + LCh + ACh = 1

WP+ CP + LP + AP = 1


WCo, WN, WCh, WP, CCo, CN, CCh, CP, LCo, LN, LCh, LP, ACo, AN, Ac y, AP >= 0 y enteros.

41. Mining Machinery Inc. renta equipo especializado de perforación a empresas mineras. Actualmente hay tres perforadoras Jumbo ubicadas en Lima, dos en Arequipa y tres en Cajamarca. Hay un centro minero en Puno que requieren cuatro maquinas. En centros mineros de Ancash y Cerro de Pasco se necesita en cada uno dos máquinas. El costo en dólares de enviar una máquina de cada ciudad a cada centro minero se muestra en la siguiente tabla:

HACIA

DESDE Cerro de Pasco

Ancash Puno

Lima 900 1000 1600



161


Arequipa 1400 1500 1000

Cajamarca 1200 1400 2500

a) (2 ptos) Dibuje una red de distribución que indique los suministros, demandas y otros datos relevantes apropiados (cuando sea adecuado, añada nodos y arcos figurados para obtener un problema equilibrado).

b) (4 ptos) Formule un modelo matemático para determinar cuantas maquinas deberían enviarse desde cada ciudad a cada centro minero para incurrir en el mínimo costo.


LCp = el número de perforadoras enviadas de Lima a Cerro de Pasco

LAn = el número de perforadoras enviadas de Lima a Ancash

LP = el número de perforadoras enviadas de Lima a Puno

ACp = el número de perforadoras enviadas de Arequipa a Cerro de Pasco

AAn = el número de perforadoras enviadas de Arequipa a Ancash

AP = el número de perforadoras enviadas de Arequipa a Puno

CCp = el número de perforadoras enviadas de Cajamarca a Cerro de Pasco

Can = el número de perforadoras enviadas de Cajamarca a Ancash

CP = el número de perforadoras enviadas de Cajamarca a Puno


Son mostradas en la tabla


FV: Minimizar el costo de enviar las perforadoras a los Centros Mineros

D : Minimizar (costo de envío de Lima a Cerro de Pasco + costo de envío de Lima a Ancash + costo de envío de Lima a Puno + costo de envío de Arequipa a Cerro de Pasco + costo de envío de Arequipa a Ancash + costo de envío de Arequipa a Puno + costo de envío de Cajamarca a Cerro de Pasco + costo de envío de Cajamarca a Ancash + costo de envío de Cajamarca a Puno )

FM: Minimizar 900LCp + 1000 LAn + 1600LP + 1400ACp + 1500AAn + 1000AP + 1200CCp + 1400CAn + 2500CP


e) Existencia de perforadoras en Lima

FV: El número de perforadoras existentes en Lima es 3

D : (perforadoras a enviar a Cerro de Pasco + perforadoras a enviar a Ancash + perforadoras a enviar a Puno) igual a 3



162


FM: LCp + LAn + LP = 3

f) Existencia de perforadoras en Arequipa y Cajamarca


Existencia de perforadoras en Arequipa

FM: ACp + AAn + AP = 2

Existencia de perforadoras en Cajamarca

FM: CCp + CAn + CP = 3

g) Demanda de perforadoras en Cerro de Pasco

FV: El número de perforadoras que debe decepcionarse en Cerro de Pasco e 2

D : (perforadoras a enviar de Lima + perforadoras a enviar de Arequipa + perforadoras a enviar de Cajamarca) igual a 2

FM: LCp + ACp + CCp = 2

h) Demanda de perforadoras en Ancash y Puno


Demanda de perforadoras en Ancash

FM: LAn + AAn + CAn = 2

Demanda de perforadoras en Puno

FM: LP + AP + CP = 4

i) Restricciones lógicas

LCp, LAn, LP, ACp, AAn, AP, CCp, CAn y CP >= 0 y enteros.


Minimizar 900LCp + 1000 LAn + 1600LP + 1400ACp + 1500AAn + 1000AP + 1200CCp + 1400CAn + 2500CP

Sujeto a:

Restricciones de disponibilidad

LCp + LAn + LP = 3

ACp + AAn + AP = 2

CCp + CAn + CP = 3


LCp + ACp + CCp = 2

LAn + AAn + CAn = 2

LP + AP + CP = 4


LCp, LAn, LP, ACp, AAn, AP, CCp, CAn y CP >= 0 y enteros.

24. La compañía Estructuras Mineras SA compró tres máquinas nuevas de diferentes tipos. Existen cuatro sitios disponibles dentro del taller en donde se podría instalar una máquina. Algunos de ellos son más adecuados que otros para ciertas máquinas en particular por su cercanía a los centros de trabajo que tendrían un flujo intenso de trabajo hacia y desde estas máquinas (No habrá flujos de trabajos entre las nuevas máquinas) Por tanto, el objetivo es asignar las nuevas máquinas a los lugares disponibles de manera que se minimice el costo total de manejo de materiales.

En la tabla se muestra el costo estimado por unidad de tiempo de manejo de los materiales en cuestión, con cada una de las máquinas en los sitios respectivos. El lugar 2 no se considera adecuado para la máquina 2 por lo que no se proporciona un costo para este caso.



163


Ubicación

1 2 3 4

Máquina 1 13 16 12 11

Máquina 2 15 - 13 20

Máquina 3 5 7 10 6

Asigne las máquinas a sus nuevas ubicaciones, buscando un costo mínimo de manejo de materiales.

a. Dibuje la representación de red para este problema. (2 puntos)

b. Formule el modelo de programación lineal. (6 puntos)


M1U1 = Asignación de la maquina 1 a la ubicación 1

M1U2 = Asignación de la maquina 1 a la ubicación2







M3U2 = Asignación de la maquina 3 a la ubicación2




FV: Minimizar el costo de asignación de las maquinas a sus lugares de ubicación.

D : Minimizar (costo de asignación de las maquinas 1, 2 y 3 a sus lugares de ubicación 1,2, 3 y 4)



164


FM: Minimizar 13M1U1 + 16M1U2 +12M1U3 + 11M1U4 + 15M2U1 + 13M2U3 + 20M2U4 + 5M3U1 +7M3U2 +10M3U3 + 6M3U4


a) Restricciones de Maquinas

M1U1 + M1U2 + M1U3 + M1U4 = 1

M2U1 + M2U3 + M2U4 = 1

M3U1 + M3U2 + M3U3 + M3U4 = 1

b) Restricciones de Ubicaciones

M1U1 + M2U1 + M3U1 = 1

M1U2 + M3U2 = 1

M1U3 + M2U3 + M3U3 = 1

M1U4 + M2U4 + M3U4 = 1


M1U1, M1U2, M1U3, M1U4, M2U1, M2U3, M2U4, M3U1, M3U2, M3U3 Y M3U4 de tipo binario


Minimizar 13M1U1 + 16M1U2 +12M1U3 + 11M1U4 + 15M2U1 + 13M2U3 + 20M2U4 + 5M3U1 +7M3U2 +10M3U3 + 6M3U4

Dependiendo de:

M1U1 + M1U2 + M1U3 + M1U4 = 1

M2U1 + M2U3 + M2U4 = 1

M3U1 + M3U2 + M3U3 + M3U4 = 1

M1U1 + M2U1 + M3U1 = 1

M1U2 + M3U2 = 1

M1U3 + M2U3 + M3U3 = 1

M1U4 + M2U4 + M3U4 = 1


M1U1, M1U2, M1U3, M1U4, M2U1, M2U3, M2U4, M3U1, M3U2, M3U3 Y M3U4 de tipo binario

EL PROBLEMA DE TRANSBORDO

PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN DE MEDICAL TECHNOLOGIES, INC. Medical Technologies, Inc. (MTI), es una empresa fabricante y distribuidora internacional de equipo de rayos X de alta resolución que se utiliza en hospitales. La planta que tienen en Paris, Texas, puede producir hasta 100 máquinas por año; la que se encuentra en Davenport, Iowa, produce hasta 200 máquinas y la planta de Springfield, Oregon, puede producir hasta 150 máquinas. Para el año siguiente, sus clientes en Japón han pedido 120 máquinas, los de Corea del Sur ordenaron 80 máquinas, los de Nueva Zelanda 70 y los de Australia 110 máquinas.

El equipo producido en Texas y en Iowa puede ser enviado a los almacenes regionales situados en Hungría y/o en Hawai. Los almacenes regionales, a su vez, pueden enviar a cualquiera de los almacenes de campo situados en Fiji y en las Filipinas. Ninguno de los almacenes regionales almacena máquinas en inventario, por consiguiente deben enviar todas las máquinas que reciben. Los clientes de Corea del Sur y de Nueva Zelanda pueden recibir máquinas de cualquiera de los almacenes de campo. Sin embargo, debido a los tratados de comercio internacionales, los clientes del Japón deben obtener sus máquinas exclusivamente de las Filipinas, y los de Australia deben recibir las suyas solamente de las Fiji. Los costos de envío por máquina desde las plantas a los almacenes regionales, a los almacenes de campo y, finalmente, a los clientes se dan En las tablas 4, 5 y 6, respectivamente. Como gerente de distribución, se le ha pedido a usted que determine el plan de embarque con el mínimo costo total.

Tabla 4. Costos de embarque ($/maquina) de plantas a almacenes regionales



165


ALMACENES REGIONALES

PLANTAS HUNGRIA HAWAI

Texas

Iowa

Oregon

200

300

N/A

400

400

500

Tabla 5. Costos de embarque ($/maquina) de almacenes regionales a almacenes de campo


ALMACENES REGIONALES FILIPINAS FIJI

Hungría

Hawai

800

700

600

400

Tabla 6. Costos de embarque de almacenes de campo a clientes

ALMACENES CLIENTES

DE CAMPO JAPÓN COREA DEL SUR NUEVA ZELANDA AUSTRALIA

Filipinas

Fiji

700

N/A

600

700

800

500

N/A

600

El primer paso en la formulación matemática de este problema consiste en trazar una red que represente el flujo de productos desde las plantas, a través de los almacenes, hasta los clientes. La red debe contener once nodos, uno para cada una de las tres plantas, los dos almacenes regionales, los dos almacenes de campo y los cuatro clientes, de la forma en que se ilustra en la figura 4. Debe haber un arco que conecte una pareja de nodos, siempre y cuando sea posible enviar máquinas directamente desde el nodo de origen al de destino, según está especificado en la descripción del problema. Por ejemplo, debido a que la planta de Oregon solamente puede hacer envíos al almacén regional de Hawai, deberá haber un arco que vaya desde el nodo correspondiente a la planta de Oregon al nodo correspondiente al almacén regional de Hawai, pero no al correspondiente al de Hungría. En la figura 4 se muestran también los arcos, junto con los correspondientes costos unitarios de envío. La red de la figura incluye también la capacidad de cada planta y la demanda de los clientes al lado de los correspondientes nodos de suministro y demanda, respectivamente.



166


Figura 4. Red de distribución del problema del MTI


Minimizar 2x14+ 4x15 + 3x24 + 4x25 + 5x35 + 8x46 + 6x 47 + 7x56 + 4x57 +

7x68+ 6x69 + 8x6,10 + 7x79 + 5x7,10 + 6x7,11

Dependiendo de:

RESTRICCIONES DE SUMINISTRO

x14 + x15 = 100 (capacidad en Paris, Texas) (1)

x24 + x25 = 200 (capacidad en Davenport, Iowa) (2)

x35 = 150 (capacidad en Springfield, Oregon) (3)

RESTRICCIONES DE ALMACÉN REGIONAL

x46 + x47 - x14 - x24 = 0 (equilibrio en Hungría) (4)

x56 + x57 - x15 - x25 - x35 = 0 (equilibrio en Hawai) (5)

RESTRICCIONES DE ALMACÉN DE CAMPO

x68 + x69 + x6,10 - x46 – x56 = 0 (equilibrio en Filipinas) (6)

x79 + x7,10 - x7,11 – x47 - x57 = 0 (equilibrio en Islas Fiji) (7)

RESTRICCIONES DE DEMANDA

x68 = 120 (demanda en Japón) (8)

x69 + x79 = 80 (demanda en Corea del Sur) (9)

x6,10 + x7,10 = 70 (demanda en Nueva Zelanda) (10)

x7,11 = 110 (demanda en Australia) (11)




167


Todas las variables > 0 y enteras (12)

SOLUCIÓN POR COMPUTADORA

En la presente sección, aprenderá cómo es utilizado el software LINDO 6,0 para resolver problemas de trasbordo:



La solución optima, podemos observarla en las siguientes tablas:

Tabla 7. Plan de embarque de plantas a almacenes regionales



168



PLANTAS HUNGRÍA HAWAI

Texas

Iowa

Oregon

100

0

N/A

0

200

80

Tabla 8. Plan de embarque de almacenes regionales a almacenes de campo


ALMACENES REGIONALES FILIPINAS FIJI

Hungría

Hawai

100

20

0

260

Tabla 9. Plan de embarque de almacenes de campo a clientes

ALMACENES CLIENTES

DE CAMPO JAPÓN COREA DEL SUR NUEVA ZELANDA AUSTRALIA

Filipinas

Fiji

120

N/A

0

80

0

70

N/A

110

El costo total es de $ 579 000.

Resumen del problema de transbordo

El problema de transbordo es un problema de red de distribución que involucro nodos de suministro, transbordo y demanda. Los arcos que conectan las parejas de estos nodos tienen capacidades en forma de límites inferiores y superiores sobre las cantidades embarcadas a lo largo de esos arcos. Cuando los nodos tienen capacidades, sin embargo, es necesario crear una red modificada que pueda resolverse mediante un programa de computadora. Las capacidades en los nodos en la red original se transforman en capacidades en los arcos en la red modificada.



169

CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

CAPITULO VI

ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS:

PERT - CPMEn este capítulo se presenta una técnica de la ciencia administrativa que ayuda a comprobar y controlar un proyecto que involucra numerosas tareas interrelacionadas. La supervisión de estos proyectos requiere muchas habilidades administrativas, una de las cuales es mantener el proyecto acorde a un programa. La ciencia de la administración puede ayudar a esto proporcionando respuestas a preguntas como:

1. ¿Cuándo sería lo más pronto que el proyecto pudiera estar terminado?

2. Para cumplir con este tiempo de conclusión, ¿qué tareas son críticas, en el sentido de que un retraso en cualquiera de esas tareas provoca un retraso en la conclusión de todo el proyecto?

3. ¿Es posible acelerar ciertas tareas para terminar todo el proyecto más pronto? Si es así, ¿qué tareas serían éstas y cuál sería el costo adicional?

Cuando un proyecto implica unas cuantas tareas, las respuestas a estas preguntas a menudo pueden encontrarse con poco esfuerzo. Sin embargo, cuando la planeación de un proyecto implica cientos o miles de tareas interrelacionadas que deben ser realizadas por distintas personas, las herramientas de la ciencia de la administración presentadas en este capítulo proporcionan una forma sistemática no sólo de responder estas preguntas, sino también dar seguimiento al proyecto a lo largo de su duración.

Las técnicas de administración de proyecto presentadas en este capítulo fueron desarrolladas independientemente por dos equipos de investigadores a mediados de los años cincuenta. Dupont Company creó la primera técnica, llamada Método de ruta crítica (CPM)5, para administrar proyectos en los que el tiempo requerido para completar las tareas individuales se conocía con relativa certeza. La Marina de los EE.UU. desarrolló la segunda técnica, denominada la Técnica de evaluación y revisión de proyecto (PERT)6, para administrar el proyecto de misiles Polaris, que implicaba aproximadamente 500 tareas y varios miles de subcontratistas. El tiempo requerido para completar muchas de esas tareas era incierto. Estas dos técnicas son similares excepto que CPM se utiliza para administrar proyectos que implican tiempos de tarea determinados y PERT se usa para aquellos que implican tiempos probables de tarea.

5 Método utilizado para administrar proyectos en que los tiempos requeridos para terminar las tareas individuales se conocen con relativa certeza.

6 Método utilizado para administrar proyectos en los que los tiempos requeridos para completar las tareas individuales son inciertos.



170


DESARROLLO DE LA RED DE PROYECTOS

Para ilustrar cómo se aplican las técnicas de administración de proyectos a la verificación de un proyecto, considere el enfrentado por la Gerencia de Operaciones de Santa Rosa Mining. Que encomienda a sus ingenieros realizar un proyecto de desarrollo y preparación de una veta, con minerales de Plomo, Zinc y Cobre, para explotar mediante el método de subniveles.

Puede determinar el tiempo de conclusión siguiendo los siguientes pasos:

a) Identifique las tareas individuales que componen el proyecto.

b) Obtenga una estimación del tiempo de conclusión de cada tarea.

c) Identifique las relaciones de tiempo entre las tareas. ¿Qué tareas deben concluirse antes de que otras puedan iniciarse?

d) Dibuje un diagrama de red de proyecto para reflejar la información de los pasos a y b.

Fig 1. Desarrollo y preparación para explotación por subniveles

Identificación de las tareas individuales

Los proyectos terminados consisten en diversas tareas individuales. Para comprobar los proyectos, primero debe identificar esas tareas. Éstas pueden variar tanto en el tiempo requerido para concluirlas como en su complejidad. Las tareas complejas pueden considerarse como proyectos que en sí mismos necesitan verificación al ser divididos en subtareas. Por ejemplo, en el diseño de una lanzadera espacial, una de las tareas es desarrollar sistemas de computación a bordo. Como esta tarea es en sí misma un proyecto importante, puede dividirla en subtareas consistentes en desarrollar sistemas de computación para salvamento, control de motor y recolección y transmisión de datos. Aunque no existe una forma única de decidir qué tan grande o pequeña debe ser una tarea, existen algunas pautas a seguir:

1. Cada tarea debe tener un comienzo y un final claros en el contexto del proyecto.

2. La terminación de cada tarea debe ser necesaria para la conclusión del proyecto y debe representar un hito en el progreso del proyecto.

3. El tamaño de una tarea debe estar en proporción con el control que usted pueda ejercer.

4. Debe haber alguna(s) persona(s) responsables de la conclusión de cada tarea individual.

Sobre la base de estas pautas usted, como Gerente de operaciones de Santa Rosa Mining. Debe identificar las tareas que estén bajo su control y que deben completarse para que el proyecto sea exitoso.

Tabla 1 Lista de tareas



171


ETIQUETA DESCRIPCION

A NivelB Subnivel I C Subnivel IID Transversal IIE Chimenea de accesoF Chimenea o coladero de mineraG Chimenea de ventilación H Instalación de tolvasI Chimenea de corte I J Chimenea de corte IIK Instalación de cabrestanteL ExplotaciónM Parte inicial de la galería de rastrillaje N Parte final de la galería de rastrillaje

Aun cuando el orden de las tareas de esta tabla es indiferente, es importante incluir todas las tareas relevantes desde el principio. Si surgen tareas inesperadas en el curso del proyecto, pueden ocurrir retrasos por la prisa en terminarlas.

Obtención de estimaciones de tiempo para cada tarea

Debe estar claro que el tiempo total que lleva completar todo el proyecto depende, de alguna manera, en cuánto tiempo lleva realizar cada tarea individual. Por tanto, se hace necesario obtener algunas estimaciones de la cantidad de tiempo requerida para completar cada tarea. Puede desarrollarse una estimación haciendo lo siguiente:

1. Confiando en experiencias pasadas en proyectos similares.

2. Consultando con las personas a cargo de cada tarea individual.

3. Usando datos anteriores.

Suponga que ha obtenido las estimaciones de tiempo para las tareas de este proyecto particular después de consultar a los miembros apropiados de cada departamento de mina.

Tabla 2 Estimación de tiempo para las tareas


Lo

ng

itu

d (

m)

Se

cc

ión

(m

2)

Tip

o d

e r

oc

a

m A

va

nc

e

dis

pa

ro

dis

pa

ros

/me

s

N°

tala

dro

s

Kg

ex

pl

m a

va

nc

e

$/m

av

an

ce

Tie

mp

o m

ed

io

A NivelB Subnivel I 60 6´x4´ dura 1.3 30 16 7.1 135 40C Subnivel II 60 6´x4´ dura 1.3 30 16 7.1 135 40D Transversal II 8 7´x8´ dura 1.3 25 29 12.5 145 5E Chimenea de acceso 60 5´x4´ dura 1.1 20 15 6.7 120 68F Chimenea o coladero de minera 16 5´x4´ sdura 1.1 20 12 5.3 120 18G Chimenea de ventilación 18 5´x4´ sdura 1.1 20 12 5.3 120 21H Instalación de tolvas 14I Chimenea de corte I 15 5´x4´ dura 1.1 20 15 6.7 120 16J Chimenea de corte II 16 5´x4´ dura 1.1 20 15 6.7 120 17K Instalación de cabrestante 14L Explotación 40 190 28M Parte inicial del nivel de rastrillaje 25 6´x4´ dura 1.3 45 13 5.7 130 12N Parte final del nivel de rastrillaje 40 6´x4´ sdura 1.3 45 12 5.3 120 16

Para este proyecto, puede sentir que el tiempo requerido para concluir cada tarea se conoce bastante bien sin ninguna variabilidad significativa. Otros proyectos implican tareas cuyo tiempo de conclusión es incierto o debe estimarse con una cantidad significativa de incertidumbre.

Creación de la tabla de precedencia para el proyecto

Como se observó anteriormente, la cantidad de tiempo que toma terminar un proyecto completo se basa en los tiempos de conclusión de las tareas individuales. Sin embargo, el tiempo de conclusión total no es igual a la suma de los tiempos de las tareas individuales porque algunas



172


tareas pueden realizarse simultáneamente. Otras tareas, sin embargo, no pueden comenzar hasta que ciertas tareas anteriores no hayan sido concluidas. Para determinar la cantidad de tiempo mínima requerida para concluir el proyecto total, debe primero comprender cómo se relacionan las tareas individuales entre sí. Debe identificar qué tarea(s) debe(n) terminarse antes de que otra tarea comience.

La lista de predecesoras inmediatas de una tarea particular de interés incluye aquellas tareas que:

deben terminarse antes de que la tarea de interés pueda comenzar y

no dependen para su inicio de la conclusión de cualquier otra tarea inmediatamente predecesora de esta lista.

De todas las tareas que deben terminarse antes de que pueda iniciarse una tarea dada, usted necesita identificar sólo las tareas inmediatamente predecesoras7. Hacerlo requiere conocer el proyecto particular y la forma en que las tareas están relacionadas

Tabla 3 Tabla de precedencia8 para las tareas

ETIQUETA DESCRIPCIONESTIMACION

TIEMPO (dias)

PREDECESORAS INMEDIATAS

A Nivel 0 NingunaB Subnivel I 40 MC Subnivel II 40 DD Transversal II 5 AE Chimenea de acceso 68 AF Chimenea o coladero de mineral 18 AG Chimenea de ventilación 21 AH Instalación de tolvas 14 G , KI Chimenea de corte I 16 L , BJ Chimenea de corte II 17 IK Instalación de cabrestante 14 NL Explotación 28 HM Parte inicial del nivel de rastrillaje 12 EN Parte final del nivel de rastrillaje 16 F , M

Trazo de la red de proyectos

Recuerde que uno de los objetivos principales de la administración de proyecto es determinar la cantidad mínima de tiempo requerido para terminar todo el proyecto. La identificación de las relaciones de precedencia entre las tareas individuales, como en la tabla 3, es un primer paso en esa dirección. Una comprensión todavía mejor de estas relaciones puede obtenerse convirtiendo la información de precedencia en una red de proyecto9. Una red consiste en una colección finita de nodos y arcos. Un arco es una flecha que conecta un nodo con otro.

En la administración de proyecto, los nodos y arcos de la red de proyecto tienen un significado especial en el contexto del problema específico, dependiendo de cuál de los siguientes enfoques estándar be utilice:

1. Representación de actividad en arco10: en este enfoque, cada arco corresponde a una de las actividades: los nodos que están conectados por ese arco representan el inicio y fin de esa actividad.

2. Representación de actividad en nodo11: en este enfoque, cada nodo representa una de las tareas (o actividad); un arco conecta dos nodos si un nodo corresponde a una tarea inmediatamente predecesora del otro nodo.

7 Una tarea que debe concluirse antes de que la tarea de interés pueda iniciarse y que no depende para su inicio de la conclusión de cualquier otra tarea inmediatamente predecesora de esta lista.

8 Una tabla que enumera las predecesoras inmediatas para cada tarea.

9 Un diagrama de red que consiste en una colección finita de nodos y arcos usados para representar las tareas y sus relaciones de precedencia en un proyecto.

10 Una convención usada en un diagrama de red de proyecto en la que cada arco corresponde a una de las actividades y los dos nodos conectados por ese arco representan el inicio y fin de esa actividad.



173


Puede adaptarse cualquier enfoque para dibujar la red de proyecto. Del siguiente procedimiento de solución depende cuál se elija. Sólo asegúrese de que el paquete de computadora disponible para la administración del proyecto puede manejar el enfoque elegido para trazar la red del proyecto.

Gráficamente la actividad se representa mediante dos figuras:

ARCO

Orientando de izquierda a derecha, significa la ejecución del trabajo. La longitud del arco no es vectorial y no siempre es recto.

NODOS

A estos se les denomina sucesos, eventos o nudos, inicial y final respectivamente, indican el inicio y la finalización de la actividad y sirve como punto de control de la ejecución de los trabajos. Una actividad debe estar terminada para que la subsiguiente pueda empezar.

Ejemplos:

Fig. 2 Fig. 3

En la figura 1 se puede observar que el arco no tiene un sentido vectorial, sino que es simplemente una progresión de tiempo .En la figura 2 se muestra que todas las actividades tienen sus sucesos iniciales y finales, siendo que el suceso final de la actividad precedente es el mismo suceso inicial de la subsiguiente - Además puede distinguirse que el primer suceso inicial del proyecto no posee una actividad que la preceda y el ultimo suceso final no tiene una tarea que la subsiga.

ARCO FICTICIO

Se indica por medio de un arco de trazos, que se denomina también "dummy", sirve para denotar una relación de precedencia entre dos actividades, pero no por que necesariamente requiere un trabajo previo, ni tiempo, sino por instancias especiales.

11 Una convención usada en un diagrama de red de proyecto en la que cada nodo representa una tarea, y un arco conecta dos nodos si un nodo corresponde a una tarea inmediatamente predecesora del otro nodo.



174


Fig. 4

En la figura 4 que representa el proceso para la explotación de un tajeo , donde el mineral requiere ser sometido antes a un análisis para luego ser acarreando al shut y transportado a la planta, se puede observar un caso típico de una flecha ficticia, que indica la precedencia del muestreo y resultado del análisis para su acarreo posterior, con el fin de evitar una dilución.

RED DE PROYECTO

La red de proyecto sirve como base a la programación por camino crítico y señala con toda precisión la secuencia de las actividades, su interrelación, etc.

Fig. 5 labores Nv. 2510

Nota: Nominación de galerías con letras.

Fig. 6 Red para el Nv 2510

La figura 5 representa un proyecto de excavación de labores subterráneas para la preparación del Nv 2510; representando mediante le red de proyecto se tiene la fig. 6.

La enumeración de los sucesos, es otro sistema para la identificación de las actividades, la misma que facilita los cálculos manuales y en computadora. Normalmente es conveniente enumerar en forma secuencial.

En la red de proyecto indicado en la fig. 6 las actividades enumeradas son:

Actividad A ----- (1 , 2) Actividad G ----- (6 , 9)

Actividad B ---- (2 , 3) Actividad H ----- (9 , 10)Facultad de Ingeniería de Minas


175


Actividad C ----- (3 , 4) Actividad I ----- (3 , 7)

Actividad D ----- (4 , 5) Actividad J ----- (7 , 8)

Actividad E ----- (5 , 6) Actividad K ----- (8 , 10)

Actividad F ----- (6 , 7)

En resumen, para dibujar una red de proyecto que refleje correctamente las relaciones de precedencia usando la representación de actividad en arco, recuerde las siguientes pautas:

a) Construya la red secuencialmente, añadiendo un arco correspondiente a una actividad a la vez, eligiendo un nodo terminal y preguntándose qué tarea(s) puede empezar entonces. Recuerde que este nodo representa el punto en el tiempo en el que todas las actividades correspondientes a los arcos que entran a ese nodo han sido concluidas.

b) Evite los ciclos en los que dos mismos nodos son conectados por más de un arco.

c) Cuando no exista ningún nodo que represente la conclusión de todas las predecesoras inmediatas de la nueva tarea a ser añadida, considere la combinación de nodos, la adición de actividades figuradas o de nodos (y actividades) figurados.

d) Al completarse, combine todos los nodos terminales sin arcos que salgan de ellos hacia un solo nodo para representar el tiempo en que todo el proyecto se concluya.

e) Use la red de proyecto final para enumerar las predecesoras inmediatas de cada tarea; después verifique que esas relaciones sean correctas, como se especifica en la tabla de precedencia.

La red de proyectos para el proyecto de Santa Rosa Mining.

Fig. 7. Red de proyectos del proyecto Santa Rosa Mining Corp.

ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS USANDO TIEMPOS DETERMINÍSTICOS (CPM)

En esta sección aprenderá cómo usar la red de proyecto junto con tiempos determinísticos para la conclusión de tareas a fin de administrar proyectos respondiendo las siguientes preguntas:

1. ¿Qué tan pronto puede completarse todo el proyecto?

2. Para satisfacer este tiempo de conclusión,¿qué tareas son críticas, en el sentido de que un retraso en cualquiera de esas tareas produciría un retraso en la conclusión de todo el proyecto?

Cálculo del tiempo de terminación de proyecto



176


Los cálculos sistemáticos necesarios para determinar el tiempo de terminación más breve se ilustran para el proyecto de Santa Rosa Mining Corp. Observe que el tiempo determinístico para la conclusión de cada tarea se escribe junto al arco correspondiente a esa tarea en la figura.

Fig. 8 Tiempos de duración de cada actividad del proyecto Santa Rosa Mining

Para encontrar el tiempo de terminación más corto de todo el proyecto, proceda sistemáticamente desde el principio, determinando lo siguiente para cada tarea:

1. El tiempo de inicio más temprano (IT)12, esto es, el tiempo más inmediato en que esa tarea puede iniciarse.

2. El tiempo de terminación más temprano (TT)13, esto es, el tiempo más breve en el que esa tarea puede concluir.

donde:

A : Actividad

i, j : Nodos

El tiempo de terminación más temprana de la tarea final es el tiempo más corto en el que todo el proyecto puede completarse. (En el caso de que exista más de una tarea terminal, el tiempo de conclusión más breve de todo el proyecto es el máximo de los tiempos mínimos de terminación de todas esas tareas.)

Para calcular el tiempo de inicio más temprano para una tarea particular, recuerde el concepto de las tareas predecesoras inmediatas, esto es, aquellas tareas que deben concluirse antes que la tarea actual pueda iniciarse. Es necesario saber cuándo termina cada una de estas tareas predecesoras:

Regla 1. Para calcular el tiempo de inicio más temprano de una tarea particular, debe conocer los tiempos de terminación más tempranos de cada tarea predecesora inmediata.

Regla 2. El tiempo de inicio más temprano de una tarea de la que se conocen los tiempos de terminación más tempranos de todas sus tareas predecesoras inmediatas es el máximo de esos tiempos de terminación más tempranos.

Regla 3. Tiempo de terminación más temprano = (tiempo de inicio más temprano) + (tiempo de tarea):

12 El tiempo mas cercano en que una tarea posiblemente puede inciarse.13 El tiempo mas corto en el que una tarea posiblemente puede concluir.



177


Fig 9. Cálculo de los tiempos de inicio y terminación mas tempranos para el proyecto de Santa Rosa Mining

Pasos para calcular los tiempos de inicio y de terminación más tempranos

Paso 0. Identifique el nodo correspondiente al principio de todo el proyecto.

Calcule y escriba lo siguiente en el nodo inicial:

a. El tiempo de inicio más cercano, esto es, 0 (porque la tarea correspondiente puede iniciarse inmediatamente).

b. El tiempo de terminación más breve de acuerdo con la regla 3, esto es:

Tiempo de terminación más breve

= (tiempo de inicio más inmediato) + (tiempo de tarea)

= 0 + (tiempo de tarea)

= tiempo de tarea

Paso 1. Seleccione cualquier nodo donde todos los arcos entrantes han sido etiquetados con sus tiempos de inicio y de terminación más breves.

Paso 2. Para el nodo seleccionado en el paso 1, calcule y escriba lo siguiente junto a cada arco saliente:

a. El tiempo de inicio más breve de acuerdo con la regla 2, esto es

Tiempo de inicio más inmediato = máximo de los tiempos de terminación más breves de todos los arcos entrantes

b. El tiempo de terminación más breve de acuerdo con la regla 3, esto es

Tiempo de terminación más breve = (tiempo de inicio más inmediato) + (tiempo de tarea)

Identificación de las tareas críticas

En esta sección, aprenderá cómo usar la red de proyecto junto con los tiempos de conclusión de tareas individuales y los tiempos de inicio y terminación más tempranos calculados en 2.1 para determinar qué tareas son críticas. Crítica significa que un retraso en cualquiera de esas tareas ocasiona un retraso en todo el proyecto. Los retrasos del proyecto pueden ocasionar costos adicionales, ingresos perdidos y/o incumplimiento de las obligaciones contractuales. Por ejemplo, no terminar las labores de preparación e inicio de explotacion de Santa Rosa Mining Corp. a tiempo puede ocasionar una pérdida sustancial en las ventas de concentrado para el periodo planeado. Por tanto, como gerente, necesitará comprobar estas tareas críticas estrechamente para ver que se terminen a tiempo a fin de que el proyecto entero se mantenga en lo programado.



178


Ahora puede ver que la forma más fácil de identificar las tareas críticas es iniciar al final de la red y proceder hacia atrás, hacia el principio del proyecto, examinando cada tarea. Determinar cuáles son críticas, entonces, requiere calcular lo siguiente para cada tarea:

1. El último tiempo de terminación (UT)14 -es decir, lo más tarde que pueda concluirse una tarea, mientras permita que el proyecto se complete lo más pronto posible, como se determinó en la sección 2.1 para el proyecto de Santa Rosa Mining Corp.

2. El último tiempo de inicio (UI)15 -es decir, lo más tarde que pueda iniciarse una tarea, de tal forma que finalice en su último tiempo de terminación.

Cualquier actividad cuyo último tiempo de inicio sea igual que su tiempo de inicio más inmediato calculado en la sección 2.1 es crítica. Esto se debe a que la única forma de mantener el proyecto a tiempo es iniciar esta tarea exactamente en este tiempo común.

Para calcular el último tiempo de terminación para una tarea particular, observe que un retraso en esta tarea particular afecta a todas las tareas sucesoras16, es decir, aquellas tareas para las que una tarea es una predecesora, porque las tareas sucesoras no pueden comenzar sino hasta que ésta esté terminada. Esta observación da pie a la siguiente regla, que se añade a las tres reglas presentadas en la sección.2.1:

Regla 4. Para calcular el último tiempo de terminación de una tarea particular, debe conocer los últimos tiempos de inicio de cada tarea sucesora inmediata.

Regla 5. Respecto a una tarea de la que se conocen los últimos tiempos de inicio de todas sus tareas sucesoras inmediatas, el último tiempo de terminación de esa tarea es el mínimo de los últimos tiempos de inicio de todas las tareas sucesoras inmediatas.

Regla 6. Último tiempo de inicio = (último tiempo de terminación) - (tiempo de tarea)

Fig. 10 Cálculo de los últimos tiempos de inicio y terminación para el proyecto de Santa Rosa Mining

Pasos para calcular los últimos tiempos de inicio y terminación

14 Lo más tarde que pueda concluirse una tarea, en tanto permita que el proyecto se complete lo más pronto posible.

15 Lo más tarde que pueda iniciarse una tarea, pero finalizando dentro de su último tiempo de terminación.

16 Una tarea para la que la tarea de interés es una predecesora.



179


Paso 0. Identifique el nodo correspondiente al final de todo el proyecto. Calcule y escriba lo siguiente dentro de cada arco entrante:

a. El último tiempo de terminación, que es el tiempo más breve de conclusión del proyecto, según se determinó en la sección 2.2 (porque cualquier otro retraso en estas tareas retrasaría todo el proyecto).

b. El último tiempo de inicio de acuerdo con la regla 6, es decir

Último tiempo de inicio = (último tiempo de terminación) - (tiempo de tarea)

= (tiempo de conclusión de proyecto) - (tiempo de tarea)

Paso 1. Seleccione un nodo, cuyos arcos salientes hayan sido etiquetados todos con sus últimos tiempos de inicio y terminación.

Paso 2. Para el nodo seleccionado en el paso 1, calcule y escriba lo siguiente junto a cada arco entrante:

a. El último tiempo de terminación de acuerdo con la regla 5, es decir último tiempo de inicio = mínimo de los últimos tiempos de inicio de todos los arcos salientes

b. El último tiempo de inicio de acuerdo con la regla 6, es decir último tiempo de inicio = (último tiempo de terminación) - (tiempo de tarea)

Habiendo hecho estos cálculos, ahora puede identificar las tareas críticas y no criticas. Para cada tarea, calculemos la holgura (H)17 de las tareas:

Usando los cálculos de la figura 10 y calculando las holguras se llega al calendario de actividades mostrado en la tabla 4

Tabla 4 Calendario de actividades y tareas cr´ticas para el proyecto de Santa Rosa Mining

ETIQUETA DESCRIPCION t IT UI TT UT HOLGURA

B Subnivel I 40 80 120 112 152 32C Subnivel II 40 5 45 128 168 123D Transversal II 5 0 5 123 128 123E Chimenea de acceso 68 0 68 0 68 0F Chimenea o coladero

de mineral 18 0 18 62 80 62G Chimenea de

ventilación 21 0 21 89 110 89H Instalación de tolvas 14 110 124 110 124 0I Chimenea de corte I 16 152 168 152 168 0J Chimenea de corte II 16 168 184 168 184 0K Instalación de

cabrestante 14 96 110 96 110 0L Explotación 28 124 152 124 152 0M Parte inicial del nivel

de rastrillaje 12 68 80 68 80 0N Parte final del nivel de

rastrillaje 16 80 96 80 96 0Figurada 0 80 80 80 80 0

Las holguras en esta tabla representan la cantidad de tiempo según la cual la tarea correspondiente puede retrasarse sin retrasar todo el proyecto, suponiendo que todas las demas tareas se realizan a tiempo. Por ejemplo la Chimenea o coladero de mineral puede comenzar hasta 89 dias tarde sin retrasar el proyecto.

Tarea crítica es una tarea cuyo tiempo de retraso es 0, lo que indica que cualquier retraso en esta tarea ocasionara un retraso en la conclusion de todo el proyecto. En el ejemplo son tareas críticas las tareas E, H, I, J, K, K, L, M y N. Como gerente debe verificar cuidadosamente estas tareas criticas para mantener el proyecto dentro del calendario.

17 Cantidad de tiempo que una tarea puede retrasarse sin afectar la conclusión del proyecto.



180


Fig. 11 Ruta crítica para el proyecto Santa rosa Mining

Las dobles líneas corresponden a las tareas críticas para el proyecto Santa Rosa Minino. Como puede ver, estas tareas forman, en conjunto una ruta crítica18 desde el principio hasta el final del proyecto. En general puede haber varias rutas críticas; en ese caso, el tiempo es de 184 días.

Administración de proyectos con tiempos determinísticos de tarea: uso de la computadora

Utilizaremos el software WinQSB para hallar la ruta crítica:

1. Iniciar el modulo PERT-CPM del software WinQSB

2. Ingresar los datos iniciales del proyecto

18 Una secuencia de tareas cr´ticas de un proyecto que conecta el principio del proyecto con el fin.Facultad de Ingeniería de Minas


181


3. Ingresar la duración y los predecesores de las tareas.

4. Obtener la ruta crítica



182


Son valores similares a los obtenidos anteriormente.

5. Podemos observar también la grafica

Expedición de un proyecto usando técnicas de crashing

En muchos proyectos la gerencia puede decidir que el tiempo de conclusión más breve no es aceptable. En tales casos, a menudo pueden usarse recursos adicionales para agilizar ciertas tareas, ocasionando una conclusión más temprana del proyecto. En esta sección, aprenderá cómo puede formularse un modelo de programación lineal para determinar las tareas que deben agilizarse para lograr un tiempo de conclusión deseado, y a qué costo.



183


En el ejemplo de Santa Rosa Mining, suponga que el Gerente General decide que un tiempo de conclusión de 184 días es demasiado largo. Se le ha pedido hacer recomendaciones sobre cómo puede acortarse el proyecto a 160 días.

Obtención de datos de costos adicionales para las tareas

¿Qué tareas del proyecto pueden acortarse y en cuánto? Claro está que acortar las tareas claramente requiere recursos adicionales, como el pago de tiempos extra, personal adicional y/o subcontrataciones. Por tanto, los primeros pasos son enumerar, para cada tarea:

1. El tiempo de choque, esto es, el tiempo mínimo posible en el que la tarea puede concluirse de manera realista usando recursos adicionales.

2. El costo de los recursos adicionales necesarios para acortar el tiempo de tarea a cualquier valor entre sus tiempos normal y de choque.

Para obtener el tiempo de choque, puede consultar con las personas involucradas en la tarea. Por ejemplo, considere la tarea de la chimenea de acceso en el proyecto de Santa Rosa Mining. Originalmente se estima que esta tarea requiere 68 días. Sin embargo, después de las discusiones con el gerente del departamento de diseño, usted descubrió que al contratar algo de ayuda de tiempo parcial y/o usar tiempos extra, la chimenea de acceso podría terminarse en sólo 64 días, pero no menos. Por tanto, con recursos adicionales, el tiempo de conclusión de esta tarea puede acortarse en 4 días a un tiempo de choque de 64 días.

El tiempo cuesta dinero. Para establecer cuánto cuesta el tiempo, comience por obtener dos estimaciones de costo para concluir la tarea en (a) su tiempo normal y (b) su tiempo de choque. En el proyecto de Santa Rosa Mining, suponga que la chimenea de acceso se estima que cueste $7200 si se termina en su tiempo normal de 68 días y $7528 si se terminan en su tiempo de choque de 64 días. De hecho, con una cantidad apropiada de entre $7200 y $7528, puede concluir esta tarea en cualquier momento entre 68 y 64 días. Sin embargo, la obtención de las estimaciones de costo para cada tiempo posible entre las 68 y 64 días puede ser difícil, caro y llevarse tiempo. Una aproximación comúnmente usada es suponer que los costos se comportan linealmente dentro del intervalo de tiempo dado, como se muestra en la figura 12. Basándose en esta suposición, un costo por unidad de tiempo aproximado puede calcularse usando la siguiente fórmula:

(costo al tiempo de choque) - (costo al tiempo normal)

(tiempo normal) - (tiempo de choque)Costo por unidad =

Para la tarea de la chimenea de acceso,

7528 - 7200

68 - 64Costo por unidad = = 82

En otras palabras, costará $ 82 adicionales por cada día que se acorte esta tarea.

7150

7200

7250

7300

7350

7400

7450

7500

7550

63 64 65 66 67 68 69

Tiempo de tarea (días)

Co

sto

($)

Fig. 12 Transacción tiempo – costo lineal para la chimenea de acceso



184


Estos datos y cálculos para cada tarea del proyecto de Santa Rosa Mining se muestran en la tabla 5.

Observe que el costo por unidad de la tarea L, Explotación, no se ha calculado. Esa tarea no puede acortarse en absoluto.

Tabla 5 Costos de choque para las tareas de Santa Rosa Mining


Tie

mp

o

no

rma

l

Co

sto

no

rma

l

Tie

mp

o d

e

ch

oq

ue

Co

sto

de

C

ho

qu

e

Re

du

cc

ión

M

áx

ima

Co

sto

po

r d

ía

A NivelB Subnivel I 40 8,100 36 8,380 4 70.0C Subnivel II 40 8,100 36 8,380 4 70.0D Transversal II 5 1,160 4 1,612 1 452.0E Chimenea de acceso 68 7,200 55 8,528 13 102.2F Chimenea o coladero de minera 18 1,920 15 2,241 3 107.0G Chimenea de ventilación 21 2,160 18 3,110 3 316.7H Instalación de tolvas 14 430 12 650 2 110.0I Chimenea de corte I 16 1,800 15 2,132 1 332.0J Chimenea de corte II 17 1,920 16 2,360 1 440.0K Instalación de cabrestante 14 350 11 465 3 38.3L Explotación 28 28 0M Parte inicial del nivel de rastrillaje 12 3,900 10 4,020 2 60.0N Parte final del nivel de rastrillaje 16 4,800 14 5,350 2 275.0

41,840COSTO TOTAL

Desarrollo del modelo de choque

Con los datos de la tabla 5 y la red de proyecto, ahora es posible desarrollar un modelo de programación lineal para determinar qué tareas acortar, y en cuánto, para lograr un tiempo de conclusión meta para todo el proyecto de la manera menos costosa.

Identificación de las variables de decisión

Preguntándose lo que puede controlar y/o necesita determinar en este problema lo debe llevar a identificar como variables de decisión la cantidad de tiempo en la cual acortar cada tarea. Por tanto, para el ejemplo de Santa Rosa Mining, defina

YB = el número de días en las cuales acortar la tarea B

YC = el número de días en las cuales acortar la tarea C

.

YN = el número de días en las cuales acortar la tarea N

Los valores de estas variables de decisión reducen los tiempos de conclusión de tareas a las cantidades mostradas junto a cada arco de la figura 13. Por ejemplo, el nuevo tiempo de conclusión de la tarea C es 40 - Yc, es decir, el tiempo normal de 40 días menos el número de días, Yc, en la cual se acorta esa tarea.

Identificación de la función objetivo

El objetivo global es minimizar los recursos adicionales totales requeridos para satisfacer el tiempo de conclusión meta para el proyecto. Habiendo calculado los costos unitarios enumerados en la tabla 5 asociados con el acortamiento de cada tarea, y observando que el costo de la variable YL es irrelevante porque su valor estará restringido a 0, la función objetivo en términos matemáticos es

Minimizar 70 YB + 70 YC + 452YD + 102.2 YE + 107 YF + 316.7 YG + 110 YH +332 YYI + 440 YJ + 38.33 YK + 60 YM + 275 YN

Identificación de las restricciones



185


Usando la técnica de agrupamiento puede identificar dos grupos de restricciones:

1. La cantidad máxima de tiempo en la cual se puede acortar cada tarea.

2. El tiempo de conclusión meta del proyecto (en este caso, 170 días).

Para las restricciones del grupo 1, lo único que se necesita son las cotas superiores sobre las variables de decisión, YA, . . . , YN. Los valores máximos de estas variables se proporcionan en la columna etiquetada 'Reducción máxima' de la tabla 5. La combinación de estos valores con la no negatividad implícita de estas variables da pie a las siguientes restricciones:

Fig. 13 Variables de decisión para agilizar el proyecto de Santa Rosa Mining

Restricciones de límite

0 <= YB <= 4 (Límite B)

0 <= YC <= 4 (Límite C)

0 <= YD <= 1 (Límite D)

0 <= YE <= 13 (Límite E)

0 <= YF <= 3 (Límite F)

0 <= YG <= 3 (Límite G)

0 <= YH <= 2 (Límite H)

0 <= YI <= 1 (Límite I)

0 <= YJ <= 1 (Límite J)

0 <= YK <= 3 (Límite K)

0 <= YL <= 0 (Límite L)

0 <= YM <= 2 (Límite M)

0 <= YN <= 2 (Límite N)

La especificación de la restricción del grupo 2 requiere cuidado. Mirando la red de proyecto de la figura 13, es necesario saber cuándo se concluirá la tarea J para determinar cuándo se terminara todo el proyecto. Esto a su vez requiere saber cuándo se concluirán todas las predecesoras inmediatas de la tarea J, es decir, cuándo se concluirán las tareas C e I. De hecho, para especificar que el proyecto puede concluirse en su tiempo meta, es necesario saber cuando puede comenzar cada tarea individual. Como estos valores son todavia desconocidos y dependen de los



186


valores de YA, . . . , YN, es aconsejable definir las variabless adicionales para cada nodo en la red de proyecto de la manera siguiente:

X0 = el tiempo en que todas las tareas que salen del nodo 0 pueden comenzar








X8 = el tiempo en que todas las tareas que salen del nodo 8pueden comenzar



Con estas variables, ahora es posible especificar que el proyecto puede comenzar en el tiempo 0 y terminar en 160 días con las dos siguientes restricciones:

X0 = 0 (inicio)

X10 <= 160 (finalización)

Todo lo que resta son las restricciones que especifican que una tarea puede comenzar solo despuers de que sus tareas predecesoras inmediatas hayan concluido. Por ejemplo refiriendose al nodo 1 de la figura 13, la tarea M puede comenzar solo despues de haber concluido la tarea E. Como X1 es el tiempo en el que esta tarea puede comenzar, se tiene la siguiente restricción de nodo:

Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 1 >= tiempos de terminación de todas las tareas que entran al nodo 1

Tiempo de inicio de M >= tiempo de terminación de la tarea E

Tiempo de inicio de M >= (tiempo de inicio de la tarea E) + (tiempo acortado de la tarea E)

X1 >= X0 + (68-YE) (tarea A)

De manera similar para el resto de los nodos, tenemos:

X2 >= X0 + (5-YD) (tarea D)

X3 >= X1 + (12-YM) (tarea M)

X4 >= X0 + (18-YF) (tarea F)

X4 >= X3 + 0 (tarea figurada)

X5 >= X4 + (16-YN) (tarea N)

X6 >= X5 + (14-YK) (tarea K)

X6 >= X0 + (21-YG) (tarea G)

X7 >= X6 + (14-YH) (tarea H)

X8 >= X7 + (28-YL) (tarea L)

X8 >= X3 + (40-YB) (tarea B)

X9 >= X8 + (16-YI) (tarea I)

X9 >= X2 + (40-YC) (tarea C)

X10 >= X9 + (16-YJ) (tarea J)

Notemos que por cada tarea real o figurada existe una restricción.



187


Añadiendo la no negatividad implícita de las variables X, se obtiene el siguiente modelo de choque completo:

Minimizar 70 YB + 70 YC + 452YD + 102.2 YE + 107 YF + 316.7 YG + 110 YH +332 YYI + 440 YJ + 38.33 YK + 60 YM + 275 YN

Dependiendo de:

Restricciones de límite

0 <= YB <= 4 (Límite B)

0 <= YC <= 4 (Límite C)

0 <= YD <= 1 (Límite D)

0 <= YE <= 13 (Límite E)

0 <= YF <= 3 (Límite F)

0 <= YG <= 3 (Límite G)

0 <= YH <= 2 (Límite H)

0 <= YI <= 1 (Límite I)

0 <= YJ <= 1 (Límite J)

0 <= YK <= 3 (Límite K)

0 <= YL <= 0 (Límite L)

0 <= YM <= 2 (Límite M)

0 <= YN <= 2 (Límite N)

Restricciones de terminación de proyecto

X0 = 0 (inicio)

X10 <= 170 (finalización)

Restricciones de red

X1 >= X0 + (68-YE) (tarea A)

X2 >= X0 + (5-YD) (tarea D)

X3 >= X1 + (12-YM) (tarea M)

X4 >= X0 + (18-YF) (tarea F)

X4 >= X3 + 0 (tarea figurada)

X5 >= X4 + (16-YN) (tarea N)

X6 >= X5 + (14-YK) (tarea K)

X6 >= X0 + (21-YG) (tarea G)

X7 >= X6 + (14-YH) (tarea H)

X8 >= X7 + (28-YL) (tarea L)

X8 >= X3 + (40-YB) (tarea B)

X9 >= X8 + (16-YI) (tarea I)

X9 >= X2 + (40-YC) (tarea C)

X10 >= X9 + (16-YJ) (tarea J)

Restricciones de red

X0, ……..,X10 >= 0

Resolución del modelo de choque



188


Habiendo formulado el modelo de choque apropiado, ahora podemos usar cualquier programa de programaciön lineal para obtener la solución. En nuestro caso, utilizaremos el WinQSB.

De los valores de las variables Y se puede ver que para terminar el proyecto en el tiempo meta de 160 días, es necesario acortar los tiempos de la tarea E en 13 días, de la tarea H en 2 días, de la tarea I en 1 día, de la tarea J en 1 día, de la tarea K en 3 días, de la tarea M en 2 días y de la tarea N en 2 días. El costo total de hacer esto son $ 3,105.59 adicionales.

ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS USANDO TIEMPOS DE TAREA PROBABILISTICOS (PERT)

Al revisar proyectos, un gerente a menudo encuentra retrasos imprevistos al llevar a cabo las diferentes tareas, lo cual tiene como resultado un correspondiente retraso en el proyecto completo. Una manera de manejar tales problemas consiste en tomar en cuenta esta variabilidad cuando se estiman los tiempos de terminación individuales. En lugar de suponer que los tiempos de tarea se conocen con certeza, como fue el caso en el ejemplo del proyecto de Santa Rosa Mining en las secciones 2.1 a 2.4, puede ser más apropiado estimar los tiempos de tarea, tomando en cuenta la incertidumbre. Para revisar tales proyectos se requiere un análisis probabilístico, que se describirá en la presente sección. A lo largo de ella, se supone que el lector conoce las nociones básicas de probabilidad y de estadística.

1.1. Enumeración de las tareas, identificando las relaciones de precedencia y trazando la red de proyectos

En las secciones 1.1. a 1.4 se ha realizado la enumeración de las tareas del proyecto de Santa Rosa Mining, identificado las relaciones de precedencia y trazado la red de proyectos.

1.2. Estimación de los tiempos de terminación de tareas



189


Los tiempos de terminación de estas tareas son bastante variables debido a la incertidumbre de la obtención de suministros, el mantenimiento de las relaciones laborales, etcétera. Así pues, una sola estimación del tiempo no es apropiada. Para tomar en cuenta esta variabilidad se requiere el conocimiento de la distribución de probabilidad de los tiempos de terminación de cada tarea. Esto, a su vez, requiere el conocimiento de los parámetros de la distribución, entre los que se encuentran la media y la varianza. La obtención de la distribución y de sus parámetros, a menudo, es difícil y tardada. Sin embargo, un planteamiento que ha resultado ser conflable en la práctica consiste en aproximar las distribuciones desconocidas mediante una distribución beta. El análisis, en la presente sección, no requiere la forma exacta de la distribución, sino solamente del conocimiento de tres parámetros: el valor mínimo, el valor máximo y el valor más probable, presentados en la figura 14.

Fig. 14 Distribución Beta de un tiempo de tarea

Suponga que para la tarea C, colocación del techo, las tres estimaciones obtenidas del subcontratista que lo va a colocar son:

a = más optimista = 3 días b = más pesimista = 11 días m = más probable = 5.5 días

Utilizando estas tres estimaciones, el tiempo esperado y la desviación estándar se calculan de la manera siguiente:

Tiempo de tarea esperado a + 4m + b



190


BIBLIOGRAFIA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES”, Kamlesh Mathur, Daniel Solow, Edit. Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., 1996, México.

“INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES”, Hamdy A. Taha, séptima edición, Pearson Educación de méxico, S.A. de C.V., 2004, México.

“INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: Programación Lineal”, Jorge Alvarez A., segunda edición, Edit. América, 1995, Perú.

“MICROSOFT PROJECT 2003 PASO A PASO”, Curso Oficial de Microsoft, Edit. McGraw-Hill/Interamericana de España, 2003, Madrid.



191

investigacion operaciones v3

Documents