investigacion de operaciones-uigv

31
Facultad de Ingeniería de Sistemas, Computación y Telecomunicaciones IO98 - INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II 1) Resolver los ejercicios de Programación Entera utilizando el Método de Ramificación y Acotamiento (Ver archivo Programación Entera). 2) Resolver los ejercicios DE PERT/CPM, elaborar su Diagrama de Red y Gráfico de Gantt (Ver archivo Modelos de Red). 3) Conceptos teóricos y aplicaciones de: - Modelo de transporte - Modelo primal y dual Presentado por Albites Azarte, Walter 1

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Ejercicios DE PERT/CPM, elaborar su Diagrama de Red y Gráfico de Gantt.

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Page 1: Investigacion de Operaciones-uigv

Facultad de Ingeniería de Sistemas, Computación y Telecomunicaciones

IO98 - INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

1) Resolver los ejercicios de Programación Entera utilizando el Método de Ramificación y Acotamiento (Ver archivo Programación Entera).

2) Resolver los ejercicios DE PERT/CPM, elaborar su Diagrama de Red y Gráfico de Gantt (Ver archivo Modelos de Red).

3) Conceptos teóricos y aplicaciones de:

- Modelo de transporte

- Modelo primal y dual

Presentado por

Albites Azarte, Walter

Lima – PerúFebrero – 2014

1

Page 2: Investigacion de Operaciones-uigv

INDICE

1. Resolver los ejercicios de Programación Entera utilizando el Método de Ramificación y Acotamiento.

2. Resolver los ejercicios DE PERT/CPM, elaborar su Diagrama de Red y Gráfico de Gantt.

3. Conceptos teóricos y aplicaciones de:Modelo de transporte, Modelo primal y dual.

2

Page 3: Investigacion de Operaciones-uigv

PROGRAMACION LINEAL ENTERA

Resolver utilizando ramificación y acotamiento para los problemas PLE

1.- Max Z=X1+5X2

S.a

11X1+6X2<=66

5X1+50X2<=225

X1, X2>=0, ENTEROS

L1:11X1+6X2=66

X1 X2

0 11

6 0

L2:5X1+50X2=225

X1 X2

0 4.5

4.5 0

P1:

11 x (5X1 + 50X2 = 225) X2=4.12 X1=3.75

55X1 + 550X2 = 2475 (-) Z=24.35

55X1 + 30X2 = 330

P2: MAX Z=X1+5X2 P3: MAX Z=X1+5X2

S.a S.a

11X1+6X2<=66 11X1+6X2<=66

3

Page 4: Investigacion de Operaciones-uigv

5X1+50X2<=225 5X1+50X2<=225

X1<=3 X1>=4

X1, X2>=0, ENTEROS X1, X2>=0 , ENTEROS

X1=3, X2=4.2 X1=4, X2=3.6

Z=24 Z=22.33

P4: MAX Z=X1+5X2 P5: MAX Z=X1+5X2

S.a S.a

11X1+6X2<=66 11X1+6X2<=66 5X1+50X2<=225

5X1+50X2<=225

X1<=3 X1<=3

X2<=4 X2>=5

X1, x2>=0 X1, X2>=0

X2=4 x1=3 NO FACTIBLE

X1<=3 X1>=4

X2<=4 X2>=5

4

P1

Z=24.35

X1=3.75

X2=4.125

P2

Z=24

X1=3

X2=4.2

P3

Z=22.33

X1=4

X2=3.5

P4:

Z=23

X1=3

X2=4

NO INFALIBLE

Page 5: Investigacion de Operaciones-uigv

RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=3 X2=4 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 23

X1

87654321

3 4 6 7 8 9 11 X2

2.- MAX Z=8X1+5X2

S.a

X1+X2<=6

9X1+5X2<=45

X1, X2>=0, ENTEROS.

L1: X1+X2=6

X1 X2

0 6

6 0

L2: 9X1+5X2<=45

X1 X2

0 9

5 0

P1:

9 x (X1+X2=6)

5

Page 6: Investigacion de Operaciones-uigv

9X1+9X2=54 (-)

9X1+5X2=45

X2=2.25

9X1+5X2=45

9X1+5(2.25)=45

9X1+11.25=45

X1=3.75

COTA SUPERIOR:

Z= 8X1+5X2 =8(3.75)+5(2.25)=41.25

COTA INFERIOR

Z=8(3)+5(2)=34

P2: MAX Z= 8X1+5X2 P3: MAX Z= 8X1+5X2

S.a S.a

X1+X2<=6 X1+X2<=6

9X1+5X2<=45 9X1+5X2<=45

X1=3 X2=3 X1>=4

X1+X2=6

P4: MAX Z=8X1+5X2 4+X2=6

S.a X2=1.8 Z=41

X1+X2<=6

9X1+5X2<=45

X2<=1 X1>=4 Z=37

P5: MAX Z=8X1+5X2 P6: MAX Z=8X1+5X2

S.a PROBABILIDAD INFALIBLE

X1+X2<=6

9X1+5X2<=45

6

Page 7: Investigacion de Operaciones-uigv

X1>=4 X2>=2

PROBABILIDAD INFALIBLE

P7: MAX Z=8X1+5X2

S.a

X1+X2<=6

9X1+5X2<=45

X1>=4 X2<=1 X1>=5 Z=40

RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=5 X2=0 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 40

X1

8765 PTO. OPTIMO4321

3 4 6 7 8 9 11 X2

7

Page 8: Investigacion de Operaciones-uigv

X1<=3 X1>=4

X2<=1X2>=2

X1<=4 X1>=5

8

P1

COTASUP.U=41.25

COTA INF=34

X1=3.75

X2=2.25

P2

X1=3

X2=3

Z=39

P3

X1=4

X2=1.8

Z=41

P4

X1=4

X2=1

Z=37

P5

PROBABILIDAD INFALIBLE

P6

PROBABILIDAD INFALIBLE

P7

X1=5

X2=0

Z=40

Page 9: Investigacion de Operaciones-uigv

PTO. OPTIMO

3.-MAX Z= 5X1+2X2

S.a

3X1+X2<=12

X1+X2<=5

X1, X2<=0 ; X1, X2 ENTEROS

L1: 3X1+X2=12

X1 X2

0 12

4 0

L2: X1+X2=5

X1 X2

0 5

5 0

P1:

3 x (X1+X2<=5)

3X1+3X2=15 (-)

3X1+X2=12

X1=3.5 X2=1.5

COTA SUPERIOR

Z=5X1+2X2

Z=5(3.5)+2(1.5)=20.5

COTA INFERIOR

Z=5(3)+2(1)=17

P2: MAX Z=5X1+2X2

S.a

9

Page 10: Investigacion de Operaciones-uigv

3X1+X2<=12

X1+X2=5 X1=3 X2=2 Z=19

P3: MAX Z=5X1+2X2

S.a

3X1+X2<=12

X1+X2=5

X1=4 X2=0 Z=20

RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=4 X2=0 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 20

X1<=3 X1>=4

PTO. OPTIMO

10

P1

COTA SUPERIOR U=20.5

COTA INF. Z=17

X1=3.5

X2=1.5

P2

X1=3

X2=2

Z=19

P3

X1=4

X2=0

Z=20

Page 11: Investigacion de Operaciones-uigv

X1

8765 PTO. OPTIMO4321

3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2

4.-MAX Z=2X1+3X2

S.a

X1+2x2<=10

3x1+4x2<=25

X1, X2<=0 X1, X2 ENTEROS.

L1: X1+2X2=10

X1 X2

0 5

10 0

L2:3x1+4x2=25

X1 x2

0 6.25

8.33 0

P1: MAX Z= 2X1+3X2

2 x (X1+X2=10)

2X1+4x2=20 (-)

3X1+4X2=25

X1=5 X2=2.5

COTA INFERIOR:

11

Page 12: Investigacion de Operaciones-uigv

Z=2X1+3X2

Z=3(5)+3(2)=16

COTA SUPERIOR

Z=2X1+3X2

Z=2(5)+3(2.5)=17.5

P2: MAX Z=2X1+3X2

X1+X2=10

3X1+4X2=25

X2=2 X1=5.7 Z=17.4 P4: MAX Z=2X1+3X2

P3: MAX Z=2X1+3X2 X1+X2=10

X1+X2=10 3X1+4X2=25

3X1+4X2=25 X2<=2 X1<=5 Z=16

X2=3 X1=4 Z=17 P6: MAX Z=2X1+3X2

P5: MAX Z=2X1+3X2 X1+X2=10

X1+X2=10 3X1+4X2=25

3X1+4X2=25 X2<=2 X1>=6 X2<=1 X1=7

X2<=2 X1>=6 X2=1.75 Z=17.25 Z=17

P7: MAX Z=2X1+3X2

X2>=2 X1>=6 X1=0.44

PROBABILIDAD NO FACTIBLE

RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=4 X2=3 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 17

12

Page 13: Investigacion de Operaciones-uigv

X2<=2 X2>=3

X1<=5 X1<=6 PUNTO ÓPTIMO

X2<=1 X2>=2

13

P1

COTA SUPERIOR U=17.5

COTA INF. Z=16

X1=5

X2=2.5

P2

X1=5.7

X2=2

Z=17.33

P3

X1=4

X2=3

Z=17

P4

X1=5

X2=2

Z=16

P5

X1=6

X2=1.75

Z=17.25

P6

X1=7

X2=1

Z=17

P7

PROBABILIDAD NO FACTIBLE

Page 14: Investigacion de Operaciones-uigv

X1

1098765 PTO. OPTIMO4321

3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2

5.- MAX Z=4X1+3X2

S.a

4X1+9X2<=26

8X1+5X2<=17

X1, X2>=0 X1, X2 ENTEROS

L1: 4X1+9X2<=26

X1 X2

0 2.89

6.5 0

L2: 8X1+5X2<=17

X1 X2

0 3.4

2.13 0

P1: MAX Z=4X1+3X2

2 x (4X1+9X2<=26)

8X1+18X2=52

14

Page 15: Investigacion de Operaciones-uigv

X2=2.69 X1=0.44

COTA SUPERIOR:

Z= 4X1+3X2

4(0.44)+3(2.69)=9.83

COTA INFERIOR

Z=4(0)+3(2)=6

P2: MAX Z=4X1+3X2

4X1+9X2<=26

8X1+18X2=52

X1=0 X2=0.03 Z=10.2

P3: MAX Z=4X1+3X2 P4: MAX Z=4X1+3X2

4X1+9X2<=26 4X1+9X2<=26

8X1+18X2=52 8X1+18X2=52

X1=1 X2=1.8 Z=9.4 PROBABILIDAD INFALIBLE

P5: MAX Z=4X1+3X2 P6: MAX Z=4X1+3X2

4X1+9X2<=26 4X1+9X2<=26

8X1+18X2=52 8X1+18X2=52

X1<=0 X2=1 X1=1.5 Z=9 X1=1 X2=1 Z=7

P7: MAX Z=4X1+3X2 P8: MAX Z=4X1+3X2

PROBABILIDAD INFALIBLE X1=2 X2=0.2 Z=8.6

P9: MAX Z=4X1+3X2

X1=2 X2=0 Z=8

PTO. OPTIMO

RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=2 X2=0 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 8

15

Page 16: Investigacion de Operaciones-uigv

X1

1098765 PTO. OPTIMO4321

3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2L2

L1

6.-MAX Z=4X1+5X2

S.a

3X1+2X2<=10

X1+4X2<=11

3X1+3X2<=13

X1, X2>=0 X1, X2 ENTEROS

L1: 3X1+2X2<=10

X1 X2

0 5

3.33 0

L2: X1+4X2=11

X1 X2

16

Page 17: Investigacion de Operaciones-uigv

0 2.75

11 0

L3:3X1+3X2=13

X1 X2

0 4.33

4.33 0

P1: MAX Z=4X1+5X2

X1=1.33 X2=3

COTA SUPERIOR:

Z=4X1+5X2=20.32

COTA INFERIOR

Z=4(1)+5(3)=19

P2: MAX Z=4X1+5X2

X1=1 X2=2.5 Z=16.5

P3: MAX Z=4X1+5X2

X1=2 X2=2 Z=18

PTO. OPTIMO

RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=2 X2=2 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 18

17

Page 18: Investigacion de Operaciones-uigv

X1

109

L3765 PTO. OPTIMO

L1321

3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2L2

L2

X1<=1 X1>=2

18

P1

COTA SUP U= 20.32

COTA INF Z=19

X1=1.33

X2=3

P2

PROB INFALIBLE

P3

X1=2

X2=2

Z=18

Page 19: Investigacion de Operaciones-uigv

PTO. OPTIMO

7.- NO SE ENTIENDE

8.-MAX Z=7X1+3X2

S.a

2X1+X2<=9

3X1+2X2=13

L1: 2X1+X2=9

X1 X2

0 9

4.5 0

L2:3X1+2X2=13

X1 X2

0 6.5

4.3 0

P1: MAX Z=7X1+3X2

2 x (2X1+X2=9)

4X1+2X2=18

3X1+2X2=13

X1=5 X2=-1

19

Page 20: Investigacion de Operaciones-uigv

MODELOS DE RED, CPM Y PERT

1.Widgetco está a punto de introducir un nuevo producto (producto 3).Una ciudad del producto 3 se produjo ensamblado 1 unidad del producto1 y una unidad del producto 2.Antes que comience la producción del producto 1 o 2, se debe comprar las materias primas y capacitar a los trabajadores. Antes de poder ensamblar los productos 1 y 2 en el producto 3, es necesario inspeccionar el producto terminado 2.La tabla 12 es una lista de actividades y sus predecesores y de la duración de cada actividad. Para esto dibuje un diagrama de proyecto.

TABLA 1

20

Page 21: Investigacion de Operaciones-uigv

ACTIVIDADES

ABCDEF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 SEMANAS

RESPUESTA LAS ACTIVIDADES TERMINA EN 38 SEMANAS

DIAGRAMA PERT, CPM CON RUTA CRITICA

C8 F12A6

E10

B9

D7

I

2. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red

TABLA DE PRECEDENCIA PARA LAS TAREAS DEL PROYECTO DE PERIOD PUBLISHING COMPANY

21

Page 22: Investigacion de Operaciones-uigv

GRAFICO GANTT

ACTIVIDADES

HGFEDCBA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 SEMANAS

RESPUESTA LAS ACTIVIDADES TERMINA EN 55 SEMANAS

2.- DIAGRAMA PERT, CPM CON RUTA CRITICA

C4 H2

B6

A30 G14F8

D5

E10

I

T

3. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red

PRIMERA LISTA DE ACTIVIDADES

22

Page 23: Investigacion de Operaciones-uigv

3.- DIAGRAMA PERT

D

A E

G J

FH

B

CI

I

T

4. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red

PRIMERA LISTA DE ACTIVIDADES CON TIEMPOS ESPERADOS (EN SEMANAS)

23

Page 24: Investigacion de Operaciones-uigv

GRAFICO GANTT

ACTIVIDADES

JIHGFEDCBA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 SEMANAS

RESPUESTA LAS ACTIVIDADES TERMINA EN 23 SEMANAS

24

Page 25: Investigacion de Operaciones-uigv

4.- DIAGRAMA DE RED PERT, CPM CON RUTA CRITICA

D4

A3 E8

G4 J3

F2H2

B5

C3I5

I

T

5. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red

LISTA DE ACTIVIDADES DEL PROYECTO DE LA ASPIRADORA PORTA-VAC

25

Page 26: Investigacion de Operaciones-uigv

5.- DIAGRAMA DE RED

C

FA E D

G JB

HI

IT

MODELO DE TRANSPORTE.

Tenemos una red de carreteras. Hay varios puntos donde se va a producir algo y otros puntos donde se va a demandar algo.

26

Page 27: Investigacion de Operaciones-uigv

Conociendo los costes de transporte, hay que elegir el camino para que el coste sea el mínimo posible.

Elegir desde que centro de producción atenderemos a cada centro de demanda.

Solución:

Lo primero que haremos será definir las variables:

Pi ------ producción máxima de cada centro i

Cij ---- coste de transporte de un centro i a un centro de demanda j

dj ----- demanda máxima en cada centro j

F.O..: Minimizar Σ Xij * Cij

Siendo Xij lo que producido en el centro i vamos a mandarlo al centro j.

S.a..: Para todo i: Σ Xij ≤ Pi

Para todo j: Σ Xij ≥ dj

Para todo i,j: Xij ≥ 0

Este problema se podría complicar dando nuevas restricciones como podrían ser el tener una demanda máxima y otra mínima. Lo mismo se podría aplicar a la producción.

Otro tipo de restricciones que se podrían introducir vendrían dadas por la aparición de almacenes intermedios. En ellos podríamos almacenar lo que hiciese falta, para repartirlo en otro momento por otros vehículos. Esto sería un modelo de transbordo.

También se puede dar una capacidad máxima a cada almacén.

El método simplex, manteniendo su factibilidad por aplicación sucesiva del

criterio2, trata de conseguir la factibilidad del dual, a la vez que su optimalidad.

Vamos a ver un caso de dualidad.

PRIMAL

F.O.: Min Σ Cj Xj

S.a.: Σ aij Xj ≥ dj para j = 1,...,n

Siendo:

Cj ≡ coste de producción (función de la materia prima consumida).

Xj ≡ consumo de materia prima.

27

Page 28: Investigacion de Operaciones-uigv

di ≡ demanda

DUAL

F.O.: Max Σdi Yi para i = 1, ... , m

S.a.: Σ aij Yi ≤ Cj esto dice que no incremente los costes de producción.

Siendo:

Yi: Beneficio por satisfacer la demanda.

TEOREMA DEL MÉTODO DUAL.

LEMA:

El dual del dual es el primal.

DUAL-PRIMAL-DUAL entonces PRIMAL

Sea

P≡ Solución primal.

D≡ Solución dual.

Entonces se cumple:

P ≤ D

Si P = D entonces solución óptima.

Nota: Hay que tener en cuenta que una restricción del tipo:

2 X1 + 3 X2 + 5 X3 = 8 podemos transformarla en dos restricciones:

2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≥ 8

2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ 8 de aquí podemos pasar a:

-2 X1 – 3 X2 – 5 X3 ≤ -8

2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ 8

28