incrementos y tasas

TEMA: INCREMENTOS TEMA: INCREMENTOS Y TASAS.Y TASAS.

SESION 10

Mg: Liz Robladillo Bravo

ESCUELA DE NEGOCIOS ESCUELA DE NEGOCIOS INTERNACIONALESINTERNACIONALES

CAPACIDADES:CAPACIDADES:Identifica las tasas de cambio promedio.

Compara problemas de gestión, en función de variables intervinientes de la economía.

INCREMENTOS Y TASAS

Definición.- Sea X una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2 Entonces el cambio en el valor de x, que es x2 - x1 , se denomina incremento  X y se denota por ∆X 

Usamos la letra ∆(delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier variable.Sea y =f(x) una variable que depende de x.Si x = x1 entonces y1 = f(x1)Si x = x2 entonces y1 = f(x1)

.

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA 4

INCREMENTOS Y TASASINCREMENTOS Y TASASEl calculo diferencial es el estudio

del cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA 5

IncrementoIncrementoDefinición: Sea x una variable

con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en el valor de x, que es x2 – x1, se denomina incremento de x y se denota por Δx

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN

Consideremos una función y = f(x) y dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.Δy = [f(a+h) − f(a)]

TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TV)

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM)

Del gráfico se puede observar que la recta que pasa por los puntos: P y Q, viene a ser la pendiente de la recta secante de la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

                                                                        ya que del triángulo PQR resulta que:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

1. Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

EJEMPLOS:

@ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 11

TASA DE VARIACIÓN TASA DE VARIACIÓN MEDIAMEDIA

Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente:

f (b) - f(a)TVM = -----------------

b – a

b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x),

Δf(x) o Δy.

TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los

extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)).

@ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 12

EJEMPLOS

Sea la función f(x) = x3 – 4x

Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], y [-1, 1]

En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) - 48 – 0TVM = ----------------- = --------- = 24 - 4 – (-2) - 2

En [-1, 1] f (1) – f (-1) - 3 - 3 TVM = ----------------- = --------- = -

3 1 – (-1) 2

-2 -1 0 1 2 x

y=f(x)

@ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 13

EJEMPLO 2

La distancia recorrida por un móvil en los 7 primeros segundos tras ponerse en marcha viene dada por la función:

f(t) = t2 + 2.t

Halla la TVM de la función en el intervalo [2, 5]. ¿ Qué significado físico tiene?.

En [2 , 5] f (5) – f(2) (25 + 10) – (4+4) 35 – 8 27 TVM = ----------------- = ------------------------ = ------------- = ------ = 9 5 – 2 3 3 3 Significa la velocidad media en dicho intervalo: 9 m/s.

En [6, 7] f (7) – f (6) (49+14) – (36+12) 63 – 48 TVM = ----------------- = ------------------------- = ----------- = 15 7 – 6 1 1 En el último segundo su velocidad media es de 15 m/s

GRACIAS: