guías modulares de estudio matematicas iii parte a

Guías Modulares de Estudio

MATEMATICAS IIIParte A

Semana 1:Unidad 1: Sistema de Ejes Coordenados,

Segmentos Rectas y Polígonos

MATEMATICAS III

Objetivo:

• Calcular perímetros, áreas y ángulos interiores de figuras planas a partir de las coordenadas de sus vértices para la resolución de problemas teórico-prácticos.

Parejas Ordenadas• Una pareja ordenada esta constituida por dos términos escritos en un

orden especifico.

La pareja ordenada (a,b) tiene a como primer elemento, y b como segundo elemento

• El primer elemento de la pareja ordenada (5,3) es el número 5 y su segundo elemento es el número 3

Igualdad de Parejas Ordenadas

1. Sus primeros elementos son iguales, y

2. Los segundos elementos son iguales

(a,b) = (c,d) a = c y b = d

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

Ejes CoordenadosCada pareja ordenada de números se puede representar gráficamente como un punto del plano.

Así para dibujar la gráfica de (-5,3) se trazan dos rectas numéricas, una horizontal -eje x- y otra vertical -eje y-, con el mismo origen de sus escalas.

Sobre estos ejes localizamos los elementos de la pareja (-5,3): -5 en el eje x, 3 en el eje y.La gráfica de (-5,3) es el punto de intersección de las rectas trazadas por -5 y 3, paralelas a los ejes.

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

Lugares Geométricos, Soluciones y Gráficas• Los puntos que cumplen una condición forman un lugar geométrico,

una recta, por ejemplo, es el lugar geométrico de los puntos que conservan siempre una misma dirección

• Si los puntos se ubican en un plano coordenado, cualquier condición sobre los mismos concluye como una relación entre su abscisa y su ordenada.

Por lo general, las relaciones entre las coordenadas (x,y) de los puntos se expresan mediante ecuaciones.

• Toda pareja ordenada de números que es solución de la ecuación pertenece a la gráfica de esta

• Todo punto sobre la gráfica satisface la ecuación.

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

Gráficas e Intersecciones con los Ejes

• La gráfica de una ecuación esta constituida exclusivamente por los puntos que satisfacen la ecuación.

• La gráfica de y = 2x + 6 atraviesa al

eje x en A(3,0)

eje y en B(0,-6)• Ambos puntos pertenecen a la gráfica ya que satisfacen y = 2x – 6:

A(3,0): 0 = 2(3) - 6

B(0,-6): -6 = 2(0) – 6• El punto A esta sobre el eje x porque su ordenada es cero. El punto

B está sobre el eje y porque su abscisa es cero

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

Simetrías de una Gráfica• Algunas gráficas tienen una característica geométrica que facilita

enormemente su dibujo: su trazo se refleja respecto a una línea o un punto. De esta forma, se dibuja solo una parte de la gráfica y la otra se obtiene por reflexión.

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

Semana 2:Unidad 1: Sistema de Ejes Coordenados,

Segmentos Rectas y Polígonos

Distancia Entre Dos Puntos• Cuando dos puntos están situados en un eje numérico es muy

simple calcular la distancia entre ellos.• En un sistema coordenado unidimensional, la distancia dirigida

entre los puntos P1 (x1) y P2 (x2) se obtiene restando a la coordenada del punto final la coordenada del punto inicial.

P1P2 = x2 – x1 P2P1 = x1 – x2

El valor absoluto de la distancia dirigida entre los puntos es la distancia entre ellos.

En un sistema coordenado bidimensional la distancia entre los puntos

P1(x1,y1) y P2(x2,y2) se obtiene con la formula:

P1P2 = √(x1 – x2)² + (y1 – y2)²

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

División de un Segmento en una Razón Dada

Un punto sobre un segmento divide a este en 2 partes

A P B A M B

• •

Una parte puede ser Pueden ambas partes

mayor que la otra ser iguales

• Las longitudes se comparan mediante un cociente que expresa matemáticamente la idea intuitiva de “cuantas veces cabe un segmento en el otro”.

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

Pendiente de una Recta

y

α es el ángulo de inclinación El cociente es la

de la recta x

pendiente de la recta

y

tan α =

x

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

y

xα

Rectas Paralelas• Dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación.• Esto implica que sus tangentes son iguales, es decir, las pendientes

coinciden

tan 30° = tan 30°

m1 = m2

• Condición del paralelismo: dos rectas L1 y L2 son paralelas si, y sólo si, sus pendientes son iguales

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

30° 30°

Rectas Perpendiculares• Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que

difieren en 90°.• Esto implica que sus tangentes son recíprocas y difieren en signo,

es decir, el producto de sus pendientes es -1

-1

tan 45° =

tan 135°

m1 m2 = -1

Condición de perpendicularidad: Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si, y solo si, el producto de sus pendientes es -1

m1 m2 = -1

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

90°45°45°

Área de un Polígono• Es posible determinar el área de un polígono situado en un plano

cartesiano aplicando un procedimiento sencillo. • Este se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo

Área de un Triángulo• El área del triángulo con vértices P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3 (x3,y3), es

igual al valor absoluto de:

x1 y1 1

1 x2 y2 1

2 x3 y3 1

Sistema de Ejes Coordenados, Segmentos Rectas y Polígonos

• ¿Qué es una pareja ordenada?• ¿La pareja ordenada (a,b), tiene 2 elementos como se llaman y

cuales son?• ¿En un sistema coordenado unidimensional, como se obtiene

la distancia dirigida entre los puntos P1 (x1) y P2 (x2)?• Estas tienen el mismo ángulo de inclinación• Estas tienen ángulo de inclinación que difieren de 90°

Examen (Semanas 1 y 2)

Semana 3:Unidad 2: Línea Recta

Objetivo:

• Determinar el modelo matemático y la representación grafica de una recta ,a partir de la aplicación de la ecuación general, para la resolución de problemas teórico-prácticos

MATEMATICAS III

Forma Punto – Pendiente de la Ecuación de la Recta

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad:

Descripción: Puntos que están a dos Descripción: Puntos que están

unidades de distancia arriba del eje x. a 3 unidades de distancia del origen

Ecuación: y =2 Ecuación: x² + y² = 9

Identificación: recta horizontal situada Identificación: Circunferencia con

dos unidades arriba del eje x centro en el origen y radio igual a 3

Línea Recta

0

1

2

x

y

x

y

0

-3

-3

3

3

• La propiedad geométrica que caracteriza a una recta es que sus puntos no cambian de dirección. Esto significa que la pendiente entre dos, cualesquiera de ellos, es siempre la misma. Así:

• Recta como lugar geométrico: Una recta es el lugar geométrico de los puntos que tienen entre sí la misma pendiente

• Ecuación de la recta en la forma punto – pendiente: La recta con pendiente m, que pasa por el punto P1(x1, y1) tiene por ecuación:

y – y1 = m(x – x1)

Línea Recta

Forma Pendiente – Ordenada al Origen de la Ecuación de la Recta

La ordenada al origen La ordenada de origen

de esta recta es 0 de esta recta es 4

4 4

3 3

m = 2

2 2

1 1

-1 0 -2 -1 0 1

Línea Recta

y

x x

y

y = 2x y = 2x + 4

• La ordenada del punto (o,b) donde la recta interseca al eje y, se llama ordenada al origen. Así, en el primer caso b = 0, y en el segundo b = 4.

• Conociendo el punto (o,b) de la recta y su pendiente m, podemos obtener su ecuación, e incluso, escribirla de manera muy simple y sugestiva, por la información que proporciona.

y – y1 = m(x - x1) Forma punto – pendiente y – b = m(x – 0) Sustituyendo 0 por x1, b por y1

y = mx + b Simplificando y transponiendo b.

• Ecuación de la recta en la forma pendiente – ordenada al origen: La recta con pendiente m, y ordenada al origen b, tiene por ecuación

y = m x + b

Línea Recta

Forma simétrica de la ecuación de al recta

• Dos puntos es todo lo que necesitamos para determinar una receta.• Cuando estos puntos son las intersecciones de la recta con los ejes

coordenados su ecuación adopta una forma sencilla y útil.

8

7 Ecuación Simétrica: x + y = 1

6 5 8

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

Línea Recta

x

y

5 es la abscisa al origen d la recta y 8 es la ordenada al origen, es decir, son la abscisa y la ordenada de los puntos (5,0) y (0,8) donde la recta corta a los ejes coordenados.

Forma General de al Ecuación de al Recta

• Todas las ecuaciones de la recta, una vez simplificadas, adoptan la forma: Ax + By = C

Así: y – 2 = -4 (x – 3) Ecuación de la recta que pasa por (3,2) con m = -4 y – 2 = -4x +12 Efectuando el producto 4x + y = 14 Transponiendo y simplificando términos

4x + y = 14 es la forma general de la ecuación de la recta y – 2 = -4(x – 3).

• La forma Ax + By = C expresa que la suma de los términos que contienen a las variables x, y, es constante.

• Forma general de la ecuación de la recta: esta puede escribirse, simplificándola en la forma general:

Ax + By C

Línea Recta

Semana 4:Unidad 2: Línea Recta

La Ecuación General de Primer Grado en dos Variables• Toda ecuación de la forma Ax + By + C = 0, donde A y B no son

simultáneamente cero, representa una línea recta.

Identificación de al recta en la ecuación de primer grado Ecuación Recta Ax + By + C = 0 Con m = - A , b = - C B B Ax + By = 0 Pasa por el origen Ax + C = 0 Vertical By + C = 0 Horizontal

• En cada caso los coeficientes escritos son distintos de cero y los que no están son cero.

Línea Recta

Forma Normal de la Ecuación de la Recta: se obtiene al dividir la forma general Ax + By = C entre + √A ² + B², con igual signo que C.

4x + 3y = 10 Forma general

√4² + 3² = 5 Sustituyendo 4 por A, 3 por B

en √A² + B²

Forma normal: 4x + 3y = 2 Dividiendo entre 5.

5

Línea Recta

• ¿Qué es un lugar geométrico?• ¿Cuál es la ecuación de la recta en la forma punto – pendiente?• ¿Qué se necesita para determinar una recta?• ¿Cuál es la forma general de la ecuación de la recta

y – 2 = -4(x – 3)?• ¿Cómo se obtiene la forma normal de la ecuación de la recta?

Examen (Semanas 3 y 4)