geometria ii
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-
CONT
ENID
O
L G E B R A2007-TRILCE
De pa r ta m e nto d e P ubl i c a c io ne sL ima - P e r
TRCO3SLIAL1B-07.pmd
G e o m e t r a
P g .
Cap. 1 Generalidades sobre un tringulo ................................................................................. 5
Cap. 2 Lnea recta, rayo, segmentos ....................................................................................... 13
Cap. 3 Operaciones con segmentos ........................................................................................ 19
Cap. 4 ngulos .................................................................................................................... 25
Cap. 5 Repaso (Evaluacin mensual) ...................................................................................... 33
Cap. 6 ngulos determinados por dos rectas paralelas y una secante a ellas(Uso del complemento y suplemento) ........................................................................... 39
Cap. 7 Otros sistemas para la medicin de ngulos .................................................................. 49
Cap. 8 Repaso bimestral ....................................................................................................... 55
Cap. 9 Tringulos ................................................................................................................. 61
Cap. 10 Lneas notables asociadas al tringulo I (Ceviana, altura y bisectriz)................................ 71
Cap. 11 Lneas notables asociadas al tringulo II (Mediana y mediatriz) ...................................... 79
Cap. 12 Tringulos rectngulos notables ................................................................................... 87
Cap. 13 Repaso (Evaluacin mensual) ...................................................................................... 95
Cap. 14 Congruencia de tringulos ........................................................................................... 103
Cap. 15 Aplicaciones de la congruencia de tringulos ................................................................. 111
Cap. 16 Repaso bimestral ....................................................................................................... 121
-
3er ao de secundaria
TRILCE
Cap. 17 Polgonos .................................................................................................................. 129
Cap. 18 Polgonos regulares .................................................................................................... 135
Cap. 19 Cuadrilteros (Trapezoides y Trapecios) ........................................................................ 141
Cap. 20 Cuadrilteros (Paralelogramos) .................................................................................... 149
Cap. 21 Repaso (Evaluacin mensual) ...................................................................................... 157
Cap. 22 Circunferencia ............................................................................................................ 163
Cap. 23 ngulos asociados a la circunferencia ........................................................................... 173
Cap. 24 Repaso bimestral ....................................................................................................... 183
Cap. 25 Proporcionalidad ........................................................................................................ 187
Cap. 26 Semejanza de tringulos ............................................................................................. 197
Cap. 26 Relaciones mtricas en tringulos rectngulos ............................................................... 205
Cap. 26 reas de regiones poligonales...................................................................................... 215
Cap. 27 reas de regiones circulares ........................................................................................ 223
Cap. 28 Slidos geomtricos.................................................................................................... 231
Cap. 29 Repaso bimestral ....................................................................................................... 239
-
5Cap t u lo
CO
LEG
IO TRILCE
Organizacin Educativa TRILCE
1GENERALIDADES SOBRE
UN TRINGULO
TRINGULOS
A
B
C
a
a
q
wb
c
e1
e2
e3
Propiedades
1. a + q + w = 180
2. e1 + e2 + e3 = 360
3. e1 = w + q e2 = a + w e3 = a + q
Tringulo issceles
L L
q q
Tringulo equiltero
L
60
L
L
60 60
-
6General idades sobre un tringulo
Tercer Ao de Secundaria
1. Del grfico, calcular x.
B
X + 20
AX + 30 X + 70
C
2. Del grfico, calcular x.
A
B
x+10C125
2x-5
Resolucin:
Resolucin:
-
7Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
3. Del grfico, calcular "x".
A
B
Cx + 60
100
120
4. En un tringulo ABC, se cumple: m A=2m C = 80, calcular la Cm .
Resolucin:
5. Si el tringulo ABC es issceles, calcular "x".
Resolucin:
A C
B
x
92
Resolucin:
-
8General idades sobre un tringulo
Tercer Ao de Secundaria
Bloque I
1. Calcular x
60+x
x+20 80+2x
a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10
2. Si: AB = BC, calcular x.
20
4xA
B
C
a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25
3. Calcular x
60
40A
B
P
C Q
x
40
a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60
4. Calcular x
80
a qA
I x
B
Ca q
a) 20 b) 40 c) 50d) 70 e) 80
5. Calcular x
40
a q
A
x
B
Ca q
a) 80 b) 100 c) 120d) 140 e) 160
Bloque II
1. Calcular "x"
a
65
x
a
a) 40 b) 50 c) 60d) 70 e) 80
2. Calcular "x"
A
B
C35 x 25
80
D
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
3. Del grfico, calcular "a + b + c + d + e + f".
a
b c
d
ef
a) 180 b) 270 c) 360d) 450 e) 540
Pract iquemos
-
9Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA4. En un tringulo ABC, se traza BP ("P" est en AC ) de
tal manera que AB=BP=PC. Hallar la ABPm , si:BCA = 40m .
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
5. Calcular "x"
A
B
C
D
x20
60
70
a) 110 b) 120 c) 130d) 140 e) 150
Bloque III
1. Calcular x, si: AC = BC.
A
B
C
x75
a) 50 b) 45 c) 60d) 75 e) 15
2. Calcular x
A
B
Cx
a
80 30
a
D
a) 55 b) 65 c) 75d) 80 e) 37
3. Calcular x, si: AB = BC = AD.
A
B
C
D
x60
100
a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 75
4. En un tringulo ABC (AB = BC) se ubica el punto D en AB,tal que: CD = AC. Hallar m CBA, si: m DCA = 25.
a) 20 b) 50 c) 25d) 15 e) 12 30
5. En un tringulo ABC, se traza BP (P est en AC ) detal manera que: BP = PC. Hallar la medida del nguloABC, sabiendo adems que: m ABP - m BAC = 40.
a) 90 b) 100 c) 110d) 80 e) 180
-
10
General idades sobre un tringulo
Tercer Ao de Secundaria
1. Calcular x
B
AC
4x
4436
2. Calcular x
71
b
x
b
3. Calcular x, en trminos de q.
A
B
Cxq
4. Si: BD = BC, hallar: m BCA.
AD
B
C
40
30
5. Calcular x
A
B
DC20x
10
6. Calcular x
B
CA
120
130
x
7. Si el tringulo ABC es equiltero, calcular x
70
B
CA
8. Calcular x
B
A C
2x+20
x+10 3x+30
9. Calcular x
3x
5x-10 70
10.En el grfico, calcular x.
3x+30
2x+20
5x+10
11.Calcular x en el grfico.
x+10
70
5080
12.Si: BD = 10m, calcular BC.
A D C
B
40
30 70
Tarea domiciliaria
-
11Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA13.Calcular x
x
30
100160
14.Calcular "x"
B
C
x
70
Aaa q
q
15.Calcular "x"
A
B
aC
w
80
a w
x
E
16.Calcular "x", si: AB = BP = PC.
A
B
P Cx
40
17.Calcular "BC", si: AD = BD = 4.
A C
B
40 80D
18.Calcular "x"
5x12x
11x
19.Calcular el permetro del tringulo ABC, si es equiltero.
2x - 3 x + 2
A C
B
20.En un tringulo issceles ABC se sabe que:A = 100m , calcular la Cm .
21.Calcular "x + y"
2x - 10
y+40l l
l
22.Calcular "x"
5030x
23.Calcular "x"
A
C
BEx
40
aa
bb
24.Calcular "x"
CA
B
E
aa w w
x
80
-
12
General idades sobre un tringulo
Tercer Ao de Secundaria
25.Calcular "x"
B
q 110
130
E
Fqq x
26.En un tringulo issceles ABC (AB=BC) se ubica el punto"P" en AC , tal que: AP=AC, si B = 30m , calcular la
PACm .
27.En un tringulo ABC se traza BM ("M" en AC ), talque: AM = MB = MC. Calcular la ABCm .
28.En un tringulo ABC, se ubica el punto "D" en AC , talque: AD = DB y DC = BC. Si A=25m , calcular
Cm .
29.Se tiene un tringulo issceles ABC donde AB = BC, enel cual se traza una ceviana CP. Sobre CP se ubica elpunto Q, tal que: BP = BQ y la m R QBC = 36.Hallar: m R ACP..
30.En un tringulo ABC se traza la bisectriz exteriorBF ("F" pertenece a la prolongacin de AC ) luego enAB se ubica el punto "E", de modo que: AE = EC ym R AFB = 20. Hallar: m R ECB..
-
13
Cap t u lo
CO
LEG
IO TRILCE
Organizacin Educativa TRILCE
2LNEA RECTA, RAYO,SEGMENTOS
LNEA RECTA
Es un conjunto ilimitado de puntos que estn en unamisma direccin.
P Q
Lnea recta PQ: PQ
RAYO
Es cualquiera de las dos partes de una lnea recta quese determina al tener un punto fijo sobre ella.
A B
Rayo OA: OA
O
Rayo OB: OBO: origen
SEMIRECTA
Es un rayo sin origen.
BO
Semirecta OB: OB
SEGMENTO DE RECTA
Es una porcin de una lnea recta que tiene dosextremos fijos.
Segmento de recta AB: ABLongitud del segmento AB:
Nmero real positivo: AB = 10m
A
10m
B
Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes si tienen la mismalongitud.
A8m
B
C8m
D
@AB CD
Punto medio de un segmento
O: Punto medio de AB
A4m
BO4m
Operaciones con segmentos
A B C D E
AE = AB + BC + CD + DE
AB = AE - BE
-
14
Lnea recta, rayo, segmentos
Tercer Ao de Secundaria
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
1. En el grfico, calcular x.
A B C D
30m
28m
10m
x
2. En el grfico, si B es punto medio de AC , calcular x..
A B C D
30m 10m
x
3. Si M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular x..
M NB CA
40m
x
-
15Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
Resolucin:
Resolucin:
4. Del grfico, calcular BC.
A B C D
15m24m
17m
5. Si C es punto medio de AD , calcular BC..
A B C D
14m18m
-
16
Lnea recta, rayo, segmentos
Tercer Ao de Secundaria
Bloque I
1. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D.Si: AC = 21m, BD = 28m y AD = 30m, calcular BC.
a) 10m b) 12 c) 15d) 14 e) 19
2. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D.Si: AC = 19m, BD = 24m y AD = 27m, calcular BC.
a) 12m b) 14 c) 15d) 16 e) 11
3. Se tienen los puntos consecutivos P, Q, R, S yT. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12m y RT = 20m,calcular QS.
a) 12m b) 20 c) 15d) 16 e) 18
4. Calcular PM, siendo M punto medio de QR .
P Q R S22m30m
18m
a) 15 u b) 16 c) 17d) 18 e) 19
5. Calcular x, si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.
A DMCx
a) 7 m b) 6 c) 5d) 4 e) 3
Bloque II
1. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D.Si: AD = 20m, AB = 8m y CD = BC, calcular AC.
a) 13m b) 14 c) 15d) 16 e) 18
2. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D.Si: AB = BC, AC = CD y AD = 48m, calcular BC.
a) 24m b) 10 c) 9d) 16 e) 12
3. Del grfico mostrado, calcular MN, siendo M y N
puntos medios de AC y BD respectivamente.
A B C D
12m18m
8m
a) 6 u b) 8 c) 10d) 12 e) 14
4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, By C, en ese orden. Si: AC + AB = 18m, calcular AM,siendo M punto medio de BC .
a) 6m b) 8 c) 9d) 7 e) 18
5. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D", siendo"B" punto medio de AC . Calcular "AB", si: 3BD = 4AC.
B C DA
22ma) 6 u b) 7 c) 8d) 9 e) 10
Bloque III
1. Calcular "RS", siendo "R" y "S" puntos medios de PT yQT respectivamente.
P Q S T
16m22m
R
a) 5 u b) 6 c) 7d) 8 e) 9
2. Se tienen los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D".Si: AB = CD, BC + AD = 42m, calcular "AC".
a) 21m b) 22 c) 18d) 20 e) 30
3. Sean los puntos consecutivos: "A", "B", "C" y "D" en unarecta, tal que: AB = BD = 3CD y AD = 12 m, calcular "CD".
a) 2 m b) 4 c) 16d) 18 e) 5
4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A","B", "C" y "D"; tal que: CD = 7AC; BD - 7AB = 40m,calcular "BC".
a) 2m b) 5 c) 8d) 18 e) 20
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Si: AC + BD = 24m, calcular "PQ", siendoP y Q puntos medios de AB y CD respectivamente.
a) 4 m b) 6 c) 12d) 18 e) 24
Pract iquemos
-
17Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
1. Calcular AN, si: AP = 2m, PB = 3m y BN = 7m.
A BP N
2. Calcular AP, si: PB = 3m y AB = 10m.
A BP
3. Si: PR = a y RT = b, calcular PT en trminos de a y b.
P TR
4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B y P de modo que AB > BP. En qu segmento seencuentra el punto medio de AP ? (Graficar).
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Determinar el nmero total de segmentosque se forman.
6. Segn el grfico: AC = 26m. Calcular x.
A B C
2x12m
7. Del grfico, M es punto medio de BC . Si: AM = 9m yMC = 2m, calcular AB.
A B CM
8. Si: AD = 44, calcular x.
A B DC
3x 3x+1 4x+3
9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B y C, de modo que: BC = 2AB. Calcular AB, siAC = 36m.
10.Si: AC = 12 cm; BD = 14 cm y BC = 7 cm, calcular AD.
A B DC
11.Si: AB = 6 cm; BC = 8 cm y CD = 10 cm, calcular MN.
A M CB DN
ab ab
12.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Calcular BC, si: AD = 10m, AC = 8m yBD = 6m.
13.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, de modo que: AB = 6m, BC = 8m yCD = 10m. Luego se ubica M punto medio de AB yN punto medio de CD. Calcular MN..
14.De la figura: AD = 48m. Calcular BC.
A CB D
x 2x 3x
15.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Calcular AC, si: AB BC CD
2 3 5= = y
AD = 40m.
16.Sobre una recta se toman los puntos consecutivosA, B, C y D. Calcular AD, si: AC = 10m yAD + CD = 30m.
17.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B, C y D. Calcular AB, sabiendo que: AC = 14m,BD = 18m y CD = 2AB.
18.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C y D, de tal manera que: AC = 22m, BD = 25my AD = 33m. Calcular BC.
19.Si M es punto medio de AE y AC - CE = 32 cm,calcular MC.
A CM E
20.Si: AC + BD = 46 cm, calcular MN.
A B DM C N
a ba b
21.Si: AB = CD = 18 cm y BC = DE = 16 cm, calcular lalongitud del segmento que une los puntos medios deAB y DE.
A C EB D
22.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Si: AC + BD = 24m, calcular PQ, siendoP y Q puntos medios de AB y CD respectivamente.
Tarea domiciliaria
-
18
Lnea recta, rayo, segmentos
Tercer Ao de Secundaria
23.En una recta se dan los puntos consecutivos A, B,C y D. Calcular AD, sabiendo que: AC = 4 + CD.Adems:
AB BC CD2 3 4
= =
24.M y N son puntos medios de AB y CD ;BC = 4 cm y AD = 10 cm. Calcular MN.
A DB NM C
25.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: AB BC CD
3 4 5= = y AD = 24m.
Calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de los segmentos AC y BD.
26.En una recta se dan los puntos consecutivos A, B,C y D donde M es punto medio de AB y N espunto medio de CD. Si: AC = 14m y BD = 8m, calcularMN.
27.Sean los puntos consecutivos A, B, C y D sobreuna recta, tal que: AB = BD = 3CD. Calcular CD, si:AD = 18m.
28.Calcular BD, si: AB = 3BC y AD + 3CD = 12m.
A DB C
29.A, B, C y D son puntos consecutivos tomadossobre una recta. Si M es punto medio de AD ,AB + CD = 10m y BM - MC = 2m, calcular CD.
30.Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C, D, E y F. Sabiendo que:AB = EF =
BE3 y AC + BD + CE + DF = 24m, calcular
BE.
-
19
Cap t u lo
CO
LEG
IO TRILCE
Organizacin Educativa TRILCE
3OPERACIONES CON
SEGMENTOS
Las vigas, los soportes y losalambres de la estructura deacero (que aparece en lafotografa) forman tringulos,que son las figuras geomtricasms sencillas que se puedenformar con puntos y rectas.
A6
A5
B6
B5
B3B2
B
B
BA3
A2
A
A
A
A1 B1
A4 B4
O
Recordar:
SUMA DE SEGMENTOS
Ejemplo:
Hallar "x"
A B C D
x3 m 2 m 5 m
AD = AB + BC + CDx = 3m + 2m + 5m
x = 10 m
RESTA DE SEGMENTOS
Ejemplo:
Hallar "x"
P Q R
5 m x
12 m
QR = PR - PQx = 12m - 5m
x = 7m
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Ejemplo:
Hallar "x", si "M" es punto medio de AC
A M C
AM = MC2x + 10 = 5x - 20
30 = 3x10 = x
2x + 10 5x - 20
-
20
Operaciones con segmentos
Tercer Ao de Secundaria
1. Si: AC = BD = 32m y AD = 40m, calcular BC.
A DCB Resolucin:
2. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 18 m, BD = 20 m y AD = 30 m.Hallar "BC".Resolucin:
3. Si: AC = 30m, BD = 28m y AD = 40m, calcular BC.
A DCB Resolucin:
-
21Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
4. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "M", "O" y "R" tal que: AM = 10 m, AR = 50 m y "O" es
punto medio de MR . Hallar "AO".
Resolucin:
5. Si: PR = 17m, QS = 15m y PS = 24m, calcular QR.
P SRQ
Resolucin:
-
22
Operaciones con segmentos
Tercer Ao de Secundaria
Bloque I
1. Si AC =30 m; BD=50 m y AD=70 m, hallar "BC".
B C DA
a) 30 m b) 20 c) 10d) 5 e) 40
2. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos PQRS, talque "Q" es punto medio de PR . Si: PR=30 m y RS=10m, hallar "QS".
a) 12 m b) 15 c) 20d) 25 e) 18
3. En la figura hallar "TS + RP", si: SR = 10 m y TP = 37 m.
S R PT
a) 17 m b) 23 c) 25d) 27 e) 15
4. Si "O" es punto medio de MA y "P" es punto medio de
AB ; hallar "OP", tal que: MA=18 m y AB=20 m.
O A PM B
a) 15 m b) 17 c) 19d) 21 e) 25
5. Si: PU = 120 m, hallar "ER".
E R UP
3k 5k 2k
a) 50 m b) 60 c) 40d) 70 e) 30
Bloque II
1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P,Q, R y S, tal que: PR = 10 m, QS = 12 m y QR = 4 m.Calcular MN, siendo M y N puntos medios de PQy RS .
a) 13 m b) 14 c) 12d) 15 e) 11
2. Si: AD - AB = 20 m y "C" es punto medio de BD, hallar"CD".
A B C D
a) 7 m b) 8 c) 9d) 10 e) 12
3. En una recta se ubican los puntos consecutivos A,
B, C y D. Si C es punto medio de BD y ACBC = 1
2,
calcular CD; adems: AD = 12 m.
a) 2,4 m b) 3,5 c) 4d) 4,2 e) 4,8
4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C, D y E. Si se cumple que:
7DE
5CD
3BCAB === ; AE = 80m
calcular BD.
a) 30 m b) 40 c) 60d) 10 e) 20
5. Se tienen cuatro puntos consecutivos en una lnea recta:A, M, B y C, de modo que M es punto medio deAB . Si: AC + BC = 30m, hallar MC..
a) 10 m b) 12 c) 15d) 18 e) 13
Bloque III
1. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A,B, C y D; tal que: AC = 19m y BD = 23m. Calcularla longitud del segmento que une los puntos mediosde AB y CD .
2. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C y D, tal que B es punto medio de AD y AC = 5CD..
Calcular: BCAB
3. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos"A", "B", "C" y "D". Se cumple: AB = 3m, AC = 5m y4AB - BD - 2CD = 4m. Calcular "AD".
Pract iquemos
-
23Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA4. En una recta se dan los puntos consecutivos M, A,
O y B, siendo O punto medio de AB . CalcularMO, sabiendo que: (MA)(MB) = 32m2 y AB = 4m.
1. En la figura, calcular BC, si: AD = 10m, AC = 8m yBD = 7m.
A C DB
2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Calcular BC, si: AD = 12m, AC = 9m yBD = 8m.
3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B, C y D, de tal manera que: AD = 20m, AC = 18my BD = 15m. Calcular BC.
4. Si: AC = 12m, BD = 15m y AD = 20m, calcular BC.
A B DC
5. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12m y RT = 18m, calcularQS.
P Q SR T
6. Si: MN = 5u, NQ = 12m y NP = PQ, calcular MP.
M N QP
7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: AC = 24m, BD = 30m y BC = 15m.Calcular AD.
8. A y P son puntos medios de MN y NQ respec--tivamente, MN = 10m y MQ = 30m. Calcular AP.
M A PN Q
9. Si B y C son puntos medios de AC y AD , calcularAD.
A DB9 cm
C
10.Si: AB = 26 cm y CD = 6 cm, calcular MN.
A BC DM Na a b b
11.Si M y N son puntos medios de AC y CB , calcularAB.
A N MC B
a ba b
8 cm
12.En la figura, calcular MN, si M es punto medio dePQ , N es punto medio de QR y PR = 20m.
P Q N RM
13.En la figura, calcular (MO)2, si: MA = 2m y AB = 8m.Adems O es punto medio de AB .
M A O B
14.Calcular x
P RQ
48 cm
3x 9x
Tarea domiciliaria
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P,Q, R y S. Calcular PR, sabiendo que: QR = RS y(PS)2 - (PQ)2 = 12QS.
-
24
Operaciones con segmentos
Tercer Ao de Secundaria
15.Si M es punto medio de AC , calcular x..
A B M C
8m 12mx
16.Calcular x, si C es punto medio de BD.
A B C D
9m 2m
x
17.Si: AC + AB = 32 cm, calcular BC.
A CBx
20 cm
18.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C, D y E. Calcular BE, si: AB BC CD DE
2 3 5 7= = =
y AE = 85m.
19.Calcular PR, si: RQ - PR = 14 cm.
P QR
30 cm
20.Si: AD + AB = 20m y BC = CD, calcular AC.
A B DC
21.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: AB = BC y CD + AD = 18m.Calcular BD.
22.En la figura, calcular AM, si: AC + AB = 20m y M espunto medio de BC.
A M CB
23.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: CD = 4AC. Calcular BC, si:BD - 4AB = 30m.
24.Sean los puntos consecutivos A, B, C y D sobreuna recta, tal que: AB = BD = 4CD. Calcular CD, si:AD = 40m.
25.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Sabiendo que: AC = 30m y BD = 20m,calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de AB y CD.
26.En la figura, calcular MN, si: AC + BD = 30m, M espunto medio de AB y N es punto medio de CD.
A C DBM N
27.Sobre una recta se toman los puntos consecutivosS, O, L y A. Calcular SA, si: SL = 30m ySA + LA = 70m.
28.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos M,A y B, siendo O punto medio de AB . Calcular MO,,sabiendo que: MA = 18m y AB = 20m.
29.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B, C y D. Sabiendo que: AC = 20m y BD = 60m,calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de AB y CD.
30.A, B, C, D y E son puntos consecutivos tomadossobre una lnea recta, tal que C es punto medio deAE , AC = BD y AD + BE = 30m. Calcular BD..
-
25
Cap t u lo
CO
LEG
IO TRILCE
Organizacin Educativa TRILCE
4NGULOS
DEFINICIN
Es aquella figura geomtrica formada por la unin de dosrayos que tienen el mismo origen. La medida de un ngulose expresa en grados sexagesimales.
A
BO
Regin interior del ngulo AOB
a
ELEMENTOSLados: OA y OB
Vrtice: O
Notacinngulo AOB: R AOB BOA
Medida del ngulo AOB: m R AOB
m R AOB = a
Congruencia de ngulos
Dos ngulos son congruentes si tienen la misma medida.
A
BOa @
P
RQa
R AOB @ R PQR (los ngulos AOB y PQR son congruentes)m R AOB = m R PQR
Bisectriz de un ngulo
Es el rayo cuyo origen es el vrtice del ngulo y divide adicho ngulo en dos medidas iguales.
A
B
R
O aa
OR: Bisectriz del ngulo AOB
AOR= BOR
m AOR = m ROB
CLASIFICACIN DE NGULOS
Segn sus medidas
- NGULOS CONVEXOS
ngulo agudoCuando su medida es mayor que 0 y menor que 90.
a
0 < < 90a
ngulo rectoCuando su medida es igual a 90.
m AOB = 90
A
O B
ngulo obtusoCuando su medida es mayor que 90 y menor que 180.
a
90 < < 180a
-
26
ngulos
Tercer Ao de Secundaria
ngulo llanoCuando su medida es igual a 180.
a = 180
a
- NGULO NO CONVEXOCuando su medida es mayor que 180 y menor que360.
a
180 < < 360a
Segn la posicin de sus lados
ngulos adyacentesSon dos ngulos que tienen el mismo vrtice y ademsestn situados a distintos lados de un lado comn.
aq
A B
C
En el grfico, los ngulos AOB y BOC son adyacentes
O
- ngulos adyacentes suplementariosLos ngulos AOB y BOC son adyacentes.
A CO
B
ba
a + b = 180
ngulos consecutivos
a qwb
AB C D
E
En el grfico, los ngulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos
O
- ngulos consecutivos en un mismo semiplanoLos ngulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos.
A
C
O
B
ba
D
E
qg
a + b + q + g = 180
ngulos coplanares alrededor del vrtice
a + q w b + + = 360
aq
w
b
AB
C
D
O
ngulos opuestos por el vrtice
a = q
a q
-
27Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
1. Calcular el valor de "x".
A O
B
D
C
68 x
Resolucin:
2. Si: AOC = 165m ; hallar "b".
A
C
O
B
b64
Resolucin:
3. Calcular el valor de "q".
80120 q
Resolucin:
-
28
ngulos
Tercer Ao de Secundaria
4. En la figura hallar la PORm si OP es bisectriz del AOB y OR es bisectriz del BOC
AP
O
B
35
C
R
20
Resolucin:
5. Se tiene los ngulos adyacentes suplementarios AOB y BOC. Si: AOB = 140m ; hallar XOCm , siendoOX bisectriz del BOC.
Resolucin:
-
29Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
Bloque I
1. Hallar: m AOB
A
B C
DOa
a+50a+10
2. C a l c u l a r a
a
a+50a+30
a+40
3. Calcular x
3x -
20
x + 10
4. Si: m AOB = 40 y m AOC = 110; hallar: m AOR.
bb
B
R
C
A
O
Practiquemos5. Se tiene dos ngulos adyacentes suplementarios.
Calcular la medida del ngulo que forman susbisectrices.
Bloque II
1. Calcular la medida del ngulo formado por lasbisectrices de los ngulos consecutivos AOB y BOC, si:m AOC = 84.
2. Las medidas de dos ngulos estn en relacin de 2 a3. Si suman 70, calcular la medida del mayor.
3. Sean los ngulos adyacentes AOB y BOC, tales que lam BOC = 4m AOB y la m AOC = 50. Hallar lam BOC.
4. Hallar el valor de "x".
qq
100O a
a
N
M
x
5. En la figura, hallar: mCOM, si: mBOC - mAOC = 36.(OM: bisectriz del AOB)
BM
C
AO
-
30
ngulos
Tercer Ao de Secundaria
1. Calcular "x"
2x40
2. Calcular "x"
3x 2x
3. Calcular "x"
3x + 5 4x - 10
Bloque III
1. Si: m AOB - m BOC = 80; hallar: m MOB, ademsOM es bisectriz del ngulo AOC.
B
M
CO
A
2. La diferencia de las medidas de dos ngulosconsecutivos AOB y BOC es 60. Hallar m DOB, si:OD es bisectriz del ngulo AOC.
3. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y BOC, se trazael rayo OD bisectriz del ngulo AOB. Hallar m COD,,si: m AOC + m BOC = 140.
4. Se tiene los ngulos consecutivos AOB y BOC de talmanera que el ngulo AOB mide 42. Hallar la medidadel ngulo formado por las bisectrices de los ngulosAOC y BOC.
5. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y BOC, cuyasmedidas se diferencian en 50. Calcular la medida delngulo formado por la bisectriz del ngulo AOC y elrayo OB.
Tarea domiciliaria
4. Calcular x
2x + 152x - 1560
5. Calcular x
2x - 10 3x + 10
6. Calcular x
AB
Cx + 10
4x
-
31Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA7. Calcular la medida del ngulo que forman las bisectrices
de los ngulos POQ y QOR.
24 60P
QR
0
8. Calcular: m AOB
46
B C
A O D
9. Si: mAOB = 40 y mAOC = 110; hallar: mAOR.
A B
R
C
bb
0
10.Si: OM es bisectriz del BOC y BOC = 48m ; hallarlarAOMm .
AB
C
M20
11.Si: AOB=100m y BOC=40m ; hallar MONm .
A B
C
M
O
bb
a aN
12.Calcular "a"
5 - 20a4 - a q
a + q
13.Calcular "x", si: AOD=102m .
AB
C
DO
x - a xx + a
14.Si OB y OC son bisectrices de AOC y AODrespectivamente, hallar BOCm , si adems
AOD=60m .
O C
A
B
D
15.Hallar MOEm
B
C
A
O
M
D
E38
a a
16.Hallar el valor de "a + b".
a
3ab
3b120
-
32
ngulos
Tercer Ao de Secundaria
17.La diferencia de dos nglos adyacentes suplementarioses 60. Hallar el mayor ngulo.
18.Si: ROQ = 2m POQm y OM es bisectriz delQOR. Hallar POMm
O
PR
Q M
108
19.Si: AOC = 4(m AOB)m , hallar AOBm .
A
O
B
36C
20.C a l c u l a r x , s i : q = 18.
q2q
x
21.Sean los ngulos adyacentes AOB y BOC, tales que lam BOC = 4m AOB y la m AOC = 50. Hallar lam BOC.
22.Se tiene los ngulos consecutivos AOB y BOC.Si los ngulos AOC y BOC son suplementarios ym AOB = 80, hallar: m AOC.
23.Se tiene dos ngulos adyacentes. Calcular la medidadel ngulo que forman sus bisectrices, si la suma dedichos ngulos es 15.
24.Se tienen dos ngulos consecutivos AOB y BOC. Si set r a z a OD bisectriz del ngulo AOB, hallar: m COD..Adems: m AOC + m BOC = 160.
25.Se tiene tres ngulos consecutivos que forman un ngulollano y las bisectrices del primer y tercer ngulo forman140. Calcular la medida del segundo ngulo.
26.Calcular x, si: m AOC + m BOD = 140.
A B
C
D
x
27.Si: mAOC + mBOD = 230; calcular: mBOC.
B C
A O D
28.La diferencia de las medidas de dos ngulosconsecutivos AOB y BOC es 60. Hallar: m DOB, si:OD es bisectriz del ngulo AOC.
29.Los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD miden 25;45 y 75 respectivamente. Calcular la medida delngulo formado por las bisectrices de los ngulos AOCy BOD.
30.En el grfico OX es bisectriz del AOB y OY es bisectrizdel COD. Hallar: m AOC, si: m XOY = 90 ym BOD = 99.
A X B
C
YD
0
-
33
Cap t u lo
CO
LEG
IO TRILCE
Organizacin Educativa TRILCE
5REPASO
(EVALUACIN MENSUAL)
1. Los puntos "A", "B", "C" y "D" son colineales .Calcula el valor de "BC".
2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si AB=BC, AC=CD y AD=48 cm; calcular "BC".
Resolucin:
Resolucin:
-
34
Repaso (evaluacin mensual)
Tercer Ao de Secundaria
3. Si OM es bisectrz del ngulo AOC, calcula la medida del ngulo "x".
4. S e t i e n e n l o s n g u l o s c o n s e c u t i v o s P O Q , Q O R y R O S d e m o d o q u e : m POR=mROS y mQOS - mPOQ= 56.Hallar mQOR.
5. Si el tringulo ABC es equiltero , calcula el ngulo "x".
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
-
35Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
Practiquemos
Bloque I
1. Si "M" es punto medio de AC , Calcular "BM".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. En AC se ubica el punto "B", tal que: BC - AB=16.
Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC .
a) 4 b) 6 c) 8d) 9 e) 10
3. Sean los puntos colineales "A", "B" y "C". Si: "M" espunto medio de BC , MC=2 y AM=9; calcular "AB".
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
4. Si la mAOB=100, mBOC=40 ; OM y ON sonbisectrices de los ngulos AOB y BOC respectivamente,calcula la medida del ngulo "x".
a) 60 b) 65 c) 70d) 75 e) 80
5. El tringulo FEA es equiltero y AB=BC. Calcular lamedida del ngulo "x"
A CE
F
xB
20
a) 75 b) 80 c) 100d) 120 e) 130
Bloque II
1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "M","A" y "B", siendo "O" punto medio de AB . Calcular"MO", sabiendo que: MA=13 cm y AB=20 cm.
a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24
2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A","B", "C" y "D", tal que: "B" es punto medio de AD yAC=5(CD) .
Calcular: BCCD
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Calcula la medida del ngulo BOC, si: mAOC=120 ymBOD=150.
A
BC
D
150
120
O
a) 53 b) 60 c) 75d) 80 e) 90
4. Sean los ngulos consecutivos AOB y BOC, siendo lamAOB = 7mBOC. Calcular la medida del ngulo AOC,si: OM es bisectrz del ngulo AOC y mMOB=60.
a) 130 b) 140 c) 150d) 160 e) 170
5. En la figura, AB=BC. Calcular la medida del ngulo "x".
B
CA
30100
x
a) 45 b) 53 c) 60d) 70 e) 80
-
36
Repaso (evaluacin mensual)
Tercer Ao de Secundaria
Tarea domiciliaria
Bloque III
1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos"A", "B", "C" y "D", tal que: CD=5(AC). Hallar "BC", si:BD - 5AB = 30.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos "A", "B","C" y "D", tal que: BC = AB + 1 y CD = AB - 3. Calcular"AD", si "AB" toma su mnimo valor entero.
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
3. Calcular la medida del ngulo "x".
a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 40
4. En un tringulo DEF se traza ER ( R est en DF ), detal manera que ER=RF. Hallar la medida del nguloDEF, sabiendo que: mDER - mEDF = 30.
a) 90 b) 100 c) 105d) 110 e) 120
5. En la figura DE = EF. Calcular "x".
A B
E C
D
Fx
100
50f
f
a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 40
1. Calcular x
80x
2. Calcular q
110
q aa
3. Calcular q
q+10q
q+10
4 q
q
4. Hallar: m AOM, si: OM es bisectriz del BOC.
O
A
B
M
C
30
20
5. Calcular x
x 2xx+30
110 100
-
37Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA6. Calcula la medida del ngulo "x".
A O D
B
C
x68
7. En la figura, calcular x
120
2x 5x
8. Segn el grfico, calcular el valor de x, si:a + b = 120.
a b
x 2x
9. Si el tringulo ABC es equiltero y BM=MC, calcula "x".
B
A C
Mx
10.Hallar: m ARC, si: m ABC = 60.
A
B
R
C
2ww2a
a
11.Hallar: m ABC
A
B
x 99
2x
C
12.Dado el tringulo equiltero ABC, levante por "C" unaperpendicular al lado AC tal como CF , de modo queAC=FC. Calcular la medida del ngulo BAF .
13.Calcular x + y
70
80x
y
14.Hallar: m ABC
A C
B
x+2
0
x+10 70
15.Hallar: m ABCsi: AB = BD = DC y m BDC = 140
A
B
CD
16.Calcular a
4 + 20a 3 + 50a
17.Calcular "x", si OC es bisectriz del BOD.
A O D
B C
x50
-
38
Repaso (evaluacin mensual)
Tercer Ao de Secundaria
18.Calcular x
x 2x5x 3x
4x
19.El complemento de x es 30. Calcular 2x.
20.Calcular x
34
4x
21.Si: m AOB = 30 y m BOC = 120; hallar: m XOY.
AX
YC
Oa
b b a
B
22.En una lnea recta se ubican los puntos conse-cutivos "A", "B", "C" y "D", Si: AB = 12m, BC = 8m yCD = 2AB - CD, calcular la longitud del segmento queune los puntos medios de AB y CD.
23.En una lnea recta se ubican los puntos consecutivos"A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 8m y BD = 10m.Calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de AB y CD.
24.Sobre una recta se ubican los puntos "A", "B" y "C"consecutivos, tal que: AC - AB = 10m, luego se ubica elpunto medio "M" de BC. Calcular "BM".
25.En una lnea recta se ubican los puntos consecutivos"A", "B", "M" y "C", siendo "M" punto medio de AC ,adems: BC - AB = 6m. Calcular "BM".
26.Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivos:"A", "B", "C" y "D", tal que: AB BC CD
4 5 3= = y
AD = 240 m. Calcular "BC".
27.El suplemento de un ngulo es el triple de sucomplemento. Calcular el valor del ngulo.
28.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A","B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 10m yAD + CD = 30m.
29.Se tienen los ngulos consecutivos: AOB, BOC y CODde modo que: m AOC = m COD. Hallar la m BOC,si: m BOD - m AOB = 48.
30.Sean los ngulos adyacentes AOB y BOC; tales que:m BOC = 4m AOB y la m AOC = 50, hallar:m AOB.
-
39
Cap t u lo
CO
LEG
IO TRILCE
Organizacin Educativa TRILCE
6NGULOS DETERMINADOS PORDOS RECTAS PARALELAS Y UNA
SECANTE A ELLAS
RECTAS PARALELAS
Veamos algunas nociones de paralelismo de rectas.
Cul es la ubicacin de las cuerdas en un arpa?
Cul es la disposicin de los surcos de un sembro parasu irrigacin?
DEFINICIN
Se denomina as a dos rectas ubicadas en un mismo planoy que no se intersecan.
L1
L2
NOTACIN: L1 L2
Se lee: la recta L1 es paralela a la recta L2
NGULOS EN DOS RECTAS PARALELAS L1 L2 Y
UNA RECTA SECANTE LS A AMBAS
L S
L 2
L 11
11
122
22
I. NGULOS EN ALTERNOS INTERNOS (Sus medidas son iguales)
L1 L2
L1
L2
L1
L2
Ejemplos:
1. Si las rectas "m" y "n" son paralelas; calcular el ngulo"x".
Resolucin:
3x - 5 = 40 ..........( Alternos Internos )3x = 40 + 5x = 45/3
\ x = 15
2. Si L1 L2 ; Calcular el ngulo "x".
L1
L2
Resolucin
2x - 3 = 55 ..........( Alternos Internos )2x = 55 + 3x = 58/2
\ x = 29
II.NGULOS CORRESPONDIENTES(Ambos tienen igual medida)
L1 L2
f
fL1
L2a
a
(USO DEL COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO)
-
40
ngulos en paralelIsmo de rectas
Tercer Ao de Secundaria
f
fL1
L2 a
a
Ejemplos:
3. Si las rectas "m" y "n" son paralelas, encuentra el ngulo"x".
m
n
80
3x+5
Resolucin:
3x + 5 = 80 .......... ( ngulos Correspondientes )3x = 80 - 5x = 75/3
\ x = 25
4. Si: L1 L2 ; calcular el ngulo "x".
L1
L2
130
5x + 30
Resolucin:
5x + 30 = 130........ (ngulos Correspondientes)5x = 130 - 30x = 100/5
\ x = 20
5. Si: m // n , calcular el ngulo "x".
m
n56
x
Resolucin:
m
n
56
56
x
x + 56 = 180.....(par lineal)x = 180 - 56\ x = 124
III. NGULOS CONJUGADOS INTERNOS(sus medidas suman 180)
L1 L2
a
b
L1
L2
a + b = 180
f
q
L1
L2
q + f = 180
Ejemplos:
1. S i : L1 L2 ; calcular el ngulo "x".
L1
L2
Resolucin:
L1
L2
2x + 130 = 180 ......(Conjugados Internos)2x = 180 - 130
=
50x2
\ x = 25
-
41Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
2. Si: L1 L2 ; calcular el ngulo "x".
150
2x + 10
L1
L2
Resolucin:
L1
L2
150 + 2x + 10 = 180 ... (Conjugados internos)2x = 180 - 160
=
20x2
\ x = 10
NGULOS COMPLEMENTARIOS
Son dos ngulos cuya suma de sus medidas es igual a 90.
EL COMPLEMENTO C(x) DE UN NGULO "x"
C(x) = 90 - x
Ejemplos:
C(37) = 90 - 37= 53
C( 60) = 90 - 60= 30
C(10) = 90 - 10= 80
NGULOS SUPLEMENTARIOS
Son dos ngulos cuya suma de sus medidas es igual a180.
EL SUPLEMENTO S(x) DE UN NGULO "x"
S(x) = 180 - x
Ejemplos:
S(135)= 180 - 135= 45
S(120)= 180 - 120= 60
S(80) = 180 - 80= 100
-
42
ngulos en paralelIsmo de rectas
Tercer Ao de Secundaria
1. Si el complemento de la medida de un ngulo es igual a 30. Encuentra la medida de dicho ngulo.
2. Si el suplemento de la medida de un ngulo es igual a 50. Halla la medida de dicho ngulo.
3. Si la medida de un ngulo es el doble de su complemento. Cul es la medida del ngulo ?
4. Si L1 L2 ; calcular el ngulo "x".
116
2x
L1
L2
5. Si: m // n ; calcular "x".
1202x + 20n
m
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
-
43Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
Bloque I
1. Si: a // b ; calcular el ngulo "x".
a
b
153
3x
a) 7 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
2. En la figura calcular "x", si: m // n .
n
m x + 16
42 - x
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
3. Si: m // n , calcular el ngulo "x".
m
n
3x - 1
71
a) 18 b) 20 c) 22d) 23 e) 24
4. Calcular la medida de un ngulo cuyo suplemento ycomplemento suman 210 .
a) 25 b) 30 c) 37d) 45 e) 53
5. Si el suplemento de un ngulo es el triple de la medidade su complemento, calcular la medida de dicho ngulo.
a) 25 b) 30 c) 35d) 40 e) 45
Bloque II
1. Si: a // b , calcular el ngulo "x".
a
b26
44x
a) 60 b) 70 c) 72d) 74 e) 80
2. Si: m // n , calcular "x".
m
n
40
x
a) 46 b) 50 c) 54d) 60 e) 70
3. En la figura calcular "x", si: m // n .
n
mx
40
100
a) 37 b) 45 c) 54d) 60 e) 75
4. En la figura calcular "x", si: m // n .
m
n
30
40
a+20x
a+10
a) 60 b) 65 C) 70d) 75 e) 80
Pract iquemos
-
44
ngulos en paralelIsmo de rectas
Tercer Ao de Secundaria
5. Cul es la diferencia entre el suplemento y elcomplemento de un ngulo cualquiera?
a) 80 b) 90 c) 100d) 120 e) 135
Bloque III
1. En la figura, si: a // b , calcular "x".
130a
b
110
x
a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30
2. En la figura mostrada, hallar "x".
2050
x
a) 45 b) 50 c) 53d) 60 e) 70
3. Calcular "x", si: a b c .
ab
cx
68
ff
a) 130 b) 136 c) 140d) 146 e) 152
4. Calcular "x", si: a // b .
a
b
60
160
x
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
5. Si: a // b y la medida del ngulo ABC es agudo, calcularel menor valor entero impar de "x".
a
bC
D
E
BA
mmnn
a) 43 b) 44 c) 45d) 46 e) 47
-
45Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
Tarea domiciliaria
1. Si: L // L ,21 calcular x..
80
115
x
L1
L2
2. Si: L // L21 , hallar: m AOB..
50
110B
L1
L2
O
A
3. Si: L // L21 , calcular x..
L1
L2
x
140
4. Si: AB // CD , calcular x..
A
B
Cx
3075
144
D
5. Si: L // L21 , calcular x..
L1
L2
41673236 x
6. Calcular: a + b, si: L // L21 .
L1
L2
120 35
150
ab
7. Si: L // L21 y L // L43 , calcular a + b..
L1 L2L3
L4
ab
8. Si: AB // FG , calcular x..
60
80
x
A
F
B
G
9. Calcular x, si: L // L21 .
L1
L2
100120
x
10.Si: L // L21 y a + b = 160, calcular x..
L1
L2
x
60
b
a
-
46
ngulos en paralelIsmo de rectas
Tercer Ao de Secundaria
11.Si: L // L21 , calcular x..
L1
L2
8 q
2 qq
9x
12.Si: L // L21 , calcular a..
4a1603a2a
a
L1
L2
13.En el grfico: L // L21 y w - q = 130, calcular x..
L1
L2
q
xw
14.En la figura mostrada: L // L21 , calcular a..
L1
L2
aa
a
15.En la figura: b - a = 75, L // L43 , L // L21 , calcular:x.
L1
L2
ax
b
L3 L4
16.Si: m AOB = 90 y L // L21 , calcular a..
L1
L2
5 + 10a
a
A
B
O
17.Calcular x, si: L // L21 .
L1
L2
100
x
40
60
80
18.Calcular x, si: L // L21 .
L1
L2
a 130
110x
a
b
b
19.Calcular a, si: L // L21 .
L1
L2
1302a
150
20.Calcular a, si: L // L21 .
L1
L2
1402a
150
-
47Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
21.Calcular x, si: L // L21 .
L1
L2
50
2x
22.Calcular x, si: m // n y p // q .
a
50m n
xa
q q p
q
23.Calcular a, si: yL // L21 L // L43 .
3a
a
q
L3 L4
L1
L2q
24.En la figura: L // L21 L // L43y . Calcular q - a..
L2
138L1
L3
L4
q
a
25.En la figura calcular x, si: BC = CE = BE.
B
A
C
DE
2xx
aa 36
26.En la figura: L // L ,21 calcular x..
L1
2q114
x
q 2bb
L2
27.Del grfico: L // L21 y a + b = 160. Calcular x..
L2
a x
b
L1
28.Calcular x, si: L // L21 .
L2
2q
2bx
q
b
L1
29.En la figura, calcular x, si: L // L21 .
45
xL1
L2
2a a
-
49
Cap t u lo
CO
LEG
IO TRILCE
Organizacin Educativa TRILCE
7OTROS SISTEMAS PARA
LA MEDICIN DENGULOS
En las medidas de longitud podemos encontrarms de un sistema como se muestra en elgrfico.
De igual manera en las medidas angularespodemos encontrar ms de un sistema demedicin angular. El sistema que usamos enlos captulos anteriores es el sistemasexagesimal (S).
INTRODUCCIN
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
Los sistemas de medidas angulares ms usados son tres:SEXAGESIMAL, CENTESIMAL y RADIAL.
1. Medida en grados sexagesimales
Es el sistema ms utilizado, que definimos al ngulode una vuelta como aquel ngulo cuya medida es 360(1: Grado sexagesimal).
Donde: 1 : Minuto sexagesimal1 : Segundo sexagesimal
2. Medida en grados centesimales
En este sistema definimos al ngulo de una vuelta cuyamedida es 400g (1g: Grado centesimal).
Donde: 1m : Minuto centesimal1s : Segundo centesimal
3. Medida en radianes
Consideremos un ngulo que mide q y dibujemosuna circunferencia de radio que mide r y el vrticedel ngulo en su centro O, sea adems L la longituddel arco de la circunferencia que se genera.
rq
O
LLa medida de un nguloen radianes (nmero de radianes) viene expresado por:
rq = L
R
Es decir, podemos definir un ngulo de un radin (1.rad)como el ngulo central que subtiende un arco cuyalongitud es igual a la del radio.
La medida de un ngulo de una vuelta es 2prad.
Observaciones
i)
O 360 400 2 Radg p
ii)
O
180 < > 200 < > radg p
5,58 pies 1,70 m 66,95 pulg
-
50
Otros sistemas para la medicin de ngulos
Tercer Ao de Secundaria
iii)
O
90 < > 100 g
1. Expresar en el sistema radial: 24Resolucin:
2. Expresar en el sistema centesimal: 36Resolucin:
3. Expresar en el sistema sexagesimal: p36 radResolucin:
4. Expresar en el sistema sexagesimal: rad4p
Resolucin:
5. Expresar en el sistema sexagesimal: 70g
Resolucin:
iv)
O9 < > 10 g
-
51Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
Bloque I
1. Si se convierte 20 al sistema radial, se obtiene:
2. Al convertir 36 al sistema circular, se obtiene:
3. Al convertir 3p rad al sistema sexagesimal, se obtiene:
4. Al convertir 60 al sistema centesimal, se obtiene:
5. Hallar "x"
36
xg
Pract iquemosBloque II
1. Hallar "x"
O
p12 Rad
5x
2. Hallar "x"Si: AB=BC
A
B
C
xg
70
3. En el grfico: AB= BC. Hallar "a".
A
B
C
p3
Rad
4a
4. Hallar "x"
20g
x
-
52
Otros sistemas para la medicin de ngulos
Tercer Ao de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Convertir 60g al sistema radial.
2. Convertir 40p rad al sistema centesimal.
3. Convertir 72 al sistema centesimal.
4. Convertir 45 al sistema radial.
5. Convertir 10 al sistema radial.
6. Convertir 80 al sistema radial.
7. Convertir rad8p al sistema centesimal.
8. Convertir rad6p al sistema centesimal.
9. Convertir rad9p al sistema sexagesimal.
10.Convertir 40 al sistema radial.
11.Convertir 50g al sistema centesimal.
12.Convertir 20 al sistema radial.
13.Convertir 70 al sistema centesimal.
14.Convertir 40g al sistema radial.
15.Calcular x, si:
(8x + 6) = 310
prad
16.Calcular x, si se cumple: (7x + 5) = 10(x - 1)g
17.Calcular x, si: 3(x + 5) = x rad30
p
18.Hallar la medida de un ngulo interior de un tringuloequiltero en el sistema centesimal.
19.Calcular m, sabiendo que:(5m - 2) = (6m - 4)g
20.Expresar en el sistema radial: 20
21.Expresar en el sistema radial: 40 y 60
5. Hallar f
40 g
p3
frad
Bloque III
1. Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo miden(17x + 2) y 20(x + 1)g. Calcular x.
2. Calcular:
gE rad 504p
= +
en el sistema sexagesimal.
3. Calcular:
gF 40 rad12p
= +
en el sistema sexagesimal.
4. Las medidas de dos ngulos complementarios sediferencian en rad5
p . Determinar la medida del mayor,,en sexagesimales.
5. Las medidas de los ngulos de un tringulo sonproporcionales a 3; 5 y 7. Determinar la medida delmenor en radianes.
-
53Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA22.Al convertir 36 al sistema radial se obtiene:
23.Expresar en el sistema sexagesimal: 30g
24.Las medidas de dos ngulos de un tringulo suman130g. Determinar el complemento del tercero.
25.Los ngulos internos de un tringulo miden:
(14x), g20 x y
3 3p
rad
Calcular x.
26.La suma de las medidas de dos ngulos es igual a 54y la diferencia de las mismas es igual a
10p rad. Indicar
la medida del mayor ngulo en sexagesimales.
27.El mayor ngulo agudo de un tringulo rectngulo mide25p rad, indicar la medida del menor ngulo en
sexagesimales.
28.Las medidas de dos de los ngulos de un tringulo son512
p y 55, indicar la medida del tercer ngulo ensexagesimales.
29.El doble del nmero de grados sexagesimalesdisminuido en el nmero de grados centesimales delmismo ngulo es igual a 120. Determinar la medida enradianes de dicho ngulo.
30.El nmero de grados centesimales excede en 6 unidadesal nmero de grados sexagesimales del mismo ngulo,indicar la medida radial de dicho ngulo.
-
55
Cap t u lo
CO
LEG
IO TRILCE
Organizacin Educativa TRILCE
8REPASO
B I M E S T R A L
1. Hallar: m AOD, si OD es bisectriz del ngulo COE.
40A
BC
D
EO
2. Si: L1// L2 y el ABC es equiltero, calcular x..
L1
L2
A
B
C
x
160
3. Calcular a, si: AB = CD.
A
B
CD
12a
2
2
a
a
8a
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
-
56
Repaso bimestral
Tercer Ao de Secundaria
4. Calcular x
Resolucin:
A
B
C
I
x
40
qq
aa
5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 48 y el complemento de 32.Resolucin:
6. El equivalente de 54 en el sistema radial es:Resolucin:
7. En un tringulo los ngulos interiores miden: 160g; 10p rad y "x". Calcular x..
Resolucin:
8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, de tal forma que: BC - AB = 12m. CalcularBP, siendo P punto medio de MN ; M y N puntos medios de AB y BC respectivamente.Resolucin:
-
57Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
Practiquemos
9. Se tiene los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD. Hallar la medida del ngulo formado por las bisectricesde los ngulos AOB y COD, si: m AOC = m BOD = 72.Resolucin:
10.Se tiene los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ngulos AOC y AOB son complementarios, ym AOD + m AOB = 130. Hallar: m DOC.Resolucin:
Bloque I
1. Si: L1 // L2 , calcular "x".
L1
L2
100
150x
a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 20
2. Si: L1 // L2 , calcular x..
L1
L2
2qq
x
2aa
a) 50 b) 60 c) 80d) 100 e) 120
-
58
Repaso bimestral
Tercer Ao de Secundaria
3. Si: L1 // L2 , calcular x..
L1
L2
2x
4x
a) 15 b) 20 c) 30d) 45 e) 60
4. En la figura: L1 // L2 , calcular x..
L1
L2
x3x
4x7x
a) 10 b) 12 c) 15d) 16 e) 18
5. Si: L1 // L2 , calcular x..
L1
L2120
2x
x
a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60
Bloque II
1. Sabiendo que: 63 (a + 2)(b - 2)g, calcular:
3 ba2E -=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. En la figura adjunta AB , CD y EF son paralelas,m FEB = 65 y m EBD = 25. Hallar: m CDB..
A B
C D
E F
a) 130 b) 140 c) 150d) 160 e) 170
3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P,X, Q, R y S. Sabiendo que X es punto medio dePR y:
22
2894)PR()RS)(PS( m=+
calcular XS.
a) 11m b) 13m c) 15md) 17m e) 19m
4. Dado el par lineal AOB y BOC, se trazan las bisectricesOM y ON de los ngulos AON y BOC respectivamente.Si: m MOB = 60, hallar: m MOC.
a) 120 b) 80 c) 100d) 90 e) 70
5. Dados los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD.Calcular el suplemento de la medida del ngulo AOD,sabiendo que los ngulos AOC y BOD son suple-mentarios, m DOC = 2(m AOB) y m BOC = 42.
a) 21 b) 36 c) 42d) 34 e) 28
-
59Organizacin Educativa TRILCE
GEOMETRA
Tarea domiciliaria1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,
B, C y D. Calcular BC, si: AD = 25m, AC = 20m yBD = 21m.
2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivosK, L, M y N. Calcular KN, si: KM = 20m,KN + MN = 120m.
3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, se ubica M y N puntos mediosde AB y CD respectivamente. Calcular MN, si:AC + BD = 100m.
4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: CD = 4AC. Calcular BC, si:BD - 4AB = 80m.
5. Sobre una recta se ubican los puntos A, B y Cconsecutivos. Sea M punto medio de AB ; N puntomedio de BC y P punto medio de MN. Calcular BP,,si: BC - AB = 24m.
6. Si: OM es bisectriz, calcular x..
A
M
B
O x + 102x
7. Calcular x
8268x
8. Si: L // L21 , calcular a..
15 - 20a
2 + 30a
L1
L2
9. Si el complemento de x es igual a 4x, calcular x.
10.Calcular a
70150
a
11.Si: L // L21 , calcular x..
x
110
L1
L2
12.Si: L // L21 , calcular x..
35
25
xL1 L2
13.En la figura, calcular x, si: L // L21 .
5x
x
L1
L2
14.Calcular x en la figura, si: L // L21 .
L1
L2
x150-2a
8a+10
a+20
-
60
Repaso bimestral
Tercer Ao de Secundaria
15.Calcular a, si: L // L21 .
L1
L2
3 + 12a2 + 9a
3 - 5a4 + 12a
a
16.Calcular x, si: a + b = 235. Adems: L // L21 .
L1
L2
3x
a
b
2x
17.En la figura: L // L21 , calcular a..
L1
L2
a
aa
18.Se tienen dos ngulos suplementarios, siendo uno deellos el triple del otro. Calcular la diferencia entre ellos.
19.El suplemento del complemento de un ngulo que mideq y el complemento de 3q suman 130. Hallar elcomplemento de q.
20.Convertir 50 al sistema centesimal.
21.Convertir 10g al sistema sexagesimal.
22.Hallar a - b, si: ab0 = (a b)0+
g
23.Calcular a, si: o g
2a (a 4)0= -
24.Calcular a + b, si: ab = 369 .
25.Convertir 20g al sistema radial.
26.Calcular x
x
x+20 x-26
27.Calcular q
q +30
2 q 18
28.Calcular x
110
70x
29.En la figura, calcular el valor de (x - y).
xy
58
aa
qwq
w
30.En la figura mostrada, calcular q, si: AB = BD.
A D C
B45
30q
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