taller de geometria del espacio - bloque ii -iii

Montalvo Tordocillo, Dámaris Durand Vite , JosueTorres Gamarra, MichelleValdivia Lima , Aaron

EQUIPO :

5CMg. Valentin Contreras

12

9O Q

P

X

H H

X13

5

O

P

Q

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

132 = 𝐴2 + 52

𝑋2 = 169 − 25 = 144

𝑋 = 144 = 12

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

𝑋2 = 122 + 92

𝑋2 = 144 + 81 = 225

𝑋 = 225 = 15

Aplicamos PitágorasAplicamos Pitágoras

12

Bloque II

Respuesta : El valor de x es 15 Respuesta : El valor de x es 12

OQ

P

XH H

XO

P

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

252 = 242 + 𝑋2

𝑋2 = 625 − 576 = 49

𝑋 = 49 = 7

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

172 = 82 + 𝑋2

𝑋2 = 289 − 64 = 225

𝑋 = 225 = 15

178

2524

Aplicamos PitágorasAplicamos Pitágoras

4

5 Bloque II

Respuesta : El valor de x es 15 Respuesta : El valor de x es 7

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

𝑋2 = 92 + 122

𝑋2 = 51 + 144 = 225

𝑋 = 225 = 15

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

𝑋2 = 62 + 82

𝑋2 = 36 + 64 = 100

𝑋 = 100 = 10

H

6X

8

O

B

A

37

53

Hallamos el Área

𝐴 =𝑏. ℎ

2

𝐴 =𝑏. 6

2𝐴 = 𝑏. 6 = 48

b=8

H

8 X

15

Q

P

A

12

9

B

Hallamos el Área 1 Hallamos el Área 2

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

𝑋2 = 82 + 152

𝑋2 = 64 + 225 = 289

𝑋 = 289 = 17

56

Bloque II

Respuesta : El valor de x es 17Respuesta : El valor de x es 10

7Bloque II

H A

P

Q

X

8B

6

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

𝑦2 = 62 + 82

𝑦2 = 36 + 64 = 100

y= 100 = 10

Por Pitágoras

𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

6762 = 𝑋2 + 102

𝑋2 = 676 − 100 = 576

𝑋 = 576 = 24

Por Pitágoras

Respuesta : El valor de x es24

B

AQ

y

37°

6

En el triángulo QAB :

y = 6 csc 37°y = 6 (5/3)y = 10 cm

P

z30°

Por teorema de las tres perpendiculares, en el triángulo PAB se da que A=90°

z = 6 csc 30°z = 6 (2)z = 12 cm

Finalmente, en el triángulo PQB:

P

BQ

12

10

X= 144 − 100

X= 44

X= 2 11 cmx

8

Bloque II

Respuesta : El valor de x es X=2 11

A B

P

H

15

Q

AB

X

60

30

12

53

37

9𝐾 3=12

𝐾 =12

3

𝐾=4 3

60°

30

K

2K

𝐾 3

2𝐾 =2(4 3)

X=8 3

9

Por Pitágoras

ANALIZAMOS EL TRIÁNGULO NOTABLE

Bloque II

Respuesta : El valor de x es X=8 3

Tomamos el triángulo PQB

Respuesta:

10

53

45

45

45

P

Q B

K 𝟐K

K

Aplicamos triángulos notables

K 𝟐 = 8

K= 8 . 𝟐

𝟐 . 𝟐

K= 8 𝟐2

8

K= 8 𝟐2

K= 8 𝟐2

Tomamos el triángulo PQA

37

53

P

Q A

5K4K

3K


4K= 8 𝟐2

X

K= 8 𝟐2

K= 8 𝟐8

K= 𝟐

5K = 5 𝟐

X= 5 𝟐

X= 5 𝟐

Piden 5k puesto que la “x” se encuentra en ese lugar

Bloque II

Tomamos el triángulo QAB

Respuesta:

11

45

45

Q

A B

K 𝟐4


K 𝟐

K= 4 𝟐

Tomamos el triángulo PQB

37

53

P

Q B

4

Aplicamos Pitágoras

𝒙𝟐= 𝟒𝟐+(4 𝟐)𝟐

X

x = 2 𝟏𝟐

4

4

4

K=

4K=

4 𝟐

4 𝟐

𝒙𝟐= 𝟏𝟔 + (16x2)𝒙𝟐= 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐

x = 𝟒𝟐

x = 2 𝟏𝟐

Bloque II

Tomamos el triángulo ABE

Respuesta:

12

B E

4

Por dato (triángulo

equilátero)

Tomamos el triángulo ABM

30

60

B

M AK


𝒙𝟐= 𝟐𝟐+(2 𝟑)𝟐

Xx = 4

4

2

2

4

K 𝟑

𝒙𝟐= 𝟒+ (4x3)𝒙𝟐= 𝟒 + 𝟏𝟐

x = 𝟏𝟔

x = 4

2

4

A

4

60

60 60

2K

4

2K = 4K = 2

K 𝟑 = 2 𝟑

Tomamos el triángulo PBM

30

60

P

B M2 𝟑

2

Bloque II

Respuesta:

Bloque 213

x = 10


𝒙𝟐= 𝟖𝟐+𝟔 𝟐

x = 10

𝒙𝟐= 𝟔𝟒+ 36𝒙𝟐= 𝟏𝟎𝟎

x = 𝟏𝟎𝟎

14

Tomamos el triángulo ABF


53

37

P

Q A

5K

4K

3KX

X = 15

4K = 12K = 3

5K = 5(3)

Respuesta:

x = 15

Tomamos el cuadrado AEFQ

Respuesta:

15

A E

6

Por dato (triángulo

equilátero)


𝒙𝟐= 𝟔𝟐+6 𝟐

X

x = 2 𝟔

6

𝒙𝟐= 𝟑𝟔+ 36𝒙𝟐= 𝟕𝟐

x = 𝟕𝟐

B

6

60

60 60

Tomamos el triángulo BEF

B

E F6

6

A

E F

Q6

6

6

6

Tomamos el triángulo ABE

x = 2 𝟔

Bloque II

Tomamos el triángulo AFE

Respuesta:

16

A B

5

Por dato es un triángulo

equilátero


𝒙𝟐= 𝟓𝟐+5 𝟐

X

x =5 𝟐

5

𝒙𝟐= 𝟐𝟓 + 25𝒙𝟐= 𝟓𝟎

x = 𝟓𝟎

F

5

60

60 60

Tomamos el triángulo EBF

E

B F5

5

5

5

5

5

x =5 𝟐

Bloque II

Respuesta:

Bloque II17


𝒙𝟐= 𝟓𝟐+12 𝟐

X

x = 13

𝒙𝟐= 𝟐𝟓 + 144𝒙𝟐= 𝟏𝟔𝟗

x = 𝟏𝟔𝟗

x = 13

Tomamos el triángulo ABMB

MA12

12- 7 = 5

M

Respuesta:

Bloque II18

Tomamos el triángulo AOB

A

O B9


𝒙𝟐= 𝟏𝟐𝟐+9 𝟐X

x = 15

12

𝒙𝟐= 𝟏𝟒𝟒+ 81𝒙𝟐= 22𝟓

x = 𝟐𝟐𝟓

x = 15

9

A

B

O

17

15

x

H

172

= x + 152 2

289 - 225 = x2

64 = x

8 = x

Por Pitágoras tenemos que:

RESPUESTA : El valor de x es 8

19Bloque II

Ya que la proyección de 𝐴𝐵 sobre

el plano H forman un ángulo rectoen unión a cualquier otro punto delplano.

A

BO

1213

x

H

132

= x + 122 2

169 - 144 = x2

25 = x

5 = x


RESPUESTA : El valor de X ES 5

20

Bloque II

Es perpendicular la proyección de 𝐴𝐵sobre el plano H forman un ángulo rectoen unión a cualquier otro punto delplano.

A

BO

12X

H

=12 2k

= k 3x

60o

=6 k

= 6 3x

Por triángulos notables notamos que:

Entonces:

RESPUESTA : El valor de K es 6 3

21

Bloque II

Perpendicular porque la proyección de 𝐴𝐵 sobre el plano H forman un ángulo rectoen unión a cualquier otro punto delplano.

A

BO

16X

H

=16 4k

= 5kx

53o

=4 k

= 20x


Entonces:

RESPUESTA : El valor de X es 20

22Bloque II

Se sabe que es perpendicular porque la proyección de 𝐴𝐵 sobre el plano H forman un ángulo rectoen unión a cualquier otro punto delplano.

A

BO 8

X

H

=8 4k

= 5kx

37o

=2 k

= 10x


Entonces:

53o

23Bloque II

Perpendicular porque la proyección de 𝐴𝐵 sobre el plano H forman un ángulo rectoen unión a cualquier otro punto delplano.

RESPUESTA : El valor de X ES 10

H

A

B

Q

15

=

=

k

12

15 5m

=3 m

=

2kx


Entonces:

60o53o

E

m

X

k 3

12 13

3

=k 4 3

Por lo tanto:

=

2(4 3)x =

8 3x =

24

Bloque II

RESPUESTA : El valor de X ES 8 3

Es 90° porque dice que AE es perpendicular al plano. Al realizar algunos trazos formamos un triángulo notable.

H

A

B

Q

9

=

k

12

=

2kx


Entonces:

60o

O

15 X

k 3

12 13

3

=k 4 3

Por lo tanto:

=

2(4 3)x =

8 3x =

152

= m + 92 2

225 - 81 = m2

144 = m

12 = m

m

25

Bloque II

8 3

RESPUESTA : El valor de X ES 8 3

H

A

B

E

9

3k =

5kx

Por triángulos notables tenemos que:

Entonces:

45o

D

X

12 6

Por lo tanto:

=

20 6x =

12 12 =

m

2m

m

37o

=12 12 2

2

m=6 ∗ 2 6

m=12 6

k = 4 6

26

Bloque II

RESPUESTA : El valor de X es 20 6

3k =

5kx


Entonces:

=

k = 4

H

Q

12

X37o

12

20x =

27

Bloque II

53°RESPUESTA : El valor de X es 20

28

Analizamos el triángulo

BE

A

37 °

53°

X12

12= 4k3= k

ENTONCES: remplazamos

X = 5k5 k = 5 (3)

x=15


Bloque II

29 APLICAMOS EL TEOREMA

DE TALES

𝑿

𝟗

𝟖

𝟏𝟐=

=12X 72

X 6=


Bloque II

30

APLICAMOS EL TEOREMA

DE TALES

𝟏𝟔

𝟏𝟖

𝑿

𝟗=

144 = 18X

8 = X


Bloque II

31


DE TALES

(𝒙−𝟒)

𝟒

𝟓

(𝒙 + 𝟒)=

(x-4) (x+4) = 20X -4x +4x -16 = 20

x = 36x = 6

2

2


Bloque II

32


DE TALES

(𝒙+𝟑)

𝟖

𝟗

(𝒙 − 𝟑)=

(x+3) (x-3) = 72X -3x +3x -9 = 72

x = 81x = 9

2

2


Bloque II

Respuesta:

33

Se sabe que la recta m esta en la cara superior del cubo y la recta l en la cara lateral . La recta l la trasladamos a la otra arista . Así podemos darnos cuenta que el ángulo que forma es 90°

HALLAMOS EL ANGÚLO

FIGURA 1

FIGURA CON TRASLADO

90°

Bloque II

34

Trasladamos la recta L a la otra arista. Nos damos cuenta de que las caras de un cubo

forman un ángulo 90°

HALLAMOS EL ANGÚLO

Respuesta:

90°

FIGURA 1

FIGURA CON TRASLADO

Bloque II

35

FIGURA CON TRASLADO

FIGURA 1

Trasladamos la recta m a la otra arista. Nos damos cuenta de el Angulo que se forma es

de 45 °

HALLAMOS EL ANGÚLO

Respuesta:

45°

45°

Bloque II

36

Trasladamos la m a su lado opuesto de la cara y nos damos cuenta que se cruza con la L . El

Angulo que forma es 90°

HALLAMOS EL ANGÚLO

FIGURA 1

FIGURA CON TRASLADO

Respuesta:

90°

Bloque II

A

60

30

12B

F

E

60

30

K

2K𝐾 3

𝐾 3=12

𝐾 =12

3

𝐾=4 3

2𝐾 =2(4 3)

X=8 3

A

53

37

12B

F

E

30

5𝐾 = 30K=6

3𝐾 = 𝑋3(6)=X18=X

Bloque III1

2

Respuesta : El valor de x es 18Respuesta : El valor de X es 8√3

x Por ángulo notable

Entonces remplazamos para hallar X

x

Por ángulo notable

53

37

3K

5K

4K

Extraemos el triángulo EFH y obtenemos lo siguiente:

E

H

F

9

18

Nos encontramos con un triángulo notable de 60°y 30°:

9

18

9 3

30°

60°

F H

E

3Bloque II

Bloque II

Bloque II07

Nos piden:

𝐴𝐵 −𝑀𝑄

2= x Tenemos que:

𝐴𝐵 −𝑀𝐸

2= 24

𝑀𝑄 = 2𝑥

𝐴𝐵

Despejamos 𝑀𝑄 entonces nos queda que:

𝐴𝐵 * 𝑀𝐸 = 48


HB

A E

Q

53°3k

4k5k

M

5k = 2𝑥

𝐴𝐵

k = 2𝑥

5𝐴𝐵

Entonces:

𝑀𝐸 = 3 * 2𝑥

5𝐴𝐵

𝑀𝐸 = 6𝑥

5𝐴𝐵

𝐴𝐵 ∗6𝑥

5𝐴𝐵= 48

Finalmente:

6𝑥

5= 48

𝑥 = 40 𝑚2

8

Bloque II

Respuesta : El área es 40 m2


𝑥 = 25

H

P R

B

Ax

1219

24

7𝑥2 = 72 + 242

𝑥2 = 19 + 576

x = 625

9

Bloque II

Respuesta : La medida del diedro AB esX = 25

Por propiedad sabes que:

Por lo tanto:

Q

H A

B

C80°

70°

Dos caras de un ángulo triedro miden 70° y 80°. ¿Entre qué valores se encuentra la medida de la tercera cara (x) ? 0 < 𝑥 + 70 + 80 < 360

0 < 𝑥 < 210

Además:

80 -70 < 𝑥 < 80 + 70

10 < 𝑥 < 150

10 150 210

𝑥

Bloque IIPARTE II - 1

Respuesta : La medida de la tercera cara se encuentra entre < 10 ;150 >

Por propiedad sabes que:

Por lo tanto:

Q

H A

B

C120°

150°

Dos caras de un ángulo triedro miden 120° y 150°. ¿Entre qué valores se encuentra la medida de la tercera cara (x) ?

0 < 𝑥 + 120 + 150 < 360

0 < 𝑥 < 90

Además:

150 – 120 < 𝑥 < 150 + 120

30 < 𝑥 < 270

30 90 270

𝑥

PARTE II - 2Bloque II

Respuesta : La medida de la tercera cara se encuentra entre < 30;270 >

PARTE II 3 FIGURA CON LOS VALORES

37°45°

1𝑂 = 𝐾 2

10 2 = k

2

POR PITÁGORAS

RESPUESTA : El valor de K es 5 2

Bloque II

10

PARTE II 4 FIGURA CON LOS VALORES

Bloque II

37°

10

POR PITÁGORAS

10 = 5k 2 = kEntonces a 37 ° se le opone 3K . El valor de x es : 3 kX es 6

x


PARTE II 5Bloque II

FIGURA CON LOS VALORES

10

30°

POR PITÁGORAS

10 = 2k 5= kEntonces a 30 ° se le opone K . El valor de x es : kX es 5

x


PARTE II 6Bloque II

FIGURA CON LOS DATOS DEL PROBLEMA

45°

X

POR SUMA DE ÁNGULOS

45 + 90 + 90 +X = 360225 + X = 360

X = 135

RESPUESTA : EL ANGÚLO QUE DETERMINA AE Y AF ES 135°

P

Q

taller de geometria del espacio - bloque ii -iii

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