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Funciones Reales en una Variable

Contenidos Concepto función Grafica de una función Dominio y Recorrido de una función Clasificación de la funciones Función Inversa Paridad de las Funciones Operaciones con funciones Ejemplos

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva

Concepto de función

Definición de Función

Donde

xfyx

IRBIRAf

:

Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B . En símbolos matemáticos

: Variable Independientex : ariable Dependientey f x V

!x A IR y B IR y f x

En forma de esquema

es la imagen de f x x : es la preimagen de x f x

¿ Cuál es Función ?

A B

B

A B

A BA

¿ Cuál es Función ?

Menú

Representación Grafica

Plano CartesianoMétodo de Óvalos

A IR

B IR

y f x

x

;P x f x

Menú

Dominio y Recorrido

Dominio Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio de la función a

( )x A y B f x y

Y lo denotaremos por Dom f

Dominio y Recorrido

Recorrido Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la función a

( )y B x A f x y

Y lo denotaremos por Rec f

Dominio y Recorrido en el plano cartesiano

Dominio y Recorrido usando Método de Óvalos

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?

4 2f x x

DominioRecorrido

2 0x 2x

2;Dom f

4 2y x

24 2y x 4 2y x

24 2y x Re 4;c f

Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable x y

Y su grafica es

Menú

Tabla de Evaluación

Clasificación de las funciones

Función Lineal

Función Cuadráticas

Función Cúbica

Función Potencia

f x mx b

2f x ax bx c

3f x ax

cf x x

Función Raíz f x x donde 0x

Función Reciproca 1f x

x donde 0x

Funciones Racionales

11 1 0

11 1 0

n nn nm m

m m

p x a x a x a x af x

q x b x b x b x b

Funciones Irracionales f x mx b

Función Valor Absoluto f x x

donde0

0 0

0

x si x

x si x

x si x

Función Exponenciales

Función Logarítmicas

xf x b

l gbf x o x

Funciones Trigonométricas

f x Sen x

f x Cos x

f x Tang x

Funciones Hiperbólicas

2

x xe ef x Senh x

2

x xe ef x Cosh x

x x

x x

e ef x Tangh x

e e

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Ver Graficas

Propiedades de las funciones

Se dice que es una Función Inyectiva si

Función Inyectiva (1-1)

Función Epiyectiva (sobre)

Función Biyectiva

fDombababfaf ,

IRBIRAf :

Se dice que

IRBIRAf :

es una Función Sobre si Bfc Re

Se dice que

IRBIRAf : es una Función Biyectiva si

es inyectiva y sobre a la vez

Función Inversa

Sea :f A B una función biyectiva, entonces la función inversa

de

y

1f f es una función biyectiva tal que

1 :f B A 1f y x y f x

Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:

Función inversa

1f

Menú

Ejemplo

Hallar la inversa y grafica de la siguiente función 2 1f x x

SoluciónPara hallar la inversa de la función debemos despejar la variable

x2 1y x 1 2y x 1

2

yx

Por lo tanto

1 1

2

xf x

Y ambas grafica en el mismo plano cartesiano son

12 xxf

1

2

xf x

Menú

Paridad de una función

Decimos que una función es par siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que:

Funciones pares

xfxf

Ejemplo 42 43 xxxf

a) ¿es par o impar?.b) Utilizando Winplot grafique

Dada la función

SoluciónAnalizaremos si la función es par, para ello debe cumplir que xfxf

Para este caso 2 43 4f x x x

2 43 4x x f x

Por lo tanto esta función es par

Función Impar

Decimos que una función es impar siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que:

f x f x

El carácter par o impar de una función es lo que conocemos como su paridad. Las funciones que no son ni pares, ni impares, carecen de paridad.

Función sin paridad

Ejemplo 3 1

2g x x x

a) ¿es par o impar?.b) Utilizando Winplot grafique

Dada la función

SoluciónAnalizaremos si la función es impar, para ello debe cumplir que f x f x

Para este caso

3 1

2g x x x

g x

Por lo tanto esta función es impar

3 1

2x x

3 1

2x x

Menú

Operaciones con funciones

Suma de f y g xgxfxgf

f g x f x g x

f g x f x g x

0f xf

x g xg g x

Sean :f A C :g B D

Resta de f y g

Producto de f y g

Cociente de f y g

dos funciones tal que

Dom f Dom g y

Función Compuesta

Sean :f A C y :g B D funciones tales que ,f A B

Entonces se llama función compuesta de g y f y lo denotamos por

g f x g f x A la función definida por

para cada valor de A,

tal que su imagen este en el conjunto B

Gráficamente podemos expresar la función compuesta de g y f de la siguiente manera

Composición de de f y g g f x g f x

Composición de una Función con su Inversa

De la representación anterior se puede notar que:

xxff 1 1f f x x o

Considere las siguientes funciones reales definidas por

5 3f x x 2 1g x x

Determine 1g f x

Ejemplo

Solución

Por hallar la inversa de 5 3f x x Para este caso la función es biyectiva por lo tanto existe su inversa, la cual es

5 3y x 5

3

yx

1 5

3

xf x

En donde su Dominio es los números reales

Además el dominio d la función g x También son los números

reales

Por lo tanto 1Dom g f IR

Por lo tanto 1 1g f x g f x 2

5 51

3 3

x xg

Por lo tanto 2

1 51

3

xg f x

Ejemplos 1.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio, Recorrido para que sea función

12 xxf

1

1

xf x

x

2 1f x x

a)

b)

c)

2.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio para que sea función

21

1

xx

xxf

2

1

xf x

x

a)

b)

3 5 1

( ) 2 1 1

3 1 3

x si x

f x si x

x si x

3.- Trace la grafica de la siguiente función

a)

b)

28

202

065

)(

2 xsix

xsi

xsix

xf

4.- Considere las siguientes funciones reales definidas por

1

1

x

xf 1

1

xg x

x

Determine , , , yg f x f g x f f x g g x

Además explicite sus dominio

5.- Usando alguna aplicación grafica determine Dominio, Recorrido

23 xxf

2

4

4h x

x

1f x Sen

x

log 1f x x

123

1

x

xxf

2 4

xh x

x

a)

b)

c)

d)

e)

f)

6.- Sean la funciones definidas por

1 xxf 2g x x

Hallar dominio de cada una de las siguientes funciones.

xgxfxgf f g x f x g x

f g x f x g x 0f xf

x g xg g x

Además presente su grafica en caso que sea posible

7.- Para cada uno de los pares de funciones determine

22 xxf 2g x x

g f x

22 6f x x 7 2g x x

2 1f x x x 1g x x

2

1f x

x

2 3g x x

1

1

xf x

x

1

1

xg x

x

Terminar

Menú

a)

b)

c)

d)

e)

Función Lineal Función Cuadráticas Función Cúbica

Función Potencia Función Raíz Función Reciproca

Función Valor Absoluto Función Exponenciales Función Logarítmicas

Funciones Trigonométricas

f x Sen x f x Cos x f x Tang x

Menú

f x Senh x f x Cosh x f x Tangh x

Funciones Hiperbólicas