funciones profesor: alejandro ruz sector de aprendizaje: matemáticas. integrantes: - maria isabel...

Funciones Profesor: Alejandro Ruz Sector de aprendizaje: Matemáticas. Integrantes: - Maria Isabel Reyes

- Claudia Alarcón - Gina Valencia

Liceo polivalente A123 Hermanos Sotomayor de Melipilla

Hola, ¿cómo están?¡¿Listos para comenzar este

módulo de auto-aprendizaje?!

No te preocupes, las funciones son fáciles, solo

concéntrate y veras.

Para realizar este modulo de auto-aprendizaje necesitas:

• Un cuaderno• Un lápiz• Mucho entusiasmo

Antes de entrar en materia, podrías decirme

que conoces sobre las funciones... Para eso

escribe tu conocimientos en el espacio en blanco

Esto es lo que aprenderásEsto es lo que aprenderás• Concepto función• Evaluación de funciones• Dominio de una función • Recorrido de una función• Funciones especiales • Gráfica de funciones • Funciones definidas por intervalos• Composición de funciones• Clasificación de funciones• Despedida

Concepto de función

• La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva.

¿Qué es una función? • Una función de un conjunto A en un conjunto B,

es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B .

Observación: Este diagrama es una función sí todos los

elementos del primer conjunto sale una sola

flecha.

Preimágenes Imágenes

Observación: Este diagrama no es una función, ya que la preimagen 4 tiene dos imágenes, o sea, salen de ella más de una flecha y además 3 no tiene imagen.

Preimágenes Imágenes

Función en un gráfico cartesiano

Él gráfico cartesiano indica que ésta relación es una función y esto se comprueba al trazar cualquier paralela al eje “y”. Ésta corta en un

solo punto de la función.

(Imágenes)

(Preimágenes)

Punto donde se interceptan la paralela y la

función.

Función en un gráfico cartesiano

Él gráfico cartesiano indica que ésta relación no es una función y esto se comprueba al trazar cualquier paralela al eje “y”. Ésta corta en más

de un solo punto .

(Imágenes)

(Preimágenes)

Puntos donde se interceptan la paralela y la

función.

Función expresada como un conjunto

9,4;1,3;4,2;1,1h

Cuando tengas una función expresada comoun conjunto, debes tomar en cuenta quecada preimagen tenga una única imagen

y al cumplir con esto es una función, comoen el caso que ahí tienes.

Función expresada como un conjunto

9,4;3,1;4,2;1,1h

El siguiente conjunto no es una función, ya que la preimagen “1”tiene más de una

imagen, las cuales son “1 y 3”

Las funciones son tan comunes que las podemos encontrar en una

autopista, por ejemplo, en las europeas es posible ver un

recuadro como este:

Mantenga su distancia para frenar.

55.0VDD(en Mts.) V(en Km./H)

¿ Sabes por que es una función? HAZ CLIK AQUÍ Y TENDRAS LA REPUESTA.

Bueno, esta es una función, ya que la distancia que debe mantener el

automóvil(D), esta determinada por la velocidad(V), que lleva éste. Por lo tanto la distancia(D), depende de la

velocidad(V).

¡Ahora, a ejercitar!Demuéstrame lo que haz aprendido. ¡Tu puedes!

Determina si el siguientes diagrama es o no funciones

3,2,1,0A 7,6,5,4B

¿Es una función?

TU RESPUESTA ES INCORRECTA

Vuelve a intentarlo. Ahora si podrás.

¡BIEEEN!, TU RESPUESTA ES CORRECTA.

Es una función, ya que cada elemento del conjunto A

o preimagen tiene un elemento en B o imagen, además del

conjunto A sale una sola flecha por cada preimagen.

3,2,1,0A 7,6,5,4B

¿Es una función?

No es función, ya que la preimagen 1 no tiene

una imagen.

3,2,1,0A 7,6,5,4B

¿Es una función?

No es un función, ya que la preimagen 2 tiene dos imágenes.

Establece si los siguientes conjuntos corresponden a una función:

9.5;9,4;0,3;9,2;0,1hSI

,,,,,,,,y

Si corresponde a una función, ya que cada preimagen (eje x) tiene una sola imagen (eje y),

además en una función una imagen puede tener más

de una preimagen

No corresponde a una función, ya que la preimagen tiene dos imágenes,

y , pero si en una función una imagen puede tener más

de una preimagen

Evaluación de funcionesEvaluar funciones consiste en identificar la imagen de una

preimagen, por lo tanto es necesario que tengas claro que:

f: A A, g:A A

Entonces:

f(1) = 2

f(2) = 3

g(1) = 5

g(3) = 6

Ahora, si los diagramas los expresamos en función f(x) = x + 4, entonces:f( 2) = (2) + 4 = 6, por lo tanto 6 es la imagen de 2, bajo función “f”.

Ejemplos de evaluación de funciones

F(x) = 5x - 3 ; encuentra: f(x) = 22

22 = 5x - 3 /+3

25 = 5x / :5

5 = x, por lo tanto, 5 es la preimagen de 22, bajo función “f”.

Demuestrame lo que haz aprendido

con el entrenamiento que te he brindado

Evalúa las siguientes funciones.

¡Eleva tu ki y lo lograrás!

Ejercicios:

1. Sea f: IR IR definida por f(x) = 3x +7, hallar:

a)_ f(4) =

b)_ f(-2)=

c)_ f(0)=

2.Dado determina:

a)_ f(3) =

b)_ f(-1)=

c)_ f(0.5)=

3)( 2 xxf

Respuestas:

1.a) 19

2.a) 6

c)-2.75

Aquí tienes las respuestas,

espero que

mi entrenamiento halla sido

provechoso

Funciones Especiales

•Función Lineal

•Función Cuadrática

•Función Constante

•Función Valor Absoluto

•Función Parte Entera

•Función Exponencial

•Función Fraccionaria

•Función Logarítmica

Función Lineal: Se llama así a la función

f=IR IR, definida por f(x) = ax + b; donde a y b є IR, a 0. Ejemplo: f(x) = 2x + 1. Su forma gráfica es:

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Created with a trial version of Advanced Grapher - http:/ /www.alentum.com/agrapher/

Función Cuadrática: Se llama así a la función f=IR IR, definida por f(x) = ax2 + bx + c; donde a, b y c IR, a 0. Ejemplo: 3x2+x-5 . Su forma gráfica es:

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

•Función Constante: esta definida por f: A B, tal que f(x) = c, para todo “x” A, c B, con “c” constante. Ejemplo: f: IR IR tal que f(x) = 2. Su forma gráfica es:

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

•Función Valor Absoluto: esta definida por:

, donde se le puede designar cualquier número a “x”, que es transformado siempre a números positivos por el valor absoluto.

Ejemplo: . Su forma gráfica es:xx )f(

xx )f(

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

•Función Parte Entera: esta función está definida por f: IR IR, tal que , donde = al entero inmediatamente menor o igual a “x”. Ejemplo: f(x) = x+1. Su forma gráfica es:

x xx )f(

1x)( xf

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

•Función Exponencial: esta función está definida por f: IR IR, tal que f(x) = ax, .

También se expresa como expa(x) = ax.

Ejemplo: f(x) = 2x .Su forma gráfica es:

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

•Función Logarítmica: Si a > 0, a 0, se define f: IR+ IR, tal que : loga(x) = y.

Ejemplo: log2 (x) = y. Su forma gráfica es:

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

•Función Fraccionaria:Corresponde a la función que tiene la incógnita en el denominador, donde este no debe quedar en 0.

Ejemplo: . Su forma gráfica es: 1

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Ahora que haz aprendido los tipos de funciones... !A practicar¡

Identifica a que tipo de función corresponden las

siguientes funciones:

1). f(x) = [x] +1

2). f(x) = 2x2-1

3). f(x) = 7x -3

4). f(x)= |x-1|

5). f(x) = 10

6). f(x) = 5x+1

7). f(x) = [x] +1

9). f(x)= |x-1|-1

10). Log3 (x) = y

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-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

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Respuestas1). Función Parte Entera.

2). Función Cuadrática.

3). Función Lineal.

4). Función Valor Absoluto.

5). Función Constante.

6). Función Exponencial.

7). Función Parte Entera.

8). Función Fraccionaria

10). Función logarítmica.

11). Función Cuadrática.

13). Función logarítmica.

14). Función Fraccionaria

Gráfica de funciones

Las funciones, en especial las realestienen la particularidad, estas pueden representarse en el plano cartesiano,es decir, podemos ver como se expresa en forma gráfica una expresión algebraica.Esto

¿Cómo se gráfica una función?Para graficar cualquier función se deben seguir los pasos, por ejemplo para la f(x) = 3x+1:

1º Paso: Primero debemos construir una tabla:donde se le da un valor a “x”, para luego realizar las operaciones necesarias para saber el valor “y”

x f(x) (x,y)-1 f(-1)= 3(-1)+1=-2 (-1,-2)0 f(0)= 3(0)+1=1 (0,1)1 f(1)= 3(1)+1=4 (1,4)

Los valores de “x” tu los designas. Estos pueden ser

cualquier número real.

2º paso: En el plano cartesiano se ubican los pares ordenados obtenidos anteriormente y luego los unes. Ejemplo:

Estos pasos se utilizanpara gráficar cualquier

función

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Gráfica de diferentes funciones

•Función Lineal

•Función LogarítmicaEjercicios

Función LinealAl graficar una función lineal siempre se forma una recta. Aquí solo se necesita encontrar 3 coordenadas cartesianas. Ejemplo: f(x) = 3x+1

x f(x) (x,y)-1 f(-1)= 3(-1)+1=-2 (-1,-2)0 f(0)= 3(0)+1=1 (0,1)1 f(1)= 3(1)+1=4 (1,4)

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Función CuadráticaSu forma gráfica siempre es una parábola. En esta gráfica se necesitan encontrar como mínimo 5 coordenadas cartesianas. Ejemplo: f(x)= x2

x f(x) (x,y)-2 f(-2)=(-2)(-2)=4 (-2,4)-1 f(-1)=(-1)(-1)=1 (-1,1)0 f(0)=(0)(0)=0 (0,0)1 f(1)=(1)(1)=1 (1,1)2 f(2)=(2)(2)=4 (2,4)

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Función ConstanteLa gráfica de esta función se caracteriza por cortar en un solo punto el eje “y”. Ejemplo: f(x) = 2

x f(x) (x,y)-2 f(-2)=2 (-2,2)-1 f(-1)=2 (-1,2)0 f(0)=2 (0,2)1 f(1)=2 (1,2)2 f(2)=2 (2,2)

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Función Valor Absoluto

La caracteriza de esta función al gráficarla es que forma una letra “v”. Ejemplo: xx )f(

x f(x) (x,y)-2 f(-2)=2 (-2,2)-1 f(-1)=1 (-1,1)0 f(0)=0 (0,0)1 f(1)=1 (1,1)2 f(2)=2 (2,2)

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Función Parte Entera

La gráfica de esta función se caracteriza por ser en forma de escalera. Debes designar valores decimales a “x”. Ejemplo: xx )f(

x f(x) (x,y)0 f(-0)=0 0

0.3 f(0.3)=0 (0.3,0)0.8 f(0.8)=0 (0.8,0)1 f(1)=1 (1,1)

1.3 f(1.3)=1 (1.3,1)1.8 f(1.8)=1 (1.8,1)2 f(2)=2 (2,2)

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Función Exponencial

Esta función se caracteriza por no tocar nunca el eje “x” y crecer en forma exponencial. Ejemplo: xx 2)f(

x f(x) (x,y)-0.5 f(-0.5)=0.7 (-0.5,0.7)

0 f(0)=1 (0,1)1 f(1)=2 (1,2)2 f(2)=4 (2,4)3 f(3)=8 (3,8)

Función FraccionariaEsta función se caracteriza por uno de sus preimágenes no tiene una imagen, por lo tanto la gráfica no toca nunca este lugar, pero tampoco el eje “x”. Ejemplo: x

x f(x) (x,y)-1 f(-1)=-1 (-1,-1)0 f(0)=-2 (0,-2)1 f(1)=no tiene imagen 2 f(2)=2 (2,2)3 f(3)=1 (3,1)

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Función Logarítmica Esta función se caracteriza por no tocar nunca el eje “y”, ya que solo existen logaritmos positivos, sin incluir el cero. Además crecer en forma logarítmica, solo en el eje “x” positivo. Ejemplo: yx )(log

x f(x) (x,y)1 log(1)=0 (1,0)2 log(2)=0.3 (2,0.3)3 log(3)=0.48 (3,0.48)4 log(4)=0.6 (4,0.6)5 log(5)=0.7 (5,0.7)

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Ejercicios Realiza la gráfica de las siguientes funciones:

(realiza las gráficas en tu cuaderno)

1).f(x) = -1

2). g(x) = x4

3). h(x) =

4). i(x) = x2-1

5). f(x) =

6). f(x) = x3

7). g(x) = 4x2-4x+3

8). f(x) =

9). h(x) = 2x

10). f(x) = x

Respuestas

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

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-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

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-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

123456789

1011121314151617181920

-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 2468101214161820

-20-18-16-14-12-10-8-6-4-22468

101214161820

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Dominio de una funciónEs el conjunto cuyos elementos hacen que esté bien definida, es decir, es el conjunto formado por todas las preimágenes.

Ejemplo:

A BfEl dominio de este diagrama son todos las

preimágenes del conjunto A, que tienen

una imagen en B, entonces el dominio de f

Dom.f =(1,2,3,4).

Dominio en diferentes funciones

•Función Lineal

•Función Lineal: el dominio corresponde a todos los números reales (IR). Ejemplos:

1). f(x) = x +2. Aquí Dom.f = IR, ya que

y se puede calcular la imagen “x” .

2). g(x) = 2x+5. Aquí Dom.f = IR, ya que

y se puede calcular la imagen de “x”.

•Función Cuadrática: Su dominio corresponde a todo los reales. Ejemplos:

1). f(x) = x2 -1 Aquí el Dom. f= IR, ya que ,

es decir, que a cualquier valor de “x” se puede elevar al cuadrado y restarle uno.

2). h(x) = 2x2-5. Donde el Dom. h= IR, ya que .

•Función Constante: Su dominio corresponde a todos los números reales, ya que las funciones constantes están definidas f: A B, tal que f(x) = c, por lo tanto se le puede dar cualquier valor IR a “x”. Ejemplos:

1).f(x) = 2. Aquí el Dom. f= IR, ya que

2).g(x) = 0,5. Dom. g= IR, ya que

3).h(x)= m Dom. g= IR, ya que .

•Función Valor Absoluto: su dominio corresponde a todos los números reales, ya que cualquier número IR se le puede aplicar el valor absoluto. Ejemplos:

1). f(x) = |x+1| En esta función el Dom. f= IR,

ya que .

2). g(x) = |-2x+5| Aquí el Dom. g= IR, ya que

•Función Parte Entera: en esta función el dominio corresponde a todos los números reales, porque se le designar cualquier valor IR a “x”. Ejemplos:

1). f(x) = [x-1] En esta función parte entera su

Dom. f= IR

2). g(x) = [x]+1 Aquí el Dom. g= IR

•Función Exponencial: su dominio corresponde a todos los números reales, ya que el valor de exponente, o sea, “x” puede se cualquier valor IR.

Ejemplo:

1). f(x) = 3x Su Dom. f= IR, ya que

2). g(x)= 9x-9 Dom. g= IR, porque

•Función Fraccionaria: en esta función el dominio son todos los números, menos los que dejen el denominador en cero.

Ejemplos:

1). Aquí Dom. f= IR-{1}, ya que

2). Aquí Dom. g= IR-{-1}, ya que

•Función Logarítmica: En esta función su dominio corresponde a todos los reales positivos incluido el 0, ya que no existen los logaritmos negativos.

Ejemplos:

1). Log2(x) = y Dom.: IR0+

2). Log5(x) = y Dom.: IR0+

Ejercicios

Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

1).f(x) = m

2). f(x) = 4x

3). f(x) =

4). f(x) = x2-1

5). f(x) =

3x Respuestas

Respuestas

1) Dom.= IR

2).Dom. = IR

3).Dom. = IR -

4) Dom. = IR

5). Dom. = IR

Recorrido de una funciónEs el conjunto formado por todas las imágenes de una función.

Ejemplo:

El recorrido de este diagrama son todos las

imágenes del conjunto B, que están en

función de f, entonces el recorrido de f es:

Rec.f =(2,3,4).

Recorrido en diferentes funciones

•Función Lineal

•Función Lineal: el recorrido corresponde a todos los números reales (IR) y se debe reemplazar “f(x)” por “y”, para luego despejar “x”. Ejemplos:1). f(x) = x +2. y= x+2 /-2 Rec. f= IR, y a que “y ” puedey-2 = x tomar cualquier valor real.

2). g(x) = 2x+5. y= 2x+5 /-5 Rec. g= IR, porque “y” puede y-5 = 2x/ :2 tomar cualquier valor real. y-5 = x 2

•Función Cuadrática: Su recorrido va desde el vértice hacia el infinito la parábola es positiva y infinito al vértice si es negativa. Ejemplo:

1). f(x) = x2 El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo. Para conocer este valor se debe saber que ax2+bx+c = 0, donde el vértice se encuentra reemplazando los valores de a, b y c en la siguiente fórmula:

Entonces el Rec.= [0,+ [a

•Función Constante: su recorrido corresponde a el valor constante. Ejemplos:

1). f(x) = 5 El Rec. f= 5, ya que 5 es el valor

que se mantiene constante.

2). g(x) = m, m Rec. g= m y es un

número real.

•Función Valor Absoluto: su recorrido corresponde a todos los reales positivos, incluido el “0”(IR+

0), ya que el valor absoluto es la distancia desde el número al 0. Ejemplos:

1). f(x)= | x+1 | Rec: IR+0

2). g(x)= |3x-5| Rec: IR+0

•Función Parte Entera: su recorrido corresponde a todos los números enteros.

Ejemplo: 1).

Rec.= IR+

x f(x) (x,y)0 f(-0)=0 0

0.3 f(0.3)=0 (0.3,0)0.8 f(0.8)=0 (0.8,0)1 f(1)=1 (1,1)

1.3 f(1.3)=1 (1.3,1)1.8 f(1.8)=1 (1.8,1)2 f(2)=2 (2,2)

xx )f(

Al designarle cualquier valor IR a “x”, “f(x) o y”solo puede tomar valores positivos.

•Función Exponencial: su recorrido son todos los reales positivos, si la base es positiva y si negativa, su recorrido son todos los reales negativos. Ejemplo:

Rec. f= IR+, ya que la base es positiva.

Rec. g= IR-, ya que la base es negativa.

xxf 2)(

xxg 2)(

• Función Fraccionaria: para saber el recorrido de esta función se reemplazar “f(x)”por “y”, para luego despejar “x”. Una vez hecho esto el recorrido son todos los reales menos el valor(es), que deje el denominador en “0”.Ejemplo:

yyx /2

2 0.Rec IRf

•Función Logarítmica: su recorrido son todos los números reales positivos, ya que el resultado de todo logaritmo es un número IR+. Ejemplo:

Rec.= IR+

yx )(log

¡Avancemos al siguientenivel!

Ejercicios

Encuentra el recorrido de las siguientes funciones:

1).f(x) = m

2). f(x) = 4x

3). f(x) =

4). f(x) = x2-1

5). f(x) =

3x Respuestas

Respuestas

1) Rec.= m

2). Rec.= IR

3). Rec.= IR -

4) Rec.=

5). Rec.= IR+

Funciones definidas por intervalos

Existen funciones definidas por tramos o intervalos que permiten mezclar las funciones básicas. Estas siempre tienen condiciones . Ejemplo:

f(x) =

Donde:

a) f(-5) = -2•(-5)2 = -50 b) f(3) = 3+1= 4

c) d) f(0) = 0+1= 1

Aquí d

Gráfica de funciones definidas por intervalos

x f(x) (x,y)0 f(0)=1 (0,1)1 f(1) = 2 (1,2)2 f(2) =3 (2,3)3 f(3) = 4 (3,4)

x f(x) (x,y)-4 f(-4)=-32 (-4,-32)-3 f(-3) = -18 (-3,-18)-2 f(-2) =-8 (-2,-8)-1 f(-1) =-2 (-1,-2)

f(x) =1x22x ,

, sisi

1º se debe dividir la gráfica en el lugar donde se unen las funciones.

2º realizar las tablas de las funciones en forma separada.

3º se ubican los puntos en la gráfica y unirlos. Ejemplo:

Para la función x+1 Para la función -2x2

En esta clase de funcionesno es necesario que estas se

Ejercicios 1). Sea g: IR IR, definida por:

g(x) =

Encontrar:

a). Gráfica la función g. (Realízala en tu cuaderno)

b). Encontrar:

1. g(5)=

2. g(0)=

3. g(1/2)=

2 x si , 2x

2 xsi , 32 xx

Respuestas

Respuestas a).

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

b). 1). 10

3).5/2

Composición de funciones

Sean las funciones f: A B y g: B C se define: función compuesta (g o f): A C como sigue: (g o f)(x) = g((f(x)

A B C f gDonde:

(g o f)(a)= g(f(a))= g(1)= e

(g o f)(b)= g(f(b))= g(1)= e

(g o f)(c)= g(f(c))= g(3)= f

Ejemplo:: Sean f: IR IR y g: IR IR, tal que f(x) = x+3 y g(x) = x2. (g o f)(x) = g(f(x))= g(x+3) = (x+3)2 = x2+6x+9

Donde la preimagen “x” es transformada por “f”, que da como resultado “x+1”.

Este resultado luego es nuevamente transformado, pero esta vez por “g”.

(f o g)(x)= f(g(x)) = f(x2) = x2+3

g) o (f f) o (g

f" o g" que mismo lo es no , g" o f " : que deduce se anterior lo DeAquí la preimagen “x” es transformada

por “g”, que da como resultado “x2”. Este

resultado luego es nuevamente transformado,

pero esta vez por “f”.

Ejercicios 1). Dadas las funciones: f(x) = 3x - 2 y g(x) = x + 4 entonces:

a). (g o f)(4) =

b). (f o g)(4) =

c). (g o f)(x) =

d). (f o g)(x) =

2). Sean f(x) = x2+3x+1, g(x) = 2x-3, h(x)= x+1. Encontrar:

a). (f o g)(x) =

b). (f o g)(3) =

c). (f o g o h)(2) =

d). f(-2) + g(2) - h(1)=

Respuestas

Respuestas 1). a). 14

b). 22

c).3x + 2

e) 6x + 10

2).a). 4x2 - 6x + 1

b). 19

c). 19

d). -2

Hemos avanzado al cuarto nivel. “La

clasificación de las funciones”

Clasificación de funciones

•Función Inyectiva

•Función Epiyectiva

•Función Biyectiva

•Función Inversa

¡ A practicar!

Función InyectivaUna función f: A B se dice inyectiva o uno a uno si y solo si: f(a) = f(b) a = b es decir, a imágenes iguales le corresponden preimágenes iguales, o sea, que una preimagen solo puede tener una sola imagen.

Ejemplo:

1 2 3 4

f es inyectiva, porque cada preimagen tiene una sola imagen

Ejemplos:

1). f(x) = 3x + 4

f(a) = f(b)

3a+4 = 3b+4 /-4

3a = 3b /:3

a = b f es inyectiva

Para que una función sea inyectiva, se debe demostrar que las si dos imágenes son iguales, las preimágenes también deben serlo. Para ello, la incógnita (x) se reemplaza por una “a” y esta se iguala a la misma función, pero esta vez la incógnita es sustituida por una “b”. Después se despejan las nuevas incógnitas y si esta son iguales, como en este caso, la función es inyectiva.

2). g(x) = x2-1

f(a) = f(b)

a2-1 = b2-1 /+1

a2 = b2 / -b2

a2 - b2 = 0

(a + b)(a - b) = 0

a + b= 0 a - b= 0

a = -b a = b

g no es inyectiva

Aquí se realiza el mismo procedimiento anteriormente explicado, pero en este caso las preimágenes tienen diferentes imágenes, por lo tanto la función “g” no es inyectiva.

Función EpiyectivaUna función f: A B es epiyectiva o sobreyectiva si:

tal que f(a) = b, es decir, si Rec. f = B o f(a) = B, o sea, una función es epiyectiva si y solo si su recorrido corresponde a todos los números reales. Ejemplos:

A a B, b

Como Rec. f = B f es sobreyectiva.

La función “g” no es sobreyectiva,

porque su Rec. = x, z .

La función f: IR IR definida por f(x) = x2

Esta función no es sobreyectiva , porque su recorrido esta definido como:

La función g: IR IR definida por g(x) = x3

Esta función es sobreyectiva , porque su recorrido esta definido como: Rec. = IR

0. : c.Re

Función Biyectiva

Las funciones biyectivas son aquellas que cumplen con ser inyectivas y sobreyectivas simultáneamente.

Ejemplo:•La función real f(x) = x3

• Además son biyectivas todas las funciones lineales.

Función InversaSea la función f: A B. Su inversa se designa por f -1 : B A y se define por:

Ejemplo:

Sean , , se define f como:

f(a)= 2, f(b)= 1 , f(c)= 2 , f(d)= 2 , f(e)= 4 , f(h)= 4 , entonces:

yxByAxxy f ,/,f 1

hedcbaA ,,,,, 4,3,2,1B

4,,4,,2,,2,,1,,2,f hedcba

hedcba ,4,,4,,2,,2,,1,,2f 1

Para que f -1 sea función debe suceder que f sea biyectiva.

Ejemplo:

sea la función real f(x) = 3x - 2

Para encontrar f -1 se hace f(x) = y

Esto es : 3x - 2 = y, para luego despejar “x”:

Así la función inversa es :

la cual se escribe:

¡Observación!

2)(1 y

2)(1 x

Identifica a que tipo de función corresponden las

siguientes funciones:

1). f(x) = [x] +1

2). f(x) = 2x2-1

3). f(x) = 7x -3

4). f(x)= |x-1|

5). f(x) = 10

6). f(x) = 5x+1

7). f(x) = [x] +1

9). f(x)= |x-1|-1

10). Log3 (x) = y

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345678910

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

Respuestas

1). Es una función

2). Es una función

3). Es una función biyectiva e inversa

4). Es una función

5). Es una función

6). Es una función inyectiva

7). Es una función

9). Es una función

11). Es una función

12). Es una función Biyectiva e inversa

13). Es una función

14). Es una función Biyectiva e inversa

¡¡¡ Hemos terminado nuestro modulo!!!

Espero que haya aumentado tus poderes y conocimientos los que te ayudaran a salir victorioso de las batallas que se te presentaran en el

futuro.

funciones profesor: alejandro ruz sector de aprendizaje: matemáticas. integrantes: - maria isabel...

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