funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Matemáticas IVFunciones polinomiales de grado tres y cuatro

José Marcelino Rodríguez Márquez

Comportamiento y

bosquejo de graficas

de funciones de grado 3 y 4

Y=mx+b

Función lineal

raíz

Grado 1

La forma de la grafica de una función polinomial dependerá directamente de su

grado

y=a

Función cuadrática

Función de 2 grado

raízraíz

El numero de raíces nos da información acerca de como es la grafica de una función

𝑦=𝑎𝑥 3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑 𝑎𝑥 4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥4+𝑑𝑥+𝑒

Grafica de una función cubica Grafica de una función de 4 grado

Funciones de grado tres. (cúbicas)

• La forma general es

• a≠ 0• su forma

estándar se presenta como

• b, c y d son números reales.

• Una función de grado 3 esta completa cuando todos sus coeficientes tienen un valor distinto de cero. Si el valor del parámetro es positivo, la grafica presenta un máximo y un mínimo en ese orden para valores de x desde -∞a∞

Máximo

mínimo

• Tienen una parte cóncava y una convexa. ambas se unen por el punto de inflexión, que es el punto donde la grafica cambia de dirección

Punto de inflexióncóncava

convexa

Una función es cóncava cuando se unen dos puntos cualesquiera y el segmento de la recta esta debajo de la grafica

Una función es convexa cuando se uno dos puntos cualesquiera y el segmento de la recta esta por encima de la grafica

Para resolver la función de grado 3

• Primero se trabajará con la forma estándar, para observar el comportamiento de la gráfica con respecto a los cambios que sufren los parámetros.

Para graficar una función cúbica de forma estándar:

1. Encontrar y graficar P.I.(h,k). • 2. A partir del P.I se recorre una

unidad a la derecha y si el parámetro “a” es positivo, se ubica el punto hacia arriba “a”, de no ser así, se ubica hacia abajo.

• 3. Ahora, a partir del P.I, se recorre una unidad hacia la izquierda y se coloca el punto en sentido contrario del punto

que se colocó en el paso 2, es decir, si el punto que está a la derecha del punto de inflexión quedó hacia arriba, éste quedará hacia abajo “a” unidades y viceversa.

• 4. Se traza la gráfica de forma suave.

Ejemplo .

• P.I.(1, 3). • el parámetro a=2,

cuando se recorra una unidad a la derecha del punto de inflexión, el segundo punto se ubicará dos unidades hacia arriba

• Posteriormente, se situará el tercer punto, recorriendo una unidad hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo, debido a que es en sentido contrario del segundo punto.

• Para trazar la gráfica se parte del punto de inflexión, considerando que a la derecha de éste es cóncava hacia arriba y a su izquierda es cóncava hacia abajo, quedando la gráfica de la siguiente forma.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4• Es la función de fórmula: • F(x) = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e• a≠ (distinto) 0.• b, c, d y e son números

reales.• La función cuártica tiene un

comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido.

• forma estándar. F(x)=

• En la función cuartica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde hasta -∞ hasta ∞

• Los parámetros en el caso de que “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo.

Ejemplo

utilizando los parámetros. Como a=−3, la función tiende infinitamente hacia abajo y su punto máximo es P(h,k)y para obtenerlo se realiza la siguiente comparación.

𝑓 (𝑥 )=−3 𝑥 (+2)4+4

Por lo tanto, el punto máximo es P(−2, 4).

𝒇 (𝒙 )=−𝟑 𝒙 (+𝟐)𝟒+𝟒

𝒇 (𝒙 )=−𝒂𝒙 (+𝒉)𝟒+𝒌

Ecuaciones fectorizables

• Método para encontrar las raíces de una función polinomial eligiendo los valores del dominio y sustituirlos en la función para así, al graficar, hallar los ceros o raíces de ellas.

Ceros factores y soluciones

• Ejemplo :

1: para encontrar la raíz igualamos a 0

𝑥3−5 𝑥2−6 𝑥=0

2:al factor izar por factor común

𝑥 (𝑥¿¿ 2−5 𝑥−6)=0¿

Al resolverla

𝑥2−5 𝑥−6=0X=0 Un raíz es igual a 0;

3:Para encontrar las otras rieses narcotizamos el termino

(x-6)(x+1)=0

Las raíces del termino son:

X-6=0X=6

x+1=0X=-1

Por lo tanto las raíces de la función son𝑥1=0 𝑥3=−1𝑥2=6

Y=

Igualamos a 0 y factorizamos para resolver

𝑥2(𝑥¿¿2−1)=0¿

X=0 (x-1)(x+1=0

Las raíces son

𝑥1=0 𝑥2=1 𝑥3=−1X=0 X-1=0 X+1=0

𝑥1=0 𝑥2=1

Bosquejo de la grafica 𝑥3=−1