función cuadrática

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PROF. GRETTEL ROJAS RIVERA.PROF. GRETTEL ROJAS RIVERA.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

ESTUDIO GENERAL DE LA ESTUDIO GENERAL DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICAFUNCIÓN CUADRÁTICA

Ejemplos:

472)()1 2 −+= xxxf

CONCAVIDAD:Cóncava hacia arriba.

4 7 2 −=== cba

CORTES CON EL EJE X:

( )0,4 0,21 −∧

CORTE CON EL EJE Y:

( )4,0 −EJE DE SIMETRÍA:

ab

x2

−=

( )( )227−=x

47−=x

VÉRTICE:

∆−−=

aab

V4

,2

−−=

881

,47

V

INTERVALOS DE MONOTONÍA:

−∞−

ab2

,

+∞− ,

2ab

−∞−

47

,

+∞− ,

47

RANGO O ÁMBITO:

+∞∆−= ,

4aA

+∞−= ,

881

A

GRÁFICA:

x x1 0 x2

f (x ) 0 c 0a

b2

−

a4∆−

x − 4 0

f (x ) 0 − 4 0

47−

881−

21

204)( 2) 2 −+−= xxxg

20 4 1 −==−= cbaCONCAVIDAD:

Cóncava hacia abajo

CORTES CON EL EJE X:

No toca el eje x.CORTE CON EL EJE Y:

( )20,0 −EJE DE SIMETRÍA:

ab

x2

−=

)1(24−

−=x

24=x

2=xVÉRTICE:

∆−−=

aab

V4

,2

( )16,2 −=V

INTERVALOS DE MONOTONÍA:

−∞−

ab

2,

+∞− ,

2ab

] [2,∞−

] [+∞,2

RANGO O ÁMBITO:

∆−∞−=

aA

4,

] ]16,−∞−=AGRÁFICA:NOTA: Si la gráfica no toca el eje x, entonces, para trazar la gráfica se deben elegir números arbitrarios para construir la tabla de valores.

x − 2 − 1 0 1 2

y − 32 − 25 − 20 − 17 − 16

PROBLEMAS SOBRE PROBLEMAS SOBRE OPTIMIZACIÓNOPTIMIZACIÓN

Cuando se habla de un máximo o un mínimo en función cuadrática, se está hablando del vértice.

El vértice es el punto mínimo cuando es cóncava hacia arriba.

El vértice es el punto máximo cuando es cóncava hacia abajo.

EJEMPLOS:

1) Un niño lanza una bola al aire y sigue una trayectoria descrita por la expresión tetyetetetyeteyey donde t es la posición en la trayectoria y s es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola y cuánto tiempo tarda en lograrla?

6)( 2 ++−= ssst

ab

x2

−=

)1(21

−−=x

21=x

421

4 =∆−∴

a

R/ La bola alcanza una altura máxima de 5,25m y la logra en 0,5 segundos.

2) El costo C en dólares de producir x cantidad de juguetes esta dado por la relación ¿Cuál es el costo mínimo de producción y cuántos juguetes se deben producir para alcanzarlo?

10018)( 2 +−= xxxC

ab

x2

−=

( ))1(218−−=x

9=x

R/ El costo mínimo de producción es de $ 19 y se alcanza produciendo 9 juguetes.