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NOLAN JARA J.

[FIEE-UNMSM] Página 34

FUNCIÓN

Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida (A)

le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada (B).

Definición

Se llama función a una relación en la cual a cada elemento x del dominio le corresponde

sólo un elemento y del codominio.

Esto se expresa: y = f (x) o fx y

Se observa que:

De cada elemento del conjunto de salida A sale a lo mas una flecha.

De cada elemento del dominio sale una y sólo una flecha.

NOLAN JARA J.

GRÁFICOS EN EL PLANO CARTESIANO En el plano cartesiano se pueden representar los gráficos de las relaciones y funciones

en forma muy clara y ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas.

El plano cartesiano Esta formados por un eje horizontal y un eje vertical. En el eje

horizontal se ubican los elementos del conjunto de salida y en el vertical, los elementos

del conjunto de llegada. Dentro del plano cartesiano se ubican los pares ordenados del

producto cartesiano que pertenecen a la relación o función generándose así el grafico de

la relación o función dada.

En este tipo de gráficos pueden representarse distintas variables en función del tiempo:

Cada punto del gráfico nos permite conocer la situación de la variable en un instante

determinado.

Las líneas nos permiten conocer a simple vista la evolución de la variable en el

transcurso del tiempo.

Ejemplos

1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una

función.( justifique su respuesta )

a) (2 1, ) /t t t b) (3 ² 1, ) /t t t

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Solución:

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCION LINEAL

f: R R /y = f(x) a x + b ; a 0

Dom f x R

Ran f y R

FUNCION CUADRATICA

2 1x t 1

; ( ) es función2

xy t t y f x

2 13 1 no es función

xx y y

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: / ( ) ² ; 0

f R R y f x ax bx c a

Dom f x R

i) si a > 0

( ) : , ; 4

ac bRan f y k k

tiene un valor minimo cuando ; 2

bf y k x h h

ii) si a < 0

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( ) : , ; 4

ac bRan f y k k

tiene un valor Maximo cuando ; 2

bf y k x h h

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

f: R R / y = f(x) x

Dom (f): x 0 ; Ran (f) : y 0

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Ejemplo: ( ) ; g x x y x

( ) : / ( )Dom g x R y x R

( ) ( ) / 0Ran g y x R x

0 0 0 0x x x y

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Ejemplos

1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una

a) (2 1, ) /t t t b) (3 ² 1, ) /t t t

Solución:

2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o

ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver

la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a

24 horas).Se pide:

a) Estimar T (5) y T (16).

b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).

2 1x t 1

; ( ) es función2

xy t t y f x

xx y y

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16 ; 0 6

6 20 ; 6 7 ; 16 22

22 ; 7 20

6 142; 20 21 ; 16 22

16 ; 21 24

t si t T

( ) ( 1)H t T t

16 ; 1 7

6 26 ; 7 8 ; 16 22

22 ; 8 21

6 148; 21 22 ; 16 22

16 ; 22 25

t si t H

¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.

c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.

Solución:

a) T(5) = 16º C; T(16) = 22º C

Los cambios de temperatura ocurren una hora después.

3 9 12

6 15 18 21 24

(7,22) (20,22) . .

NOLAN JARA J.

( ) ( ) 1J t T t

15 ; 0 6

6 21 ; 6 7 ; 15 J<21

21 ; 7 20

6 141; 20 21 ; 15<J 21

15 ; 21 24

t si t

Las temperaturas son un grado más bajas.

15 18 21 24

(8,22) (21,22)

(1,16) (25,16)

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3) Sea:

10 x; 1-x

0x3- ; 3x

-4 x; 86²

xf Hallar el rango y graficar la función f.

Solución:

( ) :Ran f y R

4) Un granjero dispone de 300 metros de valla para cercar dos terrenos de pasto

adyacentes (ver figura).

15 18 21 24

(7,21) (20,21)

(0,15)

(24,15)

(-4, 0)

(-3, 0)

(0, 3)

(10,3)

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300 33 4 100 ; 0 100

xx y y x

2 2 23 3( ) 2 ( ) (100 ) ( ) (50) ( 50)

2 2A x xy A x x x A x x

a) Expresar el área total A de los 2 terrenos en función de x. ¿Cuál es el dominio de A?

b) Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que dan el área conjunta máxima.

Solución:

A(x) = 3750 - max

350 ² 3750 3750 ²

2x A u ; cuando x = 50 u ; y =

A V=(50,3750)

(100,0)

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5) Un pequeño empresario ha determinado que el costo de fabricar 1000

TERMOSTATOS semanalmente es de 9000 dólares y que 1500 TERMOSTATOS le

cuestan 12000 dólares: exprese el costo como función del número de TERMOSTATOS

fabricados, suponiendo que es lineal. Trace la grafica. ¿Cuál es la pendiente de la

grafica y que representa? ¿Cuál es la intersección con el eje Y y que representa?

6) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100

y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) = te 900100

100000

Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población en

llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la

función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900.

7) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de 100

metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.

Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados paralelos al

río. ¿Cuál es el dominio de A?

Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el área máxima del

terreno.

Más Problemas desarrollados

1) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una

a) (2 3 , ) /t t t b) (3 2 ², ) /t t t

Solución:

2 3x t 2

; ( ) es función3

xy t t y f x

xx y y

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18 ; 0 4

6 6 ; 4 5 ; 18 24

24 ; 5 21

6 150; 21 22 ; 18 24

18 ; 22 24

t si t T

24 horas).Se pide:

Solución:

… 20 22 24

28 (5,24) (21,24)

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( ) ( 1)H t T t

18 ; 1 5

6 12 ; 5 6 ; 18 24

24 ; 6 22

156 6 ; 22 23 ; 18 24

18 ; 23 25

t si t H

( ) ( ) 1J t T t

17 ; 0 4

6 7 ; 4 5 ; 17 J<23

23 ; 5 21

6 149; 21 22 ; 17<J 23

17 ; 22 24

t si t

a) T(3) = 18º C; T(15) = 24º C

Las temperaturas son un grado mas bajas.

……1

… 20 22 24

28 (6,24) (22,24)

(1,18) (25,16)

NOLAN JARA J.

1202 120 ; 0 120

xx y y x

2 21 1( ) (120 ) ( ) ( 60) 3600

2 2A x x x A x x

3) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de

120 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.

a. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados

paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A?

b. Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el

área máxima del terreno.

Solución:

A(x) = 1800 - max

160 ² 1800 1800 ²

2x A u ; cuando x = 60 u ; y = 30 u.

……1

… 20 22 24

28 (5,23) (21,23)

(0,17) (24,17)

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A V=(60,1800)

(120,0)

4) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una

a) (2 1, ) /t t t b) (3 ² 1, ) /t t t

Solución:

24 horas).Se pide:

2 1x t 1

; ( ) es función2

xy t t y f x

xx y y

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( )T t

16 ; 0 6

6 20 ; 6 7 ; 16 22

22 ; 7 20

6 142; 20 21 ; 16 22

16 ; 21 24

t si t T

( ) ( 1)H t T t

16 ; 1 7

6 26 ; 7 8 ; 16 22

22 ; 8 21

6 148; 21 22 ; 16 22

16 ; 22 25

t si t H

Solución:

a) T(5) = 16º C; T(16) = 22º C

15 18 21 24

(7,22) (20,22)

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( ) ( ) 1J t T t

15 ; 0 6

6 21 ; 6 7 ; 15 J<21

21 ; 7 20

6 141; 20 21 ; 15<J 21

15 ; 21 24

t si t

Las temperaturas son un grado más bajas.

6) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de

100 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.

a. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados

paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A?

b. Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el

área máxima del terreno.

Solución:

15 18 21 24

(8,22) (21,22)

(1,16) (25,16)

15 18 21 24

(7,21) (20,21)

(15,0)

(24,15)

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1002 100 ; 0 100

xx y y x

2 21 1( ) (100 ) ( ) ( 50) 2500

2 2A x x x A x x

A(x) = 1250 - max

150 ² 1250 1250 ²

2x A u ; cuando x = 50 u ; y = 25 u.

v = (50,1250)

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FUNCIONES ESPECIALES

FUNCION VALOR ABSOLUTO

f: R R / f(x) / x / ; ( y = / x / )

Dom ( f ) : xR ; Ran ( f ) : y 0

FUNCION SIGNO

f: R R / y = f(x) sgn(x)

sgn( ) 0 ; 0

x si x

( ) : 1,0,1

Dom f x R

Ran f y

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FUNCION ESCALON UNITARIO

f: R R / y = f(x) u(x)

1; 0( )

si xu x

( ) : 0,1

Dom f x R

Ran f y

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FUNCION MAXIMO ENTERO

: / ( )

1 ; 1 0

0; 0 1

1; 1 2

f R R y f x x

x n n x n n

Dom f x R

Ran f y

y si x

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FUNCIÓN POLINOMIAL

f: R R / f(x) ao xn + a n-1 x

n-1 +.....+ an, a 0 0, n Z

Dom (f): xR

Observación: (1)

Sea f(x) x2n xR nZ

Ran(f): y = x2n

= (xn)2 0 xR y 0

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Observación: (2)

Sea g(x) x2n+1

xR nZ+

Ran(f): y = x2n+1

x= (x2n

x)R yR . (Si x 0 y 0; si x<0y<0)

FUNCIÓN RACIONAL

.....: / ( )

.......

a x a x af R R f x

b x b x b

; 0;0 00 ab

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0 1( ) : / ( ..... ) 0m mDom f x R b x b x bm

Observación:

1 1( ) ;f x y

( ) : / 0

1( ) : 0.... ( ) 0 0... ( )

Dom f x R x

Ran f x Dom f y Ran fx

Gráfico:

PROBLEMAS

1) Para los triángulos rectángulos de igual perímetro, determinar una expresión para el

área que defina una función de una sola variable, así como el máximo subconjunto de

variación de esa variable.

SOLUCION.

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Indicando por A el área y por x y y las longitudes de los catetos de un triángulo

cualquiera de la colección de todos los triángulos rectángulos con perímetro 2p, donde p

es una constante, se tiene que 1

A x y , es decir, el área A como una función

de dos variables,1

( , ) .2

A g x y x y Si se tiene en cuenta que el perímetro de

estos triángulos es 2p, se obtiene la relación:

p2yxyx 22

Despejando 22 yx , elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación

resultante y simplificando se obtiene:

0py4px4xy2p4 2

Despejando y, resulta

2 ( )2

x py p

( , )2

x pA g x y px

2²x y

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y de aquí se obtiene la expresión buscada:

pxpx)x(AA

Pasemos a determinar el máximo subconjunto de variación de la variable x. Obviamente

el menor valor que puede tomar la variable x es el cero y el mayor valor que puede

alcanzar es p que corresponde al caso en que y = 0 o la hipotenusa coincide con el otro

cateto, y por lo tanto toma los mismos valores que x, resultando entonces p2x2 , de

donde se tiene que px . Se concluye que 0,x p .

2) Sea: f(x)=

27 ; 2, 6

4sgn( ² 1) ²,1 2

1², 1

trazar la gráfica de f y determinar el

Rango.

SOLUCION.

27 ; , 2 2,6 6,

( ) 4 ²,1 2

1 ², 1 1

f x x x f

13 27( ) : , ,7 7,

2 4Ran f y

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3) Hallar el Dominio de la función 1 2

( ) ² 1

Solución:

( 2,27 / 4)

(2,13/ 2)

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1 2( )

( ) : /1 2 0 1 0 2 1 1

1 3 ( 1 1) 1,3]... ( )

D f x R x x x x

x x x x D f

4) Hallar el rango y graficar la función f(x) = sgn(² 5

Solución.

Dom(f): 2x R

( 5)0 , 2 0,2 5,

( 2)( 2)

0 0,5( 2)( 2)

0 2,0 2,5( 2)( 2)

1 , 2 0,2 5,

( ) 0 x= 0,5

1 x <-2,0> <2,5>

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5) Hallar el Dominio de la función 1³1-x² 1²

Y graficar la función ( ) x²-1 ³ 1g x x .

Solución:

1 2( ) x²-1 ³ 1

( ) : /1 2 0 1 0 1 1 0

2 1 1 1 1

1 3 ( 1 1)

1,3] ([1, 2 [ 2, 3 )

1, 2 [ 2, 3 ... ( )

xf x x

D f x x x x x

x x x x

x x x x x

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0; [0, 2 [ 2, 3

1; 1,0

3; [ 2, 1

( ) 2; 2, 2

5; [ 3, 2]

6) Sea 2 2

4 4( ) , ( )

x xh x y

Hallar el dominio y rango de la función h

Solución.

Rx … Dom(h)

4( ) : ( ) / ( )

xRan h y R x Dom h

0441 22 yxyxxyx

24 16 4

22 4 yx R

24 0 0 4 0y y y y 022 yy

Pero si 0)0(0 yfx

PRACTICA

I) Hallar el dominio de f, si f es la función definida por :

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1) xxx

16²)(

2) 1- 1

)(xxxx

4) 16²)16sgn(3

)2²sgn(12²)(

5))16sgn(23x

12xx³- 16)(

6) 1³1-x² 1²

7) 32²

8) ² ²344)( xxxf

II) Hallar el rango de la función:

3) xxf 11)(

4) h(x) = 1

0)4()4

,( 2xxx

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9) Hallar todos los valores reales de x , si es que existen tales que :

sgn 02

1²sgn

10) Sea: f(x)=

21,²)1²sgn(4

trazar la gráfica de f y determinar el rango

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN SENO:

f: R R/ f(x) = senx ; (y = senx)

Dom ( f ): x R

Ran (f): y -1,1

Sen(-x) = -sen(x) , ( )x x Dom f

Sen(x+2)= senx ,( 2 ) ( )x x Dom f

2 = Período

(x,y)=(cost, sent)

(-1,0)=(cos, sen)

x2+y2=1

(0,-1)3 3

(cos , )2 2

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FUNCIÓN COSENO:

f: R R/ f(x) = cos(x) ; ( y = cos(x))

Dom (f): x R

Ran (f): y -1,1

Cos(-x) = Cos(x) , ( )x x Dom f

Cos(x+2) = Cos(x) ,( 2 ) ( )x x Dom f

2 = Período

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FUNCIÓN TANGENTE:

f: R R/ f(x) = tg(x) ; (y = tg(x)=( )

cos( )

Dom ( f ): x R 2 1

Ran (f): y R

tg(x+)= tg(x ) ,( ) ( )x x Dom f

= Período

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FUNCIÓN COTANGENTE:

f: R R/ f(x) = cotg(x) ; (y = cotg(x)=( )

sen x)

Dom ( f ): x R ; k k Z

Ran (f): y R

cotg(x+)= cotg(x ) ,( ) ( )x x Dom f

= Período

NOLAN JARA J.

FUNCIÓN SECANTE:

f: R R/ f(x) = sec(x) ; (y = sec(x)=1

cos( )x)

Dom ( f ): x R 2 1

Ran (f): , 1 1,y

NOLAN JARA J.

FUNCIÓN COSECANTE:

f: R R/ f(x) = cosec(x) ; (y = cosec(x)=1

( )sen x)

Dom ( f ): x R ; k k Z

Ran (f): , 1 1,y

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Las funciones sinusoidales

La forma más general de una función sinusoidal es:

0( ) ( ( ))f x Asen w x x B

O también:

0( ) cos( ( ))f x A w x x B

En la que aparecen cuatro parámetros: 0, , ,A w x B conocidos con los siguientes

nombres: A es la amplitud.

w es la frecuencia, que se denomina pulsación en el caso en que la variable

independiente sea el tiempo.

0x es el ángulo de fase o desfasamiento.

B es el valor promedio de f (x).

La amplitud A determina el valor máximo que puede adquirir la función. Puesto que

las funciones seno y coseno oscila entre -1 y 1, al multiplicarla por un factor A oscilará

entre –A y A tal como indica la figura

NOLAN JARA J.

En la que se han representado simultáneamente las funciones:

f (x) = sen(x) y f (x) = 3sen(x)

El parámetro w está relacionado con el valor P del periodo de la función sinusoidal ,

puesto que se cumple:

2 2P w

La siguiente figura es la representación gráfica simultánea de dos funciones que

difieren en el parámetro w : f (x) = sen(x) y f (x) = sen(4x). Se observa perfectamente

que la diferencia de periodos entre ellas es: la primera tiene un periodo 2 y el de la

segunda es de .2

Finalmente, el desfasaje 0x modifica la posición horizontal de la curva: al aumentar su

valor la sinusoide se desplaza hacia la izquierda. Esta propiedad se puede comprobar en

la siguiente figura donde se representan simultáneamente las funciones

f (x) = sen(x) y f (x) = sen(x + 0.5)

NOLAN JARA J.

Obviamente, si el desfasaje fuese negativo la curva quedaría desplazada hacia la

derecha.

Puesto que las funciones seno y coseno tienen la misma forma, estando desplazadas

horizontalmente una con respecto de la otra, tal como indica la siguiente figura, resulta

evidente que sólo difieren entre sí en un defasaje.

NOLAN JARA J.

Para obtener la función coseno a partir de la función seno basta con desplazar esta

última 2

hacia la izquierda, por lo que se deduce:

Este hecho permite representar cualquier función sinusoidal sea en forma de un seno o

bien en forma de un coseno.

Ejemplos.

1) Un sistema masa resorte oscila sinusoidalmente una vez cada 1.3 segundos entre

0.025 y 0.04 metros, determinar: la frecuencia de oscilación, una función que describa

el movimiento y la grafica de esta función.

Solución.

Supongamos que el movimiento se describa por la función:

0( ) cos( ( ))f t A w t t B .

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que 0t = 0. en el enunciado del problema

se dice que el periodo es de 1.3 segundos ( P = 1.3 ), entonces la frecuencia es:

= 4.83322

Como la función varia de 0.025 a 0.04 metros se tiene que:

A + B = 0.04

-A + B = 0.025

Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene que:

A = 0.0075 ; B = 0.0325

Con estos resultados obtenemos la función que describe el movimiento de la masa:

2( ) 0.0075cos( ) 0.0325 0.0075cos(4.8332 ) 0.0325

tf t t

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2) Aproximadamente la temperatura en la ciudad del Cuzco varia de forma sinusoidal

durante el año. Si la máxima temperatura es de 32 º c el primero de agosto y la mínima

es de 27 º c el primero de febrero, determine una función para la temperatura en el

Cuzco durante el año y después graficarla.

NOLAN JARA J.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Sean f,g: R R

2, / ( ), ( )f x y R y f x x Dom f

2, / ( ), ( )g x y R y g x x Dom g

1º) f=g Dom(f) = Dom(g) y f(x) = g(x) x Dom( f )

Ejemplo:

51)( xxxf

( ) 1 5g x x x

Solucion:

,51,:)( xfDom

( ) : 5,Dom g x

Dom ( f ) Dom ( g ) fg

2, / ( ) ( );f g x y R y f g x f x g x x Domf Domg

2. , / ( ) ( ). ( ),f g x y R y fg x f x g x x Domf Domg

NOLAN JARA J.

2 ( ), / ( ) ; ( ) ( ) tal que ( ) 0

f f f xx y R y x x D f D g g x

g g g x

)()( gDomfDomg

tal que g(x) 0

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si f,g: R R

(fog)(x) = f(g(x))

fog Dom(fog) 0

( ) / ( ) ( ) ( )Dom f o g x R x D f g x D f

O tambien

( )Dom f o g ( ) / ( ) ( )x Dom g g x Dom f

R(g)D(f)

b=g(a)

c = f(b)

= f(g(a))

= (fog)(a)

h = f og

NOLAN JARA J.

Generalmente: fog gof

FUNCION INVERSA

FUNCION INYECTIVA:

Sea fRR/y=f(x) f es inyectiva si y solo si

1 2 1 2

( ) ( )

f x f x x x

x x Dom f

O también f es inyectiva si y solo si

1 2 1 2

( ) ( )

x x f x f x

x x Dom f

NOLAN JARA J.

Geométricamente

Es decir si toda recta horizontal que corta al grafico de una funcion, lo corta en un solo

punto entonces la funcion es inyectiva

NOLAN JARA J.

Como f(x1) = f(x2) y x1 x2 entonces f no es inyectiva.

FUNCION SOBREYECTIVA:

Sea f: A B/y = f(x)

f es sobreyectiva si y solo si Ran ( f ) = B

O también f es f sobreyectiva Si y B xA / f(x) = y

FUNCION BIYECTIVA

Sea f: A B/ y = f(x)

f es biyectiva f es inyectiva y sobreyectiva

Sea f: A B/ y = f(x); x Dom (f)

f = (x,y) AxB / xD( f )

NOLAN JARA J.

y si f es inyectiva la función inversa de f: f - 1

ó f *

Donde f - 1

= (y,x) BxA / xDom( f )

Tal que: Ran ( f -1

) = Dom( f )

Dom ( f -1

) = Ran( f )

Una forma práctica para hallar f - 1

consiste en que a partir de la ecuación

y = f(x) intercambiar variables obteniéndose la ecuación x = f ( Y )

Luego despejamos Y = f - 1

Observación: Si f y g son dos funciones inyectivas se tiene que.

f o f -1

= f -1

o f = I (I función identidad)

(f o g)-1

FUNCIÓN EXPONENCIAL

f: R R/ f(x) = ax ; ( y = a

x ) ; a>0 a1

Dom(f): x R

Ran(f): y = ax

>0; y > 0

0, Si x

1º) Si 0<a<1;y = ax = , Si x -

NOLAN JARA J.

, Si x

2º) Si a>1; y = ax = 0, Si x -

FUNCIÓN LOGARITMO

f: R R/ f(x) = loga x ; ( y = loga x ) ; a>0; a1

NOLAN JARA J.

Dom(f): x>0

Ran(f): yR

1º) Si 0 < a < 1

2º) Si a >1

NOLAN JARA J.

FUNCION: PAR – IMPAR Y PERIÓDICA:

Sea f:R R / y=f(x)

1º) f es par f(-x) = f(x), x, -x Dom(f)

El gráfico de f es simétrico al eje y

2º) f es impar f(-x) = -f(x), -x, x Dom(f)

El grafico de f es simétrico con respecto al origen.

3º) f es periódica Sii: f(x+p) = f(x) x, x+p Dom(f)

P: Período; P>0

Ejercicios:

1. Sea 2( ) ( 1)f x ln x x Hallar f -1

Solución.

Dom ( f ): x R

si y solo si f es inyectiva

NOLAN JARA J.

f es inyectiva si y solo si: f(x1) = f(x2) x1 = x2 xDom(f) = R

En efecto:

Si )()( 21 xfxf 2 2

1 1 2 2( 1) ( 1)ln x x ln x x

11 xxxx2 2 2 2

1 2 2 1( ) ( 1 1)x x x x

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 1 1 22 1 1 2 ( 1)( 1)x x x x x x x x

1 xxxx 2

1 2( ) 0x x 1 2 1 20x x x x

f es inyectiva f -1

A partir de: 2( 1)y ln x x ; intercambiamos variables

2( 1)x ln Y Y ; 1( )Y f x

2 2 2 21 ( ) ( 1)x xe Y Y e Y Y

2 2 22 1x xe e Y Y Y 1; ( )2

x xe eY Y f x

)(1 xSenhee

2; 2...( )

; 4...

x x x ff x

x x x f

Hallar f -1

Solución.

i) f es inyectiva

ii) Ran( f 1 ) Ran( f 2 ) =

NOLAN JARA J.

i) f es inyectiva si y solo si f 1 y f 2 inyectiva

f1 es inyectiva si y solo si

f1 (x1) = f1(x2) x1 = x2 x > 2 …. D( f 1 )

en efecto

1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 2 2

................

si f x f x x x x x

1 2 1 x x f es inyectiva ( ejercicio )

f 2 es inyectiva si y solo si

f 2 (x1) = f 2 (x2) x1 = x2 x < - 4 …. D(f2 )

en efecto

si f2 (x1) = f2 (x2)

………….

1 2 2 x x f es inyectiva ( ejercicio )

Ran (f1): ,2)(1 xxxfy 1

1 12, ( ) ( )x D f R f

1 14, ( ) ( )y R f D f

Ran (f2): 4,;)(2 xxxxfy 1

2 2( ) ( )D f R f

2 2, 6 ( ) ( )y R f D f

Como R ( f 1) R ( f 2 ) = 4, -,-6 = f -1

existe

f = f1 f2 f -1

= f1-1

a) ¿ f1-1

A partir de 2)(1 xxxfy intercambiamos variables

x Y Y, Y = f 1-1

NOLAN JARA J.

2 22 2 2x Y Y Y x xY Y

2 2(2 1) 2 0Y x Y x 2 1 4 9

2 1 4 9( ) ; 4,

x xf x x

b) ¿ f2-1

xxy Intercambiando variables

2 22 1 (2 1) 4

x x xY

2 1 1 4; 6

x xY f x

2 1 4 9

)(1 xf =

3. Sean: 2

2 ; si 3 2.....( )

1 4; si 4.....

x x ff x

( ) 4 3; si , 4 0, 2

g x x x

tal que f h g hallar la funcion h

NOLAN JARA J.

Solución:

4; 4 0 , 2 2, 4

4 ²; 4 0 2, 2

x Si x sii xx

x Si x sii x

4 3; , 4( )

4 3; 0,2

x si x gg x

x si x g

Como f = h-1

o g , si g -1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

( ) ( )

fog h og og h o gog h oI h

fog h h

fog gof

1......(*)h gof

f1 y f2 son inyectivas y Ran( f1 ) Ran( f2 ) =

i) f1 es inyectiva f1 (x1) = f2 (x2) 1 2 3,2x x x

1 )(2)(2 xx 2

1 xx 21 xx

inyectivaesfxx 121

ii) De igual manera f2 es inyectiva

2º) R(f1): y -2,-1

NOLAN JARA J.

R(f2): y <-, 1- 23

R(f1) R(f2) =

De (1º) y (2º): f -1

, f -1

= f1-1

¿ f1-1

? 2 22 2y x x Y 1( ) 2Y f x x ; 2, 1x

¿ f2-1

41 2 xy 21 4x Y

2 ( ) 2 5Y f x x x

,1 2 3x

Ahora 1

2 ; 2, 1 ( )

4 ( 1) ; ,1 2 3

x si x ff x

x si x f

......(*)1 gofh

)()( 1

ffoggh

1 1 1 1

1 1 1 2 2 1 2 2h g of g of g of g of

1 1 1 1 1( ) : ( ) ( ) ( )D g of x D f f x D g

4212 xx

NOLAN JARA J.

1 2 2 2 1( ) : ( ) ( ) ( )D g of x D f f x D g

4,)1(4321 2 xx

4)1(4321 2 xx

21 2 3 4 ( 1) 16x x

21 2 3 ( 1) 12x x

1 2 3x ( 1 2 3 1 2 3x x )

1 2 3x 321321( xx )

,1 2 3x

1 2( ) :D g of ,1 2 3x

1 2 2( ) ( ( )) 4 3 1 3 2g of f x x x

1 2( )( ) 2, ,1 2 3g f x x x

2 1 1 1 2( ) ( )D g of x Df f x Dg

2 1 2 0,2x x

2212 xx

2 12, 1 ..... ( )x D g of

2 1 1( ( )) 4 ( ( )) 3g f x f x 32 x

12;32))(( 1

12 xxxfg

ofgD 1 1

2 2 2x Df f Dg

NOLAN JARA J.

2, ,1 2 3x x

h =g o f -1

2 3; 2, 1x x

Mas Ejemplos.

1) Sea 1log)( 2 xxxf a ¿f es impar?

Dom ( f ): xR

f(-x) = -f(x) -x, x Dom(f)

xxxf a 1log)( 2 Racionalizando

f ( -x )

2xxa 2log 1a x x )(xf

NOLAN JARA J.

2 ) Sea:

xSenxf

Dom(f): xR

Ran(f): 00 33

Seny ;33

22 xCos

.......(*)3

NOLAN JARA J.

2,1 y (Ran(f))

de (*): 3

xSenxf

f(x+P) = f(x)

xSenPxSen3

2 xSenP

2 xSen

xCosPCos

NOLAN JARA J.

3) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100

y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) = te 900100

100000

Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuánto tarda la población en

SOLUCION.

y:Población ; t:tiempo

100000 1000( ) = ; 0 ( )

100 900 1 9

(0) 100 ; 1000 ( ) 100,1000 ( )

t ty p t t Dom p

p si t y y p t Ran f

NOLAN JARA J.

La función P es inyectiva existe la función inversa de P

1000 1000 9( ) 1 9

1 9 1000

900 ln 81 4ln(3) 4.394449154

yy p t e e

cuando y t t años

Por ejemplo sea la expresión:

2 ; 2 , 2 1 , ( )

2 2 ; 2 1,2 2 ,

x n x n n nf x

n x x n n n

a) Verifique que f es una función de R en R .

Solución. Si:

(2 1) 2 12 1 ( )

2 2 (2 1) 1

: ; ( ) :

n nx n f x

n f R R D f x R

NOLAN JARA J.

b) Encuentre el mayor conjunto

( ) donde la expresion g(x)= define una funcion.

f xA R

Solución:

21 ; [2 ,2 1]; 0

( )( )

2 21; [2 1;2 2

nx n n x

f x xg x

nxx n n

1; 0,1

( 0)21; [1,2

21 ; [2,3

( ) ( 1)4

1; [3,4

0A R .

c) Grafique g: AR

NOLAN JARA J.

Solución:

d) Pruebe que para todo n la función F: 1

2 1,2 2 0,2 1

Definida por F(x)=g(x), es biyectiva. Encuentre la inversa de F.

Solución:

2 2( ) ( ) 1; [2 1,2 2

nF x g x x n n

F es biyectiva si y solo si

1º) F es inyectiva (si es inyectiva,demuéstrelo)

2º) F es sobreyectiva

1 0 2 3 4

NOLAN JARA J.

1 1 12 1 2 2.... ( )

2 2 2 1

2 2 2 21

2 2 10 1 ;

1( ) 0, : ( )

es sobreyectiva de (1º) y (2º): F es biyectiva

1 1como; ( ) : 0,1] 0, ] 0, ] ...

1: 0,1] 0, ] 0

n x n D Fn x n

y F x R Fn

1, ] ...5

no existe.F

NOLAN JARA J.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Sabemos que la ecuación de la hipérbola equilátera con eje focal en el eje x y centro en

el origen de coordenadas es

2 = 1 ......... (Hipérbola) (*)

Definamos a:

cosh( );2

t te ex t t R

( ); ; x R2

t te ey senh t t R

En (*)

2 2 1² ² ( ) ( ) (4) 1

t t t ye e e ex y Cosh t Senh t

2 2( ) ( ) 1Cosh t Senh t

12 1 t R

e ee t R x

; t R2

t te ey R

t te et

…función coseno hiperbólico de t

t te esenht

… función seno hiperbólico de t

NOLAN JARA J.

FUNCIÓN COSENO HIPERBÓLICO:

: / ( ) cosh( ); cosh( )2

x xe ef R R y f x x x

Dom(f): xR

Ran(f): y 1

FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO:

NOLAN JARA J.

: / ( ) ( ); ( )2

x xe ef R R f x senh x senh x

Dom( f ): xR

Ran( f ): y R

2. Sea 2( ) ( 1)f x ln x x Hallar f - 1

Solución.

Dom ( f ): x R

Ran( f ): y R

si y solo si f es inyectiva

f es inyectiva si y solo si: f(x1) = f(x2) x1 = x2 xDom(f) = R

NOLAN JARA J.

En efecto:

Si )()( 21 xfxf 2 2

1 1 2 2( 1) ( 1)ln x x ln x x

11 xxxx2 2 2 2

1 2 2 1( ) ( 1 1)x x x x

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 1 1 22 1 1 2 ( 1)( 1)x x x x x x x x

1 xxxx 2

1 2( ) 0x x 1 2 1 20x x x x

f es inyectiva f -1

A partir de: 2( 1)y ln x x ; intercambiamos variables

2( 1)x ln Y Y ; Y = f - 1

2 2 2 21 ( ) ( 1)x xe Y Y e Y Y

2 2 22 1x xe e Y Y Y 1; ( )

x xe eY Y f x

1 1( ) ( ) ; si ( ) ( )2

x xe ef x Senh x f x g x

NOLAN JARA J.

Función Tangente Hiperbólica

h( ) 1: / ( ) h( ); ( )

cos ( ) 1

sen x ef R R y f x tg x tgh x

Dom( f ): x R

Ran( f ): y 1,1

NOLAN JARA J.

Función Cotangente Hiperbólica

cosh( ) 1: / ( ) h( ); ( )

x ef R R y f x cotg x cotgh x

senh x e

Dom( f ): x R- 0

Ran( f ): y , 1 1,

NOLAN JARA J.

Función Secante Hiperbólica

1 2: / ( ) h( ); ( )

cos ( ) 1

ef R R y f x sec x sech x

Dom( f ): x R

Ran( f ): y 0,1

NOLAN JARA J.

Función Cosecante Hiperbólica

1 2: / ( ) h( ); ( )

ef R R y f x cosec x cosech x

senh x e

Dom( f ): x R- 0

Ran( f ): y R- 0

NOLAN JARA J.

PRACTICA DE FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

I) Hallar el dominio de f, si f es la función definida por:

3) ( ) 1f x x x

5) h(x) = 1

6) xxx

16²)(

NOLAN JARA J.

8) )(xf 32²

9) ² ²344)( xxxf

III Hallar el dominio y rango de f, si f es la función definida por:

1) f (x) = x

1 (graficar)

2) f(x)= ²2 xx (graficar)

5.- xxf 11)(

6.- ( )x x

f xx x

7.- 1 3

( ) ; 2, 41 3

xf x x

8.- 2f(x)=x 4 ; 0,62 3

x xx x

Hallar el Dominio Rango y Graficar la función f, si:

1) f(x) =

1 xsi ,x

1x0 si ,

0 x²,

2) f(x) =

1 xsi , x²1

1x0 si ,x

0 xsi , x

NOLAN JARA J.

3) f(x) =

2 xsi , x²-5

2x1 si , 1-x

1 xsi ,1 x

4x4. f(x)=

5. f= , 1 02

x 16 ; si -6 x - 4

6. ( ) x+4 3 ; si 0<x 6

4x-25 ; si x > 7

17. f(x)= x-1

xx x x

2x-1f(x)=

9. f(x)= x

10. f(x)=x 42 3

11.- 2²

12.- 4²

0)4()4

,( 2xxx

14.- 4

15.- f ( x ) = ( x ) – 2 (x ² - 9) + ( 1- x ³ ), :función escalón unitario

16.- f ( x ) = u( 42 x )-3u(x ³-1) + 2u(5x-x²) ,u: función escalón unitario

17.- f(x)= xx

NOLAN JARA J.

18.- f(x)= 13

2xsgn( ²9

19.- f(x) =

21,²)1²sgn(4

20.- 7 15

( ) 2 ; 1,01

xf x x x

21.- 1

( )f x xx

II) Hallar todos los valores reales de x, si es que existen, tales que:

1.- sgn sgnx

2.- sgn 02

1²sgn

III) En las siguientes funciones: Hallar su Dominio, Rango, si es periódica hallar su

periodo mínimo y luego hacer su gráfico:

sen=y .d Cos2x=y .

cossen=y -c. Sen4x5=y .

e.- f x x x( ) 2 2 3 3 f.- f(x)= xxsen3

g.- f(x)=[/2x/]-2[/x/] h.- f(x)=x-[/x/]

i.- f(x)=sen( )4

k.- f(x) = cos( )3

¿ Es periódica la función y senx sen x 2 ?. Explicarlo.

IV) Sean las funciones:

NOLAN JARA J.

1 sgn(3 ) ; x 0,6f(x)=

; x 6,10

g(x) =

Hallar: f g ; f.g ;f

g; fggf ; si .

2.- g = { (3,6);(5,9);(7,5);(8,4) } ; h = { (3,9);(5,2);(8,7) }

Hallar f tal que: f g = h

3.- 22

22 1)(;

xaxaxg

Hallar h tal que: f h = g

2 ;x -1,1

x 1 1 ; x 1,2

; x - 2,-1

g; fggf ; si .

6 1 ; x -1,8

16 ; x -5,-3

NOLAN JARA J.

; x -1,1 2( )

1 ; x 1

g; fggf ; si .

6.- f (x ) = /x-3/ + /x+1/ y g (x) =

1 x;x -2

1 x; 13x

Hallar f + g, f-g, f/g, fog si .

7.- f(x) =

0 x; cos4

-1x3- ; 21

x y g(x)=

0 x; ²

g; fggf ; si .

8.- f ( x ) =

2...,2

2...,6²

xsixx g(x)=2x-4 ; si x>2

g; fggf ; si .

8.- 31/x-3x,gy 01/², xxxxxf . Hallar fog-1

9.- 4²)( xxf y g = {(-1,-2 2 );(2,-1);(4, 5 );(3,4);(7, 5 )}. Hallar fog

10.- Si f (x) = x4 +2x² + 2 , hallar dos funciones g , para los cuales:

(fog)(x)= x4

- 4x²+5

11.- hallar f(x); si: g(x)=cosx1

senxf(g(x))y

12.- f (x) = x-2g(x) ; 3

g; fggf ; si .

NOLAN JARA J.

V) Mostrar que el grafico de la función f(x)= 1a , 1²log xxa , es simétrica con

respecto al origen de coordenadas.

VI) Sea f(x)= )1-x²

xsgn( ²4 x probar que f es una función impar en su dominio

VII) Hallar: f(1/x) ; f(f(x)) , si: 1) f(x) = 1x

x ; 2) f(x) =

Hallar: FoG ; GoF si existen , indicando su dominio

1) F(x) =2

3x , G(x) = 1x ; 2) F(x) =

x , G(x) = x3

3) F(x) = 1² x , G(x) = 3

x ; 4) F(x) = lnx , G(x) = x²-9

VIII) Probar que las siguientes funciones son inyectivas y hallar su inversa:

1) f(x)=12

x ; 2) f(x)= 1x : 3) f(x) =

1 ; 4) f(x) =

IX) Hallar la composición de f con la inversa de f para las funciones del problema VIII

X) Hallar la composición de la inversa de f con f para las funciones del problema VIII

XI) Si f(x) = 2x +lnx , encuentre f -1

XII) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de

100 y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) = te 900100

100000

Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población en

XIII) Si: 31/x-3x,gy 01/², xxxxxf . Hallar fog-1

XIV) Hallar f -1

si existe:

10 x; 1-x

0x3- ; 3x

-4 x; 86²

NOLAN JARA J.

2.- f(x)=- -7x; 76² xx

3.- f(x)=- -9x; 98² xx

10 x; 1-x

0x3- ; 3x

-4 x; 86²

5.- f(x) =

21,²)1²sgn(4

6.- f(x) = x - 4 - x; x .

7.- f(x)= 4 +5 x x

NOLAN JARA J.

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