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Facultad de Ciencias Facultad de Ciencias AgrariasAgrarias

Ingeniería AgronómicaIngeniería AgronómicaIngeniería AgronómicaIngeniería Agronómica

Matemática IIMatemática II

Universidad Nacional del LitoralUniversidad Nacional del Litoral

Límite de funcionesLímite de funciones

Noción intuitiva deNoción intuitiva de

Sea la función f : R R / f(x) = –x2 + 2x +3 Su gráfica es:

¿Cómo se comportan los valores de f(x) en las proximidades de x = 2?

x f(x)

1,5

1,75

1,9

1,99

3,75

3,4375

3,19

3,0199

…..

2

…..

3

Si x tiende a 2 por la izquierda x

2–

f(x)

3+

x f(x)

1,5

1,75

1,9

1,99

3,75

3,4375

3,19

3,0199

…..

2

…..

3

Si x tiende a 2 por la derecha

x

2+

f(x)

3+

x

2–

f(x)

3-

2,5

2,25

2,1

2,01

….. …..

1,75

2,4375

2,79

2,9799

Si x se aproxima a 2 por valores menores que él, los valores de la función se aproximan a 3.

De la misma manera, si x se aproxima a 2 por valores mayores que él, los valores de la función se aproximan a 3.

Puede observarse que:Puede observarse que:

También puede decirse que:También puede decirse que:Los valores de la función están próximos a 3 para valores de x suficientemente cercanos a 2.

También puede expresarse:También puede expresarse:

El límite de la función f(x) = (–x2 + 2x +3) es 3 cuando x tiende a 2.

En símbolos:En símbolos:

lím (–x2 + 2x +3) x 2

= 3

Sea la función f(x) =2x2 – 2 x – 1

Dominio: D = {x / x R x 1}

¿ Cómo se comportan los valores de f(x) en las proximidades de x = 1?

es equivalente con la expresión f(x) = 2(x + 1)

La expresión analítica de f(x) =2x2 – 2 x – 1

para todo valor de x distinto de 1.

Por lo tanto la gráfica de f(x) = es 2x2 – 2 x – 1

la recta y = excluido el punto (1, 4)2x + 2

pues la función no está definida en x = 1.

¿A qué valor se acerca f(x) a medida que x se aproxima a 1?

Si x se aproxima a 1 por la izquierda, los valores de la función se aproximan a 4.

Si x tiende a 1 por valores menores:

Si x se aproxima a 1 por la derecha, los valores de la función se aproximan a 4.

Si x tiende a 1 por valores mayores:

Cuando x se acerca a 1 por derecha o por izquierda, los valores de la función se aproximan a 4.

En símbolos:En símbolos:

x 1 = 4 lím 2x2 – 2

x – 1

El límite de la función, cuando x tiende a 1, es 4.

lím (–x2 + 2x +3) x 2

= 3 x 1

= 4 lím 2x2 – 2 x – 1

La existencia del límite de una función en un punto es independiente de lo que ocurre con la función en dicho punto.

No existe f(a); a Df

Existe f(a) lím f(x) x a

= L lím f(x) x a

= L

lím f(x) x a

f(a)

Existe f(a) lím f(x) x a

= L

lím f(x) x a

= f(a)

Independientemente del comportamiento de la función en el punto, el límite de la función f(x) cuando x tiende a “a” es el número L.