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Factorización de productos especiales Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Productos especiales

Cuando se multiplican dos binomios de la forma

(a – b)(a + b)

obtenemos como resultado,

a2 + ab – ab – b2

a2 – b2.

Este tipo de binomio se conoce como una diferencia de cuadrados.

Diferencia de cuadrados

La observación anterior nos permite

generalizar la factorización de una

diferencia de cuadrados.

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Diferencia de cuadrados

2) Factorice: p2 – 25 =

3) Factorice: 49w2 – 100 =

(p – 5)(p + 5)

(7w – 10)(7w + 10)

1) Factorice: y2 – 9 = (y – 3)(y + 3)

OJO: Debemos identificar cuál es la

expresión que se cuadra en cada extremo

(7w)2 – (10)2

Diferencia de cuadrados

4) Factorice: 36y2 – 132 =

5) Factorice: 9z2 + 16 =

(6y)2 – 132

No es una diferencia de cuadrados.

Es una suma de cuadrados. La suma de

cuadrados NO factoriza.

No es una diferencia de cuadrados ya que

132 no es un cuadrado perfecto.

Sólo tiene factor común: 12(3y2 – 11)

Diferencia de cuadrados 6) Factorice: 100y2 – 81x2 =

7) Factorice: 128 – 18y2 =

= (10y – 9x)(10y + 9x)

(8 – 3y)(8 + 3y)

OJO: Luego, dejar a un lado el factor constante e identificar

cuál es la expresión que se cuadra en cada extremo de la

expresión que queda.

(8)2 – (3y)2 =

OJO: Primero, remover el factor común de 2.

= 2(64 – 9y2)

La factorización completa es: 2(8 – 3y)(8 + 3y)

OJO: Primero identificar cuál es la expresión que se cuadra

en cada extremo

(10y)2 – (9x)2

Trinomios cuadrados perfectos Ejemplo: Como elevar un binomio al cuadrado es

equivalente a multiplicarlo por sí mismo, tenemos

= x2 + 5x + 5x + 25

= x2 + 10x + 25

¿Cuáles observaciones podemos hacer?

(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5)

Trinomios cuadrados perfectos Ejemplo: Multiplique

= 9x2 –6x – 6x + 4

= 9x2 – 12x + 4

¿Cuáles observaciones podemos hacer?

(3x – 2)2 = (3x – 2)(3x – 2) (3x – 2)2 = (3x – 2)(3x – 2) (3x – 2)2 = (3x – 2)(3x – 2) (3x – 2)2 = (3x – 2)(3x – 2)

Se llama

trinomio cuadrado perfecto

al polinomio de tres términos en el cual, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el producto doble de las bases de esos cuadrados.

Ejemplo:

4x2 + 4x + 1

Es un trinomio cuadrado perfecto porque

• 4x2 es el cuadrado de 2x

• 1 es el cuadrado de 1

• El doble de 2x y 1 es 4x

Trinomios cuadrados perfectos

Estas son las bases

de los cuadrados

(2 ∙ 2𝑥 ∙ 1 = 4𝑥)

Trinomios cuadrados perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto se

factoriza

a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a+b) = (a + b)2

Ó

a2 - 2ab + b2 = (a - b)(a - b) = (a - b)2

Trinomios cuadrados perfectos Factorice los que son trinomios

cuadrados perfectos:

x2 – 4x + 25

x2 + 4x + 4

x2 + x + 1

x2 – 8x + 16

4x2 – 12x + 9

9x2 + 6x + 1

Metodos combinados

3x2 – 6x + 12

5x2 + 10x + 5

Lo que queda en paréntesis NO es un trinomio cuadrado perfecto.

No factoriza por el método AC por que NO existen factores de 4 que sumen -2.

= 3(x2 – 2x + 4)

= 5(x + 1)2

= 5(x2 + 2x + 1)

1) Factorice:

2) Factorice: OJO: Primero, remover

el factor común de 5.

OJO: Luego, reconocer que

es un trinomio cuadrado

perfecto.

Metodos combinados 3) Factorice: 3 – 12q2 =

3(1 – 4q2)

De primera intención, no parece ser una diferencia de cuadrados. Pero si removemos el factor común de 3 tenemos

(1 – 2q)(1 + 2q)

La factorización completa es:

3 – 12q2 =

No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.

(1 – 4q2) =

3 – 12q2 = 3(1 – 2q)(1 + 2q)

Metodos combinados 4) Factorice: 4x – x3 =

x(4 – x2)

Removemos el factor común de x tenemos

(2 – x)(2 + x)

La factorización completa es:

4x – x3 =

No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.

(4 – x2) =

4x – x3 = x(2 – x)(2 + x)

Metodos combinados 5) Factorice: 16y5 – y3 =

y3(16y2 – 1)

Removemos el factor común de y3 tenemos

(4y – 1)(4y + 1)

La factorización completa es:

16y5 – y3 =

No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.

( 16y2 – 1) =

16y5 – y3 = y3(4y – 1)(4y + 1)

Metodos combinados

6) Factorice: 81 – 16x4 = (9 – 4x2)(9 + 4x2)

No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.

(9 – 4x2)= (3 – 2x)(3 + 2x)

La factorización completa es:

81 – 16x4 = (9 + 4x2) (3 – 2x)(3 + 2x)

Práctica

• Factorice completamente.

1.

2.

3. 360 – 10x2 =

23 24 45x x

3 26 31 5x x x

23 8 15x x

3 5 3x x

26 31 5x x x

6 1 5x x x

10(36 – x2)

= 10(6 + x)(6 – x)