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Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla del frente en
túneles poco profundos en suelo
Orlando Andrés Melo Duque
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola
Bogotá D.C., Colombia
2017
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla del frente en
túneles poco profundos en suelo
Orlando Andrés Melo Duque
Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Ingeniería – Geotecnia
Director:
Ingeniero Civil Félix Hernández Rodríguez, Magister Scientiæ en Geotecnia.
Línea de Investigación:
Modelación y análisis en geotecnia
Área de Investigación:
Excavaciones subterráneas
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola
Bogotá D.C., Colombia
2017
A mis padres y a mi esposa, quienes con su
comprensión y apoyo hicieron más humano,
más posible el proyecto ya de por sí
laborioso, absorbente aunque gratificante que
ha sido la maestría. Los amo.
Agradecimientos
El desarrollo del presente trabajo fue posible gracias a las valiosas contribuciones,
continua asesoría y permanente ánimo brindado por el profesor Félix Hernández
Rodríguez, Ingeniero Civil, M.Sc. en Geotecnia y docente en el Departamento de
Ingeniería Civil y Agrícola de la Universidad Nacional de Colombia.
También por su permanente colaboración se expresan agradecimientos a Claudia
Esperanza Naranjo Henao, Ingeniera Civil, MIG, quien cuidadosamente generó en
formato de dibujo vectorial ciertas gráficas del documento.
Resumen IX
Resumen
Durante la excavación de túneles con máquinas tuneladoras, bien sean de slurry SS o de
presión de tierras balanceada EPB, resulta de la mayor importancia estimar la presión a
ejercer en el frente para asegurar la estabilidad de la excavación y controlar los
asentamientos del terreno. En la literatura se reportan en su mayoría propuestas de
estabilidad global del frente en dos dimensiones e incluso tridimensionales que
presentan serias restricciones cinemáticas, es decir, que no cumplen con la continuidad
de la superficie de falla. En el presente trabajo se aborda el refinamiento del mecanismo
de falla en el frente de un túnel poco profundo de sección circular excavado en suelo, a
partir de la geometría descrita por el torus, el cual sigue el desarrollo de una espiral
logarítmica en el espacio. Producto de implementar un método particular del equilibrio
límite en el mecanismo cinemáticamente factible que se propone, es posible mejorar del
lado de la seguridad la exactitud en el cálculo de la presión de soporte comparado con
los métodos teóricos disponibles, tanto para falla activa como pasiva del frente del túnel.
La calibración de los resultados obtenidos frente a la información disponible de ensayos
de centrífuga, permitió además de verificar las hipótesis sobre el estado de esfuerzos en
el instante de falla, establecer con base en el factor de seguridad el rango de operación
de la presión en la TBM que minimiza los movimientos del terreno durante la excavación.
Palabras clave: Túnel poco profundo, TBM, estabilidad del frente, factor de
seguridad, excavación subterránea, espiral logarítmica.
X Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Abstract
During soil tunnel excavation with a TBM, either Slurry-Shield or Earth Pressure Balance
type, it is of utmost importance assess the pressure to be exerted on the face to ensure
both the stability of the excavation and control surface settlements. In literature there are
reported mostly 2D or even 3D global stability proposals that do not accomplish kinematic
constraints, that is, from the point of view of a continuous failure surface. The present
work aims to improve the face failure mechanism of a shallow tunnel of circular cross-
section excavated in soil, by means of the torus geometry, which resembles a log-spiral
curve in the space. In an attempt to improve from the safe side the accuracy of support
pressure calculations compared to available theories, a particular method of limiting
equilibrium was implemented on the aforementioned kinematic admissible mechanism for
both active and passive failure. Based on centrifuge test data, it was possible to validate
hypothesis about stress state at failure and also to establish TBM operational support
pressure range which minimizes ground movements, by using the safety factor concept.
Keywords: shallow tunnel, TBM, face failure, safety factor, underground
excavation, log-spiral.
Contenido XI
Contenido
Pág.
Resumen ......................................................................................................................... IX
Lista de figuras ............................................................................................................. XIII
Lista de tablas ............................................................................................................ XVII
Lista de Símbolos y abreviaturas ............................................................................. XVIII
Introducción .................................................................................................................... 1
1. Estabilidad del frente de túneles ............................................................................. 5 1.1 Micro-estabilidad .............................................................................................. 7 1.2 Métodos de estabilidad local .......................................................................... 10
1.2.1 Atkinson y Potts (1977) ....................................................................... 11 1.2.2 Davis y otros (1980) ............................................................................ 12 1.2.3 Krause (1987) ..................................................................................... 13 1.2.4 Subrin y Wong (2002) ......................................................................... 14 1.2.5 Caquot-Kerisel (1956) integrado por Carranza-Torres (2004) ............. 15 1.2.6 Mollon y otros (2011)........................................................................... 17
1.3 Métodos de estabilidad global ........................................................................ 18 1.3.1 Horn (1961) ......................................................................................... 18 1.3.2 Murayama (1966) ................................................................................ 19 1.3.3 Broms y Bennermark (1967) ............................................................... 20 1.3.4 Mohkam (1984, 1985, 1989) ............................................................... 21 1.3.5 Leca y Dormieux (1990) ...................................................................... 22 1.3.6 Soubra (2000 y 2002).......................................................................... 23 1.3.7 Jancsecz y Steiner (1994) ................................................................... 24 1.3.8 Anagnostou y Kovári (1996): Solución escudo EPB ............................ 25 1.3.9 Anagnostou y Kovári (1994): Solución escudo SS .............................. 26 1.3.10 Broere (2001) ...................................................................................... 27
1.4 Pérdida del medio de soporte: falla pasiva..................................................... 30 1.5 Evidencia experimental .................................................................................. 33
2. Método de análisis propuesto ............................................................................... 41 2.1 Sólidos tridimensionales de falla: activo y pasivo ........................................... 42
2.1.1 Formulación del método de estabilidad del frente ............................... 43 2.1.2 Geometría de la superficie del sólido de falla ...................................... 46 2.1.3 Discretización del sólido de falla ......................................................... 51
2.2 Estado de esfuerzos ...................................................................................... 58 2.2.1 Procesos de carga y descarga ............................................................ 58
XII Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
2.2.2 Condición geostática y efecto de arco .................................................61 2.2.3 Relación de esfuerzos en la falla y criterio de fluencia .........................70
2.3 Efectos del agua y del fluido de excavación ...................................................77 2.3.1 Flujo tridimensional del agua subterránea hacia el frente ....................77 2.3.2 Flujo uni-direccional desde el frente hacia el terreno ...........................82
2.4 Balance del sistema de fuerzas ......................................................................89 2.4.1 Método del equilibrio límite en función del factor de seguridad ............90 2.4.2 Planteamiento y resolución del sistema de ecuaciones .......................92
3. Implementación y validación del modelo ..............................................................95 3.1 Programación computacional del método .......................................................95
3.1.1 Algoritmos de cálculo ...........................................................................95 3.1.2 Rutinas en MatLab® ............................................................................98
3.2 Calibración con resultados de modelación física ............................................98 3.2.1 Centrífuga en arenas ...........................................................................98 3.2.2 Centrífuga en arcillas ......................................................................... 105
3.3 Verificación por otros métodos teóricos ........................................................ 110 3.4 Aplicación práctica: rango seguro de trabajo ................................................ 115
4. Conclusiones y recomendaciones ...................................................................... 123 4.1 Conclusiones ................................................................................................ 123 4.2 Recomendaciones ........................................................................................ 125
Bibliografía ................................................................................................................... 127
A. Anexo: Rutinas cómputo MatLab® ...................................................................... 133
Contenido XIII
Lista de figuras
Pág. Figura 1-1: Elementos de la presión de soporte en el frente. ............................................ 5
Figura 1-2: Definición de la presión de soporte según el tipo de tuneladora de doble
escudo: a) EPB; b) SS. ..................................................................................................... 6
Figura 1-3: Fuerzas involucradas en el modelo de micro-estabilidad local. ...................... 8
Figura 1-4: Estado de esfuerzos en el suelo alrededor de una cavidad superficial. ........ 11
Figura 1-5: Cavidades subterráneas parcialmente soportadas: (a) cilíndrica; (b) esférica.
....................................................................................................................................... 12
Figura 1-6: Número de estabilidad para túnel en arcilla completamente revestido (P = 0).
....................................................................................................................................... 13
Figura 1-7: Mecanismos de falla en el frente asumidos por el método de Krause: a) semi-
circular, b) cuarto de círculo, c) esférico. ........................................................................ 13
Figura 1-8: Mecanismo de falla rotacional de Subrin y Wong: a) generación del
mecanismo; b) vista isométrica del mecanismo para φ = 20°. ........................................ 14
Figura 1-9: Esquemas del método de: (a) Caquot-Kerisel; (b) SRM Carranza-Torres .... 15
Figura 1-10: Cálculo del radio modificado para análisis tridimensional del túnel. ............ 17
Figura 1-11: Mecanismo de falla rotacional generado punto a punto por Mollon y otros : a)
sección longitudinal por eje del túnel; b) vista isométrica del mecanismo para φ = 30°. . 17
Figura 1-12: Modelo de estabilidad del frente de “silo-cuña” propuesto por Horn (1961). 18
Figura 1-13: Cuña bidimensional limitada por la curva espiral logarítmica según
Murayama (1966). .......................................................................................................... 19
Figura 1-14: Prueba de extrusión en laboratorio realizada por Broms y Bennermark. .... 20
Figura 1-15: Curvas que limitan el mecanismo de falla en el frente, según el método de
Mohkam: a) cilíndrico, b) espiral logarítmico. .................................................................. 21
Figura 1-16: Mecanismos de falla en el frente asumidos por el método de Leca y
Dormieux: colapso activo a) un bloque y b) dos bloques, pasivo c) un bloque................ 22
Figura 1-17: Generalización del mecanismo de falla de dos bloques de Leca y Dormieux:
a) con zona de cortante entre conos; b) serie de conos rígidos. ..................................... 23
Figura 1-18: Esquema del método de Jancsecz y Steiner. ............................................. 24
Figura 1-19: Esquema del método de Anagnostou y Kovári: a) Mecanismo silo-cuña
propuesto por Horn; b) fuerzas de filtración f y presión de soporte s’. ............................ 25
Figura 1-20: Efecto estabilizador de la suspensión: a) sin penetración; b) con penetración
dentro del terreno. .......................................................................................................... 26
Figura 1-21: Definición de símbolos en el modelo de cuña multicapa según Broere. ..... 28
Figura 1-22: Modelo de falla pasiva o blow-out incluyendo la fricción en las paredes. .... 31
Figura 1-23: Modelo de cuña de falla pasiva de Balthaus. .............................................. 32
XIV Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 1-24: Otros mecanismos de blow-out por excesiva presión de soporte en el frente:
a) burbuja de aire; b) fracturamiento del terreno. ............................................................ 32
Figura 1-25: Bulbos de falla por colapso activo en ensayos de centrífuga en arenas, para
diferentes sobrecargas por confinamiento. ...................................................................... 34
Figura 1-26: Presión normalizada de soporte contra falla activa en arenas: (a) predicción
modelos teóricos; (b) ensayos de centrífuga. .................................................................. 35
Figura 1-27: Presión normalizada de soporte contra desplazamiento normalizado del
pistón en falla activa en arenas: a) esquemático; b) ensayos C/D = 1............................. 36
Figura 1-28: Variación de la presión normalizada de soporte contra desplazamiento para
un ensayo de colapso activo de arenas en centrífuga, con C/D = 1. ............................... 36
Figura 1-29: Forma de la superficie de falla activa en un túnel en: a) arenas; b) arcillas. 37
Figura 1-30: Forma tridimensional de la superficie de falla, observada en centrífuga...... 38
Figura 2-1: Modelo de torus representado a) en sistema cartesiano y de coordenadas
locales; b) molusco esbozado por líneas tangentes y perpendiculares (Jacobiano). ....... 42
Figura 2-2: Vistas del mecanismo propuesto de falla activa en el frente, con forma de
torus espiral logarítmico: a) Isométrica, b) lateral, c) superior. ........................................ 44
Figura 2-3: Vistas del mecanismo propuesto de falla pasiva en el frente, con forma de
torus espiral logarítmico: a) Isométrica, b) lateral, c) superior. ........................................ 45
Figura 2-4: Geometría sólido de falla con forma torus espiral logarítmico tridimensional 47
Figura 2-5: Parametrización de una superficie en: a) R2; b) R3. ...................................... 49
Figura 2-6: Malla poliédrica para discretización del volumen del sólido: .......................... 52
Figura 2-7: Numeración de los vértices y las caras del elemento de volumen hexaedro. 53
Figura 2-8: División de los poliedros en tetraedros por cara a) hexaedro; b) pentaedro. . 53
Figura 2-9: División básica del poliedro en a) pentaedro; b) tetraedro básico.................. 54
Figura 2-10: Centroide de un polígono formado por caras triangulares. .......................... 55
Figura 2-11: Sólido de falla activa discretizado y centroide elementos poliédricos. ......... 57
Figura 2-12: Sólido de falla pasiva discretizado y centroide elementos poliédricos. ........ 57
Figura 2-13: Trayectoria de esfuerzos p-q en procesos de carga y descarga. ................ 58
Figura 2-14: Modelo reológico de fuerzas involucradas en la falla. ................................. 59
Figura 2-15: Desarrollo de los esfuerzos in-situ en un depósito de suelo. ....................... 62
Figura 2-16: Sobrecarga y geometría de falla pasiva o por levantamiento del frente. ..... 62
Figura 2-17: Definición de fuerzas por efecto arco en tajada infinitesimal de suelo ......... 63
Figura 2-18: Silo prismático por efecto arco con fuerzas cortantes en todas sus caras. .. 65
Figura 2-19: Silo cilíndrico por efecto arco en condición de falla activa del frente. .......... 66
Figura 2-20: Distribución de esfuerzo vertical para diferentes propuesta efecto arco. ..... 68
Figura 2-21: Posibles distribuciones de esfuerzos actuantes en la superficie de falla: 1)
Condición geostática; 2) Efecto arco 3D; 3) Esfuerzo intermedio (interpolación lineal). .. 69
Figura 2-22: Cálculo de los esfuerzos en un plano a un ángulo χ del eje principal. ......... 72
Figura 2-23: Círculo de Möhr para falla drenada. ............................................................ 73
Figura 2-24: Coeficiente de presión de tierras Kk por efecto arco. ................................... 74
Figura 2-25: Coeficiente de presión de tierras en la falla Kfn en función de la inclinación
con la horizontal del plano de falla. ................................................................................. 75
Figura 2-26: Círculo de Möhr para falla no drenada. ....................................................... 75
Contenido XV
Figura 2-27: Cálculo numérico campo tridimensional de cabeza hidráulica flujo hacia el
frente: a) malla elementos finitos b) curvas de nivel obtenidas. ...................................... 78
Figura 2-28: Flujo de agua subterránea desde el terreno hacia el frente: a) rejilla radial
propuesta b) campo de cabeza hidráulica y gradientes. ................................................. 79
Figura 2-29: Casos de infiltración del slurry o fluido de excavación: a) Filter cake formado;
b) penetración sin colmatación; c) combinación de filtración y colmatación. ................... 83
Figura 2-30: Presiones de poros por flujo hacia el frente medidas en proyecto de túnel
Second Heinenoord (cálculos en línea punteada), Países Bajos. ................................... 84
Figura 2-31: Caída de presión de poros a lo largo de la costra de perforación filter cake a)
acuífero libre; b) acuífero semi-confinado por acuitardo. ................................................ 84
Figura 2-32: Curvas de ensayo de infiltración de slurry, para distintas concentraciones
(g/L) de bentonita en la suspensión. ............................................................................... 86
Figura 2-33: Hipótesis de flujo unidireccional hacia el frente de excavación. .................. 89
Figura 2-34: Tajadas del sólido de falla a) Numeración; b) Fuerzas actuantes ............... 92
Figura 3-1: Diagrama de flujo del algoritmo para hallar la presión de soporte en el frente.
....................................................................................................................................... 97
Figura 3-2: Calibración del estado de esfuerzos en la falla: 1) Condición geostática; 2)
Efecto de arco 3D; 3) Esfuerzo intermedio (interpolación lineal). .................................... 99
Figura 3-3: Geometría y presión de soporte vs factor de seguridad: Falla activa arena. 101
Figura 3-4: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:
Falla activa en arena. ....................................................................................................101
Figura 3-5: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad: Falla pasiva en
arena (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3. ................................................................................103
Figura 3-6: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:
Falla pasiva en arena (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3. ........................................................103
Figura 3-7: Comparación geométrica mecanismo de falla activa en arena. ...................104
Figura 3-8: Vectores de desplazamiento y presión de soporte normalizada: mediciones
hechas durante falla pasiva en arena: (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3. ...............................105
Figura 3-9: Geometría y presión de soporte vs factor de seguridad: Falla activa arcilla. 107
Figura 3-10: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:
Falla activa en arcilla. ....................................................................................................107
Figura 3-11: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad: Falla pasiva en
arcilla (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2. ................................................................................108
Figura 3-12: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:
Falla pasiva en arcilla (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2. .......................................................108
Figura 3-13: Geometría mecanismo de falla activa para ensayo de centrífuga en arcilla.
......................................................................................................................................109
Figura 3-14: Vectores de desplazamiento y presión de soporte normalizada: mediciones
hechas durante falla pasiva en arcilla: (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2. ..............................110
Figura 3-15: Comparación resultados centrífuga con predicción modelos teóricos. .......111
Figura 3-16: Condiciones de flujo unidireccional para el túnel de referencia aplicando el
modelo del filter cake: falla activa en arena C/D = 1.5. ..................................................112
Figura 3-17: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad para el túnel de
referencia aplicando el modelo del filter cake: falla activa en arena C/D = 1.5. ..............113
XVI Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 3-18: Variación de empujes por tajada modelo filter cake: a) FS = 2; b) FS → ∞.
..................................................................................................................................... 113
Figura 3-19: Rango de trabajo de las presiones de soporte totales para la tuneladora:
Caso de túnel en suelo arcilloso modelo de la membrana ideal. ................................... 119
Figura 3-20: Rango de trabajo de la presurización de la TBM en la cámara de
excavación: Caso de túnel en suelo arenoso modelo del filter cake. ............................. 120
Contenido XVII
Lista de tablas
Pág. Tabla 2-1: Balance de ecuaciones e incógnitas que satisfacen el equilibrio del sistema. 94
Tabla 3-1: Algunos ensayos de estabilidad del frente con arenas en centrífuga. ...........100
Tabla 3-2: Algunos ensayos de estabilidad del frente con arcillas en centrífuga. ...........106
Tabla 3-3: Parámetros y geometría del túnel de referencia aplicando modelo filter cake.
......................................................................................................................................112
Tabla 3-4: Presión de soporte mínima en el frente, según distintos métodos para el túnel
de referencia aplicando el modelo del filter cake. ..........................................................114
Tabla 3-5: Ejemplos del rango de presión de operación del equipo de excavación,
aplicando el concepto alemán del factor de seguridad. .................................................118
Contenido XVIII
Lista de Símbolos y abreviaturas
Símbolos Símbolo Término Unidad
Ɐ Volúmenes elementos de volumen m³
a Constante de ajuste modelo flujo tridimensional de Perazzelli y otros
-
a3D Ancho de relajación tridimensional m
aF Tiempo del slurry para alcanzar la mitad de la penetración máxima
seg
Ɐfc Volumen del sólido de falla penetrado por la costra o filter cake m³
b Constante de ajuste modelo flujo tridimensional de Perazzelli y otros
-
C Espesor del material en la cobertura del túnel m
c Intercepto de cohesión kPa
č Conductividad hidráulica del acuitardo de espesor dat,permeabilidad kat
seg
C' Fuerza de cohesión disponible en la superficie dA kN
c'e Intercepto de cohesión movilizado por corte kPa
cu Resistencia al corte no drenada kPa
D Diámetro del túnel (cabeza corte TBM) m
d10 Tamaño característico de partículas de suelo mm
dA Elemento diferencial de superficie m²
dⱯfc Elemento diferencial de volumen m³
E Fuerza de empuje efectivo ejercido por el terreno, por estabilidad global
kN
E0 Empuje en la pared horizontal de la primera tajada (sobrecarga) kN
Ei Fuerza interna de empuje en la pared i-ésima kN
emax Máxima penetración para el exceso de presurización Δp m
En Empuje en la pared vertical de la última tajada (fuerza en el frente)
kN
ƒ* Función de forma que relaciona geometría del silo -
F0, F1, F2,
F3 Factores adimensionales derivados de nomogramas -
FS Factor de Seguridad -
Contenido XIX
Símbolo Término Unidad
fs0 Gradiente de infiltración -
H Espesor del acuífero m
h0 Cabeza hidráulica total en el terreno antes de la excavación mca
hF Cabeza hidráulica total en el frente de excavación mca
hP Cabeza hidráulica de presión mca
hT Cabeza hidráulica total sobre el túnel y en el frente mca
hz Cabeza hidráulica de posición mca
iav Gradiente hidráulico promedio actuante en el silo del suelo -
J Fuerzas de filtración kN
K Rigidez de un resorte de compresión kN/m
K0 Coeficiente de presión de tierras en reposo -
KA3 Coeficiente de presión de tierras tridimensional -
Kfn Coeficiente de esfuerzos efecivos en plano normal en la falla -
KK Coeficiente de presión de tierras por efecto de arco -
Kp Coeficiente de presión pasiva de tierras -
kv Permeabilidad vertical del acuífero m/seg
Ky Coeficiente de presión de tierras en la falla -
n Vector unitario normal a la superficie de falla -
N Fuerzas de superficie normal actuante en el contorno del sólido de falla
kN
N Número de estabilidad -
N' Fuerza normal efectiva en la superficie dA kN
OCR Relación de sobreconsolidación -
p Esfuerzo normal equivalente kPa
P Fuerza mínima a aplicar para estabilizar el frente kN
p0 Presión de poros in situ dentro del terreno antes de excavar kPa
pb Presurización del slurry en la cámara de excavación de la TBM kPa
Pi Promedio de los vértices en la cara i-ésima del sólido m
q Esfuerzo cortante desviador kPa
Q Fuerza aplicada en el frente del túnel kN
q0 Sobrecarga superficie uniformemente distribuida kPa
qs Sobrecarga total kPa
R Coordenada radial sólido de falla m
r Radio de un silo cilíndrico m
R Ancho de relajación del silo de suelo en la cobertura m
r'υ Vector tangente a la superficie de falla -
r'ω Vector tangente a la superficie de falla -
XX Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Símbolo Término Unidad
S Fuerzas de superficie cortante actuante en el contorno del sólido de falla
kN
S' Fuerza de soporte efectiva kPa
s' Presión de soporte efectiva kPa
smin Presión de soporte en el frente kPa
t Vector unitario tangente a la superficie de falla en dirección opuesta al movimiento del sólido
-
T Fuerza cortante actuante en las paredes internas entre tajadas del sólido
kN
t* Altura del silo de suelo que actúa como sobrecarga en la cuña de falla
-
tF Tiempo promedio de infiltración del slurry en el frente seg
Ti Fuerza interna de corte en la pared i-ésima kN
tr Tiempo de rotación completa de la rueda de corte de la TBM seg
u Exceso de presión de poros kPa
V Volúmen de sólido de falla m³
vcr Velocidad crítica de avance m/hr
W Peso del sólido de falla kN
W Fuerza hidrostática en el eje del túnel kN
x Coordenada en dirección avance del tunel m
y Coordenada en dirección horizontal desde clave m
z Coordenada profundidad desde la clave del túnel m
z* Espesor del silo de suelo donde se presenta efecto arco m
α Semi-eje mayor de la elipse (en dirección y) m
αF Factor de forma del fluido de excavación. Obtenido experimentalmente
-
β Semi-eje menor de la elipse (en dirección x) m
γ' Peso unitario efectivo del suelo kPa
γF Peso unitario del fluido de excavación (suspensión bentonítica o slurry)
kN/m³
γT Peso unitario total del suelo en la cobertura del túnel kN/m³
ΔEj Variación a lo largo de la tajada j del empuje E kN
Δh Caída de cabeza hidráulica mca
Δp Exceso de presión de poros en el punto (x,z) pasado el tiempo t
Δpfc Caída de presión en el filter cake a lo largo de Δx, a la
profundidad z kPa
Δps Caída de presión a lo largo de la costra o filter cake kPa
ΔTj Variación a lo largo de la tajada j de la fuerza tangencial T kN
η Factor de seguridad inderecto global según concepto alemán -
ηE Factor de seguridad parcial para el empuje efectivo del terreno -
Contenido XXI
Símbolo Término Unidad
ηw Factor de seguridad parcial para el empuje hidrostático del agua -
θ Ángulo de inclinación con al horizontal de la cuña triangular de falla
rad.
λ Factor de infiltración del acuífero -
σ'1 Esfuerzo principal mayor kPa
σ'3 Esfuerzo principal menor kPa
σ'n Esfuerzo normal kPa
σ'v Esfuerzo vertical efectivo kPa
σ'x Esfuerzos horizontales efectivos kPa
σ'z Esfuerzos verticales efectivos kPa
τ Esfuerzo cortante kPa
τF Medida de la viscosidad [F/L2] del fluido de excavación kPa
υ Coordenada local upsilon - sólido de falla rad.
ϕ Ángulo de fricción interna del suelo rad.
ϕ'e Ángulo de fricción interna movilizado por corte rad.
ω Coordenada local omega - sólido de falla rad.
Abreviaturas Abreviatura Término
TBM Máquina tuneladora de escudo (Tunnel Boring Machine)
SS Escudo de slurry (Slurry-Shield)
EPB Escudo de presión de tierras balanceada (Earth-Pressure Balance Shield)
MEL Método del equilibrio limite MEF Método de los elementos finitos A-K Método de estabilidad de Anagnostou-Kovári
Introducción
La ejecución de infraestructura vial y de servicios públicos en las zonas urbanas,
demanda cada vez más la construcción de túneles cerca a la superficie; que estarán
sometidos a las cargas de fundación de las facilidades existentes. Debido a limitaciones
de espacio, economía en tiempo, menores impactos (tráfico, deformaciones en
superficie), la tendencia mundial es la de ejecutar los túneles por medio de excavación
mecanizada en zonas urbanas con perfiles de suelo de baja resistencia.
En cuanto a diseño de túneles excavados en suelo se refiere, el estado actual de la
práctica está basado generalmente en esquematizar en forma simplificada la realidad del
proceso constructivo, con fallas locales que se presentan durante la construcción y que,
eventualmente, se abordan confiando en gran medida en la experiencia de los
contratistas y consultores implicados en el proyecto. No es de sorprender que bajo tal
estado de la práctica se produzcan de forma regular colapsos en todo el mundo [36].
Desafortunadamente, la mayoría de estos colapsos de frente abierto en túneles en
suelos y rocas blandas suelen ocultarse [37]. Entre los más recientes de estos frecuentes
colapsos de túneles figuran los de los Metros de: Atenas, Estambul, Shangai, Madrid,
Barcelona, Lausana, Londres-Heathrow, París y Graz, tal como se recopila en las
referencias [23] [36] [37].
Por estas razones, durante la excavación en suelo con tuneladoras TBM (Tunnel Boring
Machine), bien sea de slurry SS (Slurry-Shield) o de balance de presión de tierras EPB
(Earth Pressure Balance), resulta de la mayor relevancia estimar con exactitud la presión
que se debe ejercer en el frente para garantizar la estabilidad de la excavación y
controlar las deformaciones en superficie. En la literatura se consignan en su mayoría
modelos bidimensionales que no consideran la naturaleza espacial del problema o, en su
defecto, se plantean propuestas de mecanismos de falla tridimensionales con
limitaciones cinemáticas, es decir, desde el punto de vista de la continuidad de la
superficie de falla. La condición de falla en el frente cuando el túnel se ejecuta con
2 Introducción
excavación mecanizada TBM se puede alcanzar de dos formas: colapso gravitacional por
presión insuficiente en el frente o expulsión (blow-out) de la cuña si la presión ejercida
por el escudo de la máquina es muy alta.
En el presente trabajo se expone el refinamiento de este mecanismo de falla del frente de
una excavación en suelo a poca profundidad con tuneladora de sección circular,
buscando superar las limitaciones en cuanto a la geometría discontinua del mecanismo
de falla silo-cuña propuesto por Horn e implementado por Jancsecz [30] para estudiar el
colapso global del frente. Se pretende mejorar de esta manera la estimación de la
presión ejercida por la máquina TBM durante la construcción del túnel, con su
correspondiente margen de seguridad tanto por colapso de la excavación como por
expulsión de la cuña en el frente. Al introducir el factor de seguridad básico directamente
aplicado a las fuerzas resistentes en la superficie de falla, es posible establecer
relaciones interesantes entre los desplazamientos medidos en ensayos de centrífuga y la
resistencia al corte movilizada, las cuales permiten a su vez definir el rango más seguro
de trabajo de la máquina tuneladora.
El modelo de cuña en el espacio propuesto se basa en una superficie de falla en el
espacio que sigue el desarrollo de la espiral logarítmica [45] [54]. Adoptando como
método de análisis la técnica del equilibrio límite por tajadas [29], se propone una
geometría para la cuña de falla en el frente del túnel que busca reproducir las evidencias
de ensayos en centrífuga y observaciones de fallas reales en campo. Se asume que el
material en que se desarrolla el sólido de falla propuesto, sigue el criterio lineal de
fluencia de Möhr-Coulomb [19] [48] [53] y que es válido el principio de los esfuerzos
efectivos [49].
Debido a la naturaleza dinámica del problema, es necesario hacer consideraciones
especiales sobre el estado de esfuerzos en el instante de la falla. Para tal fin, se plantea
un modelo reológico cuyo comportamiento representa en forma simplificada la evolución
de las fuerzas actuantes sobre el sistema que constituye la cuña del frente del túnel, y
que permite a su vez plantear tres hipótesis sobre el estado de esfuerzos en la falla
activa: condición geostática o in-situ, alivio de esfuerzos por efecto de arco y un estado
de esfuerzos intermedio entre las primeras dos condiciones. Estas hipótesis se prueban y
validan frente a los resultados de ensayos de centrífuga para colapso activo. Buscando
Introducción 3
tener en cuenta el efecto arco en la cobertura del túnel, se adaptó la propuesta
bidimensional original de Terzaghi de acuerdo con los trabajos desarrollados para un silo
multicapa en el espacio [53]. Para estudiar la sobrecarga en el caso de la falla pasiva o
por levantamiento, se consideran en la cobertura y frente del túnel el estado de esfuerzos
en reposo [28], hipótesis verificada igualmente con los resultados de modelación física.
Con el fin de complementar los análisis desarrollados, se proponen dos condiciones de
flujo en el terreno que permiten incorporar en el mecanismo planteado el efecto del agua
y las fuerzas de infiltración, a partir de las propuestas ya existentes en la literatura para
tales efectos. El caso de las fuerzas de infiltración que surgen en el frente cuando la
construcción del túnel se realiza sin presurizar la cara de la excavación, es decir con flujo
tridimensional hacia el frente, se abordará de acuerdo con la propuesta de Perazzelli y
otros [43]. Por su parte, los excesos de presión de poros que se originan producto de la
infiltración del lodo de perforación en el frente, cuando la excavación se lleva a cabo por
medio de una tuneladora con escudo bien sea de slurry SS o de presión de tierras
balanceada EPB, se estimarán suponiendo el modelo de filter-cake y ciclo de excavación
planteado por Broere y Van Tol [15] [14].
El modelo propuesto estará limitado a frentes de excavación en suelo homogéneo,
isotrópico, con bajas coberturas del túnel, es decir, a poca profundidad. En el capítulo 1
se hace una breve revisión de los métodos teóricos más usados para estudiar la falla del
frente de excavación del túnel, tanto en condición activa como pasiva. El capítulo 2 por
su parte, describe en detalle la metodología desarrollada en esta investigación y la
incorporación en el mecanismo propuesto de todos los elementos que hacen parte de la
estabilidad del frente. Seguidamente, en el capítulo 3 se presentan los resultados que
arrojan los algoritmos implementados y se detalla también la calibración del método
propuesto frente a la información disponible en ensayos de centrífuga. Al final, se discute
el concepto alemán del factor de seguridad contra el margen de seguridad que plantea el
método desarrollado y además, se propone el rango de operación segura de la máquina
tuneladora, con base en los resultados obtenidos.
El desarrollo y conclusiones de este trabajo están orientados a entidades, académicos e
ingenieros involucrados en la planeación, diseño, supervisión y construcción de obras
subterráneas, en especial aquellas ejecutadas por excavación con máquinas tuneladoras
de doble escudo.
1. Estabilidad del frente de túneles
Por definición, el proceso de construcción del túnel implica la remoción del material en la
cara de la excavación. Las capas de suelo en el frente y sobre el mismo, es decir en la
cobertura, ejercen presión sobre el medio de soporte del túnel. En algunas ocasiones,
existe sobrecarga en el terreno por la presencia de edificaciones o infraestructura en la
superficie. Adicionalmente, si el eje del túnel se encuentra por debajo del nivel freático, la
presión que ejerce el agua y fluido de excavación en flujo desde o hacia el frente del
túnel contribuirá a desestabilizar el material térreo. Todos estos elementos que
contribuyen a afectar la estabilidad del frente del túnel, se consideran en la Figura 1-1.
Figura 1-1: Elementos de la presión de soporte en el frente.
Fuente: Adaptado de: http://www.facesupport.org/wiki
Para efectos de estabilidad, las capas del suelo en la cara de la excavación deben tener
suficiente resistencia al corte como para equilibrar las fuerzas actuantes de la Figura 1-1.
En muchos proyectos, los túneles se excavan en condiciones de suelos sueltos, blandos
o en roca altamente meteorizada, y puede ser necesario ejercer presión de soporte en el
frente de la excavación, con el objeto de evitar colapsos del terreno o asentamientos
6 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
excesivos. También en condiciones geotécnicas favorables a la estabilidad, puede llegar
a necesitarse la presurización de la cámara de excavación con el fin de evitar la entrada
de agua subterránea.
En el caso de la excavación realizada con tuneladoras de doble escudo, que son
aquellas que aíslan y presurizan la cámara de excavación, se usa el fluido mismo de
excavación para proporcionar la presión de soporte requerida en el frente del túnel. Si el
fluido de excavación empleado es un lodo presurizado por lo general líquido, la máquina
tuneladora se denomina TBM de escudo de slurry (Slurry Shield SS). Si por otra parte el
soporte lo brinda una pasta presurizada compuesta por la mezcla altamente viscosa de
los aditivos inyectados al frente (espumas o polímeros) y el mismo material residuo de la
excavación, el equipo se denomina de presión de tierras balanceada (Earth Pressure
Balance Shield EPBS). La selección del medio de soporte depende de varios factores,
entre ellos las propiedades del suelo y el tipo de TBM usada. La forma de aplicar la
presión de soporte para uno u otro equipo se ilustra esquemáticamente en la Figura 1-2.
esfuerzo efectivo s’ y presión de poros p en el terreno excavado
presión de poros hidrostática p del slurry o fluido de excavación
Figura 1-2: Definición de la presión de soporte según el tipo de tuneladora de doble
escudo: a) EPB; b) SS.
Fuente: Adaptado de Anagnostou y Kovári, referencia [4].
Puede haber lugar a efectos adversos producto de aplicar una presión de soporte
excesiva, como lo son el levantamiento del suelo en la superficie y la distorsión del
terreno. Por su parte, una insuficiente presión de soporte dará lugar a asentamientos del
terreno o eventualmente el colapso del frente de la excavación. Para estimar la presión
Capítulo 1. Estabilidad del frente 7
mínima de soporte en el caso de falla activa en que el suelo se desplaza hacia la
excavación, o la presión máxima de soporte para falla pasiva donde el suelo se desplaza
en la dirección de avance del túnel hacia el terreno, se plantean en la literatura un
sinnúmero de métodos de estabilidad con fundamentos analíticos, empíricos y
numéricos.
Estos modelos para estudiar la estabilidad del frente se pueden dividir en tres categorías
con base en el tipo de mecanismo de falla que estos buscan reflejar [14]. Aquellos
modelos que describen el comportamiento de un grupo de partículas o incuso una sola
partícula en la cara de la excavación, los cuales se denominan de estabilidad interna o
micro-estabilidad. Por otro lado, se encuentran los modelos que representan el
deslizamiento de una masa hacia el frente, pero que cuyo movimiento no tiene mayor
influencia en la superficie del terreno debido a que la excavación colapsa parcialmente.
Estos métodos son aptos para el estudio de falla del frente en túneles a gran profundidad
(C/D > 5) y se suelen agrupar en la categoría de estabilidad local. Una tercera familia de
métodos la conforman los métodos de estabilidad global, en que colapsa completamente
la cara de la excavación y además se extiende hasta la superficie el mecanismo de falla.
Puesto que la problemática en estudio de túneles excavados en suelos a poca
profundidad se enmarca dentro de esta clase de métodos, el marco teórico con el que se
validará y contrastará el mecanismo de falla propuesto será el de los métodos de
estabilidad global. Sin embargo, se considera de importancia en las siguientes secciones
hacer un tratamiento de todos los mecanismos de falla del frente que se pueden
presentar durante la excavación del túnel así como de las propuestas teóricas más
usadas en la práctica ingenieril. Esto debido a que los problemas de estabilidad a nivel
de partículas o micro-estabilidad y a nivel local, pueden derivar en problemas posteriores
de estabilidad global. Al final, se introduce un marco de evidencias experimentales que
permitirá validar y calibrar el modelo propuesto en este documento.
1.1 Micro-estabilidad
Se denomina como micro-estabilidad a la estabilidad de una sola partícula de suelo o un
pequeño grupo de granos en la cara de la excavación [14]. Por lo general, este es un
problema principalmente asociado a suelos sin o con una muy baja cohesión, excavados
por medio de una tuneladora de escudo de slurry o con aire comprimido. Bajo estas
8 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
condiciones, los granos se desprenderán de la matriz del suelo y caerán producto de la
fuerza de la gravedad. Al continuar este proceso por más partículas de suelo, es posible
que se presente erosión de la cara de la excavación y que se presente el incipiente inicio
de una falla local o global del frente de excavación. Para prevenir este tipo de colapso, se
requiere de una mínima diferencia de presión a lo largo de los granos del esqueleto
mineral del suelo. Esta presión no tiene relación directa con la presión de soporte que se
aplica al frente de excavación, sino con el gradiente de presión dentro del suelo. Se
demuestra a continuación como tal gradiente de presión implica un requerimiento mínimo
de resistencia al corte del slurry empleado durante la excavación.
En la Figura 1-3 se ilustran las fuerzas involucradas en el modelo de micro-estabilidad de
una pared de excavación. De acuerdo con Müller-Kirchenbauer [14], un elemento
infinitesimal de suelo en el frente de excavación del túnel está sometido a la acción de la
gravedad, las fuerzas de soporte, sF = i0.γF, y al suelo que le rodea. Para determinada
pendiente α de la cara de excavación, la falla ocurre cuando se cumple la ecuación (1.1).
)sin(sin'
0
Fi ……………………………………………..…………....... (1.1)
Donde, i0 es el gradiente de “estancamiento”, según la ecuación (1.2).
γF es el peso unitario de la suspensión o slurry.
γ’ es el peso unitario efectivo del suelo.
Figura 1-3: Fuerzas involucradas en el modelo de micro-estabilidad local.
Fuente: Tomado de Broere [14], adaptado a su vez de Müller-Kirchenbauer (1977).
Capítulo 1. Estabilidad del frente 9
El gradiente de estancamiento i0 estará dado entonces por la ecuación (1.2).
Fp
F
ri
20 ……………………………………………………………………....... (1.2)
Donde, τF es la resistencia a la cizalla o corte de la suspensión.
rp es el el radio equivalente de poros en las capilaridades del suelo.
En la mayoría de los casos, la cara de la excavación es vertical (α = π/2) , lo cual exige
un requisito mínimo de la resistencia a la cizalla del medio de soporte de la excavación.
tan2
'p
F
r …………………………………………………………………....... (1.3)
Varios investigadores han propuesto sus propios estimativos del radio equivalente de
poros rp, que conducen a estimativos ligeramente diferentes de τF. Una de estas
relaciones es la propuesta de Kilchert [14], por la cual se obtienen las expresiones (1.4).
)1(2 10 ndrp ……….……...……………………………………………....
(1.4)
(a)
tan
')1(10 ndF
…………………………………………………….….......
(b)
Donde, n es la porosidad del suelo.
d10 es diámetro efectivo o tamiz por el que pasa 10% de partículas de suelo.
Además de tener una influencia directa en la estabilidad de una sola partícula de suelo, la
viscosidad del fluido de soporte tiene mayor incidencia en la distancia de penetración
dentro del suelo. Este efecto, a su vez, tiene mayores implicaciones en la estabilidad
global, como se tratará en la sección 2.3.2.
En suelos de naturaleza cohesiva, en cambio, la estabilidad de partículas individuales de
suelo o análisis de micro-estabilidad será un aspecto secundario en el problema
estudiado. Eventualmente podrían presentarse problemas en el momento que se genere
10 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
el gradiente hidráulico por flujo hacia la excavación, de acuerdo con la sección 2.3.1.
Esta condición se alcanza para excavaciones con escudo EPB presurizado por debajo de
la presión hidrostática del agua en el terreno. Sin embargo, la aproximación de Müller-
Kirchenbauer para el análisis de estabilidad de un talud infinito en arenas no se puede
extender directamente para material de naturaleza cohesiva-friccionante [14]. Por lo
tanto, otra posible alternativa es la de investigar la estabilidad de un corte vertical sin
soportar, en un material puramente cohesivo con resistencia al corte no drenada cu y
sometido a fuerzas de arrastre j. La solución de límite superior asumiendo un plano de
falla y sin fuerzas de arrastre, conduce al cálculo por medio de la ecuación (1.5) de la
altura máxima hc justo antes del colapso.
u
c
ch
4 ………………………………………….……………………………....... (1.5)
Si además existe flujo sub-superficial el cual produce las fuerzas de arrastre horizontales
j = i γw, la máxima altura del corte vertical se estima con base en la ecuación (1.6).
1
14
2
ff
ch u
c
…..……………………….……………………………....... (1.6)
Donde, '
wif o inversamente, se puede despejar y hallar el gradiente crítico ic.
1.2 Métodos de estabilidad local
Los métodos de estabilidad local del frente son aquellos que, involucrando el colapso en
masa de la excavación realizada, no tienen un desarrollo hasta la superficie del terreno o
solo movilizan una pequeña porción del terreno en la cobertura del túnel, dejando una
cavidad dentro del medio objeto de excavación. Estas propuestas ampliamente
conocidas, la mayoría analíticas, son aproximaciones adecuadas para túneles muy
profundos en que cualquier falla en la excavación no tiene mayor influencia en la
superficie del terreno, siendo en ocasiones poco conservadora su aplicación en túneles
poco profundos en suelo donde es alto el riesgo de afectar la superficie por problemas en
Capítulo 1. Estabilidad del frente 11
la excavación. Enseguida se describen brevemente algunos de los métodos disponibles
en la literatura que se pueden catalogar como de estabilidad local.
1.2.1 Atkinson y Potts (1977)
A través del análisis límite de la plasticidad, es posible hallar la presión mínima smin para
soportar una cavidad en material seco friccionante de radio R, considerando dos
condiciones: 1) γ = 0 y qs > 0; 2) γ > 0 y qs = 0, en que γ es el peso unitario del suelo y qs
es la sobrecarga en superficie. Para el segundo caso, se obtienen dos soluciones de
límite inferior [7]. La segunda solución dada por la ecuación (1.7), que es independiente
de la sobrecarga y establece un campo de esfuerzos estáticamente admisible como el
mostrado en la Figura 1-4, permite llegar a resultados con mayor factor de seguridad que
la primera.
RK
Ks
p
p
1
22min
…………………………………………………………….......
(1.7)
(a)
sin1
sin1
pK ………………………………………………………………….. (b)
Figura 1-4: Estado de esfuerzos en el suelo alrededor de una cavidad superficial.
Fuente: Tomado de Atkinson y Potts, referencia [7].
12 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
1.2.2 Davis y otros (1980)
El método permite analizar la estabilidad de un túnel de radio R, en suelo de naturaleza
cohesiva, con un soporte rígido instalado a la distancia P del frente de excavación. Se
proponen diagramas con soluciones de la plasticidad de límite superior y límite inferior
para dos casos particulares de análisis: P = ∞ y P = 0. En este último caso, de interés
particular para la excavación que se realice con TBM de escudo SS/EPB, se presentan
dos soluciones de límite inferior en la ecuación (1.8) (a) y (b) como función del estado de
esfuerzos adoptado según la cavidad estudiada: cilíndrica o esférica, Figura 1-5 (a) y (b).
1ln22
R
CN .....................................................................................
(1.8)
(a)
1ln4
R
CN …………………………………………….………………….. (b)
Donde, N es el número de estabilidad, según Broms y Bennermark (Sección 1.3.3).
C es la profundidad del túnel, o cobertura en la clave medida desde superficie.
(a) (b)
Figura 1-5: Cavidades subterráneas parcialmente soportadas: (a) cilíndrica; (b) esférica.
Fuente: Tomado de Davis y otros, referencia [20].
Tal como se indica en la Figura 1-6, se encontró que la predicción de límite inferior de la
ecuación (1.8) es cercana al valor del número de estabilidad N calculado para algunos
ensayos de laboratorio en centrífuga y de colapsos en campo, así como de la línea de
relación de estabilidad para diseño según el SRM (Stress Ratio Method), obtenida por
Mair y Kimura [14] para túneles en condición de análisis no drenado.
Capítulo 1. Estabilidad del frente 13
Figura 1-6: Número de estabilidad para túnel en arcilla completamente revestido (P = 0).
Fuente: Tomado de Broere [14], adaptado a su vez de Kimura y Mair (1981).
1.2.3 Krause (1987)
Empleando el equilibrio límite y los esfuerzos cortantes actuantes en los planos de falla
de los mecanismos semi-circular y esférico de la Figura 1-7, Krause [32] estableció la
presión mínima de soporte smin para estabilizar el frente de excavación de diámetro D.
(a) (b) (c)
Figura 1-7: Mecanismos de falla en el frente asumidos por el método de Krause: a) semi-
circular, b) cuarto de círculo, c) esférico.
Fuente: Tomado de Broere, adaptado a su vez de Krause, referencia [32].
14 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
De los tres mecanismos planteados, la superficie de falla correspondiente al cuarto de
círculo en la Figura 1-7 (b) siempre arroja la máxima presión de soporte smin, dada por la
ecuación (1.9) (a).
'
2
1'
3
1
tan
1min cDs
………………………...…………………………...
(1.9)
(a)
'
2
1'
9
1
tan
1min cDs
………………………….………………………….. (b)
Donde, c' es el intercepto de cohesión del suelo.
φ' es el ángulo de fricción interna del suelo.
γ’ es el peso unitario efectivo del suelo.
Como lo reconoció el mismo autor [32], estos mecanismos de falla semi-circular y cuarto
de círculo no son una representación realista del sólido que efectivamente falla. En
muchas ocasiones el sólido de falla semi-esférico en la Figura 1-7 (c) será una mejor
representación. En este caso la presión de soporte mínima se puede hallar según la
ecuación (1.9) (b).
1.2.4 Subrin y Wong (2002)
El mecanismo de falla propuesto, se asume, está formado por un único bloque que rota
alrededor del eje perpendicular al eje del túnel, de acuerdo con la Figura 1-8.
(a) (b)
Figura 1-8: Mecanismo de falla rotacional de Subrin y Wong: a) generación del
mecanismo; b) vista isométrica del mecanismo para φ = 20°.
Fuente: Tomado de Subrin y Wong, referencia [52].
Capítulo 1. Estabilidad del frente 15
La superficie del mecanismo de falla se construye a partir de un conjunto de
circunferencias, cada una de las cuales está contenida en un plano que pasa por el eje
de rotación, para estar delimitado el sólido de falla por espirales logarítmicas. La forma
de este mecanismo tiene cierta similitud con el modelo presentado por Mollon y otros [40]
que se abordará posteriormente, aunque los procesos de construcción geométrica son
completamente diferentes ya que el mecanismo de Subrin y Wong [52] se genera sin
considerar el colapso de la sección transversal completa del frente de excavación. En su
lugar, Subrin y Wong basan sus deducciones en establecer un campo de velocidades
cinemáticamente admisibles. Se aplica el análisis del límite superior de la plasticidad, con
el fin de encontrar la presión crítica de soporte, producto de maximizar el trabajo ejercido
por las fuerzas resistentes a lo largo de la superficie de falla cinemáticamente admisible.
1.2.5 Caquot-Kerisel (1956) integrado por Carranza-Torres (2004)
Se considera que las soluciones basadas en los teoremas de límite inferior y superior de
la plasticidad, son más rigurosas que las soluciones de equilibrio límite. Entre las
soluciones al problema estáticamente admisibles se pueden mencionar la propuesta de
Caquot, las cuales se derivaron para un túnel circular en dos dimensiones pero que se
pueden fácilmente extender al espacio para considerar la geometría esférica
tridimensional del frente de excavación [17].
(a)
(b)
Figura 1-9: Esquemas del método de: (a) Caquot-Kerisel; (b) SRM Carranza-Torres
Fuente: Tomado de Guglielmetti [14], adaptado a su vez de Carranza-Torres [17].
16 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
El modelo de Caquot de la Figura 1-9 (a) considera la condición de equilibrio de un
material en falla arriba de la corona de una cavidad circular, bien sea cilíndrica o esférica.
El material tiene un peso unitario γ y la resistencia al corte definida por los parámetros
del criterio de fluencia de Möhr-Coulomb, es decir cohesión c' y ángulo de fricción interna
φ'. Por su parte, la distribución de esfuerzos verticales antes de la excavación se asume
geostática, según se describe en la sección 2.2.2, y la relación de esfuerzos horizontal a
vertical es de uno (1). Para el escenario de la Figura 1-9 (a), la solución de Caquot define
el valor de la presión interna de soporte ps como la presión crítica por debajo de la cual el
túnel colapsará. La solución generalizada para condición de suelo seco, la cual incluye el
valor del factor de seguridad, se puede representar por la ecuación (1.10) (a)
desarrollada por Carranza-Torres [17].
tan
111
11
1
tan
11
1
h
c
a
h
Nka
h
h
c
h
q
h
p
FSNkFS
FS
Nk
ss
(1.10)
(a)
crcr
FS
c
cFS
FS
FSN
tan
tan
tantansin1
tantansin1
1
1
…………….………………… (b)
Donde, a es el radio del túnel.
h es la profundidad del eje del túnel.
k es el parámetro del tipo de cavidad: 1 = cilíndrica; 2 = esférica.
Nótese que la ecuación es válida solo para los parámetros de Möhr-Coulomb que
conducen a un estado límite; en otras palabras, la situación en la cual la excavación está
a punto de colapsar. En general, la resistencia del material será mayor a la resistencia
asociada al estado de equilibrio crítico de la cavidad. Por esto, se define el factor de
seguridad FS en la ecuación (1.10) (b) como la relación de los parámetros de resistencia
disponibles a los parámetros críticos requeridos, según el método de reducción de la
resistencia, el cual asume una reducción proporcional de los parámetros Möhr-Coulomb.
Para el análisis de estabilidad de la cara de la excavación, se propone en la Figura 1-10
un procedimiento para tener en cuenta el efecto tridimensional del frente del túnel y
eventualmente incorporar el efecto de la longitud sin revestir L.
Capítulo 1. Estabilidad del frente 17
Figura 1-10: Cálculo del radio modificado para análisis tridimensional del túnel.
Fuente: Tomado de Carranza-Torres, referencia [17].
1.2.6 Mollon y otros (2011)
Como resultado de refinar propuestas recientes basadas en generar el mecanismo de
falla a partir de conos truncados que cumplen la ley de flujo asociado, Mollon y otros [40]
adaptaron el proceso de generación punto a punto de un mecanismo de falla rotacional.
La superficie de falla tridimensional está constituida por un único bloque definido a la vez
por un conjunto de caras triangulares que respetan cada una la ley de flujo asociado, de
acuerdo con la Figura 1-11, y se considera la falla de la sección transversal completa del
frente de excavación.
(a) (b)
Figura 1-11: Mecanismo de falla rotacional generado punto a punto por Mollon y otros :
a) sección longitudinal por eje del túnel; b) vista isométrica del mecanismo para φ = 30°.
Fuente: Tomado de Mollon y otros, referencia [37].
18 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
1.3 Métodos de estabilidad global
Los métodos de estabilidad global en que el mecanismo de falla involucra tanto el frente
de excavación como el material en la cobertura del túnel y el colapso se extiende hasta la
superficie, se pueden a su vez categorizar como activos o pasivos. Si se presenta dicho
colapso por una insuficiente presión de sostenimiento en el frente que conduce a un
movimiento principalmente descendente se denomina falla activa. Si por el contrario
debido a que se aplique una excesiva presión de soporte en el frente y el movimiento de
la masa fallada sea hacia la superficie, se conoce como falla pasiva o por levantamiento.
Muchos autores han descrito propuestas para estudiar este mecanismo de falla externa y
han derivado expresiones a partir de métodos analíticos, empíricos e incluso numéricos
más recientemente [57]. A continuación se hace el compendio de algunos de estos
métodos en su respectivo orden cronológico de publicación.
1.3.1 Horn (1961)
Este modelo esquematiza de manera básica el mecanismo de falla tridimensional,
compuesto por una cuña de caras planas en el frente del túnel, cargada por un silo
prismático en la cobertura, según se muestra en la Figura 1-12. Originalmente la
propuesta del modelo no plantea aplicaciones prácticas ni su implementación [22]. Sin
embargo, algunos autores han empleado la geometría de este mecanismo para los
métodos desarrollados, tales como el de Jancsecz y Steiner [30] o como el de
Anagnostou y Kovári [3] [4] [5].
Figura 1-12: Modelo de estabilidad del frente de “silo-cuña” propuesto por Horn (1961).
Fuente: Tomado de: http://www.facesupport.org/wiki
Capítulo 1. Estabilidad del frente 19
1.3.2 Murayama (1966)
Es el primer método que propuso aplicar para túneles el equilibrio límite a una cuña
bidimensional, la cual sigue la espiral logarítmica como superficie de falla según se
muestra en la Figura 1-13, con el objetivo de calcular la presión mínima de soporte en el
frente. Se calcula con base en la propuesta de efecto de arco de Terzaghi [53] la
sobrecarga qw dada por el peso del suelo que actúa sobre la cuña en el frente. Para
garantizar la estabilidad, se plantea el equilibrio de momentos de las fuerzas actuantes:
por el empuje S que da soporte en la cara del túnel y fuerzas debidas al peso, es decir qw
y G, y por las fuerzas resistentes, es decir la normal Q y la resistencia al corte K a lo
largo de la superficie de falla. Este método contempla la búsqueda iterativa del ancho w
del silo de suelo que conduce a la respuesta crítica, variando el ancho en que actúa la
sobrecarga qw, y por tanto, conduce a una mayor presión de soporte en el frente, smin. La
expresión básica para hallar la presión de soporte está dada por la ecuación (1.11).
tan222
12
211min
adwwG
p
rrc
wlwqGl
Rls ………………………...…… (1.11)
Figura 1-13: Cuña bidimensional limitada por la curva espiral logarítmica según
Murayama (1966).
Fuente: Tomado de Broere [14], adaptado a su vez de la referencia [41].
20 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
1.3.3 Broms y Bennermark (1967)
De acuerdo con la Figura 1-14, este método se basa en analizar la relación de estabilidad
de una abertura no soportada de diámetro 2R, a una profundidad C en material de
naturaleza cohesiva que sigue el criterio de falla no drenado de Tresca. Por esta razón,
se le conoce también como el método de la relación de estabilidad SRM (Stability Ratio
Method). El número de estabilidad N se define entonces como la diferencia entre el
confinamiento en el eje del túnel, dado por el enterramiento o esfuerzo geo-estáticos y la
sobrecarga total qs, y la presión de soporte s, normalizada por la resistencia no drenada
cu, de acuerdo con la ecuación (1.12) (a).
RCcc
sqN
uu
s
………………………………………………..…..... (1.12)
(a)
6 NconcNqRCs us ……………………………..…….. (b)
Empíricamente se encontró en ensayos de extrusión en laboratorio y en fallas reales de
campo retro-calculadas, que la condición de falla se alcanzaba para valores del número
de estabilidad N ≥ 6, y que por tanto la presión mínima de estabilización se alcanza
según la expresión (1.12) (b).
Figura 1-14: Prueba de extrusión en laboratorio realizada por Broms y Bennermark.
Fuente: Tomado de Guglielmetti y otros [22], adaptado a su vez de la referencia [16].
Capítulo 1. Estabilidad del frente 21
1.3.4 Mohkam (1984, 1985, 1989)
Este método se basa en una aproximación matemática tridimensional de la teoría del
equilibrio límite, el cual implementa el análisis variacional con el fin de definir la superficie
de falla 3D en función de: la coordenada w(x,y), el ángulo θ(x,y) y el estado de esfuerzos
𝜎(x,y) que actúa en cada punto del modelo [39]. Al tomar en cuenta la longitud sin
revestimiento antes de la instalación del soporte rígido, se asumen dos mecanismos de
falla: El primero, cilíndrico y que afecta la cara de la excavación según se ve en la Figura
1-15 (a), y el segundo (b) que está controlado por las paredes laterales del túnel a partir
de una superficie de falla espiral logarítmica.
(a) (b)
Figura 1-15: Curvas que limitan el mecanismo de falla en el frente, según el método de
Mohkam: a) cilíndrico, b) espiral logarítmico.
Fuente: Tomado de Mohkam, referencias [38] y [39].
La sobrecarga que actúa sobre la cuña del frente se calcula por la definición de Terzaghi
[53] del efecto arco. Para encontrar el factor de seguridad de las diferentes cuñas de falla
de la Figura 1-15, es necesario hacer uso del análisis variacional y minimizar el funcional
auxiliar H de la ecuación (1.13), el cual se define en detalle en la referencia [39].
0),(),,(),,( dxdyyxyxyxwhHA
……………………………….…… (1.13)
El gran número de incógnitas que presenta este método obliga a un procedimiento de
solución demasiado iterativo que impide su aplicación sistemática. Este modelo, sin
22 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
embargo, se puede simplificar sustancialmente al predefinir tanto la forma del sólido de
falla como el campo vectorial de esfuerzos totales [14], escenario en el cual el modelo se
asemeja bastante a los demás métodos de equilibrio límite. Esta será la base de las
hipótesis planteadas en esta investigación, en lo que respecta a la geometría y condición
de esfuerzos en el frente del túnel. Tales hipótesis se describen en el Capítulo 2 y se
validan en la calibración del modelo que se aborda en el Capítulo 3.
1.3.5 Leca y Dormieux (1990)
El método propone tres mecanismos traslacionales (uno de ellos para falla pasiva o blow-
out) formados por conos de revolución, como se ilustra en la Figura 1-16, los cuales son
válidos para suelos secos con cohesión y fricción, es decir, caracterizados por el criterio
de falla de Möhr-Coulomb.
(a) (b) (c)
Figura 1-16: Mecanismos de falla en el frente asumidos por el método de Leca y
Dormieux: colapso activo a) un bloque y b) dos bloques, pasivo c) un bloque.
Fuente: Tomado de Leca y Dormieux, referencia [33].
Al suponer varios estados de esfuerzos, los autores derivaron los límites superior [33] e
inferior [34] para la presión de soporte mínima y máxima en un túnel revestido
completamente. Se presentan dos conjuntos de gráficas para los factores Nγ y Ns, uno
para el valor mínimo y otro para el valor máximo de la presión de soporte
respectivamente. Empleando tales nomogramas, se calcula la presión de soporte usando
la ecuación (1.14).
DNqNs ss …………………………………………………………………… (1.14)
Capítulo 1. Estabilidad del frente 23
Debido a que los bloques en forma de cono asumidos por este método tienen sección
transversal circular y además son oblicuos al eje del túnel, al intersecar tales secciones
cónicas con un plano vertical ubicado en la cara de la excavación, se da lugar a una
elipse inscrita dentro de la sección circular del frente del túnel. Esta constituye la principal
limitación del método para túneles con sección de excavación circular.
1.3.6 Soubra (2000 y 2002)
Este autor generalizó el mecanismo de falla activo de dos (2) conos traslacionales de
Leca y Dormieux, representados en la Figura 1-16 (b). En el primer caso, que se
presenta en la Figura 1-17 (a), se incorpora una zona de cortante entre dos conos
rígidos, delimitada por una espiral logarítmica en el plano vertical del eje del túnel [51]. En
el segundo caso de la Figura 1-17 (b), el mecanismo está formado por una serie de
conos rígidos [50]. Ambas propuestas mejoran las predicciones del mecanismo de Leca y
Dormieux, con menores valores estimados de la presión de soporte. Sin embargo, este
método presenta igual restricción al no considerar el colapso completo del frente de
excavación, dada la condición de proyectar la sección transversal circular de un cono
oblicuo como una elipse en un plano vertical, según se muestra en la Figura 1-17 (b).
(a)
(b)
Figura 1-17: Generalización del mecanismo de falla de dos bloques de Leca y Dormieux:
a) con zona de cortante entre conos; b) serie de conos rígidos.
Fuente: Tomado de Soubra, referencias [47] [48].
24 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
1.3.7 Jancsecz y Steiner (1994)
El método basa su geometría en el modelo propuesto por Horn, expuesto en la Figura
1-12, según el cual la falla consiste en una cuña de suelo en la parte inferior y un silo
prismático en su parte superior, sobre la clave del túnel, según se ilustra en la Figura
1-18 (a). La presión vertical que resulta por efecto del silo que supra-yace la cuña de
suelo se calcula según la solución de Terzaghi [53] para el efecto arco, la cual se
describirá posteriormente en la Sección 2.2.2.
(a)
(b)
Figura 1-18: Esquema del método de Jancsecz y Steiner.
Fuente: Tomado de Guglielmetti [14], adaptado a su vez de Jancsecz y Steiner [30].
Este método introduce un coeficiente de presión de tierras KA3 que se define según la
ecuación (1.15) y se presenta en la Figura 1-18 (b) para diferentes valores de relación
cobertura a diámetro C/D y ángulo de fricción interna φ. Los resultados son válidos para
suelo homogéneo e ignoran el efecto de infiltración del slurry en el terreno.
tansincossin
5.1/tancostancoscossin2
2
3
KK A …………….……… (1.15)
Donde,
Dt
DtK
/21
/31;
2
2/45tansin1 2
El coeficiente de presión de tierras KA3 relaciona esfuerzos efectivos horizontales y
verticales, de manera análoga a los coeficientes de presión de tierras de Rankine [44],
buscando tener en cuenta el efecto tridimensional del problema y la condición espacial
del silo prismático de suelo sobre la cuña en el frente de excavación.
Capítulo 1. Estabilidad del frente 25
1.3.8 Anagnostou y Kovári (1996): Solución escudo EPB
Este método, también denominado como el método A-K, se basa en la teoría de un silo
de suelo sobre el modelo tridimensional de cuña poliédrica propuesta por Horn en la
sección 1.3.1, tal como se presenta en la Figura 1-19. El análisis realizado es en
condición drenada para un escudo de presión de tierras EPB, razón por la cual en casos
donde la cabeza piezométrica dentro de la cámara de excavación sea menor a la de la
cabeza hidráulica del terreno, se desarrollará el flujo de agua hacia el túnel. El efecto de
las fuerzas de infiltración se obtiene de un análisis tridimensional de infiltración por medio
del método de los elementos finitos MEF, para ser tenido en cuenta en el equilibrio del
modelo de cuña. La forma de presentar los resultados es a través de cuatro factores
adimensionales [4] que relacionan la presión mínima de soporte con el diámetro del túnel,
peso unitario del suelo, cohesión y presión de soporte efectiva s'.
DhcFhFcFDFs /''''' 3210 ……………………………………. (1.16)
Donde, Δh es la caída de cabeza hidráulica, o diferencia entre h0 y hF.
F0, F1, F2 y F3 son los factores adimensionales derivados de nomogramas,
que son a su vez función de la relación cobertura a diámetro y de φ.
(a)
(b)
Figura 1-19: Esquema del método de Anagnostou y Kovári: a) Mecanismo silo-cuña
propuesto por Horn; b) fuerzas de filtración f y presión de soporte s’.
Fuente: Tomado de Anagnostou y Kovári, referencia [3].
26 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
1.3.9 Anagnostou y Kovári (1994): Solución escudo SS
Para el caso del escudo de slurry SS mostrado en la Figura 1-20, la presurización de la
cámara de excavación pb debe ser mayor que la presión externa pw del fluido en el
terreno con el fin de evitar flujo de agua hacia la excavación. La presión de estabilización,
o exceso de presurización Δp, depende del grado de penetración del slurry bentonítico
en el suelo. El valor mínimo de Δp se asocia con la formación en la cara de una
membrana idealmente impermeable, o conocida como la costra de perforación, de
acuerdo con la Figura 1-20 caso (a). Según esta hipótesis, se introducen algunos ábacos
para estimar Δp como función de los parámetros de resistencia al corte del suelo, la
cabeza hidráulica in-situ y la profundidad del túnel.
(a) (b)
Figura 1-20: Efecto estabilizador de la suspensión: a) sin penetración; b) con penetración
dentro del terreno.
Fuente: Tomado de Anagnostou y Kovári, referencia [5].
Por otro lado, en el caso (b) en que el slurry bentonítico penetre el suelo en el frente de
excavación, el factor de estabilización de la presión de soporte empleada es menor que
en el modelo de membrana ideal, y por tanto se reduce aplicando un factor de corrección
FC según la ecuación (1.17), bien sea que se sature con bentonita parcialmente (a) o
totalmente (b) la cuña de suelo en el frente.
Capítulo 1. Estabilidad del frente 27
wDesiewD
wDesiweFC
tan2/tan
tantan2/1…………………………..……......
(1.17) (a)
fs0 = Δp /emax, …………………………………………...…………………….. (b)
fs0 = 2τF/d10, …………………………………………………………………... (c)
Donde, w es el ángulo que forma la cuña del frente del túnel con la horizontal.
e es el ancho o distancia de penetración del slurry bentonítico en el suelo.
τF es la resistencia al corte del slurry bentonítico.
d10 es el tamaño característico del suelo.
Δp es la presurización en exceso de la cámara de excavación.
emax es la máxima penetración para el exceso de presurización Δp.
Con base en las características del slurry y del suelo, es posible calcular el gradiente de
infiltración fs0 de acuerdo con la expresión (1.17) (b), sin embargo, la norma DIN 4126
sugiere para hallar fs0 la formulación empírica en la ecuación (1.17 (c). El riesgo de
infiltración es bajo en suelo de gradación fina, pero se eleva para suelo de distribución
granulométrica gruesa. Sin embargo con el método A-K, este riesgo es latente
básicamente para el período en que la máquina tuneladora está paralizada, durante el
cual se reduce el gradiente de infiltración y con este, el factor de seguridad [22].
El método propone algunas relaciones que se usan al calcular el tiempo crítico para la
estabilidad de la excavación en función de: las características reológicas del slurry, las
propiedades del suelo y de la velocidad de avance de la excavación v. Se puede calcular
la velocidad crítica de avance vcr, por debajo de la cual la distancia de penetración
determina el gradiente crítico de infiltración, en otras palabras fs0 = fscr. En general, entre
más elevada sea la relación de la velocidad de excavación y la permeabilidad del suelo,
es decir v/k, menor será la distancia de infiltración del slurry bentonítico.
1.3.10 Broere (2001)
El profesor Broere [13] [14] [15] advierte que existen limitaciones importantes en los
métodos anteriores y propone una solución que toma en cuenta aspectos relevantes
tales como la heterogeneidad del suelo en la cara de la excavación, el efecto de arco en
la cobertura y el efecto en el exceso de presión de poros como resultado de la
penetración del medio de soporte dentro del terreno.
28 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 1-21: Definición de símbolos en el modelo de cuña multicapa según Broere.
Fuente: Tomado de Broere, referencia [14].
Este es el primer método en considerar la heterogeneidad en el frente, la cual es una
condición propia por ejemplo de suelos estratificados, y realiza el análisis asignando un
conjunto de propiedades geotécnicas por medio del cálculo de valores ponderados de
pesos y fuerzas actuantes en cada capa homogénea, en cada interface y a lo largo de las
superficies de deslizamiento como se muestra en la Figura 1-21. El autor también
concluyó que para el caso de una cuña en material homogéneo, su formulación
corresponde con el método de Jancsecz descrito en la sección 1.3.7.
El principal propósito de este modelo es el de involucrar el efecto de la penetración del
medio de soporte en la cara de la excavación, en presencia de un suelo permeable. De
acuerdo con el método A-K de la sección 1.3.8, pueden presentarse diferentes
mecanismos en función de la permeabilidad del suelo y de la densidad del medio de
soporte. El modelo con penetración como se tratará posteriormente en la sección 2.3.2,
es aplicable tanto a escudos de slurry SS, en que se inyecta un slurry bentonítico, como
a escudos de presión de tierra balanceada EPB, donde se inyectan espumas poliméricas.
En particular, este modelo de Broere difiere del modelo A-K en el efecto que se considera
tiene la infiltración del medio de soporte al generar excesos de presión de poros en el
frente de la TBM y también al reducir la fuerza de soporte efectiva. Estos efectos se
pueden considerar significativos cuando se realiza la excavación en suelo con una
permeabilidad en el intervalo de 10-5 a 10-3 m/seg [14]. Como consecuencia, la presión de
soporte requerida podría incluso ser mayor a la que se calcula empleando el método A-K.
Capítulo 1. Estabilidad del frente 29
La presión de soporte efectiva s' a aplicar en la clave del túnel (zt) se puede obtener
empleando la ecuación (1.18 a), producto de maximizar el valor calculado s'(zt) respecto al
ángulo asumido θ que forma la cuña de falla con la horizontal.
Z
SPTKGPGs devTwss
zt
'2'2'' )(
………………………….…….…
(1.18) (a)
zzwzz pss ),()()( ' ………………………………………………………….… (b)
Donde, Gs Fuerza de sobrecarga por confinamiento.
Ps Fuerza de levantamiento o sub-presión por excesos de presión de poros.
Gw Peso efectivo de la cuña.
K’ Fuerza de cohesión efectiva a lo largo de la superficie de falla.
T’ Fuerza de fricción resultante en las caras laterales de la cuña.
PT Reducción de la resistencia cortante debido al exceso de presión de poros.
Z Parámetro que es función de (φ – θ)
S’dev Fuerza de soporte desviadora.
z Profundidad en consideración.
w(z) Ancho de la cuña correspondiente a la profundidad z en consideración.
Debido al contrapeso que genera la densidad del slurry, la presión de soporte total s se
obtiene si se suman la presión efectiva de soporte s' y la presión de poros en la superficie
de falla, es decir la presión p(w(z),z) en el extremo w(z) de la cuña. Entonces, se define la
presión en exceso Δs como la diferencia entre la presión de soporte s y la presión de
poros in-situ p0. El profesor Broere desarrolló ecuaciones específicas [15] que se tratarán
en la sección 2.3.2 para evaluar la distribución de presión de poros en el terreno que ha
sido penetrado por el slurry, como función de los siguientes factores: la presión de
soporte, la presión de poros in-situ, tiempo transcurrido, propiedades del suelo y del
fluido de excavación. Dichas expresiones fueron verificadas a partir de información de
campo en tres proyectos de excavación de túneles en los Países Bajos (SS y EPBS),
obtenidas a través de un programa intenso de monitoreo, confirmando que tal
comportamiento de penetración del slurry se presenta a una distancia de hasta 30m
dentro del terreno respecto a la cara de la excavación.
30 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
1.4 Pérdida del medio de soporte: falla pasiva
Eventualmente la presión actuante en el frente se puede caer como consecuencia de la
perdida súbita de fluido de excavación que no se reponga de manera inmediata. Si se
reduce la presión de soporte, esto a su vez puede conducir a la falla global activa en el
frente. La causa de este tipo de falla se debe a una alta presión de soporte durante la
operación de la tuneladora. Estas fallas se categorizan como de blow-out, y agrupan
varios mecanismos incluyendo el movimiento en masa del suelo colapsado hacia la
superficie, conocido como falla pasiva o por levantamiento. En esta sección se hará una
introducción a la forma actual de estudiar el problema a partir de análisis simples del
equilibrio.
La falla clásica por blow-out es aquella que se presenta en el momento en que se levanta
el sólido de falla debido a una alta presión de soporte y la subsiguiente pérdida del medio
de soporte. El modelo con que se obtiene la más baja de las máximas presiones de
soporte, asume que el levantamiento del suelo comprende una región importante del
material en la cobertura del túnel. Este caso se puede presentar cuando el medio de
soporte infiltra el suelo; por ejemplo: en un escudo de slurry cuando no se desarrolla el
filter-cake o costra en la cara de la excavación. Bajo esa condición se suele despreciar la
fricción en las paredes laterales del cuerpo de suelo levantado e igualar la presión
máxima por falla pasiva con el esfuerzo vertical total [14] [21], según la ecuación (1.19).
vs max ……………….……………...………………………………………… (1.19)
Otros modelos tienen en cuenta la resistencia al corte entre el suelo que se desplaza
verticalmente y el suelo de las paredes laterales. Estos esfuerzos cortantes se pueden
incluir directamente como una fuerza cortante a lo largo de las paredes de un cuerpo
rectangular ABCE de suelo en el plano como se ilustra en la Figura 1-22, lo cual permite
por equilibrio de fuerzas verticales [14] calcular la presión máxima smax de acuerdo con la
ecuación (1.20).
D
CKcCs
y
tan'2max
……………………………………………..……… (1.20)
Capítulo 1. Estabilidad del frente 31
Figura 1-22: Modelo de falla pasiva o blow-out incluyendo la fricción en las paredes.
Fuente: Tomado de Broere, referencia [14].
Una posibilidad adicional para estudiar falla pasiva consiste en asumir que al igual que en
la falla activa, existe una cuña de suelo en el frente de la excavación sobre-yacida por
una columna de suelo en la cobertura, formando un mecanismo que se levanta por una
excesiva presión de soporte aplicada. Autores como Balthaus [9], por ejemplo, han
propuesto el modelo de cuña a partir de una pirámide truncada invertida formando
ángulos de las paredes con la horizontal de π/4 + φ/2, como se presenta en la Figura
1-23. El factor de seguridad contra el levantamiento o falla pasiva está dado por la
ecuación (1.21), y bastará según el autor con determinar η1 como un valor conservador
del factor de seguridad contra la falla pasiva.
)()('
245cot'621
tt zs
C
zsB
CB
S
G
…………...……..……………… (1.21)
Donde: G, B', B y C se definen en la Figura 1-23.
Una de las suposiciones hechas en este modelo consiste en asumir que el medio de
soporte no encontrará canales de flujo preferenciales hacia la superficie, debido a
sondeos, perforaciones, etc.
32 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 1-23: Modelo de cuña de falla pasiva de Balthaus.
Fuente: Tomado de Broere [14], adaptado a su vez de Balthaus referencia [9].
Existen otros mecanismos que conducen a la falla por blow-out los cuales se presentan
en función de las condiciones del material en que se excava y las propiedades del medio
de soporte. En condiciones de suelo de baja permeabilidad, y si se tiene excesivamente
presurizada la cámara de excavación, se puede presentar una burbuja de aire que
avanza hacia la superficie (Figura 1-24 a). Por otro lado, en materiales muy permeables
se presenta el potencial de fracturamiento del terreno por la alta presurización del medio
de soporte, como se esquematiza en la Figura 1-24 (b). En líneas generales al comparar
la presión de soporte obtenida para los distintos mecanismos de falla por blow-out
verificados comúnmente en la práctica, se observa que el modelo que desprecia la
fricción en la columna de suelo es el que predice del lado de la seguridad la máxima
presión de soporte a aplicar en el frente [14].
(a)
(b)
Figura 1-24: Otros mecanismos de blow-out por excesiva presión de soporte en el frente:
a) burbuja de aire; b) fracturamiento del terreno.
Fuente: Tomado de Broere [14] y de http://www.facesupport.org/wiki.
Capítulo 1. Estabilidad del frente 33
1.5 Evidencia experimental
A causa del gran número de incertidumbres presentes en el terreno, los altos costos que
pueden derivarse de un posible colapso del túnel y la consiguiente paralización del
proceso de excavación, la mayoría de los investigadores han empleado ensayos en
laboratorio para estudiar las presiones de soporte y validar los modelos asumidos [14].
Estos ensayos se pueden clasificar como modelos físicos de centrífuga, pruebas de
extrusión en laboratorio (aceleración = 1g) y modelos a escala análogos a la condición de
campo.
Aunque el escenario preferible sería el de respaldar los modelos de estabilidad del frente
del túnel con observaciones de campo, y a pesar de que existen muchos proyectos con
suficiente documentación e información disponible de las condiciones del suelo donde se
ejecutaron, no se cuenta con mediciones reales de la presión de soporte aplicada que se
puedan correlacionar con colapso o inestabilidad en la cara de la excavación [14].
En el desarrollo del presente trabajo se tuvieron en cuenta durante la calibración y
validación del modelo propuesto, los resultados de la modelación física en centrífuga
para arenas y arcillas tanto en condición de colapso activo como pasivo. Por esta razón,
se enfocará la presentación de esta sección a los principales hallazgos del
comportamiento del frente de excavación que han evidenciado los ensayos de centrífuga,
como introducción al resumen de resultados obtenidos para la calibración y
retroalimentación del modelo propuesto en el Capítulo 3.
La principal ventaja de los ensayos de centrífuga radica en la capacidad de aumentar la
aceleración con el fin simular las fuerzas de campo que actúan en un prototipo de túnel
de dimensiones reales, con base en un modelo a escala de laboratorio. Los ensayos en
centrífuga se pueden clasificar en aquellos realizados en modelos de túneles
completamente revestidos y aquellos parcialmente revestidos, o de manera alternativa se
pueden dividir en ensayos con arenas y con arcillas. Los ensayos realizados en arenas
son casi siempre hechos a partir de modelos de túneles completamente revestidos. En
estas pruebas el método con que se aplique la presión de soporte puede diferir. En la
condición más simple sin la influencia del agua sub-superficial, se puede soportar la cara
del túnel por medio de un pistón metálico. Este soporte mecánico se retira de manera
34 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
lenta con el fin de simular el colapso activo de la excavación. Por lo general, estos
ensayos arrojan algún indicativo del mecanismo de falla. Otra posibilidad es la de
emplear una membrana impermeable en la cara del túnel modelo soportada por aire o
fluido a presión. En este escenario, la presión de soporte requerida se obtiene al reducir
progresivamente la presión del fluido detrás de la membrana, y registrar las
deformaciones de la misma. Bajo estas condiciones, se dificulta el estudio de la
infiltración del medio de soporte en el terreno, ya que la membrana que sirve como frente
del túnel es en efecto impermeable.
Chambon y Corté [18] modelaron un túnel sellado en el frente por medio de una
membrana impermeable, dentro de una capa de arena seca homogénea. Al reducir
gradualmente la presión de soporte, encontraron superficies de falla que limitan una cuña
sobre-yacida por silos de suelo controlados en su extensión por el ancho de la cuña de
falla y la profundidad del túnel. La investigación de estos autores [18] se centró en
determinar la influencia que tiene la sobrecarga en la formación del silo de suelo y en
demostrar que este silo de suelo siempre se formará incluso para bajas relaciones de
cobertura-confinamiento, convirtiéndose en una chimenea hasta la superficie cuando el
túnel se encuentra a poca profundidad, tal como se aprecia en la Figura 1-25. Ensayos
similares en arenas con diferente compacidad y ángulo de fricción han sido realizados
por otros autores, como se indica en la Figura 1-26 (b).
Figura 1-25: Bulbos de falla por colapso activo en ensayos de centrífuga en arenas, para
diferentes sobrecargas por confinamiento.
Fuente: Tomado de Chambon y Corté, referencia [18].
Capítulo 1. Estabilidad del frente 35
De las investigaciones de falla activa en arena más recientes, vale la pena destacar los
hallazgos y forma de presentar los resultados hecha por Kirsch [31], quien realizó el
compendio de la información de fallas activas en centrífuga, para la relación cobertura C
sobre diámetro D más frecuentemente ensayada: C/D=1, y a la vez contrastó en la
Figura 1-26 con las predicciones teóricas disponibles. De manera análoga a la fórmula de
capacidad portante, en la falla activa se introdujo la presión normalizada de soporte ND
para el caso de suelos sin cohesión según la ecuación (1.22) (a). Este es un número
adimensional que se puede transferir del modelo al prototipo siempre y cuando sean
equivalentes los factores de escala de las ecuaciones (1.22) (b), (c) y (d). Al generar en
un mismo gráfico la presión normalizada de soporte contra el ángulo de fricción, para
muchos de los ensayos de centrífuga de falla activa que se han realizado a la fecha
(C/D=1), Kirsch [31] encontró que existe una alta variabilidad en los valores de presión
medidos y que es posible se presente algún grado de incertidumbre respecto al ángulo
“real” de fricción interna reportado en los ensayos, como se aprecia en la Figura 1-26 (b).
(a)
(b)
Figura 1-26: Presión normalizada de soporte contra falla activa en arenas: (a) predicción
modelos teóricos; (b) ensayos de centrífuga.
Fuente: Tomado de Kirsch, referencia [31].
En su estudio, Kirsch atribuye la alta variación de ND tipificada en la Figura 1-28, al
estado inicial en términos de densidad relativa que tenían las arenas en cada ensayo
particular. Considerando que al movilizar una mayor componente de dilatancia, las
arenas densas tienden a alcanzar un pico de resistencia y por ende una mínima presión
de soporte antes de fallar, se presenta el comportamiento de la Figura 1-27. Las
dispersiones en el ángulo de fricción reportado para cada uno de los ensayos, se deben
básicamente a la necesidad de incluir los valores de ángulo de fricción en estado crítico,
36 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
el cual es independiente del estado de esfuerzos y de la densidad inicial, pero que resulta
sumamente difícil de medir a un bajo nivel de confinamiento como el de las cajas de
modelación a escala. Por estas razones, la gráfica normalizada presentada por Kirsch
para las pruebas de centrífuga en arenas establece los posibles rangos donde se puede
ubicar cada ensayo, y los contrasta con las predicciones de algunos modelos teóricos.
(a)
(b)
Figura 1-27: Presión normalizada de soporte contra desplazamiento normalizado del
pistón en falla activa en arenas: a) esquemático; b) ensayos C/D = 1.
Fuente: Tomado de Kirsch, referencia [31].
Figura 1-28: Variación de la presión normalizada de soporte contra desplazamiento para
un ensayo de colapso activo de arenas en centrífuga, con C/D = 1.
Fuente: Tomado de Kirsch, referencia [31].
Capítulo 1. Estabilidad del frente 37
d
f
DD
pN
……………………………………………………..……….….....
(1.22)
(a)
prototipoelo D
C
D
C
mod
……………………………………………………….. (b)
prototipodelod II
mod ……………………….……………...………….….... (c)
prototipoceloc
mod …………………………………………………….….... (d)
Donde, pf es la presión de soporte medida en la falla.
γd es el peso unitario seco del suelo.
Id es la densidad relativa del suelo.
φc es el ángulo de fricción interna medido en el estado crítico.
Por otra parte, autores como Bezuijen [11] han comparado los resultados de ensayos de
centrífuga en arcillas blandas con las predicciones de algunos de los modelos teóricos
relacionados anteriormente. Se encontró en estos ensayos que el método de Anagnostou
y Kovári a partir del modelo de la cuña-silo de Horn, calcula la presión de soporte en el
frente con grado de exactitud del 2%, siempre y cuando se iguale el inverso del radio de
la excavación con el ancho de relajación del silo de suelo bajo efecto de arco. Esta última
resulta ser una suposición bastante fuerte, ya que el ancho del silo de suelo depende no
solo del diámetro de la excavacion sino también del tipo de material en que se excava. La
geometría del mecanismo de falla en arenas y en arcillas es notablemente diferente, de
acuerdo con evidencia de campo que se recoge en los esquemas de la Figura 1-29.
Figura 1-29: Forma de la superficie de falla activa en un túnel en: a) arenas; b) arcillas.
Fuente: Tomado de Broere [31], adaptado a su vez de Mair y Taylor (1997).
38 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Los ensayos de colapso activo en arenas exhiben un mecanismo tipo “chimenea”,
mientras que los colapsos activos en arcilla evidencian una masa inestable mucho más
amplia. En los ensayos de centrífuga realizados por Bezuijen [11], se realizaron
tomografias posteriores al colapso con el fin de determinar la forma tridimensional
inalterada de la superficie de falla. Los resultados se grafican en la Figura 1-30.
Figura 1-30: Forma tridimensional de la superficie de falla, observada en centrífuga.
Fuente: Tomado de Broere [31], adaptado a su vez de Bezuijen.
Finalmente, la falla pasiva se modela en ensayos de centrífuga empujando un pistón
metálico que representa la cara de la excavación, hacia la dirección de avance del
modelo del túnel, con el objetivo de medir las presiones y desplazamientos que se
desarrollen. Estas mediciones se hacen a través de celdas de carga y transductores
LVDT. Hay disponible un menor número de pruebas en centrífuga de falla pasiva que en
condición activa. Sin embargo se cuenta con información de los ensayos realizados por
Frente
del túnel
Capítulo 1. Estabilidad del frente 39
Wong y Ng [59] para arcillas en condición saturada, y Wong y otros [60] para el caso de
arenas saturadas. Estos autores encontraron que de manera similar a la condición de
colapso activo, se puede establecer una relación lineal entre la presión en la falla pf y el
diámetro de la excavación. Esto significó que al duplicar el diámetro en los ensayos
realizados, la presión de soporte obtenida era el doble, motivo por el cual en la condición
de falla pasiva también es posible expresar la presión normalizada de soporte Nγm de
manera análoga al problema de capacidad portante de un cimiento superficial.
D
pN
f
m'
…………………………………………..…………….……………… (1.23)
Los resultados obtenidos para falla pasiva en centrífuga fueron contrastados con el
modelo de Soubra [50] para el caso de arenas, y comparados con la solución de la teoria
de expansión de cavidades en el caso de arcillas. En la Sección 3.2 se valida dicha
información con los resultados obtenidos a partir el modelo propuesto.
2. Método de análisis propuesto
La geometría evidenciada en las fallas en campo y en los ensayos en centrífuga, tal
como se describe en la Sección 1.5, indica que el mecanismo de falla está controlado por
el diámetro de la excavación y el tipo de material en que se desarrolla; es decir, si se
trata de materiales de naturaleza cohesiva o puramente friccionante. Además, la
evidencia experimental permite advertir que la superficie de falla en el frente no sigue la
forma de un sólido poliédrico compuesto de prismas, cuñas triangulares, y demás, ni de
conos truncados y similares. En esos modelos, la geometría discontinua genera serias
dificultades desde un punto de vista cinemático.
Debido a esa restricción que presentan la mayoría de los métodos de cálculo descritos
en la Sección 1.3, en esta tesis se concibió y matematizó una geometría tridimensional,
cinemáticamente consistente y coherente con los mecanismos de plastificación de los
materiales friccionales. Este sólido, sometido a un sistema de fuerzas de superficie y de
volumen, estará en equilibrio, con cierto margen de seguridad, para determinado empuje
ejercido por la TBM. El mejoramiento que supone la geometría propuesta y la
incorporación del flujo desde y hacia el frente, permitirá obtener con mayor exactitud la
presión de soporte para contrarrestar el colapso del frente, bien sea activo o pasivo. De
esta manera, fue posible establecer la presión ejercida por la tuneladora en función del
factor de seguridad contra falla global durante la operación de excavación.
Este capítulo tiene como objetivo detallar todos los factores intervinientes en el problema.
En particular se tratarán los siguientes: la geometría y matematización del sólido de falla
propuesto como hipótesis, su discretización, los estados de esfuerzos en la superficie de
ese sólido, las fuerzas producidas por el peso propio del material, las debidas al flujo del
agua y al fluido de excavación, las acciones debidas a la sobrecarga y al empuje de la
tuneladora y, finalmente, el método propuesto de equilibrio límite y la evaluación del
factor de seguridad.
42 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
2.1 Sólidos tridimensionales de falla: activo y pasivo
En muchas propuestas analíticas que estudian la falla del suelo ante procesos de carga y
descarga1, se ha introducido la espiral logarítmica [54] para problemas ideales en el
plano como el mecanismo que conduce a la respuesta critica del medio [36] [39]. Por lo
tanto, el presente trabajo propone la extensión de esta tesis del plano al dominio
tridimensional. Las expresiones paramétricas que describen las fronteras del sólido de
falla por colapso y expulsión del frente de excavación, es decir falla activa y pasiva, se
derivan de la propuesta matemática para el estudio morfológico del crecimiento bobinado
o enroscamiento que han hecho autores de otras disciplinas [42] [46] en el estudio
paleontológico de fósiles de moluscos con simetría axial, tal como se ilustra en la Figura
2-1.
(a) (b) Figura 2-1: Modelo de torus representado a) en sistema cartesiano y de coordenadas
locales; b) molusco esbozado por líneas tangentes y perpendiculares (Jacobiano).
Fuente: Tomado de Pappas y Miller, referencia [42].
Las expresiones paramétricas en el espacio R3 que describen un torus como el de la
Figura 2-1, se escriben de la forma generalizada [42] presentada en la ecuación (2.1):
1 Procesos de carga en suelo se pueden asociar con problemas de capacidad portante en
fundaciones y muros de contención en condición pasiva, mientras que procesos de descarga involucran la falla de fondo en excavaciones y la presión activa de muros de contención.
Capítulo 2. Método de análisis 43
funciónfunciónfunciónz
funciónfunciónfuncióny
funciónfunciónfunciónx
*sinr
*usin*cosrR
*ucos*cosrR
…………….… (2.1)
Donde, R es el vector radio medido desde el origen de coordenadas a la superficie.
r es el vector radio medido desde el centro de la sección variable del torus.
u es el ángulo medido desde el eje x, al vector radio R (Figura 2-1 a).
v es el ángulo medido desde el radio R, al vector radio r (Figura 2-1 a).
En la ecuación (2.1), los términos y operadores resaltados en fuente negrilla representan
la sección transversal circunferencial de un torus. Por su parte, las variables con
asterisco (*) pueden ir acompañadas de un coeficiente, y entre símbolo de llave {…} se
admiten operaciones múltiples con relación a otras funciones. El término [función],
permite generalizar la expresión del torus a cualquier curva generatriz en el plano, bien
sea una función trigonométrica, hiperbólica, una combinación de las anteriores, o para el
caso particular en estudio, la función exponencial de las variables u,v ∈ [0,2π], que
representa la espiral logarítmica como se describe en la sección 2.1.1.
Esta formulación de la geometría del torus para concebir el sistema de fuerzas a estudiar
resulta elegante desde el punto de vista analítico, fácilmente programable y
cinemáticamente consistente con el mecanismo de falla del frente del túnel en donde
priman la rotación de la masa de suelo colapsada y la dilatancia de las partículas de
suelo a lo largo de la superficie de falla.
2.1.1 Formulación del método de estabilidad del frente
El método de análisis de la plasticidad del que se va a hacer uso en esta propuesta es un
método del equilibrio límite que trata de partir de una geometría de la cuña de falla que
puede considerarse óptima desde cierto punto de vista. Al proceder así, se elimina la
necesidad de ensayar una gran cantidad de geometrías para obtener la respuesta crítica,
es decir aquella con el menor factor de seguridad.
44 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Análogamente a los problemas planos de estabilidad, en este trabajo se optó por usar la
espiral logarítmica como una línea generatriz de la cuña de falla ya que, como se sabe
por el cálculo variacional y por las propiedades mismas de la espiral, esta curva conduce
a respuestas críticas de problemas de plasticidad en el plano, en materiales homogéneos
tipo Mohr-Coulomb.
Adicionalmente a estas consideraciones, la observación cuidadosa de la cuña de falla
evidenciada en las pruebas de centrífuga realizadas para evaluar la estabilidad del frente
en modelos de túneles, citadas en las referencias [11] [18] [25] [31] [59] [60], sugiere que
la espiral logarítmica que tiene su origen en la clave o bóveda del túnel y que pasa por la
solera o contra-bóveda, es una muy buena representación de las condiciones de falla y,
como se dijo de manera previa, elimina la necesidad de analizar múltiples geometrías.
En consecuencia, la cuña de falla que se propone en este trabajo para efectos de evaluar
el empuje en el frente de excavación, se muestra en distintas vistas en la Figura 2-2 y en
la Figura 2-3 , para los casos activo y pasivo respectivamente.
(a) (b) (c)
Figura 2-2: Vistas del mecanismo propuesto de falla activa en el frente, con forma de
torus espiral logarítmico: a) Isométrica, b) lateral, c) superior.
En el caso activo de la Figura 2-2 (a), la primera componente (1) geométrica es un torus,
descrito en la Sección 2.1, cuya sección transversal en el plano xz es una espiral
logarítmica, que es la curva B-C. El origen de la espiral está en la clave del túnel, el punto
A de la Figura 2-2 (b), su radio final rf es la distancia A-B, igual al diámetro D de la
Capítulo 2. Método de análisis 45
excavación, y el radio inicial es la distancia A-C igual a r0. El punto C, extremo de la
espiral, se localiza donde esta curva se hace vertical. Por ende, el ángulo θ al centro de
la espiral logarítmica, BAC, es igual a π/2 – φ. De esta manera, la ecuación de la
espiral [54] que describe un radio cualquiera, como el A- a = r, está dada para la falla
activa por la expresión (2.2).
tan
2exp.Dr ..........................................................................
(2.2)
(a)
tan2
exp
0
Dr …………………………………....…………………..
(b)
Donde, r es el radio en el plano xz medido desde el centro a la espiral (Figura 2-2).
θ es el ángulo al centro, medido del eje x al radio r (Figura 2-2).
También en la Figura 2-2 (a), los demás componentes del mecanismo de falla activa
están determinados en segundo lugar (2) por una cuña ACE de transición entre el torus
ABC y el tercer elemento (3) que es el silo cilíndrico con sección transversal elíptica. El
punto de transición entre el torus (1) y la cuña truncada (2) se encuentra en A-C, donde
el ángulo al centro θ es igual al ángulo de fricción del material φ, es decir, para r = r0.
(a) (b) (c)
Figura 2-3: Vistas del mecanismo propuesto de falla pasiva en el frente, con forma de
torus espiral logarítmico: a) Isométrica, b) lateral, c) superior.
Por otra parte, en la condición de falla pasiva de la Figura 2-3, es posible diferenciar los
dos elementos que componen el mecanismo propuesto: (1) en primer lugar el torus ABC
cuya curva generatriz, la espiral logarítmica que se presenta en la ecuación (2.3) (a), se
extiende desde la solera o contra-bóveda en el frente hasta alcanzar la cota de la clave
46 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
del túnel en el punto C, en que θ = π/2; y un segundo sólido (2) que constituye el silo
cilíndrico, con sección transversal circular, de base rf dada por la ecuación (2.3) (b).
tanexp.Dr .......................................................................................
(2.3)
(a)
tan
2exp.Dr f ……………………………………….………………….. (b)
Donde, r es el radio en el plano xz medido desde el centro a la espiral (Figura 2-3).
θ es el ángulo al centro, medido del eje z al radio r (Figura 2-3).
Nótese que a diferencia de la ecuación (2.2) para colapso activo donde el ángulo θ se
mide en sentido horario desde el eje x, para la condición de falla pasiva del frente de
excavación el ángulo θ en la expresión anterior (2.3), se mide en dirección anti-horaria
desde el eje z. Respecto al silo cilíndrico de suelo que actúa tanto en condición de falla
activa como pasiva, el cual se extiende desde el nivel de la clave del túnel hasta la
superficie del terreno, es importante precisar que su efecto en la estabilidad será
considerado como una sobrecarga determinada según se describe en la sección 2.2.2.
2.1.2 Geometría de la superficie del sólido de falla
En la Figura 2-4 se presenta la geometría que define el mecanismo de falla en el frente
del túnel, compuesto por un sólido, dividido en casquetes, y limitado por la forma espiral-
logarítmica 3D, con centro de rotación en la clave del túnel, eje de rotación "y", sección
circular generatriz y decremento o incremento exponencial según se analice el caso de
falla activa o pasiva respectivamente. El sistema de coordenadas local establecido tiene
origen en la clave del túnel, el eje x se establece en la dirección de avance de la
excavación y el eje z se mide en dirección vertical desde la clave hasta la solera. Es de
advertir que en adelante y de acuerdo con la Figura 2-4, se empleará la notación de los
ángulos υ,ω ∈ [0,2π] para representar los parámetros u,v ∈ [0,2π] de la ecuación (2.1)
definidos en la Figura 2-1 (a). Por consiguiente, el ángulo ω ∈ [0,π/2] se mide desde el
eje x hasta el radio vector R, y el ángulo υ ∈ [0,2π] se mide en el plano inclinado de R.
Capítulo 2. Método de análisis 47
Figura 2-4: Geometría sólido de falla con forma torus espiral logarítmico tridimensional
Al combinar la expresión generalizada (2.1) en el espacio R3 que describe el torus de
falla, con las funciones exponenciales de la espiral logarítmica tanto para el caso activo
de la ecuación (2.2) como para el caso de colapso pasivo de la ecuación (2.3), se obtiene
el sistema de ecuaciones paramétricas de la superficie de falla propuesta, el cual está
dado para las condiciones activa y pasiva por las expresiones (2.4) y (2.5),
respectivamente.
cos).cos1.('tan2
exp2
sin.'tan2
exp2
cos).cos1('tan2
exp2
,
Dz
Dy
Dx
r ………..………...…….… (2.4)
Donde, según la Figura 2-2 y la Figura 2-4: )20(;2
'
48 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Es de mencionar que en la ecuación (2.5), la sección circular generatriz inicia en un la
coordenada paramétrica ω = φ', es decir, el mecanismo en la Figura 2-2 y en la Figura
2-4 se trunca para todo valor φ' > 0 y no se extiende hasta la clave del túnel. La razón de
esta construcción geométrica radica en proporcionar continuidad a lo largo de la
superficie de falla para la condición activa, de tal forma que los planos de falla en la parte
superior del mecanismo sean verticales y consistentes con el mecanismo de silo de suelo
sobre-yacente. Así, para todo φ' > 0 en falla activa, se tendrá una cuña rígida que será la
transición entre el mecanismo superior cilíndrico y el sólido descrito por la ecuación (2.4),
tal como se verá en la Sección 2.2.2.
cos).cos1.('tan.exp2
sin.'tan.exp2
sin).cos1.('tan.exp2
,
Dy
Dy
Dx
r ……………………………...… (2.5)
Donde, según la Figura 2-3 y la Figura 2-4: )20(;2
0
Debido a que las ecuaciones (2.4) y (2.5) denotan una superficie diferenciable en todas
las direcciones, es posible aplicar los conceptos de la geometría diferencial de superficies
definidos en la Figura 2-5, para obtener los vectores unitarios: normal ṅ, tangente ṫ en la
dirección de movimiento, y evaluarlos en determinado punto contenido dentro del plano
de falla.
Si se toman las derivadas parciales de la superficie parametrizada r(υ,ω), como la
indicada en la Figura 2-5, se tendrán en la ecuación (2.6) las componentes de los
vectores tangentes a la superficie en cualquier punto de interés (υ0,ω0):
00
00
00
00
00 ,'
,
,
,
,
r
z
y
x
r
……………………………….…..... (2.6) (a)
Capítulo 2. Método de análisis 49
00
00
00
00
00 ,'
,
,
,
,
r
z
y
x
r
……………………………………….. (2.6) (b)
(a) (b)
Figura 2-5: Parametrización de una superficie en: a) R2; b) R3.
Fuente: Tomado de https://es.wikipedia.org/wiki/Geometría_diferencial_de_superficies.
De esta forma, el vector normal ṅ a la superficie r(υ,ω) en cualquier punto Q(υ0,ω0) estará
dado por el producto cruz de los vectores de la ecuación (2.6) tangentes a la superficie
en dicho punto Q, para la condición de falla activa (2.7) y pasiva (2.8).
sin'.sincos.cos'.cos
sin'.cos
cos.sin'coscos'.sin
,','
,',',ˆ
0000
000000
rr
rrn ……... (2.7)
'sin.sin'cos.cos.cos
'cos.sin
'sin.cos'cos.cos.sin
,','
,',',ˆ
0000
000000
rr
rrn ……… (2.8)
50 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Vale la pena aclarar que tanto en la ecuación (2.7) como (2.8), se invirtió el sentido del
vector normal ṅ respecto a la definición hecha en la Figura 2-4, con el fin de conservar la
convención comúnmente empleada en análisis geotécnico de que los esfuerzos normales
de compresión sobre la superficie de falla son positivos.
Por otra parte, si se considera que cuando se produce el colapso, las líneas de
movimiento siguen una trayectoria con coordenada local υ constante a lo largo de la
superficie de falla en la Figura 2-4, se puede deducir que el vector tangente que
representa la dirección de la fuerza cortante sobre el plano de falla será la derivada
parcial de r(υ,ω) respecto a ω, para falla activa (2.9) y pasiva (2.10).
)1))(cos('sin(
sin'sin
)1))(cos('cos(
'
',ˆ
00r
rt ….……………………..………… (2.9)
Donde, 2)'(cos)cos().')(cos1)(cos( 22 vv
)1))(cos(sin'tan.(cos
sin'tan
'cos
)1))(cos('cos(
'
',ˆ
00r
rt ….…………..…………… (2.10)
Donde, )1)(cos1(cos'cos
)1(cos22
De manera análoga a las expresiones (2.7) y (2.8), se incluye en las ecuaciones (2.9) y
(2.10) el signo menos (-) para orientar la fuerza resistente al corte que representa ṫ (ver
Figura 2-4) en sentido contrario a la dirección de movimiento.
Finalmente, integrar las fuerzas actuantes sobre la superficie de falla (esfuerzos
normales y cortantes) requerirá discretizar la misma en elementos diferenciales de área
Capítulo 2. Método de análisis 51
dA. El área del elemento de superficie dA se puede expresar de manera aproximada
como función del producto cruz de los vectores tangentes r’ω y r’υ, así como de los
diferenciales dω y dυ en que se dividan las coordenadas paramétricas (ω,υ).
ddrrdA .),( 00
……………………………………………….…………
(2.11)
.''),( 00 rrA ……………………………………………….……….
Cuando dAAy ;00
El área de cada elemento diferencial de superficie estará dada respectivamente para la
condición de falla activa y pasiva por las ecuaciones (2.12) (a) y (b):
ddeD
dA ..'cos
)1)(cos(.
4),( 0'tan.2
2
000
…………………………........
(2.12)
(a)
ddeD
dA ..'cos
)1)(cos(.
4),( 0'tan.2
2
000
………………………..……… (b)
2.1.3 Discretización del sólido de falla
Integrar las fuerzas de campo que actúan sobre el sólido para evaluar el equilibrio, es
decir las acciones debidas al peso2 y a la infiltración según determinada condición de
flujo como se verá en la Sección 2.3, requerirá dividir en pequeños elementos de
volumen cada uno de los casquetes Δω en que se haya discretizado el sólido de falla. La
división del sólido en tajadas necesarias por el MEL se abordará con detalle en la
Sección 2.4. Cada elemento tendrá entonces un volumen conocido dVe y centroide de
coordenadas (xCG,yCG,zCG), punto en que se aplicarán las fuerzas de campo y las cuales
se integrarán a lo largo de toda la tajada del sólido sumando los efectos individuales en
cada volumen dVe.
El algoritmo seguido para realizar la subdivisión de cada una de las tajadas o casquetes
en elementos de volumen, se basó ampliamente en la discretización realizada
anteriormente Δω y Δυ para los elementos de superficie según sus coordenadas locales.
2 Campo gravitacional, es decir el peso propio del suelo.
52 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Por consiguiente, se generó una malla poligonal en cada una de las paredes del
casquete de falla, trazando proyecciones de línea desde el origen de coordenadas (clave
del túnel) hasta cada uno de los puntos en que se discretizó la superficie de falla, y
dividiendo dichas proyecciones en segmentos equidistantes, tal como se ilustra en la
Figura 2-6 (b). La unión de los puntos correspondientes de la malla poligonal en cada
plano tomando como base las paredes adyacentes de las tajadas del sólido de falla, da
origen a la rejilla poliédrica y elementos de volumen mostrados en la Figura 2-6 (a).
(a) (b)
Figura 2-6: Malla poliédrica para discretización del volumen del sólido:
a) generación en el espacio; b) división al interior de las paredes de cada casquete.
Toda vez realizada la generación de la rejilla poliédrica que da origen a elementos de
volumen hexaedros y pentaedros, se proceder a identificar cada elemento y numerar sus
vértices, con el fin de obtener las coordenadas y a partir de estos calcular el volumen y
centroide de cada elemento empleando conceptos de álgebra lineal. La numeración
básica de un hexaedro se muestra en la Figura 2-7.
Capítulo 2. Método de análisis 53
Figura 2-7: Numeración de los vértices y las caras del elemento de volumen hexaedro.
El volumen de cada poliedro mostrado en la Figura 2-8 puede calcularse como la suma
de los volúmenes individuales de pentaedros obtenidos al unir cada uno de los vértices
de las caras con un punto “O” dentro del sólido, el cual por facilidad se adoptará como el
centro de gravedad de la figura.
(a) (b) Figura 2-8: División de los poliedros en tetraedros por cara a) hexaedro; b) pentaedro.
54 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
A su vez, cada pentaedro ABCDO en que se ha dividido el hexaedro de interés, se puede
sub-dividir en dos tetraedros ABCO y ACDO formados al dividir en dos triángulos la cara
cuadrilátera irregular del cuadrilátero ABCD, como se muestra en la Figura 2-9 (b).
(a) (b) Figura 2-9: División básica del poliedro en a) pentaedro; b) tetraedro básico.
Si se definen para cada tetraedro las proyecciones radiales de los vértices al punto O
como vectores V1, V2, V3 y V4, se pueden emplear para calcular el volumen de cada
tetraedro conociendo la expresión del volumen de la pirámide (2.13) (a), y según la
ecuación (2.13) (b), la suma de estos dos volúmenes elementales arrojará el volumen del
pentaedro ABCDO de interés.
3126
1VVVVtetraedro ………………………….…...………….…..….…
(2.13)
(a)
)()(6
1314312 VVVVVVVpentaedro ……………………..….…….… (b)
Capítulo 2. Método de análisis 55
Por último, para obtener las coordenadas (xCG, yCG, zCG) del punto “O”, centroide de cada
elemento de volumen, se aplicará la formulación propuesta en la referencia [12]3
aprovechando la división que se ha hecho del poliedro en tetraedros elementales y, por
extensión, la conformación de sus caras por figuras triangulares que forman la base de la
pirámide en la Figura 2-9 (b).
El centroide “O” de un objeto tridimensional formado por un número N de caras
triangulares con vértices (Ai , Bi , Ci) se puede hallar como se indica a continuación.
Figura 2-10: Centroide de un polígono formado por caras triangulares.
Fuente: Tomado de Bourke (1998), referencia [12].
Ρi es el promedio de los vértices en la cara i-ésima, y Λi es el doble del área de la cara i-
ésima. Se asume en la expresión (2.14) que las caras son “láminas” ultra-delgadas de
masa uniforme, que no necesitan estar conectadas ni formar un sólido. Esto reduce las
ecuaciones al polígono 2D de tres (3) vértices de la Figura 2-10, como lo son las caras
triangulares del poliedro discretizado y subdivido en tetraedros básicos.
1
0
1
0
N
i
i
N
i
ii
CGi
CGi
CGi
CGi
z
y
x
r …………………….……………………………..…….… (2.14)
Donde, )()(;3
iiiiiiii
i ACABCBA
3 Centroide de un polígono formado por caras triangulares (Paul Bourke, 1998).
56 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
La integración a lo largo de cada tajada j de los volúmenes individuales dVe arrojará el
volumen del casquete de falla respectivo. Con el fin de validar la propuesta anterior, es
posible totalizar el volumen del sólido de falla por medio de la sumatoria de volúmenes
individuales Ɐj, y compararlo con el volumen teórico bien sea para falla activa o pasiva.
La ecuación (2.15) se obtuvo de aplicar el teorema de Pappus-Guldin4 a las expresiones
(2.3) y (2.4) que describen la geometría del sólido, por colapso activo (a) y pasivo (b) del
frente.
'tan.'
23
23
'sin311'tan24
.
e
DTEORICO
…………………....…......
(2.15)
(a)
1
'tan24
. 'tan.2
33
e
DTEORICO ……………………………………...……… (b)
Obsérvese que la ecuación (2.15) es válida para todo mecanismo construido a partir de
φ' > 0, pero se llegará a una indeterminación si se asume φ = 0. Con el fin de calcular el
volumen del sólido propuesto como mecanismo de falla en el caso5 φ = 0, se aplicará la
regla de L'Hôpital para evaluar Ɐ en el límite (2.16).
0160'
0' 32
D
g
fLímite TEORICO ..…………………………………………… (2.16)
Finalmente, a partir de la discretización especificada en líneas anteriores, es posible
generar el sólido de falla y estimar el volumen de la masa inestable con un alto grado de
precisión. En la Figura 2-11 y Figura 2-12 se muestran dos ejemplos de discretización
para los respectivos colapsos activo y pasivo, bajo ciertas condiciones de la excavación y
del terreno (D, φ).
4 El volumen V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana
alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d, recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje: V = A×d. Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_centroide_de_Pappus. 5 Nótese que el mecanismo para falla activa y pasiva es igual para la condición φ = 0.
Capítulo 2. Método de análisis 57
Figura 2-11: Sólido de falla activa discretizado y centroide elementos poliédricos.
Figura 2-12: Sólido de falla pasiva discretizado y centroide elementos poliédricos.
58 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
2.2 Estado de esfuerzos
2.2.1 Procesos de carga y descarga
Toda obra de construcción involucra un cambio en el estado de esfuerzos del suelo de
fundación, como se muestra en las trayectorias de esfuerzos de la Figura 2-13. Estos
procesos pueden denominarse de carga, si el esfuerzo normal equivalente p aumenta a
medida que aumenta el esfuerzo cortante desviador q hasta alcanzar la envolvente de
resistencia, y por otro lado, los procesos de descarga, donde la reducción de p a medida
que aumenta q conduce a la condición de falla.
Figura 2-13: Trayectoria de esfuerzos p-q en procesos de carga y descarga.
Capítulo 2. Método de análisis 59
El proceso de colapso gravitacional del frente del túnel por falla activa, en que la masa
deslizada se mueve hacia la excavación, podrá considerarse similar al problema de falla
de fondo en una excavación vertical en suelos (Caso 3 Figura 2-13). Esto significa que en
la falla activa del frente los esfuerzos p actuantes serán menores a los encontrados en
condición de reposo del suelo o in-situ p0, la cual se describirá más adelante en la
Sección 2.2.2. En contraste, la falla pasiva o que ocurre por levantamiento del material en
la cobertura del túnel debido a una elevada presión de soporte de excavación, puede
seguir una trayectoria de esfuerzos intermedia entre el problema de capacidad portante
superficial (Caso 1 Figura 2-13) y un ensayo de laboratorio de compresión triaxial.
La revisión de los resultados recopilados en la Sección 1.5, obtenidos de estudiar
colapso del frente en ensayos de centrífuga, indica que la falla se define como el estado
en que los desplazamientos tienden al infinito, para un valor asintótico alcanzado mínimo
o máximo de la presión de soporte aplicada, según se trate de falla activa o pasiva.
Figura 2-14: Modelo reológico de fuerzas involucradas en la falla.
Si bien la naturaleza del problema planteado es dinámica, según se siga determinada
trayectoria de esfuerzos en carga o descarga, el uso del método del equilibrio límite MEL
para estudiar únicamente el instante en que ocurre el colapso tal y como se propone en
60 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
la Sección 2.4.1, implica asumir el estado de esfuerzos en la falla más apropiado, tanto
para condición activa como para condición pasiva. Con el fin de entender la evolución del
estado de esfuerzos hasta llegar a la falla para estudiar colapso activo y pasivo, se
propone el modelo reológico esquematizado en la Figura 2-14.
Supóngase que el sistema de fuerzas que actúa sobre el sólido de falla en el frente está
representado por el peso W que reposa sobre un tubo telescópico de paredes rígidas
sostenido a su vez por dos apoyos friccionantes N0-S0 conectados en sus extremos por
un resorte a compresión de rigidez K, y que se deslizan a lo largo de las paredes de un
conducto cónico truncado. Se supondrá por cinemática del mecanismo de falla que el
movimiento se presentará en el sentido en que aumenta la abertura del cono y será
activado por la magnitud de la fuerza Q aplicada en el frente, la cual actúa en sentido
contrario de la fuerza de gravedad, es decir en contra del peso W. En la falla activa el
sistema tenderá a desplazarse hacia el frente (abajo) con relación a su posición de
equilibrio inicial por la reducción de soporte que genera el avance mismo de la
excavación (valor de Q < W). Por consiguiente, se producirá una relajación del resorte de
rigidez K que hará que las fuerzas de reacción N-S a lo largo de las paredes del conducto
se reduzcan (N<N0, S <S0), y que conforme avance el movimiento hacia la excavación,
se deba aplicar una fuerza Q cada vez mayor para estabilizar el sistema. Por tanto, la
“relajación” del estado de esfuerzos actuantes en las paredes del sólido de falla conduce
a un cálculo conservador de la mínima presión de soporte en el frente para falla activa.
Por el contrario, en la condición de falla pasiva la masa de peso W tenderá a moverse
hacia el terreno (arriba del frente de excavación, es decir hacia el vértice del cono)
debido a una excesiva presión de soporte aplicada (valor de Q >> W). Así pues, a
medida que se presenta la falla pasiva, es decir, que se levanta la masa W, el resorte de
rigidez K se comprime con el consiguiente aumento de las fuerzas de reacción en las
paredes N-S que se oponen al movimiento (N>N0, S >S0), lo que hará que la fuerza
aplicada Q necesaria para equilibrar el sistema sea cada vez mayor. Bajo este escenario
en que el objetivo es hallar la máxima presión de soporte que se puede aplicar al frente,
el cálculo del lado de la seguridad se logra asumiendo la condición incial de esfuerzos in-
situ (N0, S0).
Capítulo 2. Método de análisis 61
2.2.2 Condición geostática y efecto de arco
Muchos de los problemas geotécnicos inician en la condición geostática6, que es un
estado in-situ de equilibrio estable del suelo que aún no ha sido perturbado, sometido a la
acción del campo de la gravedad. El estado de equilibrio incluye las componentes de
esfuerzo horizontal y vertical (Figura 2-15) que serán los esfuerzos efectivos principales,
al no existir en los planos x, y, z esfuerzos cortantes ni desplazamiento, puesto que las
deformaciones laterales y verticales por consolidación y creep han llegado a cero a lo
largo de periodos geológicos de formación. Esta condición de análisis es válida cuando la
superficie del terreno es horizontal y la naturaleza del suelo, más específicamente el
peso unitario, varía muy poco en dirección horizontal, es decir ∂𝜎’xx/∂x = 0.
Frecuentemente se presenta este caso en suelos de origen sedimentario, donde el
proceso de formación del depósito es básicamente unidimensional (dirección z), por lo
que se aplica la ecuación de equilibrio vertical ∂𝜎’zz/∂z = γ' al elemento de suelo de la
Figura 2-15, localizado a una profundidad z. Al resolver la ecuación diferencial de
equilibrio (2.17) (a) y si el peso unitario del suelo es constante con la profundidad, se
tiene que el esfuerzo vertical variará linealmente con la profundidad (2.17) (b).
dzz
z 0
' …………....………………………….………………………….
(2.17)
(a)
zz ' …………………….……………………………………………. (b)
n
i
iii
z z1
)()()( ' …………………………………..………………...…….. (c)
Por supuesto, en situaciones reales el peso unitario efectivo no es una constante con la
profundidad, ni siquiera en un depósito homogéneo. Generalmente el suelo resultará
cada vez más compacto al aumentar la profundidad debido a la compresión originada por
el peso de la columna que lo supra-yace, es decir los esfuerzos geostáticos. Si el peso
unitario del suelo varía de forma continua con la profundidad, es decir se conoce la
función γ' = ƒ (z), los esfuerzos efectivos verticales pueden calcularse directamente por
medio de la integral (2.17) (b). A diferencia del caso homogéneo, si el suelo está
6 Condición geostática es una suposición válida en la mecánica del medio continuo, siempre y
cuando la superficie del terreno sea horizontal y el proceso de formación del suelo obedezca a una dinámica de depositación donde halla primado la deformación en la dirección vertical.
62 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
estratificado y el peso unitario efectivo de cada capa i es diferente, los esfuerzos
verticales efectivos pueden calcularse por medio de la sumatoria de la expresión (2.17)
(c). Para la condición de falla pasiva, se empleará en el modelo propuesto la sobrecarga
dada por la superposición de la carga en superficie q0*7 disipada y de la condición de
esfuerzos geoestáticos de la ecuación (2.17) (c), como se ilustra en la Figura 2-16.
Figura 2-15: Desarrollo de los esfuerzos in-situ en un depósito de suelo.
Figura 2-16: Sobrecarga y geometría de falla pasiva o por levantamiento del frente.
7 La sobrecarga en superficie disipada q0* a la profundidad del túnel C se puede obtener al aplicar
el concepto simplificado de distribución de esfuerzos 2V:1H usado en geotecnia, aplicando a la carga q0 el factor de influencia para un cimiento redondo de diámetro Df, como If = Df
2/(Df + C)
2.
Capítulo 2. Método de análisis 63
Por otra parte, el efecto de arco es uno de los principales elementos que influye en el
valor calculado de la presión de soporte cuando se establece un modelo de cuña-silo
para estudiar la falla activa en el frente del túnel. La evidencia experimental8 indica que
cuando el material del frente falla, la sobrecarga efectiva que actúa sobre el sólido que se
desplaza hacia la excavación es inferior al peso propio de la columna de material en la
cobertura, ya que este es redistribuido en el suelo adyacente movilizando parte de la
resistencia al corte. Este efecto de arco fue descubierto por Terzaghi [53] en
experimentos realizados a escala de laboratorio en una caja con una puerta trampa en el
fondo, supra-yacida por un depósito de arena limpia, razón por la cual el efecto de
redistribución de esfuerzos es más perceptible en materiales grueso-granulares con alto
componente de fricción-dilatancia que en suelos fino-granulares o de naturaleza
cohesiva. Debido a la relajación de esfuerzos normales en la condición de falla activa,
descrita en la Sección 2.2.1, se aplicará tanto la propuesta de Terzaghi de relajación de
esfuerzos verticales adaptada al mecanismo propuesto, como el principio de los
esfuerzos efectivos para establecer la condición de confinamiento del sólido de falla
activa en el frente de excavación.
Figura 2-17: Definición de fuerzas por efecto arco en tajada infinitesimal de suelo
Fuente: Tomado de Broere, referencia [14].
8 Ver ensayos de centrífuga para colapso activo en la Sección 1.5.
64 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Terzaghi propuso el modelo de una tajada de suelo infinitesimal horizontal, como se
ilustra en la Figura 2-17, sometida al esfuerzo vertical 𝜎'v, resultante del peso de la
columna de largo infinito o silo 2D y su peso propio γ'. A lo largo de las paredes del silo
actúa la fuerza cortante τ, la cual transfiere parte de la carga actuante a las partículas de
suelo circundante. El equilibrio vertical de la tajada infinitesimal de suelo cuyo ancho es
2𝑎 y largo unitario implica la igualdad dada en la expresión (2.18).
)''(22'2'2 ,,, aaa dadzdzaa ………….………………….... (2.18)
Si se emplea el criterio de fluencia de Möhr-Coulomb como se describirá más adelante,
se tiene τ = c' + Ky 𝜎'v, tan φ', llegando a la ecuación diferencial de primer orden (2.19).
a
Kc
dz
d y 'tan'''
'
………………………………………………………… (2.19)
Al resolver esta ecuación empleando la condición de frontera 𝜎'v, = q0 para z = 0, siendo
q0 una sobrecarga arbitraria en la superficie, se tiene la expresión para obtener el
esfuerzo vertical efectivo por efecto de arco en suelos (2.20):
a
zK
a
zK
y
yy
eqeK
ca 'tan
0
'tan
1'tan
'''
………………………………... (2.20)
Donde, Ky.es el coeficiente de presión de tierras en la falla.
c' es la cohesión del suelo.
φ' es el ángulo de fricción interna del suelo.
Cuando la cobertura está compuesta por varias capas de suelo, se puede obtener un
resultado similar aplicando la ecuación (2.20) por separado para cada capa, integrando
esta expresión desde la superficie hacia abajo y como condición de continuidad tomar el
esfuerzo efectivo en el fondo de la capa inmediatamente superior como la sobrecarga en
la capa inferior subsiguiente. Para la capa i-ésima, con coordenada de profundidad en la
parte superior z = t(i), se puede deducir la ecuación (2.21).
Capítulo 2. Método de análisis 65
a
zK
i
ia
zK
ii
y
iii
iiy
iiy
eteK
ca )()()()( 'tan)1(
'tan
)()(
)()()( )('1
'tan
'''
……………..…..
(2.21)
Donde, )1()( ii tzt
Igualmente se puede aplicar una sobrecarga en la primera capa i = 1, es decir 𝜎'v(0) = q0,
y de esta manera se obtiene la distribución completa de esfuerzo vertical efectivo con la
profundidad.
Figura 2-18: Silo prismático por efecto arco con fuerzas cortantes en todas sus caras.
Fuente: Tomado de Broere, referencia [14].
Un punto de discusión siempre ha sido la distancia de relajación 𝑎 que se debe usar en
los cálculos [14] [56]. Terzaghi modeló un silo infinitamente largo en dirección normal al
plano, en que la resistencia a la corte movilizada solo actúa en los costados del silo [53].
Por otro lado, Jancsecz [30] propuso una columna de suelo con ancho igual al diámetro
del túnel D y altura igual a la profundidad de la clave del túnel, en que las fuerzas
cortantes se aplican en las cuatro caras del silo prismático (Figura 2-18). Usando esta
aproximación, el ancho de relajación 𝑎 por emplear en las ecuaciones anteriores se
obtiene como el coeficiente del área al perímetro del silo en la expresión (2.22).
)tan(2
cot
BD
BD
P
Aa
……………………………………………………..…… (2.22)
Donde, θ es el ángulo de inclinación con la horizontal de la cuña triangular de falla.
66 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Aunque la propuesta anterior toma en cuenta la naturaleza tridimensional del silo de
suelo sobre el sólido de falla en el frente, tiene las limitaciones desde el punto de vista
cinemático que presentan los modelos de cuña en el frente implementada por los
métodos de estabilidad global disponibles, de la Sección 1.3. Por esta razón, en este
trabajo se propone un modelo de silo cilíndrico elíptico que es consistente con el
mecanismo de falla espiral logarítmico 3D planteado, el cual se ilustra en la Figura 2-19.
Figura 2-19: Silo cilíndrico por efecto arco en condición de falla activa del frente.
La Figura 2-19 muestra la tajada diferencial de suelo dentro de un silo elíptico, la cual
para estar en equilibrio debe satisfacer que la sumatoria de fuerzas verticales sea cero,
Fv = 0. Al hacer uso de la simetría axial, se plantea de manera análoga a la condición en
el plano, la ecuación diferencial de equilibrio de la tajada para un silo cilíndrico (2.23).
Capítulo 2. Método de análisis 67
2/
)'tan''('
'
r
Kc
dz
d y
………………………………………………..…… (2.23)
Al resolver la expresión (2.23), se obtiene la ecuación (2.24) para efecto de arco en un
silo cilíndrico 3D, con radio r.
2/
'tan
02/
'tan
1'tan
''2' r
zK
r
zK
y
yy
eqeK
cr
……………………………….... (2.24)
Donde, 'cos
2
'tan'2
e
Dr
Si se comparan las expresiones (2.20) y (2.24), se podrá concluir que en el caso de un
silo cilíndrico, la distancia de relajación 𝑎 es igual al semi-radio r/2 del cilindro, es decir,
se cumple la relación de área a perímetro9 propuesta de Jancsecz [30] para el caso de
una sección circular de radio r. La construcción del mecanismo de falla propuesto en la
Sección 2.1.2 puede, para valores de φ' > 0, generar silos de suelo de sección
transversal elíptica al proyectar la sección circular A-B del torus sobre el plano horizontal
xy (Figura 2-19), con el semi-eje menor en dirección x, y el semi-eje mayor en dirección
y. Por tanto y sabiendo que la distancia de relajación es un factor de forma, para su
deducción en un silo de base elíptica se aplicará la expresión (2.22) conociendo de
antemano área y perímetro aproximado10 de la elipse proyectada por el torus de falla.
)3()3()(33
P
Aa D …………………………..………..
(2.25)
'cos31'cos3'cos13
'cos'tan'2exp23
D
P
Aa D ...............................................
Donde, α es el semi-eje mayor de la elipse (en dirección y).
β es el semi-eje menor de la elipse (en dirección x).
9 Siendo el área del círculo A = πr
2 y perímetro P = 2πr, su factor de forma es la relación A/P = r/2.
10 Dado que no existe solución analítica para el perímetro de la elipse, se empleará la propuesta
aproximada de Ramanujan (1918) para calcular el perímetro de la elipse. Esta se considera una propuesta adecuada para elipses cuyo contorno se acerca al de la circunferencia.
68 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
La expresión (2.25) es válida para obtener el ancho de relajación con que se calcula el
esfuerzo vertical por efecto arco en la cobertura del túnel y hasta el nivel de transición
entre el silo y torus, definido por debajo de la clave del túnel a lo largo del plano A-B en la
Figura 2-19. Para aplicar la ecuación del efecto arco en las paredes del sólido de falla en
el frente, es decir en algún punto sobre la superficie de falla, se aplicará el factor de
forma como se demostró anteriormente tomando una cuarta parte del diámetro variable
del torus según su posición (ω,υ) en el espacio, es decir el ancho de relajación
tridimensional 𝑎3D de la ecuación (2.26).
'tan2
342
eDr
P
Aa D
……………………………….…………………..... (2.26)
Donde, D es el diámetro de la excavación o cabeza de corte de la tuneladora.
Todo esto lleva a tres posibles formas de estimar los esfuerzos verticales:
a) Sin efecto arco o en condición geostática, donde 𝑎 → ∞.
b) Con efecto arco en condición plana [53], donde 𝑎 = D/2. (Terzaghi).
c) Con efecto arco para un silo en el espacio, donde 𝑎3D = ƒ (D, φ') ecuación (2.25).
(a)
(b)
Figura 2-20: Distribución de esfuerzo vertical para diferentes propuesta efecto arco.
Capítulo 2. Método de análisis 69
En la Figura 2-20 se grafican los esfuerzos verticales con la profundidad a partir de las
tres propuestas anteriores en un ejemplo de arena seca, para dos propuestas del
coeficiente de presión de tierras en reposo K0 (a) y por efecto arco Kk (b). Como se
observa no hay mayor diferencia en los esfuerzos verticales por variar Ky, pero se
advierte que el estado de esfuerzos es altamente sensible si se compara la propuesta de
condición geostática con la de relajación por efecto arco. Por consiguiente, se explorarán
las tres propuestas mostradas en la Figura 2-21 para establecer la distribución de
esfuerzos normales a lo largo de la superficie de falla en el frente a partir de los
esfuerzos verticales, y se validará la aproximación más adecuada como se demostrará
posteriormente en la Sección 3.2 a la luz de los resultados obtenidos de implementar una
u otra hipótesis.
Figura 2-21: Posibles distribuciones de esfuerzos actuantes en la superficie de falla: 1) Condición geostática; 2) Efecto arco 3D; 3) Esfuerzo intermedio (interpolación lineal).
Fuente: Adaptado de Broere, referencia [14].
70 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
2.2.3 Relación de esfuerzos en la falla y criterio de fluencia
En la sección anterior se describió como obtener los esfuerzos verticales actuantes tanto
en el silo de suelo en la cobertura del túnel como en el material a lo largo de la superficie
de falla en el frente, para condición geostática y por efecto de arco. Por su parte, los
esfuerzos horizontales 𝜎’x se suelen expresar como función de los verticales 𝜎’z por
medio del coeficiente de presión lateral de tierras Ky.
z
xyK
'
'
…………………………………………..…………………………….… (2.27)
Esta definición de Ky se emplea indiferentemente de que la condición de esfuerzos sea
geostática o no. Incluso en el caso de que los esfuerzos sean geostáticos, el valor de Ky
puede variar entre amplios límites, según el suelo resulte comprimido o expandido en la
dirección horizontal, bien sea por fuerzas de la naturaleza o la acción antrópica. De
manera frecuente en geotecnia, es de interés la magnitud del esfuerzo geostático
horizontal en el caso especial en el que no se haya producido deformación lateral del
terreno. En este caso se habla del coeficiente de presión lateral de tierras en reposo y se
designa por el símbolo K0. Como se ha comentado anteriormente, un depósito de origen
sedimentario está formado por una acumulación de sedimentos de abajo hacia arriba. Al
continuar aumentando el espesor depositado de sedimentos, se produce la compresión
vertical del suelo a todos los niveles debido al aumento del esfuerzo vertical. Al
producirse la sedimentación, generalmente en una zona bastante extensa, no existe
razón por la cual haya lugar a una compresión horizontal apreciable. Por esta razón,
algunos autores han llegado a la conclusión lógica de que en un suelo sedimentario, por
ejemplo, el esfuerzo total horizontal debe ser menor que el vertical. Una de las
propuestas más ampliamente usadas para obtener K0, ecuación (2.28), en suelos
normalmente consolidados o de baja a media densidad relativa es la de Jaky [28],
basada en principios de plasticidad y datos experimentales obtenidos en materiales
almacenados a granel en silos.
'sin1)(0 NCK ………………………………………………………….…….… (2.28)
Capítulo 2. Método de análisis 71
En contraste, existe también la evidencia que indica que el esfuerzo horizontal puede ser
superior al vertical si un depósito sedimentario ha tenido una carga importante en el
pasado. En efecto existe una memoria en el suelo, por la cual los esfuerzos horizontales
quedaron “congelados” cuando el suelo estuvo cargado con un espesor mayor de tierras
que el actual y no se disiparon al retirarse esta carga. En este caso, el valor de K0 puede
tomar valores muy superiores a la unidad (1) en función del parámetro de historia básico
definido como la relación de sobreconsolidación, OCR11. Existen aproximaciones semi-
empíricas como la de Mayne y Kulhawy [35] a partir de una amplia base de datos de
suelos, para establecer el valor de K0 de la ecuación (2.29) en suelos sobre-
consolidados, que requieren conocer el perfil de “sobre-consolidación” del suelo.
)'(sin
)(0)(0 * OCRKK NCOC ………………………...…………………………….… (2.29)
Las expresiones anteriores permiten obtener el esfuerzo horizontal como función del
esfuerzo vertical en cualquier punto dentro del continuo. Sin embargo, es importante
precisar que la adopción del criterio de falla de Möhr-Coulomb, en que la resistencia al
corte se expresa como función del esfuerzo normal al plano, demandará a su vez obtener
los esfuerzos normales en cada punto del plano de falla conociendo el esfuerzo vertical
efectivo actuante. El criterio de fluencia adoptado para obtener las reacciones por
esfuerzo cortante movilizado en las paredes del sólido de falla es el de Möhr-Coulomb12,
que generalmente se escribe de la forma (2.30) (a) en términos de esfuerzos efectivos y
(2.30) (b) en términos de los esfuerzos totales.
'tan'' cf …………………………………………………….…….…
(2.30) (a)
tan cf ……………………………………….………………….… (b)
Donde, u ' : Principio de los esfuerzos efectivos [49].
u es el exceso de presión de poros.
11 Del inglés Over-consolidation ratio OCR.
12 El criterio de resistencia fue introducido por Terzaghi en el Congreso de 1936 de la Sociedad
Internacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería de Fundaciones ISSMFE (International Society for Soil Mechanics and Foundations Engineering hoy en día ISSMGE), tomando la interpretación de la fricción en bloques de Coulomb [19] que hiciera su estudiante por aquel entonces M.J. Hvorslev, quien ajusto los resultados de ensayos de corte drenados a la ecuación de Möhr para rotación de esfuerzos alrededor de un punto [48].
72 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Este criterio tiene limitaciones como la linealidad explícita de la envolvente de resistencia
y la presunción oculta en la expresión (2.30), que implica que todo plano normal a la
superficie de falla es un plano “2”, en otras palabras (ver Figura 2-22 a), donde está
contenido el esfuerzo principal intermedio 𝜎2. No obstante las limitaciones del criterio de
falla de Möhr-Coulomb, es importante reconocer que la información antecedente
disponible y descrita en el Capítulo 1 está caracterizada con sus parámetros c' y φ', lo
cual lo convierte en el criterio más empleado para materiales térreos que se puedan
idealizar como medio continuo, razón por la cual se adoptó en la presente investigación.
a) b)
Figura 2-22: Cálculo de los esfuerzos en un plano a un ángulo χ del eje principal.
Es evidente de la Figura 2-22 (b) que si se desea obtener el esfuerzo normal en
determinado punto del plano de falla, bastará con conocer la inclinación χ de este plano
respecto los planos principales “1” o “2” y el valor del esfuerzo principal mayor 𝜎'1 o
menor 𝜎'3 en dicho punto. Si bien el criterio de fluencia de Möhr-Coulomb también se
puede escribir en términos de los esfuerzos principales, el desarrollo de la Sección 2.2.2
demostró que en los puntos en falla solo se conoce con cierto grado de certeza el
esfuerzo efectivo vertical actuante 𝜎'z. Por este motivo se hará uso del círculo de Möhr
rotado alrededor del eje “2” para encontrar el esfuerzo normal 𝜎'n en el plano de falla
como una función del esfuerzo vertical 𝜎'z.
Capítulo 2. Método de análisis 73
Para el análisis drenado (φ' > 0), es decir el criterio de falla escrito en términos de
esfuerzos efectivos (2.30) (a), el estado de esfuerzos está dado por la Figura 2-23.
Figura 2-23: Círculo de Möhr para falla drenada.
Es fácil demostrar por trigonometría de la construcción mostrada en la Figura 2-23, que
se puede escribir en la ecuación (2.31) el coeficiente de esfuerzos efectivos en la falla Kfn
para obtener 𝜎'n como función del esfuerzo 𝜎'z y la inclinación θ del plano de falla.
)'2sin('.sin1
'cos''
2
fnzfnn KconK …………..…………… (2.31)
Al trabajar en el espacio, sin embargo, es más fácil medir inclinaciones a partir de los
cosenos directores del plano de interés. Por tal razón, se puede reformular la expresión
(2.31) introduciendo en la ecuación (2.32) el coeficiente kn como función del tercer
coseno director nz = cos(θ).
74 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
'sin.ˆ1
'cos2
ˆ
2
ˆ
nnfn
kK
z …con…
222
ˆ ˆˆ1ˆ'tan
121ˆ
zzzn nnnk
……….…….… (2.32)
En este punto vale la pena aclarar que el coeficiente de presión de tierras Kk [27] a usar
en el cálculo del esfuerzo vertical por efecto arco, es un caso especial del coeficiente en
la falla Kfn propuesto anteriormente, cuando el plano de falla es vertical (θ = π/2) como es
la condición del silo de suelo, según se muestra en la Figura 2-24 (a).
(a)
(b)
Figura 2-24: Coeficiente de presión de tierras Kk por efecto arco.
Fuente: Adaptado de la referencia [55].
En la Figura 2-24 (b) se puede observar la variación de Kk contra el ángulo de fricción
comparado con otras propuestas de coeficiente de presión lateral de tierras, y la Figura
2-25 grafica la variación del coeficiente Kfn con el ángulo de fricción para distintos valores
de inclinación del plano de falla, en el caso drenado (φ' > 0).
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ángulo de fricción (°)
Coeficie
nte
Pre
sió
n d
e t
ierr
as
' h/
' v
Ka = tan2(/4 - /2) (activo, Rankine 1857)
K0 = 1 - sin (en reposo, Jaky 1948)
Kk = cos2/(1 + sin2) (en arco, Iglesia 1990)
Capítulo 2. Método de análisis 75
(a)
(b)
Figura 2-25: Coeficiente de presión de tierras en la falla Kfn en función de la inclinación
con la horizontal del plano de falla.
De manera paralela, en el análisis no drenado (φu = 0, cu > 0), es decir la resistencia al
corte de la ecuación (2.30) (b) en términos de esfuerzos totales, el estado de esfuerzos
se puede representar como se ilustra en la Figura 2-26.
Figura 2-26: Círculo de Möhr para falla no drenada.
Análogamente al caso drenado, en la condición no drenada se puede escribir el
coeficiente de relación de esfuerzos en la falla Kfn en la ecuación (2.33) para obtener 𝜎'n
76 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
como función del esfuerzo 𝜎'z, y dependiente de la inclinación nz = cos(θ). del plano de
falla, de acuerdo con la expresión (2.34).
cos.sin.2
1;.z
ufnzfnn
sKconK ……..………………………….… (2.33)
n
z
ufn k
sK
ˆ
21
…con… 22
ˆ ˆ1ˆ zzn nnk ………………………………….………. (2.34)
En resumen, si se conocen los esfuerzos normales y cortantes que actúan en
determinado punto del plano de falla según la condición de análisis drenado o no-
drenado y a partir de los vectores unitarios normal, ecuaciones (2.7) (2.8), y cortante,
ecuaciones (2.9) (2.10), obtenidos para cada mecanismo de colapso bien sea activo o
pasivo, se pueden aplicar los conceptos del álgebra lineal para calcular las fuerzas de
superficie normal N, expresión (2.35), y cortante S13, expresión (2.36), que constituyen
las reacciones en el contorno del sólido de falla.
dA
n
n
n
N
N
N
N
z
y
x
n
z
y
x
ˆ.
ˆ.
ˆ
' ………………..………………….………………….… (2.35)
dA
t
t
t
T
T
T
S
z
y
x
n
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
……………………………….………...………………….… (2.36)
13 Se podrá advertir en la Sección 2.4 que S representa la fuerza resistente al corte disponible a lo
largo de la superficie de falla con área dA, y que la variable T se ha reservado para denotar la fuerza cortante desarrollada en las paredes internas entre tajadas del sólido propuesto.
Capítulo 2. Método de análisis 77
2.3 Efectos del agua y del fluido de excavación
La construcción del túnel genera perturbaciones a las condiciones in-situ del terreno,
tanto al estado de esfuerzos según se trató previamente, como a la dinámica de
infiltración que sigue el agua subterránea en el frente. Es bien sabido que la condición
hidrogeológica del terreno y el método constructivo son los principales factores que
determinan la dinámica de flujo sub-superficial. Por consiguiente, se pueden establecer
dos escenarios simplificados de infiltración siempre que el terreno esté saturado: flujo del
agua desde el terreno hacia la excavación y flujo desde el frente hacia el terreno. En esta
sección se tratará la incorporación de los efectos que tienen las fuerzas de infiltración, en
ambos casos de flujo, sobre el mecanismo propuesto de estabilidad del frente,
empleando para ello el método de los esfuerzos efectivos y de las fuerzas de filtración.
Para el caso particular de que no exista flujo sub-superficial, bien sea porque el terreno
se encuentre seco o porque se idealice una membrana en el frente de excavación como
se expuso en la sección 1.3.9, se anulan en el modelo propuesto las fuerzas de
infiltración. Con el fin de establecer la presión de soporte en el frente de excavación sin
flujo sub-superficial, se empleará en los cálculos del método propuesto el peso unitario
efectivo, seco o sumergido según corresponda, superponiendo las presiones
hidrostáticas existentes in-situ.
2.3.1 Flujo tridimensional del agua subterránea hacia el frente
El flujo tridimensional del agua subterránea hacia la excavación se establece en aquellos
casos en que el método constructivo hace que el túnel suponga un gran “dren” dentro del
terreno, es decir, cuando existe en el frente presión atmosférica que resulte menor a la
cabeza de presión del agua en el terreno. Siempre que exista un nivel freático por arriba
de la clave del túnel, esta condición de análisis es válida para excavación con equipo
convencional por drill & blasting (perforación y voladura), tuneladoras de escudo abierto o
incluso TBMs de doble escudo sin presurización de la cámara de excavación.
En esta condición, se desarrollan en el terreno gradientes hidráulicos [ix, iy, iz] en la
dirección de la excavación, razón por la cual su efecto en la estabilidad será desfavorable
para el caso de la falla activa y favorable para la falla pasiva del frente. Existen muchas
propuestas en la literatura para estudiar este efecto [2] [3] [5], la gran mayoría basadas
en resultados de análisis numéricos de flujo sub-superficial tridimensional, asumiendo ley
78 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
de Darcy con el campo de cabeza hidráulica en estado estable. Entre las propuestas más
recientes, destaca la de Perazzelli y otros [43], quienes proponen las expresiones para
hallar la distribución de cabeza hidráulica total hT en el frente (2.37) (a) y sobre el túnel
(2.37) (b), es decir, en el silo de suelo contenido dentro de la cobertura.
hehzyxh H
xb
FT
1),,( …………………………………….…….…
(2.37)
(a)
hehzyxh H
za
H
xb
FT
1
1),,( …….…………………………….… (b)
Donde, H es la altura de la excavación en el frente (H = D para y = 0). hF es la cabeza hidráulica total en el frente de excavación. h0 es la cabeza hidráulica total en el terreno antes de la excavación.
Δh es la caída de cabeza hidráulica, o diferencia entre h0 y hF.
a es una constante: a = 4.496 para C/H = 1; a = 2.850 para C/H = 5.
b es otra constante: b = 1.935 para C/H = 1; b = 1.638 para C/H = 5.
Los valores obtenidos de aproximar el cálculo del campo de cabeza hidráulica por medio
de las expresiones (2.37) son suficientemente precisos [43], comparados con los
resultados de modelación numérica tridimensional por elementos finitos, como se
muestra en la Figura 2-27 para ciertas condiciones del frente (D = C = 10m, hF = 0 m.c.a,
h0 = 100 m.c.a).
(a) (b)
Figura 2-27: Cálculo numérico campo tridimensional de cabeza hidráulica flujo hacia el
frente: a) malla elementos finitos b) curvas de nivel obtenidas.
Fuente: Tomado de Perazzelli y otros, referencia [43].
Capítulo 2. Método de análisis 79
No obstante, la ecuación (2.37) es una formulación plana o bidimensional que no tiene en
cuenta la distancia horizontal y. En la Figura 2-27 (a) se puede advertir que esta
propuesta además de haber sido concebida para excavaciones con simetría axial como
lo es el caso analizado, está pensada en representar el mecanismo de falla de cuña y silo
prismático, puesto que se presenta un túnel de sección rectangular en el frente. Por lo
tanto, la implementación de esta propuesta requirió adaptar las ecuaciones (2.37), con el
fin de que fuesen aplicables a una condición de frente de excavación circular con flujo
tridimensional hacia la cara. Para tal fin, en la Figura 2-28 (a) se proponen proyecciones
x' en dirección radial desde el frente y hacia el terreno, a lo largo de las cuales se
calculará el campo de cabeza hidráulica. Esta construcción de rejilla radial de flujo se
plantea en el presente trabajo siguiendo una probable red de flujo tridimensional como la
obtenida por Anagnostou [2].
(a)
(b)
Figura 2-28: Flujo de agua subterránea desde el terreno hacia el frente: a) rejilla radial
propuesta b) campo de cabeza hidráulica y gradientes.
80 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Toda vez obtenido el campo de cabeza hidráulica total es posible calcular por definición,
ecuación (2.38), las componentes del gradiente hidráulico en cada centroide de los
elementos de volumen en que se ha discretizado el sólido, según la Sección 2.1.3. La
Figura 2-28 (b) ilustra la proyección en el plano xy del campo de cabeza hidráulica total y
gradientes según el estado de flujo tridimensional establecido para determinadas
condiciones (D = C = 10m, h0 = 100m.c.a, hF = 5m.c.a).
zyxz
h
zyxy
h
zyxx
h
i
i
i
zyxi
T
T
T
z
y
x
,,
,,
,,
,,
………………...……….………...………….… (2.38)
Los gradientes en cada elemento de volumen permiten a su vez hallar las fuerzas de
filtración por tajada Jj [Jjx, Jjy, Jjz], las cuales se obtienen al integrar en cada casquete las
fuerzas de filtración ĵ por elemento de volumen, según la ecuación (2.39) (a). Este
procedimiento se puede igualmente replicar para la fuerza de campo debida a la
gravedad en la expresión (2.39) (b), es decir debida al peso unitario efectivo γ', y obtener
el peso propio Ẇj [0, 0, W] de la tajada j-ésima.
ew
z
y
x
z
y
x
dV
i
i
i
j
j
j
zyxj ..,,
…………………………………………….…
(2.39)
(a)
edVzyxw '..
1
0
0
,,
…………………....……………………………….….
(b)
En la ecuación (2.39) (b) el peso tiene componente z positiva, esto debido al sistema de
coordenadas establecido con origen en la clave del túnel y eje z en la dirección de la
profundidad, como se define en la Figura 2-4.
En cuanto a la fuerzas de filtración actuantes en el silo de suelo producto del flujo vertical
descendente hacia el frente, Perazzelli y otros [43] proponen integrar la ecuación (2.37)
Capítulo 2. Método de análisis 81
(b) en el volumen saturado del silo de suelo. Así, se obtiene la fuerza vertical neta V'SILO
aplicada en la cara superior del sólido de falla. Si se realiza dicha integral en el silo
cilíndrico de sección elíptica descrito anteriormente en la Sección 2.2.2, es posible
expresar el esfuerzo vertical efectivo y por ende, la fuerza V'SILO, como la sumatoria de la
fuerza de filtración debida al gradiente hidráulico promedio iav y debida al efecto arco,
según la ecuación (2.40) (a).
R
tK
avwR
tK
y
z
yy
eqfDzieK
cRz
**
'.tan
0
*'.tan.
..))(.'(1'tan.
'')('
...…....
(2.40)
(a)
Db
b
eahzi
Hza
av
'cos2exp1
'cos2
.)(
1
……………………………….. (b)
R
RaDK
D
t
RaDK
Rf
'tanexp1
'tan*
*
…….…………………..
(c)
*
**
*
*
z>DCyR'>c'si0;
D>z>yR'>';
'';
CDcsiDz
CDzoRcsiC
t ……..……………………..
(d)
R
Rc
hw
b
Dba
aD
z.
''
'.
'cos.2
'.cos.2exp1
ln1
1*
…………………………
(e)
'tan'2
exp2
D
…………………………………………………..
(f)
Donde, R Ancho de relajación del silo de suelo en la cobertura, ecuación (2.25). iav Gradiente hidráulico promedio actuante en el silo de suelo. ƒ * Función de forma que relaciona geometría del silo. t* Altura del silo de suelo que actúa como sobrecarga en la cuña de falla. z* Espesor del silo de suelo donde se presenta efecto arco.
α es el semi-eje mayor de la elipse del silo de suelo (en dirección y).
Aplicar la formulación combinada de efecto arco y carga vertical por fuerzas de arrastre
cando hay flujo tridimensional hacia el frente, implica introducir las variables intermedias
definidas en la ecuación (2.40) (b) a (e). La derivación de cada término se explica en
detalle por Perazzelli y otros en la referencia [43].
82 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
2.3.2 Flujo uni-direccional desde el frente hacia el terreno
Las técnicas más modernas de excavación de túneles en suelos y rocas blandas o muy
diaclasadas involucran el uso de equipos que presurizan la cara de la excavación, lo cual
reduce el efecto desestabilizante de la filtración desde el terreno hacia el frente. Esto se
logra con las tuneladoras de doble escudo que compensan la presión del terreno y del
agua subterránea aplicando fluido a presión en la cámara de excavación, es decir,
inmediatamente antes de la cabeza de corte del equipo. De esta manera si el medio
excavado es permeable, a medida que el fluido penetra el terreno, se generan excesos
de presión de poros en el frente de excavación y más allá inclusive. Estos excesos de
presión de poros a su vez reducen el empuje efectivo de soporte de la TBM, lo cual
repercute en la disminución de la estabilidad de la cuña de falla en la cara del túnel. Este
es un aspecto netamente operativo del proceso de excavación con equipos de doble
escudo, pero cuyo efecto adverso en la estabilidad del frente ha sido estudiado por
muchos autores [4] [8] [13] [15] [38], razón por la cual se considera de importancia incluir
tal efecto en el método propuesto.
Al emplear el slurry bentonítico como fluido de excavación por ejemplo, la propiedad
tixotrópica del mineral arcilloso hace formar una costra delgada impermeable en la cara
de la excavación. Este modelo es el que se conoce como de la “membrana ideal”, el cual
asume que toda la presurización del slurry es transmitida al esqueleto mineral del suelo
como una fuerza estabilizante de soporte aplicada en la cara de la excavación (Figura
2-29 caso a). En la realidad, la suspensión o slurry siempre infiltrará los poros del suelo
hasta cierta distancia antes de que se alcance un estado de equilibrio donde se colmaten
los intersticios del suelo, por viscosidad cese el flujo y se forme la costra de perforación o
filter-cake [14]. Así, la presión de soporte se transfiere al esqueleto mineral del suelo a lo
largo de esta profundidad de infiltración como se presenta en la Figura 2-29 (caso c).
En el caso de que las partículas de suelo sean muy gruesas (e.g. arenas o gravas) y los
poros sean de un tamaño importante, la suspensión bentonítica no podrá formar la
“costra de penetración” o filter cake, y por tanto se infiltrará a una mayor distancia (Figura
2-29 caso b). Bajo esta condición, la fuerza de soporte se trasladará al esqueleto mineral
de suelo por medio del arrastre generado en el flujo, es decir, las fuerzas de infiltración.
Capítulo 2. Método de análisis 83
(a) (b) (c)
Figura 2-29: Casos de infiltración del slurry o fluido de excavación: a) Filter cake
formado; b) penetración sin colmatación; c) combinación de filtración y colmatación.
Fuente: Adaptado de Broere, referencia [14].
Para estudiar el efecto de la caída de presión a lo largo del filter cake, Broere y van Tol
[15] propusieron las expresiones (2.41) que caracterizan la variación del exceso de
presión de poros Δp con relación a la distancia al frente x, tanto del slurry dentro de la
costra como del agua sub-superficial en el terreno. La relación anterior se propuso a
partir del ajuste de mediciones hechas en campo de presiones de poros a lo largo del
frente obtenidas con piezo-conos horizontales H-CPT14, según se indica en la Figura
2-30, para el proyecto del túnel Second Heinenoord [15], ubicado en los Países Bajos.
Estas ecuaciones consideran principalmente: las condiciones hidrogeológicas del
acuífero (libre Figura 2-31 a, o semiconfinado Figura 2-30 b) en el frente, las propiedades
reológicas del fluido de excavación o slurry, y aspectos operacionales como la
presurización de la tuneladora y la velocidad angular media de la rueda de corte.
14 El piezo-cono de penetración horizontal (Horizontal Cone Penetration Testing, H-CPT) se
propone como la técnica apropiada de sondeo del material adelante del frente cuando la excavación se desarrolla por tuneladoras SS/EPB en suelos blandos permeables [14].
84 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 2-30: Presiones de poros por flujo hacia el frente medidas en proyecto de túnel
Second Heinenoord (cálculos en línea punteada), Países Bajos.
Fuente: Tomado de Broere y van Tol, referencia [15].
(a)
(b)
Figura 2-31: Caída de presión de poros a lo largo de la costra de perforación filter cake
a) acuífero libre; b) acuífero semi-confinado por acuitardo.
Fuente: Adaptado de Broere y van Tol, referencia [15].
Capítulo 2. Método de análisis 85
),(),(
exp.)(
),(.)(
,,10
tzexparaxtze
ta
azp
tzexparaxd
zp
tzxp
F
Fs
FFs
……….
(2.41)
(a)
(b)
zDhzpconzppp cws ')()(' 000 ………………...…….… (c)
ta
tdzptze s
.)(),( 10
…………………………...………………….… (d)
at
at
kv
dccon
confinadosemiacuíferocHk
libreacuífueroDCD
~
~..
………….…
(e)
F
Fr
rF a
at
tt
1ln……………………………………………...…….… (f)
Donde, Δp es el exceso de presión de poros en el punto (x,z) pasado el tiempo t.
Δps es la caída de presión a lo largo de la costra o filter cake.
pb es la presurización del slurry en la cámara de excavación de la TBM. p0 es la presión de poros in situ dentro del terreno antes de excavar. d10 es el tamaño característico de partículas de suelo
λ es el factor de infiltración del acuífero, según confinamiento (2.41) (e).
kv es la permeabilidad vertical del acuífero, que se asume igual kh. H es el espesor del acuífero. č es la conductividad hidráulica del acuitardo de espesor dat,permeabilidad kat. C es el espesor del material en la cobertura del túnel. D es el diámetro de la excavación.
γF es el peso unitario del fluido de excavación (suspensión bentonítica o slurry).
τF es una medida de la viscosidad [F/L2] del fluido de excavación.
aF es el tiempo del slurry para alcanzar la mitad de la penetración máxima.
αF es un factor de forma del fluido y de la excavación (relación tamaño grano y
radio canal efectivo del canal de flujo). Obtenido experimentalmente. tF es el tiempo promedio de infiltración del slurry en el frente. tr es el tiempo de rotación completa de la rueda de corte de la TBM.
Los parámetros que caracterizan la penetración del slurry en el terreno se obtienen de
manera experimental en el ensayo de filtración en columna, prueba en la cual se deja
infiltrar por gravedad la suspensión en una muestra de suelo. En este ensayo, se mide el
avance del frente de infiltración con relación al tiempo, obteniendo curvas hiperbólicas
como las de la Figura 2-32, que están caracterizadas por los parámetros aF, αF y τF,
según la concentración de bentonita, polímeros o aditivos empleados.
86 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 2-32: Curvas de ensayo de infiltración de slurry, para distintas concentraciones
(g/L) de bentonita en la suspensión.
Fuente: Tomado de Xu y Bezuijen, referencia [61].
Como se describió en la Sección 2.3.1, el efecto del agua y del fluido de excavación se
tendrá en cuenta en el mecanismo propuesto empleando el método de las fuerzas de
infiltración dentro del sólido de falla y de los esfuerzos efectivos a lo largo de la superficie
de falla. Para ello, es necesario expresar la variación del campo de cabeza hidráulica
hT(x,z) en términos de la cabeza de posición hz(z) y de la cabeza de presión hp(x,z,t).
zDtzxp
hhhhfluido
TzpT
'
,,;
………………..………………...….… (2.42)
El gradiente hidráulico se puede entonces obtener al combinar la ecuación (2.41) (a) con
la ecuación (2.42) y aplicar la definición del mismo según la expresión (2.38).
1
00;
,,
,,
,,
,,
z
h
x
h
z
h
z
h
x
h
x
h
i
i
i
zyxz
h
zyxy
h
zyxx
h
i
i
i
zyxi
p
p
zp
zp
z
y
x
T
T
T
z
y
x
…… (2.43)
Capítulo 2. Método de análisis 87
En la ecuación (2.43) es posible apreciar que se ha asumido como nulo el componente
del gradiente hidráulico en la dirección horizontal y, esto debido a la hipótesis de flujo uni-
direccional adoptada para flujo desde el frente hacia el terreno. También es posible notar
que el sistema de coordenadas definido en que el eje z tiene sentido positivo hacia la
profundidad, conduce a tener para la cabeza de posición que ∂hz/∂z = -1. Igualmente, se
tiene por definición que la cabeza de elevación no varía horizontalmente, es decir que
∂hz/∂x = 0. Al desarrollar la ecuación (2.43) empleando la definición de la presión de
poros p(x,z,t) como la suma de p0(z) y Δp(x,z,t), según se indica en la Figura 2-31 (a), se
tiene la expresión (2.44).
x
tzxpi
fluido
x
,,1
………………………………………….…….…
(2.44)
(a)
1
,,1
fluido
w
fluido
zz
tzxpi
……………..………………….… (b)
Si se aplica la ecuación obtenida (2.44) a la expresión (2.41), se obtienen las
componentes del gradiente hidráulico en el filter cake ifc(x,z,t) y en el terreno ig(x,z,t),
dadas por las ecuaciones (2.45):
),(.
),,(
),(
,,10
tzexparatzxp
tzexparad
tzxi
w
g
F
F
x
…………………….…….…
(2.45)
(a)
),(),(
1)(
),,(
),(
,,
tzexparatze
zp
tzxp
tzexpara
tzxi
s
g
w
F
F
w
z
………… (b)
Previamente se ilustró en la sección 1.3.9 como la infiltración del fluido con que se
excava reduce la presión de soporte efectiva S' que se transfiere a los granos del
esqueleto mineral del suelo. Siguiendo la Figura 2-31 (a) se define la presión efectiva de
soporte como la diferencia entre la presurización de la cámara de excavación de la TBM
(bien sea SS o EPBS) y la presión de poros en el frente de penetración del slurry.
88 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
fc
fc
fcx
p
x
expxpS
.
)()0(' …………………………………..……
(2.46)
Donde, Ɐfc es el volumen del sólido de falla penetrado por la costra o filter cake.
Δpfc es la caída de presión en el filter cake a lo largo de Δx, a la profundidad z.
Si se lleva la ecuación (2.46) al elemento diferencial de volumen dⱯfc dentro de la costra
de perforación, y se sustituye hp de la ecuación (2.41), se tienen las expresiones (2.47).
Fp tzxhtzxpcondtzxx
pS
cakefilter
').,,(),,().,,('
………..….…
(2.47)
(a)
cakefilter
dtzxx
hS F
p).,,(' ………….………….………….…….… (b)
Es decir, de acuerdo con la ecuación (2.43) se puede expresar la fuerza efectiva de
soporte S' que da estabilidad al frente en función del gradiente horizontal generado
dentro del filter cake o, en otras palabras, como la integral de la componente x de las
fuerzas de infiltración (ĵx)fc según la expresión (2.48). Esta formulación es compatible con
el método de análisis propuesto, y se considera el equivalente del factor de corrección
para la presión de soporte que aplican otros métodos, como el de la ecuación (1.17) (a).
dtzxiS Ffcx
fc
.).,,()(' …………….………………….………………..…… (2.48)
Donde, (ix)fc es la componente en x del gradiente dentro del filter cake por el flujo del
fluido de excavación con peso unitario γF hacia el terreno.
Con el fin de implementar en el modelo propuesto el efecto de infiltración del slurry en el
terreno, donde el material se considera permeable y homogéneo, se asume de manera
simplificada que el flujo es unidireccional (sentido eje x positivo) y las líneas de corriente
están delimitadas por la sección circular de la excavación, según se ilustra en la Figura
2-33. Bajo esta hipótesis, se supone que no existe flujo vertical desde el silo de suelo y
por tanto no se afecta el valor de sobrecarga obtenido en la Sección 2.2.2. El efecto de
sub-presión que se pueda presentar se tendrá en consideración al incluir la fuerza de
Capítulo 2. Método de análisis 89
infiltración por unidad de volumen en el sólido de falla, y evaluar la componente vertical
del gradiente hidráulico iz para cada tajada en que se divida la cuña del frente.
Figura 2-33: Hipótesis de flujo unidireccional hacia el frente de excavación.
2.4 Balance del sistema de fuerzas
Con el objeto de expresar la relación entre el factor seguridad contra la falla y el empuje
ejercido por la TBM, se implementó un método particular del equilibrio límite. De todas las
ecuaciones del equilibrio estático, el método hace cumplir el equilibrio de fuerzas, tanto a
nivel de cada tajada como de todo el conjunto. En ese proceso, las fuerzas cortantes
requeridas se expresan como las fuerzas cortantes de plastificación divididas por el factor
de seguridad, que se considera único.
En esta sección se desarrollan las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para el sólido de
falla teniendo en cuenta tanto las acciones conocidas, incluyendo el empuje de la
tuneladora, como las reacciones escritas en términos del factor de seguridad.
Solucionando el sistema de ecuaciones resultantes se llega a la relación requerida entre
el empuje de la TBM y el factor de seguridad.
90 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
2.4.1 Método del equilibrio límite en función del factor de seguridad
En la teoría de elasticidad el equilibrio es estudiado asociado a ecuaciones constitutivas
del medio continuo y se expresa en términos de una relación esfuerzo-deformación. En la
teoría de plasticidad, no aplican las relaciones esfuerzo-deformación y lo más
conveniente para estudiar el material en flujo es establecer un criterio de cedencia a lo
largo de la superficie de falla expresando en términos de una ecuación las condiciones
límite de equilibrio [29].
Existirá un estado de equilibrio límite si se expresa la resistencia al corte τ como función
del Factor de Seguridad FS, tal como se plantea en la ecuación (2.49).
FS
f ………………………………………………………………………...……
(2.49)
Al combinar las ecuaciones (2.30) (a) y (2.49), se obtienen las ecuaciones (2.50) (a) y (b).
FSFS
c
FSn
f 'tan'
'
………………………………………………...…
(2.50) (a)
enec 'tan'' …………………………………..…………………….… (b)
Donde, c'e es la cohesión movilizada por corte.
φ'e es el ángulo de fricción interna movilizado por corte.
Es decir, los parámetros de equilibrio c'e y φ'e se definen por la ecuación (2.51).
FS
cc e
'' …y…
FSe
'tan'tan
……………………….……..…....….….……….. (2.51)
Se define el Factor de Seguridad FS con respecto a la resistencia al corte y 1/FS denota
el grado de movilización de la resistencia al corte. La falla se alcanzará para el valor
límite del factor de seguridad FSmin = 1. Para que los parámetros c'e y φ'e definan la
misma envolvente de resistencia al corte movilizada, es necesario que en la ecuación
(2.51) FS sea igual para ambas componentes, en un punto determinado de la superficie.
Capítulo 2. Método de análisis 91
Si se integra la expresión (2.50) (a) en un elemento diferencial de superficie con área dA
y se factoriza el factor de seguridad FS, se obtiene la ecuación de equilibrio límite (2.52)
en términos de las fuerzas que actúan sobre la superficie de falla.
SFS
NCFS
dA .1
'tan'.'1
. …………………………………………………. (2.52)
Donde, C' = dA . c' es la fuerza de cohesión disponible en la superficie dA.
N' es la fuerza normal efectiva en la superficie dA.
Nótese en la ecuación (2.52), de manera análoga a la expresión (2.49), se define la
fuerza movilizada al corte en función de la fuerza resistente disponible en la superficie de
falla S = C' + N'.tan φ', y del factor de seguridad FS. Por facilidad en la programación, se
empleará en adelante esta aproximación del método del equilibrio límite MEL.
Vale la pena mencionar que los métodos de equilibrio límite para análisis de estabilidad
de taludes y por extensión para el problema estudiado de falla tridimensional del frente
del túnel, se basan en la suposición de FS = constante a lo largo de toda la superficie de
falla. Esto significa que al resolver el problema el valor obtenido de FS es un ponderado
[29]. Por esta razón, los efectos de posibles concentraciones de esfuerzos en zonas
críticas se deben estudiar de manera independiente, por ejemplo asumiendo una
distribución razonable del FS a lo largo de la superficie de falla o aplicando el análisis
esfuerzo-deformación en el espacio, con métodos numéricos por ejemplo.
También es importante precisar que cuando se aplica el MEL en taludes, se busca la
superficie crítica, que es aquella que moviliza la mayor resistencia al corte o, en otras
palabras, el menor FS. En el problema estudiado de la estabilidad del frente de
excavación del túnel, solo se tiene una geometría de la superficie crítica controlada por la
cinemática del movimiento y el mecanismo formulado en la Sección 2.1. En problemas de
estabilidad que se desarrollan en material Möhr-Coulomb, se ha demostrado [39]
mediante formulaciones energéticas y el análisis variacional, que la espiral-logarítmica es
la superficie de falla que conduce a la respuesta crítica (FSmin). Con base en este hecho y
en la amplia evidencia experimental en modelos de centrífuga, descrita en el capítulo 1,
se asumió como superficie crítica la geometría del torus generado a partir de la espiral
logarítmica, que tiene su origen en la clave del túnel y se desarrolla en el sentido del
movimiento según la falla se trate de colapso activo o pasivo del frente de excavación.
92 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Por último, se hace énfasis en el hecho de que al aplicar el MEL las ecuaciones de
equilibrio solo se cumplen de una forma parcial.
2.4.2 Planteamiento y resolución del sistema de ecuaciones
Con el fin de implementar el MEL, la masa de suelo que falla en el frente de excavación
se divide en tajadas radiales, o casquetes, que siguen la dirección de movimiento, como
se presenta en la Figura 2-34 (a). Cada tajada j, además de estar bajo la acción de las
fuerzas de campo (gravitacionales Wj y de infiltración Jj), estará sometida a las siguientes
reacciones:
Fuerzas de contorno normales Nj (conocidas) y cortantes Sj a lo largo de la
superficie de falla (desconocidas estas últimas, en función del FS).
Fuerzas internas de empuje E y de corte T, ambas desconocidas, que actúan en
cada una de las paredes i = 0 hasta n, siendo n el número total de tajadas.
Las tajadas o casquetes se numeran desde la primera, ubicada en la clave del túnel bajo
el suelo de cobertura, hasta la última pared-tajada n en el frente de falla, tanto para
condición activa como pasiva, siguiendo la nomenclatura de la Figura 2-34.
(a)
(b)
Figura 2-34: Tajadas del sólido de falla a) Numeración; b) Fuerzas actuantes
Se puede apreciar en la Figura 2-34 (b) que se emplearán dos sistemas coordenados:
uno cartesiano global (x,y,z) que tiene origen en la clave del túnel, y otro sistema local de
Capítulo 2. Método de análisis 93
coordenadas cilíndricas (εr, εy, εθ) cuyo origen cambia de tajada en tajada y se ubica en
su centro de gravedad, obtenido por la ecuación (2.14). Si se aplican las ecuaciones de
equilibrio para cada tajada j, tanto en dirección radial como circunferencial, se deducen
las expresiones (2.53) que satisfacen el equilibrio local.
2
sin.2'''1
.2
sin2
22
cos.
0
0
1
1
jdENJW
FSS
jdEE
jdTj
Fr
jrjrjrjr
i
j
j
j
(2.53)
(a)
jjjjj
i
j
jj NJWFS
Sjd
Ejd
Tjd
T
F
'''1
.'2
cos.2
sin.22
sin.
0
1
1
(b)
Donde, ΔEj es la variación a lo largo de la tajada j del empuje E.
ΔTj es la variación a lo largo de la tajada j de la fuerza tangencial T.
Al establecer el balance del sistema, es necesario plantear igual número de incógnitas
que de ecuaciones con el fin de que exista solución unívoca al problema. Ya que existe
un mayor número de incógnitas que de ecuaciones de equilibro según las ecuaciones
(2.53), se debe plantear una ecuación de equilibrio general. Se propone por equilibrio
global del sistema la expresión (2.54), la cual asegura el balance de la variación de
empujes, entre la primer pared (i = 0) y la última pared o frente (i = n), es decir a lo largo
de todas las tajadas.
0EEE nj ……………………………………………………………….. (2.54)
Donde, E0 es el empuje en la pared horizontal de la primera tajada (sobrecarga). En es el empuje en la pared vertical de la última tajada (fuerza en el frente).
Si se observan las expresiones (2.52), (2.53) y (2.54), es decir las condiciones que se
deben satisfacer para que el sistema esté en equilibrio, se notará que existen más
incógnitas que ecuaciones. Por esta razón, en la Tabla 2-1 se proponen dos métodos de
solución en los que tomando dos incógnitas como lo son el empuje en el frente En y el
Factor de Seguridad FS, se asuma el valor de una de ellas para calcular el valor de la
otra. Esto significa igualar el número de ecuaciones y de incógnitas escribiendo una
variable desconocida en función de la variable conocida o asumida, es decir FS en
función de En (Método A), o viceversa (Método B).
94 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Tabla 2-1: Balance de ecuaciones e incógnitas que satisfacen el equilibrio del sistema.
Método A Método B
Equilibrio Ecuaciones Número Incógnitas
Local radial ΣFr = 0 n n ΔEj ΔEj
Local circunferencial ΣFθ = 0 n n ΔTj ΔTj
General ΣΔEj = En - E0 1 1 FS En
Total = 2n + 1 En FS
Asumido
NOTA: n es el número de casquetes en que se ha dividido el sólido de falla.
Finalmente, la resolución del sistema planteado consistirá en ensamblar la matriz de
coeficientes que multiplica al vector de incógnitas según el método escogido, A o B, y
resolver el sistema matricial de ecuaciones lineales dado por (2.53) y (2.54). Para ello se
implementaron rutinas en el software comercial MatLab® R2017a como se verá en el
siguiente capítulo.
3. Implementación y validación del modelo
En este capítulo se describe la forma de implementar el algoritmo del método propuesto
para la estabilidad del frente del túnel considerando una superficie de falla con forma de
espiral logarítmica tridimensional, tanto en colapso activo como pasivo. Igualmente, se
presenta la calibración del modelo a partir de la información disponible en ensayos de
centrífuga. Al respecto, se detallan las ventajas inherentes de realizar la calibración con
resultados de centrífugas en materiales secos y homogéneos con propiedades
conocidas. Sin embargo, es posible adaptar el programa desarrollado para tener en
cuenta la variabilidad del suelo en el frente. Al final, se comparan los resultados
obtenidos al aplicar este método, con los resultados producto de aplicar la normativa
alemana para dos ejemplos, y se discuten las diferencias a la luz del concepto alemán
del factor de seguridad. Así, se evidencian las ventajas de emplear esta propuesta para
efectos prácticos.
3.1 Programación computacional del método
Con el propósito de evaluar el sistema de fuerzas actuantes y de reacción sobre la cuña
de falla propuesta, que incluyan los efectos que tienen en la estabilidad del frente del
túnel el estado de esfuerzos y las condiciones de flujo sub-superficial tanto del agua
como del fluido de excavación, para la posterior resolución del sistema matricial de
ecuaciones planteadas en la Sección 2.4.2, se desarrolló un algoritmo de cálculo cuya
implementación fue posible a partir de la programación de rutinas en el software
comercial MatLab R2017a, versión estudiantil.
3.1.1 Algoritmos de cálculo
A continuación se listan las funciones desarrolladas, a partir de la programación por
objetos de cada una de ellas, para efectuar el cómputo de todos los elementos de la
estabilidad del túnel tratados en el Capítulo 2:
96 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m: Grafica el sólido de falla en condición activa,
halla las presiones a ejercer en el frente como función del factor de seguridad y
obtiene los diagramas de variación de empuje entre tajadas, para condiciones de
suelo seco o con flujo tridimensional hacia el frente de la excavación (Figura 3-1).
PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m: Presenta el sólido de falla en condición
pasiva, y sintetiza gráficamente iguales resultados que la rutina
FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m, para condiciones de suelo seco o con flujo
tridimensional hacia el frente de la excavación (Figura 3-1).
CentroidVol.m: Discretiza el volumen del sólido de falla generando figuras
poliédricas, las cuales se generan a partir de una rejilla en cada plano/pared de los
casquetes de falla, configurando elementos equiárea pentaedros/hexaedros.
FreeFaceTFN.m: Calcula fuerzas de infiltración [Jix,Jiy,Jiz] y su punto de acción en el
suelo contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado en un acuífero,
masa que se ha discretizado previamente en tajadas y elementos de volumen,
asumiendo que la excavación se realiza con la cara libre del frente, es decir con
equipo convencional sin presurizar o con una TBM sin escudo frontal. Además,
grafica el campo de cabeza hidráulica y gradientes hidráulicos.
TFNthh.m: Calcula la cabeza hidráulica total en el punto (x,y,z) del suelo contenido
en el sólido de falla de frente del túnel excavado en material permeable, asumiendo
que la cámara de excavación es abierta y por tanto no está presurizada, lo cual
permite el flujo tridimensional hacia el frente según Perazzelli y otros [43].
FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m: Grafica el sólido de falla en condición activa,
halla las presiones a ejercer en el frente como función del factor de seguridad y
obtiene los diagramas de variación de empuje entre tajadas, para condiciones de flujo
horizontal por infiltración del filter cake desde la excavación hacia el terreno.
FilterCakeUFN.m: Calcula fuerzas de infiltración [Jix,Jiy,Jiz] y punto de acción en el
suelo contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado mecánicamente
con tuneladora de escudo SS/EPB, masa discretizada previamente en tajadas y
elementos de volumen. Se asume que las presiones de soporte ejercidas por el
equipo se trasladan por fuerzas de infiltración en el filter-cake, según propuesta de
Broere y Van Tol [15]. Además, grafica avance de la costra y gradientes hidráulicos.
AsSolveSemiRig.m: Ensambla la matriz de coeficientes del sistema planteado por
las ecuaciones de equilibrio del sólido de falla del frente del túnel, establece el vector
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 97
de constantes del mismo sistema y lo resuelve asumiendo En para encontrar FS
(método A) o viceversa (método B), según definición de la Tabla 2-1.
Programando por objetos, estas funciones se ensamblan en un algoritmo implementado
para la resolución del problema, cuyo diagrama de flujo se aprecia en la Figura 3-1.
Figura 3-1: Diagrama de flujo del algoritmo para hallar la presión de soporte en el frente.
98 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
3.1.2 Rutinas en MatLab®
El algoritmo y funciones listados en la Sección 3.1.1 se programaron en rutinas de
cálculo en el software MatLabR2017a versión estudiantil, incluidas en el Anexo A.
3.2 Calibración con resultados de modelación física
Debido a las consecuencias económicas, responsabilidades civiles, repercusiones
sociales y demás efectos adversos que se pueden derivar del colapso del frente de
excavación, no se suelen hacer pruebas a escala real que validen la presión de soporte
que conduce a falla activa o pasiva en proyectos reales. Sin embargo, se dispone de
suficiente información producto de experimentación física que permite validar los
resultados obtenidos por las rutinas de cálculo implementadas y retroalimentar el método
propuesto. Con el fin de calibrar el modelo, a continuación se presentan, de manera
gráfica, los resultados de los programas desarrollados empleando como entrada los
datos de los ensayos de centrífuga. Las gráficas generadas para cada prototipo de túnel
incluyen: la geometría tridimensional del sólido de falla, curvas asintóticas de la presión
de soporte contra el factor de seguridad, representación de los componentes del
gradiente hidráulico por flujo en el terreno y, por último, la variación del empuje entre las
paredes de los casquetes de falla para determinado factor de seguridad, según lo
propuso Janbu [29].
3.2.1 Centrífuga en arenas
De las experiencias con ensayos de centrífuga, definitivamente los modelos que más se
han probado corresponden a pruebas en arenas en estado seco, para simular el colapso
gravitacional o falla activa del frente de excavación. Esta información resulta ser de
mucha utilidad para la validación del estado de esfuerzos actuantes en el momento de la
falla, debido a que no están influenciados por el efecto de las presiones de poros que se
puedan llegar a generar en condiciones saturadas. Una forma interesante de consolidar
el gran compendio de resultados obtenidos en fallas activas en centrífuga para arenas
secas (prototipos C/D=1), resulta ser el gráfico de presión de soporte normalizada ND
contra el valor del ángulo de fricción, propuesto por Kirsch [31] e introducido en la
Sección 1.5. Con el propósito de validar las hipótesis en cuanto a la distribución de
esfuerzos en la falla, en la Figura 3-15 se incluyen los resultados del mecanismo
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 99
implementado en este documento para las tres alternativas planteadas en la Sección
2.2.2.
(a)
(b)
Figura 3-2: Calibración del estado de esfuerzos en la falla: 1) Condición geostática;
2) Efecto de arco 3D; 3) Esfuerzo intermedio (interpolación lineal).
Es fácil percibir de la Figura 3-2 (a), que el estado de esfuerzos dados por la condición
geostática no es la mejor aproximación para estudiar la falla activa. Esto debido a que
lleva al modelo propuesto a una predicción insegura de la presión de soporte en la falla
activa, en concordancia con el comportamiento del modelo reológico planteado en la
Sección 2.2.1. Igualmente es posible observar que al adoptar para falla activa y
materiales granulares un estado de esfuerzos aliviado por el efecto de arco, tanto en la
cobertura como en el frente del túnel, se obtienen resultados satisfactorios del lado de la
seguridad y con suficiente aproximación a los datos experimentales. Si por otra parte, se
asume que los esfuerzos en el frente alcanzan un estado intermedio (3) entre la
condición in-situ (1) y la relajación por efecto arco (2), se tendrá una respuesta del
modelo que es insegura, es decir, la presión de soporte calculada es muy inferior a la
requerida según los ensayos de centrífuga. Se podrá notar en la Figura 3-2 curva 3, que
de acuerdo con esta hipótesis, el frente es estable e incluso tendría que aplicarse presión
negativa de soporte en el frente, ND < 0, para llegar a la falla (FS = 1). Esta respuesta
probablemente se debe a la baja sobrecarga de silo por efecto arco sumado al nivel
elevado de confinamiento por condición geostática que define una alta resistencia al
corte a lo largo de la superficie de falla.
100 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Una vez se ha calibrado el estado de esfuerzos en el frente para un rango importante del
ángulo de fricción, se pueden validar los resultados para distintas relaciones de cobertura
a diámetro que se consideran típicas de túneles poco profundos, es decir con relaciones
C/D ≤ 5. La Tabla 3-1 se confeccionó para comparar las respuestas del modelo
propuesto con los resultados de ensayos en centrífuga realizada en arenas para
diferentes relaciones C/D, en condición de falla activa [18] y pasiva [60].
Tabla 3-1: Algunos ensayos de estabilidad del frente con arenas en centrífuga.
Autores Agua hw Geometría Parámetros Presión de soporte s' (kPa)
FALLA ACTIVA C/D D
(m) γd
(kN/m³) φ' (°)
c' (kPa)
Ensayo ND Modelo
3D ND
es
Chambon y Corté (1994)
Seco
0.5 5 16.1 38-42 (40
prom)
0-5 (2.5
prom)
3.3 0.04 4.9 0.06
1 10 16 7.4 0.05 13.9 0.09
2 5 16.1 4.0 0.05 5.4 0.07
4 13 16.2 13.4 0.06 19.7 0.09
FALLA PASIVA C/D D
(m) γ'
(kN/m³) φ' (°)
c' (kPa)
Ensayo Nγ Modelo
3D Nγ
NAF en
superficie (prof. z=0m)
Wong,Ng y otros (2012)
2.2 5 9 37 1
4,095 91 3,030 67
4.3 8,325 185 7,716 171
NOTA: Los resultados del modelo para los prototipos subrayados se presentan gráficamente.
En líneas generales la presión de soporte s’ que se predice con el modelo espiral
logarítmico tridimensional propuesto, es una buena aproximación de la condición real
medida en los ensayos tanto para falla activa como pasiva del frente de excavación, y al
mismo tiempo está del lado de la seguridad en ambos casos, puesto que sobre-estima
ligeramente el valor de ND para colapso gravitacional y sub-estima el valor de Nγ para
falla por levantamiento. Los resultados arrojados por el modelo propuesto en términos de
presión de soporte contra factor de seguridad de la Figura 3-3 (a), se pueden interpretar
a la luz de las gráficas desplazamiento del frente contra presión de soporte, contenidas
en la información recopilada de modelación física en laboratorio. Si bien el marco teórico
propuesto en el Capítulo 2 solo aborda por medio de la técnica de equilibrio límite el
balance de fuerzas sin involucrar los desplazamientos o deformaciones en el frente, se
encuentran relaciones interesantes al contrastar el desplazamiento que se mide en las
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 101
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 3-3: Geometría y presión de soporte vs factor de seguridad: Falla activa arena.
Fuente: Adaptado de Chambon y Corté, ref. [18], empleando MatLab R2017a versión estudiantil.
Figura 3-4: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:
Falla activa en arena.
102 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
pruebas de centrífuga y la resistencia al cortante movilizada, por el método propuesto,
para determinadas presiones de soporte en el frente, según se muestra en la Figura 3-3.
Al comparar la Figura 3-3 (a) y (c), se podrá corroborar que la presión de soporte en la
falla pf coincide con una movilización total de la resistencia al corte, o FS → 1. Antes de
que se alcance el estado de falla, sin embargo, Chambon y Corté [18] definieron
conceptualmente la presión crítica pc como aquella por debajo de la cual se perciben los
movimientos en el frente. No obstante, en la práctica de excavación de túneles se
desconoce la resistencia al corte que moviliza esta presión crítica, o de manera inversa el
Factor de Seguridad para una mínima presión admisible de soporte en el frente. Es de
resaltar que al contrastar la Figura 3-3 (a) y (c), se puede concluir que la presión pc en el
ensayo de colapso activo de arenas, moviliza un poco más de la mitad de la resistencia
al corte, en otras palabras, que corresponde aproximadamente con un factor de
seguridad FS ≈ 2. De esta manera se define en esta investigación el umbral de trabajo
seguro (FS > 2) para falla activa en arenas, a partir del cual se deberían aplicar las
presiones de soporte si se quieren minimizar las deformaciones en el terreno, es decir,
en la cara de la excavación y a nivel de superficie.
La Figura 3-4, por su parte, presenta la variación del empuje entre las tajadas del sólido
de falla activo, para tres análisis relevantes: a) sin soporte en el frente En = 0; b)
condición de falla FS = 1 y; c) empuje En máximo en el frente cuando el FS → ∞. Este
tipo de gráfica que complementa la presentación de resultados que se hará en adelante
para los modelos de túneles analizados en colapso activo y pasivo, resulta valiosa para
estudiar la influencia del grado de movilización de la resistencia al corte (1/FS) en la
variación de las fuerzas internas dentro del sólido de falla. Se observa que en la medida
en que aumenta el factor de seguridad contra la falla por corte, se aumentan en magnitud
los empujes entre tajadas, lo que eventualmente puede conducir a otro mecanismo de
falla por compresibilidad si se superan ciertos límites del material en el frente. El estudio
del efecto de la compresibilidad se considera por fuera del alcance del presente
documento, y deberá abordarse en investigaciones futuras.
De igual modo que en la Figura 3-5 se presenta la geometría del sólido de falla y la
variación de la presión de soporte contra el factor de seguridad, asimismo en la Figura
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 103
3-6 se incluye la variación de empujes a lo largo de las tajadas, para las dos condiciones
de prueba ensayadas por Wong y Ng [57] para falla pasiva en arenas.
(a)
(b)
Figura 3-5: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad: Falla pasiva en
arena (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3.
(a)
(b)
Figura 3-6: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:
Falla pasiva en arena (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3.
104 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Se destaca de la Figura 3-6 la gran magnitud que alcanzan los empujes entre tajadas a
lo largo de todo el sólido de falla por levantamiento del terreno en el frente. Este
comportamiento esperado, dado por los máximos niveles de presión que se aplican para
llegar a la condición de falla pasiva en arenas, concuerda con la predicción de métodos
basados en la teoría de expansión de cavidades aplicada por autores como Balthaus,
Soubra, entre otros. A diferencia de las gráficas respectivas para la falla activa, en el
caso pasivo se numeran las paredes iniciando en el frente, E0, hasta el silo, En.
(a)
(b)
Figura 3-7: Comparación geométrica mecanismo de falla activa en arena.
Fuente: Adaptado de Chambon y Corté, ref. [18], empleando MatLab R2017a versión estudiantil.
Por último, se propone confrontar la forma de la falla evidenciada en el ensayo de
centrífuga en arenas, con la geometría del mecanismo propuesto, tanto para condición
activa como pasiva. La Figura 3-7 compara el esquema simplificado de la falla en
laboratorio (a), contra el sólido de falla tridimensional espiral logarítmico (b) proyectado
en xz¸ es decir en el eje del túnel. Se aprecia un alto grado de similitud en la forma y en
las dimensiones de ambas geometrías, con valores máximos del ancho de la cuña de
falla bastante cercanos para el ensayo (0.3D) y para el modelo (0.37D). El colapso
parcial de la cobertura (0.6D) del túnel, no se ve reflejado en el mecanismo planteado por
tratarse de un proceso arriba del frente de excavación donde se ubica la cuña de falla
propuesta, pero su efecto de alivio en la sobrecarga se tuvo en cuenta al considerar el
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 105
silo de suelo bajo el efecto de arco según la propuesta de Terzaghi adaptada para falla
tridimensional en la Sección 2.2.2. Se puede realizar el mismo símil de la geometría
supuesta contra la real para la condición de falla pasiva en arenas, al comparar la Figura
3-5 (a) y (b) con la Figura 3-8 (a) y (b), respectivamente. Es posible deducir de la anterior
comparación, que la construcción geométrica del sólido de falla a partir del método
propuesto, duplica de una forma satisfactoria el contorno definido por los vectores de
movimiento mostrados en la Figura 3-8 para el ensayo de colapso pasivo en centrífuga.
(a) (b)
Figura 3-8: Vectores de desplazamiento y presión de soporte normalizada: mediciones
hechas durante falla pasiva en arena: (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3.
Fuente: Tomado de Wong y Ng, referencia [60].
3.2.2 Centrífuga en arcillas
Los ensayos de centrífuga para fallas de frente en materiales arcillosos son menos
comunes que en arenas, pero se cuenta con los resultados obtenidos por algunos
autores para condición de falla activa [11] [47] y pasiva [59]. Estas experiencias se
resumen en la Tabla 3-2, confeccionada con las características de los ensayos
recopilados y los resultados obtenidos con el modelo tridimensional propuesto.
Si se contrastan en la Tabla 3-2 las dos presiones normalizadas de soporte ND, es decir
el valor medido en el ensayo y el calculado por el método propuesto, para el colapso
activo en material arcilloso, se encuentra que el mecanismo planteado predice con
suficiente exactitud la presión de soporte en el frente. Al no aplicar el efecto de arco que
es propio de los materiales grueso-granulares, y por ende presentarse la condición
geostática o de esfuerzos in-situ del terreno, la calibración en este caso consistió en
estimar la sobrecarga actuante en la base del silo de suelo o, en otras palabras, en la
106 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
interfaz con la cuña tridimensional del frente. Como producto de probar diferentes
hipótesis sobre los estados de esfuerzos verticales (Sección 2.2.2) actuando en el silo de
suelo en la cobertura del túnel, se encontró que el esfuerzo geostático total sin considerar
flujo vertical de agua, condujo a la mejor predicción de la presión de soporte para colapso
activo. Esta es una suposición fuerte pero consistente, si se considera que los materiales
de granulometría fina como las arcillas tienen una baja a muy baja permeabilidad. Por
tanto, para materiales arcillosos, se puede despreciar razonablemente la influencia de la
excavación en el campo de cabeza hidráulica presente en la cobertura del túnel. En
cuanto al efecto del agua en el frente, vale la pena mencionar que si se tuvieron en
cuenta las condiciones de flujo tridimensional hacia el túnel, y las fuerzas de infiltración
dentro del sólido de falla se calcularon de acuerdo con lo dispuesto en la Sección 2.3.1.
Tabla 3-2: Algunos ensayos de estabilidad del frente con arcillas en centrífuga.
Autores Agua Geometría Parámetros Presión de soporte s'(kPa)
FALLA ACTIVA C/D D
(m) γ'
(kN/m³)
cu*
(kPa) su
*/'v Ensayo ND Modelo
3D ND
Bezuijen y van Seters (2006)
NAF en superficie
(prof. z=0m)
0.6 10 6.6
16.2 0.22
125** 1.9** 119.4 1.8
0.8 19.2 152 2.3 149.7 2.3
FALLA PASIVA C/D D
(m) γSAT
(kN/m³)
cu*
(kPa) su
*/'v Ensayo Nγ Modelo
3D Nγ
Wong y Ng
(2013)
Prof:
z = 1 m 2.1 4.5 16
12 0.18-0.29
305 11.4 218 8.1
z = 1.5 m 4.2 36 471 17.6 448 16.7
NOTA: (*) Resistencia su medida en el eje del túnel empleando mini CPT.
(**) Valor retrocalculado a partir del número de estabilidad en el ensayo centrífuga.
Los resultados del modelo para los prototipos subrayados se presentan gráficamente.
Del mismo modo que se presentaron los desplazamientos medidos antes y durante la
falla activa en los ensayos de centrífuga en arenas, es posible relacionar en la Figura 3-9
(a) y (c) la presión de soporte crítica pc con un factor de seguridad de dos, FS ≈ 2 de
acuerdo con el método propuesto. Es evidente en la Figura 3-9 (c) que la movilización de
la mitad de la resistencia al corte, coincide con en el umbral donde se inician los
movimientos perceptibles tanto en el frente como en la superficie, para un prototipo de
túnel (C = 8m, D = 10m) en arcilla de Speswhite.
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 107
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 3-9: Geometría y presión de soporte vs factor de seguridad: Falla activa arcilla.
Fuente: Adaptado de Bezuijen y van Seters, ref. [11], usando MatLab R2017a versión estudiantil.
Figura 3-10: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:
Falla activa en arcilla.
108 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
(a)
(b)
Figura 3-11: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad: Falla pasiva en
arcilla (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2.
(a)
(b)
Figura 3-12: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:
Falla pasiva en arcilla (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2.
Por otro lado, la construcción geométrica propuesta en la Sección 2.1.2 supone el mismo
mecanismo de falla que se muestra en la Figura 3-11 para condición pasiva que para
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 109
activa, en el caso de materiales arcillosos cuyo análisis sea φu = 0. Bajo esta suposición,
el método propuesto en este trabajo lleva a calcular un valor de la presión de soporte
máxima que se acerca bastante por el lado de la seguridad a la presión obtenida
experimentalmente, de acuerdo con los valores Nγ recogidos en la Tabla 3-2.
La presentación de resultados en la Figura 3-10 y la Figura 3-12, en que se grafican la
variación de los empujes a lo largo de las tajadas del sólido según el factor de seguridad
contra la falla activa y la falla pasiva, resultará de utilidad para estudiar el problema de
compresibilidad dentro del sólido de falla. Aunque está fuera de los objetivos de este
trabajo, el mecanismo de compresibilidad eventualmente conduce a asentamientos en la
superficie antes de que se presente colapso o falla por corte del material en el frente,
especialmente en materiales con alto contenido de finos, como los limos y las arcillas.
Finalmente, comparar la Figura 3-11 con la Figura 3-13 permite constatar que la
geometría propuesta mediante la construcción del torus, representa de manera
satisfactoria la forma y dimensiones normalizadas del sólido de falla activa en el frente,
para materiales de naturaleza cohesiva. De manera análoga, los vectores de
desplazamiento en la Figura 3-14 medidos al momento del colapso pasivo por
levantamiento en arcillas, indican un mecanismo de falla similar en forma y dimensiones
al descrito por la geometría establecida del torus en la Sección 2.1.2.
(a)
(b)
Figura 3-13: Geometría mecanismo de falla activa para ensayo de centrífuga en arcilla.
Fuente: Adaptado de Schofield, referencia [47].
110 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
(a) (b)
Figura 3-14: Vectores de desplazamiento y presión de soporte normalizada: mediciones
hechas durante falla pasiva en arcilla: (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2.
Fuente: Tomado de Wong y Ng, referencia [59].
3.3 Verificación por otros métodos teóricos
En la gran mayoría de proyectos recientes de túneles de sección circular a poca
profundidad y excavados en suelos, se ha evaluado la presión de soporte a aplicar
durante la etapa de excavación con base en diferentes propuestas teóricas al respecto,
las cuales están disponibles en la literatura. Por tal motivo, resulta de relevancia
confrontar los resultados que se pueden obtener a partir del método planteado, con los
valores teóricos de referencia de la presión de soporte, estimada a partir de las
propuestas comúnmente empleadas en la práctica.
En la Figura 3-15 que presenta la presión normalizada ND para distintos valores del
ángulo de fricción del suelo, se incluyen los resultados obtenidos al aplicar el método
propuesto, junto con las predicciones teóricas para los casos de prototipos de túneles de
relación C/D = 1 en arenas secas, descritos en la Sección 3.2.1.
Se puede advertir que tanto la propuesta analítica de Leca y Dormieux [33] así como los
ábacos de número de estabilidad desarrollados a partir del método de los elementos
finitos MEF por Vermeer y Ruse [57], son los métodos que presentan en la Figura 3-15
un mayor grado de exactitud para estimar la presión en el frente contra falla activa. Sin
embargo, estas propuestas pueden eventualmente arrojar una presión de soporte que
está del lado de la inseguridad, puesto que en algunos de los ensayos de colapso
gravitacional en centrifuga que se superponen gráficamente, se aprecia como las curvas
color magenta y cian sub-estiman la presión mínima que conduce a la falla.
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 111
Del conjunto de propuestas teóricas analizadas, se puede concluir que la del sólido
tridimensional espiral logarítmico introducida en el presente trabajo, representada por la
curva color marrón con marcadores, es aquella que con mayor grado de exactitud,
siempre está del lado de la seguridad en la estimación de la presión de soporte en el
frente.
Figura 3-15: Comparación resultados centrífuga con predicción modelos teóricos.
Por otra parte, en el caso de que el terreno esté saturado y sea altamente permeable,
resulta conveniente implementar en el mecanismo tridimensional propuesto los efectos
de la infiltración del medio de soporte, o filter-cake formado por los fluidos de excavación.
Por tal motivo, se estudiará el túnel de referencia cuyo frente está en material
homogéneo conformado por un acuífero semi-confinado, con los parámetros
geotécnicos, hidrogeológicos y operativos de la excavación indicados en la Tabla 3-3.
112 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Tabla 3-3: Parámetros y geometría del túnel de referencia aplicando modelo filter cake.
Parámetro Valor Parámetro Valor Geometría
Túnel D 10 m Slurry τF 5 Pa
C 15 m aF 180 s
Suelo γSAT 20 kN/m³ αF 2.5
c' 0 tF 10 s
φ' 30° γF 10 kN/m³
d10 100 μm Acuitardo č 109 s
kh, kv 10-4 m/s Acuífero d2 2 m
Profundidad del agua 0 m
semi- H1 10 m
subterránea confinado H2 18 m
Fuente: Tomado de Broere, referencia [14].
La condición de flujo unidireccional hacia el frente establecido por la penetración del
medio de soporte de la excavación, aplicando la teoría descrita en la Sección 2.3.2, se
aprecia en la Figura 3-16, a lo largo del plano de simetría vertical del túnel (y = 0).
Figura 3-16: Condiciones de flujo unidireccional para el túnel de referencia aplicando el
modelo del filter cake: falla activa en arena C/D = 1.5.
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 113
(a)
(b)
Figura 3-17: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad para el túnel de
referencia aplicando el modelo del filter cake: falla activa en arena C/D = 1.5.
Figura 3-18: Variación de empujes por tajada modelo filter cake: a) FS = 2; b) FS → ∞.
En la Figura 3-17 se hace la presentación ya habitual de la geometría construida para el
mecanismo de falla (a), la curva asintótica de presión de soporte en el frente contra el
114 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
factor de seguridad (b) y la variación de los empujes entre tajadas se muestran en la
Figura 3-18. Debe notarse, como se trató en la Sección 2.3.2, que habrá una presión
efectiva de soporte dada por la mínima presurización en la cámara de excavación de la
TBM que permite que haya flujo unidireccional hacia el terreno. Es decir, las presiones de
soporte s' que estén por debajo de dicho umbral inferior, para el caso de estudio las que
corresponden a FS ≤ 2, no serán válidas para el modelo de infiltración de filter cake, ya
que es muy probable que este no se presente y en su lugar haya flujo de agua hacia la
excavación.
En este contexto, a partir de la Figura 3-17 (b) se establecen los factores de seguridad
contra la falla activa que brindan los valores de la presión de soporte estimados según
algunas de las propuestas teóricas más usadas. En la Tabla 3-4 se resumen según
distintos autores los valores de la presión de soporte del túnel de referencia en la Tabla
3-3, y su correspondiente factor de seguridad calculado por el método propuesto en este
trabajo.
Tabla 3-4: Presión de soporte mínima en el frente, según distintos métodos para el túnel de referencia aplicando el modelo del filter cake.
Modelo s' Factor de
(kPa) Seguridad FS
Atkinson y Potts 37.5 U*
Krause (semi-esfera) 19.2 6.7
Leca y Dormieux 7.1 1.7
Jancsecz y Steiner: silo-cuña con efecto arco 7.2 1.7
Anagnostou y Kovári: membrana ideal 9.8 2.0
Broere: Modelo filter cake
Múltiples cuñas poliédricas 26.6 U*
Plano de falla parabólico 14.9 3.2
Sólido de falla propuesto espiral logarítmico 3D
9.9 2.0
23.2 FS → ∞
U*: Factor de Seguridad Incierto (posible falla por levantamiento)
Fuente: Adaptado de Broere, referencia [14].
Se puede observar como la mayoría de los métodos estiman con exceso la presión
mínima de soporte en el frente, excepto Leca & Dormieux [34], y el modelo de silo
prismático con efecto arco sobre una cuña poliédrica, propuesto por Jancsecz & Steiner
[30], y analizado como una membrana ideal en el frente según Anagnostou y Kovári [3]
[4] [5]. También se puede apreciar que el factor de seguridad puede llegar a ser incierto
para los valores de s’ estimados por propuestas que no consideran el efecto
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 115
tridimensional del sólido de falla, como Atkinson & Potts, o algunas que incluso al incluir
el modelo de filter cake como lo propuso Broere & van Tol [13] [14] [15], tienen
limitaciones cinemáticas por la geometría discontinua de falla asumida para la cuña en el
frente. El nivel de incertidumbre para una presión de soporte s’ por arriba del umbral
superior (FS→∞) definido en la Figura 3-17 (b), está dado por el potencial que existe,
ante excesivas presiones, de presentarse bien sea la falla pasiva por levantamiento en el
frente o las caídas súbitas de la presión por efectos del blow-out, descrito en la Sección
1.4.
3.4 Aplicación práctica: rango seguro de trabajo
En las secciones previas se han calibrado las condiciones del mecanismo propuesto y se
han validado los resultados obtenidos frente a los datos de ensayos realizados en
centrífuga por otros, y, frente a presiones referenciales calculadas por algunas
propuestas teóricas disponibles. Tales discusiones han permitido introducir el factor de
seguridad contra la falla al corte para los casos de colapso activo y pasivo del frente, el
cual se definió en la Sección 2.4.2 como un factor básico o directo, es decir, que se
aplica directamente a los parámetros o, en este caso, a la fuerza disponible de
resistencia al corte para calcular la resistencia movilizada. Como resultado, las curvas
computadas de presión de soporte s’ contra factor de seguridad FS, tanto para el caso de
falla activa como pasiva del frente del túnel, presentan una forma asintótica con dos
límites inalcanzables: cuando no se moviliza la resistencia al corte, FS → ∞, y si se
presente la falla, FS < 1. A continuación se hará una breve introducción del tratamiento
que se hace en la práctica para considerar algún grado de seguridad en los valores
calculados de presión de soporte en el frente, empleando factores de seguridad
indirectos. Como se verá en dos casos prácticos tomados del Comité Alemán de Túneles
DAUB [21], la aplicación de estos factores de seguridad parciales no permite estimar con
confianza el rango óptimo de trabajo asociado a los menores costos, o mínima presión de
soporte, que garantice un margen seguro de operación.
En general, la escuela europea de túneles sigue las recomendaciones que hace el
Comité Alemán de Tuneles DAUB [21] para establecer el margen de seguridad de la
presión de soporte, en excavaciones realizadas con máquinas de doble escudo SS/EPB.
Tales directrices se basan en la propuesta hecha por Jancsecz del modelo de estabilidad
116 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
silo-cuña con una membrana ideal en el frente. En esta implementación, ecuación (3.1)
(a), se aplican factores de seguridad por separado tanto a la presión efectiva del suelo,
según el modelo de estabilidad, como a la presión del agua en condición hidrostática, por
efecto de membrana ideal en el frente.
WEP WE …..………………………………………………….....
(3.1)
(a)
WE
P
WE
…………………………………………………………...….. (b)
Donde, η es el factor de seguridad global.
ηE es el factor de seguridad parcial para el empuje efectivo del terreno.
ηW es el factor de seguridad parcial para el empuje hidrostático del agua.
P es la fuerza mínima a aplicar para estabilizar el frente. E es la fuerza de empuje efectivo ejercido por el terreno, por estabilidad global. W es la fuerza hidrostática en el eje del túnel.
Estas expresiones siguen el concepto alemán del factor de seguridad, el cual se soporta
en el estándar DIN4126 que plantea los factores de seguridad indirectos usados en el
cálculo de estabilidad para excavación de trincheras soportadas con slurry [14], y según
el cual se establecen dos escenarios. En el primero, si el empuje del terreno es mayor al
empuje del agua (E > W), se desprecia la presión hidrostática y la presión en el slurry se
calcula con base en el empuje E, esto significa valores de ηW = 0 y ηE = 1.5 para túneles
completamente sumergidos. En el segundo caso donde el túnel está parcialmente
sumergido, la presión de soporte P tiene que contrarrestar la superposición del empuje
efectivo del terreno E sumado al empuje del agua W. Por ende, la fuerza resultante del
slurry tiene que estar en todo momento 1.05 veces por encima del empuje hidrostático,
para lo cual se aplican simultáneamente los factores de seguridad de ηW = 1.05 y ηE =
1.5. La fuerza mínima de soporte del frente del túnel se obtendrá como el mayor valor de
P calculado según los dos escenarios anteriores.
De acuerdo con la normativa alemana la fuerza de empuje efectivo que ejerce el terreno
E, se puede calcular en materiales cohesivos empleando el método de los números de
estabilidad SRM (Stability Ratio Method), o en materiales granulares a partir del modelo
silo-cuña poliédrica de Horn implementado por Jancsecz [30]. En el artículo original,
Jancsecz adopta la formación de una membrana ideal en el frente y sugiere emplear
valores de los factores parciales de seguridad de ηE ≥ 1.5 – 1.75 y de ηW = 1.05. El hecho
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 117
de que existan o no construcciones en las vecindades de la excavación define si el valor
del factor de seguridad parcial para el empuje del terreno es de ηE = 1.75 o 1.5. En el
mismo artículo, para estudiar falla pasiva del frente, se propone aplicar a la presión de
confinamiento geostática en la clave del túnel, un factor de seguridad contra falla por
blow-out o levantamiento de ηB = 1.1, con el fin de obtener la presión de soporte máxima
en la excavación, según la ecuación (3.2).
CP T
B
1 ………………..……………………………………………………….. (3.2)
Donde, ηB es el factor de seguridad contra la falla por blow-out o levantamiento.
P es la fuerza máxima a aplicar para no levantar el material en el frente.
γT es el peso unitario total del suelo en la cobertura del túnel.
C es el espesor de la cobertura del túnel.
Tal como lo sugirió Broere [14], los factores de seguridad parciales son los más
comúnmente usados en la práctica, y a pesar de que son valores relativamente altos
para trabajos temporales, el margen de seguridad que se tiene en las excavaciones no
es suficientemente alto, producto de mayorar las presiones de soporte con los valores ηE
y ηW. Todavía se tiene la incertidumbre sobre la presión de soporte calculada contra la
falla, aún después de aplicar los factores de seguridad parciales, debido a dos razones
principales: en primer lugar, la alta sensibilidad a los parámetros de entrada que tienen
los modelos de cálculo disponibles, como se muestra en la Figura 1-26; y segundo, los
modelos teóricos disponibles no representan adecuadamente ciertos aspectos del
proceso físico cuando colapsa el frente [14]. Una tercera razón por la cual los factores de
seguridad parciales no superan la incertidumbre del problema, se debe a su limitación
inherente de ser factores indirectos que no se aplican a los parámetros o fuerzas de
resistencia. Surge también la restricción cuando se consideran las condiciones de flujo en
el terreno, es decir fuerzas de infiltración o excesos de presiones de poros, que no se
ajustan a la aplicación idealizada de ηW.
Por tales motivos, en la Tabla 3-5 se resumen los datos de dos ejemplos desarrollados
en el manual del Comité Alemán de Túneles DAUB [21], para los cuales se evaluará el
factor de seguridad directo y rango de trabajo seguro, según el método propuesto.
118 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Tabla 3-5: Ejemplos del rango de presión de operación del equipo de excavación,
aplicando el concepto alemán del factor de seguridad.
Parámetro del suelo ARENOSO ARCILLOSO
Peso unitario saturado: γSAT 18 kN/m³ 19 kN/m³
Peso unitario sumergido: γb 8 kN/m³ 9 kN/m³
Cohesión c' = 0 cu = 40 kPa
Ángulo de fricción interna φ' = 30° φu = 0
Profundidad nivel freático 2 m 2 m
Máquina tuneladora Caso 1 Caso 2
D 10 m 10 m ΔTBM 10 kPa 30 kPa
τF 30 Pa -
γF 12 kN/m³ 14 kN/m³
MÉTODO DE CÁLCULO FILTER-CAKE MEMBRANA
Umbral inferior de la presurización/presión de soporte
TBM pbINF Total sINF
DAUB (Horn/SRM*) 205 kPa 244 kPa
Falla activa 3D LS** (FS ≥ 2) 130 kPa 280 kPa
Umbral superior de la presurización/presión de soporte
TBM pbSUP Total sSUP
DAUB (Carga geostática) 223 kPa 281 kPa
Falla activa 3D LS** (FS → ∞) 223 kPa 330 kPa
* SRM: Método de la relación de estabilidad
** LS: Superficie de falla espiral logarítmica
Fuente: Adaptado del Comité Alemán de Túneles DAUB, referencia [21].
En la Figura 3-19 se muestra la presión total de soporte contra factor de seguridad,
calculada según el método propuesto para el ejemplo de túnel excavado en suelo
arcilloso. Tomando como base los resultados de la calibración en la Sección 3.2 anterior,
se propone un intervalo para la presión de operación de la máquina tuneladora con el fin
de minimizar los desplazamientos en el frente y asentamientos en superficie,
denominado rango “seguro”.
Producto de estudiar el colapso pasivo en este mismo ejemplo y debido a que el
mecanismo de falla coincide en los análisis no drenados φu = 0, es posible establecer
una presión de soporte óptima como la intersección entre las curvas de falla activa y
pasiva, con el objetivo de mantener durante la operación de excavación el máximo factor
de seguridad posible en ambos escenarios. El análisis de la Figura 3-19 también permite
advertir que para análisis φu = 0 de túneles en materiales cohesivos, la normativa
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 119
alemana propone un rango de trabajo de la presión de soporte que a pesar de estar en
una condición “estable” (FS > 1), muy probablemente conduzca a deformaciones tanto en
el frente como asentamientos en la superficie. Si bien los desplazamientos menores no
se consideran como colapso del frente, su influencia si puede generar daños a
estructuras existentes en superficie e infraestructura subterránea de transporte o de
servicios públicos cercanos al eje del túnel. Así, es posible constatar el nivel de
incertidumbre que se tiene al aplicar, al valor calculado de la presión de soporte, los
factores de seguridad indirectos establecidos en los códigos de diseño y construcción de
la escuela europea de túneles.
INESTABLE ESTABLE SEGURO INCIERTO (U)
Figura 3-19: Rango de trabajo de las presiones de soporte totales para la tuneladora:
Caso de túnel en suelo arcilloso modelo de la membrana ideal.
En el caso del túnel excavado en material arenoso, donde se supone la infiltración del
fluido de excavación dentro del terreno para formar el filter cake, la presión de soporte
obtenida por el método propuesto se presenta en la Figura 3-20 contra el factor de
seguridad a la falla.
120 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
INESTABLE SEGURO INCIERTO (U)
Figura 3-20: Rango de trabajo de la presurización de la TBM en la cámara de
excavación: Caso de túnel en suelo arenoso modelo del filter cake.
De acuerdo a lo dispuesto en la Sección 3.3, la presurización mínima requerida en el
equipo de excavación, para que exista flujo unidireccional, establece un factor de
seguridad mínimo de operación FS ≥ 2. Por esta razón, en la Figura 3-20 se suprime la
franja amarilla de operación en condición “estable” pero con movimientos importantes
que se introdujo en la Figura 3-19. Es de notar que a diferencia del caso en suelo
arcilloso, la aplicación del concepto alemán del factor de seguridad para el ejemplo del
túnel en suelo arenoso, establece un rango de presión de soporte que limita con el
umbral superior de la banda verde de trabajo, o intervalo “seguro” de operación
propuesto. En otras palabras, la normativa alemana sobre-estima bajo esta condición las
presiones de soporte a aplicar en el frente. Como consecuencia, para materiales
granulares, se impactarán negativamente los costos de la excavación al trasladar a la
operación este rango de trabajo prescrito por el estándar alemán del DAUB. Por ejemplo,
una mayor presión de soporte por arriba de un valor “seguro” de operación, implica el
desgaste innecesario de los dientes en la rueda de corte (costo directo). Por
Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 121
consiguiente, se aumentan los tiempos del proyecto (costo indirecto) al tener una menor
tasa de avance, producto de aumentar la periodicidad de mantenimiento y reemplazo de
los dientes cortadores en el escudo frontal de la tuneladora.
Finalmente, vale la pena mencionar que si se pretende, en casos de aplicación práctica,
que el operador de la tuneladora emplee durante la construcción el reporte guía
generado a partir de los rangos de trabajo establecidos anteriormente, estos deberán
involucrar la tolerancia ΔTBM en la presurización del equipo. Esta influencia, dada por un
factor netamente operacional del proceso constructivo y ajeno al método propuesto,
tenderá a angostar la banda verde de presión de soporte “segura” en el frente, mostrada
en la Figura 3-19 y en la Figura 3-20. Se busca con esto considerar las fluctuaciones de
la presurización en la cámara de excavación, inevitables en toda operación de la TBM.
4. Conclusiones y recomendaciones
4.1 Conclusiones
El planteamiento hecho de la geometría del torus espiral logarítmico propuesto para
representar el mecanismo de colapso tridimensional en el frente del túnel, tanto en
condición activa como pasiva, significa una aproximación bastante cercana a la forma y
dimensiones que tiene la falla según la evidencia de los ensayos de centrífuga. Esta
geometría de la cuña de falla además de ser consistente con los resultados de
experimentación, propone la continuidad de la superficie de falla superando las
limitaciones cinemáticas de muchos de los modelos disponibles para estudiar la
estabilidad global del frente del túnel.
Debido a la naturaleza dinámica del problema, fue necesario hacer consideraciones
especiales sobre el estado de esfuerzos en el instante de la falla. Para tal fin, se planteó
un modelo reológico cuyo comportamiento representa, en forma simplificada, la evolución
de las fuerzas actuantes sobre el sistema que constituye la cuña del frente del túnel, y
que permitió a su vez plantear tres hipótesis sobre el estado de esfuerzos en la falla
activa: condición geostática o in-situ, alivio de esfuerzos por efecto de arco y un estado
de esfuerzos intermedio entre las primeras dos condiciones. Producto de la calibración
del modelo con base en los resultados de ensayos de centrífuga, se puede concluir que
en el instante de la falla activa, cuando se hace el balance de fuerzas según el método
propuesto, la condición de alivio por efecto arco es la mejor aproximación al estado de
esfuerzos. Con relación al colapso pasivo del frente de excavación, la discusión realizada
sobre el comportamiento del modelo reológico de la Sección 2.2.1 permite concluir que
adoptar la condición geostática in-situ es la mejor aproximación al estado de esfuerzos
en la falla. De esta manera se obtienen resultados de la presión de soporte máxima que
están del lado de la seguridad.
124 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
La presión de soporte en el frente durante la excavación del túnel, objetivo de todo
análisis de estabilidad global como el del método propuesto, fue obtenida para diferentes
prototipos de túneles en centrífugas realizadas en arena seca y saturada, en arcilla, tanto
para condición de falla activa como pasiva. Al aplicar el método propuesto y contrastarlo
con los resultados de la modelación física, el valor obtenido de la presión de soporte
contra la falla del frente demuestra ser un estimativo con suficiente exactitud y que
siempre está del lado de la seguridad en condición activa y pasiva, lo cual permitirá su
aplicación en la práctica. De todos los métodos teóricos analizados para estudiar la
estabilidad global del frente del túnel que están del lado de la seguridad, es decir que en
falla activa sobre-estiman la presión de soporte y en falla pasiva la sub-estiman, el
propuesto en este trabajo es el que más se acerca en la predicción de los valores reales
de presión durante la falla.
Aunque el método particular del equilibrio límite propuesto no plantea relaciones entre las
fuerzas actuantes en el sistema y los desplazamientos que puedan resultar, la validación
hecha con la información de los ensayos de centrífuga permitió encontrar relaciones
interesantes entre: los desplazamientos en el frente o asentamientos en la superficie, y el
grado de movilización de la resistencia al corte. De esta manera, fue posible definir en
este trabajo un umbral del factor de seguridad por debajo del cual se inician los
movimientos en el frente antes de alcanzar la falla, que corresponde con la presión crítica
de soporte definida conceptualmente por Chambon y Corté [18]. Este umbral de inicio de
las deformaciones se halló directamente relacionado con un nivel de movilización de un
poco más de la mitad de la resistencia al corte, para falla activa tanto en arena como en
arcilla. En otras palabras, en el método propuesto los desplazamientos en el frente y
asentamientos asociados en la superficie se presentan para valores del factor de
seguridad menores a dos (FS < 2).
La definición del factor de seguridad básico, aplicado directamente a la fuerza resistente
según el método planteado, permite establecer una alternativa para los rangos de trabajo
de la presión de soporte aplicada por la tuneladora. Estos intervalos de la presión de
soporte consideran como umbral inferior el equilibrio límite según el criterio de falla
adoptado (FS > 1). Además se propone un rango de operación seguro en que se
minimicen los desplazamientos generados por la excavación (FS ≥ 2), y se limite el
Conclusiones 125
potencial de falla pasiva o blow-out en el frente de excavación, definido por el umbral
superior del factor de seguridad para falla activa (límite de s' cuando FS→∞). Por su
parte, los factores de seguridad parciales usados actualmente en la práctica y derivados
del concepto alemán del factor de seguridad en excavaciones, no permiten establecer
con certeza el margen de seguridad contra la falla. Su aplicación en la estimación del
rango de operación de la presión de soporte, en dos ejemplos prácticos, arrojó
inconsistencias en el nivel esperado de movilización de la resistencia al corte. Así,
producto de aplicar la normativa alemana en suelos arcillosos, es de esperarse
deformaciones en el terreno durante la excavación del túnel, mientras que en materiales
granulares, se estima en exceso la presión de soporte requerida y, por ende, se
presumen mayores costos directos e indirectos durante la excavación.
4.2 Recomendaciones
El mecanismo de falla global propuesto para estudiar el colapso activo y pasivo en el
frente de excavación, es aplicable a túneles poco profundos con relación de cobertura a
diámetro menor a cinco (C/D < 5). Se limita a excavaciones realizadas en material
homogéneo, no fracturado, que se pueda representar adecuadamente por un medio
continuo que siga el criterio de falla adoptado de Möhr-Coulomb. Debido a que muchos
proyectos de túneles excavan el frente en materiales heterogéneos, los desarrollos a
futuro de este trabajo deberán estar enfocados a adaptar el mecanismo de falla
propuesto, y extender la formulación particular del método del equilibrio límite, para
aplicarlos a un frente de excavación conformado por diversas capas de materiales.
El coeficiente de presión de tierras en la falla, deducido para relacionar los esfuerzos
verticales con los esfuerzos normales al plano de falla, asume implícitamente que la
dirección en que actúa el esfuerzo principal mayor coincide con el eje z vertical. Para
emplear el método propuesto en la excavación de túneles en medios altamente sobre-
consolidados o muy densos, donde la condición de esfuerzo principal mayor esté dada
por el confinamiento horizontal, se recomienda ajustar la expresión deducida para el
coeficiente de presión de tierras en la falla.
Existe otra limitación al implementar la condición de flujo desde el frente por infiltración
del medio de soporte dentro del terreno, puesto que se asumió que las líneas de
126 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
corriente siguen una trayectoria unidireccional y delimitada por la sección de excavación,
tal como se indica en la Figura 2-33 y en la Figura 3-16. Se sugiere confrontar esta
hipótesis con información de campo y de modelos a escala que estudien la infiltración
horizontal en laboratorio, aspectos a tratar en futuras investigaciones.
En términos del método de análisis propuesto, se advierte que el balance de fuerzas
planteado a nivel local para cada tajada del sólido de falla no es riguroso, puesto que no
se consideró el equilibrio de momentos. Es posible mejorar la precisión en la estimación
de la presión de soporte en el frente si se establece el equilibrio riguroso, a nivel local y
global, de todo el sistema de fuerzas, actuantes y de reacción, en el sólido tridimensional
que representa la cuña de falla.
El sólido tridimensional propuesto para estudiar falla por corte activa o pasiva, en el
frente de excavación, se discretizó en tajadas o casquetes que se asumieron
infinitamente rígidas. Por tal razón los problemas de estabilidad y deformación asociados
a la compresibilidad del suelo, tanto en la cara de la excavación como en la superficie del
terreno, no se pueden analizar directamente con el método propuesto. Sin embargo, la
gráfica obtenida de fuerzas internas entre tajadas, es decir empuje y cortante, permitirá
advertir escenarios donde gobierne la falla por compresibilidad o, incluso, la falla por
tensión dentro de la masa de suelo deslizada. La posible aplicación de los factores de
compresibilidad, con el fin de corregir la presión de soporte mínima y máxima estimada
para falla activa y pasiva respectivamente, se deja como un aspecto a tratar en próximos
trabajos.
Bibliografía
[1] H. Haghi A., M. Reza A., Taheri A., and Mohkam M., "Evaluation of the heading
confinement pressure effect on ground settlement for EPBTBM using full 3D
numerical analysis," International Journal of Mining and Geo-Engineering (IJMGE),
vol. 47, no. 1, pp. 13-32, June 2013.
[2] G. Anagnostou, "The influence of tunnel excavation on the hydraulic head,"
International Journal for Numerical and Analytical, vol. 19, pp. 725-746, 1995.
[3] G. Anagnostou and K. Kovári, "Face stability conditions with earth-pressure-balanced
shields," Tunnelling and Underground Space Technology, vol. 11, no. 2, pp. 165-173,
1996.
[4] G. Anagnostou and K. Kovári, "Face Stability in Slurry and EPB Shield Tunnelling," in
Geotechnical aspects of underground construction in soft ground, London, 1996, pp.
165-174.
[5] G. Anagnostou and K. Kovári, "The face stability of slurry-shield-driven tunnels,"
Tunnelling and Underground Space Technology, vol. 9, no. 2, pp. 165-174, 1994.
[6] J. H. Atkinson and R. J. Mair, "Soil mechanics aspects of soft ground tunnelling,"
Ground Engineering, vol. 14, no. 5, pp. 20-38, 1981.
[7] J. H. Atkinson and D. M. Potts, "Stability of a shallow circular tunnel in cohesionless
soil," Géotechnique, vol. 27, no. 2, pp. 203-215, 1977.
[8] S. Babendererde, E. Hoek, P. G. Marinos, and A. S. Cardoso, "EPB-TBM Face
support control in the metro do Porto Project, Portugal," in Proceedings, Rapid
Excavation and Tunnelling Conference (RETC), Seattle, Washington, EE.UU, 2005,
p. 12.
[9] H. Balthaus, "Tunnel face stability in slurry shield tunnelling," in XII International
Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering ICSMFE, Rio de Janeiro,
Brazil, 1989, pp. 775-778.
[10] A. L. Bell, "The lateral pressure and resistance of clay, and the supporting power of
128 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
clay foundations," in A Century of Soil Mechanics, London, 1915, pp. 93-134.
[11] A. Bezuijen and A. van Seters, "The stability of tunnel face in soft clay," in Tunnelling.
A decade of progress. GeoDelft 1995-2005, Delft, 2006, pp. 149-155.
[12] Paul Bourke. (1998, July) Polygons and meshes. [Online].
http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh/
[13] W. Broere, "On the face support of microtunnelling TBMs," Tunnelling and
Underground Space Technology, vol. 46, pp. 12-17, 2015.
[14] W. Broere, "Tunnel Face Stability & New CPT Applications," Delft University of
Technology, Delft, 2001.
[15] W. Broere and A. F. van Tol, "Time-dependant infiltration and groundwater flow in a
face stability analysis," in Modern Tunnelling Science and Technology, Kyoto, Japan,
2001, pp. 629-634.
[16] B. B. Broms and H. Bennermark, "Stability of clay at vertical openings," Journal of the
Soil Mechanics and Foundation Division, vol. 93, no. 1, pp. 71-94, 1967.
[17] C. Carranza-Torres, "Computation of factor of safety for shallow tunnels using
Caquot's lower bound solution.," Geodata, Turin, Technical report 2004.
[18] P. Chambon and J. F. Corté, "Shallow tunnels in cohesionless soil: Stability of tunnel
face," Journal of Geotechnical Engineering, vol. 120, no. 7, pp. 1148-1165, 1994.
[19] C. A. Coulomb, "Essai sur une application des regles des maximis et minimis a
quelquels problemes de statique relatifs, a la architecture," Memoires de l'Academie
Royale pres Divers Savants, vol. 7, pp. 343-387, 1776.
[20] E. H. Davis, M. J. Gunn, R. J. Mair, and H. N. Seneviratne, "The stability of shallow
tunnels and underground openings in cohesive material," Géotechnique, vol. 30, no.
4, pp. 397-416, 1980.
[21] Deutscher Ausschuss für unterirdisches Bauen e.V. (DAUB), Recommendations for
face support pressure calculations for shield tunnelling in soft ground. On-line
version: German Tunnelling Committee (ITA-AITES), 2016, vol. 10. [Online].
http://www.daub-ita.de/fileadmin/documents/daub/gtcrec1/gtcrec10.pdf
[22] Geodata S.p.A, Mechanized tunnelling in urban areas: Design, methodology and
construction, V. Guglielmetti et al., Eds. Turin, Italy: Taylor & Francis, 2008.
[23] Health and Safety Executive, "Safety of New Austrian Tunnelling Method (NATM)
Bibliografía 129
Tunnels," HSE, London, 1996.
[24] W. A. Hijab, "A note on the centroid of a logarithmic spiral sector," Géotechnique, vol.
4, no. 2, pp. 66-69, 1956.
[25] G. Idinger, P. Aklik, and W. Wu, "Centrifuge model test on the face stability of shallow
tunnel," Acta Geotechnica, vol. 6, pp. 105-117, 2011.
[26] G. R. Iglesia, H. H. Einstein, and R. V. Whitman, "Investigation of soil arching with
centrifuge tests," Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, vol.
140, no. 2, pp. 1-13, Febrero 2014.
[27] G. Iglesia, H. H. Einstein, and R. V. Whitman, "Section 3.3.4: Discussion of the
Coefficient of Lateral Stress (K)," in A Literature Study of the Arching Effect.: M.Sc.
Thesis, MIT, 1996, pp. 55-56.
[28] J. Jaky, "Pressure in silos," in Second International Conference on Soil Mechanics
and Foundation Engineering, vol. 1, London, 1948, pp. 103-107.
[29] N. Janbu, "Slope stability computations," Soil Mechanics and Foundation Engineering
Report, pp. 47-86, 1968.
[30] S. Jancsecz and W. Steiner, "Face support for large mix-shield in heterogeneous
ground," in Proceedings Tunnelling '94, London, 1994, pp. 531-550.
[31] A. Kirsch, "Experimental investigation of the face stability of shallow tunnels in sand,"
Acta Geotecnica, vol. 5, pp. 43-62, 2010.
[32] T. Krause, "Schildvortrieb mit flüssigkeits- und erdgestützter ortsbrust," Technischen
Universität Carolo-Wilhelmina, Braunschweig, 1987.
[33] E. Leca and L. Dormieux, "Upper and lower bound solutions for the face stability of
shallow circular tunnels in frictional material," Géotechnique, pp. 581-606, 1990.
[34] E. Leca and M. Panet, "Application du calcul à la rupture à la stabilité du front de
taille d'un tunnel," Revue Française de Géotechnique, no. 43, pp. 5-19, 1988.
[35] P. W. Mayne and F. H. Kulhawy, "K0-OCR relationships in soil," Journal of
Geotechnical Engineering, vol. 108, no. GT6, pp. 851-872, 1982.
[36] M. Melis Maynar, "El colapso del tunel ferroviario por inestabilidad del frente en
suelos y rocas blandas o muy diaclasadas," Revista de Obras Publicas, no. 3450, pp.
33-64, Diciembre 2004.
130 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
[37] M. Melis Meynar, "El colapso del túnel ferroviario por inestabilidad del frente en
suelos y rocas blandas o muy diaclasadas (Segunda Parte)," Revista de Obras
Publicas, no. 3458, pp. 7-24, Septiembre 2005.
[38] M. Mohkam, "Combining proper confinement pressure and adequate slurry for
passing beneath existing structures securely with slurry shield, case study.," in
Proceedings 1991 rapid excavation and tunnelling conference, Littletown, Colorado,
1991.
[39] M. Mohkam and Y. W. Wong, "Three dimensional stability analysis of the tunnel face
under fluid pressure," in Proceedings 6th International Conference on Numerical
methods in Geomechanics, Innsbruck, 1988, pp. 2271-2278.
[40] G. Mollon, D. Dias, and A. Soubra, "Rotational failure mechanism for the face stability
analysis of tunnels driven by a pressurized shield," International Journal for
Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol. 35, no. 12, pp. 1363-1388,
Agosto 2011.
[41] S. Murayama, M. Endo, T. Hashiba, K. Yamamoto, and H. Sasaki, "Geotecnical
aspects for the excavating performance of the shield machines," in Proceedings of
21st Annual Lecture in Meeting of Japan Society of Civil Engineers, Tokyio, 1966, pp.
1363-1368.
[42] J. L. Pappas and D. J. Miller, "A generalized approach to the modeling and analysis
of 3D surface morphology in organisms," PLOS ONE, vol. 8, no. 10, pp. 1-15, 2013.
[43] P. Perazzelli, T. Leone, and G. Anagnostou, "Tunnel face stability under seepage
flow conditions," Tunnelling and Underground Space Technology, no. 43, pp. 459-
469, 2014.
[44] W. Rankine, "Theory on the stability of loose earth based on the ellipse of stresses,"
Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 147, 1857.
[45] D. M. Raup, "Geometric analysis of shell coiling: General problems," Journal of
Paleontology, vol. 40, no. 5, pp. 1178-1190, 1966.
[46] D. M. Raup and R. R. Graus, "General equations for volume and surface area of a
logarithmically coiled shell," Mathematical Geology, vol. 4, no. 4, pp. 307-317, 1972.
[47] A. N. Schofield, "Cambridge geotechnical centrifuge operations," Géotechnique, vol.
30, no. 3, pp. 227-268, 1980.
[48] A. N. Schofield, "The Mohr-Coulomb Error," in Proc. Symp. on Mechanics and
Geotechnics, vol. 23, Paris, 1998, pp. 19-27.
Bibliografía 131
[49] A. W. Skempton, "Terzaghi’s discovery of effective stress," in From Theory to
Practice in Soil Mechanics - Selections from the writings of Karl Terzaghi. New York:
John Wiley & Sons, 1960, pp. 42-53.
[50] A. H. Soubra, "Kinematical approach to the face stability analysis of shallow circular
tunnels," in Proceedings of the Eight International Symposium on Plasticity, Brithish
Columbia, Canada, 2002, pp. 443-445.
[51] A. H. Soubra, "Three-dimensional face stability analysis of shallow circular tunnels,"
in Proceedings GeoEng2000: An International Conference on Geotechnical and
Geological Engineering, Melbourne, Australia, 2000.
[52] D. Subrin and H. Wong, "Tunnel face stability in frictional material: a new 3D failure
mechanism," C.R. Mecanique, vol. 330, pp. 513-519, 2002.
[53] K. Terzaghi, "Arching in ideal soils," in Theoretical Soil Mechanics. Chapter 5. New
York: John Wiley and Sons, 1943, ch. 5, pp. 66-76.
[54] K. Terzaghi, "The Logarithmic spiral method," in Theoretical Soil Mechanics. New
York: John Wiley and Sons, 1943, ch. VII, pp. 108-111.
[55] H-J Tien, "A literature study of the arching effect," Massachusetts Institute of
Technology, Cambridge, MA, 1996.
[56] A. J. Van Kessel, "Het boren van tunnels in Nederland: Het bepalen van de
besturingsparameters voor een Hydroschild tunnelboormachine," Delft University of
Technology, Delft, 1995.
[57] P. A. Vermeer and N. Ruse, "On the stability of the tunnel excavation front," in
Proceedings 1st MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics, New
York, 2001, p. 1702.
[58] P. A. Vermeer, N. Ruse, and T. Marcher, "Tunnel heading stability in drained
ground," Felsbau, vol. 20, pp. 8-18, 2002.
[59] K. S. Wong and C. W.W. Ng, "Investigation of passive failure and deformation
mechanisms due to tunnelling in clay," Canadian Geotechnical Journal, vol. 50, no. 4,
pp. 359-372, 2013.
[60] K. S. Wong, C. W.W. Ng, Y. M. Chen, and X. C. Bian, "Centrifuge and numerical
investigation of passive failure of tunnel face in sand," Tunnelling and Underground
Space Technology, vol. 28, pp. 297-303, Marzo 2012.
[61] T. Xu and A. Bezuijen, "Slurry infiltration tests for slurry shield tunnelling in saturated
sand," in Proceedings 13th International conference underground construction,
132 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla
del frente en túneles poco profundos en suelo
Título de la tesis o trabajo de investigación
Prague, Czech Republic, 2016, pp. 1-10.
[62] C. Zhang, K. Han, and D. Zhang, "Face stability analysis of shallow circular tunnels in
cohesive–frictional soils," Tunnelling and Underground Sapce Technology, vol. 50,
pp. 345-357, 2015.
A. Anexo: Rutinas cómputo MatLab®
4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\...\AsSolveSemiRig.m 1 of 3
function [FS, En, E, T] = AsSolveSemiRig(metodo,asumido,mw,t,Wc,RN,RT,U,E0)
% Ensambla la matriz de coeficientes del sistema planteado por las
% ecuaciones de equilibrio del sólido de falla del frente del túnel,
% establece el vector de constantes del mismo sistema y lo resuelve
% asumiendo En para encontrar FS (método A) o viceversa (método B).
% Como resultado se obtiene el Factor de Seguridad FS, empuje del frente En
% y la variación del empuje entre paredes a lo largo del sólido de falla
% por el método semiriguroso (equilibrio en las dos direcciones: rad/tan).
%
% Para que físicamente tenga sentido el problema, no se deberían asumir
% valores del FS (método B) que conduzcan a valores negativos de empuje En.
% Por: OAMD
% Fecha: 06/08/16
% FS: Factor de Seguridad a lo largo de la superficie de falla (adim.)
% En: Empuje (kPa) en el frente de excavación (último casquete de falla)
% E: Valor del empuje (kN) en cada pared de los casquetes
% T: Valor del cortante (kN) en cada pared de los casquetes
% mw: Número de casquetes en que se ha discretizado el sólido de falla
% t: Ángulo al centro (rad.) de cada casquete de falla en el plano xz
% Wc: Fuerza (vectorial mw x 3) debida al peso (kN) de cada casquete
% RN: Fuerza (vectorial mw x 3) debida a las normales (kN) por casquete
% RT: Fuerza (vectorial mw x 3) debida a las cortantes (kN) por casquete
% U: Fuerza (vectorial mw x 3) debida a infiltración (kN) por casquete
% E0: Empuje (kPa) en el primer casquete/cuña debida a peso de cobertura
% metodo: Método empleado para realizar los cálculos (A ó B)
% asumido: Valor del parámetro asumido En/FS según método (A ó B).
% =========================================================================
% Sistema Coordenado Cilíndrico
TT = cell(mw,1); % Matriz de Transformación a sistema cilíndrico
dt = zeros(mw,1); % Delta theta (radianes) para cada casquete
M = zeros(2*mw+1,2*mw+1); % Matriz de coeficientes
m = zeros(2*mw+1,1); % Vector de constantes
% Transformación y Equilibrio Local
for j=1:mw
dt(j) = diff(t(j:j+1));
TT{j} = [cos(t(j) + dt(j)/2) 0 sin(t(j) + dt(j)/2);
0 0 0 ;
-sin(t(j) + dt(j)/2) 0 sin(t(j) + dt(j)/2)];
% Transformación de vectores fuerza actuando en el casquete j
Wp(j,:) = TT{j}*Wc(j,:)'; Np(j,:) = TT{j}*RN(j,:)'; Sp(j,:) = TT{j}*RT(j,:)'; Up
(j,:) = TT{j}*U(j,:)';
% Equilibrio Local
if metodo == 'B' % Asumido FS
FS = asumido;
4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\...\AsSolveSemiRig.m 2 of 3
% Fuerzas en dirección theta
M(2*j-1,2*j-1) = cos(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaEj
M(2*j-1,2*j) = sin(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaTj
for i=1:j-1
M(2*i-1,2*i) = 2*sin(dt(j)/2);
end
m(2*j-1) = Wp(j,3) + Np(j,3) + Up(j,3) + Sp(j,3)/FS;
% Fuerzas en dirección radial
M(2*j,2*j-1) = -sin(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaEj
M(2*j,2*j) = cos(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaTj
for i=1:j-1
M(2*i,2*i-1) = -2*sin(dt(j)/2);
end
m(2*j) = Wp(j,1) + Np(j,1) + 2*E0*sin(dt(j)/2) + Up(j,3) + Sp(j,1)/FS;
% Para equilibrio global de empujes
M(end,2*j-1) = -1;
elseif metodo == 'A' % Asignando En con DeltaE_i como incógnitas
% Fuerzas en dirección theta
M(2*j-1,end) = -Sp(j,3); % Coef. del Factor de Seguridad
M(2*j-1,2*j-1) = cos(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaEj
M(2*j-1,2*j) = sin(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaTj
for i=1:j-1
M(2*i-1,2*i) = 2*sin(dt(j)/2);
end
m(2*j-1) = Wp(j,3) + Np(j,3) + Up(j,3);
% Fuerzas en dirección radial
M(2*j,2*j-1) = -sin(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaEj
M(2*j,2*j) = cos(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaTj
for i=1:j-1
M(2*i,2*i-1) = -2*sin(dt(j)/2);
end
m(2*j) = Wp(j,1) + Np(j,1) + Up(j,3) + 2*E0*sin(dt(j)/2);
% Para equilibrio global de empujes
M(end,2*j-1) = 1;
else
error('El método de cálculo debe ser A ó B')
end
end
% Equilibrio global de empujes
if metodo == 'B' % Asumido FS
M(end,end) = 1; m(end) = E0;
% Se resuelve el sistema
Sln = M\m; En = Sln(end); DeltaE = Sln(1:2:length(Sln)-1); DeltaT = Sln(2:2:length
(Sln)-1);
elseif metodo == 'A' % Asignando En con DeltaE_i como incógnitas
En = asumido;
m(end) = En - E0;
4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\...\AsSolveSemiRig.m 3 of 3
% Se resuelve el sistema
Sln = M\m; FS = 1/Sln(end); DeltaE = Sln(1:2:length(Sln)-1); DeltaT = Sln(2:2:length
(Sln)-1);
else
error('El método de cálculo debe ser A ó B')
end
% Empujes y cortantes en cada pared i
T0 = 0; Tn = 0;
for i=1:mw
E(i) = E0 + sum(DeltaE(1:i));
T(i) = T0 + sum(DeltaT(1:i));
end
end
4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\CentroidVol.m 1 of 4
function [Vc, Wc, CVc, vP, xP, yP, zP] = CentroidVol(D,phi,d,g,w,v,TF)
% Discretiza el volumen del sólido de falla generando figuras poliédricas,
% las cuales se generan a partir de una rejilla en cada plano/pared de los
% casquetes de falla, configurando elementos equiárea pentaedros/hexaedros.
% La rejilla se genera asumiendo simetría alrededor del eje x, proyectando
% radios vectores desde el origen O asumido como la clave del túnel en
% el sistema de coordenadas local (0,0,0) hacia c/u de las coordenadas de
% superficie (x,y,z) del casquete "j", generando np poliedros, nh hexaedros
% por cada casquete de falla "j".
% La discretización generada aplica tanto para falla frente de excavación
% por colapso gravitacional (FC) o por expulsión/Blow-Out (BO).
%
% El tamaño de los vectores [Vc], [Wc] ó [CVc] será (mw x 1).
% El tamaño de las matrices [vP], [xP], [yP] y [zP] será (mw x nh+np).
% Por: OAMD
% Fecha: 06/11/16
% Vc: Volumen(m3) de cada casquete en el sólido de falla dado por (x,y,z)
% Wc: Peso (kN) por casquete ponderado por capas de suelo d en el frente
% CVc: Coordenadas [x,y,z] de centroide por casquete en el sólido de falla
% D: Diámetro (m) de la sección circular del túnel en el frente
% phi: Ángulo de fricción (radianes) interna del suelo en el frente
% w,v: Vector de coordenadas paramétricas (radianes) del sólido falla
% d: Vector con prof. (m) relativas al origen O de las capas de suelo
% g: Vector con pesos unitarios gamma (kN/m3) de las capas de suelo
% mw: Número de tajadas/casquetes (dirección w) en sólido de falla
% nv: Número nv de líneas de falla en la sección circular
% TF: Caractér de tipo de falla (Gravitacional/FC o Expulsión/BO).
% xP,yP,zP: Coordenadas (x,y,z) cartesianas de los poliedros de volumen.
% vP: Volúmen de c/u de los poliedros (nh + np) en que se dividió sólido.
% =========================================================================
%% Validación de datos
mw = length(w) - 1; nv = length(v) - 1;
if length(d) ~= length(g)
error('El número de capas de suelo en el frente debe corresponder en tamaño con
vectores profundidad d y peso unitario g')
end
if ischar(TF) == 0
error('El tipo de falla bien puede ser por colapso gravitacional del frente ''FC'' o
expulsión Blow-Out ''BO''')
end
% Número de hexahédros nh y de pentahedros np en cada casquete de falla
nh = sum(1:nv/2 - 2);
np = 2*(nv/2 - 1);
%% Análisis teniendo en cuenta simetría axial del túnel y mec. falla:
R = zeros(mw+1,nv/2); % Matriz 2D que contiene radios a la superficie en cada
4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\CentroidVol.m 2 of 4
plano mw
rd = NaN(nv/2+1,nv/2,mw+1); % Matriz 3D que contiene radios a vértices de poliedros
xd = rd; yd = rd; zd = rd; % Matriz 3D que contiene coordenadas a vértices de
poliedros
idxP = cell(2,nv/2 - 1); % Contenedor de los índices de vértices de los
pentahedros por casquete mw
idxH = cell(sum(1:nv/2-2),1); % Contenedor de los índices de vértices de los hexahedros
por casquete mw
% La fila de idxP/idxH hace referencia al consecutivo del punto a lo largo
% de un radio determinado Radio (configuración 2D rejilla), mientras que la
% columna de idxP/idxH hace alusión al consecutivo del radio R. Los
% elementos en una misma pared de casquete se configuran con radios
% adyacentes (j,j+1) y con puntos laterales vecinos (1,2,nv/2-j + 1/2).
% Numerar vértices de poliedros y pentahedros de cada casquete en el sólido de falla
nk = 0;
for j=1:nv/2-1
% Pentaedro en el origen de coordenadas {1} para cada radio j
idxP{1,j} = [1,j; 2,j; 2,j+1];
% Pentaedro en la superficia de falla {2} para cada radio j
idxP{2,j} = [((nv/2 - j) + 1),j; ((nv/2 - j) + 2),j; ((nv/2 - j) + 1),j+1];
for k=1:nv/2 - (j + 1)
nk = nk + 1;
idxH{nk} = [k+1,j; k+2,j; k+1,j+1; k+2,j+1];
end
end
idxP = reshape(idxP,[],1);
% Generar coordenadas de los vertices de cada poliedro en el sólido
for i=1:mw + 1
for j=1:nv/2
if strcmp(TF,'FC')
R(i,j) = D/2*exp((w(i) - pi/2)*tan(phi))*sqrt((1 + cos(v(j)))^2 + (sin(v(j)))
^2);
elseif strcmp(TF,'BO')
R(i,j) = D/2*exp(w(i)*tan(phi))*sqrt((1 + cos(v(j)))^2 + (sin(v(j)))^2);
end
% Número de intervalos en que se ha discretizado el Radio R
nR = (nv/2 - j) + 1;
% Vector con coordenadas del radio discretizado
Radio = [linspace(0,R(i,j),nR + 1) NaN(1,nv/2 - nR)]';
% Ángulo externo theta es el doble ángulo interno v
theta = v(j)/2;
yd(:,j,i) = Radio*sin(theta);
rd(:,j,i) = Radio*cos(theta);
xd(:,j,i) = rd(:,j,i)*cos(w(i));
zd(:,j,i) = rd(:,j,i)*sin(w(i));
4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\CentroidVol.m 3 of 4
end
end
% Generar coordenadas de los vertices de cada poliedro en la cuña (FC)
if phi > 0 && strcmp(TF,'FC') == 1
i = 1;
% La sección de la cuña es una elipse (círculo inclinado proyectado)
xd(:,:,i) = xd(:,:,i+1);
yd(:,:,i) = yd(:,:,i+1);
zd(:,:,i) = isnan(zd(:,:,i+1));
end
% Ensamblar coordenadas de los vertices en las caras de cada poliedro del sólido
xv = NaN(4,nh+np,mw+1); yv = xv; zv = xv;
for i=1:mw + 1
% Hexaedros
for j=1:nh
for k=1:4 % Cuatro vértices en la cara de un hexaedro
xv(k,j,i) = xd(idxH{j}(k,1),idxH{j}(k,2),i);
yv(k,j,i) = yd(idxH{j}(k,1),idxH{j}(k,2),i);
zv(k,j,i) = zd(idxH{j}(k,1),idxH{j}(k,2),i);
end
end
% Pentaedros
for j=1:np
for k=1:3 % Tres vértices en la cara de un pentaedro
xv(k,nh+j,i) = xd(idxP{j}(k,1),idxP{j}(k,2),i);
yv(k,nh+j,i) = yd(idxP{j}(k,1),idxP{j}(k,2),i);
zv(k,nh+j,i) = zd(idxP{j}(k,1),idxP{j}(k,2),i);
end
end
end
% Encontrar volúmenes, centroides y peso de cada elemento de volumen
vP = zeros(mw,nh+np); xP = vP; yP = vP; zP = vP; WP = vP;
MV = zeros(mw,3); CVc = MV;
Vc = zeros(mw,1); Wc = Vc;
for i=1:mw
for j=1:nh+np
% Para hexaedros tome 4 vértices por cara
if j <= nh
P = [xv(:,j,i) yv(:,j,i) zv(:,j,i); % Pared superior
xv(:,j,i+1) yv(:,j,i+1) zv(:,j,i+1)]; % Pared inferior
% Para pentahedros tome 3 vértices por cara
else
P = [xv(1:3,j,i) yv(1:3,j,i) zv(1:3,j,i); % Pared superior
xv(1:3,j,i+1) yv(1:3,j,i+1) zv(1:3,j,i+1)]; % Pared inferior
end
[kP, vP(i,j)] = convhull(P); % Volumen del poliedro
% Reasignación de variables (rutina Paul Bourke, 1998)
4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\CentroidVol.m 4 of 4
Num = zeros(1,3);
A = zeros(size(kP,1),1);
for k=1:length(kP)
va = P(kP(k,1),:); vb = P(kP(k,2),:); vc = P(kP(k,3),:);
A(k) = norm(cross(vb - va,vc - va));
RP = (va + vb + vc)/3;
Num = Num + A(k).*RP;
end
% Centroide de cada poliedro
CP = Num/sum(A);
xP(i,j) = CP(1); yP(i,j) = CP(2); zP(i,j) = CP(3);
% Momento Escalar MV (debido solo al volumen) del casquete j
MV(i,1) = MV(i,1) + 2*CP(1)*vP(i,j);
MV(i,2) = MV(i,2) + CP(2)*vP(i,j) - CP(2)*vP(i,j);
MV(i,3) = MV(i,3) + 2*CP(3)*vP(i,j);
% Peso de cada poliedro j en cada casquete i
WP(i,j) = vP(i,j)*g;
end
% Volumen del casquete i (doble por simetría respecto eje x)
Vc(i) = 2*sum(vP(i,:));
% Peso de cada casquete i (doble por simetría respecto eje x)
Wc(i) = 2*sum(WP(i,:));
% Centro de volumen del casquete j
CVc(i,1) = MV(i,1)/Vc(i);
CVc(i,2) = MV(i,2)/Vc(i);
CVc(i,3) = MV(i,3)/Vc(i);
end
end
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 1 of 10
%Programa: FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m
%Hecho por: Orlando Andrés Melo Duque
%Descripción: Este programa obtiene la fuerza de empuje que se debe de
% ejercer en el frente como función del Factor Seguridad si
% se excava un túnel poco profundo en material que sigue el
% criterio de fluencia Mohr-Coulomb. Para ello, se asume como
% mecanismo de falla un sólido dividido en casquetes de forma
% espiral 3D, centro de rotación en la clave, eje de rotación
% "y", sección circular generatriz y decremento exponencial.
% La falla analizada es la del colapso activo del suelo en el
% frente al estar sometido a fuerzas de campo (gravedad,
% infiltración) y fuerzas de superficie (sobrecarga/efecto
% arco así como presión de la TBM), empleando la técnica del
% equilibrio límite (en dos direcciones, circunferencial y
% radial) con el fin de resolver el sistema de fuerzas (ec.).
% El sistema de coordenadas local establecido tiene origen en
% la clave del túnel, eje x en la dirección de avance de la
% excavación y eje z medido desde la clave hasta la solera.
%
%Fecha: 23/04/17 ~
%
%Requisitos Esenciales:
% Conocer la profundidad y diámetro del túnel, las capas del
% perfil de suelo en la cobertura y la capa en el frente, así
% como las propiedades relevantes (d, c, phi, OCR, k, etc.)
% para el análisis de estabilidad.
% Esta rutina emplea las siguientes funciones:
% - AsSolveSemiRig.m
% - CentroidVol.m
% - FreeFaceTFN.m
% - TFNthh.m
%
%Referencia: - Anagnostou, G. & Kovári, K. (1996). Face Stability in
% Slurry and EPB Shield Tunnelling. In R.J. Mair & R.N.
% Taylor (Ed.), Geotechnical aspects of underground
% construction in soft ground(pag. 165-174). London: Balkema.
% - Bourke, P. (1998). Polygons and meshes. Obtenido de:
% http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh/
% - Broere, W. & van Tol, A.F. (2001). Time-dependant
% infiltration and groundwater flow in a face stability
% analysis. In T. Adachi, K. Tateyama & M. Kimura (Ed.),
% Modern Tunnelling Science and Technology, (pag. 629-634).
% Kyoto, Japan.
% - W. Broere, "Tunnel Face Stability & New CPT Applications"
% Delft University of Technology, Delft, 2001.
% - G. Iglesia, H. H. Einstein, and R. V. Whitman, "Section
% 3.3.4: Discussion of the Coefficient of Lateral Stress
% (K)," in A Literature Study of the Arching Effect.:
% M.Sc. Thesis, MIT, 1996, pp. 55-56.
% - Nilmar Janbu, "Slope stability computations," Soil
% Mechanics & Foundation Engineering Report, pp. 47-86, 1968.
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 2 of 10
% - Perazzelli, P., Leone, T. & Anagnostou, G. (2014). Tunnel
% face stability under seepage flow conditions. Tunnelling
% and Underground Space Technology (43), 459-469.
% - D. M. Raup, "Geometric analysis of shell coiling: General
% problems," Journal of Paleontology, vol. 40, no. 5, pp.
% 1178-1190, 1966.
% - K. Terzaghi, "Arching in ideal soils," in
% Theoretical Soil Mechanics. Chapter 5. New York: John
% Wiley and Sons, 1943, ch. 5, pp. 66-76.
% - K. Terzaghi, "The Logarithmic spiral method," in
% Theoretical Soil Mechanics. New York: John Wiley and Sons,
% 1943, pp. 108-111.
%
%==========================================================================
clear all; clc; close all;
tic
%% Parámetros del análisis
FSb = 1.0;
% Geometría Sección Generatriz Circular
D = 10.00; % Diámetro de la sección circular D (m)
C = 0.8*D; % Cobertura del túnel C (m)
q0 = 0.0; % Sobrecarga (kPa) a nivel del terreno
zNAF = 0; % Profundidad del nivel de agua (m), medido desde terreno (<0 si lámina de
agua supera nivel del terreno)
gammaw = 10; % Peso unitario del agua a la T° del terreno (kN/m^3)
pF = 0; % Presión del slurry en la cámara de excavación (kPa)
gammaF = gammaw;% Peso Unitario del fluido en cámara de excavación (kN/m^3)
gammas = 16.6; % Peso unitario saturado (kN/m^3)
gammam = 11.1; % Peso unitario húmedo (kN/m^3)
gammad = 6.6; % Peso unitario seco (kN/m^3)
c = 19.2; % Intercepto de cohesión (kPa)
psi = 0; % Ángulo de dilatancia psi (°) asumido igual al efectivo de fricción
interna phi (°) del material involucrado
%su_sv = 0.22; % Resistencia al corte no drenada como fn. esfzo. vertical
% Coeficiente de presión para efecto arco (Iglesia, 1990)
Kk = (cosd(psi)^2)/(1 + sind(psi)^2);
% Coordenadas del centro de la espiral logarítmica (xc, zc) centrada en la clave del
frente
xc = 0; zc = 0;
%% Cambio de unidades
phi = psi*pi/180; % Cambio de unidades (°) a (rad)
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 3 of 10
%% Discretización del sólido de falla espiral logarítmico (Ec. Paramétrica)
% Parámetro v (ángulo al centro de la sección transversal 0 => 2*pi)
nv = 360/5; % Número nv>=4 (>=36 recomendado) de líneas de falla en la sección
circular, debe ser número par, dado el plano de simetría a lo largo del eje x
v = linspace(0,2*pi,nv + 1);
dv = v(end)/(nv);
% Parámetro w (ángulo de rotación del sólido alrededor de y, 0 <= w <= pi/2 - phi)
mw = 90/5; % Número m>=2 (>=18 recomendado) de tajadas/casquetes (dirección w)
en la superficie de falla logarítmica
w = linspace(phi,pi/2,mw + 1);
% Coordenadas cilíndricas (r,y) + cartesianas (x,z) de la superficie para
% 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi
x = zeros(mw + 1,nv + 1); y = x; z = x;
% Geometría Sólido de Falla
for i=1:mw + 1
for j=1:nv + 1
% Coordenadas de las paredes
x(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*sin((pi/2 - w(i)));
y(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*sin(v(j));
z(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*cos((pi/2 - w(i)));
end
end
%% Cálculo de la presión piezométrica dentro del sólido de falla
switch true
case zNAF <= 0
zF = D/2; % Prof. (m) a evaluar nivel piezométrico presión
frente
hF = pF/gammaF + (D - zF); % Nivel piezométrico (m) en cámara de trabajo (D/2 p.
a.)
h0 = (C + D) - zNAF; % Nivel piezométrico (m) en el terreno sin excavar
gammab = gammas - gammaw; % Peso unitario sumergido suelo (kN/m^3)
gammap = gammab; % Peso unitario efectivo = sumergido (kN/m^3)
% Factores de ajuste modelo de flujo tridimensional hacia
% túnel según Perazzelli et al. (2014)
[aa,bb] = PerazzelliEtAl(C,D);
% Gradiente de flujo vertical en el silo
iav = (h0 - hF)/D*aa*(1 - exp(-bb*exp(pi/2*tan(phi))))/(bb*exp(pi/2*tan(phi)));
case strcmp(zNAF,'Dry')
hF = 0; h0 = 0; % Sin nivel piezométrico de agua
gammap = gammad; % Peso unitario efectivo = seco (kN/m^3)
iav = 0; % No existe gradiente por flujo vertical en el silo
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 4 of 10
zNAF = 0; Ui = zNAF; % En seco: sin fuerzas de filtración
otherwise
error('El nivel de agua debe estar por encima del terreno, o el terreno estará
completamente seco (Dry)')
end
%% Presión (kPa) por peso columna de suelo sobre el sólido de falla
% Semi-ancho de relajación silo efecto arco
a3D = D/2*(exp((phi - pi/2)*tan(phi))*cos(phi))/(3*(1 + cos(phi)) - sqrt((3 + cos(phi))*
(1 + 3*cos(phi))));
% Área del silo
A = pi/4*D^2*exp(-2*(pi/2 - phi)*tan(phi))*cos(phi);
if phi > 0 % Análisis drenado
sigma_va = (a3D*gammap)/(Kk*tan(phi))*(1 - exp(-Kk*tan(phi)*C/a3D)) + q0*exp(-Kk*tan
(phi)*C/a3D) + (gammaw*iav*(C - zNAF));
else % Análisis no drenado (phi_u = 0)
If = (D^2)/((D + C)^2); % Coef. disipación 2:1 sobrecarga
iav = 0; % No existe flujo vertical, peso columna de suelo + agua
sigma_va = gammaw*(-zNAF) + gammas*(C) + (gammaw*iav)*(C - zNAF) + q0*If;
end
sigma_va, Vsilo = sigma_va*A;
%% FUERZAS NORMALES/CORTANTES EN EL SÓLIDO
% Coordenadas del centro en elementos de superficie
xe = zeros(mw,nv); ye = xe; ze = xe;
% Diferencial de superficie dS y campo de esfuerzos normales s = [sx sy sz]
dS = zeros(mw,nv); sz = dS;
% Componentes del vector unitario normal a la superficie n = [nx ny nz]
% para 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi
nx = dS; ny = dS; nz = dS;
% Componentes del vector unitario tangencial a la superficie t = [tx ty tz]
% para phi <= w <= pi/2 y 0 <= v <= 2*pi
tx = dS; ty = dS; tz = dS;
% Componentes vector fuerza normal N = [Nx Ny Nz] y cortante T = [Tx Ty Tz]
Nx = dS; Ny = dS; Nz = dS; Tx = dS; Ty = dS; Tz = dS;
% Coef. de esfuerzo normal en la falla Kfn, semi-ancho relajación silo ae
Kfn = dS; ae = dS; Su = dS;
for i=1:mw
dw = diff(w(i:i+1));
for j=1:nv
xe(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*sin
((pi/2 - (w(i)) - dw/2));
ye(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*sin(v(j) + dv/2);
ze(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*cos
((pi/2 - (w(i)) - dw/2));
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 5 of 10
dS(i,j) = (D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi)))^2*(cos(v(j) + dv/2) + 1)/
(cos(phi))*dw*dv;
nx = -((sin(phi)*cos((pi/2 - (w(i)) - dw/2))) + (cos(phi)*sin((pi/2 - (w(i)) -
dw/2))*cos(v(j) + dv/2)));
ny = -cos(phi)*sin(v(j) + dv/2);
nz = -((cos(phi)*cos((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*cos(v(j) + dv/2)) - (sin(phi)*sin
((pi/2 - (w(i)) - dw/2))));
radicando = sqrt((cos(v(j) + dv/2) + 1)*(cos(phi)^2*cos(v(j) + dv/2) - cos(phi)^2
+ 2));
tx = (cos(phi + ((pi/2 - (w(i)) - dw/2)))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/radicando;
ty = -(sin(phi)*sin(v(j) + dv/2))/radicando;
tz = -(sin(phi + ((pi/2 - (w(i)) - dw/2)))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/radicando;
% Esfuerzo normal/cortante plano falla, conociendo inclinación nz
if phi > 0 % Análisis drenado
kn = 1 + 2*(sqrt(nz^2*(1 - nz^2))/tan(phi) - nz^2);
Kfn(i,j) = cos(phi)^2/(1 + kn*sin(phi)^2);
ae(i,j) = D/4*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi));
sz(i,j) = (ae(i,j)*gammap)/(Kfn(i,j)*tan(phi))*(1 - exp(-Kfn(i,j)*tan(phi)*
(ze(i,j))/ae(i,j))) + sigma_va*exp(-Kfn(i,j)*tan(phi)*(ze(i,j))/ae(i,j));
Sn = Kfn(i,j)*sz(i,j);
Tn = c + Sn*tan(phi);
else % Análisis no drenado (phi_u = 0)
sz(i,j) = (sigma_va - gammaw*(C - zNAF)) + gammap*ze(i,j);
kn = sqrt(nz^2*(1 - nz^2));
if exist('su_sv')== 1
Su(i,j) = sz(i,j)*su_sv;
Kfn(i,j) = 1 - 2*su_sv*kn;
else
Su(i,j) = c;
Kfn(i,j) = 1 - 2*c/sz(i,j)*kn;
end
Sn = (Kfn(i,j)*gammas - gammaw)*(C + ze(i,j)) - gammaw*(-zNAF);
Tn = Su(i,j);
end
% Cálculo de Fuerzas de Superficie
Nx(i,j) = dS(i,j)*Sn*nx;
Ny(i,j) = dS(i,j)*Sn*ny;
Nz(i,j) = dS(i,j)*Sn*nz;
Tx(i,j) = dS(i,j)*Tn*tx;
Ty(i,j) = dS(i,j)*Tn*ty;
Tz(i,j) = dS(i,j)*Tn*tz;
end
end
Ky = mean(mean(Kfn)); % Coef. promedio esfzos normales en la falla
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 6 of 10
%% CUÑA RÍGIDA DE TRANSICIÓN DE ESFUERZOS
% Si existe cuña de transición de esfuerzos
if phi > 0 % Análisis drenado
% El primer casquete es la tajada #2 (la cuña es la #1)
x = [x(1,:);x]; y = [y(1,:);y]; z = [zeros(1,nv + 1);z];
mw = mw + 1;
% Punto de aplicación de fuerzas superficiales en la cuña
xew = D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*cos(phi)*(1 + cos(v(1:end - 1) + dv/2));
yew = D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*sin(v(1:end - 1) + dv/2);
zew = xew/2*tan(phi);
szw = (a3D*gammap)/(Kk*tan(phi))*(1 - exp(-Kk*tan(phi)*(zew)/a3D)) + sigma_va*exp(-
Kk*tan(phi)*(zew)/a3D);
%Diferencial de superficie de los elementos en la cuña
dSw = (D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*dv*sqrt(cos(phi)^2*sin(v(1:end-1) + dv/2).^2 +
cos(v(1:end-1) + dv/2).^2)).*(xew*tan(phi));
% Vectores normales y cortantes a la superficie de la cuña
nxw = -(cos(phi)*cos(v(1:end-1) + dv/2))./sqrt(cos(phi)^2*cos(v(1:end-1) + dv/2).^2 +
sin(v(1:end-1) + dv/2).^2);
nyw = -(sin(v(1:end-1) + dv/2))./sqrt(cos(phi)^2*cos(v(1:end-1) + dv/2).^2 + sin(v(1:
end-1) + dv/2).^2);
nzw = zeros(1,length(v) - 1);
tzw = -ones(1,length(v) - 1); txw = nzw; tyw = nzw;
% Esfuerzo normal/cortante plano falla vertical, según Iglesia
Snw = Kk*szw;
Tnw = c + Snw*tan(phi);
Nxw = dSw.*Snw.*nxw;
Nyw = dSw.*Snw.*nyw;
Nzw = dSw.*Snw.*nzw;
Tzw = dSw.*Tnw.*tzw;
Txw = nzw; Tyw = nzw;
% Incluir Fuerzas sobre elementos de superficie de la cuña
xe = [xew;xe]; ye = [yew;ye]; ze = [zew;ze];
Nx = [Nxw;Nx]; Ny = [Nyw;Ny]; Nz = [Nzw;Nz];
Tx = [Txw;Tx]; Ty = [Tyw;Ty]; Tz = [Tzw;Tz];
% Ángulo theta en el plano xz de cada casquete de falla
w = [0, w];
% Rótulos análisis drenado
titulo1 = ['Sólido falla gravitacional frente (Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = '
num2str(C) 'm, \phi'' = ' num2str(psi) '°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa)'];
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 7 of 10
titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = ' num2str(C) 'm (\phi'' = ' num2str(psi)
'°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) ' kN/m^3), K_f =
' num2str(Ky,'%5.2f')];
else
% Resistencia al corte no drenada Su (kPa) promedio superficie falla
SU = sum(sum(Su.*dS))/sum(sum(dS));
% Rótulos análisis no drenado
titulo1 = ['Sólido falla gravitacional frente (Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = '
num2str(C) 'm, \phi_{\it u} = ' num2str(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f')
'kPa)'];
titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = ' num2str(C) 'm (\phi_{\it u} = ' num2str
(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) ' kN/m^3),
K_f = ' num2str(Ky,'%5.2f')];
end
%% CENTROIDE DE CADA CASQUETE DE FALLA (Discretización tetraédrica Volumen)
g = gammap; % Vector con pesos unitarios gamma (kN/m3) de las capas de suelo
[Vc, Wc, CVc, vP, xP, yP, zP] = CentroidVol(D,phi,D,g,w,v,'FC');
W(:,3) = Wc; % El peso tomado como fuerza es una cantidad vectorial
%% Graficar Superficie de Falla
hold on, grid on, box on, axis equal
% Sólido Espiral Logarítmica + Cuña Rígida Transición Estado Esfuerzos
surf(x,y,z)
% Graficar vectores normales a la superficie
normales = quiver3(xe,ye,ze,Nx,Ny,Nz,2,'ShowArrowHead','off','Color',[0 0 1]);
% Graficar vectores tangentes a la superficie
cortantes = quiver3(xe,ye,ze,Tx,Ty,Tz,2,'Color',[1 0 0]);
% Rótulos y configuración
title(titulo1)
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
zlabel('z (m)')
set(gca,'ZDir','Reverse')
colorbar('Direction','reverse')
colormap('Summer')
view(3)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1])
legend([normales,cortantes],'Fzas. Normales','Fzas. Cortantes','Location','NorthWest')
%% Balance de fuerzas en el sólido de falla en el frente
% 1. Resultante fuerzas de superficie por casquete j para balance sistema
RN(:,1) = sum(Nx,2); RT(:,1) = sum(Tx,2);
RN(:,2) = sum(Ny,2); RT(:,2) = sum(Ty,2);
RN(:,3) = sum(Nz,2); RT(:,3) = sum(Tz,2);
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% 2. Condiciones de Frontera (Esfuerzo en la primer tajada por sobrecarga)
E0 = Vsilo
% 3. Fuerzas de filtración Ui en el centroide de cada poliedro discretizado
if exist('Ui') == 1
Fi = zeros(mw,3); % En seco: Fuerzas Filtración
else
lu = nv/4; % Número de canales de flujo xi_i en el semidomino del frente
de excavación
[Fi rFi] = FreeFaceTFN(D,phi,gammaw,hF,h0,C,vP,xP,yP,zP,lu,1); % Perazzelli et Al.
(2014)
end
% 4. Se plantean incógnitas y se ensambla matriz de coeficientes de sistema
% Factor Seguridad Mínimo FSmin (Método A): Asignando En = 0 (sin presión)
[FSa, Ena, Ea, Ta] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);
% Empuje Estable En (Método B): Asumido FS = 1
[FSb, Enb, Eb, Tb] = AsSolveSemiRig('B',FSb,mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);
% Empuje Máximo (Método A): Cuando FS => infinito
% Se realizar proceso iterativo FS hasta llegar al valor asintótico de E
VarEn = [realmax Enb]; % Variable que guardará empujes en el frente
n = 1; % Contador para aumentar exponencialmente FS
FS0 = max(10^ceil(log10(FSa)),10); % Base para escala del Factor de Seguridad FS
while round(diff(VarEn(end-1:end))*10)/10 ~= 0
FSasintota(n) = FS0^n;
[FSc, Enc, Ec, Tc] = AsSolveSemiRig('B',FSasintota(n),mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);
VarEn(end + 1) = Enc;
n = n + 1;
end
VarEn(1) = 0;
FSasintota = [FSa FSb FSasintota];
% 5. Variación del FS en función del empuje requerido colapso gravitacional
En = linspace(Ena,Enc,100); % Vector que contiene empujes asumidos En
FS = zeros(1,100); % Vector que contiene el FS f(En)
for i = 1:100
[FSi, Eni, Ei, Ti] = AsSolveSemiRig('A',En(i),mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);
FS(i) = FSi;
end
figure, hold on, box on, grid on
rot1 = plot(En,FS,'k','LineWidth',2);
xlabel('Empuje en el frente (kN)')
ylabel('Factor de Seguridad FS')
legend(rot1,'Colapso del frente','Location','NorthWest')
ylim([0 FS0])
% Presión efeciva (kPa) aplicada en el frente s'
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 9 of 10
sp = En/(pi/4*D^2);
spa = Ena/(pi/4*D^2); spb = Enb/(pi/4*D^2); spc = Enc/(pi/4*D^2);
support_pressure = [sp(1) max(spa,spb) sp(end)]
% 6. Gráfico de Empujes para un método determinado
figure
% Método A
locA = find(sort([Ena Enb]) == Ena);
ax1 = subplot(1,3,locA,'XDir','Reverse');
hold on, box on
title(['Método A: Dado E_n = ' num2str(Ena,'%5.0f') ' kN, FS = ' num2str(FSa,'%5.1f')])
xlabel('Pared {\it i}')
ylabel('Empuje E_{i} (kN)')
bar(0:mw,round([E0 Ea]),'r','BarWidth',1)
xlim([-0.5 mw+0.5])
% Método B
locB = find(sort([Ena Enb]) == Enb);
ax2 = subplot(1,3,locB,'XDir','Reverse');
hold on, box on
title(['Método B: Dado FS = ' num2str(FSb,'%5.1f') ', E_n = ' num2str(Enb,'%5.0f') ' kN
(N_{D} = ' num2str(spb/(gammap*D),'%5.2f') ')'])
xlabel('Pared {\it i}')
ylabel('Empuje E_{i} (kN)')
bar(0:mw,round([E0 Eb]),'b','BarWidth',1)
xlim([-0.5 mw+0.5])
% Asíntota de la presión
ax3 = subplot(1,3,3,'XDir','Reverse');
hold on, box on
title(['Cuando FS \rightarrow \infty, E_n = ' num2str(Enc,'%5.0f') ' kN (N_{D} = '
num2str(spc/(gammap*D),'%5.2f') ')'])
xlabel('Pared {\it i}')
ylabel('Empuje E_{i} (kN)')
bar(0:mw,round([E0 Ec]),'g','BarWidth',1)
xlim([-0.5 mw+0.5])
linkaxes([ax3,ax2,ax1],'y');
% 7. Gráfico de FS vs Presión efectiva de soporte (kPa)
figure, hold on, box on, grid on
plot(sp,FS,'b','LineWidth',2)
xlabel('Presión de soporte efectiva {\it s''} (kPa)')
ylabel('Factor de Seguridad FS')
xlim([0 inf]); ylim([0 10*FS0])
figure, hold on, box on, grid on
plot(sp/(gammap*D),FS,'r','LineWidth',2)
title(titulo2)
xlabel('Presión de soporte normalizada N_{D}')
4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 10 of 10
ylabel('Factor de Seguridad FS')
xlim([0 inf]); ylim([0 FS0]);%ylim([0 10*FS0])
toc
%==========================================================================
4/06/17 04:46 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\FreeFaceTFN.m 1 of 4
function [Fi,rFi] = FreeFaceTFN(D,phi,gammaw,hF,h0,C,vP,xP,yP,zP,lu,FN)
% Free Face Tridimensional Flow-Net (FreeFaceTFN.m)
% Calcula fuerzas de infiltración [Fix,Fiy,Fiz] y pto. acción en el suelo
% contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado en un
% acuífero, masa que se ha discretizado previamente en tajadas y ele-
% mentos de volumen. Se asume la excavación se realiza con la cara libre
% del frente, es decir con equipo convencional sin presurizar con una TBM,
% siguiendo la propuesta simplificada de Perazzelli et al. (2014).
%
% hF y h0 deben tener valores diferentes para que se presente el flujo
% [vP] [xP] [yP] [zP] deben tener el mismo tamaño (mw x ne)
% La TBM puede ser: de trabajo presión atmosférica o con cámara hiperbárica
% Por: OAMD
% Fecha: 04/01/17
% D: Diámetro (m) del frente de excavación
% phi: Ángolo (rad) de fricción interna del material en el frente
% gammaw: Peso unitario (kN/m3) del fluido en el terreno (agua@20°C = 9,81)
% h0: Cabeza (m) piezométrica campo lejano, ó elevación del nivel de agua
% hF: Cabeza (m) piezométrica en el frente del túnel (aplicada en la
% cámara). Si el túnel está bajo presión atmosférica, hF = D/2.
% C: Espesor (m) de la cobertura sobre la clavel del túnel
% vP: Volúmen (m3) elementos de volumen ne en sólido de falla
% xP: Coordenada (m) elementos de volumen ne en dirección avance frente
% yP: Coordenada (m) elementos de volumen ne en dirección perp. eje túnel
% zP: Coordenada (m) elementos de volumen ne medida como prof. a la clave
% lu: Número de canales de flujo xi_i en semidomino frente de excavación
%
% FN: Binario que indica si se grafica (1) o no se grafica (0) red flujo
% =========================================================================
%% Validación de datos
if isequal(size(vP),size(xP))==0 || isequal(size(vP),size(yP))==0 || isequal(size(vP),
size(zP))==0
error('El tamaño de las matrices [vP], [xP], [yP] [zP] debe coincidir')
end
if FN ~= 0 && FN ~= 1
error('Se debe indicar si se grafica (1) o no (0) la red de flujo')
end
mw = size(vP,1); % Número de tajadas del sólido de falla
%% RED DE FLUJO
%% 1. Generación de la rejilla radial de flujo plano xy (z = D/2)
dxi = 4*D/(2*lu); % Incremento (m) en los canales de flujo
xi = D*exp((pi/2)*tan(phi));% Dominio de interés (m) del canal de flujo en la red (Umbral
falla por blow-out)
nxi = ceil(xi/dxi) + 1; % Número de equipotenciales en que se discretizarán líneas de
flujo
4/06/17 04:46 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\FreeFaceTFN.m 2 of 4
ai = zeros(lu,1); % Apotema (m) de c/u de las alturas del frente que definen
una línea de flujo xi_i
alpha_i = ai; % Ángulo (radianes) alpha entre el eje x y la línea de flujo
xi_i
Di = ai; % Altura (m) de la intersección entre el frente de excavación
y la línea de flujo xi_i
xi_i = zeros(lu,nxi); % Matriz que contiene las coordenadas de las líneas de flujo
xi_i
x_i = xi_i; y_i = x_i; % Matrices de coordenadas (x_i,y_i) de puntos intersección
red de flujo para hallar cabeza h
%% 2. Cálculo de la presión piezométrica dentro del sólido de falla
h = zeros(lu,nxi); %i_xi = zeros(lu); ix = i_xi; iy = i_xi;
% Para que haya flujo debe haber gradiente hidráulico
if hF ~= h0
% Para cada canal de flujo, generar rejilla
xi_i = linspace(0,xi,nxi);
for i=1:lu;
ai(i) = (D/(2*lu))*(i - 1);
alpha_i(i) = (i - 1)*(pi/2)/lu;
Di(i) = sqrt(D^2 - 4*ai(i)^2);
x_i(i,:) = xi_i.*cos(alpha_i(i));
y_i(i,:) = ai(i) + xi_i.*sin(alpha_i(i));
% Cabeza piezométrica h
h(i,:) = TFNthh(Di(i),hF,h0,C,xi_i,linspace(0,Di(i),nxi))';
end
% 3. Interpolar cabeza de presión y obtener gradiente numéricamente (FDM)
% Establecer cabeza piezométrica en una rejilla rectangular
MF = [reshape(x_i,[],1) reshape(y_i,[],1)];
F = scatteredInterpolant(MF,reshape(h,[],1),'natural');
dx = xi/(nxi); dy = 0.5*xi/(nxi);
xq = 0:dx:xi; yq = 0:dy:0.5*xi; % OJO: Blow-Out el mecanismo considera que se
amplifica ancho sólido falla más allá D/2 (es decir, hasta xi/2)
hq = F({xq,yq});
% Cálculo numérico del campo gradiente hidráulico
[FY,FX] = gradient(hq,dy,dx);
% 4. Calcular fuerzas de infiltración en c/elemento semi-casquete (y > 0)
% Componentes del gradiente hidráulico
iz = zeros(size(vP)); ix = iz; iy = iz;
% Componentes de las fuerzas de infiltración
fzP = zeros(size(vP)); fxP = fzP; fyP = fzP;
% Punto de aplicación de la resulante fuerzas infiltración por casquete
rFi = zeros(size(vP,1),3);
4/06/17 04:46 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\FreeFaceTFN.m 3 of 4
for i=1:mw
ix(i,:) = interp2(yq,xq',FX,yP(i,:),xP(i,:));
iy(i,:) = interp2(yq,xq',FY,yP(i,:),xP(i,:));
fxP(i,:) = -gammaw*ix(i,:).*vP(i,:);
fyP(i,:) = -gammaw*iy(i,:).*vP(i,:);
fzP(i,:) = -gammaw*iz(i,:).*vP(i,:);
rFi(i,1) = sum(xP(i,:).*fxP(i,:))/sum(fxP(i,:));
rFi(i,3) = sum(zP(i,:).*fxP(i,:))/sum(fxP(i,:));
end
% Fuerzas de infiltración por casquete (integrar alrededor semi-eje x)
Fi(:,1) = 2*sum(fxP,2); % Componente x (kN)
Fi(:,2) = sum(fyP,2) - sum(fyP,2); % Componente y (kN)
Fi(:,3) = 2*sum(fzP,2); % Componente z (kN)
else
Fi = zeros(mw,3); rFi = nan(size(Fi));
return
end
if FN == 1
%% 3. Grafico de la red de flujo
figure, hold on, axis equal, box on
fill([-D/2 -D/2 D/2 D/2],[-D/8 0 0 -D/8],[0.6 0.2 0])
quiver(yq,xq,-FY,-FX,1.5,'Color',[0 0.75 0.75])
quiver(-yq,xq,FY,-FX,1.5,'Color',[0 0.75 0.75])
text(0,-D/16,'Escudo TBM','HorizontalAlignment','center','BackgroundColor',[1 1 1])
[YY,XX] = meshgrid(yq,xq);
starty = linspace(0,D/2,lu/2); starty(1) = [];
startx = zeros(size(starty));
if h0 > hF
hlines1 = streamline(YY,XX,FY,FX,starty,startx);
hlines2 = streamline(-YY,XX,-FY,FX,-starty,startx);
elseif h0 < hF
hlines1 = streamline(YY,XX,-FY,-FX,starty,startx);
hlines2 = streamline(-YY,XX,FY,-FX,-starty,startx);
end
h_xi = line([0 0],[0 xi],'LineWidth',2,'Color',[0 0 1]);
set(hlines1,'LineWidth',2,'Color','b')
set(hlines2,'LineWidth',2,'Color','b')
% Anotaciones
title({%'Red de flujo (cabeza piezométrica h en mca)';...
['Nivel piezométrico en la TBM h_{F} = ' num2str(hF,'%5.2f') ' mca (D = ' int2str
4/06/17 04:46 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\FreeFaceTFN.m 4 of 4
(D) ' m)'];...
['Nivel piezométrico en el terreno h_{0} = ' num2str(h0,'%5.2f') ' mca']})
xlabel('Frente de Excavación / Eje y (m)')
ylabel('\rightarrow Dirección de avance de la excavación / Eje x (m)')
xlim(3/4*[-D D])
ylim([-inf xi-D/8])
[Cc,hc] = contour(y_i,x_i,h,'ShowText','on');
contour(-y_i,x_i,h)
clabel(Cc,hc);
legend(h_xi,'Líneas de corriente \xi','Location','NorthWest')
end
end
4/06/17 04:47 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\TFNthh.m 1 of 2
function h = TFNthh(H,hF,h0,t,x,z)
% TFN total hydraulic head (TFNthh.m)
% Calcula la cabeza hidráulica total en el punto (x,y,z) del suelo
% contenido en el sólido de falla de frente del túnel excavado en material
% permeable, asumiendo que la cámara de excavación es abierta y por
% tanto no está presurizada, lo cual permite el flujo tridmmensional hacia
% el frente, siguiendo la propuesta simplificada de Perazelli et al. (2014).
%
% [x] y [z] teniendo el mismo tamaño, pueden ser escalares o vectores.
% [h] será de igual tamaño (n) a las coordenadas (x,z).
% La TBM puede ser: de trabajo presión atmosférica o con cámara hiperbárica
% Por: OAMD
% Fecha: 15/11/16
% H: Altura (m) del frente de excavación
% h: Cabeza (m) hidráulica del frente de excavación en el punto (x,y,z)
% h0: Cabeza (m) piezométrica campo lejano, ó elevación del nivel de agua
% hF: Cabeza (m) piezométrica en el frente del túnel (aplicada en la
% cámara). Si el túnel está bajo presión atmosférica, hF = D/2.
% a,b: Coeficientes de ajuste para expresiones de la cabeza hidráulica h
% t: Espesor (m) de la cobertura sobre la clavel del túnel
% x: Coordenada (m) en la dirección de la línea de flujo xi (simetría)
% z: Coordenada (m) profundidad punto analizado con origen en la clave
% =========================================================================
%% Validación de datos
if length(x) ~= length(z)
error('El tamaño de x debe ser igual al tamaño de z')
end
if h0 == hF
error ('Debe haber diferencia de nivel piezométrico (h0 - hF) para que halla flujo')
end
%% Cálculo de la presión h(x,z)
Dh = h0 - hF; % Diferencia de presión hidráulica entre el terreno y túnel
t_H = [1;5]; % Relación (adim.) de la cobertura a la altura del túnel
coef_ajuste = [ 4.496 2.850;
1.935 1.638];
%a = interp1(t_H,coef_ajuste(1,:)',t/H);
%b = interp1(t_H,coef_ajuste(2,:)',t/H);
% Interpolación en escala semi-logarítmica de t/H
pol_a = polyfit(log10(t_H),coef_ajuste(1,:)',1);
pol_b = polyfit(log10(t_H),coef_ajuste(2,:)',1);
a = polyval(pol_a,log10(t/H));
b = polyval(pol_b,log10(t/H));
4/06/17 04:47 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\TFNthh.m 2 of 2
h = zeros(length(x),1);
for i=1:length(x)
z = H - z; % Cambiar el origen del sistema de coordenadas a la solera
if z <= H % Condición para el frente de excavación
h(i) = hF + (1 - exp(-b*(x(i)/H)))*Dh;
elseif z > H% Condición para el silo en la cobertura
h(i) = hF + (1 - exp(-b*(x(i)/H) + a*(1 - z(i)/H)))*Dh;
end
end
end
4/06/17 04:39 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\IMMsfi.m 1 of 2
function h = IMMsfi(H,hF,h0,t,x,z)
% Ideal Membrane Model sub-surface flow hidraulic head (IMMsfi.m)
% Calcula la cabeza de presión intersticial en el punto (x,y,z) del suelo
% contenido en el sólido de falla de frente del túnel excavado en material
% permeable, asumiendo que la cámara de excavación es abierta y por
% tanto no está presurizada, lo cual permite el flujo tridmmensional hacia
% el frente, siguiendo la propuesta simplificada de Perazelli et al. (2014).
%
% [x] y [z] teniendo el mismo tamaño, pueden ser escalares o vectores.
% [h] será de igual tamaño (n) a las coordenadas (x,z).
% La TBM puede ser: de trabajo presión atmosférica o con cámara hiperbárica
% Por: OAMD
% Fecha: 15/11/16
% H: Altura (m) del frente de excavación
% h: Cabeza (m) hidráulica del frente de excavación en el punto (x,y,z)
% h0: Cabeza (m) piezométrica campo lejano, ó elevación del nivel de agua
% hF: Cabeza (m) piezométrica en el frente del túnel (aplicada en la
% cámara). Si el túnel está bajo presión atmosférica, hF = D/2.
% a,b: Coeficientes de ajuste para expresiones de la cabeza hidráulica h
% t: Espesor (m) de la cobertura sobre la clavel del túnel
% x: Coordenada (m) en la dirección de la línea de flujo xi (simetría)
% z: Coordenada (m) profundidad punto analizado con origen en la clave
% =========================================================================
%% Validación de datos
if length(x) ~= length(z)
error('El tamaño de x debe ser igual al tamaño de z')
end
if h0 == hF
error ('Debe haber diferencia de nivel piezométrico (h0 - hF) para que halla flujo')
end
%% Cálculo de la presión h(x,z)
Dh = h0 - hF; % Diferencia de presión hidráulica entre el terreno y túnel
t_H = [1;5]; % Relación (adim.) de la cobertura a la altura del túnel
coef_ajuste = [ 4.496 2.850;
1.935 1.638];
%a = interp1(t_H,coef_ajuste(1,:)',t/H);
%b = interp1(t_H,coef_ajuste(2,:)',t/H);
% Interpolación en escala semi-logarítmica de t/H
pol_a = polyfit(log10(t_H),coef_ajuste(1,:)',1);
pol_b = polyfit(log10(t_H),coef_ajuste(2,:)',1);
a = polyval(pol_a,log10(t/H));
b = polyval(pol_b,log10(t/H));
4/06/17 04:39 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\IMMsfi.m 2 of 2
h = zeros(length(x),1);
for i=1:length(x)
z = H - z; % Cambiar el origen del sistema de coordenadas a la solera
if z <= H % Condición para el frente de excavación
h(i) = hF + (1 - exp(-b*(x(i)/H)))*Dh;
elseif z > H% Condición para el silo en la cobertura
h(i) = hF + (1 - exp(-b*(x(i)/H) + a*(1 - z(i)/H)))*Dh;
end
end
end
4/06/17 04:46 PM C:\Users\ANDRES MELO\...\PerazzelliEtAl.m 1 of 1
function [a,b] = PerazzelliEtAl(t,H)
% Evaluar expresiones de la superficie de falla en el plano y = 0
t_H = [1;5]; % Relación (adim.) de la cobertura a la altura del túnel
coef_ajuste = [ 4.496 2.850;
1.935 1.638];
%a = interp1(t_H,coef_ajuste(1,:)',t/H);
%b = interp1(t_H,coef_ajuste(2,:)',t/H);
% Interpolación en escala semi-logarítmica de t/H
pol_a = polyfit(log10(t_H),coef_ajuste(1,:)',1);
pol_b = polyfit(log10(t_H),coef_ajuste(2,:)',1);
a = polyval(pol_a,log10(t/H));
b = polyval(pol_b,log10(t/H));
end
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 1 of 11
%Programa: FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m
%Hecho por: Orlando Andrés Melo Duque
%Descripción: Este programa obtiene la presurización que debe ejercer
% la TBM como función del Factor Seguridad cuando se excava
% un túnel poco profundo en material homogéneo que sigue el
% criterio de fluencia Mohr-Coulomb. Para ello, se asume como
% mecanismo de falla un sólido dividido en casquetes de forma
% espiral 3D, centro de rotación en la clave, eje de rotación
% "y", sección circular generatriz y decremento exponencial.
% La falla analizada es la del colapso activo del suelo en el
% frente al estar sometido a fuerzas de campo (gravedad,
% infiltración) y fuerzas de superficie (sobrecarga/efecto
% arco así como presión de la TBM), empleando la técnica del
% equilibrio límite (en dos direcciones, circunferencial y
% radial) con el fin de resolver el sistema de fuerzas (ec.).
% El sistema de coordenadas local establecido tiene origen en
% la clave del túnel, eje x en la dirección de avance de la
% excavación y eje z medido desde la clave hasta la solera.
%
%Fecha: 22/05/17 ~
%
%Requisitos Esenciales:
% Conocer la profundidad y diámetro del túnel, las capas del
% perfil de suelo en la cobertura y la capa en el frente, así
% como las propiedades relevantes (d, c, phi, k, etc.)
% para el análisis de estabilidad.
% Esta rutina emplea las siguientes funciones:
% - AsSolveSemiRig.m
% - CentroidVol.m
% - FilterCakeUFN.m
% - FCMsfi.m
% - BroereVanTol.m
%
%Referencia: - Anagnostou, G. & Kovári, K. (1996). Face Stability in
% Slurry and EPB Shield Tunnelling. In R.J. Mair & R.N.
% Taylor (Ed.), Geotechnical aspects of underground
% construction in soft ground(pag. 165-174). London: Balkema.
% - Bourke, P. (1998). Polygons and meshes. Obtenido de:
% http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh/
% - Broere, W. & van Tol, A.F. (2001). Time-dependant
% infiltration and groundwater flow in a face stability
% analysis. In T. Adachi, K. Tateyama & M. Kimura (Ed.),
% Modern Tunnelling Science and Technology, (pag. 629-634).
% Kyoto, Japan.
% - W. Broere, "Tunnel Face Stability & New CPT Applications"
% Delft University of Technology, Delft, 2001.
% - G. Iglesia, H. H. Einstein, and R. V. Whitman, "Section
% 3.3.4: Discussion of the Coefficient of Lateral Stress
% (K)," in A Literature Study of the Arching Effect.:
% M.Sc. Thesis, MIT, 1996, pp. 55-56.
% - Nilmar Janbu, "Slope stability computations," Soil
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 2 of 11
% Mechanics & Foundation Engineering Report, pp. 47-86, 1968.
% - Perazzelli, P., Leone, T. & Anagnostou, G. (2014). Tunnel
% face stability under seepage flow conditions. Tunnelling
% and Underground Space Technology (43), 459-469.
% - D. M. Raup, "Geometric analysis of shell coiling: General
% problems," Journal of Paleontology, vol. 40, no. 5, pp.
% 1178-1190, 1966.
% - K. Terzaghi, "Arching in ideal soils," in
% Theoretical Soil Mechanics. Chapter 5. New York: John
% Wiley and Sons, 1943, ch. 5, pp. 66-76.
% - K. Terzaghi, "The Logarithmic spiral method," in
% Theoretical Soil Mechanics. New York: John Wiley and Sons,
% 1943, pp. 108-111.
%
%==========================================================================
clear all; clc; close all;
tic
%% Parámetros del análisis
% Geometría Sección Generatriz Circular
D = 10.00; % Diámetro de la sección circular D (m)
C = 15; % Cobertura del túnel C (m)
q0 = 0.0; % Sobrecarga (kPa) a nivel del terreno
% Acuífero
zNAF = 0.0; % Profundidad del nivel de agua (m), medido desde terreno (<0 si lámina
de agua supera nivel del terreno)
gammaw = 10; % Peso unitario del agua a la T° del terreno (kN/m^3)
H1 = 10.0; % Espesor (m) acuífero 1
H2 = 18.0; % Espesor (m) acuífero 2
H = [H1 H2]; %
% Acuitardo
d2 = 2.0; % Espesor (m) acuitardo suprayacente al túnel
%kv_at = 2e-10; % Conductividad hidráulica vertical (m/seg) del acuitardo
%c_ = d2/kv_at; %
c_ = 10e+9; % Resistencia hidráulica (seg) acuitardo suprayacente al túnel
% Suspensión Slurry/Foam
gammaF = gammaw;% Peso Unitario del fluido en cámara de excavación (kN/m^3)
tauF = 5; % Medida de viscosidad (Pa) del slurry (suspensión bentonítica/espuma)
aF = 180; % Tiempo (seg) para alcanzar la mitad de infiltración máxima (Ensayo
infiltración en columna)
alphaF = 2.5; % Factor de forma (adim.) ensayo infiltración slurry/foam en columna de
suelo (rln: tamaño grano y radio efectivo canal flujo)
% Variables operativas TBM
pfTBM = 20; % Máxima presurización (bares) de la TBM, según catálogo
tF = 10; % Tiempo (seg) de infiltración (calculado a partir tr)
tr = fzero(@(tr)tF - (tr/log(1 + tr/aF)) + aF,1);
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 3 of 11
%fr = 3; % Frecuencia (rpm) de la rueda de corte de la TBM
%tr = 1/fr*60; % Tiempo (seg) para una rotación completa de la cabeza TBM
%tF = tr/log(1 + tr/aF) - aF;
% Suelo en el frente
gammas = 20; % Peso unitario saturado (kN/m^3)
gammam = 17; % Peso unitario húmedo (kN/m^3)
gammad = 12; % Peso unitario seco (kN/m^3)
c = 00; % Intercepto de cohesión (kPa)
%su_sv = 0.22; % Resistencia al corte no drenada como fn. esfzo. vertical
psi = 30; % Ángulo de dilatancia psi (°) asumido igual al efectivo de fricción
interna phi (°) del material involucrado
d10 = 100; % Diámetro (micras) característico d10 efectivo del suelo
kv = 10e-4; % Coeficiente de conductividad hidráulica (m/seg) vertical
kh = kv; % Coeficiente de conductividad hidráulica (m/seg) hztal.
% Coeficiente de presión para efecto arco (Iglesia, 1990)
Kk = (cosd(psi)^2)/(1 + sind(psi)^2);
% Coordenadas del centro de la espiral logarítmica (xc, zc) centrada en la clave del
frente
xc = 0; zc = 0;
%% Cambio de unidades
phi = psi*pi/180; % Cambio de unidades (°) a (rad)
d10 = d10/(1e6); % (micras) a (m)
tauF = tauF/1000; % (Pa) a (kPa)
pfTBM = pfTBM*100; % (Bar) a (kPa)
%% Cálculo de la presión piezométrica dentro del sólido de falla
switch true
case zNAF <= 0
h0 = (C + D) - zNAF; % Nivel piezométrico (m) en el terreno sin excavar
p0TBM = (h0 - D)*gammaF; % Presurización (kPa) mínima de la TBM
if pfTBM <= p0TBM
error('El equipo a usar debe tener mayor capacidad de presurización (bares)')
end
gammab = gammas - gammaw; % Peso unitario sumergido suelo (kN/m^3)
gammap = gammab; % Peso unitario efectivo = sumergido (kN/m^3)
case strcmp(zNAF,'Dry')
h0 = 0; % Sin nivel piezométrico de agua en el terreno
p0TBM = 0; % Presurización (kPa) mínima de la TBM
gammap = gammad; % Peso unitario efectivo = seco (kN/m^3)
zNAF = 0; Ui = zNAF; % En seco: sin fuerzas de filtración
otherwise
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 4 of 11
error('El nivel de agua debe estar por encima del terreno, o el terreno estará
completamente seco (Dry)')
end
iav = 0; % No existe gradiente por flujo vertical en el silo
(Asumido flujo hztal.)
%% Discretización del sólido de falla espiral logarítmico (Ec. Paramétrica)
% Parámetro v (ángulo al centro de la sección transversal 0 => 2*pi)
nv = 360/5; % Número nv>=4 (>=36 recomendado) de líneas de falla en la sección
circular, debe ser número par, dado el plano de simetría a lo largo del eje x
v = linspace(0,2*pi,nv + 1);
dv = v(end)/(nv);
% Parámetro w (ángulo de rotación del sólido alrededor de y, 0 <= w <= pi/2 - phi)
mw = 90/5; % Número m>=2 (>=18 recomendado) de tajadas/casquetes (dirección w)
en la superficie de falla logarítmica
w = linspace(phi,pi/2,mw + 1);
% Casquetes finales embebidos en el filter-cake (costra de perforación)
% Penetración aprox. (m) del lodo/foam en la contrabóveda del túnel
etzb = (tF/(aF + tF)*d10/(alphaF*tauF))*(gammap*C + gammaF*D);
if (pi/2 - phi)/mw > atan(etzb(end)/D)
% Ángulo en el plano xz del casquete dentro del filter-cake (costra)
wfc = pi/2 - atan(etzb(end)/D)*(4:-1:1);
% Incluir ángulo del filter-cake (costra) en la discretización de w
ifcb = find(w < min(wfc),1,'Last'); ifca = find(w > max(wfc),1,'First');
w = [w(1:ifcb) wfc w(ifca:end)]; mw = length(w) - 1;
end
% Coordenadas cilíndricas (r,y) + cartesianas (x,z) de la superficie para
% 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi
x = zeros(mw + 1,nv + 1); y = x; z = x;
% Geometría Sólido de Falla
for i=1:mw + 1
for j=1:nv + 1
% Coordenadas de las paredes
x(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*sin((pi/2 - w(i)));
y(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*sin(v(j));
z(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*cos((pi/2 - w(i)));
end
end
%% Presión (kPa) por peso columna de suelo sobre el sólido de falla
% Semi-ancho de relajación silo efecto arco
a3D = D/2*(exp((phi - pi/2)*tan(phi))*cos(phi))/(3*(1 + cos(phi)) - sqrt((3 + cos(phi))*
(1 + 3*cos(phi))));
% Área del silo
A = pi/4*D^2*exp(-2*(pi/2 - phi)*tan(phi))*cos(phi);
if phi > 0 % Análisis drenado
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% Incluir efecto arco en el silo
sigma_va = (a3D*gammap)/(Kk*tan(phi))*(1 - exp(-Kk*tan(phi)*C/a3D)) + q0*exp(-Kk*tan
(phi)*C/a3D) + (gammaw*iav*(C - zNAF));
% Sin incluir el efecto arco en el silo
%sigma_va = gammap*C;
else % Análisis no drenado (phi_u = 0)
If = (D^2)/((D + C)^2); % Coef. disipación 2:1 sobrecarga
iav = 0; % No existe flujo vertical, peso columna de suelo + agua
sigma_va = gammaw*(-zNAF) + gammas*(C) + (gammaw*iav)*(C - zNAF) + q0*If;
end
sigma_va, Vsilo = sigma_va*A;
%% FUERZAS NORMALES/CORTANTES EN EL SÓLIDO
% Coordenadas del centro en elementos de superficie
xe = zeros(mw,nv); ye = xe; ze = xe;
% Diferencial de superficie dS y campo de esfuerzos normales s = [sx sy sz]
dS = zeros(mw,nv); sz = dS;
% Componentes del vector unitario normal a la superficie n = [nx ny nz]
% para 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi
nx = dS; ny = dS; nz = dS;
% Componentes del vector unitario tangencial a la superficie t = [tx ty tz]
% para phi <= w <= pi/2 y 0 <= v <= 2*pi
tx = dS; ty = dS; tz = dS;
% Componentes vector fuerza normal N = [Nx Ny Nz] y cortante T = [Tx Ty Tz]
Nx = dS; Ny = dS; Nz = dS; Tx = dS; Ty = dS; Tz = dS;
% Coef. de esfuerzo normal en la falla Kfn, semi-ancho relajación silo ae
Kfn = dS; ae = dS; Su = dS;
for i=1:mw
dw = diff(w(i:i+1));
for j=1:nv
xe(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*sin
((pi/2 - (w(i)) - dw/2));
ye(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*sin(v(j) + dv/2);
ze(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*cos
((pi/2 - (w(i)) - dw/2));
dS(i,j) = (D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi)))^2*(cos(v(j) + dv/2) + 1)/
(cos(phi))*dw*dv;
nx = -((sin(phi)*cos((pi/2 - (w(i)) - dw/2))) + (cos(phi)*sin((pi/2 - (w(i)) -
dw/2))*cos(v(j) + dv/2)));
ny = -cos(phi)*sin(v(j) + dv/2);
nz = -((cos(phi)*cos((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*cos(v(j) + dv/2)) - (sin(phi)*sin
((pi/2 - (w(i)) - dw/2))));
radicando = sqrt((cos(v(j) + dv/2) + 1)*(cos(phi)^2*cos(v(j) + dv/2) - cos(phi)^2
+ 2));
tx = (cos(phi + ((pi/2 - (w(i)) - dw/2)))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/radicando;
ty = -(sin(phi)*sin(v(j) + dv/2))/radicando;
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 6 of 11
tz = -(sin(phi + ((pi/2 - (w(i)) - dw/2)))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/radicando;
% Esfuerzo normal/cortante plano falla, conociendo inclinación nz
if phi > 0 % Análisis drenado
kn = 1 + 2*(sqrt(nz^2*(1 - nz^2))/tan(phi) - nz^2);
Kfn(i,j) = cos(phi)^2/(1 + kn*sin(phi)^2);
ae(i,j) = D/4*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi));
sz(i,j) = (ae(i,j)*gammap)/(Kfn(i,j)*tan(phi))*(1 - exp(-Kfn(i,j)*tan(phi)*
(ze(i,j))/ae(i,j))) + sigma_va*exp(-Kfn(i,j)*tan(phi)*(ze(i,j))/ae(i,j));
Sn = Kfn(i,j)*sz(i,j);
Tn = c + Sn*tan(phi);
else % Análisis no drenado (phi_u = 0)
sz(i,j) = (sigma_va - gammaw*(C - zNAF)) + gammap*ze(i,j);
kn = sqrt(nz^2*(1 - nz^2));
if exist('su_sv')== 1
Su(i,j) = sz(i,j)*su_sv;
Kfn(i,j) = 1 - 2*su_sv*kn;
else
%su_sv = c/sz(i,j);
Su(i,j) = c;
Kfn(i,j) = 1 - 2*c/sz(i,j)*kn;
end
Sn = (Kfn(i,j)*gammas - gammaw)*(C + ze(i,j)) - gammaw*(-zNAF);
Tn = Su(i,j);
end
% Cálculo de Fuerzas de Superficie
Nx(i,j) = dS(i,j)*Sn*nx;
Ny(i,j) = dS(i,j)*Sn*ny;
Nz(i,j) = dS(i,j)*Sn*nz;
Tx(i,j) = dS(i,j)*Tn*tx;
Ty(i,j) = dS(i,j)*Tn*ty;
Tz(i,j) = dS(i,j)*Tn*tz;
end
end
Ky = mean(mean(Kfn)); % Coef. promedio esfzos normales en la falla
%% CUÑA RÍGIDA DE TRANSICIÓN DE ESFUERZOS
% Si existe cuña de transición de esfuerzos
if phi > 0 % Análisis drenado
% El primer casquete es la tajada #2 (la cuña es la #1)
x = [x(1,:);x]; y = [y(1,:);y]; z = [zeros(1,nv + 1);z];
mw = mw + 1;
% Punto de aplicación de fuerzas superficiales en la cuña
xew = D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*cos(phi)*(1 + cos(v(1:end - 1) + dv/2));
yew = D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*sin(v(1:end - 1) + dv/2);
zew = xew/2*tan(phi);
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 7 of 11
szw = (a3D*gammap)/(Kk*tan(phi))*(1 - exp(-Kk*tan(phi)*(zew)/a3D)) + sigma_va*exp(-
Kk*tan(phi)*(zew)/a3D);
%Diferencial de superficie de los elementos en la cuña
dSw = (D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*dv*sqrt(cos(phi)^2*sin(v(1:end-1) + dv/2).^2 +
cos(v(1:end-1) + dv/2).^2)).*(xew*tan(phi));
% Vectores normales y cortantes a la superficie de la cuña
nxw = -(cos(phi)*cos(v(1:end-1) + dv/2))./sqrt(cos(phi)^2*cos(v(1:end-1) + dv/2).^2 +
sin(v(1:end-1) + dv/2).^2);
nyw = -(sin(v(1:end-1) + dv/2))./sqrt(cos(phi)^2*cos(v(1:end-1) + dv/2).^2 + sin(v(1:
end-1) + dv/2).^2);
nzw = zeros(1,length(v) - 1);
tzw = -ones(1,length(v) - 1); txw = nzw; tyw = nzw;
% Esfuerzo normal/cortante plano falla vertical, según Iglesia
Snw = Kk*szw;
%Snw = (Kk*gammas - gammaw)*(C + ze(i,j)) - gammaw*(-zNAF);
Tnw = c + Snw*tan(phi);
Nxw = dSw.*Snw.*nxw;
Nyw = dSw.*Snw.*nyw;
Nzw = dSw.*Snw.*nzw;
Tzw = dSw.*Tnw.*tzw;
Txw = nzw; Tyw = nzw;
% Incluir Fuerzas sobre elementos de superficie de la cuña
xe = [xew;xe]; ye = [yew;ye]; ze = [zew;ze];
Nx = [Nxw;Nx]; Ny = [Nyw;Ny]; Nz = [Nzw;Nz];
Tx = [Txw;Tx]; Ty = [Tyw;Ty]; Tz = [Tzw;Tz];
% Ángulo theta en el plano xz de cada casquete de falla
w = [0, w];
% Rótulos análisis drenado
titulo1 = ['Sólido falla gravitacional frente (Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = '
num2str(C) 'm, \phi'' = ' num2str(psi) '°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa)'];
titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = ' num2str(C) 'm (\phi'' = ' num2str(psi)
'°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) ' kN/m^3), K_f =
' num2str(Ky,'%5.2f')];
else
% Resistencia al corte no drenada Su (kPa) promedio superficie falla
SU = sum(sum(Su.*dS))/sum(sum(dS));
% Rótulos análisis no drenado
titulo1 = ['Sólido falla gravitacional frente (Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = '
num2str(C) 'm, \phi_{\it u} = ' num2str(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f')
'kPa)'];
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 8 of 11
titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = ' num2str(C) 'm (\phi_{\it u} = ' num2str
(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) ' kN/m^3),
K_f = ' num2str(Ky,'%5.2f')];
end
%% CENTROIDE DE CADA CASQUETE DE FALLA (Discretización tetraédrica Volumen)
g = gammap; % Vector con pesos unitarios gamma (kN/m3) de las capas de suelo
[Vc, Wc, CVc, vP, xP, yP, zP] = CentroidVol(D,phi,D,g,w,v,'FC');
W(:,3) = Wc; % El peso tomado como fuerza es una cantidad vectorial
%% Graficar Superficie de Falla
hold on, grid on, box on, axis equal
% Sólido Espiral Logarítmica + Cuña Rígida Transición Estado Esfuerzos
surf(x,y,z)
% Graficar vectores normales a la superficie
normales = quiver3(xe,ye,ze,Nx,Ny,Nz,2,'ShowArrowHead','off','Color',[0 0 1]);
% Graficar vectores tangentes a la superficie
cortantes = quiver3(xe,ye,ze,Tx,Ty,Tz,2,'Color',[1 0 0]);
% Rótulos y configuración
title(titulo1)
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
zlabel('z (m)')
set(gca,'ZDir','Reverse')
colorbar('Direction','reverse')
colormap('Summer')
view(3)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1])
legend([normales,cortantes],'Fzas. Normales','Fzas. Cortantes','Location','NorthWest')
%% Balance de fuerzas en el sólido de falla en el frente
% 1. Resultante fuerzas de superficie por casquete j para balance sistema
RN(:,1) = sum(Nx,2); RT(:,1) = sum(Tx,2);
RN(:,2) = sum(Ny,2); RT(:,2) = sum(Ty,2);
RN(:,3) = sum(Nz,2); RT(:,3) = sum(Tz,2);
% 2. Condiciones de Frontera (Esfuerzo en la primer tajada por sobrecarga)
% Empuje
E0 = Vsilo
% 3. Se calcularán para cada presurización de la TBM las Fuerzas de
% filtración Fi en el centroide de cada poliedro discretizado, según:
if exist('Ui') == 1 % Terreno seco
gammaw = 0;
else % Terreno saturado
if exist('c_') == 1
lambda = sqrt(kh*H(end)*c_); % Longitud de filtración (m) del acuífero semi-
confinado
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 9 of 11
else
lambda = D*sqrt(C/D); % Longitud de filtración (m) del acuífero
inconfinado
end
end
% 4. Se plantean incógnitas y se ensambla matriz de coeficientes de sistema
% Calculo de fuerzas de infiltración TBM despresurizada (no hay flujo h0>0)
[Fia,rFia,Spia] = FilterCakeUFN(D,phi,0,h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,aF,tF,nv,
vP,xP,yP,zP,0);
% Factor Seguridad Mínimo FSmin (Método A): En = 0 (sin presurización TBM)
[FSa, Ena, Ea, Ta] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fia,E0);
% Valor asintótico de presurización y presión de soporte (FS => infinito)
%pb = p0TBM + 1:pfTBM; % Vector que contiene presurización (kPa) de la TBM
pb = 0:pfTBM; % Vector que contiene presurización (kPa) de la TBM
%FSasintota = FSb; % Vector que contiene el FS f(En)
FSasintota = FSa; % Vector que contiene el FS f(En)
for i = 2:length(pb)
if FSasintota(i-1) < 0
break
end
[Fi,rFi,Spi] = FilterCakeUFN(D,phi,pb(i),h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,aF,
tF,nv,vP,xP,yP,zP,0);
[FSi, Eni, Ei, Ti] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);
FSasintota(i) = FSi;
Sp(i) = sum(Spi);
end
pbasintota = pb(i-2); % Presurización máxima de la TBM
if FSa < 1
pb1 = find(FSasintota >= 1,1,'First');
else
pb1 = p0TBM + 1;
end
% Calculo de fuerzas de infiltración para presurización mínima de la TBM
[Fib,rFib,Spib] = FilterCakeUFN(D,phi,pb1,h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,aF,tF,
nv,vP,xP,yP,zP,1);
% Empuje Estable En (Método B): Asumido En = 0 para pTBM mínima/FS >= 1
[FSb, Enb, Eb, Tb] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fib,E0);
% Calculo de fuerzas de infiltración para presurización máxima de la TBM
[Fic,rFic,Spic] = FilterCakeUFN(D,phi,pbasintota,h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,
aF,tF,nv,vP,xP,yP,zP,1);
% FS => inf (Método A): Asumido En = 0 para pTBM máxima
[FSc, Enc, Ec, Tc] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fic,E0);
% Presión de soporte efectiva (kPa)
spa = sum(Spia)/(pi/4*D^2)
spb = sum(Spib)/(pi/4*D^2)
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 10 of 11
spc = sum(Spic)/(pi/4*D^2)
% 5. Variación del FS en función presion soporte requerida colapso gravitacional
%sp = [spb Sp(2:end-1)/(pi/4*D^2)];
sp = [spa Sp(2:end-1)/(pi/4*D^2)];
FS = FSasintota(1:end-1);
figure, hold on, box on, grid on
rot1 = plot(sp*pi/4*D^2,FS,'k','LineWidth',2);
xlabel('Fuerza de soporte efectiva (arrastre) en Filter-Cake (kN)')
ylabel('Factor de Seguridad FS')
ylim([0 max([10 10^ceil(log10(FSb))])])
line((spb*ones(1,2))*pi/4*D^2,[0 max([10 10^ceil(log10(FSb))])],'LineWidth',2,'Color',[0
0 0],'LineStyle','--')
legend(rot1,'Colapso del frente','Location','NorthWest')
% 6. Gráfico de Empujes para un método determinado
figure
% Método A
locA = find(sort([spa spb]) == spa);
ax1 = subplot(1,3,locA,'XDir','Reverse');
hold on, box on
title(['Método A: p_{bF} = ' num2str(0,'%5.0f') ' kPa, FS = ' num2str(FSa,'%5.1f')])
xlabel('Pared {\it i}')
ylabel('Empuje E_{i} (kN)')
bar(0:mw,round([E0 Ea]),'r','BarWidth',1)
xlim([-0.5 mw+0.5])
% Método B
locB = find(sort([spa spb]) == spb);
ax2 = subplot(1,3,locB,'XDir','Reverse');
hold on, box on
title(['Método B: p_{bF} = ' num2str(pb1,'%5.0f') ' kPa, FS = ' num2str(FSb,'%5.1f') '
(s'' = ' num2str(spb,'%5.1f') ' kPa)'])%, N_{D} = ' num2str(spb/(gammap*D),'%5.2f') ')'])
xlabel('Pared {\it i}')
ylabel('Empuje E_{i} (kN)')
bar(0:mw,round([E0 Eb]),'b','BarWidth',1)
xlim([-0.5 mw+0.5])
% Asíntota de la presión
ax3 = subplot(1,3,3,'XDir','Reverse');
hold on, box on
title(['Cuando FS \rightarrow \infty: p_{bF} = ' num2str(pbasintota,'%5.0f') ' kPa (s'' =
' num2str(spc,'%5.1f') ' kPa)'])%, N_{D} = ' num2str(spc/(gammap*D),'%5.2f') ')'])
xlabel('Pared {\it i}')
ylabel('Empuje E_{i} (kN)')
bar(0:mw,round([E0 Ec]),'g','BarWidth',1)
xlim([-0.5 mw+0.5])
linkaxes([ax3,ax2,ax1],'y');
4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 11 of 11
% 7. Gráfico de FS vs Presión efectiva de soporte (kPa)
figure, hold on, box on, grid on
plot(sp,FS,'b','LineWidth',2)
xlabel('Presión de soporte efectiva {\it s''} (kPa)')
ylabel('Factor de Seguridad FS')
xlim([0 inf]); ylim([0 100^ceil(log10(FSb))])
line(spb*ones(1,2),[0 100^ceil(log10(FSb))],'LineWidth',2,'Color',[0 0 0])
figure, hold on, box on, grid on
plot(sp/(gammap*D),FS,'r','LineWidth',2)
title(titulo2)
xlabel('Presión de soporte normalizada N_{D}')
ylabel('Factor de Seguridad FS')
xlim([0 inf]); ylim([0 10^ceil(log10(FSb))]);%ylim([0 10*FS0])
line((spb*ones(1,2))/(gammap*D),[0 10^ceil(log10(FSb))],'LineWidth',2,'Color',[0 0 0])
toc
%==========================================================================
4/06/17 04:37 PM C:\Users\ANDRES MELO\D...\FilterCakeUFN.m 1 of 4
function [Fi,rFi,Spi] = FilterCakeUFN(D,phi,pb,h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,
aF,tF,nv,vP,xP,yP,zP,FN)
% Filter Cake One Dimensional Flow-Net (FilterCakeUFN.m)
% Calcula fuerzas de infiltración [Fix,Fiy,Fiz] y pto. acción en el suelo
% contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado mecánica-
% mente con TBM, masa que se ha discretizado previamente en tajadas y ele-
% mentos de volumen. Se asume que las presiones de soporte ejercidas por el
% equipo se trasladan tanto por fuerzas de arrastre (infiltración) como por
% el filter-cake, según propuesta flujo unidireccional Broere & Van Tol (2000).
%
% La TBM obligatoriamente debe trabajar con frente presurizado, bien sea de
% escudo de slurry (SS) o de balance de presión de tierras EPB con espuma,
% esto significa spE >= 0 (presión positiva en la cámara de excavación).
%
% [vP] [xP] [yP] [zP] deben tener el mismo tamaño (mw x ne)
%
% Opcionalmente el programa puede generar esquema red de flujo si FN == 1
% Por: OAMD
% Fecha: 22/05/17
% mw: Número de casquetes en que se ha discretizado el sólido de falla
% t: Ángulo al centro (rad.) de cada casquete de falla en el plano xz
%
% U: Fuerza (vectorial mw x 3) debida a infiltración (kN) por casquete
% E0: Empuje (kPa) en el primer casquete/cuña debida a peso de cobertura
%
% D: Diámetro (m) del frente de excavación
% phi: Ángulo (rad) de fricción del material en el frente
% pb: Presurización aplicada en cámara excavación TBM
% h0: Nivel piezométrico (mca) en el terreno previo excavación
% gammaw: Peso unitario (kN/m^3) del agua a la T° del terreno
% gammaF: Peso unitario (kN/m^3) del fluido en cámara de excavación
% lambda: Longitud filtración (m) que caracteriza acuífero semi-confinado/inconfinado
% d10: Diámetro (m) "efectivo" pasante 10% en peso del suelo en el frente
% alphaF: Factor forma (adim.) ensayo infiltración slurry/foam en columna
% tauF: Medida de viscosidad (kPa) del slurry (suspensión bentonítica/espuma)
% aF: Tiempo (seg) para alcanzar la mitad de infiltración máxima
% tF: Tiempo (seg) transcurrido según avance de la TBM
%
% C: Espesor (m) de la cobertura sobre la clavel del túnel
% vP: Volúmen (m3) elementos de volumen ne en sólido de falla
% xP: Coordenada (m) elementos de volumen ne en dirección avance frente
% yP: Coordenada (m) elementos de volumen ne en dirección perp. eje túnel
% zP: Coordenada (m) elementos de volumen ne medida como prof. a la clave
%
% FN: Binario que indica si se grafica (1) o no se grafica (0) red flujo
% =========================================================================
4/06/17 04:37 PM C:\Users\ANDRES MELO\D...\FilterCakeUFN.m 2 of 4
%% Validación de datos
if isequal(size(vP),size(xP))==0 || isequal(size(vP),size(yP))==0 || isequal(size(vP),
size(zP))==0
error('El tamaño de las matrices [vP], [xP], [yP] [zP] debe coincidir')
end
if FN ~= 0 && FN ~= 1
error('Se debe indicar si se grafica (1) o no (0) la red de flujo')
end
mw = size(vP,1); % Número de tajadas del sólido de falla
%% CÁLCULOS FZAS INFILTRACIÓN FILTER-CAKE
% Componentes de las fuerzas de infiltración
fzP = zeros(size(vP)); fxP = fzP; fyP = fzP; fcP = fzP;
% Punto de aplicación de la resulante fuerzas infiltración por casquete
rFi = zeros(size(vP,1),3);
% Calcular fuerzas de infiltración en c/elemento semi-casquete (y > 0)
for i=1:mw
lgp = find((yP(i,:).^2 + (zP(i,:) - D/2).^2 <= (D/2)^2)==1); % Lattice Grid Points
inside circle (Tunnel Face) R = D/2
%idx = find((yP(i,:).^2 + (zP(i,:) - D/2).^2 <= (D/2)^2)==0); % Index Points
outside circle (Tunnel Face) R = D/2
% Componentes x,y,z del gradiente hidráulico, pesos unitarios y binarfio Filter-Cake
para cada elemento de volumen
[IX,IZ,GIP,IFC] = FCMsfi(pb,xP(i,lgp),zP(i,lgp),gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,
aF,tF);
IY = zeros(size(IX));
% Fuerza de soporte efectiva Filter-Cake
fcP(i,lgp) = IFC.*GIP.*IX.*vP(i,lgp);
% Fuerzas de infiltración para cada elemento de volumen
fxP(i,lgp) = GIP.*IX.*vP(i,lgp);
fyP(i,lgp) = GIP.*IY.*vP(i,lgp);
fzP(i,lgp) = GIP.*IZ.*vP(i,lgp);
% Hallar punto de aplicación de resultante fuerzas infiltración
rFi(i,1) = sum(xP(i,lgp).*fxP(i,lgp))/sum(fxP(i,lgp));
rFi(i,3) = sum(zP(i,lgp).*fzP(i,lgp))/sum(fzP(i,lgp));
end
% Fuerzas de infiltración por casquete (integrar alrededor semi-eje x)
Fi(:,1) = 2*sum(fxP,2); % Componente x (kN)
Fi(:,2) = sum(fyP,2) - sum(fyP,2); % Componente y (kN)
Fi(:,3) = 2*sum(fzP,2); % Componente z (kN)
Spi(:,1) = 2*sum(fcP,2); % Integral fuerza soporte efectiva fc
4/06/17 04:37 PM C:\Users\ANDRES MELO\D...\FilterCakeUFN.m 3 of 4
if FN == 1
%% RED DE FLUJO
spE = sum(Spi)/(pi/4*D^2); % Presión de soporte efectiva (kPa)
% 1. Generación de la rejilla de flujo unidimensional plano xz (y = 0)
lu = nv/4; % Número de canales de flujo xi_i en el semidomino del
frente de excavación
dxi = D/(2*lu); % Incremento (m) en los canales de flujo
xi = ceil(D*exp((pi/2)*tan(phi)));% Dominio de interés (m) del canal de flujo en la
red (Umbral falla por blow-out)
xq = 0:dxi:xi; % Vector x de puntos intersección rejilla circular para
hallar cabeza h
zq = (0:dxi:D)'; % Vector z de puntos intersección rejilla circular para
hallar cabeza h
% 2. Cálculo de la profundidad de infiltración actual y máxima del filter-cake
(costra del lodo/foam de perforación)
p0 = gammaw*(h0 - D + zq); % Presión hidrostática (kPa) en el terreno previo
excavación
Dps = pb + gammaF*zq - p0; % Caída de presión (kPa) total a lo largo del filter
cake
emax = (Dps*d10)/(alphaF*tauF); % Infiltración máxima (m) del slurry f(z)
e_t = tF/(aF + tF)*emax; % Infiltración parcial (m) del slurry f(z,tF)
% 3. Calcular fuerzas de infiltración y ancho de superficie de falla
FX = zeros(length(zq),length(xq)); FZ = FX;
w_x = zeros(size(zq)); y_x = 0;
for i=1:length(zq)
[IX,IZ] = FCMsfi(pb,xq,zq(i)*ones(size(xq)),gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,
aF,tF);
FX(i,:) = IX; FZ(i,:) = IZ;
w_x(i) = fswx(D,phi,y_x,zq(i),'FC'); % Ancho (m) superficie de falla (x,z)
end
% 4. Gráficos
% PRESIONES DE POROS EN EXCESO
% Cálculo de presiones de poros en exceso en el eje túnel (z = D/2);
zet = D/2; % Profundidad z (m) del eje del túnel
iet = find(zq == zet); % índice punto del eje del túnel
xet = 0:e_t(iet):xi; % Coordenadas x (m) en el frente de excavación
Dpp = BroereVanTol(Dps(iet),e_t(iet),xet,zet,lambda,d10,alphaF,tauF,aF/(aF + tF));
figure;
% Superficie de falla y presiones de poros
[hAx,hLine1,hLine2] = plotyy(w_x,zq,xet,Dpp);
hold on
% Filter Cake e(z,t)
fill([-D/8 0 0 -D/8],[0 0 D D],[0 1 0])
text(-D/16,D/2,'Escudo TBM','HorizontalAlignment','center','Rotation',
4/06/17 04:37 PM C:\Users\ANDRES MELO\D...\FilterCakeUFN.m 4 of 4
90,'BackgroundColor',[1 1 1])
hfc = fill([0 e_t(1) e_t(end) 0],[0 0 D D],[1 0.69 0.39],'LineStyle','none');
% Máxima infiltración del Filter Cake
hefc = line([emax(1) emax(end)],[0 D],'Color',[1 0 0],'LineWidth',2);
% Vectores de flujo
harrow = quiver(xq,zq,FX,FZ,1,'Color',[0 0.75 0.75]);
% Anotaciones
title({'MODELO DE INFILTRACIÓN FILTER CAKE (Broere & Van Tol, 2001)';...
['Nivel piezométrico en el terreno h_{0} = ' num2str(h0,'%5.2f') ' mca (p_{0} = '
int2str(p0(iet)) ' kPa)'];...
['Presurización slurry cámara excavación p_{TBM} = ' int2str(pb + gammaF*D/2) '
kPa (s''_{} = ' num2str(spE,'%5.1f') ' kPa)']})
set(gca,'YDir','Reverse')
set(hLine1,'Color',[0 0 0],'LineWidth',2)
ax(1).YColor = 'k'; set(gca,ax)
set(hLine2,'Color',[0 0 1],'LineWidth',2)
set(hAx(2),'YColor','b');set(get(hAx(2),'Ylabel'),'Color','b')
ylabel(hAx(1),'Profundidad medida desde la clave del túnel z (m)') % left y-axis
ylabel(hAx(2),'Exceso de presión de poros \Delta{\it p_{s}} (kPa)') % right y-axis
xlabel(hAx(1),'\rightarrow Dirección de avance de la excavación / Eje x (m)')
set(hAx,'xlim',[-D/8 max(emax(end),D)+D/8]);
legend([hfc;hefc;hLine1;hLine2;harrow],{'Costra de lodo{\it Filter-
Cake}','Penetración max. slurry/foam','Superficie de falla en y = 0','Presión poros
{\itu}_{w} (en z = D/2)','Gradiente hidráulico'},'Location','SouthEast')
end
end
4/06/17 04:38 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\FCMsfi.m 1 of 2
function [ix,iz,gip,ifc] = FCMsfi(sp0,x,z,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,aF,tF)
% Infiltration Filter Cake Moldel sub-surface flow gradient (IFCsfi.m)
% Calcula gradiente y fzas. infiltración en el punto (x,y,z) del suelo
% contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado mecánica-
% mente con TBM, asumiendo que las presiones de soporte ejercidas por el
% equipo se trasladan tanto por fuerzas de arrastre (infiltración) como por
% el filter-cake, según propuesta flujo unidireccional Broere & Van Tol (2000).
%
% [x] y [z] es el par de coordenadas de los n puntos a evaluar.
% La TBM obligatoriamente debe trabajar con frente presurizado, bien sea de
% escudo de slurry (SS) o de balance de presión de tierras EPB con espuma.
% Por: OAMD
% Fecha: 19/12/16
% ix: Componente x del gradiente hidráulico en el punto (x,z)
% iz: Componente z del gradiente hidráulico en el punto (x,z)
% ifc: Indicador binario si punto está dentro(inside) filter cake o no (1/0)
% gip: Peso Unitario en poros intersticiales evaluado (gammaF/gammaw)
% sp0: Presión de soporte (kPa) efectiva aplicada en la cámara de la TBM
% x: Coordenada (m) en el eje del túnel para flujo unidireccional
% z: Coordenada (m) profundidad punto analizado con origen en la clave
% gammaw: Peso unitario (kN/m^3) del agua a la T° del terreno
% gammaF: Peso unitario (kN/m^3) del fluido en cámara de excavación
% lambda: Longitud filtración (m) que caracteriza acuífero semi-confinado/inconfinado
% d10: Diámetro (m) "efectivo" pasante 10% en peso del suelo en el frente
% alphaF: Factor forma (adim.) ensayo infiltración slurry/foam en columna
% tauF: Medida de viscosidad (kPa) del slurry (suspensión bentonítica/espuma)
% aF: Tiempo (seg) para alcanzar la mitad de infiltración máxima
% tF: Tiempo (seg) transcurrido según avance de la TBM
% =========================================================================
%% Validación de datos
if length(x) ~= length(z)
error('Los puntos están dados para coordenadas (x,z), de igual tamaño')
end
if sp0 < 0
error('Debe estar presurizado el frente de la TBM para que halla flujo')
end
%% Cálculo de cabeza total h(x,z,t) y componentes gradiente hidráulico
n = length(x); % Número n de puntos a evaluar
et = zeros(1,n); % Penetración del slurry (m) f(z,t)
%hp = et; ht = et; % Cabeza de presión hp e hidráulica total ht (mca)
ix = et; iz = et; % Componentes gradiente hidráulico
ifc = et; gip = et;
for i=1:n
4/06/17 04:38 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\FCMsfi.m 2 of 2
et(i) = (d10*tF*(sp0 + gammaF*z(i)))/(alphaF*tauF*(aF + tF));
if x(i) < et(i) % Condición dentro del filter-cake (costra lodo)
ix(i) = (alphaF*tauF)/(d10*gammaF);
iz(i) = -gammaw/gammaF;
ifc(i) = 1; gip(i) = gammaF;
elseif x(i) >= et(i) % Condición más allá del frente de filtración
if gammaw > 0
ix(i) = ((sp0 + gammaF*z(i))/(gammaw*lambda)*aF/(aF + tF)*exp(1/lambda*((sp0 +
gammaF*z(i))/(alphaF*tauF)*tF/(aF + tF)*d10 - x(i))));
iz(i) = (-gammaF/gammaw*(aF/(aF + tF))*exp(1/lambda*((sp0 + gammaF*z(i))/
(alphaF*tauF)*tF/(aF + tF)*d10 - x(i)))*((1/lambda*((sp0 + gammaF*z(i))/(alphaF*tauF)*tF/
(aF + tF)*d10 + lambda))));
else
ix(i) = 0;
iz(i) = 0;
end
ifc(i) = 0; gip(i) = gammaw;
else
error('El punto analizado debe estar en dentro del terreno x > 0')
end
end
end
4/06/17 04:38 PM C:\Users\ANDRES MELO\Do...\BroereVanTol.m 1 of 2
function Dpp = BroereVanTol(Dps,et,x,z,lambda,d10,alphaF,tauF,atF)
% Infiltration Filter Cake excess pore pressure by Broere & Van Tol (BroereVanTol.m)
% Calcula el exceso de presión de poros en el punto (x,y,z) del suelo
% contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado mecánica-
% mente con TBM, asumiendo que las presiones de soporte ejercidas por el
% equipo se trasladan tanto por fuerzas de arrastre (infiltración) como por
% el filter-cake, según propuesta flujo unidireccional Broere & Van Tol (2000).
%
% [Dps], [et] y [z] teniendo el mismo tamaño, pueden ser escalar/vector.
% [Dpp] será de igual tamaño (n x m) a los vectores [z]n x [x]m
% La TBM obligatoriamente debe trabajar con frente presurizado, bien sea de
% escudo de slurry (SS) o de balance de presión de tierras EPB con espuma.
% Por: OAMD
% Fecha: 03/01/17
% s: Presión total (kPa) aplicada al frente f(z) = p0 + Dps
% p0: Presión hidrostática (kPa) en el terreno previo excavación
% Dps: Diferencia/Caída de presión (kPa) a lo largo del filter-cake
% Dpp: Exceso de pp (kPa) en el frente de excavación en el punto (x,y,z)
% x: Coordenada (m) en el eje del túnel para flujo unidireccional
% z: Coordenada (m) profundidad punto analizado con origen en la clave
% lambda: Longitud filtración (m) que caracteriza acuífero semi-confinado/inconfinado
% d10: Diámetro (m) "efectivo" pasante 10% en peso del suelo en el frente
% alphaF: Factor forma (adim.) ensayo infiltración slurry/foam en columna
% tauF: Medida de viscosidad (kPa) del slurry (suspensión bentonítica/espuma)
% atF: Relación adimensional de tiempo máximo infiltración y tiempo
% transcurrido según avance de la TBM = a/(a + t)
% =========================================================================
%% Validación de datos
if length(Dps) ~= length(z) || length(et) ~= length(z)
error('El tamaño de z debe ser igual al tamaño tanto de Dps como de et')
end
if Dps < 0
error ('Debe estar presurizado el frente de la TBM para que halla flujo')
end
%% Cálculo del exceso de presión de poros Dpp(x,z,t)
Dpp = zeros(length(x),length(z));
for i=1:length(x)
for j=1:length(z)
if x(i) < et(j) % Condición dentro del filter-cake
Dpp(i,j) = Dps(j) - (alphaF*tauF/d10)*x(i);
elseif x(i) >= et(j) % Condición más allá del frente de filtración
Dpp(i,j) = Dps(j)*atF*exp((et(j) - x(i))/lambda);
else
4/06/17 04:38 PM C:\Users\ANDRES MELO\Do...\BroereVanTol.m 2 of 2
error('El punto analizado debe estar en el medio x > 0')
end
end
end
% Cambio filas por coherencia perfil longitudinal z-x
Dpp = Dpp';
end
4/06/17 04:46 PM C:\Use...\PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m 1 of 9
%Programa: PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m
%Hecho por: Orlando Andrés Melo Duque
%Descripción: Este programa obtiene la fuerza de empuje que se debe de
% ejercer en el frente como función del Factor Seguridad si
% se excava un túnel poco profundo en material que sigue el
% criterio de fluencia Mohr-Coulomb. Para ello, se asume como
% mecanismo de falla un sólido dividido en casquetes de forma
% espiral 3D, centro de rotación en la clave, eje de rotación
% "y", sección circular generatriz y decremento exponencial.
% La falla analizada es la del colapso pasivo del suelo en el
% frente al estar sometido a fuerzas de campo (gravedad,
% infiltración) y fuerzas de superficie (sobrecarga/efecto
% arco así como presión de la TBM), empleando la técnica del
% equilibrio límite (en dos direcciones, circunferencial y
% radial) con el fin de resolver el sistema de fuerzas (ec.).
% El sistema de coordenadas local establecido tiene origen en
% la clave del túnel, eje x en la dirección de avance de la
% excavación y eje z medido desde la clave hasta la solera.
%
%Fecha: 22/05/17 ~
%
%Requisitos Esenciales:
% Conocer la profundidad y diámetro del túnel, las capas del
% perfil de suelo en la cobertura y la capa en el frente, así
% como las propiedades relevantes (d, c, phi, k, etc.)
% para el análisis de estabilidad.
% Esta rutina emplea las siguientes funciones:
% - AsSolveSemiRig.m
% - CentroidVol.m
% - FreeFaceTFN.m
% - TFNthh.m
%
%Referencia: - Anagnostou, G. & Kovári, K. (1996). Face Stability in
% Slurry and EPB Shield Tunnelling. In R.J. Mair & R.N.
% Taylor (Ed.), Geotechnical aspects of underground
% construction in soft ground(pag. 165-174). London: Balkema.
% - Bourke, P. (1998). Polygons and meshes. Obtenido de:
% http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh/
% - Broere, W. & van Tol, A.F. (2001). Time-dependant
% infiltration and groundwater flow in a face stability
% analysis. In T. Adachi, K. Tateyama & M. Kimura (Ed.),
% Modern Tunnelling Science and Technology, (pag. 629-634).
% Kyoto, Japan.
% - W. Broere, "Tunnel Face Stability & New CPT Applications"
% Delft University of Technology, Delft, 2001.
% - G. Iglesia, H. H. Einstein, and R. V. Whitman, "Section
% 3.3.4: Discussion of the Coefficient of Lateral Stress
% (K)," in A Literature Study of the Arching Effect.:
% M.Sc. Thesis, MIT, 1996, pp. 55-56.
% - Nilmar Janbu, "Slope stability computations," Soil
% Mechanics & Foundation Engineering Report, pp. 47-86, 1968.
4/06/17 04:46 PM C:\Use...\PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m 2 of 9
% - Perazzelli, P., Leone, T. & Anagnostou, G. (2014). Tunnel
% face stability under seepage flow conditions. Tunnelling
% and Underground Space Technology (43), 459-469.
% - D. M. Raup, "Geometric analysis of shell coiling: General
% problems," Journal of Paleontology, vol. 40, no. 5, pp.
% 1178-1190, 1966.
% - K. Terzaghi, "Arching in ideal soils," in
% Theoretical Soil Mechanics. Chapter 5. New York: John
% Wiley and Sons, 1943, ch. 5, pp. 66-76.
% - K. Terzaghi, "The Logarithmic spiral method," in
% Theoretical Soil Mechanics. New York: John Wiley and Sons,
% 1943, pp. 108-111.
%
%==========================================================================
clear all; clc; close all;
tic
%% Parámetros del análisis
% Geometría Sección Generatriz Circular
D = 4.46; % Diámetro de la sección circular D (m) (Clays)
C = 4.2*D; % Cobertura del túnel C (m)
%q0 = 0.0; % Sobrecarga (kPa) a nivel del terreno: NO SE CONSIDERA POR CONTRIBUIR A
LA ESTABILIDAD!!!
zNAF = -1.5; % Profundidad del nivel de agua (m), medido desde terreno (<0 si lámina
de agua supera nivel del terreno)
gammaw = 10; % Peso unitario del agua a la T° del terreno (kN/m^3)
pF = 0; % Presión del slurry en la cámara de excavación (kPa)
gammaF = gammaw;% Peso Unitario del fluido en cámara de excavación (kN/m^3)
gammas = 16; % Peso unitario saturado (kN/m^3)
gammam = 16; % Peso unitario húmedo (kN/m^3)
gammad = 10; % Peso unitario seco (kN/m^3)
c = 36; % Intercepto de cohesión (kPa)
psi = 0; % Ángulo de dilatancia psi (°) asumido igual al efectivo de fricción
interna phi (°) del material involucrado
%su_sv = (0.18 + 0.29)/2; % Resistencia al corte no drenada como fn. esfzo. vertical
% Coeficiente de presión para efecto arco (Iglesia, 1990)
Kk = (cosd(psi)^2)/(1 + sind(psi)^2);
% Coordenadas del centro de la espiral logarítmica (xc, zc) centrada en la clave del
frente
xc = 0; zc = 0;
%% Cambio de unidades
phi = psi*pi/180; % Cambio de unidades (°) a (rad)
4/06/17 04:46 PM C:\Use...\PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m 3 of 9
%% Discretización del sólido de falla espiral logarítmico (Ec. Paramétrica)
% Parámetro v (ángulo al centro de la sección transversal 0 => 2*pi)
nv = 360/5; % Número nv>=4 (>=36 recomendado) de líneas de falla en la sección
circular
v = linspace(0,2*pi,nv + 1);
dv = v(end)/(nv);
% Parámetro w (ángulo de rotación del sólido alrededor de y, 0 <= w <= pi/2)
mw = 90/5; % Número m>=2 (>=18 recomendado) de tajadas/casquetes (dirección w)
en la superficie de falla logarítmica
w = linspace(0,pi/2,mw + 1);
% Coordenadas cilíndricas (r,y) + cartesianas (x,z) de la superficie para
% 0 <= w <= pi/2 y 0 <= v <= 2*pi
x = zeros(mw + 1,nv + 1); y = x; z = x;
% Geometría Sólido de Falla por expulsión (Blow Out)
for i=1:mw + 1
for j=1:nv + 1
% Coordenadas de las paredes
x(i,j) = D/2*exp(w(i)*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*sin(w(i));
y(i,j) = D/2*exp(w(i)*tan(phi))*sin(v(j));
z(i,j) = D/2*exp(w(i)*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*cos(w(i));
end
end
%% Cálculo de la presión piezométrica dentro del sólido de falla
switch true
case zNAF <= 2
zF = D/2; % Prof. (m) a evaluar nivel piezométrico presión
frente
hF = pF/gammaF + (D - zF); % Nivel piezométrico (m) en cámara de trabajo (D/2 p.
a.)
h0 = (C + D) - zNAF; % Nivel piezométrico (m) en el terreno sin excavar
gammab = gammas - gammaw; % Peso unitario sumergido suelo (kN/m^3)
gammap = gammab; % Peso unitario efectivo = sumergido (kN/m^3)
% Factores de ajuste modelo de flujo tridimensional hacia
% túnel según Perazzelli et al. (2014)
[aa,bb] = PerazzelliEtAl(C,D);
% Gradiente de flujo vertical en el silo
iav = (h0 - hF)/D*aa*(1 - exp(-bb*exp(pi/2*tan(phi))))/(bb*exp(pi/2*tan(phi)));
case strcmp(zNAF,'Dry')
hF = 0; h0 = 0; % Sin nivel piezométrico de agua
gammap = gammad; % Peso unitario efectivo = seco (kN/m^3)
iav = 0; % No existe gradiente por flujo vertical en el silo
zNAF = 0; Ui = zNAF; % En seco: sin fuerzas de filtración
otherwise
4/06/17 04:46 PM C:\Use...\PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m 4 of 9
error('El nivel de agua debe estar por encima del terreno, o el terreno estará
completamente seco (Dry)')
end
%% Presión (kPa) por peso columna de suelo sobre el sólido de falla
% Área del silo
A = pi/4*D^2*exp(2*(pi/2)*tan(phi));
if phi > 0 % Análisis drenado
sigma_va = gammaw*(-zNAF) + gammap*(C) + (gammaw*iav)*C;
else % Análisis no drenado (phi_u = 0)
iav = 0; % No existe flujo vertical, peso columna de suelo + agua
sigma_va = gammaw*(-zNAF) + gammas*(C) + (gammaw*iav)*(C - zNAF);
end
sigma_va, Vsilo = sigma_va*A;
%% FUERZAS NORMALES/CORTANTES EN EL SÓLIDO
% Coordenadas del centro en elementos de superficie
xe = zeros(mw,nv); ye = xe; ze = xe;
% Diferencial de superficie dS y campo de esfuerzos normales s = [sx sy sz]
dS = zeros(mw,nv); sz = dS;
% Componentes del vector unitario normal a la superficie n = [nx ny nz]
% para 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi
nx = dS; ny = dS; nz = dS;
% Componentes del vector unitario tangencial a la superficie t = [tx ty tz]
% para phi <= w <= pi/2 y 0 <= v <= 2*pi
tx = dS; ty = dS; tz = dS;
% Componentes vector fuerza normal N = [Nx Ny Nz] y cortante T = [Tx Ty Tz]
Nx = dS; Ny = dS; Nz = dS; Tx = dS; Ty = dS; Tz = dS;
% Coef. de esfuerzo normal en la falla Kfn, y resistencia corte no drenado
Kfn = dS; Su = dS;
for i=1:mw
dw = diff(w(i:i+1));
for j=1:nv
xe(i,j) = D/2*exp((w(i) + dw/2)*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*sin((w(i) +
dw/2));
ye(i,j) = D/2*exp((w(i) + dw/2)*tan(phi))*sin(v(j) + dv/2);
ze(i,j) = D/2*exp((w(i) + dw/2)*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*cos((w(i) +
dw/2));
dS(i,j) = (D/2*exp((w(i) + dw/2)*tan(phi)))^2*(cos(v(j) + dv/2) + 1)/(cos(phi))
*dw*dv;
nx = -(cos(phi)*cos(v(j) + dv/2)*sin(w(i) + dw/2) - cos(w(i) + dw/2)*sin(phi));
ny = -cos(phi)*sin(v(j) + dv/2);
nz = -((cos(phi)*cos((w(i) + dw/2))*cos(v(j) + dv/2)) + (sin(phi)*sin((w(i) +
dw/2))));
radicando = sqrt((2*cos(v(j) + dv/2) + 2)/cos(phi)^2 + (cos(v(j) + dv/2) - 1)*
(cos(v(j) + dv/2) + 1));
4/06/17 04:46 PM C:\Use...\PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m 5 of 9
tx = -((cos(phi - (w(i) + dw/2))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/cos(phi))/radicando;
ty = -tan(phi)*sin(v(j) + dv/2)/radicando;
tz = (cos(v(j) + dv/2) + 1)*(sin(w(i) + dw/2) - cos(w(i) + dw/2)*tan(phi))
/radicando;
% Esfuerzo normal/cortante plano falla, conociendo inclinación nz
if phi > 0 % Análisis drenado
kn = 1 + 2*(sqrt(nz^2*(1 - nz^2))/tan(phi) - nz^2);
Kfn(i,j) = cos(phi)^2/(1 + kn*sin(phi)^2);
sz(i,j) = sigma_va + gammap*(ze(i,j));
Sn = Kfn(i,j)*sz(i,j);
Tn = c + Sn*tan(phi);
else % Análisis no drenado (phi_u = 0)
sz(i,j) = (sigma_va - gammaw*(C - zNAF)) + gammap*ze(i,j);
kn = sqrt(nz^2*(1 - nz^2));
if exist('su_sv')== 1
Su(i,j) = sz(i,j)*su_sv;
Kfn(i,j) = 1 - 2*su_sv*kn;
else
Su(i,j) = c;
Kfn(i,j) = 1 - 2*c/sz(i,j)*kn;
end
Sn = (Kfn(i,j)*gammas - gammaw)*(C + ze(i,j)) - gammaw*(-zNAF);
Tn = Su(i,j);
end
% Cálculo de Fuerzas de Superficie
Nx(i,j) = dS(i,j)*Sn*nx;
Ny(i,j) = dS(i,j)*Sn*ny;
Nz(i,j) = dS(i,j)*Sn*nz;
Tx(i,j) = dS(i,j)*Tn*tx;
Ty(i,j) = dS(i,j)*Tn*ty;
Tz(i,j) = dS(i,j)*Tn*tz;
end
end
Ky = mean(mean(Kfn)); % Coef. promedio esfzos normales en la falla
% Solo Rotulos: No existe cuña de transición de esfuerzos
if phi > 0 % Análisis drenado
% Rótulos análisis drenado
titulo1 = ['Sólido falla expulsión (falla pasiva, Túnel D = ' num2str(D,'%5.2f') 'm,
C = ' num2str(C,'%5.2f') 'm, \phi'' = ' num2str(psi) '°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f')
'kPa)'];
titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D,'%5.2f') 'm, C = ' num2str(C,'%5.2f') 'm (\phi'' =
' num2str(psi) '°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) '
kN/m^3), K_f = ' num2str(Ky,'%5.2f')];
else
% Resistencia al corte no drenada Su (kPa) promedio superficie falla
SU = sum(sum(Su.*dS))/sum(sum(dS));
% Rótulos análisis no drenado
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titulo1 = ['Sólido falla expulsión (falla pasiva, Túnel D = ' num2str(D,'%5.2f') 'm,
C = ' num2str(C,'%5.2f') 'm, \phi_{\it u} = ' num2str(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str
(SU,'%5.0f') 'kPa)'];
titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D,'%5.2f') 'm, C = ' num2str(C,'%5.2f') 'm (\phi_{\it
u} = ' num2str(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str
(gammap) ' kN/m^3), K_f = ' num2str(Ky,'%5.2f')];
end
%% CENTROIDE DE CADA CASQUETE DE FALLA (Discretización poliédrica Volumen)
g = gammap; % Vector con pesos unitarios gamma (kN/m3) de las capas de suelo
[Vc, Wc, CVc, vP, xP, yP, zP] = CentroidVol(D,phi,D,g,w,v,'BO');
W(:,3) = Wc; % El peso tomado como fuerza es una cantidad vectorial
%% Graficar Superficie de Falla
figure, hold on, grid on, box on, axis equal
% Sólido Espiral Logarítmica
surf(x,y,z)
% Graficar vectores normales a la superficie
normales = quiver3(xe,ye,ze,Nx,Ny,Nz,1.5,'ShowArrowHead','off','Color',[0 0 1]);
% Graficar vectores tangentes a la superficie
cortantes = quiver3(xe,ye,ze,Tx,Ty,Tz,1.5,'Color',[1 0 0]);
% Rótulos y configuración
title(titulo1)
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
zlabel('z (m)')
set(gca,'ZDir','Reverse')
colorbar('Direction','reverse')
colormap('Summer')
view(3);%view([0 0]);%view(2);
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1])
legend([normales,cortantes],'Fzas. Normales','Fzas. Cortantes','Location','NorthWest')
%% Balance de fuerzas en el sólido de falla en el frente
% 1. Resultante fuerzas de superficie por casquete j para balance sistema
RN(:,1) = sum(Nx,2); RT(:,1) = sum(Tx,2);
RN(:,2) = sum(Ny,2); RT(:,2) = sum(Ty,2);
RN(:,3) = sum(Nz,2); RT(:,3) = sum(Tz,2);
% 2. Condiciones de Frontera (Esfuerzo en la última tajada por peso suelo)
% Empuje por sobrecarga (geostática)
Pf = Vsilo
% 3. Fuerzas de filtración Ui en el centroide de cada poliedro discretizado
if exist('Ui') == 1
Fi = zeros(mw,3); % En seco: Fuerzas Filtración
else
lu = nv/4; % Número de canales de flujo xi_i en el semidomino del frente
de excavación
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[Fi rFi] = FreeFaceTFN(D,phi,gammaw,hF,h0,C,vP,xP,yP,zP,lu,1); % Perazzelli et Al.
(2014)
end
% 4. Se plantean incógnitas y se ensambla matriz de coeficientes de sistema
% Presión Estable P0 (Método B): Asumido FS = 1
[FSb, Pnb, Pb, Tb] = AsSolveSemiRig('B',1,mw,flip(pi/2 - w),flip(W),flip(RN),flip(RT),
flip(Fi),Pf);
% Empuje Mínimo (Método A): Cuando FS => infinito
% Se realiza proceso iterativo FS hasta llegar al valor asintótico de P
VarPn = [realmax Pnb]; % Variable que guardará empujes en el frente
n = 1; % Contador para aumentar exponencialmente FS
FS0 = max(10^ceil(log10(FSb)),10); % Base para escala del Factor de Seguridad FS
while round(diff(VarPn(end-1:end))*10)/10 ~= 0
FSasintota(n) = FS0^n;
[FSc, Pnc, Pc, Tc] = AsSolveSemiRig('B',FSasintota(n),mw,flip(pi/2 - w),flip(W),flip
(RN),flip(RT),flip(Fi),Pf);
VarPn(end + 1) = Pnc;
n = n + 1;
end
%VarPn(1) = 0;
%FSasintota = [FSc FSb FSasintota];
% Empuje Máximo (Método A): Cuando FS => 0 (valor límite)
% Se realiza proceso iterativo Pn hasta llegar al valor asintótico de FS=0
FSmin = FSb; % Variable que guardará Factor de Seguridad
VarP0 = Pnb; % Variable que guardará Empujes en el frente
n = 2; % Contador para aumentar exponencialmente Empuje
while FSmin(n - 1) >= 0.1
FSmin(n) = 10^(1 - n);
[FSa, Pna, Pa, Ta] = AsSolveSemiRig('B',FSmin(n),mw,flip(pi/2 - w),flip(W),flip(RN),
flip(RT),flip(Fi),Pf);
VarP0(end + 1) = Pna;
n = n + 1;
end
% 5. Variación del FS en función de la presión requerida expulsión Blow-Out
Pn = linspace(Pnc,ceil(Pnb/100)*100,100); % Vector que contiene presiones asumidas Pn
FSP = zeros(1,100); % Vector que contiene el FS f(Pn)
for i = 1:100
[FSi, Pni, Pi, Ti] = AsSolveSemiRig('A',Pn(i),mw,flip(pi/2 - w),flip(W),flip(RN),flip
(RT),flip(Fi),Pf);
FSP(i) = FSi;
end
figure, hold on, box on, grid on
rot1 = plot(Pn,FSP,'r','LineWidth',2);
xlabel('Empuje en el frente (kN)')
ylabel('Factor de Seguridad FS')
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legend(rot1,'Expulsión (Falla pasiva)','Location','NorthEast')
ylim([0 FS0])
% Presión efeciva (kPa) aplicada en el frente s'
sp = Pn/(pi/4*D^2); spb = Pnb/(pi/4*D^2); spc = Pnc/(pi/4*D^2);
support_pressure = [sp(1) sp(end)]
% 6. Gráfico de Empujes para un método determinado
figure
% Método A
locA = find(sort([Pnb Pnc]) == Pnc);
ax1 = subplot(1,2,locA);
hold on, box on
title(['Cuando FS \rightarrow \infty, P_0 = ' num2str(Pnc,'%5.0f') ' kN (N_{\gamma} = '
num2str(spc/(gammap*D),'%5.2f') ')'])
xlabel('Pared {\it i}')
ylabel('Empuje E_{i} (kN)')
bar(0:mw,[flip(Pc) Pf],'c','BarWidth',1)
xlim([-0.5 mw+0.5])
% Método B
locB = find(sort([Pnb Pnc]) == Pnb);
ax2 = subplot(1,2,locB);
hold on, box on
title(['Método B: Dado FS = ' num2str(FSb,'%5.1f') ', P_0 = ' num2str(Pnb,'%5.0f') ' kN
(N_{\gamma} = ' num2str(spb/(gammap*D),'%5.2f') ')'])
xlabel('Pared {\it i}')
ylabel('Empuje E_{i} (kN)')
bar(0:mw,[flip(Pb) Pf],'m','BarWidth',1)
xlim([-0.5 mw+0.5])
% Nota:
% La razón de graficar los empujes entre tajadas en orden ascendente es que
% para el algoritmo AsSolveSemiRig estas se numeran en orden descendente,
% motivo por el cual cuando se incluye el ángulo w se introduce su
% complemento (pi/2 - w) y se alterna su numeración (flip).
linkaxes([ax2,ax1],'y');
% 7. Gráfico de FS vs Presión efectiva de soporte (kPa)
figure, hold on, box on, grid on
plot(Pn./(pi/4*D^2),FSP,'r','LineWidth',2)
xlabel('Presión de soporte efectiva {\it s''} (kPa)')
ylabel('Factor de Seguridad FS')
title(titulo2)
xlim([-inf inf]); ylim([0 10*FS0])
Ngm = [Pnc Pnb]/(pi/4*D^2)/(gammap*D)
figure, hold on, box on, grid on
plot(sp/(gammap*D),FSP,'Color',[0.6 0.2 0],'LineWidth',2)
4/06/17 04:46 PM C:\Use...\PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m 9 of 9
title(titulo2)
xlabel('Presión de soporte normalizada N_{\gamma}')
ylabel('Factor de Seguridad FS')
ylim([0 FS0])%xlim([0 inf]); ylim([0 FS0]);%ylim([0 10*FS0])
toc
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