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Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla del frente en

túneles poco profundos en suelo

Orlando Andrés Melo Duque

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola

Bogotá D.C., Colombia

2017

Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla del frente en

túneles poco profundos en suelo

Orlando Andrés Melo Duque

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ingeniería – Geotecnia

Director:

Ingeniero Civil Félix Hernández Rodríguez, Magister Scientiæ en Geotecnia.

Línea de Investigación:

Modelación y análisis en geotecnia

Área de Investigación:

Excavaciones subterráneas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola

Bogotá D.C., Colombia

2017

A mis padres y a mi esposa, quienes con su

comprensión y apoyo hicieron más humano,

más posible el proyecto ya de por sí

laborioso, absorbente aunque gratificante que

ha sido la maestría. Los amo.

Agradecimientos

El desarrollo del presente trabajo fue posible gracias a las valiosas contribuciones,

continua asesoría y permanente ánimo brindado por el profesor Félix Hernández

Rodríguez, Ingeniero Civil, M.Sc. en Geotecnia y docente en el Departamento de

Ingeniería Civil y Agrícola de la Universidad Nacional de Colombia.

También por su permanente colaboración se expresan agradecimientos a Claudia

Esperanza Naranjo Henao, Ingeniera Civil, MIG, quien cuidadosamente generó en

formato de dibujo vectorial ciertas gráficas del documento.

Resumen IX

Resumen

Durante la excavación de túneles con máquinas tuneladoras, bien sean de slurry SS o de

presión de tierras balanceada EPB, resulta de la mayor importancia estimar la presión a

ejercer en el frente para asegurar la estabilidad de la excavación y controlar los

asentamientos del terreno. En la literatura se reportan en su mayoría propuestas de

estabilidad global del frente en dos dimensiones e incluso tridimensionales que

presentan serias restricciones cinemáticas, es decir, que no cumplen con la continuidad

de la superficie de falla. En el presente trabajo se aborda el refinamiento del mecanismo

de falla en el frente de un túnel poco profundo de sección circular excavado en suelo, a

partir de la geometría descrita por el torus, el cual sigue el desarrollo de una espiral

logarítmica en el espacio. Producto de implementar un método particular del equilibrio

límite en el mecanismo cinemáticamente factible que se propone, es posible mejorar del

lado de la seguridad la exactitud en el cálculo de la presión de soporte comparado con

los métodos teóricos disponibles, tanto para falla activa como pasiva del frente del túnel.

La calibración de los resultados obtenidos frente a la información disponible de ensayos

de centrífuga, permitió además de verificar las hipótesis sobre el estado de esfuerzos en

el instante de falla, establecer con base en el factor de seguridad el rango de operación

de la presión en la TBM que minimiza los movimientos del terreno durante la excavación.

Palabras clave: Túnel poco profundo, TBM, estabilidad del frente, factor de

seguridad, excavación subterránea, espiral logarítmica.

X Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla

del frente en túneles poco profundos en suelo

Abstract

During soil tunnel excavation with a TBM, either Slurry-Shield or Earth Pressure Balance

type, it is of utmost importance assess the pressure to be exerted on the face to ensure

both the stability of the excavation and control surface settlements. In literature there are

reported mostly 2D or even 3D global stability proposals that do not accomplish kinematic

constraints, that is, from the point of view of a continuous failure surface. The present

work aims to improve the face failure mechanism of a shallow tunnel of circular cross-

section excavated in soil, by means of the torus geometry, which resembles a log-spiral

curve in the space. In an attempt to improve from the safe side the accuracy of support

pressure calculations compared to available theories, a particular method of limiting

equilibrium was implemented on the aforementioned kinematic admissible mechanism for

both active and passive failure. Based on centrifuge test data, it was possible to validate

hypothesis about stress state at failure and also to establish TBM operational support

pressure range which minimizes ground movements, by using the safety factor concept.

Keywords: shallow tunnel, TBM, face failure, safety factor, underground

excavation, log-spiral.

Contenido XI

Contenido

Pág.

Resumen ......................................................................................................................... IX

Lista de figuras ............................................................................................................. XIII

Lista de tablas ............................................................................................................ XVII

Lista de Símbolos y abreviaturas ............................................................................. XVIII

Introducción .................................................................................................................... 1

1. Estabilidad del frente de túneles ............................................................................. 5 1.1 Micro-estabilidad .............................................................................................. 7 1.2 Métodos de estabilidad local .......................................................................... 10

1.2.1 Atkinson y Potts (1977) ....................................................................... 11 1.2.2 Davis y otros (1980) ............................................................................ 12 1.2.3 Krause (1987) ..................................................................................... 13 1.2.4 Subrin y Wong (2002) ......................................................................... 14 1.2.5 Caquot-Kerisel (1956) integrado por Carranza-Torres (2004) ............. 15 1.2.6 Mollon y otros (2011)........................................................................... 17

1.3 Métodos de estabilidad global ........................................................................ 18 1.3.1 Horn (1961) ......................................................................................... 18 1.3.2 Murayama (1966) ................................................................................ 19 1.3.3 Broms y Bennermark (1967) ............................................................... 20 1.3.4 Mohkam (1984, 1985, 1989) ............................................................... 21 1.3.5 Leca y Dormieux (1990) ...................................................................... 22 1.3.6 Soubra (2000 y 2002).......................................................................... 23 1.3.7 Jancsecz y Steiner (1994) ................................................................... 24 1.3.8 Anagnostou y Kovári (1996): Solución escudo EPB ............................ 25 1.3.9 Anagnostou y Kovári (1994): Solución escudo SS .............................. 26 1.3.10 Broere (2001) ...................................................................................... 27

1.4 Pérdida del medio de soporte: falla pasiva..................................................... 30 1.5 Evidencia experimental .................................................................................. 33

2. Método de análisis propuesto ............................................................................... 41 2.1 Sólidos tridimensionales de falla: activo y pasivo ........................................... 42

2.1.1 Formulación del método de estabilidad del frente ............................... 43 2.1.2 Geometría de la superficie del sólido de falla ...................................... 46 2.1.3 Discretización del sólido de falla ......................................................... 51

2.2 Estado de esfuerzos ...................................................................................... 58 2.2.1 Procesos de carga y descarga ............................................................ 58

XII Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla


Título de la tesis o trabajo de investigación

2.2.2 Condición geostática y efecto de arco .................................................61 2.2.3 Relación de esfuerzos en la falla y criterio de fluencia .........................70

2.3 Efectos del agua y del fluido de excavación ...................................................77 2.3.1 Flujo tridimensional del agua subterránea hacia el frente ....................77 2.3.2 Flujo uni-direccional desde el frente hacia el terreno ...........................82

2.4 Balance del sistema de fuerzas ......................................................................89 2.4.1 Método del equilibrio límite en función del factor de seguridad ............90 2.4.2 Planteamiento y resolución del sistema de ecuaciones .......................92

3. Implementación y validación del modelo ..............................................................95 3.1 Programación computacional del método .......................................................95

3.1.1 Algoritmos de cálculo ...........................................................................95 3.1.2 Rutinas en MatLab® ............................................................................98

3.2 Calibración con resultados de modelación física ............................................98 3.2.1 Centrífuga en arenas ...........................................................................98 3.2.2 Centrífuga en arcillas ......................................................................... 105

3.3 Verificación por otros métodos teóricos ........................................................ 110 3.4 Aplicación práctica: rango seguro de trabajo ................................................ 115

4. Conclusiones y recomendaciones ...................................................................... 123 4.1 Conclusiones ................................................................................................ 123 4.2 Recomendaciones ........................................................................................ 125

Bibliografía ................................................................................................................... 127

A. Anexo: Rutinas cómputo MatLab® ...................................................................... 133

Contenido XIII

Lista de figuras

Pág. Figura 1-1: Elementos de la presión de soporte en el frente. ............................................ 5

Figura 1-2: Definición de la presión de soporte según el tipo de tuneladora de doble

escudo: a) EPB; b) SS. ..................................................................................................... 6

Figura 1-3: Fuerzas involucradas en el modelo de micro-estabilidad local. ...................... 8

Figura 1-4: Estado de esfuerzos en el suelo alrededor de una cavidad superficial. ........ 11

Figura 1-5: Cavidades subterráneas parcialmente soportadas: (a) cilíndrica; (b) esférica.

....................................................................................................................................... 12

Figura 1-6: Número de estabilidad para túnel en arcilla completamente revestido (P = 0).

....................................................................................................................................... 13

Figura 1-7: Mecanismos de falla en el frente asumidos por el método de Krause: a) semi-

circular, b) cuarto de círculo, c) esférico. ........................................................................ 13

Figura 1-8: Mecanismo de falla rotacional de Subrin y Wong: a) generación del

mecanismo; b) vista isométrica del mecanismo para φ = 20°. ........................................ 14

Figura 1-9: Esquemas del método de: (a) Caquot-Kerisel; (b) SRM Carranza-Torres .... 15

Figura 1-10: Cálculo del radio modificado para análisis tridimensional del túnel. ............ 17

Figura 1-11: Mecanismo de falla rotacional generado punto a punto por Mollon y otros : a)

sección longitudinal por eje del túnel; b) vista isométrica del mecanismo para φ = 30°. . 17

Figura 1-12: Modelo de estabilidad del frente de “silo-cuña” propuesto por Horn (1961). 18

Figura 1-13: Cuña bidimensional limitada por la curva espiral logarítmica según

Murayama (1966). .......................................................................................................... 19

Figura 1-14: Prueba de extrusión en laboratorio realizada por Broms y Bennermark. .... 20

Figura 1-15: Curvas que limitan el mecanismo de falla en el frente, según el método de

Mohkam: a) cilíndrico, b) espiral logarítmico. .................................................................. 21

Figura 1-16: Mecanismos de falla en el frente asumidos por el método de Leca y

Dormieux: colapso activo a) un bloque y b) dos bloques, pasivo c) un bloque................ 22

Figura 1-17: Generalización del mecanismo de falla de dos bloques de Leca y Dormieux:

a) con zona de cortante entre conos; b) serie de conos rígidos. ..................................... 23

Figura 1-18: Esquema del método de Jancsecz y Steiner. ............................................. 24

Figura 1-19: Esquema del método de Anagnostou y Kovári: a) Mecanismo silo-cuña

propuesto por Horn; b) fuerzas de filtración f y presión de soporte s’. ............................ 25

Figura 1-20: Efecto estabilizador de la suspensión: a) sin penetración; b) con penetración

dentro del terreno. .......................................................................................................... 26

Figura 1-21: Definición de símbolos en el modelo de cuña multicapa según Broere. ..... 28

Figura 1-22: Modelo de falla pasiva o blow-out incluyendo la fricción en las paredes. .... 31

Figura 1-23: Modelo de cuña de falla pasiva de Balthaus. .............................................. 32

XIV Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla



Figura 1-24: Otros mecanismos de blow-out por excesiva presión de soporte en el frente:

a) burbuja de aire; b) fracturamiento del terreno. ............................................................ 32

Figura 1-25: Bulbos de falla por colapso activo en ensayos de centrífuga en arenas, para

diferentes sobrecargas por confinamiento. ...................................................................... 34

Figura 1-26: Presión normalizada de soporte contra falla activa en arenas: (a) predicción

modelos teóricos; (b) ensayos de centrífuga. .................................................................. 35

Figura 1-27: Presión normalizada de soporte contra desplazamiento normalizado del

pistón en falla activa en arenas: a) esquemático; b) ensayos C/D = 1............................. 36

Figura 1-28: Variación de la presión normalizada de soporte contra desplazamiento para

un ensayo de colapso activo de arenas en centrífuga, con C/D = 1. ............................... 36

Figura 1-29: Forma de la superficie de falla activa en un túnel en: a) arenas; b) arcillas. 37

Figura 1-30: Forma tridimensional de la superficie de falla, observada en centrífuga...... 38

Figura 2-1: Modelo de torus representado a) en sistema cartesiano y de coordenadas

locales; b) molusco esbozado por líneas tangentes y perpendiculares (Jacobiano). ....... 42

Figura 2-2: Vistas del mecanismo propuesto de falla activa en el frente, con forma de

torus espiral logarítmico: a) Isométrica, b) lateral, c) superior. ........................................ 44

Figura 2-3: Vistas del mecanismo propuesto de falla pasiva en el frente, con forma de

torus espiral logarítmico: a) Isométrica, b) lateral, c) superior. ........................................ 45

Figura 2-4: Geometría sólido de falla con forma torus espiral logarítmico tridimensional 47

Figura 2-5: Parametrización de una superficie en: a) R2; b) R3. ...................................... 49

Figura 2-6: Malla poliédrica para discretización del volumen del sólido: .......................... 52

Figura 2-7: Numeración de los vértices y las caras del elemento de volumen hexaedro. 53

Figura 2-8: División de los poliedros en tetraedros por cara a) hexaedro; b) pentaedro. . 53

Figura 2-9: División básica del poliedro en a) pentaedro; b) tetraedro básico.................. 54

Figura 2-10: Centroide de un polígono formado por caras triangulares. .......................... 55

Figura 2-11: Sólido de falla activa discretizado y centroide elementos poliédricos. ......... 57

Figura 2-12: Sólido de falla pasiva discretizado y centroide elementos poliédricos. ........ 57

Figura 2-13: Trayectoria de esfuerzos p-q en procesos de carga y descarga. ................ 58

Figura 2-14: Modelo reológico de fuerzas involucradas en la falla. ................................. 59

Figura 2-15: Desarrollo de los esfuerzos in-situ en un depósito de suelo. ....................... 62

Figura 2-16: Sobrecarga y geometría de falla pasiva o por levantamiento del frente. ..... 62

Figura 2-17: Definición de fuerzas por efecto arco en tajada infinitesimal de suelo ......... 63

Figura 2-18: Silo prismático por efecto arco con fuerzas cortantes en todas sus caras. .. 65

Figura 2-19: Silo cilíndrico por efecto arco en condición de falla activa del frente. .......... 66

Figura 2-20: Distribución de esfuerzo vertical para diferentes propuesta efecto arco. ..... 68

Figura 2-21: Posibles distribuciones de esfuerzos actuantes en la superficie de falla: 1)

Condición geostática; 2) Efecto arco 3D; 3) Esfuerzo intermedio (interpolación lineal). .. 69

Figura 2-22: Cálculo de los esfuerzos en un plano a un ángulo χ del eje principal. ......... 72

Figura 2-23: Círculo de Möhr para falla drenada. ............................................................ 73

Figura 2-24: Coeficiente de presión de tierras Kk por efecto arco. ................................... 74

Figura 2-25: Coeficiente de presión de tierras en la falla Kfn en función de la inclinación

con la horizontal del plano de falla. ................................................................................. 75

Figura 2-26: Círculo de Möhr para falla no drenada. ....................................................... 75

Contenido XV

Figura 2-27: Cálculo numérico campo tridimensional de cabeza hidráulica flujo hacia el

frente: a) malla elementos finitos b) curvas de nivel obtenidas. ...................................... 78

Figura 2-28: Flujo de agua subterránea desde el terreno hacia el frente: a) rejilla radial

propuesta b) campo de cabeza hidráulica y gradientes. ................................................. 79

Figura 2-29: Casos de infiltración del slurry o fluido de excavación: a) Filter cake formado;

b) penetración sin colmatación; c) combinación de filtración y colmatación. ................... 83

Figura 2-30: Presiones de poros por flujo hacia el frente medidas en proyecto de túnel

Second Heinenoord (cálculos en línea punteada), Países Bajos. ................................... 84

Figura 2-31: Caída de presión de poros a lo largo de la costra de perforación filter cake a)

acuífero libre; b) acuífero semi-confinado por acuitardo. ................................................ 84

Figura 2-32: Curvas de ensayo de infiltración de slurry, para distintas concentraciones

(g/L) de bentonita en la suspensión. ............................................................................... 86

Figura 2-33: Hipótesis de flujo unidireccional hacia el frente de excavación. .................. 89

Figura 2-34: Tajadas del sólido de falla a) Numeración; b) Fuerzas actuantes ............... 92

Figura 3-1: Diagrama de flujo del algoritmo para hallar la presión de soporte en el frente.

....................................................................................................................................... 97

Figura 3-2: Calibración del estado de esfuerzos en la falla: 1) Condición geostática; 2)

Efecto de arco 3D; 3) Esfuerzo intermedio (interpolación lineal). .................................... 99

Figura 3-3: Geometría y presión de soporte vs factor de seguridad: Falla activa arena. 101

Figura 3-4: Variación de los empujes por tajada para distintos factores de seguridad:

Falla activa en arena. ....................................................................................................101

Figura 3-5: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad: Falla pasiva en

arena (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3. ................................................................................103


Falla pasiva en arena (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3. ........................................................103

Figura 3-7: Comparación geométrica mecanismo de falla activa en arena. ...................104

Figura 3-8: Vectores de desplazamiento y presión de soporte normalizada: mediciones

hechas durante falla pasiva en arena: (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3. ...............................105

Figura 3-9: Geometría y presión de soporte vs factor de seguridad: Falla activa arcilla. 107


Falla activa en arcilla. ....................................................................................................107


arcilla (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2. ................................................................................108


Falla pasiva en arcilla (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2. .......................................................108

Figura 3-13: Geometría mecanismo de falla activa para ensayo de centrífuga en arcilla.

......................................................................................................................................109


hechas durante falla pasiva en arcilla: (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2. ..............................110

Figura 3-15: Comparación resultados centrífuga con predicción modelos teóricos. .......111

Figura 3-16: Condiciones de flujo unidireccional para el túnel de referencia aplicando el

modelo del filter cake: falla activa en arena C/D = 1.5. ..................................................112

Figura 3-17: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad para el túnel de

referencia aplicando el modelo del filter cake: falla activa en arena C/D = 1.5. ..............113

XVI Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla



Figura 3-18: Variación de empujes por tajada modelo filter cake: a) FS = 2; b) FS → ∞.

..................................................................................................................................... 113

Figura 3-19: Rango de trabajo de las presiones de soporte totales para la tuneladora:

Caso de túnel en suelo arcilloso modelo de la membrana ideal. ................................... 119

Figura 3-20: Rango de trabajo de la presurización de la TBM en la cámara de

excavación: Caso de túnel en suelo arenoso modelo del filter cake. ............................. 120

Contenido XVII

Lista de tablas

Pág. Tabla 2-1: Balance de ecuaciones e incógnitas que satisfacen el equilibrio del sistema. 94

Tabla 3-1: Algunos ensayos de estabilidad del frente con arenas en centrífuga. ...........100

Tabla 3-2: Algunos ensayos de estabilidad del frente con arcillas en centrífuga. ...........106

Tabla 3-3: Parámetros y geometría del túnel de referencia aplicando modelo filter cake.

......................................................................................................................................112

Tabla 3-4: Presión de soporte mínima en el frente, según distintos métodos para el túnel

de referencia aplicando el modelo del filter cake. ..........................................................114

Tabla 3-5: Ejemplos del rango de presión de operación del equipo de excavación,

aplicando el concepto alemán del factor de seguridad. .................................................118

Contenido XVIII

Lista de Símbolos y abreviaturas

Símbolos Símbolo Término Unidad

Ɐ Volúmenes elementos de volumen m³

a Constante de ajuste modelo flujo tridimensional de Perazzelli y otros

-

a3D Ancho de relajación tridimensional m

aF Tiempo del slurry para alcanzar la mitad de la penetración máxima

seg

Ɐfc Volumen del sólido de falla penetrado por la costra o filter cake m³

b Constante de ajuste modelo flujo tridimensional de Perazzelli y otros

-

C Espesor del material en la cobertura del túnel m

c Intercepto de cohesión kPa

č Conductividad hidráulica del acuitardo de espesor dat,permeabilidad kat

seg

C' Fuerza de cohesión disponible en la superficie dA kN

c'e Intercepto de cohesión movilizado por corte kPa

cu Resistencia al corte no drenada kPa

D Diámetro del túnel (cabeza corte TBM) m

d10 Tamaño característico de partículas de suelo mm

dA Elemento diferencial de superficie m²

dⱯfc Elemento diferencial de volumen m³

E Fuerza de empuje efectivo ejercido por el terreno, por estabilidad global

kN

E0 Empuje en la pared horizontal de la primera tajada (sobrecarga) kN

Ei Fuerza interna de empuje en la pared i-ésima kN

emax Máxima penetración para el exceso de presurización Δp m

En Empuje en la pared vertical de la última tajada (fuerza en el frente)

kN

ƒ* Función de forma que relaciona geometría del silo -

F0, F1, F2,

F3 Factores adimensionales derivados de nomogramas -

FS Factor de Seguridad -

Contenido XIX

Símbolo Término Unidad

fs0 Gradiente de infiltración -

H Espesor del acuífero m

h0 Cabeza hidráulica total en el terreno antes de la excavación mca

hF Cabeza hidráulica total en el frente de excavación mca

hP Cabeza hidráulica de presión mca

hT Cabeza hidráulica total sobre el túnel y en el frente mca

hz Cabeza hidráulica de posición mca

iav Gradiente hidráulico promedio actuante en el silo del suelo -

J Fuerzas de filtración kN

K Rigidez de un resorte de compresión kN/m

K0 Coeficiente de presión de tierras en reposo -

KA3 Coeficiente de presión de tierras tridimensional -

Kfn Coeficiente de esfuerzos efecivos en plano normal en la falla -

KK Coeficiente de presión de tierras por efecto de arco -

Kp Coeficiente de presión pasiva de tierras -

kv Permeabilidad vertical del acuífero m/seg

Ky Coeficiente de presión de tierras en la falla -

n Vector unitario normal a la superficie de falla -

N Fuerzas de superficie normal actuante en el contorno del sólido de falla

kN

N Número de estabilidad -

N' Fuerza normal efectiva en la superficie dA kN

OCR Relación de sobreconsolidación -

p Esfuerzo normal equivalente kPa

P Fuerza mínima a aplicar para estabilizar el frente kN

p0 Presión de poros in situ dentro del terreno antes de excavar kPa

pb Presurización del slurry en la cámara de excavación de la TBM kPa

Pi Promedio de los vértices en la cara i-ésima del sólido m

q Esfuerzo cortante desviador kPa

Q Fuerza aplicada en el frente del túnel kN

q0 Sobrecarga superficie uniformemente distribuida kPa

qs Sobrecarga total kPa

R Coordenada radial sólido de falla m

r Radio de un silo cilíndrico m

R Ancho de relajación del silo de suelo en la cobertura m

r'υ Vector tangente a la superficie de falla -

r'ω Vector tangente a la superficie de falla -

XX Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla




S Fuerzas de superficie cortante actuante en el contorno del sólido de falla

kN

S' Fuerza de soporte efectiva kPa

s' Presión de soporte efectiva kPa

smin Presión de soporte en el frente kPa

t Vector unitario tangente a la superficie de falla en dirección opuesta al movimiento del sólido

-

T Fuerza cortante actuante en las paredes internas entre tajadas del sólido

kN

t* Altura del silo de suelo que actúa como sobrecarga en la cuña de falla

-

tF Tiempo promedio de infiltración del slurry en el frente seg

Ti Fuerza interna de corte en la pared i-ésima kN

tr Tiempo de rotación completa de la rueda de corte de la TBM seg

u Exceso de presión de poros kPa

V Volúmen de sólido de falla m³

vcr Velocidad crítica de avance m/hr

W Peso del sólido de falla kN

W Fuerza hidrostática en el eje del túnel kN

x Coordenada en dirección avance del tunel m

y Coordenada en dirección horizontal desde clave m

z Coordenada profundidad desde la clave del túnel m

z* Espesor del silo de suelo donde se presenta efecto arco m

α Semi-eje mayor de la elipse (en dirección y) m

αF Factor de forma del fluido de excavación. Obtenido experimentalmente

-

β Semi-eje menor de la elipse (en dirección x) m

γ' Peso unitario efectivo del suelo kPa

γF Peso unitario del fluido de excavación (suspensión bentonítica o slurry)

kN/m³

γT Peso unitario total del suelo en la cobertura del túnel kN/m³

ΔEj Variación a lo largo de la tajada j del empuje E kN

Δh Caída de cabeza hidráulica mca

Δp Exceso de presión de poros en el punto (x,z) pasado el tiempo t

Δpfc Caída de presión en el filter cake a lo largo de Δx, a la

profundidad z kPa

Δps Caída de presión a lo largo de la costra o filter cake kPa

ΔTj Variación a lo largo de la tajada j de la fuerza tangencial T kN

η Factor de seguridad inderecto global según concepto alemán -

ηE Factor de seguridad parcial para el empuje efectivo del terreno -

Contenido XXI


ηw Factor de seguridad parcial para el empuje hidrostático del agua -

θ Ángulo de inclinación con al horizontal de la cuña triangular de falla

rad.

λ Factor de infiltración del acuífero -

σ'1 Esfuerzo principal mayor kPa

σ'3 Esfuerzo principal menor kPa

σ'n Esfuerzo normal kPa

σ'v Esfuerzo vertical efectivo kPa

σ'x Esfuerzos horizontales efectivos kPa

σ'z Esfuerzos verticales efectivos kPa

τ Esfuerzo cortante kPa

τF Medida de la viscosidad [F/L2] del fluido de excavación kPa

υ Coordenada local upsilon - sólido de falla rad.

ϕ Ángulo de fricción interna del suelo rad.

ϕ'e Ángulo de fricción interna movilizado por corte rad.

ω Coordenada local omega - sólido de falla rad.

Abreviaturas Abreviatura Término

TBM Máquina tuneladora de escudo (Tunnel Boring Machine)

SS Escudo de slurry (Slurry-Shield)

EPB Escudo de presión de tierras balanceada (Earth-Pressure Balance Shield)

MEL Método del equilibrio limite MEF Método de los elementos finitos A-K Método de estabilidad de Anagnostou-Kovári

Introducción

La ejecución de infraestructura vial y de servicios públicos en las zonas urbanas,

demanda cada vez más la construcción de túneles cerca a la superficie; que estarán

sometidos a las cargas de fundación de las facilidades existentes. Debido a limitaciones

de espacio, economía en tiempo, menores impactos (tráfico, deformaciones en

superficie), la tendencia mundial es la de ejecutar los túneles por medio de excavación

mecanizada en zonas urbanas con perfiles de suelo de baja resistencia.

En cuanto a diseño de túneles excavados en suelo se refiere, el estado actual de la

práctica está basado generalmente en esquematizar en forma simplificada la realidad del

proceso constructivo, con fallas locales que se presentan durante la construcción y que,

eventualmente, se abordan confiando en gran medida en la experiencia de los

contratistas y consultores implicados en el proyecto. No es de sorprender que bajo tal

estado de la práctica se produzcan de forma regular colapsos en todo el mundo [36].

Desafortunadamente, la mayoría de estos colapsos de frente abierto en túneles en

suelos y rocas blandas suelen ocultarse [37]. Entre los más recientes de estos frecuentes

colapsos de túneles figuran los de los Metros de: Atenas, Estambul, Shangai, Madrid,

Barcelona, Lausana, Londres-Heathrow, París y Graz, tal como se recopila en las

referencias [23] [36] [37].

Por estas razones, durante la excavación en suelo con tuneladoras TBM (Tunnel Boring

Machine), bien sea de slurry SS (Slurry-Shield) o de balance de presión de tierras EPB

(Earth Pressure Balance), resulta de la mayor relevancia estimar con exactitud la presión

que se debe ejercer en el frente para garantizar la estabilidad de la excavación y

controlar las deformaciones en superficie. En la literatura se consignan en su mayoría

modelos bidimensionales que no consideran la naturaleza espacial del problema o, en su

defecto, se plantean propuestas de mecanismos de falla tridimensionales con

limitaciones cinemáticas, es decir, desde el punto de vista de la continuidad de la

superficie de falla. La condición de falla en el frente cuando el túnel se ejecuta con

2 Introducción

excavación mecanizada TBM se puede alcanzar de dos formas: colapso gravitacional por

presión insuficiente en el frente o expulsión (blow-out) de la cuña si la presión ejercida

por el escudo de la máquina es muy alta.

En el presente trabajo se expone el refinamiento de este mecanismo de falla del frente de

una excavación en suelo a poca profundidad con tuneladora de sección circular,

buscando superar las limitaciones en cuanto a la geometría discontinua del mecanismo

de falla silo-cuña propuesto por Horn e implementado por Jancsecz [30] para estudiar el

colapso global del frente. Se pretende mejorar de esta manera la estimación de la

presión ejercida por la máquina TBM durante la construcción del túnel, con su

correspondiente margen de seguridad tanto por colapso de la excavación como por

expulsión de la cuña en el frente. Al introducir el factor de seguridad básico directamente

aplicado a las fuerzas resistentes en la superficie de falla, es posible establecer

relaciones interesantes entre los desplazamientos medidos en ensayos de centrífuga y la

resistencia al corte movilizada, las cuales permiten a su vez definir el rango más seguro

de trabajo de la máquina tuneladora.

El modelo de cuña en el espacio propuesto se basa en una superficie de falla en el

espacio que sigue el desarrollo de la espiral logarítmica [45] [54]. Adoptando como

método de análisis la técnica del equilibrio límite por tajadas [29], se propone una

geometría para la cuña de falla en el frente del túnel que busca reproducir las evidencias

de ensayos en centrífuga y observaciones de fallas reales en campo. Se asume que el

material en que se desarrolla el sólido de falla propuesto, sigue el criterio lineal de

fluencia de Möhr-Coulomb [19] [48] [53] y que es válido el principio de los esfuerzos

efectivos [49].

Debido a la naturaleza dinámica del problema, es necesario hacer consideraciones

especiales sobre el estado de esfuerzos en el instante de la falla. Para tal fin, se plantea

un modelo reológico cuyo comportamiento representa en forma simplificada la evolución

de las fuerzas actuantes sobre el sistema que constituye la cuña del frente del túnel, y

que permite a su vez plantear tres hipótesis sobre el estado de esfuerzos en la falla

activa: condición geostática o in-situ, alivio de esfuerzos por efecto de arco y un estado

de esfuerzos intermedio entre las primeras dos condiciones. Estas hipótesis se prueban y

validan frente a los resultados de ensayos de centrífuga para colapso activo. Buscando

Introducción 3

tener en cuenta el efecto arco en la cobertura del túnel, se adaptó la propuesta

bidimensional original de Terzaghi de acuerdo con los trabajos desarrollados para un silo

multicapa en el espacio [53]. Para estudiar la sobrecarga en el caso de la falla pasiva o

por levantamiento, se consideran en la cobertura y frente del túnel el estado de esfuerzos

en reposo [28], hipótesis verificada igualmente con los resultados de modelación física.

Con el fin de complementar los análisis desarrollados, se proponen dos condiciones de

flujo en el terreno que permiten incorporar en el mecanismo planteado el efecto del agua

y las fuerzas de infiltración, a partir de las propuestas ya existentes en la literatura para

tales efectos. El caso de las fuerzas de infiltración que surgen en el frente cuando la

construcción del túnel se realiza sin presurizar la cara de la excavación, es decir con flujo

tridimensional hacia el frente, se abordará de acuerdo con la propuesta de Perazzelli y

otros [43]. Por su parte, los excesos de presión de poros que se originan producto de la

infiltración del lodo de perforación en el frente, cuando la excavación se lleva a cabo por

medio de una tuneladora con escudo bien sea de slurry SS o de presión de tierras

balanceada EPB, se estimarán suponiendo el modelo de filter-cake y ciclo de excavación

planteado por Broere y Van Tol [15] [14].

El modelo propuesto estará limitado a frentes de excavación en suelo homogéneo,

isotrópico, con bajas coberturas del túnel, es decir, a poca profundidad. En el capítulo 1

se hace una breve revisión de los métodos teóricos más usados para estudiar la falla del

frente de excavación del túnel, tanto en condición activa como pasiva. El capítulo 2 por

su parte, describe en detalle la metodología desarrollada en esta investigación y la

incorporación en el mecanismo propuesto de todos los elementos que hacen parte de la

estabilidad del frente. Seguidamente, en el capítulo 3 se presentan los resultados que

arrojan los algoritmos implementados y se detalla también la calibración del método

propuesto frente a la información disponible en ensayos de centrífuga. Al final, se discute

el concepto alemán del factor de seguridad contra el margen de seguridad que plantea el

método desarrollado y además, se propone el rango de operación segura de la máquina

tuneladora, con base en los resultados obtenidos.

El desarrollo y conclusiones de este trabajo están orientados a entidades, académicos e

ingenieros involucrados en la planeación, diseño, supervisión y construcción de obras

subterráneas, en especial aquellas ejecutadas por excavación con máquinas tuneladoras

de doble escudo.

1. Estabilidad del frente de túneles

Por definición, el proceso de construcción del túnel implica la remoción del material en la

cara de la excavación. Las capas de suelo en el frente y sobre el mismo, es decir en la

cobertura, ejercen presión sobre el medio de soporte del túnel. En algunas ocasiones,

existe sobrecarga en el terreno por la presencia de edificaciones o infraestructura en la

superficie. Adicionalmente, si el eje del túnel se encuentra por debajo del nivel freático, la

presión que ejerce el agua y fluido de excavación en flujo desde o hacia el frente del

túnel contribuirá a desestabilizar el material térreo. Todos estos elementos que

contribuyen a afectar la estabilidad del frente del túnel, se consideran en la Figura 1-1.

Figura 1-1: Elementos de la presión de soporte en el frente.

Fuente: Adaptado de: http://www.facesupport.org/wiki

Para efectos de estabilidad, las capas del suelo en la cara de la excavación deben tener

suficiente resistencia al corte como para equilibrar las fuerzas actuantes de la Figura 1-1.

En muchos proyectos, los túneles se excavan en condiciones de suelos sueltos, blandos

o en roca altamente meteorizada, y puede ser necesario ejercer presión de soporte en el

frente de la excavación, con el objeto de evitar colapsos del terreno o asentamientos

http://www.facesupport.org/wiki

6 Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla



excesivos. También en condiciones geotécnicas favorables a la estabilidad, puede llegar

a necesitarse la presurización de la cámara de excavación con el fin de evitar la entrada

de agua subterránea.

En el caso de la excavación realizada con tuneladoras de doble escudo, que son

aquellas que aíslan y presurizan la cámara de excavación, se usa el fluido mismo de

excavación para proporcionar la presión de soporte requerida en el frente del túnel. Si el

fluido de excavación empleado es un lodo presurizado por lo general líquido, la máquina

tuneladora se denomina TBM de escudo de slurry (Slurry Shield SS). Si por otra parte el

soporte lo brinda una pasta presurizada compuesta por la mezcla altamente viscosa de

los aditivos inyectados al frente (espumas o polímeros) y el mismo material residuo de la

excavación, el equipo se denomina de presión de tierras balanceada (Earth Pressure

Balance Shield EPBS). La selección del medio de soporte depende de varios factores,

entre ellos las propiedades del suelo y el tipo de TBM usada. La forma de aplicar la

presión de soporte para uno u otro equipo se ilustra esquemáticamente en la Figura 1-2.

esfuerzo efectivo s’ y presión de poros p en el terreno excavado

presión de poros hidrostática p del slurry o fluido de excavación

Figura 1-2: Definición de la presión de soporte según el tipo de tuneladora de doble

escudo: a) EPB; b) SS.

Fuente: Adaptado de Anagnostou y Kovári, referencia [4].

Puede haber lugar a efectos adversos producto de aplicar una presión de soporte

excesiva, como lo son el levantamiento del suelo en la superficie y la distorsión del

terreno. Por su parte, una insuficiente presión de soporte dará lugar a asentamientos del

terreno o eventualmente el colapso del frente de la excavación. Para estimar la presión

Capítulo 1. Estabilidad del frente 7

mínima de soporte en el caso de falla activa en que el suelo se desplaza hacia la

excavación, o la presión máxima de soporte para falla pasiva donde el suelo se desplaza

en la dirección de avance del túnel hacia el terreno, se plantean en la literatura un

sinnúmero de métodos de estabilidad con fundamentos analíticos, empíricos y

numéricos.

Estos modelos para estudiar la estabilidad del frente se pueden dividir en tres categorías

con base en el tipo de mecanismo de falla que estos buscan reflejar [14]. Aquellos

modelos que describen el comportamiento de un grupo de partículas o incuso una sola

partícula en la cara de la excavación, los cuales se denominan de estabilidad interna o

micro-estabilidad. Por otro lado, se encuentran los modelos que representan el

deslizamiento de una masa hacia el frente, pero que cuyo movimiento no tiene mayor

influencia en la superficie del terreno debido a que la excavación colapsa parcialmente.

Estos métodos son aptos para el estudio de falla del frente en túneles a gran profundidad

(C/D > 5) y se suelen agrupar en la categoría de estabilidad local. Una tercera familia de

métodos la conforman los métodos de estabilidad global, en que colapsa completamente

la cara de la excavación y además se extiende hasta la superficie el mecanismo de falla.

Puesto que la problemática en estudio de túneles excavados en suelos a poca

profundidad se enmarca dentro de esta clase de métodos, el marco teórico con el que se

validará y contrastará el mecanismo de falla propuesto será el de los métodos de

estabilidad global. Sin embargo, se considera de importancia en las siguientes secciones

hacer un tratamiento de todos los mecanismos de falla del frente que se pueden

presentar durante la excavación del túnel así como de las propuestas teóricas más

usadas en la práctica ingenieril. Esto debido a que los problemas de estabilidad a nivel

de partículas o micro-estabilidad y a nivel local, pueden derivar en problemas posteriores

de estabilidad global. Al final, se introduce un marco de evidencias experimentales que

permitirá validar y calibrar el modelo propuesto en este documento.

1.1 Micro-estabilidad

Se denomina como micro-estabilidad a la estabilidad de una sola partícula de suelo o un

pequeño grupo de granos en la cara de la excavación [14]. Por lo general, este es un

problema principalmente asociado a suelos sin o con una muy baja cohesión, excavados

por medio de una tuneladora de escudo de slurry o con aire comprimido. Bajo estas




condiciones, los granos se desprenderán de la matriz del suelo y caerán producto de la

fuerza de la gravedad. Al continuar este proceso por más partículas de suelo, es posible

que se presente erosión de la cara de la excavación y que se presente el incipiente inicio

de una falla local o global del frente de excavación. Para prevenir este tipo de colapso, se

requiere de una mínima diferencia de presión a lo largo de los granos del esqueleto

mineral del suelo. Esta presión no tiene relación directa con la presión de soporte que se

aplica al frente de excavación, sino con el gradiente de presión dentro del suelo. Se

demuestra a continuación como tal gradiente de presión implica un requerimiento mínimo

de resistencia al corte del slurry empleado durante la excavación.

En la Figura 1-3 se ilustran las fuerzas involucradas en el modelo de micro-estabilidad de

una pared de excavación. De acuerdo con Müller-Kirchenbauer [14], un elemento

infinitesimal de suelo en el frente de excavación del túnel está sometido a la acción de la

gravedad, las fuerzas de soporte, sF = i0.γF, y al suelo que le rodea. Para determinada

pendiente α de la cara de excavación, la falla ocurre cuando se cumple la ecuación (1.1).

)sin(sin'

0

Fi ……………………………………………..…………....... (1.1)

Donde, i0 es el gradiente de “estancamiento”, según la ecuación (1.2).

γF es el peso unitario de la suspensión o slurry.

γ’ es el peso unitario efectivo del suelo.

Figura 1-3: Fuerzas involucradas en el modelo de micro-estabilidad local.

Fuente: Tomado de Broere [14], adaptado a su vez de Müller-Kirchenbauer (1977).


El gradiente de estancamiento i0 estará dado entonces por la ecuación (1.2).

Fp

F

ri

20 ……………………………………………………………………....... (1.2)

Donde, τF es la resistencia a la cizalla o corte de la suspensión.

rp es el el radio equivalente de poros en las capilaridades del suelo.

En la mayoría de los casos, la cara de la excavación es vertical (α = π/2) , lo cual exige

un requisito mínimo de la resistencia a la cizalla del medio de soporte de la excavación.

tan2

'p

F

r …………………………………………………………………....... (1.3)

Varios investigadores han propuesto sus propios estimativos del radio equivalente de

poros rp, que conducen a estimativos ligeramente diferentes de τF. Una de estas

relaciones es la propuesta de Kilchert [14], por la cual se obtienen las expresiones (1.4).

)1(2 10 ndrp ……….……...……………………………………………....

(1.4)

(a)

tan

')1(10 ndF

…………………………………………………….….......

(b)

Donde, n es la porosidad del suelo.

d10 es diámetro efectivo o tamiz por el que pasa 10% de partículas de suelo.

Además de tener una influencia directa en la estabilidad de una sola partícula de suelo, la

viscosidad del fluido de soporte tiene mayor incidencia en la distancia de penetración

dentro del suelo. Este efecto, a su vez, tiene mayores implicaciones en la estabilidad

global, como se tratará en la sección 2.3.2.

En suelos de naturaleza cohesiva, en cambio, la estabilidad de partículas individuales de

suelo o análisis de micro-estabilidad será un aspecto secundario en el problema

estudiado. Eventualmente podrían presentarse problemas en el momento que se genere




el gradiente hidráulico por flujo hacia la excavación, de acuerdo con la sección 2.3.1.

Esta condición se alcanza para excavaciones con escudo EPB presurizado por debajo de

la presión hidrostática del agua en el terreno. Sin embargo, la aproximación de Müller-

Kirchenbauer para el análisis de estabilidad de un talud infinito en arenas no se puede

extender directamente para material de naturaleza cohesiva-friccionante [14]. Por lo

tanto, otra posible alternativa es la de investigar la estabilidad de un corte vertical sin

soportar, en un material puramente cohesivo con resistencia al corte no drenada cu y

sometido a fuerzas de arrastre j. La solución de límite superior asumiendo un plano de

falla y sin fuerzas de arrastre, conduce al cálculo por medio de la ecuación (1.5) de la

altura máxima hc justo antes del colapso.

u

c

ch

4 ………………………………………….……………………………....... (1.5)

Si además existe flujo sub-superficial el cual produce las fuerzas de arrastre horizontales

j = i γw, la máxima altura del corte vertical se estima con base en la ecuación (1.6).

1

14

2

ff

ch u

c

…..……………………….……………………………....... (1.6)

Donde, '

wif o inversamente, se puede despejar y hallar el gradiente crítico ic.

1.2 Métodos de estabilidad local

Los métodos de estabilidad local del frente son aquellos que, involucrando el colapso en

masa de la excavación realizada, no tienen un desarrollo hasta la superficie del terreno o

solo movilizan una pequeña porción del terreno en la cobertura del túnel, dejando una

cavidad dentro del medio objeto de excavación. Estas propuestas ampliamente

conocidas, la mayoría analíticas, son aproximaciones adecuadas para túneles muy

profundos en que cualquier falla en la excavación no tiene mayor influencia en la

superficie del terreno, siendo en ocasiones poco conservadora su aplicación en túneles

poco profundos en suelo donde es alto el riesgo de afectar la superficie por problemas en


la excavación. Enseguida se describen brevemente algunos de los métodos disponibles

en la literatura que se pueden catalogar como de estabilidad local.

1.2.1 Atkinson y Potts (1977)

A través del análisis límite de la plasticidad, es posible hallar la presión mínima smin para

soportar una cavidad en material seco friccionante de radio R, considerando dos

condiciones: 1) γ = 0 y qs > 0; 2) γ > 0 y qs = 0, en que γ es el peso unitario del suelo y qs

es la sobrecarga en superficie. Para el segundo caso, se obtienen dos soluciones de

límite inferior [7]. La segunda solución dada por la ecuación (1.7), que es independiente

de la sobrecarga y establece un campo de esfuerzos estáticamente admisible como el

mostrado en la Figura 1-4, permite llegar a resultados con mayor factor de seguridad que

la primera.

RK

Ks

p

p

1

22min

…………………………………………………………….......

(1.7)

(a)

sin1

sin1

pK ………………………………………………………………….. (b)

Figura 1-4: Estado de esfuerzos en el suelo alrededor de una cavidad superficial.

Fuente: Tomado de Atkinson y Potts, referencia [7].




1.2.2 Davis y otros (1980)

El método permite analizar la estabilidad de un túnel de radio R, en suelo de naturaleza

cohesiva, con un soporte rígido instalado a la distancia P del frente de excavación. Se

proponen diagramas con soluciones de la plasticidad de límite superior y límite inferior

para dos casos particulares de análisis: P = ∞ y P = 0. En este último caso, de interés

particular para la excavación que se realice con TBM de escudo SS/EPB, se presentan

dos soluciones de límite inferior en la ecuación (1.8) (a) y (b) como función del estado de

esfuerzos adoptado según la cavidad estudiada: cilíndrica o esférica, Figura 1-5 (a) y (b).

1ln22

R

CN .....................................................................................

(1.8)

(a)

1ln4

R

CN …………………………………………….………………….. (b)

Donde, N es el número de estabilidad, según Broms y Bennermark (Sección 1.3.3).

C es la profundidad del túnel, o cobertura en la clave medida desde superficie.

(a) (b)

Figura 1-5: Cavidades subterráneas parcialmente soportadas: (a) cilíndrica; (b) esférica.

Fuente: Tomado de Davis y otros, referencia [20].

Tal como se indica en la Figura 1-6, se encontró que la predicción de límite inferior de la

ecuación (1.8) es cercana al valor del número de estabilidad N calculado para algunos

ensayos de laboratorio en centrífuga y de colapsos en campo, así como de la línea de

relación de estabilidad para diseño según el SRM (Stress Ratio Method), obtenida por

Mair y Kimura [14] para túneles en condición de análisis no drenado.


Figura 1-6: Número de estabilidad para túnel en arcilla completamente revestido (P = 0).

Fuente: Tomado de Broere [14], adaptado a su vez de Kimura y Mair (1981).

1.2.3 Krause (1987)

Empleando el equilibrio límite y los esfuerzos cortantes actuantes en los planos de falla

de los mecanismos semi-circular y esférico de la Figura 1-7, Krause [32] estableció la

presión mínima de soporte smin para estabilizar el frente de excavación de diámetro D.

(a) (b) (c)

Figura 1-7: Mecanismos de falla en el frente asumidos por el método de Krause: a) semi-

circular, b) cuarto de círculo, c) esférico.

Fuente: Tomado de Broere, adaptado a su vez de Krause, referencia [32].




De los tres mecanismos planteados, la superficie de falla correspondiente al cuarto de

círculo en la Figura 1-7 (b) siempre arroja la máxima presión de soporte smin, dada por la

ecuación (1.9) (a).

'

2

1'

3

1

tan

1min cDs

………………………...…………………………...

(1.9)

(a)

'

2

1'

9

1

tan

1min cDs

………………………….………………………….. (b)

Donde, c' es el intercepto de cohesión del suelo.

φ' es el ángulo de fricción interna del suelo.

γ’ es el peso unitario efectivo del suelo.

Como lo reconoció el mismo autor [32], estos mecanismos de falla semi-circular y cuarto

de círculo no son una representación realista del sólido que efectivamente falla. En

muchas ocasiones el sólido de falla semi-esférico en la Figura 1-7 (c) será una mejor

representación. En este caso la presión de soporte mínima se puede hallar según la

ecuación (1.9) (b).

1.2.4 Subrin y Wong (2002)

El mecanismo de falla propuesto, se asume, está formado por un único bloque que rota

alrededor del eje perpendicular al eje del túnel, de acuerdo con la Figura 1-8.

(a) (b)

Figura 1-8: Mecanismo de falla rotacional de Subrin y Wong: a) generación del

mecanismo; b) vista isométrica del mecanismo para φ = 20°.

Fuente: Tomado de Subrin y Wong, referencia [52].


La superficie del mecanismo de falla se construye a partir de un conjunto de

circunferencias, cada una de las cuales está contenida en un plano que pasa por el eje

de rotación, para estar delimitado el sólido de falla por espirales logarítmicas. La forma

de este mecanismo tiene cierta similitud con el modelo presentado por Mollon y otros [40]

que se abordará posteriormente, aunque los procesos de construcción geométrica son

completamente diferentes ya que el mecanismo de Subrin y Wong [52] se genera sin

considerar el colapso de la sección transversal completa del frente de excavación. En su

lugar, Subrin y Wong basan sus deducciones en establecer un campo de velocidades

cinemáticamente admisibles. Se aplica el análisis del límite superior de la plasticidad, con

el fin de encontrar la presión crítica de soporte, producto de maximizar el trabajo ejercido

por las fuerzas resistentes a lo largo de la superficie de falla cinemáticamente admisible.

1.2.5 Caquot-Kerisel (1956) integrado por Carranza-Torres (2004)

Se considera que las soluciones basadas en los teoremas de límite inferior y superior de

la plasticidad, son más rigurosas que las soluciones de equilibrio límite. Entre las

soluciones al problema estáticamente admisibles se pueden mencionar la propuesta de

Caquot, las cuales se derivaron para un túnel circular en dos dimensiones pero que se

pueden fácilmente extender al espacio para considerar la geometría esférica

tridimensional del frente de excavación [17].

(a)

(b)

Figura 1-9: Esquemas del método de: (a) Caquot-Kerisel; (b) SRM Carranza-Torres

Fuente: Tomado de Guglielmetti [14], adaptado a su vez de Carranza-Torres [17].




El modelo de Caquot de la Figura 1-9 (a) considera la condición de equilibrio de un

material en falla arriba de la corona de una cavidad circular, bien sea cilíndrica o esférica.

El material tiene un peso unitario γ y la resistencia al corte definida por los parámetros

del criterio de fluencia de Möhr-Coulomb, es decir cohesión c' y ángulo de fricción interna

φ'. Por su parte, la distribución de esfuerzos verticales antes de la excavación se asume

geostática, según se describe en la sección 2.2.2, y la relación de esfuerzos horizontal a

vertical es de uno (1). Para el escenario de la Figura 1-9 (a), la solución de Caquot define

el valor de la presión interna de soporte ps como la presión crítica por debajo de la cual el

túnel colapsará. La solución generalizada para condición de suelo seco, la cual incluye el

valor del factor de seguridad, se puede representar por la ecuación (1.10) (a)

desarrollada por Carranza-Torres [17].

tan

111

11

1

tan

11

1

h

c

a

h

Nka

h

h

c

h

q

h

p

FSNkFS

FS

Nk

ss

(1.10)

(a)

crcr

FS

c

cFS

FS

FSN

tan

tan

tantansin1

tantansin1

1

1

…………….………………… (b)

Donde, a es el radio del túnel.

h es la profundidad del eje del túnel.

k es el parámetro del tipo de cavidad: 1 = cilíndrica; 2 = esférica.

Nótese que la ecuación es válida solo para los parámetros de Möhr-Coulomb que

conducen a un estado límite; en otras palabras, la situación en la cual la excavación está

a punto de colapsar. En general, la resistencia del material será mayor a la resistencia

asociada al estado de equilibrio crítico de la cavidad. Por esto, se define el factor de

seguridad FS en la ecuación (1.10) (b) como la relación de los parámetros de resistencia

disponibles a los parámetros críticos requeridos, según el método de reducción de la

resistencia, el cual asume una reducción proporcional de los parámetros Möhr-Coulomb.

Para el análisis de estabilidad de la cara de la excavación, se propone en la Figura 1-10

un procedimiento para tener en cuenta el efecto tridimensional del frente del túnel y

eventualmente incorporar el efecto de la longitud sin revestir L.


Figura 1-10: Cálculo del radio modificado para análisis tridimensional del túnel.

Fuente: Tomado de Carranza-Torres, referencia [17].

1.2.6 Mollon y otros (2011)

Como resultado de refinar propuestas recientes basadas en generar el mecanismo de

falla a partir de conos truncados que cumplen la ley de flujo asociado, Mollon y otros [40]

adaptaron el proceso de generación punto a punto de un mecanismo de falla rotacional.

La superficie de falla tridimensional está constituida por un único bloque definido a la vez

por un conjunto de caras triangulares que respetan cada una la ley de flujo asociado, de

acuerdo con la Figura 1-11, y se considera la falla de la sección transversal completa del

frente de excavación.

(a) (b)

Figura 1-11: Mecanismo de falla rotacional generado punto a punto por Mollon y otros :

a) sección longitudinal por eje del túnel; b) vista isométrica del mecanismo para φ = 30°.

Fuente: Tomado de Mollon y otros, referencia [37].




1.3 Métodos de estabilidad global

Los métodos de estabilidad global en que el mecanismo de falla involucra tanto el frente

de excavación como el material en la cobertura del túnel y el colapso se extiende hasta la

superficie, se pueden a su vez categorizar como activos o pasivos. Si se presenta dicho

colapso por una insuficiente presión de sostenimiento en el frente que conduce a un

movimiento principalmente descendente se denomina falla activa. Si por el contrario

debido a que se aplique una excesiva presión de soporte en el frente y el movimiento de

la masa fallada sea hacia la superficie, se conoce como falla pasiva o por levantamiento.

Muchos autores han descrito propuestas para estudiar este mecanismo de falla externa y

han derivado expresiones a partir de métodos analíticos, empíricos e incluso numéricos

más recientemente [57]. A continuación se hace el compendio de algunos de estos

métodos en su respectivo orden cronológico de publicación.

1.3.1 Horn (1961)

Este modelo esquematiza de manera básica el mecanismo de falla tridimensional,

compuesto por una cuña de caras planas en el frente del túnel, cargada por un silo

prismático en la cobertura, según se muestra en la Figura 1-12. Originalmente la

propuesta del modelo no plantea aplicaciones prácticas ni su implementación [22]. Sin

embargo, algunos autores han empleado la geometría de este mecanismo para los

métodos desarrollados, tales como el de Jancsecz y Steiner [30] o como el de

Anagnostou y Kovári [3] [4] [5].

Figura 1-12: Modelo de estabilidad del frente de “silo-cuña” propuesto por Horn (1961).

Fuente: Tomado de: http://www.facesupport.org/wiki



1.3.2 Murayama (1966)

Es el primer método que propuso aplicar para túneles el equilibrio límite a una cuña

bidimensional, la cual sigue la espiral logarítmica como superficie de falla según se

muestra en la Figura 1-13, con el objetivo de calcular la presión mínima de soporte en el

frente. Se calcula con base en la propuesta de efecto de arco de Terzaghi [53] la

sobrecarga qw dada por el peso del suelo que actúa sobre la cuña en el frente. Para

garantizar la estabilidad, se plantea el equilibrio de momentos de las fuerzas actuantes:

por el empuje S que da soporte en la cara del túnel y fuerzas debidas al peso, es decir qw

y G, y por las fuerzas resistentes, es decir la normal Q y la resistencia al corte K a lo

largo de la superficie de falla. Este método contempla la búsqueda iterativa del ancho w

del silo de suelo que conduce a la respuesta crítica, variando el ancho en que actúa la

sobrecarga qw, y por tanto, conduce a una mayor presión de soporte en el frente, smin. La

expresión básica para hallar la presión de soporte está dada por la ecuación (1.11).

tan222

12

211min

adwwG

p

rrc

wlwqGl

Rls ………………………...…… (1.11)

Figura 1-13: Cuña bidimensional limitada por la curva espiral logarítmica según

Murayama (1966).

Fuente: Tomado de Broere [14], adaptado a su vez de la referencia [41].




1.3.3 Broms y Bennermark (1967)

De acuerdo con la Figura 1-14, este método se basa en analizar la relación de estabilidad

de una abertura no soportada de diámetro 2R, a una profundidad C en material de

naturaleza cohesiva que sigue el criterio de falla no drenado de Tresca. Por esta razón,

se le conoce también como el método de la relación de estabilidad SRM (Stability Ratio

Method). El número de estabilidad N se define entonces como la diferencia entre el

confinamiento en el eje del túnel, dado por el enterramiento o esfuerzo geo-estáticos y la

sobrecarga total qs, y la presión de soporte s, normalizada por la resistencia no drenada

cu, de acuerdo con la ecuación (1.12) (a).

RCcc

sqN

uu

s

………………………………………………..…..... (1.12)

(a)

6 NconcNqRCs us ……………………………..…….. (b)

Empíricamente se encontró en ensayos de extrusión en laboratorio y en fallas reales de

campo retro-calculadas, que la condición de falla se alcanzaba para valores del número

de estabilidad N ≥ 6, y que por tanto la presión mínima de estabilización se alcanza

según la expresión (1.12) (b).

Figura 1-14: Prueba de extrusión en laboratorio realizada por Broms y Bennermark.

Fuente: Tomado de Guglielmetti y otros [22], adaptado a su vez de la referencia [16].


1.3.4 Mohkam (1984, 1985, 1989)

Este método se basa en una aproximación matemática tridimensional de la teoría del

equilibrio límite, el cual implementa el análisis variacional con el fin de definir la superficie

de falla 3D en función de: la coordenada w(x,y), el ángulo θ(x,y) y el estado de esfuerzos

𝜎(x,y) que actúa en cada punto del modelo [39]. Al tomar en cuenta la longitud sin

revestimiento antes de la instalación del soporte rígido, se asumen dos mecanismos de

falla: El primero, cilíndrico y que afecta la cara de la excavación según se ve en la Figura

1-15 (a), y el segundo (b) que está controlado por las paredes laterales del túnel a partir

de una superficie de falla espiral logarítmica.

(a) (b)

Figura 1-15: Curvas que limitan el mecanismo de falla en el frente, según el método de

Mohkam: a) cilíndrico, b) espiral logarítmico.

Fuente: Tomado de Mohkam, referencias [38] y [39].

La sobrecarga que actúa sobre la cuña del frente se calcula por la definición de Terzaghi

[53] del efecto arco. Para encontrar el factor de seguridad de las diferentes cuñas de falla

de la Figura 1-15, es necesario hacer uso del análisis variacional y minimizar el funcional

auxiliar H de la ecuación (1.13), el cual se define en detalle en la referencia [39].

0),(),,(),,( dxdyyxyxyxwhHA

……………………………….…… (1.13)

El gran número de incógnitas que presenta este método obliga a un procedimiento de

solución demasiado iterativo que impide su aplicación sistemática. Este modelo, sin




embargo, se puede simplificar sustancialmente al predefinir tanto la forma del sólido de

falla como el campo vectorial de esfuerzos totales [14], escenario en el cual el modelo se

asemeja bastante a los demás métodos de equilibrio límite. Esta será la base de las

hipótesis planteadas en esta investigación, en lo que respecta a la geometría y condición

de esfuerzos en el frente del túnel. Tales hipótesis se describen en el Capítulo 2 y se

validan en la calibración del modelo que se aborda en el Capítulo 3.

1.3.5 Leca y Dormieux (1990)

El método propone tres mecanismos traslacionales (uno de ellos para falla pasiva o blow-

out) formados por conos de revolución, como se ilustra en la Figura 1-16, los cuales son

válidos para suelos secos con cohesión y fricción, es decir, caracterizados por el criterio

de falla de Möhr-Coulomb.

(a) (b) (c)

Figura 1-16: Mecanismos de falla en el frente asumidos por el método de Leca y

Dormieux: colapso activo a) un bloque y b) dos bloques, pasivo c) un bloque.

Fuente: Tomado de Leca y Dormieux, referencia [33].

Al suponer varios estados de esfuerzos, los autores derivaron los límites superior [33] e

inferior [34] para la presión de soporte mínima y máxima en un túnel revestido

completamente. Se presentan dos conjuntos de gráficas para los factores Nγ y Ns, uno

para el valor mínimo y otro para el valor máximo de la presión de soporte

respectivamente. Empleando tales nomogramas, se calcula la presión de soporte usando

la ecuación (1.14).

DNqNs ss …………………………………………………………………… (1.14)


Debido a que los bloques en forma de cono asumidos por este método tienen sección

transversal circular y además son oblicuos al eje del túnel, al intersecar tales secciones

cónicas con un plano vertical ubicado en la cara de la excavación, se da lugar a una

elipse inscrita dentro de la sección circular del frente del túnel. Esta constituye la principal

limitación del método para túneles con sección de excavación circular.

1.3.6 Soubra (2000 y 2002)

Este autor generalizó el mecanismo de falla activo de dos (2) conos traslacionales de

Leca y Dormieux, representados en la Figura 1-16 (b). En el primer caso, que se

presenta en la Figura 1-17 (a), se incorpora una zona de cortante entre dos conos

rígidos, delimitada por una espiral logarítmica en el plano vertical del eje del túnel [51]. En

el segundo caso de la Figura 1-17 (b), el mecanismo está formado por una serie de

conos rígidos [50]. Ambas propuestas mejoran las predicciones del mecanismo de Leca y

Dormieux, con menores valores estimados de la presión de soporte. Sin embargo, este

método presenta igual restricción al no considerar el colapso completo del frente de

excavación, dada la condición de proyectar la sección transversal circular de un cono

oblicuo como una elipse en un plano vertical, según se muestra en la Figura 1-17 (b).

(a)

(b)

Figura 1-17: Generalización del mecanismo de falla de dos bloques de Leca y Dormieux:

a) con zona de cortante entre conos; b) serie de conos rígidos.

Fuente: Tomado de Soubra, referencias [47] [48].




1.3.7 Jancsecz y Steiner (1994)

El método basa su geometría en el modelo propuesto por Horn, expuesto en la Figura

1-12, según el cual la falla consiste en una cuña de suelo en la parte inferior y un silo

prismático en su parte superior, sobre la clave del túnel, según se ilustra en la Figura

1-18 (a). La presión vertical que resulta por efecto del silo que supra-yace la cuña de

suelo se calcula según la solución de Terzaghi [53] para el efecto arco, la cual se

describirá posteriormente en la Sección 2.2.2.

(a)

(b)

Figura 1-18: Esquema del método de Jancsecz y Steiner.

Fuente: Tomado de Guglielmetti [14], adaptado a su vez de Jancsecz y Steiner [30].

Este método introduce un coeficiente de presión de tierras KA3 que se define según la

ecuación (1.15) y se presenta en la Figura 1-18 (b) para diferentes valores de relación

cobertura a diámetro C/D y ángulo de fricción interna φ. Los resultados son válidos para

suelo homogéneo e ignoran el efecto de infiltración del slurry en el terreno.

tansincossin

5.1/tancostancoscossin2

2

3

KK A …………….……… (1.15)

Donde,

Dt

DtK

/21

/31;

2

2/45tansin1 2

El coeficiente de presión de tierras KA3 relaciona esfuerzos efectivos horizontales y

verticales, de manera análoga a los coeficientes de presión de tierras de Rankine [44],

buscando tener en cuenta el efecto tridimensional del problema y la condición espacial

del silo prismático de suelo sobre la cuña en el frente de excavación.


1.3.8 Anagnostou y Kovári (1996): Solución escudo EPB

Este método, también denominado como el método A-K, se basa en la teoría de un silo

de suelo sobre el modelo tridimensional de cuña poliédrica propuesta por Horn en la

sección 1.3.1, tal como se presenta en la Figura 1-19. El análisis realizado es en

condición drenada para un escudo de presión de tierras EPB, razón por la cual en casos

donde la cabeza piezométrica dentro de la cámara de excavación sea menor a la de la

cabeza hidráulica del terreno, se desarrollará el flujo de agua hacia el túnel. El efecto de

las fuerzas de infiltración se obtiene de un análisis tridimensional de infiltración por medio

del método de los elementos finitos MEF, para ser tenido en cuenta en el equilibrio del

modelo de cuña. La forma de presentar los resultados es a través de cuatro factores

adimensionales [4] que relacionan la presión mínima de soporte con el diámetro del túnel,

peso unitario del suelo, cohesión y presión de soporte efectiva s'.

DhcFhFcFDFs /''''' 3210 ……………………………………. (1.16)

Donde, Δh es la caída de cabeza hidráulica, o diferencia entre h0 y hF.

F0, F1, F2 y F3 son los factores adimensionales derivados de nomogramas,

que son a su vez función de la relación cobertura a diámetro y de φ.

(a)

(b)

Figura 1-19: Esquema del método de Anagnostou y Kovári: a) Mecanismo silo-cuña

propuesto por Horn; b) fuerzas de filtración f y presión de soporte s’.

Fuente: Tomado de Anagnostou y Kovári, referencia [3].




1.3.9 Anagnostou y Kovári (1994): Solución escudo SS

Para el caso del escudo de slurry SS mostrado en la Figura 1-20, la presurización de la

cámara de excavación pb debe ser mayor que la presión externa pw del fluido en el

terreno con el fin de evitar flujo de agua hacia la excavación. La presión de estabilización,

o exceso de presurización Δp, depende del grado de penetración del slurry bentonítico

en el suelo. El valor mínimo de Δp se asocia con la formación en la cara de una

membrana idealmente impermeable, o conocida como la costra de perforación, de

acuerdo con la Figura 1-20 caso (a). Según esta hipótesis, se introducen algunos ábacos

para estimar Δp como función de los parámetros de resistencia al corte del suelo, la

cabeza hidráulica in-situ y la profundidad del túnel.

(a) (b)

Figura 1-20: Efecto estabilizador de la suspensión: a) sin penetración; b) con penetración

dentro del terreno.

Fuente: Tomado de Anagnostou y Kovári, referencia [5].

Por otro lado, en el caso (b) en que el slurry bentonítico penetre el suelo en el frente de

excavación, el factor de estabilización de la presión de soporte empleada es menor que

en el modelo de membrana ideal, y por tanto se reduce aplicando un factor de corrección

FC según la ecuación (1.17), bien sea que se sature con bentonita parcialmente (a) o

totalmente (b) la cuña de suelo en el frente.


wDesiewD

wDesiweFC

tan2/tan

tantan2/1…………………………..……......

(1.17) (a)

fs0 = Δp /emax, …………………………………………...…………………….. (b)

fs0 = 2τF/d10, …………………………………………………………………... (c)

Donde, w es el ángulo que forma la cuña del frente del túnel con la horizontal.

e es el ancho o distancia de penetración del slurry bentonítico en el suelo.

τF es la resistencia al corte del slurry bentonítico.

d10 es el tamaño característico del suelo.

Δp es la presurización en exceso de la cámara de excavación.

emax es la máxima penetración para el exceso de presurización Δp.

Con base en las características del slurry y del suelo, es posible calcular el gradiente de

infiltración fs0 de acuerdo con la expresión (1.17) (b), sin embargo, la norma DIN 4126

sugiere para hallar fs0 la formulación empírica en la ecuación (1.17 (c). El riesgo de

infiltración es bajo en suelo de gradación fina, pero se eleva para suelo de distribución

granulométrica gruesa. Sin embargo con el método A-K, este riesgo es latente

básicamente para el período en que la máquina tuneladora está paralizada, durante el

cual se reduce el gradiente de infiltración y con este, el factor de seguridad [22].

El método propone algunas relaciones que se usan al calcular el tiempo crítico para la

estabilidad de la excavación en función de: las características reológicas del slurry, las

propiedades del suelo y de la velocidad de avance de la excavación v. Se puede calcular

la velocidad crítica de avance vcr, por debajo de la cual la distancia de penetración

determina el gradiente crítico de infiltración, en otras palabras fs0 = fscr. En general, entre

más elevada sea la relación de la velocidad de excavación y la permeabilidad del suelo,

es decir v/k, menor será la distancia de infiltración del slurry bentonítico.

1.3.10 Broere (2001)

El profesor Broere [13] [14] [15] advierte que existen limitaciones importantes en los

métodos anteriores y propone una solución que toma en cuenta aspectos relevantes

tales como la heterogeneidad del suelo en la cara de la excavación, el efecto de arco en

la cobertura y el efecto en el exceso de presión de poros como resultado de la

penetración del medio de soporte dentro del terreno.




Figura 1-21: Definición de símbolos en el modelo de cuña multicapa según Broere.

Fuente: Tomado de Broere, referencia [14].

Este es el primer método en considerar la heterogeneidad en el frente, la cual es una

condición propia por ejemplo de suelos estratificados, y realiza el análisis asignando un

conjunto de propiedades geotécnicas por medio del cálculo de valores ponderados de

pesos y fuerzas actuantes en cada capa homogénea, en cada interface y a lo largo de las

superficies de deslizamiento como se muestra en la Figura 1-21. El autor también

concluyó que para el caso de una cuña en material homogéneo, su formulación

corresponde con el método de Jancsecz descrito en la sección 1.3.7.

El principal propósito de este modelo es el de involucrar el efecto de la penetración del

medio de soporte en la cara de la excavación, en presencia de un suelo permeable. De

acuerdo con el método A-K de la sección 1.3.8, pueden presentarse diferentes

mecanismos en función de la permeabilidad del suelo y de la densidad del medio de

soporte. El modelo con penetración como se tratará posteriormente en la sección 2.3.2,

es aplicable tanto a escudos de slurry SS, en que se inyecta un slurry bentonítico, como

a escudos de presión de tierra balanceada EPB, donde se inyectan espumas poliméricas.

En particular, este modelo de Broere difiere del modelo A-K en el efecto que se considera

tiene la infiltración del medio de soporte al generar excesos de presión de poros en el

frente de la TBM y también al reducir la fuerza de soporte efectiva. Estos efectos se

pueden considerar significativos cuando se realiza la excavación en suelo con una

permeabilidad en el intervalo de 10-5 a 10-3 m/seg [14]. Como consecuencia, la presión de

soporte requerida podría incluso ser mayor a la que se calcula empleando el método A-K.


La presión de soporte efectiva s' a aplicar en la clave del túnel (zt) se puede obtener

empleando la ecuación (1.18 a), producto de maximizar el valor calculado s'(zt) respecto al

ángulo asumido θ que forma la cuña de falla con la horizontal.

Z

SPTKGPGs devTwss

zt

'2'2'' )(

………………………….…….…

(1.18) (a)

zzwzz pss ),()()( ' ………………………………………………………….… (b)

Donde, Gs Fuerza de sobrecarga por confinamiento.

Ps Fuerza de levantamiento o sub-presión por excesos de presión de poros.

Gw Peso efectivo de la cuña.

K’ Fuerza de cohesión efectiva a lo largo de la superficie de falla.

T’ Fuerza de fricción resultante en las caras laterales de la cuña.

PT Reducción de la resistencia cortante debido al exceso de presión de poros.

Z Parámetro que es función de (φ – θ)

S’dev Fuerza de soporte desviadora.

z Profundidad en consideración.

w(z) Ancho de la cuña correspondiente a la profundidad z en consideración.

Debido al contrapeso que genera la densidad del slurry, la presión de soporte total s se

obtiene si se suman la presión efectiva de soporte s' y la presión de poros en la superficie

de falla, es decir la presión p(w(z),z) en el extremo w(z) de la cuña. Entonces, se define la

presión en exceso Δs como la diferencia entre la presión de soporte s y la presión de

poros in-situ p0. El profesor Broere desarrolló ecuaciones específicas [15] que se tratarán

en la sección 2.3.2 para evaluar la distribución de presión de poros en el terreno que ha

sido penetrado por el slurry, como función de los siguientes factores: la presión de

soporte, la presión de poros in-situ, tiempo transcurrido, propiedades del suelo y del

fluido de excavación. Dichas expresiones fueron verificadas a partir de información de

campo en tres proyectos de excavación de túneles en los Países Bajos (SS y EPBS),

obtenidas a través de un programa intenso de monitoreo, confirmando que tal

comportamiento de penetración del slurry se presenta a una distancia de hasta 30m

dentro del terreno respecto a la cara de la excavación.




1.4 Pérdida del medio de soporte: falla pasiva

Eventualmente la presión actuante en el frente se puede caer como consecuencia de la

perdida súbita de fluido de excavación que no se reponga de manera inmediata. Si se

reduce la presión de soporte, esto a su vez puede conducir a la falla global activa en el

frente. La causa de este tipo de falla se debe a una alta presión de soporte durante la

operación de la tuneladora. Estas fallas se categorizan como de blow-out, y agrupan

varios mecanismos incluyendo el movimiento en masa del suelo colapsado hacia la

superficie, conocido como falla pasiva o por levantamiento. En esta sección se hará una

introducción a la forma actual de estudiar el problema a partir de análisis simples del

equilibrio.

La falla clásica por blow-out es aquella que se presenta en el momento en que se levanta

el sólido de falla debido a una alta presión de soporte y la subsiguiente pérdida del medio

de soporte. El modelo con que se obtiene la más baja de las máximas presiones de

soporte, asume que el levantamiento del suelo comprende una región importante del

material en la cobertura del túnel. Este caso se puede presentar cuando el medio de

soporte infiltra el suelo; por ejemplo: en un escudo de slurry cuando no se desarrolla el

filter-cake o costra en la cara de la excavación. Bajo esa condición se suele despreciar la

fricción en las paredes laterales del cuerpo de suelo levantado e igualar la presión

máxima por falla pasiva con el esfuerzo vertical total [14] [21], según la ecuación (1.19).

vs max ……………….……………...………………………………………… (1.19)

Otros modelos tienen en cuenta la resistencia al corte entre el suelo que se desplaza

verticalmente y el suelo de las paredes laterales. Estos esfuerzos cortantes se pueden

incluir directamente como una fuerza cortante a lo largo de las paredes de un cuerpo

rectangular ABCE de suelo en el plano como se ilustra en la Figura 1-22, lo cual permite

por equilibrio de fuerzas verticales [14] calcular la presión máxima smax de acuerdo con la

ecuación (1.20).

D

CKcCs

y

tan'2max

……………………………………………..……… (1.20)


Figura 1-22: Modelo de falla pasiva o blow-out incluyendo la fricción en las paredes.


Una posibilidad adicional para estudiar falla pasiva consiste en asumir que al igual que en

la falla activa, existe una cuña de suelo en el frente de la excavación sobre-yacida por

una columna de suelo en la cobertura, formando un mecanismo que se levanta por una

excesiva presión de soporte aplicada. Autores como Balthaus [9], por ejemplo, han

propuesto el modelo de cuña a partir de una pirámide truncada invertida formando

ángulos de las paredes con la horizontal de π/4 + φ/2, como se presenta en la Figura

1-23. El factor de seguridad contra el levantamiento o falla pasiva está dado por la

ecuación (1.21), y bastará según el autor con determinar η1 como un valor conservador

del factor de seguridad contra la falla pasiva.

)()('

245cot'621

tt zs

C

zsB

CB

S

G

…………...……..……………… (1.21)

Donde: G, B', B y C se definen en la Figura 1-23.

Una de las suposiciones hechas en este modelo consiste en asumir que el medio de

soporte no encontrará canales de flujo preferenciales hacia la superficie, debido a

sondeos, perforaciones, etc.




Figura 1-23: Modelo de cuña de falla pasiva de Balthaus.

Fuente: Tomado de Broere [14], adaptado a su vez de Balthaus referencia [9].

Existen otros mecanismos que conducen a la falla por blow-out los cuales se presentan

en función de las condiciones del material en que se excava y las propiedades del medio

de soporte. En condiciones de suelo de baja permeabilidad, y si se tiene excesivamente

presurizada la cámara de excavación, se puede presentar una burbuja de aire que

avanza hacia la superficie (Figura 1-24 a). Por otro lado, en materiales muy permeables

se presenta el potencial de fracturamiento del terreno por la alta presurización del medio

de soporte, como se esquematiza en la Figura 1-24 (b). En líneas generales al comparar

la presión de soporte obtenida para los distintos mecanismos de falla por blow-out

verificados comúnmente en la práctica, se observa que el modelo que desprecia la

fricción en la columna de suelo es el que predice del lado de la seguridad la máxima

presión de soporte a aplicar en el frente [14].

(a)

(b)

Figura 1-24: Otros mecanismos de blow-out por excesiva presión de soporte en el frente:

a) burbuja de aire; b) fracturamiento del terreno.

Fuente: Tomado de Broere [14] y de http://www.facesupport.org/wiki.



1.5 Evidencia experimental

A causa del gran número de incertidumbres presentes en el terreno, los altos costos que

pueden derivarse de un posible colapso del túnel y la consiguiente paralización del

proceso de excavación, la mayoría de los investigadores han empleado ensayos en

laboratorio para estudiar las presiones de soporte y validar los modelos asumidos [14].

Estos ensayos se pueden clasificar como modelos físicos de centrífuga, pruebas de

extrusión en laboratorio (aceleración = 1g) y modelos a escala análogos a la condición de

campo.

Aunque el escenario preferible sería el de respaldar los modelos de estabilidad del frente

del túnel con observaciones de campo, y a pesar de que existen muchos proyectos con

suficiente documentación e información disponible de las condiciones del suelo donde se

ejecutaron, no se cuenta con mediciones reales de la presión de soporte aplicada que se

puedan correlacionar con colapso o inestabilidad en la cara de la excavación [14].

En el desarrollo del presente trabajo se tuvieron en cuenta durante la calibración y

validación del modelo propuesto, los resultados de la modelación física en centrífuga

para arenas y arcillas tanto en condición de colapso activo como pasivo. Por esta razón,

se enfocará la presentación de esta sección a los principales hallazgos del

comportamiento del frente de excavación que han evidenciado los ensayos de centrífuga,

como introducción al resumen de resultados obtenidos para la calibración y

retroalimentación del modelo propuesto en el Capítulo 3.

La principal ventaja de los ensayos de centrífuga radica en la capacidad de aumentar la

aceleración con el fin simular las fuerzas de campo que actúan en un prototipo de túnel

de dimensiones reales, con base en un modelo a escala de laboratorio. Los ensayos en

centrífuga se pueden clasificar en aquellos realizados en modelos de túneles

completamente revestidos y aquellos parcialmente revestidos, o de manera alternativa se

pueden dividir en ensayos con arenas y con arcillas. Los ensayos realizados en arenas

son casi siempre hechos a partir de modelos de túneles completamente revestidos. En

estas pruebas el método con que se aplique la presión de soporte puede diferir. En la

condición más simple sin la influencia del agua sub-superficial, se puede soportar la cara

del túnel por medio de un pistón metálico. Este soporte mecánico se retira de manera




lenta con el fin de simular el colapso activo de la excavación. Por lo general, estos

ensayos arrojan algún indicativo del mecanismo de falla. Otra posibilidad es la de

emplear una membrana impermeable en la cara del túnel modelo soportada por aire o

fluido a presión. En este escenario, la presión de soporte requerida se obtiene al reducir

progresivamente la presión del fluido detrás de la membrana, y registrar las

deformaciones de la misma. Bajo estas condiciones, se dificulta el estudio de la

infiltración del medio de soporte en el terreno, ya que la membrana que sirve como frente

del túnel es en efecto impermeable.

Chambon y Corté [18] modelaron un túnel sellado en el frente por medio de una

membrana impermeable, dentro de una capa de arena seca homogénea. Al reducir

gradualmente la presión de soporte, encontraron superficies de falla que limitan una cuña

sobre-yacida por silos de suelo controlados en su extensión por el ancho de la cuña de

falla y la profundidad del túnel. La investigación de estos autores [18] se centró en

determinar la influencia que tiene la sobrecarga en la formación del silo de suelo y en

demostrar que este silo de suelo siempre se formará incluso para bajas relaciones de

cobertura-confinamiento, convirtiéndose en una chimenea hasta la superficie cuando el

túnel se encuentra a poca profundidad, tal como se aprecia en la Figura 1-25. Ensayos

similares en arenas con diferente compacidad y ángulo de fricción han sido realizados

por otros autores, como se indica en la Figura 1-26 (b).

Figura 1-25: Bulbos de falla por colapso activo en ensayos de centrífuga en arenas, para

diferentes sobrecargas por confinamiento.

Fuente: Tomado de Chambon y Corté, referencia [18].


De las investigaciones de falla activa en arena más recientes, vale la pena destacar los

hallazgos y forma de presentar los resultados hecha por Kirsch [31], quien realizó el

compendio de la información de fallas activas en centrífuga, para la relación cobertura C

sobre diámetro D más frecuentemente ensayada: C/D=1, y a la vez contrastó en la

Figura 1-26 con las predicciones teóricas disponibles. De manera análoga a la fórmula de

capacidad portante, en la falla activa se introdujo la presión normalizada de soporte ND

para el caso de suelos sin cohesión según la ecuación (1.22) (a). Este es un número

adimensional que se puede transferir del modelo al prototipo siempre y cuando sean

equivalentes los factores de escala de las ecuaciones (1.22) (b), (c) y (d). Al generar en

un mismo gráfico la presión normalizada de soporte contra el ángulo de fricción, para

muchos de los ensayos de centrífuga de falla activa que se han realizado a la fecha

(C/D=1), Kirsch [31] encontró que existe una alta variabilidad en los valores de presión

medidos y que es posible se presente algún grado de incertidumbre respecto al ángulo

“real” de fricción interna reportado en los ensayos, como se aprecia en la Figura 1-26 (b).

(a)

(b)

Figura 1-26: Presión normalizada de soporte contra falla activa en arenas: (a) predicción

modelos teóricos; (b) ensayos de centrífuga.

Fuente: Tomado de Kirsch, referencia [31].

En su estudio, Kirsch atribuye la alta variación de ND tipificada en la Figura 1-28, al

estado inicial en términos de densidad relativa que tenían las arenas en cada ensayo

particular. Considerando que al movilizar una mayor componente de dilatancia, las

arenas densas tienden a alcanzar un pico de resistencia y por ende una mínima presión

de soporte antes de fallar, se presenta el comportamiento de la Figura 1-27. Las

dispersiones en el ángulo de fricción reportado para cada uno de los ensayos, se deben

básicamente a la necesidad de incluir los valores de ángulo de fricción en estado crítico,




el cual es independiente del estado de esfuerzos y de la densidad inicial, pero que resulta

sumamente difícil de medir a un bajo nivel de confinamiento como el de las cajas de

modelación a escala. Por estas razones, la gráfica normalizada presentada por Kirsch

para las pruebas de centrífuga en arenas establece los posibles rangos donde se puede

ubicar cada ensayo, y los contrasta con las predicciones de algunos modelos teóricos.

(a)

(b)

Figura 1-27: Presión normalizada de soporte contra desplazamiento normalizado del

pistón en falla activa en arenas: a) esquemático; b) ensayos C/D = 1.


Figura 1-28: Variación de la presión normalizada de soporte contra desplazamiento para

un ensayo de colapso activo de arenas en centrífuga, con C/D = 1.



d

f

DD

pN

……………………………………………………..……….….....

(1.22)

(a)

prototipoelo D

C

D

C

mod

……………………………………………………….. (b)

prototipodelod II

mod ……………………….……………...………….….... (c)

prototipoceloc

mod …………………………………………………….….... (d)

Donde, pf es la presión de soporte medida en la falla.

γd es el peso unitario seco del suelo.

Id es la densidad relativa del suelo.

φc es el ángulo de fricción interna medido en el estado crítico.

Por otra parte, autores como Bezuijen [11] han comparado los resultados de ensayos de

centrífuga en arcillas blandas con las predicciones de algunos de los modelos teóricos

relacionados anteriormente. Se encontró en estos ensayos que el método de Anagnostou

y Kovári a partir del modelo de la cuña-silo de Horn, calcula la presión de soporte en el

frente con grado de exactitud del 2%, siempre y cuando se iguale el inverso del radio de

la excavación con el ancho de relajación del silo de suelo bajo efecto de arco. Esta última

resulta ser una suposición bastante fuerte, ya que el ancho del silo de suelo depende no

solo del diámetro de la excavacion sino también del tipo de material en que se excava. La

geometría del mecanismo de falla en arenas y en arcillas es notablemente diferente, de

acuerdo con evidencia de campo que se recoge en los esquemas de la Figura 1-29.

Figura 1-29: Forma de la superficie de falla activa en un túnel en: a) arenas; b) arcillas.

Fuente: Tomado de Broere [31], adaptado a su vez de Mair y Taylor (1997).




Los ensayos de colapso activo en arenas exhiben un mecanismo tipo “chimenea”,

mientras que los colapsos activos en arcilla evidencian una masa inestable mucho más

amplia. En los ensayos de centrífuga realizados por Bezuijen [11], se realizaron

tomografias posteriores al colapso con el fin de determinar la forma tridimensional

inalterada de la superficie de falla. Los resultados se grafican en la Figura 1-30.

Figura 1-30: Forma tridimensional de la superficie de falla, observada en centrífuga.

Fuente: Tomado de Broere [31], adaptado a su vez de Bezuijen.

Finalmente, la falla pasiva se modela en ensayos de centrífuga empujando un pistón

metálico que representa la cara de la excavación, hacia la dirección de avance del

modelo del túnel, con el objetivo de medir las presiones y desplazamientos que se

desarrollen. Estas mediciones se hacen a través de celdas de carga y transductores

LVDT. Hay disponible un menor número de pruebas en centrífuga de falla pasiva que en

condición activa. Sin embargo se cuenta con información de los ensayos realizados por

Frente

del túnel


Wong y Ng [59] para arcillas en condición saturada, y Wong y otros [60] para el caso de

arenas saturadas. Estos autores encontraron que de manera similar a la condición de

colapso activo, se puede establecer una relación lineal entre la presión en la falla pf y el

diámetro de la excavación. Esto significó que al duplicar el diámetro en los ensayos

realizados, la presión de soporte obtenida era el doble, motivo por el cual en la condición

de falla pasiva también es posible expresar la presión normalizada de soporte Nγm de

manera análoga al problema de capacidad portante de un cimiento superficial.

D

pN

f

m'

…………………………………………..…………….……………… (1.23)

Los resultados obtenidos para falla pasiva en centrífuga fueron contrastados con el

modelo de Soubra [50] para el caso de arenas, y comparados con la solución de la teoria

de expansión de cavidades en el caso de arcillas. En la Sección 3.2 se valida dicha

información con los resultados obtenidos a partir el modelo propuesto.

2. Método de análisis propuesto

La geometría evidenciada en las fallas en campo y en los ensayos en centrífuga, tal

como se describe en la Sección 1.5, indica que el mecanismo de falla está controlado por

el diámetro de la excavación y el tipo de material en que se desarrolla; es decir, si se

trata de materiales de naturaleza cohesiva o puramente friccionante. Además, la

evidencia experimental permite advertir que la superficie de falla en el frente no sigue la

forma de un sólido poliédrico compuesto de prismas, cuñas triangulares, y demás, ni de

conos truncados y similares. En esos modelos, la geometría discontinua genera serias

dificultades desde un punto de vista cinemático.

Debido a esa restricción que presentan la mayoría de los métodos de cálculo descritos

en la Sección 1.3, en esta tesis se concibió y matematizó una geometría tridimensional,

cinemáticamente consistente y coherente con los mecanismos de plastificación de los

materiales friccionales. Este sólido, sometido a un sistema de fuerzas de superficie y de

volumen, estará en equilibrio, con cierto margen de seguridad, para determinado empuje

ejercido por la TBM. El mejoramiento que supone la geometría propuesta y la

incorporación del flujo desde y hacia el frente, permitirá obtener con mayor exactitud la

presión de soporte para contrarrestar el colapso del frente, bien sea activo o pasivo. De

esta manera, fue posible establecer la presión ejercida por la tuneladora en función del

factor de seguridad contra falla global durante la operación de excavación.

Este capítulo tiene como objetivo detallar todos los factores intervinientes en el problema.

En particular se tratarán los siguientes: la geometría y matematización del sólido de falla

propuesto como hipótesis, su discretización, los estados de esfuerzos en la superficie de

ese sólido, las fuerzas producidas por el peso propio del material, las debidas al flujo del

agua y al fluido de excavación, las acciones debidas a la sobrecarga y al empuje de la

tuneladora y, finalmente, el método propuesto de equilibrio límite y la evaluación del

factor de seguridad.



Estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla



2.1 Sólidos tridimensionales de falla: activo y pasivo

En muchas propuestas analíticas que estudian la falla del suelo ante procesos de carga y

descarga1, se ha introducido la espiral logarítmica [54] para problemas ideales en el

plano como el mecanismo que conduce a la respuesta critica del medio [36] [39]. Por lo

tanto, el presente trabajo propone la extensión de esta tesis del plano al dominio

tridimensional. Las expresiones paramétricas que describen las fronteras del sólido de

falla por colapso y expulsión del frente de excavación, es decir falla activa y pasiva, se

derivan de la propuesta matemática para el estudio morfológico del crecimiento bobinado

o enroscamiento que han hecho autores de otras disciplinas [42] [46] en el estudio

paleontológico de fósiles de moluscos con simetría axial, tal como se ilustra en la Figura

2-1.

(a) (b) Figura 2-1: Modelo de torus representado a) en sistema cartesiano y de coordenadas

locales; b) molusco esbozado por líneas tangentes y perpendiculares (Jacobiano).

Fuente: Tomado de Pappas y Miller, referencia [42].

Las expresiones paramétricas en el espacio R3 que describen un torus como el de la

Figura 2-1, se escriben de la forma generalizada [42] presentada en la ecuación (2.1):

1 Procesos de carga en suelo se pueden asociar con problemas de capacidad portante en

fundaciones y muros de contención en condición pasiva, mientras que procesos de descarga involucran la falla de fondo en excavaciones y la presión activa de muros de contención.

Capítulo 2. Método de análisis 43

funciónfunciónfunciónz

funciónfunciónfuncióny

funciónfunciónfunciónx

*sinr

*usin*cosrR

*ucos*cosrR

…………….… (2.1)

Donde, R es el vector radio medido desde el origen de coordenadas a la superficie.

r es el vector radio medido desde el centro de la sección variable del torus.

u es el ángulo medido desde el eje x, al vector radio R (Figura 2-1 a).

v es el ángulo medido desde el radio R, al vector radio r (Figura 2-1 a).

En la ecuación (2.1), los términos y operadores resaltados en fuente negrilla representan

la sección transversal circunferencial de un torus. Por su parte, las variables con

asterisco (*) pueden ir acompañadas de un coeficiente, y entre símbolo de llave {…} se

admiten operaciones múltiples con relación a otras funciones. El término [función],

permite generalizar la expresión del torus a cualquier curva generatriz en el plano, bien

sea una función trigonométrica, hiperbólica, una combinación de las anteriores, o para el

caso particular en estudio, la función exponencial de las variables u,v ∈ [0,2π], que

representa la espiral logarítmica como se describe en la sección 2.1.1.

Esta formulación de la geometría del torus para concebir el sistema de fuerzas a estudiar

resulta elegante desde el punto de vista analítico, fácilmente programable y

cinemáticamente consistente con el mecanismo de falla del frente del túnel en donde

priman la rotación de la masa de suelo colapsada y la dilatancia de las partículas de

suelo a lo largo de la superficie de falla.

2.1.1 Formulación del método de estabilidad del frente

El método de análisis de la plasticidad del que se va a hacer uso en esta propuesta es un

método del equilibrio límite que trata de partir de una geometría de la cuña de falla que

puede considerarse óptima desde cierto punto de vista. Al proceder así, se elimina la

necesidad de ensayar una gran cantidad de geometrías para obtener la respuesta crítica,

es decir aquella con el menor factor de seguridad.






Análogamente a los problemas planos de estabilidad, en este trabajo se optó por usar la

espiral logarítmica como una línea generatriz de la cuña de falla ya que, como se sabe

por el cálculo variacional y por las propiedades mismas de la espiral, esta curva conduce

a respuestas críticas de problemas de plasticidad en el plano, en materiales homogéneos

tipo Mohr-Coulomb.

Adicionalmente a estas consideraciones, la observación cuidadosa de la cuña de falla

evidenciada en las pruebas de centrífuga realizadas para evaluar la estabilidad del frente

en modelos de túneles, citadas en las referencias [11] [18] [25] [31] [59] [60], sugiere que

la espiral logarítmica que tiene su origen en la clave o bóveda del túnel y que pasa por la

solera o contra-bóveda, es una muy buena representación de las condiciones de falla y,

como se dijo de manera previa, elimina la necesidad de analizar múltiples geometrías.

En consecuencia, la cuña de falla que se propone en este trabajo para efectos de evaluar

el empuje en el frente de excavación, se muestra en distintas vistas en la Figura 2-2 y en

la Figura 2-3 , para los casos activo y pasivo respectivamente.

(a) (b) (c)

Figura 2-2: Vistas del mecanismo propuesto de falla activa en el frente, con forma de

torus espiral logarítmico: a) Isométrica, b) lateral, c) superior.

En el caso activo de la Figura 2-2 (a), la primera componente (1) geométrica es un torus,

descrito en la Sección 2.1, cuya sección transversal en el plano xz es una espiral

logarítmica, que es la curva B-C. El origen de la espiral está en la clave del túnel, el punto

A de la Figura 2-2 (b), su radio final rf es la distancia A-B, igual al diámetro D de la


excavación, y el radio inicial es la distancia A-C igual a r0. El punto C, extremo de la

espiral, se localiza donde esta curva se hace vertical. Por ende, el ángulo θ al centro de

la espiral logarítmica, BAC, es igual a π/2 – φ. De esta manera, la ecuación de la

espiral [54] que describe un radio cualquiera, como el A- a = r, está dada para la falla

activa por la expresión (2.2).

tan

2exp.Dr ..........................................................................

(2.2)

(a)

tan2

exp

0

Dr …………………………………....…………………..

(b)

Donde, r es el radio en el plano xz medido desde el centro a la espiral (Figura 2-2).

θ es el ángulo al centro, medido del eje x al radio r (Figura 2-2).

También en la Figura 2-2 (a), los demás componentes del mecanismo de falla activa

están determinados en segundo lugar (2) por una cuña ACE de transición entre el torus

ABC y el tercer elemento (3) que es el silo cilíndrico con sección transversal elíptica. El

punto de transición entre el torus (1) y la cuña truncada (2) se encuentra en A-C, donde

el ángulo al centro θ es igual al ángulo de fricción del material φ, es decir, para r = r0.

(a) (b) (c)

Figura 2-3: Vistas del mecanismo propuesto de falla pasiva en el frente, con forma de

torus espiral logarítmico: a) Isométrica, b) lateral, c) superior.

Por otra parte, en la condición de falla pasiva de la Figura 2-3, es posible diferenciar los

dos elementos que componen el mecanismo propuesto: (1) en primer lugar el torus ABC

cuya curva generatriz, la espiral logarítmica que se presenta en la ecuación (2.3) (a), se

extiende desde la solera o contra-bóveda en el frente hasta alcanzar la cota de la clave






del túnel en el punto C, en que θ = π/2; y un segundo sólido (2) que constituye el silo

cilíndrico, con sección transversal circular, de base rf dada por la ecuación (2.3) (b).

tanexp.Dr .......................................................................................

(2.3)

(a)

tan

2exp.Dr f ……………………………………….………………….. (b)

Donde, r es el radio en el plano xz medido desde el centro a la espiral (Figura 2-3).

θ es el ángulo al centro, medido del eje z al radio r (Figura 2-3).

Nótese que a diferencia de la ecuación (2.2) para colapso activo donde el ángulo θ se

mide en sentido horario desde el eje x, para la condición de falla pasiva del frente de

excavación el ángulo θ en la expresión anterior (2.3), se mide en dirección anti-horaria

desde el eje z. Respecto al silo cilíndrico de suelo que actúa tanto en condición de falla

activa como pasiva, el cual se extiende desde el nivel de la clave del túnel hasta la

superficie del terreno, es importante precisar que su efecto en la estabilidad será

considerado como una sobrecarga determinada según se describe en la sección 2.2.2.

2.1.2 Geometría de la superficie del sólido de falla

En la Figura 2-4 se presenta la geometría que define el mecanismo de falla en el frente

del túnel, compuesto por un sólido, dividido en casquetes, y limitado por la forma espiral-

logarítmica 3D, con centro de rotación en la clave del túnel, eje de rotación "y", sección

circular generatriz y decremento o incremento exponencial según se analice el caso de

falla activa o pasiva respectivamente. El sistema de coordenadas local establecido tiene

origen en la clave del túnel, el eje x se establece en la dirección de avance de la

excavación y el eje z se mide en dirección vertical desde la clave hasta la solera. Es de

advertir que en adelante y de acuerdo con la Figura 2-4, se empleará la notación de los

ángulos υ,ω ∈ [0,2π] para representar los parámetros u,v ∈ [0,2π] de la ecuación (2.1)

definidos en la Figura 2-1 (a). Por consiguiente, el ángulo ω ∈ [0,π/2] se mide desde el

eje x hasta el radio vector R, y el ángulo υ ∈ [0,2π] se mide en el plano inclinado de R.


Figura 2-4: Geometría sólido de falla con forma torus espiral logarítmico tridimensional

Al combinar la expresión generalizada (2.1) en el espacio R3 que describe el torus de

falla, con las funciones exponenciales de la espiral logarítmica tanto para el caso activo

de la ecuación (2.2) como para el caso de colapso pasivo de la ecuación (2.3), se obtiene

el sistema de ecuaciones paramétricas de la superficie de falla propuesta, el cual está

dado para las condiciones activa y pasiva por las expresiones (2.4) y (2.5),

respectivamente.

cos).cos1.('tan2

exp2

sin.'tan2

exp2

cos).cos1('tan2

exp2

,

Dz

Dy

Dx

r ………..………...…….… (2.4)

Donde, según la Figura 2-2 y la Figura 2-4: )20(;2

'






Es de mencionar que en la ecuación (2.5), la sección circular generatriz inicia en un la

coordenada paramétrica ω = φ', es decir, el mecanismo en la Figura 2-2 y en la Figura

2-4 se trunca para todo valor φ' > 0 y no se extiende hasta la clave del túnel. La razón de

esta construcción geométrica radica en proporcionar continuidad a lo largo de la

superficie de falla para la condición activa, de tal forma que los planos de falla en la parte

superior del mecanismo sean verticales y consistentes con el mecanismo de silo de suelo

sobre-yacente. Así, para todo φ' > 0 en falla activa, se tendrá una cuña rígida que será la

transición entre el mecanismo superior cilíndrico y el sólido descrito por la ecuación (2.4),

tal como se verá en la Sección 2.2.2.

cos).cos1.('tan.exp2

sin.'tan.exp2

sin).cos1.('tan.exp2

,

Dy

Dy

Dx

r ……………………………...… (2.5)

Donde, según la Figura 2-3 y la Figura 2-4: )20(;2

0

Debido a que las ecuaciones (2.4) y (2.5) denotan una superficie diferenciable en todas

las direcciones, es posible aplicar los conceptos de la geometría diferencial de superficies

definidos en la Figura 2-5, para obtener los vectores unitarios: normal ṅ, tangente ṫ en la

dirección de movimiento, y evaluarlos en determinado punto contenido dentro del plano

de falla.

Si se toman las derivadas parciales de la superficie parametrizada r(υ,ω), como la

indicada en la Figura 2-5, se tendrán en la ecuación (2.6) las componentes de los

vectores tangentes a la superficie en cualquier punto de interés (υ0,ω0):

00

00

00

00

00 ,'

,

,

,

,

r

z

y

x

r

……………………………….…..... (2.6) (a)


00

00

00

00

00 ,'

,

,

,

,

r

z

y

x

r

……………………………………….. (2.6) (b)

(a) (b)

Figura 2-5: Parametrización de una superficie en: a) R2; b) R3.

Fuente: Tomado de https://es.wikipedia.org/wiki/Geometría_diferencial_de_superficies.

De esta forma, el vector normal ṅ a la superficie r(υ,ω) en cualquier punto Q(υ0,ω0) estará

dado por el producto cruz de los vectores de la ecuación (2.6) tangentes a la superficie

en dicho punto Q, para la condición de falla activa (2.7) y pasiva (2.8).

sin'.sincos.cos'.cos

sin'.cos

cos.sin'coscos'.sin

,','

,',',ˆ

0000

000000

rr

rrn ……... (2.7)

'sin.sin'cos.cos.cos

'cos.sin

'sin.cos'cos.cos.sin

,','

,',',ˆ

0000

000000

rr

rrn ……… (2.8)

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometría_diferencial_de_superficies






Vale la pena aclarar que tanto en la ecuación (2.7) como (2.8), se invirtió el sentido del

vector normal ṅ respecto a la definición hecha en la Figura 2-4, con el fin de conservar la

convención comúnmente empleada en análisis geotécnico de que los esfuerzos normales

de compresión sobre la superficie de falla son positivos.

Por otra parte, si se considera que cuando se produce el colapso, las líneas de

movimiento siguen una trayectoria con coordenada local υ constante a lo largo de la

superficie de falla en la Figura 2-4, se puede deducir que el vector tangente que

representa la dirección de la fuerza cortante sobre el plano de falla será la derivada

parcial de r(υ,ω) respecto a ω, para falla activa (2.9) y pasiva (2.10).

)1))(cos('sin(

sin'sin

)1))(cos('cos(

'

',ˆ

00r

rt ….……………………..………… (2.9)

Donde, 2)'(cos)cos().')(cos1)(cos( 22 vv

)1))(cos(sin'tan.(cos

sin'tan

'cos

)1))(cos('cos(

'

',ˆ

00r

rt ….…………..…………… (2.10)

Donde, )1)(cos1(cos'cos

)1(cos22

De manera análoga a las expresiones (2.7) y (2.8), se incluye en las ecuaciones (2.9) y

(2.10) el signo menos (-) para orientar la fuerza resistente al corte que representa ṫ (ver

Figura 2-4) en sentido contrario a la dirección de movimiento.

Finalmente, integrar las fuerzas actuantes sobre la superficie de falla (esfuerzos

normales y cortantes) requerirá discretizar la misma en elementos diferenciales de área


dA. El área del elemento de superficie dA se puede expresar de manera aproximada

como función del producto cruz de los vectores tangentes r’ω y r’υ, así como de los

diferenciales dω y dυ en que se dividan las coordenadas paramétricas (ω,υ).

ddrrdA .),( 00

……………………………………………….…………

(2.11)

.''),( 00 rrA ……………………………………………….……….

Cuando dAAy ;00

El área de cada elemento diferencial de superficie estará dada respectivamente para la

condición de falla activa y pasiva por las ecuaciones (2.12) (a) y (b):

ddeD

dA ..'cos

)1)(cos(.

4),( 0'tan.2

2

000

…………………………........

(2.12)

(a)

ddeD

dA ..'cos

)1)(cos(.

4),( 0'tan.2

2

000

………………………..……… (b)

2.1.3 Discretización del sólido de falla

Integrar las fuerzas de campo que actúan sobre el sólido para evaluar el equilibrio, es

decir las acciones debidas al peso2 y a la infiltración según determinada condición de

flujo como se verá en la Sección 2.3, requerirá dividir en pequeños elementos de

volumen cada uno de los casquetes Δω en que se haya discretizado el sólido de falla. La

división del sólido en tajadas necesarias por el MEL se abordará con detalle en la

Sección 2.4. Cada elemento tendrá entonces un volumen conocido dVe y centroide de

coordenadas (xCG,yCG,zCG), punto en que se aplicarán las fuerzas de campo y las cuales

se integrarán a lo largo de toda la tajada del sólido sumando los efectos individuales en

cada volumen dVe.

El algoritmo seguido para realizar la subdivisión de cada una de las tajadas o casquetes

en elementos de volumen, se basó ampliamente en la discretización realizada

anteriormente Δω y Δυ para los elementos de superficie según sus coordenadas locales.

2 Campo gravitacional, es decir el peso propio del suelo.






Por consiguiente, se generó una malla poligonal en cada una de las paredes del

casquete de falla, trazando proyecciones de línea desde el origen de coordenadas (clave

del túnel) hasta cada uno de los puntos en que se discretizó la superficie de falla, y

dividiendo dichas proyecciones en segmentos equidistantes, tal como se ilustra en la

Figura 2-6 (b). La unión de los puntos correspondientes de la malla poligonal en cada

plano tomando como base las paredes adyacentes de las tajadas del sólido de falla, da

origen a la rejilla poliédrica y elementos de volumen mostrados en la Figura 2-6 (a).

(a) (b)

Figura 2-6: Malla poliédrica para discretización del volumen del sólido:

a) generación en el espacio; b) división al interior de las paredes de cada casquete.

Toda vez realizada la generación de la rejilla poliédrica que da origen a elementos de

volumen hexaedros y pentaedros, se proceder a identificar cada elemento y numerar sus

vértices, con el fin de obtener las coordenadas y a partir de estos calcular el volumen y

centroide de cada elemento empleando conceptos de álgebra lineal. La numeración

básica de un hexaedro se muestra en la Figura 2-7.


Figura 2-7: Numeración de los vértices y las caras del elemento de volumen hexaedro.

El volumen de cada poliedro mostrado en la Figura 2-8 puede calcularse como la suma

de los volúmenes individuales de pentaedros obtenidos al unir cada uno de los vértices

de las caras con un punto “O” dentro del sólido, el cual por facilidad se adoptará como el

centro de gravedad de la figura.

(a) (b) Figura 2-8: División de los poliedros en tetraedros por cara a) hexaedro; b) pentaedro.






A su vez, cada pentaedro ABCDO en que se ha dividido el hexaedro de interés, se puede

sub-dividir en dos tetraedros ABCO y ACDO formados al dividir en dos triángulos la cara

cuadrilátera irregular del cuadrilátero ABCD, como se muestra en la Figura 2-9 (b).

(a) (b) Figura 2-9: División básica del poliedro en a) pentaedro; b) tetraedro básico.

Si se definen para cada tetraedro las proyecciones radiales de los vértices al punto O

como vectores V1, V2, V3 y V4, se pueden emplear para calcular el volumen de cada

tetraedro conociendo la expresión del volumen de la pirámide (2.13) (a), y según la

ecuación (2.13) (b), la suma de estos dos volúmenes elementales arrojará el volumen del

pentaedro ABCDO de interés.

3126

1VVVVtetraedro ………………………….…...………….…..….…

(2.13)

(a)

)()(6

1314312 VVVVVVVpentaedro ……………………..….…….… (b)


Por último, para obtener las coordenadas (xCG, yCG, zCG) del punto “O”, centroide de cada

elemento de volumen, se aplicará la formulación propuesta en la referencia [12]3

aprovechando la división que se ha hecho del poliedro en tetraedros elementales y, por

extensión, la conformación de sus caras por figuras triangulares que forman la base de la

pirámide en la Figura 2-9 (b).

El centroide “O” de un objeto tridimensional formado por un número N de caras

triangulares con vértices (Ai , Bi , Ci) se puede hallar como se indica a continuación.

Figura 2-10: Centroide de un polígono formado por caras triangulares.

Fuente: Tomado de Bourke (1998), referencia [12].

Ρi es el promedio de los vértices en la cara i-ésima, y Λi es el doble del área de la cara i-

ésima. Se asume en la expresión (2.14) que las caras son “láminas” ultra-delgadas de

masa uniforme, que no necesitan estar conectadas ni formar un sólido. Esto reduce las

ecuaciones al polígono 2D de tres (3) vértices de la Figura 2-10, como lo son las caras

triangulares del poliedro discretizado y subdivido en tetraedros básicos.

1

0

1

0

N

i

i

N

i

ii

CGi

CGi

CGi

CGi

z

y

x

r …………………….……………………………..…….… (2.14)

Donde, )()(;3

iiiiiiii

i ACABCBA

3 Centroide de un polígono formado por caras triangulares (Paul Bourke, 1998).






La integración a lo largo de cada tajada j de los volúmenes individuales dVe arrojará el

volumen del casquete de falla respectivo. Con el fin de validar la propuesta anterior, es

posible totalizar el volumen del sólido de falla por medio de la sumatoria de volúmenes

individuales Ɐj, y compararlo con el volumen teórico bien sea para falla activa o pasiva.

La ecuación (2.15) se obtuvo de aplicar el teorema de Pappus-Guldin4 a las expresiones

(2.3) y (2.4) que describen la geometría del sólido, por colapso activo (a) y pasivo (b) del

frente.

'tan.'

23

23

'sin311'tan24

.

e

DTEORICO

…………………....…......

(2.15)

(a)

1

'tan24

. 'tan.2

33

e

DTEORICO ……………………………………...……… (b)

Obsérvese que la ecuación (2.15) es válida para todo mecanismo construido a partir de

φ' > 0, pero se llegará a una indeterminación si se asume φ = 0. Con el fin de calcular el

volumen del sólido propuesto como mecanismo de falla en el caso5 φ = 0, se aplicará la

regla de L'Hôpital para evaluar Ɐ en el límite (2.16).

0160'

0' 32

D

g

fLímite TEORICO ..…………………………………………… (2.16)

Finalmente, a partir de la discretización especificada en líneas anteriores, es posible

generar el sólido de falla y estimar el volumen de la masa inestable con un alto grado de

precisión. En la Figura 2-11 y Figura 2-12 se muestran dos ejemplos de discretización

para los respectivos colapsos activo y pasivo, bajo ciertas condiciones de la excavación y

del terreno (D, φ).

4 El volumen V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana

alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d, recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje: V = A×d. Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_centroide_de_Pappus. 5 Nótese que el mecanismo para falla activa y pasiva es igual para la condición φ = 0.

https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_L%27H%C3%B4pital

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_centroide_de_Pappus


Figura 2-11: Sólido de falla activa discretizado y centroide elementos poliédricos.

Figura 2-12: Sólido de falla pasiva discretizado y centroide elementos poliédricos.






2.2 Estado de esfuerzos

2.2.1 Procesos de carga y descarga

Toda obra de construcción involucra un cambio en el estado de esfuerzos del suelo de

fundación, como se muestra en las trayectorias de esfuerzos de la Figura 2-13. Estos

procesos pueden denominarse de carga, si el esfuerzo normal equivalente p aumenta a

medida que aumenta el esfuerzo cortante desviador q hasta alcanzar la envolvente de

resistencia, y por otro lado, los procesos de descarga, donde la reducción de p a medida

que aumenta q conduce a la condición de falla.

Figura 2-13: Trayectoria de esfuerzos p-q en procesos de carga y descarga.


El proceso de colapso gravitacional del frente del túnel por falla activa, en que la masa

deslizada se mueve hacia la excavación, podrá considerarse similar al problema de falla

de fondo en una excavación vertical en suelos (Caso 3 Figura 2-13). Esto significa que en

la falla activa del frente los esfuerzos p actuantes serán menores a los encontrados en

condición de reposo del suelo o in-situ p0, la cual se describirá más adelante en la

Sección 2.2.2. En contraste, la falla pasiva o que ocurre por levantamiento del material en

la cobertura del túnel debido a una elevada presión de soporte de excavación, puede

seguir una trayectoria de esfuerzos intermedia entre el problema de capacidad portante

superficial (Caso 1 Figura 2-13) y un ensayo de laboratorio de compresión triaxial.

La revisión de los resultados recopilados en la Sección 1.5, obtenidos de estudiar

colapso del frente en ensayos de centrífuga, indica que la falla se define como el estado

en que los desplazamientos tienden al infinito, para un valor asintótico alcanzado mínimo

o máximo de la presión de soporte aplicada, según se trate de falla activa o pasiva.

Figura 2-14: Modelo reológico de fuerzas involucradas en la falla.

Si bien la naturaleza del problema planteado es dinámica, según se siga determinada

trayectoria de esfuerzos en carga o descarga, el uso del método del equilibrio límite MEL

para estudiar únicamente el instante en que ocurre el colapso tal y como se propone en






la Sección 2.4.1, implica asumir el estado de esfuerzos en la falla más apropiado, tanto

para condición activa como para condición pasiva. Con el fin de entender la evolución del

estado de esfuerzos hasta llegar a la falla para estudiar colapso activo y pasivo, se

propone el modelo reológico esquematizado en la Figura 2-14.

Supóngase que el sistema de fuerzas que actúa sobre el sólido de falla en el frente está

representado por el peso W que reposa sobre un tubo telescópico de paredes rígidas

sostenido a su vez por dos apoyos friccionantes N0-S0 conectados en sus extremos por

un resorte a compresión de rigidez K, y que se deslizan a lo largo de las paredes de un

conducto cónico truncado. Se supondrá por cinemática del mecanismo de falla que el

movimiento se presentará en el sentido en que aumenta la abertura del cono y será

activado por la magnitud de la fuerza Q aplicada en el frente, la cual actúa en sentido

contrario de la fuerza de gravedad, es decir en contra del peso W. En la falla activa el

sistema tenderá a desplazarse hacia el frente (abajo) con relación a su posición de

equilibrio inicial por la reducción de soporte que genera el avance mismo de la

excavación (valor de Q < W). Por consiguiente, se producirá una relajación del resorte de

rigidez K que hará que las fuerzas de reacción N-S a lo largo de las paredes del conducto

se reduzcan (N<N0, S <S0), y que conforme avance el movimiento hacia la excavación,

se deba aplicar una fuerza Q cada vez mayor para estabilizar el sistema. Por tanto, la

“relajación” del estado de esfuerzos actuantes en las paredes del sólido de falla conduce

a un cálculo conservador de la mínima presión de soporte en el frente para falla activa.

Por el contrario, en la condición de falla pasiva la masa de peso W tenderá a moverse

hacia el terreno (arriba del frente de excavación, es decir hacia el vértice del cono)

debido a una excesiva presión de soporte aplicada (valor de Q >> W). Así pues, a

medida que se presenta la falla pasiva, es decir, que se levanta la masa W, el resorte de

rigidez K se comprime con el consiguiente aumento de las fuerzas de reacción en las

paredes N-S que se oponen al movimiento (N>N0, S >S0), lo que hará que la fuerza

aplicada Q necesaria para equilibrar el sistema sea cada vez mayor. Bajo este escenario

en que el objetivo es hallar la máxima presión de soporte que se puede aplicar al frente,

el cálculo del lado de la seguridad se logra asumiendo la condición incial de esfuerzos in-

situ (N0, S0).


2.2.2 Condición geostática y efecto de arco

Muchos de los problemas geotécnicos inician en la condición geostática6, que es un

estado in-situ de equilibrio estable del suelo que aún no ha sido perturbado, sometido a la

acción del campo de la gravedad. El estado de equilibrio incluye las componentes de

esfuerzo horizontal y vertical (Figura 2-15) que serán los esfuerzos efectivos principales,

al no existir en los planos x, y, z esfuerzos cortantes ni desplazamiento, puesto que las

deformaciones laterales y verticales por consolidación y creep han llegado a cero a lo

largo de periodos geológicos de formación. Esta condición de análisis es válida cuando la

superficie del terreno es horizontal y la naturaleza del suelo, más específicamente el

peso unitario, varía muy poco en dirección horizontal, es decir ∂𝜎’xx/∂x = 0.

Frecuentemente se presenta este caso en suelos de origen sedimentario, donde el

proceso de formación del depósito es básicamente unidimensional (dirección z), por lo

que se aplica la ecuación de equilibrio vertical ∂𝜎’zz/∂z = γ' al elemento de suelo de la

Figura 2-15, localizado a una profundidad z. Al resolver la ecuación diferencial de

equilibrio (2.17) (a) y si el peso unitario del suelo es constante con la profundidad, se

tiene que el esfuerzo vertical variará linealmente con la profundidad (2.17) (b).

dzz

z 0

' …………....………………………….………………………….

(2.17)

(a)

zz ' …………………….……………………………………………. (b)

n

i

iii

z z1

)()()( ' …………………………………..………………...…….. (c)

Por supuesto, en situaciones reales el peso unitario efectivo no es una constante con la

profundidad, ni siquiera en un depósito homogéneo. Generalmente el suelo resultará

cada vez más compacto al aumentar la profundidad debido a la compresión originada por

el peso de la columna que lo supra-yace, es decir los esfuerzos geostáticos. Si el peso

unitario del suelo varía de forma continua con la profundidad, es decir se conoce la

función γ' = ƒ (z), los esfuerzos efectivos verticales pueden calcularse directamente por

medio de la integral (2.17) (b). A diferencia del caso homogéneo, si el suelo está

6 Condición geostática es una suposición válida en la mecánica del medio continuo, siempre y

cuando la superficie del terreno sea horizontal y el proceso de formación del suelo obedezca a una dinámica de depositación donde halla primado la deformación en la dirección vertical.






estratificado y el peso unitario efectivo de cada capa i es diferente, los esfuerzos

verticales efectivos pueden calcularse por medio de la sumatoria de la expresión (2.17)

(c). Para la condición de falla pasiva, se empleará en el modelo propuesto la sobrecarga

dada por la superposición de la carga en superficie q0*7 disipada y de la condición de

esfuerzos geoestáticos de la ecuación (2.17) (c), como se ilustra en la Figura 2-16.

Figura 2-15: Desarrollo de los esfuerzos in-situ en un depósito de suelo.

Figura 2-16: Sobrecarga y geometría de falla pasiva o por levantamiento del frente.

7 La sobrecarga en superficie disipada q0* a la profundidad del túnel C se puede obtener al aplicar

el concepto simplificado de distribución de esfuerzos 2V:1H usado en geotecnia, aplicando a la carga q0 el factor de influencia para un cimiento redondo de diámetro Df, como If = Df

2/(Df + C)

2.


Por otra parte, el efecto de arco es uno de los principales elementos que influye en el

valor calculado de la presión de soporte cuando se establece un modelo de cuña-silo

para estudiar la falla activa en el frente del túnel. La evidencia experimental8 indica que

cuando el material del frente falla, la sobrecarga efectiva que actúa sobre el sólido que se

desplaza hacia la excavación es inferior al peso propio de la columna de material en la

cobertura, ya que este es redistribuido en el suelo adyacente movilizando parte de la

resistencia al corte. Este efecto de arco fue descubierto por Terzaghi [53] en

experimentos realizados a escala de laboratorio en una caja con una puerta trampa en el

fondo, supra-yacida por un depósito de arena limpia, razón por la cual el efecto de

redistribución de esfuerzos es más perceptible en materiales grueso-granulares con alto

componente de fricción-dilatancia que en suelos fino-granulares o de naturaleza

cohesiva. Debido a la relajación de esfuerzos normales en la condición de falla activa,

descrita en la Sección 2.2.1, se aplicará tanto la propuesta de Terzaghi de relajación de

esfuerzos verticales adaptada al mecanismo propuesto, como el principio de los

esfuerzos efectivos para establecer la condición de confinamiento del sólido de falla

activa en el frente de excavación.

Figura 2-17: Definición de fuerzas por efecto arco en tajada infinitesimal de suelo


8 Ver ensayos de centrífuga para colapso activo en la Sección 1.5.






Terzaghi propuso el modelo de una tajada de suelo infinitesimal horizontal, como se

ilustra en la Figura 2-17, sometida al esfuerzo vertical 𝜎'v, resultante del peso de la

columna de largo infinito o silo 2D y su peso propio γ'. A lo largo de las paredes del silo

actúa la fuerza cortante τ, la cual transfiere parte de la carga actuante a las partículas de

suelo circundante. El equilibrio vertical de la tajada infinitesimal de suelo cuyo ancho es

2𝑎 y largo unitario implica la igualdad dada en la expresión (2.18).

)''(22'2'2 ,,, aaa dadzdzaa ………….………………….... (2.18)

Si se emplea el criterio de fluencia de Möhr-Coulomb como se describirá más adelante,

se tiene τ = c' + Ky 𝜎'v, tan φ', llegando a la ecuación diferencial de primer orden (2.19).

a

Kc

dz

d y 'tan'''

'

………………………………………………………… (2.19)

Al resolver esta ecuación empleando la condición de frontera 𝜎'v, = q0 para z = 0, siendo

q0 una sobrecarga arbitraria en la superficie, se tiene la expresión para obtener el

esfuerzo vertical efectivo por efecto de arco en suelos (2.20):

a

zK

a

zK

y

yy

eqeK

ca 'tan

0

'tan

1'tan

'''

………………………………... (2.20)

Donde, Ky.es el coeficiente de presión de tierras en la falla.

c' es la cohesión del suelo.

φ' es el ángulo de fricción interna del suelo.

Cuando la cobertura está compuesta por varias capas de suelo, se puede obtener un

resultado similar aplicando la ecuación (2.20) por separado para cada capa, integrando

esta expresión desde la superficie hacia abajo y como condición de continuidad tomar el

esfuerzo efectivo en el fondo de la capa inmediatamente superior como la sobrecarga en

la capa inferior subsiguiente. Para la capa i-ésima, con coordenada de profundidad en la

parte superior z = t(i), se puede deducir la ecuación (2.21).


a

zK

i

ia

zK

ii

y

iii

iiy

iiy

eteK

ca )()()()( 'tan)1(

'tan

)()(

)()()( )('1

'tan

'''

……………..…..

(2.21)

Donde, )1()( ii tzt

Igualmente se puede aplicar una sobrecarga en la primera capa i = 1, es decir 𝜎'v(0) = q0,

y de esta manera se obtiene la distribución completa de esfuerzo vertical efectivo con la

profundidad.

Figura 2-18: Silo prismático por efecto arco con fuerzas cortantes en todas sus caras.


Un punto de discusión siempre ha sido la distancia de relajación 𝑎 que se debe usar en

los cálculos [14] [56]. Terzaghi modeló un silo infinitamente largo en dirección normal al

plano, en que la resistencia a la corte movilizada solo actúa en los costados del silo [53].

Por otro lado, Jancsecz [30] propuso una columna de suelo con ancho igual al diámetro

del túnel D y altura igual a la profundidad de la clave del túnel, en que las fuerzas

cortantes se aplican en las cuatro caras del silo prismático (Figura 2-18). Usando esta

aproximación, el ancho de relajación 𝑎 por emplear en las ecuaciones anteriores se

obtiene como el coeficiente del área al perímetro del silo en la expresión (2.22).

)tan(2

cot

BD

BD

P

Aa

……………………………………………………..…… (2.22)

Donde, θ es el ángulo de inclinación con la horizontal de la cuña triangular de falla.






Aunque la propuesta anterior toma en cuenta la naturaleza tridimensional del silo de

suelo sobre el sólido de falla en el frente, tiene las limitaciones desde el punto de vista

cinemático que presentan los modelos de cuña en el frente implementada por los

métodos de estabilidad global disponibles, de la Sección 1.3. Por esta razón, en este

trabajo se propone un modelo de silo cilíndrico elíptico que es consistente con el

mecanismo de falla espiral logarítmico 3D planteado, el cual se ilustra en la Figura 2-19.

Figura 2-19: Silo cilíndrico por efecto arco en condición de falla activa del frente.

La Figura 2-19 muestra la tajada diferencial de suelo dentro de un silo elíptico, la cual

para estar en equilibrio debe satisfacer que la sumatoria de fuerzas verticales sea cero,

Fv = 0. Al hacer uso de la simetría axial, se plantea de manera análoga a la condición en

el plano, la ecuación diferencial de equilibrio de la tajada para un silo cilíndrico (2.23).


2/

)'tan''('

'

r

Kc

dz

d y

………………………………………………..…… (2.23)

Al resolver la expresión (2.23), se obtiene la ecuación (2.24) para efecto de arco en un

silo cilíndrico 3D, con radio r.

2/

'tan

02/

'tan

1'tan

''2' r

zK

r

zK

y

yy

eqeK

cr

……………………………….... (2.24)

Donde, 'cos

2

'tan'2

e

Dr

Si se comparan las expresiones (2.20) y (2.24), se podrá concluir que en el caso de un

silo cilíndrico, la distancia de relajación 𝑎 es igual al semi-radio r/2 del cilindro, es decir,

se cumple la relación de área a perímetro9 propuesta de Jancsecz [30] para el caso de

una sección circular de radio r. La construcción del mecanismo de falla propuesto en la

Sección 2.1.2 puede, para valores de φ' > 0, generar silos de suelo de sección

transversal elíptica al proyectar la sección circular A-B del torus sobre el plano horizontal

xy (Figura 2-19), con el semi-eje menor en dirección x, y el semi-eje mayor en dirección

y. Por tanto y sabiendo que la distancia de relajación es un factor de forma, para su

deducción en un silo de base elíptica se aplicará la expresión (2.22) conociendo de

antemano área y perímetro aproximado10 de la elipse proyectada por el torus de falla.

)3()3()(33

P

Aa D …………………………..………..

(2.25)

'cos31'cos3'cos13

'cos'tan'2exp23

D

P

Aa D ...............................................

Donde, α es el semi-eje mayor de la elipse (en dirección y).

β es el semi-eje menor de la elipse (en dirección x).

9 Siendo el área del círculo A = πr

2 y perímetro P = 2πr, su factor de forma es la relación A/P = r/2.

10 Dado que no existe solución analítica para el perímetro de la elipse, se empleará la propuesta

aproximada de Ramanujan (1918) para calcular el perímetro de la elipse. Esta se considera una propuesta adecuada para elipses cuyo contorno se acerca al de la circunferencia.






La expresión (2.25) es válida para obtener el ancho de relajación con que se calcula el

esfuerzo vertical por efecto arco en la cobertura del túnel y hasta el nivel de transición

entre el silo y torus, definido por debajo de la clave del túnel a lo largo del plano A-B en la

Figura 2-19. Para aplicar la ecuación del efecto arco en las paredes del sólido de falla en

el frente, es decir en algún punto sobre la superficie de falla, se aplicará el factor de

forma como se demostró anteriormente tomando una cuarta parte del diámetro variable

del torus según su posición (ω,υ) en el espacio, es decir el ancho de relajación

tridimensional 𝑎3D de la ecuación (2.26).

'tan2

342

eDr

P

Aa D

……………………………….…………………..... (2.26)

Donde, D es el diámetro de la excavación o cabeza de corte de la tuneladora.

Todo esto lleva a tres posibles formas de estimar los esfuerzos verticales:

a) Sin efecto arco o en condición geostática, donde 𝑎 → ∞.

b) Con efecto arco en condición plana [53], donde 𝑎 = D/2. (Terzaghi).

c) Con efecto arco para un silo en el espacio, donde 𝑎3D = ƒ (D, φ') ecuación (2.25).

(a)

(b)

Figura 2-20: Distribución de esfuerzo vertical para diferentes propuesta efecto arco.


En la Figura 2-20 se grafican los esfuerzos verticales con la profundidad a partir de las

tres propuestas anteriores en un ejemplo de arena seca, para dos propuestas del

coeficiente de presión de tierras en reposo K0 (a) y por efecto arco Kk (b). Como se

observa no hay mayor diferencia en los esfuerzos verticales por variar Ky, pero se

advierte que el estado de esfuerzos es altamente sensible si se compara la propuesta de

condición geostática con la de relajación por efecto arco. Por consiguiente, se explorarán

las tres propuestas mostradas en la Figura 2-21 para establecer la distribución de

esfuerzos normales a lo largo de la superficie de falla en el frente a partir de los

esfuerzos verticales, y se validará la aproximación más adecuada como se demostrará

posteriormente en la Sección 3.2 a la luz de los resultados obtenidos de implementar una

u otra hipótesis.

Figura 2-21: Posibles distribuciones de esfuerzos actuantes en la superficie de falla: 1) Condición geostática; 2) Efecto arco 3D; 3) Esfuerzo intermedio (interpolación lineal).

Fuente: Adaptado de Broere, referencia [14].






2.2.3 Relación de esfuerzos en la falla y criterio de fluencia

En la sección anterior se describió como obtener los esfuerzos verticales actuantes tanto

en el silo de suelo en la cobertura del túnel como en el material a lo largo de la superficie

de falla en el frente, para condición geostática y por efecto de arco. Por su parte, los

esfuerzos horizontales 𝜎’x se suelen expresar como función de los verticales 𝜎’z por

medio del coeficiente de presión lateral de tierras Ky.

z

xyK

'

'

…………………………………………..…………………………….… (2.27)

Esta definición de Ky se emplea indiferentemente de que la condición de esfuerzos sea

geostática o no. Incluso en el caso de que los esfuerzos sean geostáticos, el valor de Ky

puede variar entre amplios límites, según el suelo resulte comprimido o expandido en la

dirección horizontal, bien sea por fuerzas de la naturaleza o la acción antrópica. De

manera frecuente en geotecnia, es de interés la magnitud del esfuerzo geostático

horizontal en el caso especial en el que no se haya producido deformación lateral del

terreno. En este caso se habla del coeficiente de presión lateral de tierras en reposo y se

designa por el símbolo K0. Como se ha comentado anteriormente, un depósito de origen

sedimentario está formado por una acumulación de sedimentos de abajo hacia arriba. Al

continuar aumentando el espesor depositado de sedimentos, se produce la compresión

vertical del suelo a todos los niveles debido al aumento del esfuerzo vertical. Al

producirse la sedimentación, generalmente en una zona bastante extensa, no existe

razón por la cual haya lugar a una compresión horizontal apreciable. Por esta razón,

algunos autores han llegado a la conclusión lógica de que en un suelo sedimentario, por

ejemplo, el esfuerzo total horizontal debe ser menor que el vertical. Una de las

propuestas más ampliamente usadas para obtener K0, ecuación (2.28), en suelos

normalmente consolidados o de baja a media densidad relativa es la de Jaky [28],

basada en principios de plasticidad y datos experimentales obtenidos en materiales

almacenados a granel en silos.

'sin1)(0 NCK ………………………………………………………….…….… (2.28)


En contraste, existe también la evidencia que indica que el esfuerzo horizontal puede ser

superior al vertical si un depósito sedimentario ha tenido una carga importante en el

pasado. En efecto existe una memoria en el suelo, por la cual los esfuerzos horizontales

quedaron “congelados” cuando el suelo estuvo cargado con un espesor mayor de tierras

que el actual y no se disiparon al retirarse esta carga. En este caso, el valor de K0 puede

tomar valores muy superiores a la unidad (1) en función del parámetro de historia básico

definido como la relación de sobreconsolidación, OCR11. Existen aproximaciones semi-

empíricas como la de Mayne y Kulhawy [35] a partir de una amplia base de datos de

suelos, para establecer el valor de K0 de la ecuación (2.29) en suelos sobre-

consolidados, que requieren conocer el perfil de “sobre-consolidación” del suelo.

)'(sin

)(0)(0 * OCRKK NCOC ………………………...…………………………….… (2.29)

Las expresiones anteriores permiten obtener el esfuerzo horizontal como función del

esfuerzo vertical en cualquier punto dentro del continuo. Sin embargo, es importante

precisar que la adopción del criterio de falla de Möhr-Coulomb, en que la resistencia al

corte se expresa como función del esfuerzo normal al plano, demandará a su vez obtener

los esfuerzos normales en cada punto del plano de falla conociendo el esfuerzo vertical

efectivo actuante. El criterio de fluencia adoptado para obtener las reacciones por

esfuerzo cortante movilizado en las paredes del sólido de falla es el de Möhr-Coulomb12,

que generalmente se escribe de la forma (2.30) (a) en términos de esfuerzos efectivos y

(2.30) (b) en términos de los esfuerzos totales.

'tan'' cf …………………………………………………….…….…

(2.30) (a)

tan cf ……………………………………….………………….… (b)

Donde, u ' : Principio de los esfuerzos efectivos [49].

u es el exceso de presión de poros.

11 Del inglés Over-consolidation ratio OCR.

12 El criterio de resistencia fue introducido por Terzaghi en el Congreso de 1936 de la Sociedad

Internacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería de Fundaciones ISSMFE (International Society for Soil Mechanics and Foundations Engineering hoy en día ISSMGE), tomando la interpretación de la fricción en bloques de Coulomb [19] que hiciera su estudiante por aquel entonces M.J. Hvorslev, quien ajusto los resultados de ensayos de corte drenados a la ecuación de Möhr para rotación de esfuerzos alrededor de un punto [48].






Este criterio tiene limitaciones como la linealidad explícita de la envolvente de resistencia

y la presunción oculta en la expresión (2.30), que implica que todo plano normal a la

superficie de falla es un plano “2”, en otras palabras (ver Figura 2-22 a), donde está

contenido el esfuerzo principal intermedio 𝜎2. No obstante las limitaciones del criterio de

falla de Möhr-Coulomb, es importante reconocer que la información antecedente

disponible y descrita en el Capítulo 1 está caracterizada con sus parámetros c' y φ', lo

cual lo convierte en el criterio más empleado para materiales térreos que se puedan

idealizar como medio continuo, razón por la cual se adoptó en la presente investigación.

a) b)

Figura 2-22: Cálculo de los esfuerzos en un plano a un ángulo χ del eje principal.

Es evidente de la Figura 2-22 (b) que si se desea obtener el esfuerzo normal en

determinado punto del plano de falla, bastará con conocer la inclinación χ de este plano

respecto los planos principales “1” o “2” y el valor del esfuerzo principal mayor 𝜎'1 o

menor 𝜎'3 en dicho punto. Si bien el criterio de fluencia de Möhr-Coulomb también se

puede escribir en términos de los esfuerzos principales, el desarrollo de la Sección 2.2.2

demostró que en los puntos en falla solo se conoce con cierto grado de certeza el

esfuerzo efectivo vertical actuante 𝜎'z. Por este motivo se hará uso del círculo de Möhr

rotado alrededor del eje “2” para encontrar el esfuerzo normal 𝜎'n en el plano de falla

como una función del esfuerzo vertical 𝜎'z.


Para el análisis drenado (φ' > 0), es decir el criterio de falla escrito en términos de

esfuerzos efectivos (2.30) (a), el estado de esfuerzos está dado por la Figura 2-23.

Figura 2-23: Círculo de Möhr para falla drenada.

Es fácil demostrar por trigonometría de la construcción mostrada en la Figura 2-23, que

se puede escribir en la ecuación (2.31) el coeficiente de esfuerzos efectivos en la falla Kfn

para obtener 𝜎'n como función del esfuerzo 𝜎'z y la inclinación θ del plano de falla.

)'2sin('.sin1

'cos''

2

fnzfnn KconK …………..…………… (2.31)

Al trabajar en el espacio, sin embargo, es más fácil medir inclinaciones a partir de los

cosenos directores del plano de interés. Por tal razón, se puede reformular la expresión

(2.31) introduciendo en la ecuación (2.32) el coeficiente kn como función del tercer

coseno director nz = cos(θ).






'sin.ˆ1

'cos2

ˆ

2

ˆ

nnfn

kK

z …con…

222

ˆ ˆˆ1ˆ'tan

121ˆ

zzzn nnnk

……….…….… (2.32)

En este punto vale la pena aclarar que el coeficiente de presión de tierras Kk [27] a usar

en el cálculo del esfuerzo vertical por efecto arco, es un caso especial del coeficiente en

la falla Kfn propuesto anteriormente, cuando el plano de falla es vertical (θ = π/2) como es

la condición del silo de suelo, según se muestra en la Figura 2-24 (a).

(a)

(b)

Figura 2-24: Coeficiente de presión de tierras Kk por efecto arco.

Fuente: Adaptado de la referencia [55].

En la Figura 2-24 (b) se puede observar la variación de Kk contra el ángulo de fricción

comparado con otras propuestas de coeficiente de presión lateral de tierras, y la Figura

2-25 grafica la variación del coeficiente Kfn con el ángulo de fricción para distintos valores

de inclinación del plano de falla, en el caso drenado (φ' > 0).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ángulo de fricción (°)

Coeficie

nte

Pre

sió

n d

e t

ierr

as

' h/

' v

Ka = tan2(/4 - /2) (activo, Rankine 1857)

K0 = 1 - sin (en reposo, Jaky 1948)

Kk = cos2/(1 + sin2) (en arco, Iglesia 1990)


(a)

(b)

Figura 2-25: Coeficiente de presión de tierras en la falla Kfn en función de la inclinación

con la horizontal del plano de falla.

De manera paralela, en el análisis no drenado (φu = 0, cu > 0), es decir la resistencia al

corte de la ecuación (2.30) (b) en términos de esfuerzos totales, el estado de esfuerzos

se puede representar como se ilustra en la Figura 2-26.

Figura 2-26: Círculo de Möhr para falla no drenada.

Análogamente al caso drenado, en la condición no drenada se puede escribir el

coeficiente de relación de esfuerzos en la falla Kfn en la ecuación (2.33) para obtener 𝜎'n






como función del esfuerzo 𝜎'z, y dependiente de la inclinación nz = cos(θ). del plano de

falla, de acuerdo con la expresión (2.34).

cos.sin.2

1;.z

ufnzfnn

sKconK ……..………………………….… (2.33)

n

z

ufn k

sK

ˆ

21

…con… 22

ˆ ˆ1ˆ zzn nnk ………………………………….………. (2.34)

En resumen, si se conocen los esfuerzos normales y cortantes que actúan en

determinado punto del plano de falla según la condición de análisis drenado o no-

drenado y a partir de los vectores unitarios normal, ecuaciones (2.7) (2.8), y cortante,

ecuaciones (2.9) (2.10), obtenidos para cada mecanismo de colapso bien sea activo o

pasivo, se pueden aplicar los conceptos del álgebra lineal para calcular las fuerzas de

superficie normal N, expresión (2.35), y cortante S13, expresión (2.36), que constituyen

las reacciones en el contorno del sólido de falla.

dA

n

n

n

N

N

N

N

z

y

x

n

z

y

x

ˆ.

ˆ.

ˆ

' ………………..………………….………………….… (2.35)

dA

t

t

t

T

T

T

S

z

y

x

n

z

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

……………………………….………...………………….… (2.36)

13 Se podrá advertir en la Sección 2.4 que S representa la fuerza resistente al corte disponible a lo

largo de la superficie de falla con área dA, y que la variable T se ha reservado para denotar la fuerza cortante desarrollada en las paredes internas entre tajadas del sólido propuesto.


2.3 Efectos del agua y del fluido de excavación

La construcción del túnel genera perturbaciones a las condiciones in-situ del terreno,

tanto al estado de esfuerzos según se trató previamente, como a la dinámica de

infiltración que sigue el agua subterránea en el frente. Es bien sabido que la condición

hidrogeológica del terreno y el método constructivo son los principales factores que

determinan la dinámica de flujo sub-superficial. Por consiguiente, se pueden establecer

dos escenarios simplificados de infiltración siempre que el terreno esté saturado: flujo del

agua desde el terreno hacia la excavación y flujo desde el frente hacia el terreno. En esta

sección se tratará la incorporación de los efectos que tienen las fuerzas de infiltración, en

ambos casos de flujo, sobre el mecanismo propuesto de estabilidad del frente,

empleando para ello el método de los esfuerzos efectivos y de las fuerzas de filtración.

Para el caso particular de que no exista flujo sub-superficial, bien sea porque el terreno

se encuentre seco o porque se idealice una membrana en el frente de excavación como

se expuso en la sección 1.3.9, se anulan en el modelo propuesto las fuerzas de

infiltración. Con el fin de establecer la presión de soporte en el frente de excavación sin

flujo sub-superficial, se empleará en los cálculos del método propuesto el peso unitario

efectivo, seco o sumergido según corresponda, superponiendo las presiones

hidrostáticas existentes in-situ.

2.3.1 Flujo tridimensional del agua subterránea hacia el frente

El flujo tridimensional del agua subterránea hacia la excavación se establece en aquellos

casos en que el método constructivo hace que el túnel suponga un gran “dren” dentro del

terreno, es decir, cuando existe en el frente presión atmosférica que resulte menor a la

cabeza de presión del agua en el terreno. Siempre que exista un nivel freático por arriba

de la clave del túnel, esta condición de análisis es válida para excavación con equipo

convencional por drill & blasting (perforación y voladura), tuneladoras de escudo abierto o

incluso TBMs de doble escudo sin presurización de la cámara de excavación.

En esta condición, se desarrollan en el terreno gradientes hidráulicos [ix, iy, iz] en la

dirección de la excavación, razón por la cual su efecto en la estabilidad será desfavorable

para el caso de la falla activa y favorable para la falla pasiva del frente. Existen muchas

propuestas en la literatura para estudiar este efecto [2] [3] [5], la gran mayoría basadas

en resultados de análisis numéricos de flujo sub-superficial tridimensional, asumiendo ley






de Darcy con el campo de cabeza hidráulica en estado estable. Entre las propuestas más

recientes, destaca la de Perazzelli y otros [43], quienes proponen las expresiones para

hallar la distribución de cabeza hidráulica total hT en el frente (2.37) (a) y sobre el túnel

(2.37) (b), es decir, en el silo de suelo contenido dentro de la cobertura.

hehzyxh H

xb

FT

1),,( …………………………………….…….…

(2.37)

(a)

hehzyxh H

za

H

xb

FT

1

1),,( …….…………………………….… (b)

Donde, H es la altura de la excavación en el frente (H = D para y = 0). hF es la cabeza hidráulica total en el frente de excavación. h0 es la cabeza hidráulica total en el terreno antes de la excavación.

Δh es la caída de cabeza hidráulica, o diferencia entre h0 y hF.

a es una constante: a = 4.496 para C/H = 1; a = 2.850 para C/H = 5.

b es otra constante: b = 1.935 para C/H = 1; b = 1.638 para C/H = 5.

Los valores obtenidos de aproximar el cálculo del campo de cabeza hidráulica por medio

de las expresiones (2.37) son suficientemente precisos [43], comparados con los

resultados de modelación numérica tridimensional por elementos finitos, como se

muestra en la Figura 2-27 para ciertas condiciones del frente (D = C = 10m, hF = 0 m.c.a,

h0 = 100 m.c.a).

(a) (b)

Figura 2-27: Cálculo numérico campo tridimensional de cabeza hidráulica flujo hacia el

frente: a) malla elementos finitos b) curvas de nivel obtenidas.

Fuente: Tomado de Perazzelli y otros, referencia [43].


No obstante, la ecuación (2.37) es una formulación plana o bidimensional que no tiene en

cuenta la distancia horizontal y. En la Figura 2-27 (a) se puede advertir que esta

propuesta además de haber sido concebida para excavaciones con simetría axial como

lo es el caso analizado, está pensada en representar el mecanismo de falla de cuña y silo

prismático, puesto que se presenta un túnel de sección rectangular en el frente. Por lo

tanto, la implementación de esta propuesta requirió adaptar las ecuaciones (2.37), con el

fin de que fuesen aplicables a una condición de frente de excavación circular con flujo

tridimensional hacia la cara. Para tal fin, en la Figura 2-28 (a) se proponen proyecciones

x' en dirección radial desde el frente y hacia el terreno, a lo largo de las cuales se

calculará el campo de cabeza hidráulica. Esta construcción de rejilla radial de flujo se

plantea en el presente trabajo siguiendo una probable red de flujo tridimensional como la

obtenida por Anagnostou [2].

(a)

(b)

Figura 2-28: Flujo de agua subterránea desde el terreno hacia el frente: a) rejilla radial

propuesta b) campo de cabeza hidráulica y gradientes.






Toda vez obtenido el campo de cabeza hidráulica total es posible calcular por definición,

ecuación (2.38), las componentes del gradiente hidráulico en cada centroide de los

elementos de volumen en que se ha discretizado el sólido, según la Sección 2.1.3. La

Figura 2-28 (b) ilustra la proyección en el plano xy del campo de cabeza hidráulica total y

gradientes según el estado de flujo tridimensional establecido para determinadas

condiciones (D = C = 10m, h0 = 100m.c.a, hF = 5m.c.a).

zyxz

h

zyxy

h

zyxx

h

i

i

i

zyxi

T

T

T

z

y

x

,,

,,

,,

,,

………………...……….………...………….… (2.38)

Los gradientes en cada elemento de volumen permiten a su vez hallar las fuerzas de

filtración por tajada Jj [Jjx, Jjy, Jjz], las cuales se obtienen al integrar en cada casquete las

fuerzas de filtración ĵ por elemento de volumen, según la ecuación (2.39) (a). Este

procedimiento se puede igualmente replicar para la fuerza de campo debida a la

gravedad en la expresión (2.39) (b), es decir debida al peso unitario efectivo γ', y obtener

el peso propio Ẇj [0, 0, W] de la tajada j-ésima.

ew

z

y

x

z

y

x

dV

i

i

i

j

j

j

zyxj ..,,

…………………………………………….…

(2.39)

(a)

edVzyxw '..

1

0

0

,,

…………………....……………………………….….

(b)

En la ecuación (2.39) (b) el peso tiene componente z positiva, esto debido al sistema de

coordenadas establecido con origen en la clave del túnel y eje z en la dirección de la

profundidad, como se define en la Figura 2-4.

En cuanto a la fuerzas de filtración actuantes en el silo de suelo producto del flujo vertical

descendente hacia el frente, Perazzelli y otros [43] proponen integrar la ecuación (2.37)


(b) en el volumen saturado del silo de suelo. Así, se obtiene la fuerza vertical neta V'SILO

aplicada en la cara superior del sólido de falla. Si se realiza dicha integral en el silo

cilíndrico de sección elíptica descrito anteriormente en la Sección 2.2.2, es posible

expresar el esfuerzo vertical efectivo y por ende, la fuerza V'SILO, como la sumatoria de la

fuerza de filtración debida al gradiente hidráulico promedio iav y debida al efecto arco,

según la ecuación (2.40) (a).

R

tK

avwR

tK

y

z

yy

eqfDzieK

cRz

**

'.tan

0

*'.tan.

..))(.'(1'tan.

'')('

...…....

(2.40)

(a)

Db

b

eahzi

Hza

av

'cos2exp1

'cos2

.)(

1

……………………………….. (b)

R

RaDK

D

t

RaDK

Rf

'tanexp1

'tan*

*

…….…………………..

(c)

*

**

*

*

z>DCyR'>c'si0;

D>z>yR'>';

'';

CDcsiDz

CDzoRcsiC

t ……..……………………..

(d)

R

Rc

hw

b

Dba

aD

z.

''

'.

'cos.2

'.cos.2exp1

ln1

1*

…………………………

(e)

'tan'2

exp2

D

…………………………………………………..

(f)

Donde, R Ancho de relajación del silo de suelo en la cobertura, ecuación (2.25). iav Gradiente hidráulico promedio actuante en el silo de suelo. ƒ * Función de forma que relaciona geometría del silo. t* Altura del silo de suelo que actúa como sobrecarga en la cuña de falla. z* Espesor del silo de suelo donde se presenta efecto arco.

α es el semi-eje mayor de la elipse del silo de suelo (en dirección y).

Aplicar la formulación combinada de efecto arco y carga vertical por fuerzas de arrastre

cando hay flujo tridimensional hacia el frente, implica introducir las variables intermedias

definidas en la ecuación (2.40) (b) a (e). La derivación de cada término se explica en

detalle por Perazzelli y otros en la referencia [43].






2.3.2 Flujo uni-direccional desde el frente hacia el terreno

Las técnicas más modernas de excavación de túneles en suelos y rocas blandas o muy

diaclasadas involucran el uso de equipos que presurizan la cara de la excavación, lo cual

reduce el efecto desestabilizante de la filtración desde el terreno hacia el frente. Esto se

logra con las tuneladoras de doble escudo que compensan la presión del terreno y del

agua subterránea aplicando fluido a presión en la cámara de excavación, es decir,

inmediatamente antes de la cabeza de corte del equipo. De esta manera si el medio

excavado es permeable, a medida que el fluido penetra el terreno, se generan excesos

de presión de poros en el frente de excavación y más allá inclusive. Estos excesos de

presión de poros a su vez reducen el empuje efectivo de soporte de la TBM, lo cual

repercute en la disminución de la estabilidad de la cuña de falla en la cara del túnel. Este

es un aspecto netamente operativo del proceso de excavación con equipos de doble

escudo, pero cuyo efecto adverso en la estabilidad del frente ha sido estudiado por

muchos autores [4] [8] [13] [15] [38], razón por la cual se considera de importancia incluir

tal efecto en el método propuesto.

Al emplear el slurry bentonítico como fluido de excavación por ejemplo, la propiedad

tixotrópica del mineral arcilloso hace formar una costra delgada impermeable en la cara

de la excavación. Este modelo es el que se conoce como de la “membrana ideal”, el cual

asume que toda la presurización del slurry es transmitida al esqueleto mineral del suelo

como una fuerza estabilizante de soporte aplicada en la cara de la excavación (Figura

2-29 caso a). En la realidad, la suspensión o slurry siempre infiltrará los poros del suelo

hasta cierta distancia antes de que se alcance un estado de equilibrio donde se colmaten

los intersticios del suelo, por viscosidad cese el flujo y se forme la costra de perforación o

filter-cake [14]. Así, la presión de soporte se transfiere al esqueleto mineral del suelo a lo

largo de esta profundidad de infiltración como se presenta en la Figura 2-29 (caso c).

En el caso de que las partículas de suelo sean muy gruesas (e.g. arenas o gravas) y los

poros sean de un tamaño importante, la suspensión bentonítica no podrá formar la

“costra de penetración” o filter cake, y por tanto se infiltrará a una mayor distancia (Figura

2-29 caso b). Bajo esta condición, la fuerza de soporte se trasladará al esqueleto mineral

de suelo por medio del arrastre generado en el flujo, es decir, las fuerzas de infiltración.


(a) (b) (c)

Figura 2-29: Casos de infiltración del slurry o fluido de excavación: a) Filter cake

formado; b) penetración sin colmatación; c) combinación de filtración y colmatación.


Para estudiar el efecto de la caída de presión a lo largo del filter cake, Broere y van Tol

[15] propusieron las expresiones (2.41) que caracterizan la variación del exceso de

presión de poros Δp con relación a la distancia al frente x, tanto del slurry dentro de la

costra como del agua sub-superficial en el terreno. La relación anterior se propuso a

partir del ajuste de mediciones hechas en campo de presiones de poros a lo largo del

frente obtenidas con piezo-conos horizontales H-CPT14, según se indica en la Figura

2-30, para el proyecto del túnel Second Heinenoord [15], ubicado en los Países Bajos.

Estas ecuaciones consideran principalmente: las condiciones hidrogeológicas del

acuífero (libre Figura 2-31 a, o semiconfinado Figura 2-30 b) en el frente, las propiedades

reológicas del fluido de excavación o slurry, y aspectos operacionales como la

presurización de la tuneladora y la velocidad angular media de la rueda de corte.

14 El piezo-cono de penetración horizontal (Horizontal Cone Penetration Testing, H-CPT) se

propone como la técnica apropiada de sondeo del material adelante del frente cuando la excavación se desarrolla por tuneladoras SS/EPB en suelos blandos permeables [14].






Figura 2-30: Presiones de poros por flujo hacia el frente medidas en proyecto de túnel

Second Heinenoord (cálculos en línea punteada), Países Bajos.

Fuente: Tomado de Broere y van Tol, referencia [15].

(a)

(b)

Figura 2-31: Caída de presión de poros a lo largo de la costra de perforación filter cake

a) acuífero libre; b) acuífero semi-confinado por acuitardo.

Fuente: Adaptado de Broere y van Tol, referencia [15].


),(),(

exp.)(

),(.)(

,,10

tzexparaxtze

ta

azp

tzexparaxd

zp

tzxp

F

Fs

FFs

……….

(2.41)

(a)

(b)

zDhzpconzppp cws ')()(' 000 ………………...…….… (c)

ta

tdzptze s

.)(),( 10

…………………………...………………….… (d)

at

at

kv

dccon

confinadosemiacuíferocHk

libreacuífueroDCD

~

~..

………….…

(e)

F

Fr

rF a

at

tt

1ln……………………………………………...…….… (f)

Donde, Δp es el exceso de presión de poros en el punto (x,z) pasado el tiempo t.

Δps es la caída de presión a lo largo de la costra o filter cake.

pb es la presurización del slurry en la cámara de excavación de la TBM. p0 es la presión de poros in situ dentro del terreno antes de excavar. d10 es el tamaño característico de partículas de suelo

λ es el factor de infiltración del acuífero, según confinamiento (2.41) (e).

kv es la permeabilidad vertical del acuífero, que se asume igual kh. H es el espesor del acuífero. č es la conductividad hidráulica del acuitardo de espesor dat,permeabilidad kat. C es el espesor del material en la cobertura del túnel. D es el diámetro de la excavación.

γF es el peso unitario del fluido de excavación (suspensión bentonítica o slurry).

τF es una medida de la viscosidad [F/L2] del fluido de excavación.

aF es el tiempo del slurry para alcanzar la mitad de la penetración máxima.

αF es un factor de forma del fluido y de la excavación (relación tamaño grano y

radio canal efectivo del canal de flujo). Obtenido experimentalmente. tF es el tiempo promedio de infiltración del slurry en el frente. tr es el tiempo de rotación completa de la rueda de corte de la TBM.

Los parámetros que caracterizan la penetración del slurry en el terreno se obtienen de

manera experimental en el ensayo de filtración en columna, prueba en la cual se deja

infiltrar por gravedad la suspensión en una muestra de suelo. En este ensayo, se mide el

avance del frente de infiltración con relación al tiempo, obteniendo curvas hiperbólicas

como las de la Figura 2-32, que están caracterizadas por los parámetros aF, αF y τF,

según la concentración de bentonita, polímeros o aditivos empleados.






Figura 2-32: Curvas de ensayo de infiltración de slurry, para distintas concentraciones

(g/L) de bentonita en la suspensión.

Fuente: Tomado de Xu y Bezuijen, referencia [61].

Como se describió en la Sección 2.3.1, el efecto del agua y del fluido de excavación se

tendrá en cuenta en el mecanismo propuesto empleando el método de las fuerzas de

infiltración dentro del sólido de falla y de los esfuerzos efectivos a lo largo de la superficie

de falla. Para ello, es necesario expresar la variación del campo de cabeza hidráulica

hT(x,z) en términos de la cabeza de posición hz(z) y de la cabeza de presión hp(x,z,t).

zDtzxp

hhhhfluido

TzpT

'

,,;

………………..………………...….… (2.42)

El gradiente hidráulico se puede entonces obtener al combinar la ecuación (2.41) (a) con

la ecuación (2.42) y aplicar la definición del mismo según la expresión (2.38).

1

00;

,,

,,

,,

,,

z

h

x

h

z

h

z

h

x

h

x

h

i

i

i

zyxz

h

zyxy

h

zyxx

h

i

i

i

zyxi

p

p

zp

zp

z

y

x

T

T

T

z

y

x

…… (2.43)


En la ecuación (2.43) es posible apreciar que se ha asumido como nulo el componente

del gradiente hidráulico en la dirección horizontal y, esto debido a la hipótesis de flujo uni-

direccional adoptada para flujo desde el frente hacia el terreno. También es posible notar

que el sistema de coordenadas definido en que el eje z tiene sentido positivo hacia la

profundidad, conduce a tener para la cabeza de posición que ∂hz/∂z = -1. Igualmente, se

tiene por definición que la cabeza de elevación no varía horizontalmente, es decir que

∂hz/∂x = 0. Al desarrollar la ecuación (2.43) empleando la definición de la presión de

poros p(x,z,t) como la suma de p0(z) y Δp(x,z,t), según se indica en la Figura 2-31 (a), se

tiene la expresión (2.44).

x

tzxpi

fluido

x

,,1

………………………………………….…….…

(2.44)

(a)

1

,,1

fluido

w

fluido

zz

tzxpi

……………..………………….… (b)

Si se aplica la ecuación obtenida (2.44) a la expresión (2.41), se obtienen las

componentes del gradiente hidráulico en el filter cake ifc(x,z,t) y en el terreno ig(x,z,t),

dadas por las ecuaciones (2.45):

),(.

),,(

),(

,,10

tzexparatzxp

tzexparad

tzxi

w

g

F

F

x

…………………….…….…

(2.45)

(a)

),(),(

1)(

),,(

),(

,,

tzexparatze

zp

tzxp

tzexpara

tzxi

s

g

w

F

F

w

z

………… (b)

Previamente se ilustró en la sección 1.3.9 como la infiltración del fluido con que se

excava reduce la presión de soporte efectiva S' que se transfiere a los granos del

esqueleto mineral del suelo. Siguiendo la Figura 2-31 (a) se define la presión efectiva de

soporte como la diferencia entre la presurización de la cámara de excavación de la TBM

(bien sea SS o EPBS) y la presión de poros en el frente de penetración del slurry.






fc

fc

fcx

p

x

expxpS

.

)()0(' …………………………………..……

(2.46)

Donde, Ɐfc es el volumen del sólido de falla penetrado por la costra o filter cake.

Δpfc es la caída de presión en el filter cake a lo largo de Δx, a la profundidad z.

Si se lleva la ecuación (2.46) al elemento diferencial de volumen dⱯfc dentro de la costra

de perforación, y se sustituye hp de la ecuación (2.41), se tienen las expresiones (2.47).

Fp tzxhtzxpcondtzxx

pS

cakefilter

').,,(),,().,,('

………..….…

(2.47)

(a)

cakefilter

dtzxx

hS F

p).,,(' ………….………….………….…….… (b)

Es decir, de acuerdo con la ecuación (2.43) se puede expresar la fuerza efectiva de

soporte S' que da estabilidad al frente en función del gradiente horizontal generado

dentro del filter cake o, en otras palabras, como la integral de la componente x de las

fuerzas de infiltración (ĵx)fc según la expresión (2.48). Esta formulación es compatible con

el método de análisis propuesto, y se considera el equivalente del factor de corrección

para la presión de soporte que aplican otros métodos, como el de la ecuación (1.17) (a).

dtzxiS Ffcx

fc

.).,,()(' …………….………………….………………..…… (2.48)

Donde, (ix)fc es la componente en x del gradiente dentro del filter cake por el flujo del

fluido de excavación con peso unitario γF hacia el terreno.

Con el fin de implementar en el modelo propuesto el efecto de infiltración del slurry en el

terreno, donde el material se considera permeable y homogéneo, se asume de manera

simplificada que el flujo es unidireccional (sentido eje x positivo) y las líneas de corriente

están delimitadas por la sección circular de la excavación, según se ilustra en la Figura

2-33. Bajo esta hipótesis, se supone que no existe flujo vertical desde el silo de suelo y

por tanto no se afecta el valor de sobrecarga obtenido en la Sección 2.2.2. El efecto de

sub-presión que se pueda presentar se tendrá en consideración al incluir la fuerza de


infiltración por unidad de volumen en el sólido de falla, y evaluar la componente vertical

del gradiente hidráulico iz para cada tajada en que se divida la cuña del frente.

Figura 2-33: Hipótesis de flujo unidireccional hacia el frente de excavación.

2.4 Balance del sistema de fuerzas

Con el objeto de expresar la relación entre el factor seguridad contra la falla y el empuje

ejercido por la TBM, se implementó un método particular del equilibrio límite. De todas las

ecuaciones del equilibrio estático, el método hace cumplir el equilibrio de fuerzas, tanto a

nivel de cada tajada como de todo el conjunto. En ese proceso, las fuerzas cortantes

requeridas se expresan como las fuerzas cortantes de plastificación divididas por el factor

de seguridad, que se considera único.

En esta sección se desarrollan las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para el sólido de

falla teniendo en cuenta tanto las acciones conocidas, incluyendo el empuje de la

tuneladora, como las reacciones escritas en términos del factor de seguridad.

Solucionando el sistema de ecuaciones resultantes se llega a la relación requerida entre

el empuje de la TBM y el factor de seguridad.






2.4.1 Método del equilibrio límite en función del factor de seguridad

En la teoría de elasticidad el equilibrio es estudiado asociado a ecuaciones constitutivas

del medio continuo y se expresa en términos de una relación esfuerzo-deformación. En la

teoría de plasticidad, no aplican las relaciones esfuerzo-deformación y lo más

conveniente para estudiar el material en flujo es establecer un criterio de cedencia a lo

largo de la superficie de falla expresando en términos de una ecuación las condiciones

límite de equilibrio [29].

Existirá un estado de equilibrio límite si se expresa la resistencia al corte τ como función

del Factor de Seguridad FS, tal como se plantea en la ecuación (2.49).

FS

f ………………………………………………………………………...……

(2.49)

Al combinar las ecuaciones (2.30) (a) y (2.49), se obtienen las ecuaciones (2.50) (a) y (b).

FSFS

c

FSn

f 'tan'

'

………………………………………………...…

(2.50) (a)

enec 'tan'' …………………………………..…………………….… (b)

Donde, c'e es la cohesión movilizada por corte.

φ'e es el ángulo de fricción interna movilizado por corte.

Es decir, los parámetros de equilibrio c'e y φ'e se definen por la ecuación (2.51).

FS

cc e

'' …y…

FSe

'tan'tan

……………………….……..…....….….……….. (2.51)

Se define el Factor de Seguridad FS con respecto a la resistencia al corte y 1/FS denota

el grado de movilización de la resistencia al corte. La falla se alcanzará para el valor

límite del factor de seguridad FSmin = 1. Para que los parámetros c'e y φ'e definan la

misma envolvente de resistencia al corte movilizada, es necesario que en la ecuación

(2.51) FS sea igual para ambas componentes, en un punto determinado de la superficie.


Si se integra la expresión (2.50) (a) en un elemento diferencial de superficie con área dA

y se factoriza el factor de seguridad FS, se obtiene la ecuación de equilibrio límite (2.52)

en términos de las fuerzas que actúan sobre la superficie de falla.

SFS

NCFS

dA .1

'tan'.'1

. …………………………………………………. (2.52)

Donde, C' = dA . c' es la fuerza de cohesión disponible en la superficie dA.

N' es la fuerza normal efectiva en la superficie dA.

Nótese en la ecuación (2.52), de manera análoga a la expresión (2.49), se define la

fuerza movilizada al corte en función de la fuerza resistente disponible en la superficie de

falla S = C' + N'.tan φ', y del factor de seguridad FS. Por facilidad en la programación, se

empleará en adelante esta aproximación del método del equilibrio límite MEL.

Vale la pena mencionar que los métodos de equilibrio límite para análisis de estabilidad

de taludes y por extensión para el problema estudiado de falla tridimensional del frente

del túnel, se basan en la suposición de FS = constante a lo largo de toda la superficie de

falla. Esto significa que al resolver el problema el valor obtenido de FS es un ponderado

[29]. Por esta razón, los efectos de posibles concentraciones de esfuerzos en zonas

críticas se deben estudiar de manera independiente, por ejemplo asumiendo una

distribución razonable del FS a lo largo de la superficie de falla o aplicando el análisis

esfuerzo-deformación en el espacio, con métodos numéricos por ejemplo.

También es importante precisar que cuando se aplica el MEL en taludes, se busca la

superficie crítica, que es aquella que moviliza la mayor resistencia al corte o, en otras

palabras, el menor FS. En el problema estudiado de la estabilidad del frente de

excavación del túnel, solo se tiene una geometría de la superficie crítica controlada por la

cinemática del movimiento y el mecanismo formulado en la Sección 2.1. En problemas de

estabilidad que se desarrollan en material Möhr-Coulomb, se ha demostrado [39]

mediante formulaciones energéticas y el análisis variacional, que la espiral-logarítmica es

la superficie de falla que conduce a la respuesta crítica (FSmin). Con base en este hecho y

en la amplia evidencia experimental en modelos de centrífuga, descrita en el capítulo 1,

se asumió como superficie crítica la geometría del torus generado a partir de la espiral

logarítmica, que tiene su origen en la clave del túnel y se desarrolla en el sentido del

movimiento según la falla se trate de colapso activo o pasivo del frente de excavación.






Por último, se hace énfasis en el hecho de que al aplicar el MEL las ecuaciones de

equilibrio solo se cumplen de una forma parcial.

2.4.2 Planteamiento y resolución del sistema de ecuaciones

Con el fin de implementar el MEL, la masa de suelo que falla en el frente de excavación

se divide en tajadas radiales, o casquetes, que siguen la dirección de movimiento, como

se presenta en la Figura 2-34 (a). Cada tajada j, además de estar bajo la acción de las

fuerzas de campo (gravitacionales Wj y de infiltración Jj), estará sometida a las siguientes

reacciones:

Fuerzas de contorno normales Nj (conocidas) y cortantes Sj a lo largo de la

superficie de falla (desconocidas estas últimas, en función del FS).

Fuerzas internas de empuje E y de corte T, ambas desconocidas, que actúan en

cada una de las paredes i = 0 hasta n, siendo n el número total de tajadas.

Las tajadas o casquetes se numeran desde la primera, ubicada en la clave del túnel bajo

el suelo de cobertura, hasta la última pared-tajada n en el frente de falla, tanto para

condición activa como pasiva, siguiendo la nomenclatura de la Figura 2-34.

(a)

(b)

Figura 2-34: Tajadas del sólido de falla a) Numeración; b) Fuerzas actuantes

Se puede apreciar en la Figura 2-34 (b) que se emplearán dos sistemas coordenados:

uno cartesiano global (x,y,z) que tiene origen en la clave del túnel, y otro sistema local de


coordenadas cilíndricas (εr, εy, εθ) cuyo origen cambia de tajada en tajada y se ubica en

su centro de gravedad, obtenido por la ecuación (2.14). Si se aplican las ecuaciones de

equilibrio para cada tajada j, tanto en dirección radial como circunferencial, se deducen

las expresiones (2.53) que satisfacen el equilibrio local.

2

sin.2'''1

.2

sin2

22

cos.

0

0

1

1

jdENJW

FSS

jdEE

jdTj

Fr

jrjrjrjr

i

j

j

j

(2.53)

(a)

jjjjj

i

j

jj NJWFS

Sjd

Ejd

Tjd

T

F

'''1

.'2

cos.2

sin.22

sin.

0

1

1

(b)

Donde, ΔEj es la variación a lo largo de la tajada j del empuje E.

ΔTj es la variación a lo largo de la tajada j de la fuerza tangencial T.

Al establecer el balance del sistema, es necesario plantear igual número de incógnitas

que de ecuaciones con el fin de que exista solución unívoca al problema. Ya que existe

un mayor número de incógnitas que de ecuaciones de equilibro según las ecuaciones

(2.53), se debe plantear una ecuación de equilibrio general. Se propone por equilibrio

global del sistema la expresión (2.54), la cual asegura el balance de la variación de

empujes, entre la primer pared (i = 0) y la última pared o frente (i = n), es decir a lo largo

de todas las tajadas.

0EEE nj ……………………………………………………………….. (2.54)

Donde, E0 es el empuje en la pared horizontal de la primera tajada (sobrecarga). En es el empuje en la pared vertical de la última tajada (fuerza en el frente).

Si se observan las expresiones (2.52), (2.53) y (2.54), es decir las condiciones que se

deben satisfacer para que el sistema esté en equilibrio, se notará que existen más

incógnitas que ecuaciones. Por esta razón, en la Tabla 2-1 se proponen dos métodos de

solución en los que tomando dos incógnitas como lo son el empuje en el frente En y el

Factor de Seguridad FS, se asuma el valor de una de ellas para calcular el valor de la

otra. Esto significa igualar el número de ecuaciones y de incógnitas escribiendo una

variable desconocida en función de la variable conocida o asumida, es decir FS en

función de En (Método A), o viceversa (Método B).






Tabla 2-1: Balance de ecuaciones e incógnitas que satisfacen el equilibrio del sistema.

Método A Método B

Equilibrio Ecuaciones Número Incógnitas

Local radial ΣFr = 0 n n ΔEj ΔEj

Local circunferencial ΣFθ = 0 n n ΔTj ΔTj

General ΣΔEj = En - E0 1 1 FS En

Total = 2n + 1 En FS

Asumido

NOTA: n es el número de casquetes en que se ha dividido el sólido de falla.

Finalmente, la resolución del sistema planteado consistirá en ensamblar la matriz de

coeficientes que multiplica al vector de incógnitas según el método escogido, A o B, y

resolver el sistema matricial de ecuaciones lineales dado por (2.53) y (2.54). Para ello se

implementaron rutinas en el software comercial MatLab® R2017a como se verá en el

siguiente capítulo.

3. Implementación y validación del modelo

En este capítulo se describe la forma de implementar el algoritmo del método propuesto

para la estabilidad del frente del túnel considerando una superficie de falla con forma de

espiral logarítmica tridimensional, tanto en colapso activo como pasivo. Igualmente, se

presenta la calibración del modelo a partir de la información disponible en ensayos de

centrífuga. Al respecto, se detallan las ventajas inherentes de realizar la calibración con

resultados de centrífugas en materiales secos y homogéneos con propiedades

conocidas. Sin embargo, es posible adaptar el programa desarrollado para tener en

cuenta la variabilidad del suelo en el frente. Al final, se comparan los resultados

obtenidos al aplicar este método, con los resultados producto de aplicar la normativa

alemana para dos ejemplos, y se discuten las diferencias a la luz del concepto alemán

del factor de seguridad. Así, se evidencian las ventajas de emplear esta propuesta para

efectos prácticos.

3.1 Programación computacional del método

Con el propósito de evaluar el sistema de fuerzas actuantes y de reacción sobre la cuña

de falla propuesta, que incluyan los efectos que tienen en la estabilidad del frente del

túnel el estado de esfuerzos y las condiciones de flujo sub-superficial tanto del agua

como del fluido de excavación, para la posterior resolución del sistema matricial de

ecuaciones planteadas en la Sección 2.4.2, se desarrolló un algoritmo de cálculo cuya

implementación fue posible a partir de la programación de rutinas en el software

comercial MatLab R2017a, versión estudiantil.

3.1.1 Algoritmos de cálculo

A continuación se listan las funciones desarrolladas, a partir de la programación por

objetos de cada una de ellas, para efectuar el cómputo de todos los elementos de la

estabilidad del túnel tratados en el Capítulo 2:






FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m: Grafica el sólido de falla en condición activa,

halla las presiones a ejercer en el frente como función del factor de seguridad y

obtiene los diagramas de variación de empuje entre tajadas, para condiciones de

suelo seco o con flujo tridimensional hacia el frente de la excavación (Figura 3-1).

PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m: Presenta el sólido de falla en condición

pasiva, y sintetiza gráficamente iguales resultados que la rutina

FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m, para condiciones de suelo seco o con flujo

tridimensional hacia el frente de la excavación (Figura 3-1).

CentroidVol.m: Discretiza el volumen del sólido de falla generando figuras

poliédricas, las cuales se generan a partir de una rejilla en cada plano/pared de los

casquetes de falla, configurando elementos equiárea pentaedros/hexaedros.

FreeFaceTFN.m: Calcula fuerzas de infiltración [Jix,Jiy,Jiz] y su punto de acción en el

suelo contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado en un acuífero,

masa que se ha discretizado previamente en tajadas y elementos de volumen,

asumiendo que la excavación se realiza con la cara libre del frente, es decir con

equipo convencional sin presurizar o con una TBM sin escudo frontal. Además,

grafica el campo de cabeza hidráulica y gradientes hidráulicos.

TFNthh.m: Calcula la cabeza hidráulica total en el punto (x,y,z) del suelo contenido

en el sólido de falla de frente del túnel excavado en material permeable, asumiendo

que la cámara de excavación es abierta y por tanto no está presurizada, lo cual

permite el flujo tridimensional hacia el frente según Perazzelli y otros [43].

FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m: Grafica el sólido de falla en condición activa,

halla las presiones a ejercer en el frente como función del factor de seguridad y

obtiene los diagramas de variación de empuje entre tajadas, para condiciones de flujo

horizontal por infiltración del filter cake desde la excavación hacia el terreno.

FilterCakeUFN.m: Calcula fuerzas de infiltración [Jix,Jiy,Jiz] y punto de acción en el

suelo contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado mecánicamente

con tuneladora de escudo SS/EPB, masa discretizada previamente en tajadas y

elementos de volumen. Se asume que las presiones de soporte ejercidas por el

equipo se trasladan por fuerzas de infiltración en el filter-cake, según propuesta de

Broere y Van Tol [15]. Además, grafica avance de la costra y gradientes hidráulicos.

AsSolveSemiRig.m: Ensambla la matriz de coeficientes del sistema planteado por

las ecuaciones de equilibrio del sólido de falla del frente del túnel, establece el vector

Capítulo 3. Implementación y validación del modelo 97

de constantes del mismo sistema y lo resuelve asumiendo En para encontrar FS

(método A) o viceversa (método B), según definición de la Tabla 2-1.

Programando por objetos, estas funciones se ensamblan en un algoritmo implementado

para la resolución del problema, cuyo diagrama de flujo se aprecia en la Figura 3-1.

Figura 3-1: Diagrama de flujo del algoritmo para hallar la presión de soporte en el frente.






3.1.2 Rutinas en MatLab®

El algoritmo y funciones listados en la Sección 3.1.1 se programaron en rutinas de

cálculo en el software MatLabR2017a versión estudiantil, incluidas en el Anexo A.

3.2 Calibración con resultados de modelación física

Debido a las consecuencias económicas, responsabilidades civiles, repercusiones

sociales y demás efectos adversos que se pueden derivar del colapso del frente de

excavación, no se suelen hacer pruebas a escala real que validen la presión de soporte

que conduce a falla activa o pasiva en proyectos reales. Sin embargo, se dispone de

suficiente información producto de experimentación física que permite validar los

resultados obtenidos por las rutinas de cálculo implementadas y retroalimentar el método

propuesto. Con el fin de calibrar el modelo, a continuación se presentan, de manera

gráfica, los resultados de los programas desarrollados empleando como entrada los

datos de los ensayos de centrífuga. Las gráficas generadas para cada prototipo de túnel

incluyen: la geometría tridimensional del sólido de falla, curvas asintóticas de la presión

de soporte contra el factor de seguridad, representación de los componentes del

gradiente hidráulico por flujo en el terreno y, por último, la variación del empuje entre las

paredes de los casquetes de falla para determinado factor de seguridad, según lo

propuso Janbu [29].

3.2.1 Centrífuga en arenas

De las experiencias con ensayos de centrífuga, definitivamente los modelos que más se

han probado corresponden a pruebas en arenas en estado seco, para simular el colapso

gravitacional o falla activa del frente de excavación. Esta información resulta ser de

mucha utilidad para la validación del estado de esfuerzos actuantes en el momento de la

falla, debido a que no están influenciados por el efecto de las presiones de poros que se

puedan llegar a generar en condiciones saturadas. Una forma interesante de consolidar

el gran compendio de resultados obtenidos en fallas activas en centrífuga para arenas

secas (prototipos C/D=1), resulta ser el gráfico de presión de soporte normalizada ND

contra el valor del ángulo de fricción, propuesto por Kirsch [31] e introducido en la

Sección 1.5. Con el propósito de validar las hipótesis en cuanto a la distribución de

esfuerzos en la falla, en la Figura 3-15 se incluyen los resultados del mecanismo


implementado en este documento para las tres alternativas planteadas en la Sección

2.2.2.

(a)

(b)

Figura 3-2: Calibración del estado de esfuerzos en la falla: 1) Condición geostática;

2) Efecto de arco 3D; 3) Esfuerzo intermedio (interpolación lineal).

Es fácil percibir de la Figura 3-2 (a), que el estado de esfuerzos dados por la condición

geostática no es la mejor aproximación para estudiar la falla activa. Esto debido a que

lleva al modelo propuesto a una predicción insegura de la presión de soporte en la falla

activa, en concordancia con el comportamiento del modelo reológico planteado en la

Sección 2.2.1. Igualmente es posible observar que al adoptar para falla activa y

materiales granulares un estado de esfuerzos aliviado por el efecto de arco, tanto en la

cobertura como en el frente del túnel, se obtienen resultados satisfactorios del lado de la

seguridad y con suficiente aproximación a los datos experimentales. Si por otra parte, se

asume que los esfuerzos en el frente alcanzan un estado intermedio (3) entre la

condición in-situ (1) y la relajación por efecto arco (2), se tendrá una respuesta del

modelo que es insegura, es decir, la presión de soporte calculada es muy inferior a la

requerida según los ensayos de centrífuga. Se podrá notar en la Figura 3-2 curva 3, que

de acuerdo con esta hipótesis, el frente es estable e incluso tendría que aplicarse presión

negativa de soporte en el frente, ND < 0, para llegar a la falla (FS = 1). Esta respuesta

probablemente se debe a la baja sobrecarga de silo por efecto arco sumado al nivel

elevado de confinamiento por condición geostática que define una alta resistencia al

corte a lo largo de la superficie de falla.






Una vez se ha calibrado el estado de esfuerzos en el frente para un rango importante del

ángulo de fricción, se pueden validar los resultados para distintas relaciones de cobertura

a diámetro que se consideran típicas de túneles poco profundos, es decir con relaciones

C/D ≤ 5. La Tabla 3-1 se confeccionó para comparar las respuestas del modelo

propuesto con los resultados de ensayos en centrífuga realizada en arenas para

diferentes relaciones C/D, en condición de falla activa [18] y pasiva [60].

Tabla 3-1: Algunos ensayos de estabilidad del frente con arenas en centrífuga.

Autores Agua hw Geometría Parámetros Presión de soporte s' (kPa)

FALLA ACTIVA C/D D

(m) γd

(kN/m³) φ' (°)

c' (kPa)

Ensayo ND Modelo

3D ND

es

Chambon y Corté (1994)

Seco

0.5 5 16.1 38-42 (40

prom)

0-5 (2.5

prom)

3.3 0.04 4.9 0.06

1 10 16 7.4 0.05 13.9 0.09

2 5 16.1 4.0 0.05 5.4 0.07

4 13 16.2 13.4 0.06 19.7 0.09

FALLA PASIVA C/D D

(m) γ'

(kN/m³) φ' (°)

c' (kPa)

Ensayo Nγ Modelo

3D Nγ

NAF en

superficie (prof. z=0m)

Wong,Ng y otros (2012)

2.2 5 9 37 1

4,095 91 3,030 67

4.3 8,325 185 7,716 171

NOTA: Los resultados del modelo para los prototipos subrayados se presentan gráficamente.

En líneas generales la presión de soporte s’ que se predice con el modelo espiral

logarítmico tridimensional propuesto, es una buena aproximación de la condición real

medida en los ensayos tanto para falla activa como pasiva del frente de excavación, y al

mismo tiempo está del lado de la seguridad en ambos casos, puesto que sobre-estima

ligeramente el valor de ND para colapso gravitacional y sub-estima el valor de Nγ para

falla por levantamiento. Los resultados arrojados por el modelo propuesto en términos de

presión de soporte contra factor de seguridad de la Figura 3-3 (a), se pueden interpretar

a la luz de las gráficas desplazamiento del frente contra presión de soporte, contenidas

en la información recopilada de modelación física en laboratorio. Si bien el marco teórico

propuesto en el Capítulo 2 solo aborda por medio de la técnica de equilibrio límite el

balance de fuerzas sin involucrar los desplazamientos o deformaciones en el frente, se

encuentran relaciones interesantes al contrastar el desplazamiento que se mide en las


(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 3-3: Geometría y presión de soporte vs factor de seguridad: Falla activa arena.

Fuente: Adaptado de Chambon y Corté, ref. [18], empleando MatLab R2017a versión estudiantil.


Falla activa en arena.






pruebas de centrífuga y la resistencia al cortante movilizada, por el método propuesto,

para determinadas presiones de soporte en el frente, según se muestra en la Figura 3-3.

Al comparar la Figura 3-3 (a) y (c), se podrá corroborar que la presión de soporte en la

falla pf coincide con una movilización total de la resistencia al corte, o FS → 1. Antes de

que se alcance el estado de falla, sin embargo, Chambon y Corté [18] definieron

conceptualmente la presión crítica pc como aquella por debajo de la cual se perciben los

movimientos en el frente. No obstante, en la práctica de excavación de túneles se

desconoce la resistencia al corte que moviliza esta presión crítica, o de manera inversa el

Factor de Seguridad para una mínima presión admisible de soporte en el frente. Es de

resaltar que al contrastar la Figura 3-3 (a) y (c), se puede concluir que la presión pc en el

ensayo de colapso activo de arenas, moviliza un poco más de la mitad de la resistencia

al corte, en otras palabras, que corresponde aproximadamente con un factor de

seguridad FS ≈ 2. De esta manera se define en esta investigación el umbral de trabajo

seguro (FS > 2) para falla activa en arenas, a partir del cual se deberían aplicar las

presiones de soporte si se quieren minimizar las deformaciones en el terreno, es decir,

en la cara de la excavación y a nivel de superficie.

La Figura 3-4, por su parte, presenta la variación del empuje entre las tajadas del sólido

de falla activo, para tres análisis relevantes: a) sin soporte en el frente En = 0; b)

condición de falla FS = 1 y; c) empuje En máximo en el frente cuando el FS → ∞. Este

tipo de gráfica que complementa la presentación de resultados que se hará en adelante

para los modelos de túneles analizados en colapso activo y pasivo, resulta valiosa para

estudiar la influencia del grado de movilización de la resistencia al corte (1/FS) en la

variación de las fuerzas internas dentro del sólido de falla. Se observa que en la medida

en que aumenta el factor de seguridad contra la falla por corte, se aumentan en magnitud

los empujes entre tajadas, lo que eventualmente puede conducir a otro mecanismo de

falla por compresibilidad si se superan ciertos límites del material en el frente. El estudio

del efecto de la compresibilidad se considera por fuera del alcance del presente

documento, y deberá abordarse en investigaciones futuras.

De igual modo que en la Figura 3-5 se presenta la geometría del sólido de falla y la

variación de la presión de soporte contra el factor de seguridad, asimismo en la Figura


3-6 se incluye la variación de empujes a lo largo de las tajadas, para las dos condiciones

de prueba ensayadas por Wong y Ng [57] para falla pasiva en arenas.

(a)

(b)


arena (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3.

(a)

(b)


Falla pasiva en arena (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3.






Se destaca de la Figura 3-6 la gran magnitud que alcanzan los empujes entre tajadas a

lo largo de todo el sólido de falla por levantamiento del terreno en el frente. Este

comportamiento esperado, dado por los máximos niveles de presión que se aplican para

llegar a la condición de falla pasiva en arenas, concuerda con la predicción de métodos

basados en la teoría de expansión de cavidades aplicada por autores como Balthaus,

Soubra, entre otros. A diferencia de las gráficas respectivas para la falla activa, en el

caso pasivo se numeran las paredes iniciando en el frente, E0, hasta el silo, En.

(a)

(b)

Figura 3-7: Comparación geométrica mecanismo de falla activa en arena.

Fuente: Adaptado de Chambon y Corté, ref. [18], empleando MatLab R2017a versión estudiantil.

Por último, se propone confrontar la forma de la falla evidenciada en el ensayo de

centrífuga en arenas, con la geometría del mecanismo propuesto, tanto para condición

activa como pasiva. La Figura 3-7 compara el esquema simplificado de la falla en

laboratorio (a), contra el sólido de falla tridimensional espiral logarítmico (b) proyectado

en xz¸ es decir en el eje del túnel. Se aprecia un alto grado de similitud en la forma y en

las dimensiones de ambas geometrías, con valores máximos del ancho de la cuña de

falla bastante cercanos para el ensayo (0.3D) y para el modelo (0.37D). El colapso

parcial de la cobertura (0.6D) del túnel, no se ve reflejado en el mecanismo planteado por

tratarse de un proceso arriba del frente de excavación donde se ubica la cuña de falla

propuesta, pero su efecto de alivio en la sobrecarga se tuvo en cuenta al considerar el


silo de suelo bajo el efecto de arco según la propuesta de Terzaghi adaptada para falla

tridimensional en la Sección 2.2.2. Se puede realizar el mismo símil de la geometría

supuesta contra la real para la condición de falla pasiva en arenas, al comparar la Figura

3-5 (a) y (b) con la Figura 3-8 (a) y (b), respectivamente. Es posible deducir de la anterior

comparación, que la construcción geométrica del sólido de falla a partir del método

propuesto, duplica de una forma satisfactoria el contorno definido por los vectores de

movimiento mostrados en la Figura 3-8 para el ensayo de colapso pasivo en centrífuga.

(a) (b)


hechas durante falla pasiva en arena: (a) C/D = 2.2; (b) C/D = 4.3.

Fuente: Tomado de Wong y Ng, referencia [60].

3.2.2 Centrífuga en arcillas

Los ensayos de centrífuga para fallas de frente en materiales arcillosos son menos

comunes que en arenas, pero se cuenta con los resultados obtenidos por algunos

autores para condición de falla activa [11] [47] y pasiva [59]. Estas experiencias se

resumen en la Tabla 3-2, confeccionada con las características de los ensayos

recopilados y los resultados obtenidos con el modelo tridimensional propuesto.

Si se contrastan en la Tabla 3-2 las dos presiones normalizadas de soporte ND, es decir

el valor medido en el ensayo y el calculado por el método propuesto, para el colapso

activo en material arcilloso, se encuentra que el mecanismo planteado predice con

suficiente exactitud la presión de soporte en el frente. Al no aplicar el efecto de arco que

es propio de los materiales grueso-granulares, y por ende presentarse la condición

geostática o de esfuerzos in-situ del terreno, la calibración en este caso consistió en

estimar la sobrecarga actuante en la base del silo de suelo o, en otras palabras, en la






interfaz con la cuña tridimensional del frente. Como producto de probar diferentes

hipótesis sobre los estados de esfuerzos verticales (Sección 2.2.2) actuando en el silo de

suelo en la cobertura del túnel, se encontró que el esfuerzo geostático total sin considerar

flujo vertical de agua, condujo a la mejor predicción de la presión de soporte para colapso

activo. Esta es una suposición fuerte pero consistente, si se considera que los materiales

de granulometría fina como las arcillas tienen una baja a muy baja permeabilidad. Por

tanto, para materiales arcillosos, se puede despreciar razonablemente la influencia de la

excavación en el campo de cabeza hidráulica presente en la cobertura del túnel. En

cuanto al efecto del agua en el frente, vale la pena mencionar que si se tuvieron en

cuenta las condiciones de flujo tridimensional hacia el túnel, y las fuerzas de infiltración

dentro del sólido de falla se calcularon de acuerdo con lo dispuesto en la Sección 2.3.1.

Tabla 3-2: Algunos ensayos de estabilidad del frente con arcillas en centrífuga.

Autores Agua Geometría Parámetros Presión de soporte s'(kPa)

FALLA ACTIVA C/D D

(m) γ'

(kN/m³)

cu*

(kPa) su

*/'v Ensayo ND Modelo

3D ND

Bezuijen y van Seters (2006)

NAF en superficie

(prof. z=0m)

0.6 10 6.6

16.2 0.22

125** 1.9** 119.4 1.8

0.8 19.2 152 2.3 149.7 2.3

FALLA PASIVA C/D D

(m) γSAT

(kN/m³)

cu*

(kPa) su

*/'v Ensayo Nγ Modelo

3D Nγ

Wong y Ng

(2013)

Prof:

z = 1 m 2.1 4.5 16

12 0.18-0.29

305 11.4 218 8.1

z = 1.5 m 4.2 36 471 17.6 448 16.7

NOTA: (*) Resistencia su medida en el eje del túnel empleando mini CPT.

(**) Valor retrocalculado a partir del número de estabilidad en el ensayo centrífuga.

Los resultados del modelo para los prototipos subrayados se presentan gráficamente.

Del mismo modo que se presentaron los desplazamientos medidos antes y durante la

falla activa en los ensayos de centrífuga en arenas, es posible relacionar en la Figura 3-9

(a) y (c) la presión de soporte crítica pc con un factor de seguridad de dos, FS ≈ 2 de

acuerdo con el método propuesto. Es evidente en la Figura 3-9 (c) que la movilización de

la mitad de la resistencia al corte, coincide con en el umbral donde se inician los

movimientos perceptibles tanto en el frente como en la superficie, para un prototipo de

túnel (C = 8m, D = 10m) en arcilla de Speswhite.


(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 3-9: Geometría y presión de soporte vs factor de seguridad: Falla activa arcilla.

Fuente: Adaptado de Bezuijen y van Seters, ref. [11], usando MatLab R2017a versión estudiantil.


Falla activa en arcilla.






(a)

(b)


arcilla (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2.

(a)

(b)


Falla pasiva en arcilla (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2.

Por otro lado, la construcción geométrica propuesta en la Sección 2.1.2 supone el mismo

mecanismo de falla que se muestra en la Figura 3-11 para condición pasiva que para


activa, en el caso de materiales arcillosos cuyo análisis sea φu = 0. Bajo esta suposición,

el método propuesto en este trabajo lleva a calcular un valor de la presión de soporte

máxima que se acerca bastante por el lado de la seguridad a la presión obtenida

experimentalmente, de acuerdo con los valores Nγ recogidos en la Tabla 3-2.

La presentación de resultados en la Figura 3-10 y la Figura 3-12, en que se grafican la

variación de los empujes a lo largo de las tajadas del sólido según el factor de seguridad

contra la falla activa y la falla pasiva, resultará de utilidad para estudiar el problema de

compresibilidad dentro del sólido de falla. Aunque está fuera de los objetivos de este

trabajo, el mecanismo de compresibilidad eventualmente conduce a asentamientos en la

superficie antes de que se presente colapso o falla por corte del material en el frente,

especialmente en materiales con alto contenido de finos, como los limos y las arcillas.

Finalmente, comparar la Figura 3-11 con la Figura 3-13 permite constatar que la

geometría propuesta mediante la construcción del torus, representa de manera

satisfactoria la forma y dimensiones normalizadas del sólido de falla activa en el frente,

para materiales de naturaleza cohesiva. De manera análoga, los vectores de

desplazamiento en la Figura 3-14 medidos al momento del colapso pasivo por

levantamiento en arcillas, indican un mecanismo de falla similar en forma y dimensiones

al descrito por la geometría establecida del torus en la Sección 2.1.2.

(a)

(b)

Figura 3-13: Geometría mecanismo de falla activa para ensayo de centrífuga en arcilla.

Fuente: Adaptado de Schofield, referencia [47].






(a) (b)


hechas durante falla pasiva en arcilla: (a) C/D = 2.1; (b) C/D = 4.2.

Fuente: Tomado de Wong y Ng, referencia [59].

3.3 Verificación por otros métodos teóricos

En la gran mayoría de proyectos recientes de túneles de sección circular a poca

profundidad y excavados en suelos, se ha evaluado la presión de soporte a aplicar

durante la etapa de excavación con base en diferentes propuestas teóricas al respecto,

las cuales están disponibles en la literatura. Por tal motivo, resulta de relevancia

confrontar los resultados que se pueden obtener a partir del método planteado, con los

valores teóricos de referencia de la presión de soporte, estimada a partir de las

propuestas comúnmente empleadas en la práctica.

En la Figura 3-15 que presenta la presión normalizada ND para distintos valores del

ángulo de fricción del suelo, se incluyen los resultados obtenidos al aplicar el método

propuesto, junto con las predicciones teóricas para los casos de prototipos de túneles de

relación C/D = 1 en arenas secas, descritos en la Sección 3.2.1.

Se puede advertir que tanto la propuesta analítica de Leca y Dormieux [33] así como los

ábacos de número de estabilidad desarrollados a partir del método de los elementos

finitos MEF por Vermeer y Ruse [57], son los métodos que presentan en la Figura 3-15

un mayor grado de exactitud para estimar la presión en el frente contra falla activa. Sin

embargo, estas propuestas pueden eventualmente arrojar una presión de soporte que

está del lado de la inseguridad, puesto que en algunos de los ensayos de colapso

gravitacional en centrifuga que se superponen gráficamente, se aprecia como las curvas

color magenta y cian sub-estiman la presión mínima que conduce a la falla.


Del conjunto de propuestas teóricas analizadas, se puede concluir que la del sólido

tridimensional espiral logarítmico introducida en el presente trabajo, representada por la

curva color marrón con marcadores, es aquella que con mayor grado de exactitud,

siempre está del lado de la seguridad en la estimación de la presión de soporte en el

frente.

Figura 3-15: Comparación resultados centrífuga con predicción modelos teóricos.

Por otra parte, en el caso de que el terreno esté saturado y sea altamente permeable,

resulta conveniente implementar en el mecanismo tridimensional propuesto los efectos

de la infiltración del medio de soporte, o filter-cake formado por los fluidos de excavación.

Por tal motivo, se estudiará el túnel de referencia cuyo frente está en material

homogéneo conformado por un acuífero semi-confinado, con los parámetros

geotécnicos, hidrogeológicos y operativos de la excavación indicados en la Tabla 3-3.






Tabla 3-3: Parámetros y geometría del túnel de referencia aplicando modelo filter cake.

Parámetro Valor Parámetro Valor Geometría

Túnel D 10 m Slurry τF 5 Pa

C 15 m aF 180 s

Suelo γSAT 20 kN/m³ αF 2.5

c' 0 tF 10 s

φ' 30° γF 10 kN/m³

d10 100 μm Acuitardo č 109 s

kh, kv 10-4 m/s Acuífero d2 2 m

Profundidad del agua 0 m

semi- H1 10 m

subterránea confinado H2 18 m


La condición de flujo unidireccional hacia el frente establecido por la penetración del

medio de soporte de la excavación, aplicando la teoría descrita en la Sección 2.3.2, se

aprecia en la Figura 3-16, a lo largo del plano de simetría vertical del túnel (y = 0).

Figura 3-16: Condiciones de flujo unidireccional para el túnel de referencia aplicando el

modelo del filter cake: falla activa en arena C/D = 1.5.


(a)

(b)

Figura 3-17: Geometría y presión de soporte contra factor de seguridad para el túnel de

referencia aplicando el modelo del filter cake: falla activa en arena C/D = 1.5.

Figura 3-18: Variación de empujes por tajada modelo filter cake: a) FS = 2; b) FS → ∞.

En la Figura 3-17 se hace la presentación ya habitual de la geometría construida para el

mecanismo de falla (a), la curva asintótica de presión de soporte en el frente contra el






factor de seguridad (b) y la variación de los empujes entre tajadas se muestran en la

Figura 3-18. Debe notarse, como se trató en la Sección 2.3.2, que habrá una presión

efectiva de soporte dada por la mínima presurización en la cámara de excavación de la

TBM que permite que haya flujo unidireccional hacia el terreno. Es decir, las presiones de

soporte s' que estén por debajo de dicho umbral inferior, para el caso de estudio las que

corresponden a FS ≤ 2, no serán válidas para el modelo de infiltración de filter cake, ya

que es muy probable que este no se presente y en su lugar haya flujo de agua hacia la

excavación.

En este contexto, a partir de la Figura 3-17 (b) se establecen los factores de seguridad

contra la falla activa que brindan los valores de la presión de soporte estimados según

algunas de las propuestas teóricas más usadas. En la Tabla 3-4 se resumen según

distintos autores los valores de la presión de soporte del túnel de referencia en la Tabla

3-3, y su correspondiente factor de seguridad calculado por el método propuesto en este

trabajo.

Tabla 3-4: Presión de soporte mínima en el frente, según distintos métodos para el túnel de referencia aplicando el modelo del filter cake.

Modelo s' Factor de

(kPa) Seguridad FS

Atkinson y Potts 37.5 U*

Krause (semi-esfera) 19.2 6.7

Leca y Dormieux 7.1 1.7

Jancsecz y Steiner: silo-cuña con efecto arco 7.2 1.7

Anagnostou y Kovári: membrana ideal 9.8 2.0

Broere: Modelo filter cake

Múltiples cuñas poliédricas 26.6 U*

Plano de falla parabólico 14.9 3.2

Sólido de falla propuesto espiral logarítmico 3D

9.9 2.0

23.2 FS → ∞

U*: Factor de Seguridad Incierto (posible falla por levantamiento)


Se puede observar como la mayoría de los métodos estiman con exceso la presión

mínima de soporte en el frente, excepto Leca & Dormieux [34], y el modelo de silo

prismático con efecto arco sobre una cuña poliédrica, propuesto por Jancsecz & Steiner

[30], y analizado como una membrana ideal en el frente según Anagnostou y Kovári [3]

[4] [5]. También se puede apreciar que el factor de seguridad puede llegar a ser incierto

para los valores de s’ estimados por propuestas que no consideran el efecto


tridimensional del sólido de falla, como Atkinson & Potts, o algunas que incluso al incluir

el modelo de filter cake como lo propuso Broere & van Tol [13] [14] [15], tienen

limitaciones cinemáticas por la geometría discontinua de falla asumida para la cuña en el

frente. El nivel de incertidumbre para una presión de soporte s’ por arriba del umbral

superior (FS→∞) definido en la Figura 3-17 (b), está dado por el potencial que existe,

ante excesivas presiones, de presentarse bien sea la falla pasiva por levantamiento en el

frente o las caídas súbitas de la presión por efectos del blow-out, descrito en la Sección

1.4.

3.4 Aplicación práctica: rango seguro de trabajo

En las secciones previas se han calibrado las condiciones del mecanismo propuesto y se

han validado los resultados obtenidos frente a los datos de ensayos realizados en

centrífuga por otros, y, frente a presiones referenciales calculadas por algunas

propuestas teóricas disponibles. Tales discusiones han permitido introducir el factor de

seguridad contra la falla al corte para los casos de colapso activo y pasivo del frente, el

cual se definió en la Sección 2.4.2 como un factor básico o directo, es decir, que se

aplica directamente a los parámetros o, en este caso, a la fuerza disponible de

resistencia al corte para calcular la resistencia movilizada. Como resultado, las curvas

computadas de presión de soporte s’ contra factor de seguridad FS, tanto para el caso de

falla activa como pasiva del frente del túnel, presentan una forma asintótica con dos

límites inalcanzables: cuando no se moviliza la resistencia al corte, FS → ∞, y si se

presente la falla, FS < 1. A continuación se hará una breve introducción del tratamiento

que se hace en la práctica para considerar algún grado de seguridad en los valores

calculados de presión de soporte en el frente, empleando factores de seguridad

indirectos. Como se verá en dos casos prácticos tomados del Comité Alemán de Túneles

DAUB [21], la aplicación de estos factores de seguridad parciales no permite estimar con

confianza el rango óptimo de trabajo asociado a los menores costos, o mínima presión de

soporte, que garantice un margen seguro de operación.

En general, la escuela europea de túneles sigue las recomendaciones que hace el

Comité Alemán de Tuneles DAUB [21] para establecer el margen de seguridad de la

presión de soporte, en excavaciones realizadas con máquinas de doble escudo SS/EPB.

Tales directrices se basan en la propuesta hecha por Jancsecz del modelo de estabilidad






silo-cuña con una membrana ideal en el frente. En esta implementación, ecuación (3.1)

(a), se aplican factores de seguridad por separado tanto a la presión efectiva del suelo,

según el modelo de estabilidad, como a la presión del agua en condición hidrostática, por

efecto de membrana ideal en el frente.

WEP WE …..………………………………………………….....

(3.1)

(a)

WE

P

WE

…………………………………………………………...….. (b)

Donde, η es el factor de seguridad global.

ηE es el factor de seguridad parcial para el empuje efectivo del terreno.

ηW es el factor de seguridad parcial para el empuje hidrostático del agua.

P es la fuerza mínima a aplicar para estabilizar el frente. E es la fuerza de empuje efectivo ejercido por el terreno, por estabilidad global. W es la fuerza hidrostática en el eje del túnel.

Estas expresiones siguen el concepto alemán del factor de seguridad, el cual se soporta

en el estándar DIN4126 que plantea los factores de seguridad indirectos usados en el

cálculo de estabilidad para excavación de trincheras soportadas con slurry [14], y según

el cual se establecen dos escenarios. En el primero, si el empuje del terreno es mayor al

empuje del agua (E > W), se desprecia la presión hidrostática y la presión en el slurry se

calcula con base en el empuje E, esto significa valores de ηW = 0 y ηE = 1.5 para túneles

completamente sumergidos. En el segundo caso donde el túnel está parcialmente

sumergido, la presión de soporte P tiene que contrarrestar la superposición del empuje

efectivo del terreno E sumado al empuje del agua W. Por ende, la fuerza resultante del

slurry tiene que estar en todo momento 1.05 veces por encima del empuje hidrostático,

para lo cual se aplican simultáneamente los factores de seguridad de ηW = 1.05 y ηE =

1.5. La fuerza mínima de soporte del frente del túnel se obtendrá como el mayor valor de

P calculado según los dos escenarios anteriores.

De acuerdo con la normativa alemana la fuerza de empuje efectivo que ejerce el terreno

E, se puede calcular en materiales cohesivos empleando el método de los números de

estabilidad SRM (Stability Ratio Method), o en materiales granulares a partir del modelo

silo-cuña poliédrica de Horn implementado por Jancsecz [30]. En el artículo original,

Jancsecz adopta la formación de una membrana ideal en el frente y sugiere emplear

valores de los factores parciales de seguridad de ηE ≥ 1.5 – 1.75 y de ηW = 1.05. El hecho


de que existan o no construcciones en las vecindades de la excavación define si el valor

del factor de seguridad parcial para el empuje del terreno es de ηE = 1.75 o 1.5. En el

mismo artículo, para estudiar falla pasiva del frente, se propone aplicar a la presión de

confinamiento geostática en la clave del túnel, un factor de seguridad contra falla por

blow-out o levantamiento de ηB = 1.1, con el fin de obtener la presión de soporte máxima

en la excavación, según la ecuación (3.2).

CP T

B

1 ………………..……………………………………………………….. (3.2)

Donde, ηB es el factor de seguridad contra la falla por blow-out o levantamiento.

P es la fuerza máxima a aplicar para no levantar el material en el frente.

γT es el peso unitario total del suelo en la cobertura del túnel.

C es el espesor de la cobertura del túnel.

Tal como lo sugirió Broere [14], los factores de seguridad parciales son los más

comúnmente usados en la práctica, y a pesar de que son valores relativamente altos

para trabajos temporales, el margen de seguridad que se tiene en las excavaciones no

es suficientemente alto, producto de mayorar las presiones de soporte con los valores ηE

y ηW. Todavía se tiene la incertidumbre sobre la presión de soporte calculada contra la

falla, aún después de aplicar los factores de seguridad parciales, debido a dos razones

principales: en primer lugar, la alta sensibilidad a los parámetros de entrada que tienen

los modelos de cálculo disponibles, como se muestra en la Figura 1-26; y segundo, los

modelos teóricos disponibles no representan adecuadamente ciertos aspectos del

proceso físico cuando colapsa el frente [14]. Una tercera razón por la cual los factores de

seguridad parciales no superan la incertidumbre del problema, se debe a su limitación

inherente de ser factores indirectos que no se aplican a los parámetros o fuerzas de

resistencia. Surge también la restricción cuando se consideran las condiciones de flujo en

el terreno, es decir fuerzas de infiltración o excesos de presiones de poros, que no se

ajustan a la aplicación idealizada de ηW.

Por tales motivos, en la Tabla 3-5 se resumen los datos de dos ejemplos desarrollados

en el manual del Comité Alemán de Túneles DAUB [21], para los cuales se evaluará el

factor de seguridad directo y rango de trabajo seguro, según el método propuesto.






Tabla 3-5: Ejemplos del rango de presión de operación del equipo de excavación,

aplicando el concepto alemán del factor de seguridad.

Parámetro del suelo ARENOSO ARCILLOSO

Peso unitario saturado: γSAT 18 kN/m³ 19 kN/m³

Peso unitario sumergido: γb 8 kN/m³ 9 kN/m³

Cohesión c' = 0 cu = 40 kPa

Ángulo de fricción interna φ' = 30° φu = 0

Profundidad nivel freático 2 m 2 m

Máquina tuneladora Caso 1 Caso 2

D 10 m 10 m ΔTBM 10 kPa 30 kPa

τF 30 Pa -

γF 12 kN/m³ 14 kN/m³

MÉTODO DE CÁLCULO FILTER-CAKE MEMBRANA

Umbral inferior de la presurización/presión de soporte

TBM pbINF Total sINF

DAUB (Horn/SRM*) 205 kPa 244 kPa

Falla activa 3D LS** (FS ≥ 2) 130 kPa 280 kPa

Umbral superior de la presurización/presión de soporte

TBM pbSUP Total sSUP

DAUB (Carga geostática) 223 kPa 281 kPa

Falla activa 3D LS** (FS → ∞) 223 kPa 330 kPa

* SRM: Método de la relación de estabilidad

** LS: Superficie de falla espiral logarítmica

Fuente: Adaptado del Comité Alemán de Túneles DAUB, referencia [21].

En la Figura 3-19 se muestra la presión total de soporte contra factor de seguridad,

calculada según el método propuesto para el ejemplo de túnel excavado en suelo

arcilloso. Tomando como base los resultados de la calibración en la Sección 3.2 anterior,

se propone un intervalo para la presión de operación de la máquina tuneladora con el fin

de minimizar los desplazamientos en el frente y asentamientos en superficie,

denominado rango “seguro”.

Producto de estudiar el colapso pasivo en este mismo ejemplo y debido a que el

mecanismo de falla coincide en los análisis no drenados φu = 0, es posible establecer

una presión de soporte óptima como la intersección entre las curvas de falla activa y

pasiva, con el objetivo de mantener durante la operación de excavación el máximo factor

de seguridad posible en ambos escenarios. El análisis de la Figura 3-19 también permite

advertir que para análisis φu = 0 de túneles en materiales cohesivos, la normativa


alemana propone un rango de trabajo de la presión de soporte que a pesar de estar en

una condición “estable” (FS > 1), muy probablemente conduzca a deformaciones tanto en

el frente como asentamientos en la superficie. Si bien los desplazamientos menores no

se consideran como colapso del frente, su influencia si puede generar daños a

estructuras existentes en superficie e infraestructura subterránea de transporte o de

servicios públicos cercanos al eje del túnel. Así, es posible constatar el nivel de

incertidumbre que se tiene al aplicar, al valor calculado de la presión de soporte, los

factores de seguridad indirectos establecidos en los códigos de diseño y construcción de

la escuela europea de túneles.

INESTABLE ESTABLE SEGURO INCIERTO (U)

Figura 3-19: Rango de trabajo de las presiones de soporte totales para la tuneladora:

Caso de túnel en suelo arcilloso modelo de la membrana ideal.

En el caso del túnel excavado en material arenoso, donde se supone la infiltración del

fluido de excavación dentro del terreno para formar el filter cake, la presión de soporte

obtenida por el método propuesto se presenta en la Figura 3-20 contra el factor de

seguridad a la falla.






INESTABLE SEGURO INCIERTO (U)

Figura 3-20: Rango de trabajo de la presurización de la TBM en la cámara de

excavación: Caso de túnel en suelo arenoso modelo del filter cake.

De acuerdo a lo dispuesto en la Sección 3.3, la presurización mínima requerida en el

equipo de excavación, para que exista flujo unidireccional, establece un factor de

seguridad mínimo de operación FS ≥ 2. Por esta razón, en la Figura 3-20 se suprime la

franja amarilla de operación en condición “estable” pero con movimientos importantes

que se introdujo en la Figura 3-19. Es de notar que a diferencia del caso en suelo

arcilloso, la aplicación del concepto alemán del factor de seguridad para el ejemplo del

túnel en suelo arenoso, establece un rango de presión de soporte que limita con el

umbral superior de la banda verde de trabajo, o intervalo “seguro” de operación

propuesto. En otras palabras, la normativa alemana sobre-estima bajo esta condición las

presiones de soporte a aplicar en el frente. Como consecuencia, para materiales

granulares, se impactarán negativamente los costos de la excavación al trasladar a la

operación este rango de trabajo prescrito por el estándar alemán del DAUB. Por ejemplo,

una mayor presión de soporte por arriba de un valor “seguro” de operación, implica el

desgaste innecesario de los dientes en la rueda de corte (costo directo). Por


consiguiente, se aumentan los tiempos del proyecto (costo indirecto) al tener una menor

tasa de avance, producto de aumentar la periodicidad de mantenimiento y reemplazo de

los dientes cortadores en el escudo frontal de la tuneladora.

Finalmente, vale la pena mencionar que si se pretende, en casos de aplicación práctica,

que el operador de la tuneladora emplee durante la construcción el reporte guía

generado a partir de los rangos de trabajo establecidos anteriormente, estos deberán

involucrar la tolerancia ΔTBM en la presurización del equipo. Esta influencia, dada por un

factor netamente operacional del proceso constructivo y ajeno al método propuesto,

tenderá a angostar la banda verde de presión de soporte “segura” en el frente, mostrada

en la Figura 3-19 y en la Figura 3-20. Se busca con esto considerar las fluctuaciones de

la presurización en la cámara de excavación, inevitables en toda operación de la TBM.

4. Conclusiones y recomendaciones

4.1 Conclusiones

El planteamiento hecho de la geometría del torus espiral logarítmico propuesto para

representar el mecanismo de colapso tridimensional en el frente del túnel, tanto en

condición activa como pasiva, significa una aproximación bastante cercana a la forma y

dimensiones que tiene la falla según la evidencia de los ensayos de centrífuga. Esta

geometría de la cuña de falla además de ser consistente con los resultados de

experimentación, propone la continuidad de la superficie de falla superando las

limitaciones cinemáticas de muchos de los modelos disponibles para estudiar la

estabilidad global del frente del túnel.

Debido a la naturaleza dinámica del problema, fue necesario hacer consideraciones

especiales sobre el estado de esfuerzos en el instante de la falla. Para tal fin, se planteó

un modelo reológico cuyo comportamiento representa, en forma simplificada, la evolución

de las fuerzas actuantes sobre el sistema que constituye la cuña del frente del túnel, y

que permitió a su vez plantear tres hipótesis sobre el estado de esfuerzos en la falla

activa: condición geostática o in-situ, alivio de esfuerzos por efecto de arco y un estado

de esfuerzos intermedio entre las primeras dos condiciones. Producto de la calibración

del modelo con base en los resultados de ensayos de centrífuga, se puede concluir que

en el instante de la falla activa, cuando se hace el balance de fuerzas según el método

propuesto, la condición de alivio por efecto arco es la mejor aproximación al estado de

esfuerzos. Con relación al colapso pasivo del frente de excavación, la discusión realizada

sobre el comportamiento del modelo reológico de la Sección 2.2.1 permite concluir que

adoptar la condición geostática in-situ es la mejor aproximación al estado de esfuerzos

en la falla. De esta manera se obtienen resultados de la presión de soporte máxima que

están del lado de la seguridad.




La presión de soporte en el frente durante la excavación del túnel, objetivo de todo

análisis de estabilidad global como el del método propuesto, fue obtenida para diferentes

prototipos de túneles en centrífugas realizadas en arena seca y saturada, en arcilla, tanto

para condición de falla activa como pasiva. Al aplicar el método propuesto y contrastarlo

con los resultados de la modelación física, el valor obtenido de la presión de soporte

contra la falla del frente demuestra ser un estimativo con suficiente exactitud y que

siempre está del lado de la seguridad en condición activa y pasiva, lo cual permitirá su

aplicación en la práctica. De todos los métodos teóricos analizados para estudiar la

estabilidad global del frente del túnel que están del lado de la seguridad, es decir que en

falla activa sobre-estiman la presión de soporte y en falla pasiva la sub-estiman, el

propuesto en este trabajo es el que más se acerca en la predicción de los valores reales

de presión durante la falla.

Aunque el método particular del equilibrio límite propuesto no plantea relaciones entre las

fuerzas actuantes en el sistema y los desplazamientos que puedan resultar, la validación

hecha con la información de los ensayos de centrífuga permitió encontrar relaciones

interesantes entre: los desplazamientos en el frente o asentamientos en la superficie, y el

grado de movilización de la resistencia al corte. De esta manera, fue posible definir en

este trabajo un umbral del factor de seguridad por debajo del cual se inician los

movimientos en el frente antes de alcanzar la falla, que corresponde con la presión crítica

de soporte definida conceptualmente por Chambon y Corté [18]. Este umbral de inicio de

las deformaciones se halló directamente relacionado con un nivel de movilización de un

poco más de la mitad de la resistencia al corte, para falla activa tanto en arena como en

arcilla. En otras palabras, en el método propuesto los desplazamientos en el frente y

asentamientos asociados en la superficie se presentan para valores del factor de

seguridad menores a dos (FS < 2).

La definición del factor de seguridad básico, aplicado directamente a la fuerza resistente

según el método planteado, permite establecer una alternativa para los rangos de trabajo

de la presión de soporte aplicada por la tuneladora. Estos intervalos de la presión de

soporte consideran como umbral inferior el equilibrio límite según el criterio de falla

adoptado (FS > 1). Además se propone un rango de operación seguro en que se

minimicen los desplazamientos generados por la excavación (FS ≥ 2), y se limite el

Conclusiones 125

potencial de falla pasiva o blow-out en el frente de excavación, definido por el umbral

superior del factor de seguridad para falla activa (límite de s' cuando FS→∞). Por su

parte, los factores de seguridad parciales usados actualmente en la práctica y derivados

del concepto alemán del factor de seguridad en excavaciones, no permiten establecer

con certeza el margen de seguridad contra la falla. Su aplicación en la estimación del

rango de operación de la presión de soporte, en dos ejemplos prácticos, arrojó

inconsistencias en el nivel esperado de movilización de la resistencia al corte. Así,

producto de aplicar la normativa alemana en suelos arcillosos, es de esperarse

deformaciones en el terreno durante la excavación del túnel, mientras que en materiales

granulares, se estima en exceso la presión de soporte requerida y, por ende, se

presumen mayores costos directos e indirectos durante la excavación.

4.2 Recomendaciones

El mecanismo de falla global propuesto para estudiar el colapso activo y pasivo en el

frente de excavación, es aplicable a túneles poco profundos con relación de cobertura a

diámetro menor a cinco (C/D < 5). Se limita a excavaciones realizadas en material

homogéneo, no fracturado, que se pueda representar adecuadamente por un medio

continuo que siga el criterio de falla adoptado de Möhr-Coulomb. Debido a que muchos

proyectos de túneles excavan el frente en materiales heterogéneos, los desarrollos a

futuro de este trabajo deberán estar enfocados a adaptar el mecanismo de falla

propuesto, y extender la formulación particular del método del equilibrio límite, para

aplicarlos a un frente de excavación conformado por diversas capas de materiales.

El coeficiente de presión de tierras en la falla, deducido para relacionar los esfuerzos

verticales con los esfuerzos normales al plano de falla, asume implícitamente que la

dirección en que actúa el esfuerzo principal mayor coincide con el eje z vertical. Para

emplear el método propuesto en la excavación de túneles en medios altamente sobre-

consolidados o muy densos, donde la condición de esfuerzo principal mayor esté dada

por el confinamiento horizontal, se recomienda ajustar la expresión deducida para el

coeficiente de presión de tierras en la falla.

Existe otra limitación al implementar la condición de flujo desde el frente por infiltración

del medio de soporte dentro del terreno, puesto que se asumió que las líneas de




corriente siguen una trayectoria unidireccional y delimitada por la sección de excavación,

tal como se indica en la Figura 2-33 y en la Figura 3-16. Se sugiere confrontar esta

hipótesis con información de campo y de modelos a escala que estudien la infiltración

horizontal en laboratorio, aspectos a tratar en futuras investigaciones.

En términos del método de análisis propuesto, se advierte que el balance de fuerzas

planteado a nivel local para cada tajada del sólido de falla no es riguroso, puesto que no

se consideró el equilibrio de momentos. Es posible mejorar la precisión en la estimación

de la presión de soporte en el frente si se establece el equilibrio riguroso, a nivel local y

global, de todo el sistema de fuerzas, actuantes y de reacción, en el sólido tridimensional

que representa la cuña de falla.

El sólido tridimensional propuesto para estudiar falla por corte activa o pasiva, en el

frente de excavación, se discretizó en tajadas o casquetes que se asumieron

infinitamente rígidas. Por tal razón los problemas de estabilidad y deformación asociados

a la compresibilidad del suelo, tanto en la cara de la excavación como en la superficie del

terreno, no se pueden analizar directamente con el método propuesto. Sin embargo, la

gráfica obtenida de fuerzas internas entre tajadas, es decir empuje y cortante, permitirá

advertir escenarios donde gobierne la falla por compresibilidad o, incluso, la falla por

tensión dentro de la masa de suelo deslizada. La posible aplicación de los factores de

compresibilidad, con el fin de corregir la presión de soporte mínima y máxima estimada

para falla activa y pasiva respectivamente, se deja como un aspecto a tratar en próximos

trabajos.

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A. Anexo: Rutinas cómputo MatLab®

4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\...\AsSolveSemiRig.m 1 of 3

function [FS, En, E, T] = AsSolveSemiRig(metodo,asumido,mw,t,Wc,RN,RT,U,E0)

% Ensambla la matriz de coeficientes del sistema planteado por las

% ecuaciones de equilibrio del sólido de falla del frente del túnel,

% establece el vector de constantes del mismo sistema y lo resuelve

% asumiendo En para encontrar FS (método A) o viceversa (método B).

% Como resultado se obtiene el Factor de Seguridad FS, empuje del frente En

% y la variación del empuje entre paredes a lo largo del sólido de falla

% por el método semiriguroso (equilibrio en las dos direcciones: rad/tan).

%

% Para que físicamente tenga sentido el problema, no se deberían asumir

% valores del FS (método B) que conduzcan a valores negativos de empuje En.

% Por: OAMD

% Fecha: 06/08/16

% FS: Factor de Seguridad a lo largo de la superficie de falla (adim.)

% En: Empuje (kPa) en el frente de excavación (último casquete de falla)

% E: Valor del empuje (kN) en cada pared de los casquetes

% T: Valor del cortante (kN) en cada pared de los casquetes

% mw: Número de casquetes en que se ha discretizado el sólido de falla

% t: Ángulo al centro (rad.) de cada casquete de falla en el plano xz

% Wc: Fuerza (vectorial mw x 3) debida al peso (kN) de cada casquete

% RN: Fuerza (vectorial mw x 3) debida a las normales (kN) por casquete

% RT: Fuerza (vectorial mw x 3) debida a las cortantes (kN) por casquete

% U: Fuerza (vectorial mw x 3) debida a infiltración (kN) por casquete

% E0: Empuje (kPa) en el primer casquete/cuña debida a peso de cobertura

% metodo: Método empleado para realizar los cálculos (A ó B)

% asumido: Valor del parámetro asumido En/FS según método (A ó B).

% =========================================================================

% Sistema Coordenado Cilíndrico

TT = cell(mw,1); % Matriz de Transformación a sistema cilíndrico

dt = zeros(mw,1); % Delta theta (radianes) para cada casquete

M = zeros(2*mw+1,2*mw+1); % Matriz de coeficientes

m = zeros(2*mw+1,1); % Vector de constantes

% Transformación y Equilibrio Local

for j=1:mw

dt(j) = diff(t(j:j+1));

TT{j} = [cos(t(j) + dt(j)/2) 0 sin(t(j) + dt(j)/2);

0 0 0 ;

-sin(t(j) + dt(j)/2) 0 sin(t(j) + dt(j)/2)];

% Transformación de vectores fuerza actuando en el casquete j

Wp(j,:) = TT{j}*Wc(j,:)'; Np(j,:) = TT{j}*RN(j,:)'; Sp(j,:) = TT{j}*RT(j,:)'; Up

(j,:) = TT{j}*U(j,:)';

% Equilibrio Local

if metodo == 'B' % Asumido FS

FS = asumido;


% Fuerzas en dirección theta

M(2*j-1,2*j-1) = cos(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaEj

M(2*j-1,2*j) = sin(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaTj

for i=1:j-1

M(2*i-1,2*i) = 2*sin(dt(j)/2);

end

m(2*j-1) = Wp(j,3) + Np(j,3) + Up(j,3) + Sp(j,3)/FS;

% Fuerzas en dirección radial

M(2*j,2*j-1) = -sin(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaEj

M(2*j,2*j) = cos(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaTj

for i=1:j-1

M(2*i,2*i-1) = -2*sin(dt(j)/2);

end

m(2*j) = Wp(j,1) + Np(j,1) + 2*E0*sin(dt(j)/2) + Up(j,3) + Sp(j,1)/FS;

% Para equilibrio global de empujes

M(end,2*j-1) = -1;

elseif metodo == 'A' % Asignando En con DeltaE_i como incógnitas

% Fuerzas en dirección theta

M(2*j-1,end) = -Sp(j,3); % Coef. del Factor de Seguridad

M(2*j-1,2*j-1) = cos(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaEj

M(2*j-1,2*j) = sin(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaTj

for i=1:j-1

M(2*i-1,2*i) = 2*sin(dt(j)/2);

end

m(2*j-1) = Wp(j,3) + Np(j,3) + Up(j,3);

% Fuerzas en dirección radial

M(2*j,2*j-1) = -sin(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaEj

M(2*j,2*j) = cos(dt(j)/2); % Coef. de la incógnita DeltaTj

for i=1:j-1

M(2*i,2*i-1) = -2*sin(dt(j)/2);

end

m(2*j) = Wp(j,1) + Np(j,1) + Up(j,3) + 2*E0*sin(dt(j)/2);

% Para equilibrio global de empujes

M(end,2*j-1) = 1;

else

error('El método de cálculo debe ser A ó B')

end

end

% Equilibrio global de empujes

if metodo == 'B' % Asumido FS

M(end,end) = 1; m(end) = E0;

% Se resuelve el sistema

Sln = M\m; En = Sln(end); DeltaE = Sln(1:2:length(Sln)-1); DeltaT = Sln(2:2:length

(Sln)-1);

elseif metodo == 'A' % Asignando En con DeltaE_i como incógnitas

En = asumido;

m(end) = En - E0;


% Se resuelve el sistema

Sln = M\m; FS = 1/Sln(end); DeltaE = Sln(1:2:length(Sln)-1); DeltaT = Sln(2:2:length

(Sln)-1);

else

error('El método de cálculo debe ser A ó B')

end

% Empujes y cortantes en cada pared i

T0 = 0; Tn = 0;

for i=1:mw

E(i) = E0 + sum(DeltaE(1:i));

T(i) = T0 + sum(DeltaT(1:i));

end

end

4/06/17 04:49 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\CentroidVol.m 1 of 4

function [Vc, Wc, CVc, vP, xP, yP, zP] = CentroidVol(D,phi,d,g,w,v,TF)

% Discretiza el volumen del sólido de falla generando figuras poliédricas,

% las cuales se generan a partir de una rejilla en cada plano/pared de los

% casquetes de falla, configurando elementos equiárea pentaedros/hexaedros.

% La rejilla se genera asumiendo simetría alrededor del eje x, proyectando

% radios vectores desde el origen O asumido como la clave del túnel en

% el sistema de coordenadas local (0,0,0) hacia c/u de las coordenadas de

% superficie (x,y,z) del casquete "j", generando np poliedros, nh hexaedros

% por cada casquete de falla "j".

% La discretización generada aplica tanto para falla frente de excavación

% por colapso gravitacional (FC) o por expulsión/Blow-Out (BO).

%

% El tamaño de los vectores [Vc], [Wc] ó [CVc] será (mw x 1).

% El tamaño de las matrices [vP], [xP], [yP] y [zP] será (mw x nh+np).

% Por: OAMD

% Fecha: 06/11/16

% Vc: Volumen(m3) de cada casquete en el sólido de falla dado por (x,y,z)

% Wc: Peso (kN) por casquete ponderado por capas de suelo d en el frente

% CVc: Coordenadas [x,y,z] de centroide por casquete en el sólido de falla

% D: Diámetro (m) de la sección circular del túnel en el frente

% phi: Ángulo de fricción (radianes) interna del suelo en el frente

% w,v: Vector de coordenadas paramétricas (radianes) del sólido falla

% d: Vector con prof. (m) relativas al origen O de las capas de suelo

% g: Vector con pesos unitarios gamma (kN/m3) de las capas de suelo

% mw: Número de tajadas/casquetes (dirección w) en sólido de falla

% nv: Número nv de líneas de falla en la sección circular

% TF: Caractér de tipo de falla (Gravitacional/FC o Expulsión/BO).

% xP,yP,zP: Coordenadas (x,y,z) cartesianas de los poliedros de volumen.

% vP: Volúmen de c/u de los poliedros (nh + np) en que se dividió sólido.

% =========================================================================

%% Validación de datos

mw = length(w) - 1; nv = length(v) - 1;

if length(d) ~= length(g)

error('El número de capas de suelo en el frente debe corresponder en tamaño con

vectores profundidad d y peso unitario g')

end

if ischar(TF) == 0

error('El tipo de falla bien puede ser por colapso gravitacional del frente ''FC'' o

expulsión Blow-Out ''BO''')

end

% Número de hexahédros nh y de pentahedros np en cada casquete de falla

nh = sum(1:nv/2 - 2);

np = 2*(nv/2 - 1);

%% Análisis teniendo en cuenta simetría axial del túnel y mec. falla:

R = zeros(mw+1,nv/2); % Matriz 2D que contiene radios a la superficie en cada


plano mw

rd = NaN(nv/2+1,nv/2,mw+1); % Matriz 3D que contiene radios a vértices de poliedros

xd = rd; yd = rd; zd = rd; % Matriz 3D que contiene coordenadas a vértices de

poliedros

idxP = cell(2,nv/2 - 1); % Contenedor de los índices de vértices de los

pentahedros por casquete mw

idxH = cell(sum(1:nv/2-2),1); % Contenedor de los índices de vértices de los hexahedros

por casquete mw

% La fila de idxP/idxH hace referencia al consecutivo del punto a lo largo

% de un radio determinado Radio (configuración 2D rejilla), mientras que la

% columna de idxP/idxH hace alusión al consecutivo del radio R. Los

% elementos en una misma pared de casquete se configuran con radios

% adyacentes (j,j+1) y con puntos laterales vecinos (1,2,nv/2-j + 1/2).

% Numerar vértices de poliedros y pentahedros de cada casquete en el sólido de falla

nk = 0;

for j=1:nv/2-1

% Pentaedro en el origen de coordenadas {1} para cada radio j

idxP{1,j} = [1,j; 2,j; 2,j+1];

% Pentaedro en la superficia de falla {2} para cada radio j

idxP{2,j} = [((nv/2 - j) + 1),j; ((nv/2 - j) + 2),j; ((nv/2 - j) + 1),j+1];

for k=1:nv/2 - (j + 1)

nk = nk + 1;

idxH{nk} = [k+1,j; k+2,j; k+1,j+1; k+2,j+1];

end

end

idxP = reshape(idxP,[],1);

% Generar coordenadas de los vertices de cada poliedro en el sólido

for i=1:mw + 1

for j=1:nv/2

if strcmp(TF,'FC')

R(i,j) = D/2*exp((w(i) - pi/2)*tan(phi))*sqrt((1 + cos(v(j)))^2 + (sin(v(j)))

^2);

elseif strcmp(TF,'BO')

R(i,j) = D/2*exp(w(i)*tan(phi))*sqrt((1 + cos(v(j)))^2 + (sin(v(j)))^2);

end

% Número de intervalos en que se ha discretizado el Radio R

nR = (nv/2 - j) + 1;

% Vector con coordenadas del radio discretizado

Radio = [linspace(0,R(i,j),nR + 1) NaN(1,nv/2 - nR)]';

% Ángulo externo theta es el doble ángulo interno v

theta = v(j)/2;

yd(:,j,i) = Radio*sin(theta);

rd(:,j,i) = Radio*cos(theta);

xd(:,j,i) = rd(:,j,i)*cos(w(i));

zd(:,j,i) = rd(:,j,i)*sin(w(i));


end

end

% Generar coordenadas de los vertices de cada poliedro en la cuña (FC)

if phi > 0 && strcmp(TF,'FC') == 1

i = 1;

% La sección de la cuña es una elipse (círculo inclinado proyectado)

xd(:,:,i) = xd(:,:,i+1);

yd(:,:,i) = yd(:,:,i+1);

zd(:,:,i) = isnan(zd(:,:,i+1));

end

% Ensamblar coordenadas de los vertices en las caras de cada poliedro del sólido

xv = NaN(4,nh+np,mw+1); yv = xv; zv = xv;

for i=1:mw + 1

% Hexaedros

for j=1:nh

for k=1:4 % Cuatro vértices en la cara de un hexaedro

xv(k,j,i) = xd(idxH{j}(k,1),idxH{j}(k,2),i);

yv(k,j,i) = yd(idxH{j}(k,1),idxH{j}(k,2),i);

zv(k,j,i) = zd(idxH{j}(k,1),idxH{j}(k,2),i);

end

end

% Pentaedros

for j=1:np

for k=1:3 % Tres vértices en la cara de un pentaedro

xv(k,nh+j,i) = xd(idxP{j}(k,1),idxP{j}(k,2),i);

yv(k,nh+j,i) = yd(idxP{j}(k,1),idxP{j}(k,2),i);

zv(k,nh+j,i) = zd(idxP{j}(k,1),idxP{j}(k,2),i);

end

end

end

% Encontrar volúmenes, centroides y peso de cada elemento de volumen

vP = zeros(mw,nh+np); xP = vP; yP = vP; zP = vP; WP = vP;

MV = zeros(mw,3); CVc = MV;

Vc = zeros(mw,1); Wc = Vc;

for i=1:mw

for j=1:nh+np

% Para hexaedros tome 4 vértices por cara

if j <= nh

P = [xv(:,j,i) yv(:,j,i) zv(:,j,i); % Pared superior

xv(:,j,i+1) yv(:,j,i+1) zv(:,j,i+1)]; % Pared inferior

% Para pentahedros tome 3 vértices por cara

else

P = [xv(1:3,j,i) yv(1:3,j,i) zv(1:3,j,i); % Pared superior

xv(1:3,j,i+1) yv(1:3,j,i+1) zv(1:3,j,i+1)]; % Pared inferior

end

[kP, vP(i,j)] = convhull(P); % Volumen del poliedro

% Reasignación de variables (rutina Paul Bourke, 1998)


Num = zeros(1,3);

A = zeros(size(kP,1),1);

for k=1:length(kP)

va = P(kP(k,1),:); vb = P(kP(k,2),:); vc = P(kP(k,3),:);

A(k) = norm(cross(vb - va,vc - va));

RP = (va + vb + vc)/3;

Num = Num + A(k).*RP;

end

% Centroide de cada poliedro

CP = Num/sum(A);

xP(i,j) = CP(1); yP(i,j) = CP(2); zP(i,j) = CP(3);

% Momento Escalar MV (debido solo al volumen) del casquete j

MV(i,1) = MV(i,1) + 2*CP(1)*vP(i,j);

MV(i,2) = MV(i,2) + CP(2)*vP(i,j) - CP(2)*vP(i,j);

MV(i,3) = MV(i,3) + 2*CP(3)*vP(i,j);

% Peso de cada poliedro j en cada casquete i

WP(i,j) = vP(i,j)*g;

end

% Volumen del casquete i (doble por simetría respecto eje x)

Vc(i) = 2*sum(vP(i,:));

% Peso de cada casquete i (doble por simetría respecto eje x)

Wc(i) = 2*sum(WP(i,:));

% Centro de volumen del casquete j

CVc(i,1) = MV(i,1)/Vc(i);



end

end

4/06/17 04:44 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m 1 of 10

%Programa: FaceCollapseFS_SemiRig_TFN.m

%Hecho por: Orlando Andrés Melo Duque

%Descripción: Este programa obtiene la fuerza de empuje que se debe de

% ejercer en el frente como función del Factor Seguridad si

% se excava un túnel poco profundo en material que sigue el

% criterio de fluencia Mohr-Coulomb. Para ello, se asume como

% mecanismo de falla un sólido dividido en casquetes de forma

% espiral 3D, centro de rotación en la clave, eje de rotación

% "y", sección circular generatriz y decremento exponencial.

% La falla analizada es la del colapso activo del suelo en el

% frente al estar sometido a fuerzas de campo (gravedad,

% infiltración) y fuerzas de superficie (sobrecarga/efecto

% arco así como presión de la TBM), empleando la técnica del

% equilibrio límite (en dos direcciones, circunferencial y

% radial) con el fin de resolver el sistema de fuerzas (ec.).

% El sistema de coordenadas local establecido tiene origen en

% la clave del túnel, eje x en la dirección de avance de la

% excavación y eje z medido desde la clave hasta la solera.

%

%Fecha: 23/04/17 ~

%

%Requisitos Esenciales:

% Conocer la profundidad y diámetro del túnel, las capas del

% perfil de suelo en la cobertura y la capa en el frente, así

% como las propiedades relevantes (d, c, phi, OCR, k, etc.)

% para el análisis de estabilidad.

% Esta rutina emplea las siguientes funciones:

% - AsSolveSemiRig.m

% - CentroidVol.m

% - FreeFaceTFN.m

% - TFNthh.m

%

%Referencia: - Anagnostou, G. & Kovári, K. (1996). Face Stability in

% Slurry and EPB Shield Tunnelling. In R.J. Mair & R.N.

% Taylor (Ed.), Geotechnical aspects of underground

% construction in soft ground(pag. 165-174). London: Balkema.

% - Bourke, P. (1998). Polygons and meshes. Obtenido de:

% http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh/

% - Broere, W. & van Tol, A.F. (2001). Time-dependant

% infiltration and groundwater flow in a face stability

% analysis. In T. Adachi, K. Tateyama & M. Kimura (Ed.),

% Modern Tunnelling Science and Technology, (pag. 629-634).

% Kyoto, Japan.

% - W. Broere, "Tunnel Face Stability & New CPT Applications"

% Delft University of Technology, Delft, 2001.

% - G. Iglesia, H. H. Einstein, and R. V. Whitman, "Section

% 3.3.4: Discussion of the Coefficient of Lateral Stress

% (K)," in A Literature Study of the Arching Effect.:

% M.Sc. Thesis, MIT, 1996, pp. 55-56.

% - Nilmar Janbu, "Slope stability computations," Soil

% Mechanics & Foundation Engineering Report, pp. 47-86, 1968.


% - Perazzelli, P., Leone, T. & Anagnostou, G. (2014). Tunnel

% face stability under seepage flow conditions. Tunnelling

% and Underground Space Technology (43), 459-469.

% - D. M. Raup, "Geometric analysis of shell coiling: General

% problems," Journal of Paleontology, vol. 40, no. 5, pp.

% 1178-1190, 1966.

% - K. Terzaghi, "Arching in ideal soils," in

% Theoretical Soil Mechanics. Chapter 5. New York: John

% Wiley and Sons, 1943, ch. 5, pp. 66-76.

% - K. Terzaghi, "The Logarithmic spiral method," in

% Theoretical Soil Mechanics. New York: John Wiley and Sons,

% 1943, pp. 108-111.

%

%==========================================================================

clear all; clc; close all;

tic

%% Parámetros del análisis

FSb = 1.0;

% Geometría Sección Generatriz Circular

D = 10.00; % Diámetro de la sección circular D (m)

C = 0.8*D; % Cobertura del túnel C (m)

q0 = 0.0; % Sobrecarga (kPa) a nivel del terreno

zNAF = 0; % Profundidad del nivel de agua (m), medido desde terreno (<0 si lámina de

agua supera nivel del terreno)

gammaw = 10; % Peso unitario del agua a la T° del terreno (kN/m^3)

pF = 0; % Presión del slurry en la cámara de excavación (kPa)

gammaF = gammaw;% Peso Unitario del fluido en cámara de excavación (kN/m^3)

gammas = 16.6; % Peso unitario saturado (kN/m^3)

gammam = 11.1; % Peso unitario húmedo (kN/m^3)

gammad = 6.6; % Peso unitario seco (kN/m^3)

c = 19.2; % Intercepto de cohesión (kPa)

psi = 0; % Ángulo de dilatancia psi (°) asumido igual al efectivo de fricción

interna phi (°) del material involucrado

%su_sv = 0.22; % Resistencia al corte no drenada como fn. esfzo. vertical

% Coeficiente de presión para efecto arco (Iglesia, 1990)

Kk = (cosd(psi)^2)/(1 + sind(psi)^2);

% Coordenadas del centro de la espiral logarítmica (xc, zc) centrada en la clave del

frente

xc = 0; zc = 0;

%% Cambio de unidades

phi = psi*pi/180; % Cambio de unidades (°) a (rad)


%% Discretización del sólido de falla espiral logarítmico (Ec. Paramétrica)

% Parámetro v (ángulo al centro de la sección transversal 0 => 2*pi)

nv = 360/5; % Número nv>=4 (>=36 recomendado) de líneas de falla en la sección

circular, debe ser número par, dado el plano de simetría a lo largo del eje x

v = linspace(0,2*pi,nv + 1);

dv = v(end)/(nv);

% Parámetro w (ángulo de rotación del sólido alrededor de y, 0 <= w <= pi/2 - phi)

mw = 90/5; % Número m>=2 (>=18 recomendado) de tajadas/casquetes (dirección w)

en la superficie de falla logarítmica

w = linspace(phi,pi/2,mw + 1);

% Coordenadas cilíndricas (r,y) + cartesianas (x,z) de la superficie para

% 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi

x = zeros(mw + 1,nv + 1); y = x; z = x;

% Geometría Sólido de Falla

for i=1:mw + 1

for j=1:nv + 1

% Coordenadas de las paredes

x(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*sin((pi/2 - w(i)));

y(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*sin(v(j));

z(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*cos((pi/2 - w(i)));

end

end

%% Cálculo de la presión piezométrica dentro del sólido de falla

switch true

case zNAF <= 0

zF = D/2; % Prof. (m) a evaluar nivel piezométrico presión

frente

hF = pF/gammaF + (D - zF); % Nivel piezométrico (m) en cámara de trabajo (D/2 p.

a.)

h0 = (C + D) - zNAF; % Nivel piezométrico (m) en el terreno sin excavar

gammab = gammas - gammaw; % Peso unitario sumergido suelo (kN/m^3)

gammap = gammab; % Peso unitario efectivo = sumergido (kN/m^3)

% Factores de ajuste modelo de flujo tridimensional hacia

% túnel según Perazzelli et al. (2014)

[aa,bb] = PerazzelliEtAl(C,D);

% Gradiente de flujo vertical en el silo

iav = (h0 - hF)/D*aa*(1 - exp(-bb*exp(pi/2*tan(phi))))/(bb*exp(pi/2*tan(phi)));

case strcmp(zNAF,'Dry')

hF = 0; h0 = 0; % Sin nivel piezométrico de agua

gammap = gammad; % Peso unitario efectivo = seco (kN/m^3)

iav = 0; % No existe gradiente por flujo vertical en el silo


zNAF = 0; Ui = zNAF; % En seco: sin fuerzas de filtración

otherwise

error('El nivel de agua debe estar por encima del terreno, o el terreno estará

completamente seco (Dry)')

end

%% Presión (kPa) por peso columna de suelo sobre el sólido de falla

% Semi-ancho de relajación silo efecto arco

a3D = D/2*(exp((phi - pi/2)*tan(phi))*cos(phi))/(3*(1 + cos(phi)) - sqrt((3 + cos(phi))*

(1 + 3*cos(phi))));

% Área del silo

A = pi/4*D^2*exp(-2*(pi/2 - phi)*tan(phi))*cos(phi);

if phi > 0 % Análisis drenado

sigma_va = (a3D*gammap)/(Kk*tan(phi))*(1 - exp(-Kk*tan(phi)*C/a3D)) + q0*exp(-Kk*tan

(phi)*C/a3D) + (gammaw*iav*(C - zNAF));

else % Análisis no drenado (phi_u = 0)

If = (D^2)/((D + C)^2); % Coef. disipación 2:1 sobrecarga

iav = 0; % No existe flujo vertical, peso columna de suelo + agua

sigma_va = gammaw*(-zNAF) + gammas*(C) + (gammaw*iav)*(C - zNAF) + q0*If;

end

sigma_va, Vsilo = sigma_va*A;

%% FUERZAS NORMALES/CORTANTES EN EL SÓLIDO

% Coordenadas del centro en elementos de superficie

xe = zeros(mw,nv); ye = xe; ze = xe;

% Diferencial de superficie dS y campo de esfuerzos normales s = [sx sy sz]

dS = zeros(mw,nv); sz = dS;

% Componentes del vector unitario normal a la superficie n = [nx ny nz]

% para 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi

nx = dS; ny = dS; nz = dS;

% Componentes del vector unitario tangencial a la superficie t = [tx ty tz]

% para phi <= w <= pi/2 y 0 <= v <= 2*pi

tx = dS; ty = dS; tz = dS;

% Componentes vector fuerza normal N = [Nx Ny Nz] y cortante T = [Tx Ty Tz]

Nx = dS; Ny = dS; Nz = dS; Tx = dS; Ty = dS; Tz = dS;

% Coef. de esfuerzo normal en la falla Kfn, semi-ancho relajación silo ae

Kfn = dS; ae = dS; Su = dS;

for i=1:mw

dw = diff(w(i:i+1));

for j=1:nv

xe(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*sin

((pi/2 - (w(i)) - dw/2));

ye(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*sin(v(j) + dv/2);

ze(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*cos

((pi/2 - (w(i)) - dw/2));


dS(i,j) = (D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi)))^2*(cos(v(j) + dv/2) + 1)/

(cos(phi))*dw*dv;

nx = -((sin(phi)*cos((pi/2 - (w(i)) - dw/2))) + (cos(phi)*sin((pi/2 - (w(i)) -

dw/2))*cos(v(j) + dv/2)));

ny = -cos(phi)*sin(v(j) + dv/2);

nz = -((cos(phi)*cos((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*cos(v(j) + dv/2)) - (sin(phi)*sin

((pi/2 - (w(i)) - dw/2))));

radicando = sqrt((cos(v(j) + dv/2) + 1)*(cos(phi)^2*cos(v(j) + dv/2) - cos(phi)^2

+ 2));

tx = (cos(phi + ((pi/2 - (w(i)) - dw/2)))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/radicando;

ty = -(sin(phi)*sin(v(j) + dv/2))/radicando;

tz = -(sin(phi + ((pi/2 - (w(i)) - dw/2)))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/radicando;

% Esfuerzo normal/cortante plano falla, conociendo inclinación nz


kn = 1 + 2*(sqrt(nz^2*(1 - nz^2))/tan(phi) - nz^2);

Kfn(i,j) = cos(phi)^2/(1 + kn*sin(phi)^2);

ae(i,j) = D/4*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi));

sz(i,j) = (ae(i,j)*gammap)/(Kfn(i,j)*tan(phi))*(1 - exp(-Kfn(i,j)*tan(phi)*

(ze(i,j))/ae(i,j))) + sigma_va*exp(-Kfn(i,j)*tan(phi)*(ze(i,j))/ae(i,j));

Sn = Kfn(i,j)*sz(i,j);

Tn = c + Sn*tan(phi);


sz(i,j) = (sigma_va - gammaw*(C - zNAF)) + gammap*ze(i,j);

kn = sqrt(nz^2*(1 - nz^2));

if exist('su_sv')== 1

Su(i,j) = sz(i,j)*su_sv;

Kfn(i,j) = 1 - 2*su_sv*kn;

else

Su(i,j) = c;

Kfn(i,j) = 1 - 2*c/sz(i,j)*kn;

end

Sn = (Kfn(i,j)*gammas - gammaw)*(C + ze(i,j)) - gammaw*(-zNAF);

Tn = Su(i,j);

end

% Cálculo de Fuerzas de Superficie

Nx(i,j) = dS(i,j)*Sn*nx;

Ny(i,j) = dS(i,j)*Sn*ny;

Nz(i,j) = dS(i,j)*Sn*nz;

Tx(i,j) = dS(i,j)*Tn*tx;

Ty(i,j) = dS(i,j)*Tn*ty;

Tz(i,j) = dS(i,j)*Tn*tz;

end

end

Ky = mean(mean(Kfn)); % Coef. promedio esfzos normales en la falla


%% CUÑA RÍGIDA DE TRANSICIÓN DE ESFUERZOS

% Si existe cuña de transición de esfuerzos


% El primer casquete es la tajada #2 (la cuña es la #1)

x = [x(1,:);x]; y = [y(1,:);y]; z = [zeros(1,nv + 1);z];

mw = mw + 1;

% Punto de aplicación de fuerzas superficiales en la cuña

xew = D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*cos(phi)*(1 + cos(v(1:end - 1) + dv/2));

yew = D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*sin(v(1:end - 1) + dv/2);

zew = xew/2*tan(phi);

szw = (a3D*gammap)/(Kk*tan(phi))*(1 - exp(-Kk*tan(phi)*(zew)/a3D)) + sigma_va*exp(-

Kk*tan(phi)*(zew)/a3D);

%Diferencial de superficie de los elementos en la cuña

dSw = (D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*dv*sqrt(cos(phi)^2*sin(v(1:end-1) + dv/2).^2 +

cos(v(1:end-1) + dv/2).^2)).*(xew*tan(phi));

% Vectores normales y cortantes a la superficie de la cuña

nxw = -(cos(phi)*cos(v(1:end-1) + dv/2))./sqrt(cos(phi)^2*cos(v(1:end-1) + dv/2).^2 +

sin(v(1:end-1) + dv/2).^2);

nyw = -(sin(v(1:end-1) + dv/2))./sqrt(cos(phi)^2*cos(v(1:end-1) + dv/2).^2 + sin(v(1:

end-1) + dv/2).^2);

nzw = zeros(1,length(v) - 1);

tzw = -ones(1,length(v) - 1); txw = nzw; tyw = nzw;

% Esfuerzo normal/cortante plano falla vertical, según Iglesia

Snw = Kk*szw;

Tnw = c + Snw*tan(phi);

Nxw = dSw.*Snw.*nxw;

Nyw = dSw.*Snw.*nyw;

Nzw = dSw.*Snw.*nzw;

Tzw = dSw.*Tnw.*tzw;

Txw = nzw; Tyw = nzw;

% Incluir Fuerzas sobre elementos de superficie de la cuña

xe = [xew;xe]; ye = [yew;ye]; ze = [zew;ze];

Nx = [Nxw;Nx]; Ny = [Nyw;Ny]; Nz = [Nzw;Nz];

Tx = [Txw;Tx]; Ty = [Tyw;Ty]; Tz = [Tzw;Tz];

% Ángulo theta en el plano xz de cada casquete de falla

w = [0, w];

% Rótulos análisis drenado

titulo1 = ['Sólido falla gravitacional frente (Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = '

num2str(C) 'm, \phi'' = ' num2str(psi) '°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa)'];


titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = ' num2str(C) 'm (\phi'' = ' num2str(psi)

'°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) ' kN/m^3), K_f =

' num2str(Ky,'%5.2f')];

else

% Resistencia al corte no drenada Su (kPa) promedio superficie falla

SU = sum(sum(Su.*dS))/sum(sum(dS));

% Rótulos análisis no drenado


num2str(C) 'm, \phi_{\it u} = ' num2str(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f')

'kPa)'];

titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = ' num2str(C) 'm (\phi_{\it u} = ' num2str

(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) ' kN/m^3),

K_f = ' num2str(Ky,'%5.2f')];

end

%% CENTROIDE DE CADA CASQUETE DE FALLA (Discretización tetraédrica Volumen)

g = gammap; % Vector con pesos unitarios gamma (kN/m3) de las capas de suelo

[Vc, Wc, CVc, vP, xP, yP, zP] = CentroidVol(D,phi,D,g,w,v,'FC');

W(:,3) = Wc; % El peso tomado como fuerza es una cantidad vectorial

%% Graficar Superficie de Falla

hold on, grid on, box on, axis equal

% Sólido Espiral Logarítmica + Cuña Rígida Transición Estado Esfuerzos

surf(x,y,z)

% Graficar vectores normales a la superficie

normales = quiver3(xe,ye,ze,Nx,Ny,Nz,2,'ShowArrowHead','off','Color',[0 0 1]);

% Graficar vectores tangentes a la superficie

cortantes = quiver3(xe,ye,ze,Tx,Ty,Tz,2,'Color',[1 0 0]);

% Rótulos y configuración

title(titulo1)

xlabel('x (m)')

ylabel('y (m)')

zlabel('z (m)')

set(gca,'ZDir','Reverse')

colorbar('Direction','reverse')

colormap('Summer')

view(3)

set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1])

legend([normales,cortantes],'Fzas. Normales','Fzas. Cortantes','Location','NorthWest')

%% Balance de fuerzas en el sólido de falla en el frente

% 1. Resultante fuerzas de superficie por casquete j para balance sistema

RN(:,1) = sum(Nx,2); RT(:,1) = sum(Tx,2);

RN(:,2) = sum(Ny,2); RT(:,2) = sum(Ty,2);

RN(:,3) = sum(Nz,2); RT(:,3) = sum(Tz,2);


% 2. Condiciones de Frontera (Esfuerzo en la primer tajada por sobrecarga)

E0 = Vsilo

% 3. Fuerzas de filtración Ui en el centroide de cada poliedro discretizado

if exist('Ui') == 1

Fi = zeros(mw,3); % En seco: Fuerzas Filtración

else

lu = nv/4; % Número de canales de flujo xi_i en el semidomino del frente

de excavación

[Fi rFi] = FreeFaceTFN(D,phi,gammaw,hF,h0,C,vP,xP,yP,zP,lu,1); % Perazzelli et Al.

(2014)

end

% 4. Se plantean incógnitas y se ensambla matriz de coeficientes de sistema

% Factor Seguridad Mínimo FSmin (Método A): Asignando En = 0 (sin presión)

[FSa, Ena, Ea, Ta] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);

% Empuje Estable En (Método B): Asumido FS = 1

[FSb, Enb, Eb, Tb] = AsSolveSemiRig('B',FSb,mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);

% Empuje Máximo (Método A): Cuando FS => infinito

% Se realizar proceso iterativo FS hasta llegar al valor asintótico de E

VarEn = [realmax Enb]; % Variable que guardará empujes en el frente

n = 1; % Contador para aumentar exponencialmente FS

FS0 = max(10^ceil(log10(FSa)),10); % Base para escala del Factor de Seguridad FS

while round(diff(VarEn(end-1:end))*10)/10 ~= 0

FSasintota(n) = FS0^n;

[FSc, Enc, Ec, Tc] = AsSolveSemiRig('B',FSasintota(n),mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);

VarEn(end + 1) = Enc;

n = n + 1;

end

VarEn(1) = 0;

FSasintota = [FSa FSb FSasintota];

% 5. Variación del FS en función del empuje requerido colapso gravitacional

En = linspace(Ena,Enc,100); % Vector que contiene empujes asumidos En

FS = zeros(1,100); % Vector que contiene el FS f(En)

for i = 1:100

[FSi, Eni, Ei, Ti] = AsSolveSemiRig('A',En(i),mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);

FS(i) = FSi;

end

figure, hold on, box on, grid on

rot1 = plot(En,FS,'k','LineWidth',2);

xlabel('Empuje en el frente (kN)')

ylabel('Factor de Seguridad FS')

legend(rot1,'Colapso del frente','Location','NorthWest')

ylim([0 FS0])

% Presión efeciva (kPa) aplicada en el frente s'


sp = En/(pi/4*D^2);

spa = Ena/(pi/4*D^2); spb = Enb/(pi/4*D^2); spc = Enc/(pi/4*D^2);

support_pressure = [sp(1) max(spa,spb) sp(end)]

% 6. Gráfico de Empujes para un método determinado

figure

% Método A

locA = find(sort([Ena Enb]) == Ena);

ax1 = subplot(1,3,locA,'XDir','Reverse');

hold on, box on

title(['Método A: Dado E_n = ' num2str(Ena,'%5.0f') ' kN, FS = ' num2str(FSa,'%5.1f')])

xlabel('Pared {\it i}')

ylabel('Empuje E_{i} (kN)')

bar(0:mw,round([E0 Ea]),'r','BarWidth',1)

xlim([-0.5 mw+0.5])

% Método B

locB = find(sort([Ena Enb]) == Enb);

ax2 = subplot(1,3,locB,'XDir','Reverse');

hold on, box on

title(['Método B: Dado FS = ' num2str(FSb,'%5.1f') ', E_n = ' num2str(Enb,'%5.0f') ' kN

(N_{D} = ' num2str(spb/(gammap*D),'%5.2f') ')'])



bar(0:mw,round([E0 Eb]),'b','BarWidth',1)

xlim([-0.5 mw+0.5])

% Asíntota de la presión

ax3 = subplot(1,3,3,'XDir','Reverse');

hold on, box on

title(['Cuando FS \rightarrow \infty, E_n = ' num2str(Enc,'%5.0f') ' kN (N_{D} = '

num2str(spc/(gammap*D),'%5.2f') ')'])



bar(0:mw,round([E0 Ec]),'g','BarWidth',1)

xlim([-0.5 mw+0.5])

linkaxes([ax3,ax2,ax1],'y');

% 7. Gráfico de FS vs Presión efectiva de soporte (kPa)


plot(sp,FS,'b','LineWidth',2)

xlabel('Presión de soporte efectiva {\it s''} (kPa)')


xlim([0 inf]); ylim([0 10*FS0])


plot(sp/(gammap*D),FS,'r','LineWidth',2)

title(titulo2)

xlabel('Presión de soporte normalizada N_{D}')



xlim([0 inf]); ylim([0 FS0]);%ylim([0 10*FS0])

toc

%==========================================================================

4/06/17 04:46 PM C:\Users\ANDRES MELO\Doc...\FreeFaceTFN.m 1 of 4

function [Fi,rFi] = FreeFaceTFN(D,phi,gammaw,hF,h0,C,vP,xP,yP,zP,lu,FN)

% Free Face Tridimensional Flow-Net (FreeFaceTFN.m)

% Calcula fuerzas de infiltración [Fix,Fiy,Fiz] y pto. acción en el suelo

% contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado en un

% acuífero, masa que se ha discretizado previamente en tajadas y ele-

% mentos de volumen. Se asume la excavación se realiza con la cara libre

% del frente, es decir con equipo convencional sin presurizar con una TBM,

% siguiendo la propuesta simplificada de Perazzelli et al. (2014).

%

% hF y h0 deben tener valores diferentes para que se presente el flujo

% [vP] [xP] [yP] [zP] deben tener el mismo tamaño (mw x ne)

% La TBM puede ser: de trabajo presión atmosférica o con cámara hiperbárica

% Por: OAMD

% Fecha: 04/01/17

% D: Diámetro (m) del frente de excavación

% phi: Ángolo (rad) de fricción interna del material en el frente

% gammaw: Peso unitario (kN/m3) del fluido en el terreno (agua@20°C = 9,81)

% h0: Cabeza (m) piezométrica campo lejano, ó elevación del nivel de agua

% hF: Cabeza (m) piezométrica en el frente del túnel (aplicada en la

% cámara). Si el túnel está bajo presión atmosférica, hF = D/2.

% C: Espesor (m) de la cobertura sobre la clavel del túnel

% vP: Volúmen (m3) elementos de volumen ne en sólido de falla

% xP: Coordenada (m) elementos de volumen ne en dirección avance frente

% yP: Coordenada (m) elementos de volumen ne en dirección perp. eje túnel

% zP: Coordenada (m) elementos de volumen ne medida como prof. a la clave

% lu: Número de canales de flujo xi_i en semidomino frente de excavación

%

% FN: Binario que indica si se grafica (1) o no se grafica (0) red flujo

% =========================================================================


if isequal(size(vP),size(xP))==0 || isequal(size(vP),size(yP))==0 || isequal(size(vP),

size(zP))==0

error('El tamaño de las matrices [vP], [xP], [yP] [zP] debe coincidir')

end

if FN ~= 0 && FN ~= 1

error('Se debe indicar si se grafica (1) o no (0) la red de flujo')

end

mw = size(vP,1); % Número de tajadas del sólido de falla

%% RED DE FLUJO

%% 1. Generación de la rejilla radial de flujo plano xy (z = D/2)

dxi = 4*D/(2*lu); % Incremento (m) en los canales de flujo

xi = D*exp((pi/2)*tan(phi));% Dominio de interés (m) del canal de flujo en la red (Umbral

falla por blow-out)

nxi = ceil(xi/dxi) + 1; % Número de equipotenciales en que se discretizarán líneas de

flujo


ai = zeros(lu,1); % Apotema (m) de c/u de las alturas del frente que definen

una línea de flujo xi_i

alpha_i = ai; % Ángulo (radianes) alpha entre el eje x y la línea de flujo

xi_i

Di = ai; % Altura (m) de la intersección entre el frente de excavación

y la línea de flujo xi_i

xi_i = zeros(lu,nxi); % Matriz que contiene las coordenadas de las líneas de flujo

xi_i

x_i = xi_i; y_i = x_i; % Matrices de coordenadas (x_i,y_i) de puntos intersección

red de flujo para hallar cabeza h

%% 2. Cálculo de la presión piezométrica dentro del sólido de falla

h = zeros(lu,nxi); %i_xi = zeros(lu); ix = i_xi; iy = i_xi;

% Para que haya flujo debe haber gradiente hidráulico

if hF ~= h0

% Para cada canal de flujo, generar rejilla

xi_i = linspace(0,xi,nxi);

for i=1:lu;

ai(i) = (D/(2*lu))*(i - 1);

alpha_i(i) = (i - 1)*(pi/2)/lu;

Di(i) = sqrt(D^2 - 4*ai(i)^2);

x_i(i,:) = xi_i.*cos(alpha_i(i));

y_i(i,:) = ai(i) + xi_i.*sin(alpha_i(i));

% Cabeza piezométrica h

h(i,:) = TFNthh(Di(i),hF,h0,C,xi_i,linspace(0,Di(i),nxi))';

end

% 3. Interpolar cabeza de presión y obtener gradiente numéricamente (FDM)

% Establecer cabeza piezométrica en una rejilla rectangular

MF = [reshape(x_i,[],1) reshape(y_i,[],1)];

F = scatteredInterpolant(MF,reshape(h,[],1),'natural');

dx = xi/(nxi); dy = 0.5*xi/(nxi);

xq = 0:dx:xi; yq = 0:dy:0.5*xi; % OJO: Blow-Out el mecanismo considera que se

amplifica ancho sólido falla más allá D/2 (es decir, hasta xi/2)

hq = F({xq,yq});

% Cálculo numérico del campo gradiente hidráulico

[FY,FX] = gradient(hq,dy,dx);

% 4. Calcular fuerzas de infiltración en c/elemento semi-casquete (y > 0)

% Componentes del gradiente hidráulico

iz = zeros(size(vP)); ix = iz; iy = iz;

% Componentes de las fuerzas de infiltración

fzP = zeros(size(vP)); fxP = fzP; fyP = fzP;

% Punto de aplicación de la resulante fuerzas infiltración por casquete

rFi = zeros(size(vP,1),3);


for i=1:mw

ix(i,:) = interp2(yq,xq',FX,yP(i,:),xP(i,:));

iy(i,:) = interp2(yq,xq',FY,yP(i,:),xP(i,:));

fxP(i,:) = -gammaw*ix(i,:).*vP(i,:);

fyP(i,:) = -gammaw*iy(i,:).*vP(i,:);

fzP(i,:) = -gammaw*iz(i,:).*vP(i,:);

rFi(i,1) = sum(xP(i,:).*fxP(i,:))/sum(fxP(i,:));

rFi(i,3) = sum(zP(i,:).*fxP(i,:))/sum(fxP(i,:));

end

% Fuerzas de infiltración por casquete (integrar alrededor semi-eje x)

Fi(:,1) = 2*sum(fxP,2); % Componente x (kN)

Fi(:,2) = sum(fyP,2) - sum(fyP,2); % Componente y (kN)

Fi(:,3) = 2*sum(fzP,2); % Componente z (kN)

else

Fi = zeros(mw,3); rFi = nan(size(Fi));

return

end

if FN == 1

%% 3. Grafico de la red de flujo

figure, hold on, axis equal, box on

fill([-D/2 -D/2 D/2 D/2],[-D/8 0 0 -D/8],[0.6 0.2 0])

quiver(yq,xq,-FY,-FX,1.5,'Color',[0 0.75 0.75])

quiver(-yq,xq,FY,-FX,1.5,'Color',[0 0.75 0.75])

text(0,-D/16,'Escudo TBM','HorizontalAlignment','center','BackgroundColor',[1 1 1])

[YY,XX] = meshgrid(yq,xq);

starty = linspace(0,D/2,lu/2); starty(1) = [];

startx = zeros(size(starty));

if h0 > hF

hlines1 = streamline(YY,XX,FY,FX,starty,startx);

hlines2 = streamline(-YY,XX,-FY,FX,-starty,startx);

elseif h0 < hF

hlines1 = streamline(YY,XX,-FY,-FX,starty,startx);

hlines2 = streamline(-YY,XX,FY,-FX,-starty,startx);

end

h_xi = line([0 0],[0 xi],'LineWidth',2,'Color',[0 0 1]);

set(hlines1,'LineWidth',2,'Color','b')

set(hlines2,'LineWidth',2,'Color','b')

% Anotaciones

title({%'Red de flujo (cabeza piezométrica h en mca)';...

['Nivel piezométrico en la TBM h_{F} = ' num2str(hF,'%5.2f') ' mca (D = ' int2str


(D) ' m)'];...

['Nivel piezométrico en el terreno h_{0} = ' num2str(h0,'%5.2f') ' mca']})

xlabel('Frente de Excavación / Eje y (m)')

ylabel('\rightarrow Dirección de avance de la excavación / Eje x (m)')

xlim(3/4*[-D D])

ylim([-inf xi-D/8])

[Cc,hc] = contour(y_i,x_i,h,'ShowText','on');

contour(-y_i,x_i,h)

clabel(Cc,hc);

legend(h_xi,'Líneas de corriente \xi','Location','NorthWest')

end

end

4/06/17 04:47 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\TFNthh.m 1 of 2

function h = TFNthh(H,hF,h0,t,x,z)

% TFN total hydraulic head (TFNthh.m)

% Calcula la cabeza hidráulica total en el punto (x,y,z) del suelo

% contenido en el sólido de falla de frente del túnel excavado en material

% permeable, asumiendo que la cámara de excavación es abierta y por

% tanto no está presurizada, lo cual permite el flujo tridmmensional hacia

% el frente, siguiendo la propuesta simplificada de Perazelli et al. (2014).

%

% [x] y [z] teniendo el mismo tamaño, pueden ser escalares o vectores.

% [h] será de igual tamaño (n) a las coordenadas (x,z).


% Por: OAMD

% Fecha: 15/11/16

% H: Altura (m) del frente de excavación

% h: Cabeza (m) hidráulica del frente de excavación en el punto (x,y,z)




% a,b: Coeficientes de ajuste para expresiones de la cabeza hidráulica h

% t: Espesor (m) de la cobertura sobre la clavel del túnel

% x: Coordenada (m) en la dirección de la línea de flujo xi (simetría)

% z: Coordenada (m) profundidad punto analizado con origen en la clave

% =========================================================================


if length(x) ~= length(z)

error('El tamaño de x debe ser igual al tamaño de z')

end

if h0 == hF

error ('Debe haber diferencia de nivel piezométrico (h0 - hF) para que halla flujo')

end

%% Cálculo de la presión h(x,z)

Dh = h0 - hF; % Diferencia de presión hidráulica entre el terreno y túnel

t_H = [1;5]; % Relación (adim.) de la cobertura a la altura del túnel

coef_ajuste = [ 4.496 2.850;

1.935 1.638];

%a = interp1(t_H,coef_ajuste(1,:)',t/H);

%b = interp1(t_H,coef_ajuste(2,:)',t/H);

% Interpolación en escala semi-logarítmica de t/H

pol_a = polyfit(log10(t_H),coef_ajuste(1,:)',1);

pol_b = polyfit(log10(t_H),coef_ajuste(2,:)',1);

a = polyval(pol_a,log10(t/H));

b = polyval(pol_b,log10(t/H));

4/06/17 04:47 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\TFNthh.m 2 of 2

h = zeros(length(x),1);

for i=1:length(x)

z = H - z; % Cambiar el origen del sistema de coordenadas a la solera

if z <= H % Condición para el frente de excavación

h(i) = hF + (1 - exp(-b*(x(i)/H)))*Dh;

elseif z > H% Condición para el silo en la cobertura

h(i) = hF + (1 - exp(-b*(x(i)/H) + a*(1 - z(i)/H)))*Dh;

end

end

end

4/06/17 04:39 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\IMMsfi.m 1 of 2

function h = IMMsfi(H,hF,h0,t,x,z)

% Ideal Membrane Model sub-surface flow hidraulic head (IMMsfi.m)

% Calcula la cabeza de presión intersticial en el punto (x,y,z) del suelo

% contenido en el sólido de falla de frente del túnel excavado en material

% permeable, asumiendo que la cámara de excavación es abierta y por

% tanto no está presurizada, lo cual permite el flujo tridmmensional hacia

% el frente, siguiendo la propuesta simplificada de Perazelli et al. (2014).

%

% [x] y [z] teniendo el mismo tamaño, pueden ser escalares o vectores.

% [h] será de igual tamaño (n) a las coordenadas (x,z).


% Por: OAMD

% Fecha: 15/11/16

% H: Altura (m) del frente de excavación

% h: Cabeza (m) hidráulica del frente de excavación en el punto (x,y,z)




% a,b: Coeficientes de ajuste para expresiones de la cabeza hidráulica h

% t: Espesor (m) de la cobertura sobre la clavel del túnel

% x: Coordenada (m) en la dirección de la línea de flujo xi (simetría)


% =========================================================================



error('El tamaño de x debe ser igual al tamaño de z')

end

if h0 == hF

error ('Debe haber diferencia de nivel piezométrico (h0 - hF) para que halla flujo')

end

%% Cálculo de la presión h(x,z)

Dh = h0 - hF; % Diferencia de presión hidráulica entre el terreno y túnel


coef_ajuste = [ 4.496 2.850;

1.935 1.638];








4/06/17 04:39 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\IMMsfi.m 2 of 2

h = zeros(length(x),1);

for i=1:length(x)

z = H - z; % Cambiar el origen del sistema de coordenadas a la solera

if z <= H % Condición para el frente de excavación

h(i) = hF + (1 - exp(-b*(x(i)/H)))*Dh;

elseif z > H% Condición para el silo en la cobertura

h(i) = hF + (1 - exp(-b*(x(i)/H) + a*(1 - z(i)/H)))*Dh;

end

end

end

4/06/17 04:46 PM C:\Users\ANDRES MELO\...\PerazzelliEtAl.m 1 of 1

function [a,b] = PerazzelliEtAl(t,H)

% Evaluar expresiones de la superficie de falla en el plano y = 0


coef_ajuste = [ 4.496 2.850;

1.935 1.638];








end

4/06/17 04:35 PM C:\User...\FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m 1 of 11

%Programa: FaceCollapseFS_SemiRig_UFC.m


%Descripción: Este programa obtiene la presurización que debe ejercer

% la TBM como función del Factor Seguridad cuando se excava

% un túnel poco profundo en material homogéneo que sigue el





% La falla analizada es la del colapso activo del suelo en el









%

%Fecha: 22/05/17 ~

%




% como las propiedades relevantes (d, c, phi, k, etc.)




% - CentroidVol.m

% - FilterCakeUFN.m

% - FCMsfi.m

% - BroereVanTol.m

%











% Kyoto, Japan.






% M.Sc. Thesis, MIT, 1996, pp. 55-56.









% 1178-1190, 1966.






% 1943, pp. 108-111.

%

%==========================================================================


tic



D = 10.00; % Diámetro de la sección circular D (m)

C = 15; % Cobertura del túnel C (m)

q0 = 0.0; % Sobrecarga (kPa) a nivel del terreno

% Acuífero

zNAF = 0.0; % Profundidad del nivel de agua (m), medido desde terreno (<0 si lámina

de agua supera nivel del terreno)


H1 = 10.0; % Espesor (m) acuífero 1

H2 = 18.0; % Espesor (m) acuífero 2

H = [H1 H2]; %

% Acuitardo

d2 = 2.0; % Espesor (m) acuitardo suprayacente al túnel

%kv_at = 2e-10; % Conductividad hidráulica vertical (m/seg) del acuitardo

%c_ = d2/kv_at; %

c_ = 10e+9; % Resistencia hidráulica (seg) acuitardo suprayacente al túnel

% Suspensión Slurry/Foam


tauF = 5; % Medida de viscosidad (Pa) del slurry (suspensión bentonítica/espuma)

aF = 180; % Tiempo (seg) para alcanzar la mitad de infiltración máxima (Ensayo

infiltración en columna)

alphaF = 2.5; % Factor de forma (adim.) ensayo infiltración slurry/foam en columna de

suelo (rln: tamaño grano y radio efectivo canal flujo)

% Variables operativas TBM

pfTBM = 20; % Máxima presurización (bares) de la TBM, según catálogo

tF = 10; % Tiempo (seg) de infiltración (calculado a partir tr)

tr = fzero(@(tr)tF - (tr/log(1 + tr/aF)) + aF,1);


%fr = 3; % Frecuencia (rpm) de la rueda de corte de la TBM

%tr = 1/fr*60; % Tiempo (seg) para una rotación completa de la cabeza TBM

%tF = tr/log(1 + tr/aF) - aF;

% Suelo en el frente

gammas = 20; % Peso unitario saturado (kN/m^3)

gammam = 17; % Peso unitario húmedo (kN/m^3)

gammad = 12; % Peso unitario seco (kN/m^3)

c = 00; % Intercepto de cohesión (kPa)

%su_sv = 0.22; % Resistencia al corte no drenada como fn. esfzo. vertical



d10 = 100; % Diámetro (micras) característico d10 efectivo del suelo

kv = 10e-4; % Coeficiente de conductividad hidráulica (m/seg) vertical

kh = kv; % Coeficiente de conductividad hidráulica (m/seg) hztal.




frente

xc = 0; zc = 0;



d10 = d10/(1e6); % (micras) a (m)

tauF = tauF/1000; % (Pa) a (kPa)

pfTBM = pfTBM*100; % (Bar) a (kPa)


switch true

case zNAF <= 0


p0TBM = (h0 - D)*gammaF; % Presurización (kPa) mínima de la TBM

if pfTBM <= p0TBM

error('El equipo a usar debe tener mayor capacidad de presurización (bares)')

end




h0 = 0; % Sin nivel piezométrico de agua en el terreno

p0TBM = 0; % Presurización (kPa) mínima de la TBM



otherwise




end


(Asumido flujo hztal.)




circular, debe ser número par, dado el plano de simetría a lo largo del eje x


dv = v(end)/(nv);

% Parámetro w (ángulo de rotación del sólido alrededor de y, 0 <= w <= pi/2 - phi)



w = linspace(phi,pi/2,mw + 1);

% Casquetes finales embebidos en el filter-cake (costra de perforación)

% Penetración aprox. (m) del lodo/foam en la contrabóveda del túnel

etzb = (tF/(aF + tF)*d10/(alphaF*tauF))*(gammap*C + gammaF*D);

if (pi/2 - phi)/mw > atan(etzb(end)/D)

% Ángulo en el plano xz del casquete dentro del filter-cake (costra)

wfc = pi/2 - atan(etzb(end)/D)*(4:-1:1);

% Incluir ángulo del filter-cake (costra) en la discretización de w

ifcb = find(w < min(wfc),1,'Last'); ifca = find(w > max(wfc),1,'First');

w = [w(1:ifcb) wfc w(ifca:end)]; mw = length(w) - 1;

end


% 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi

x = zeros(mw + 1,nv + 1); y = x; z = x;

% Geometría Sólido de Falla

for i=1:mw + 1

for j=1:nv + 1


x(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*sin((pi/2 - w(i)));

y(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*sin(v(j));

z(i,j) = D/2*exp(-(pi/2 - w(i))*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*cos((pi/2 - w(i)));

end

end


% Semi-ancho de relajación silo efecto arco

a3D = D/2*(exp((phi - pi/2)*tan(phi))*cos(phi))/(3*(1 + cos(phi)) - sqrt((3 + cos(phi))*

(1 + 3*cos(phi))));

% Área del silo

A = pi/4*D^2*exp(-2*(pi/2 - phi)*tan(phi))*cos(phi);



% Incluir efecto arco en el silo

sigma_va = (a3D*gammap)/(Kk*tan(phi))*(1 - exp(-Kk*tan(phi)*C/a3D)) + q0*exp(-Kk*tan

(phi)*C/a3D) + (gammaw*iav*(C - zNAF));

% Sin incluir el efecto arco en el silo

%sigma_va = gammap*C;


If = (D^2)/((D + C)^2); % Coef. disipación 2:1 sobrecarga


sigma_va = gammaw*(-zNAF) + gammas*(C) + (gammaw*iav)*(C - zNAF) + q0*If;

end








% para 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi



% para phi <= w <= pi/2 y 0 <= v <= 2*pi




% Coef. de esfuerzo normal en la falla Kfn, semi-ancho relajación silo ae

Kfn = dS; ae = dS; Su = dS;

for i=1:mw


for j=1:nv

xe(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*sin

((pi/2 - (w(i)) - dw/2));

ye(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*sin(v(j) + dv/2);

ze(i,j) = D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*cos

((pi/2 - (w(i)) - dw/2));

dS(i,j) = (D/2*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi)))^2*(cos(v(j) + dv/2) + 1)/

(cos(phi))*dw*dv;

nx = -((sin(phi)*cos((pi/2 - (w(i)) - dw/2))) + (cos(phi)*sin((pi/2 - (w(i)) -

dw/2))*cos(v(j) + dv/2)));


nz = -((cos(phi)*cos((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*cos(v(j) + dv/2)) - (sin(phi)*sin

((pi/2 - (w(i)) - dw/2))));

radicando = sqrt((cos(v(j) + dv/2) + 1)*(cos(phi)^2*cos(v(j) + dv/2) - cos(phi)^2

+ 2));

tx = (cos(phi + ((pi/2 - (w(i)) - dw/2)))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/radicando;

ty = -(sin(phi)*sin(v(j) + dv/2))/radicando;


tz = -(sin(phi + ((pi/2 - (w(i)) - dw/2)))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/radicando;





ae(i,j) = D/4*exp(-((pi/2 - (w(i)) - dw/2))*tan(phi));

sz(i,j) = (ae(i,j)*gammap)/(Kfn(i,j)*tan(phi))*(1 - exp(-Kfn(i,j)*tan(phi)*

(ze(i,j))/ae(i,j))) + sigma_va*exp(-Kfn(i,j)*tan(phi)*(ze(i,j))/ae(i,j));





kn = sqrt(nz^2*(1 - nz^2));




else

%su_sv = c/sz(i,j);

Su(i,j) = c;


end


Tn = Su(i,j);

end








end

end


%% CUÑA RÍGIDA DE TRANSICIÓN DE ESFUERZOS

% Si existe cuña de transición de esfuerzos


% El primer casquete es la tajada #2 (la cuña es la #1)

x = [x(1,:);x]; y = [y(1,:);y]; z = [zeros(1,nv + 1);z];

mw = mw + 1;

% Punto de aplicación de fuerzas superficiales en la cuña

xew = D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*cos(phi)*(1 + cos(v(1:end - 1) + dv/2));

yew = D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*sin(v(1:end - 1) + dv/2);

zew = xew/2*tan(phi);


szw = (a3D*gammap)/(Kk*tan(phi))*(1 - exp(-Kk*tan(phi)*(zew)/a3D)) + sigma_va*exp(-

Kk*tan(phi)*(zew)/a3D);

%Diferencial de superficie de los elementos en la cuña

dSw = (D/2*exp((phi - pi/2)*tan(phi))*dv*sqrt(cos(phi)^2*sin(v(1:end-1) + dv/2).^2 +

cos(v(1:end-1) + dv/2).^2)).*(xew*tan(phi));

% Vectores normales y cortantes a la superficie de la cuña

nxw = -(cos(phi)*cos(v(1:end-1) + dv/2))./sqrt(cos(phi)^2*cos(v(1:end-1) + dv/2).^2 +

sin(v(1:end-1) + dv/2).^2);

nyw = -(sin(v(1:end-1) + dv/2))./sqrt(cos(phi)^2*cos(v(1:end-1) + dv/2).^2 + sin(v(1:

end-1) + dv/2).^2);

nzw = zeros(1,length(v) - 1);

tzw = -ones(1,length(v) - 1); txw = nzw; tyw = nzw;

% Esfuerzo normal/cortante plano falla vertical, según Iglesia

Snw = Kk*szw;

%Snw = (Kk*gammas - gammaw)*(C + ze(i,j)) - gammaw*(-zNAF);

Tnw = c + Snw*tan(phi);

Nxw = dSw.*Snw.*nxw;

Nyw = dSw.*Snw.*nyw;

Nzw = dSw.*Snw.*nzw;

Tzw = dSw.*Tnw.*tzw;

Txw = nzw; Tyw = nzw;

% Incluir Fuerzas sobre elementos de superficie de la cuña

xe = [xew;xe]; ye = [yew;ye]; ze = [zew;ze];

Nx = [Nxw;Nx]; Ny = [Nyw;Ny]; Nz = [Nzw;Nz];

Tx = [Txw;Tx]; Ty = [Tyw;Ty]; Tz = [Tzw;Tz];

% Ángulo theta en el plano xz de cada casquete de falla

w = [0, w];



num2str(C) 'm, \phi'' = ' num2str(psi) '°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa)'];

titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = ' num2str(C) 'm (\phi'' = ' num2str(psi)

'°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) ' kN/m^3), K_f =

' num2str(Ky,'%5.2f')];

else





num2str(C) 'm, \phi_{\it u} = ' num2str(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f')

'kPa)'];


titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D) 'm, C = ' num2str(C) 'm (\phi_{\it u} = ' num2str

(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) ' kN/m^3),

K_f = ' num2str(Ky,'%5.2f')];

end

%% CENTROIDE DE CADA CASQUETE DE FALLA (Discretización tetraédrica Volumen)


[Vc, Wc, CVc, vP, xP, yP, zP] = CentroidVol(D,phi,D,g,w,v,'FC');



hold on, grid on, box on, axis equal

% Sólido Espiral Logarítmica + Cuña Rígida Transición Estado Esfuerzos

surf(x,y,z)


normales = quiver3(xe,ye,ze,Nx,Ny,Nz,2,'ShowArrowHead','off','Color',[0 0 1]);


cortantes = quiver3(xe,ye,ze,Tx,Ty,Tz,2,'Color',[1 0 0]);


title(titulo1)

xlabel('x (m)')

ylabel('y (m)')

zlabel('z (m)')



colormap('Summer')

view(3)





RN(:,1) = sum(Nx,2); RT(:,1) = sum(Tx,2);

RN(:,2) = sum(Ny,2); RT(:,2) = sum(Ty,2);

RN(:,3) = sum(Nz,2); RT(:,3) = sum(Tz,2);

% 2. Condiciones de Frontera (Esfuerzo en la primer tajada por sobrecarga)

% Empuje

E0 = Vsilo

% 3. Se calcularán para cada presurización de la TBM las Fuerzas de

% filtración Fi en el centroide de cada poliedro discretizado, según:

if exist('Ui') == 1 % Terreno seco

gammaw = 0;

else % Terreno saturado

if exist('c_') == 1

lambda = sqrt(kh*H(end)*c_); % Longitud de filtración (m) del acuífero semi-

confinado


else

lambda = D*sqrt(C/D); % Longitud de filtración (m) del acuífero

inconfinado

end

end


% Calculo de fuerzas de infiltración TBM despresurizada (no hay flujo h0>0)

[Fia,rFia,Spia] = FilterCakeUFN(D,phi,0,h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,aF,tF,nv,

vP,xP,yP,zP,0);

% Factor Seguridad Mínimo FSmin (Método A): En = 0 (sin presurización TBM)

[FSa, Ena, Ea, Ta] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fia,E0);

% Valor asintótico de presurización y presión de soporte (FS => infinito)

%pb = p0TBM + 1:pfTBM; % Vector que contiene presurización (kPa) de la TBM

pb = 0:pfTBM; % Vector que contiene presurización (kPa) de la TBM

%FSasintota = FSb; % Vector que contiene el FS f(En)

FSasintota = FSa; % Vector que contiene el FS f(En)

for i = 2:length(pb)

if FSasintota(i-1) < 0

break

end

[Fi,rFi,Spi] = FilterCakeUFN(D,phi,pb(i),h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,aF,

tF,nv,vP,xP,yP,zP,0);

[FSi, Eni, Ei, Ti] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fi,E0);

FSasintota(i) = FSi;

Sp(i) = sum(Spi);

end

pbasintota = pb(i-2); % Presurización máxima de la TBM

if FSa < 1

pb1 = find(FSasintota >= 1,1,'First');

else

pb1 = p0TBM + 1;

end

% Calculo de fuerzas de infiltración para presurización mínima de la TBM

[Fib,rFib,Spib] = FilterCakeUFN(D,phi,pb1,h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,aF,tF,

nv,vP,xP,yP,zP,1);

% Empuje Estable En (Método B): Asumido En = 0 para pTBM mínima/FS >= 1

[FSb, Enb, Eb, Tb] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fib,E0);

% Calculo de fuerzas de infiltración para presurización máxima de la TBM

[Fic,rFic,Spic] = FilterCakeUFN(D,phi,pbasintota,h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,

aF,tF,nv,vP,xP,yP,zP,1);

% FS => inf (Método A): Asumido En = 0 para pTBM máxima

[FSc, Enc, Ec, Tc] = AsSolveSemiRig('A',0,mw,w,W,RN,RT,Fic,E0);

% Presión de soporte efectiva (kPa)

spa = sum(Spia)/(pi/4*D^2)

spb = sum(Spib)/(pi/4*D^2)


spc = sum(Spic)/(pi/4*D^2)

% 5. Variación del FS en función presion soporte requerida colapso gravitacional

%sp = [spb Sp(2:end-1)/(pi/4*D^2)];

sp = [spa Sp(2:end-1)/(pi/4*D^2)];

FS = FSasintota(1:end-1);


rot1 = plot(sp*pi/4*D^2,FS,'k','LineWidth',2);

xlabel('Fuerza de soporte efectiva (arrastre) en Filter-Cake (kN)')


ylim([0 max([10 10^ceil(log10(FSb))])])

line((spb*ones(1,2))*pi/4*D^2,[0 max([10 10^ceil(log10(FSb))])],'LineWidth',2,'Color',[0

0 0],'LineStyle','--')

legend(rot1,'Colapso del frente','Location','NorthWest')


figure

% Método A

locA = find(sort([spa spb]) == spa);

ax1 = subplot(1,3,locA,'XDir','Reverse');

hold on, box on

title(['Método A: p_{bF} = ' num2str(0,'%5.0f') ' kPa, FS = ' num2str(FSa,'%5.1f')])



bar(0:mw,round([E0 Ea]),'r','BarWidth',1)

xlim([-0.5 mw+0.5])

% Método B

locB = find(sort([spa spb]) == spb);

ax2 = subplot(1,3,locB,'XDir','Reverse');

hold on, box on

title(['Método B: p_{bF} = ' num2str(pb1,'%5.0f') ' kPa, FS = ' num2str(FSb,'%5.1f') '

(s'' = ' num2str(spb,'%5.1f') ' kPa)'])%, N_{D} = ' num2str(spb/(gammap*D),'%5.2f') ')'])



bar(0:mw,round([E0 Eb]),'b','BarWidth',1)

xlim([-0.5 mw+0.5])

% Asíntota de la presión

ax3 = subplot(1,3,3,'XDir','Reverse');

hold on, box on

title(['Cuando FS \rightarrow \infty: p_{bF} = ' num2str(pbasintota,'%5.0f') ' kPa (s'' =

' num2str(spc,'%5.1f') ' kPa)'])%, N_{D} = ' num2str(spc/(gammap*D),'%5.2f') ')'])



bar(0:mw,round([E0 Ec]),'g','BarWidth',1)

xlim([-0.5 mw+0.5])

linkaxes([ax3,ax2,ax1],'y');




plot(sp,FS,'b','LineWidth',2)



xlim([0 inf]); ylim([0 100^ceil(log10(FSb))])

line(spb*ones(1,2),[0 100^ceil(log10(FSb))],'LineWidth',2,'Color',[0 0 0])


plot(sp/(gammap*D),FS,'r','LineWidth',2)

title(titulo2)

xlabel('Presión de soporte normalizada N_{D}')


xlim([0 inf]); ylim([0 10^ceil(log10(FSb))]);%ylim([0 10*FS0])

line((spb*ones(1,2))/(gammap*D),[0 10^ceil(log10(FSb))],'LineWidth',2,'Color',[0 0 0])

toc

%==========================================================================

4/06/17 04:37 PM C:\Users\ANDRES MELO\D...\FilterCakeUFN.m 1 of 4

function [Fi,rFi,Spi] = FilterCakeUFN(D,phi,pb,h0,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,

aF,tF,nv,vP,xP,yP,zP,FN)

% Filter Cake One Dimensional Flow-Net (FilterCakeUFN.m)

% Calcula fuerzas de infiltración [Fix,Fiy,Fiz] y pto. acción en el suelo

% contenido en el sólido de falla de frente en un túnel excavado mecánica-

% mente con TBM, masa que se ha discretizado previamente en tajadas y ele-

% mentos de volumen. Se asume que las presiones de soporte ejercidas por el

% equipo se trasladan tanto por fuerzas de arrastre (infiltración) como por

% el filter-cake, según propuesta flujo unidireccional Broere & Van Tol (2000).

%

% La TBM obligatoriamente debe trabajar con frente presurizado, bien sea de

% escudo de slurry (SS) o de balance de presión de tierras EPB con espuma,

% esto significa spE >= 0 (presión positiva en la cámara de excavación).

%

% [vP] [xP] [yP] [zP] deben tener el mismo tamaño (mw x ne)

%

% Opcionalmente el programa puede generar esquema red de flujo si FN == 1

% Por: OAMD

% Fecha: 22/05/17

% mw: Número de casquetes en que se ha discretizado el sólido de falla

% t: Ángulo al centro (rad.) de cada casquete de falla en el plano xz

%

% U: Fuerza (vectorial mw x 3) debida a infiltración (kN) por casquete

% E0: Empuje (kPa) en el primer casquete/cuña debida a peso de cobertura

%

% D: Diámetro (m) del frente de excavación

% phi: Ángulo (rad) de fricción del material en el frente

% pb: Presurización aplicada en cámara excavación TBM

% h0: Nivel piezométrico (mca) en el terreno previo excavación

% gammaw: Peso unitario (kN/m^3) del agua a la T° del terreno

% gammaF: Peso unitario (kN/m^3) del fluido en cámara de excavación

% lambda: Longitud filtración (m) que caracteriza acuífero semi-confinado/inconfinado

% d10: Diámetro (m) "efectivo" pasante 10% en peso del suelo en el frente

% alphaF: Factor forma (adim.) ensayo infiltración slurry/foam en columna

% tauF: Medida de viscosidad (kPa) del slurry (suspensión bentonítica/espuma)

% aF: Tiempo (seg) para alcanzar la mitad de infiltración máxima

% tF: Tiempo (seg) transcurrido según avance de la TBM

%

% C: Espesor (m) de la cobertura sobre la clavel del túnel

% vP: Volúmen (m3) elementos de volumen ne en sólido de falla

% xP: Coordenada (m) elementos de volumen ne en dirección avance frente

% yP: Coordenada (m) elementos de volumen ne en dirección perp. eje túnel

% zP: Coordenada (m) elementos de volumen ne medida como prof. a la clave

%

% FN: Binario que indica si se grafica (1) o no se grafica (0) red flujo

% =========================================================================



if isequal(size(vP),size(xP))==0 || isequal(size(vP),size(yP))==0 || isequal(size(vP),

size(zP))==0

error('El tamaño de las matrices [vP], [xP], [yP] [zP] debe coincidir')

end

if FN ~= 0 && FN ~= 1

error('Se debe indicar si se grafica (1) o no (0) la red de flujo')

end

mw = size(vP,1); % Número de tajadas del sólido de falla

%% CÁLCULOS FZAS INFILTRACIÓN FILTER-CAKE

% Componentes de las fuerzas de infiltración

fzP = zeros(size(vP)); fxP = fzP; fyP = fzP; fcP = fzP;

% Punto de aplicación de la resulante fuerzas infiltración por casquete

rFi = zeros(size(vP,1),3);

% Calcular fuerzas de infiltración en c/elemento semi-casquete (y > 0)

for i=1:mw

lgp = find((yP(i,:).^2 + (zP(i,:) - D/2).^2 <= (D/2)^2)==1); % Lattice Grid Points

inside circle (Tunnel Face) R = D/2

%idx = find((yP(i,:).^2 + (zP(i,:) - D/2).^2 <= (D/2)^2)==0); % Index Points

outside circle (Tunnel Face) R = D/2

% Componentes x,y,z del gradiente hidráulico, pesos unitarios y binarfio Filter-Cake

para cada elemento de volumen

[IX,IZ,GIP,IFC] = FCMsfi(pb,xP(i,lgp),zP(i,lgp),gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,

aF,tF);

IY = zeros(size(IX));

% Fuerza de soporte efectiva Filter-Cake

fcP(i,lgp) = IFC.*GIP.*IX.*vP(i,lgp);

% Fuerzas de infiltración para cada elemento de volumen

fxP(i,lgp) = GIP.*IX.*vP(i,lgp);

fyP(i,lgp) = GIP.*IY.*vP(i,lgp);

fzP(i,lgp) = GIP.*IZ.*vP(i,lgp);

% Hallar punto de aplicación de resultante fuerzas infiltración

rFi(i,1) = sum(xP(i,lgp).*fxP(i,lgp))/sum(fxP(i,lgp));

rFi(i,3) = sum(zP(i,lgp).*fzP(i,lgp))/sum(fzP(i,lgp));

end

% Fuerzas de infiltración por casquete (integrar alrededor semi-eje x)

Fi(:,1) = 2*sum(fxP,2); % Componente x (kN)

Fi(:,2) = sum(fyP,2) - sum(fyP,2); % Componente y (kN)

Fi(:,3) = 2*sum(fzP,2); % Componente z (kN)

Spi(:,1) = 2*sum(fcP,2); % Integral fuerza soporte efectiva fc


if FN == 1

%% RED DE FLUJO

spE = sum(Spi)/(pi/4*D^2); % Presión de soporte efectiva (kPa)

% 1. Generación de la rejilla de flujo unidimensional plano xz (y = 0)

lu = nv/4; % Número de canales de flujo xi_i en el semidomino del

frente de excavación

dxi = D/(2*lu); % Incremento (m) en los canales de flujo

xi = ceil(D*exp((pi/2)*tan(phi)));% Dominio de interés (m) del canal de flujo en la

red (Umbral falla por blow-out)

xq = 0:dxi:xi; % Vector x de puntos intersección rejilla circular para

hallar cabeza h

zq = (0:dxi:D)'; % Vector z de puntos intersección rejilla circular para

hallar cabeza h

% 2. Cálculo de la profundidad de infiltración actual y máxima del filter-cake

(costra del lodo/foam de perforación)

p0 = gammaw*(h0 - D + zq); % Presión hidrostática (kPa) en el terreno previo

excavación

Dps = pb + gammaF*zq - p0; % Caída de presión (kPa) total a lo largo del filter

cake

emax = (Dps*d10)/(alphaF*tauF); % Infiltración máxima (m) del slurry f(z)

e_t = tF/(aF + tF)*emax; % Infiltración parcial (m) del slurry f(z,tF)

% 3. Calcular fuerzas de infiltración y ancho de superficie de falla

FX = zeros(length(zq),length(xq)); FZ = FX;

w_x = zeros(size(zq)); y_x = 0;

for i=1:length(zq)

[IX,IZ] = FCMsfi(pb,xq,zq(i)*ones(size(xq)),gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,

aF,tF);

FX(i,:) = IX; FZ(i,:) = IZ;

w_x(i) = fswx(D,phi,y_x,zq(i),'FC'); % Ancho (m) superficie de falla (x,z)

end

% 4. Gráficos

% PRESIONES DE POROS EN EXCESO

% Cálculo de presiones de poros en exceso en el eje túnel (z = D/2);

zet = D/2; % Profundidad z (m) del eje del túnel

iet = find(zq == zet); % índice punto del eje del túnel

xet = 0:e_t(iet):xi; % Coordenadas x (m) en el frente de excavación

Dpp = BroereVanTol(Dps(iet),e_t(iet),xet,zet,lambda,d10,alphaF,tauF,aF/(aF + tF));

figure;

% Superficie de falla y presiones de poros

[hAx,hLine1,hLine2] = plotyy(w_x,zq,xet,Dpp);

hold on

% Filter Cake e(z,t)

fill([-D/8 0 0 -D/8],[0 0 D D],[0 1 0])

text(-D/16,D/2,'Escudo TBM','HorizontalAlignment','center','Rotation',


90,'BackgroundColor',[1 1 1])

hfc = fill([0 e_t(1) e_t(end) 0],[0 0 D D],[1 0.69 0.39],'LineStyle','none');

% Máxima infiltración del Filter Cake

hefc = line([emax(1) emax(end)],[0 D],'Color',[1 0 0],'LineWidth',2);

% Vectores de flujo

harrow = quiver(xq,zq,FX,FZ,1,'Color',[0 0.75 0.75]);

% Anotaciones

title({'MODELO DE INFILTRACIÓN FILTER CAKE (Broere & Van Tol, 2001)';...

['Nivel piezométrico en el terreno h_{0} = ' num2str(h0,'%5.2f') ' mca (p_{0} = '

int2str(p0(iet)) ' kPa)'];...

['Presurización slurry cámara excavación p_{TBM} = ' int2str(pb + gammaF*D/2) '

kPa (s''_{} = ' num2str(spE,'%5.1f') ' kPa)']})

set(gca,'YDir','Reverse')

set(hLine1,'Color',[0 0 0],'LineWidth',2)

ax(1).YColor = 'k'; set(gca,ax)

set(hLine2,'Color',[0 0 1],'LineWidth',2)

set(hAx(2),'YColor','b');set(get(hAx(2),'Ylabel'),'Color','b')

ylabel(hAx(1),'Profundidad medida desde la clave del túnel z (m)') % left y-axis

ylabel(hAx(2),'Exceso de presión de poros \Delta{\it p_{s}} (kPa)') % right y-axis

xlabel(hAx(1),'\rightarrow Dirección de avance de la excavación / Eje x (m)')

set(hAx,'xlim',[-D/8 max(emax(end),D)+D/8]);

legend([hfc;hefc;hLine1;hLine2;harrow],{'Costra de lodo{\it Filter-

Cake}','Penetración max. slurry/foam','Superficie de falla en y = 0','Presión poros

{\itu}_{w} (en z = D/2)','Gradiente hidráulico'},'Location','SouthEast')

end

end

4/06/17 04:38 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\FCMsfi.m 1 of 2

function [ix,iz,gip,ifc] = FCMsfi(sp0,x,z,gammaw,gammaF,lambda,d10,alphaF,tauF,aF,tF)

% Infiltration Filter Cake Moldel sub-surface flow gradient (IFCsfi.m)

% Calcula gradiente y fzas. infiltración en el punto (x,y,z) del suelo


% mente con TBM, asumiendo que las presiones de soporte ejercidas por el



%

% [x] y [z] es el par de coordenadas de los n puntos a evaluar.


% escudo de slurry (SS) o de balance de presión de tierras EPB con espuma.

% Por: OAMD

% Fecha: 19/12/16

% ix: Componente x del gradiente hidráulico en el punto (x,z)

% iz: Componente z del gradiente hidráulico en el punto (x,z)

% ifc: Indicador binario si punto está dentro(inside) filter cake o no (1/0)

% gip: Peso Unitario en poros intersticiales evaluado (gammaF/gammaw)

% sp0: Presión de soporte (kPa) efectiva aplicada en la cámara de la TBM

% x: Coordenada (m) en el eje del túnel para flujo unidireccional


% gammaw: Peso unitario (kN/m^3) del agua a la T° del terreno

% gammaF: Peso unitario (kN/m^3) del fluido en cámara de excavación





% aF: Tiempo (seg) para alcanzar la mitad de infiltración máxima

% tF: Tiempo (seg) transcurrido según avance de la TBM

% =========================================================================



error('Los puntos están dados para coordenadas (x,z), de igual tamaño')

end

if sp0 < 0

error('Debe estar presurizado el frente de la TBM para que halla flujo')

end

%% Cálculo de cabeza total h(x,z,t) y componentes gradiente hidráulico

n = length(x); % Número n de puntos a evaluar

et = zeros(1,n); % Penetración del slurry (m) f(z,t)

%hp = et; ht = et; % Cabeza de presión hp e hidráulica total ht (mca)

ix = et; iz = et; % Componentes gradiente hidráulico

ifc = et; gip = et;

for i=1:n

4/06/17 04:38 PM C:\Users\ANDRES MELO\Document...\FCMsfi.m 2 of 2

et(i) = (d10*tF*(sp0 + gammaF*z(i)))/(alphaF*tauF*(aF + tF));

if x(i) < et(i) % Condición dentro del filter-cake (costra lodo)

ix(i) = (alphaF*tauF)/(d10*gammaF);

iz(i) = -gammaw/gammaF;

ifc(i) = 1; gip(i) = gammaF;

elseif x(i) >= et(i) % Condición más allá del frente de filtración

if gammaw > 0

ix(i) = ((sp0 + gammaF*z(i))/(gammaw*lambda)*aF/(aF + tF)*exp(1/lambda*((sp0 +

gammaF*z(i))/(alphaF*tauF)*tF/(aF + tF)*d10 - x(i))));

iz(i) = (-gammaF/gammaw*(aF/(aF + tF))*exp(1/lambda*((sp0 + gammaF*z(i))/

(alphaF*tauF)*tF/(aF + tF)*d10 - x(i)))*((1/lambda*((sp0 + gammaF*z(i))/(alphaF*tauF)*tF/

(aF + tF)*d10 + lambda))));

else

ix(i) = 0;

iz(i) = 0;

end

ifc(i) = 0; gip(i) = gammaw;

else

error('El punto analizado debe estar en dentro del terreno x > 0')

end

end

end

4/06/17 04:38 PM C:\Users\ANDRES MELO\Do...\BroereVanTol.m 1 of 2

function Dpp = BroereVanTol(Dps,et,x,z,lambda,d10,alphaF,tauF,atF)

% Infiltration Filter Cake excess pore pressure by Broere & Van Tol (BroereVanTol.m)

% Calcula el exceso de presión de poros en el punto (x,y,z) del suelo


% mente con TBM, asumiendo que las presiones de soporte ejercidas por el



%

% [Dps], [et] y [z] teniendo el mismo tamaño, pueden ser escalar/vector.

% [Dpp] será de igual tamaño (n x m) a los vectores [z]n x [x]m


% escudo de slurry (SS) o de balance de presión de tierras EPB con espuma.

% Por: OAMD

% Fecha: 03/01/17

% s: Presión total (kPa) aplicada al frente f(z) = p0 + Dps

% p0: Presión hidrostática (kPa) en el terreno previo excavación

% Dps: Diferencia/Caída de presión (kPa) a lo largo del filter-cake

% Dpp: Exceso de pp (kPa) en el frente de excavación en el punto (x,y,z)

% x: Coordenada (m) en el eje del túnel para flujo unidireccional






% atF: Relación adimensional de tiempo máximo infiltración y tiempo

% transcurrido según avance de la TBM = a/(a + t)

% =========================================================================


if length(Dps) ~= length(z) || length(et) ~= length(z)

error('El tamaño de z debe ser igual al tamaño tanto de Dps como de et')

end

if Dps < 0

error ('Debe estar presurizado el frente de la TBM para que halla flujo')

end

%% Cálculo del exceso de presión de poros Dpp(x,z,t)

Dpp = zeros(length(x),length(z));

for i=1:length(x)

for j=1:length(z)

if x(i) < et(j) % Condición dentro del filter-cake

Dpp(i,j) = Dps(j) - (alphaF*tauF/d10)*x(i);

elseif x(i) >= et(j) % Condición más allá del frente de filtración

Dpp(i,j) = Dps(j)*atF*exp((et(j) - x(i))/lambda);

else

4/06/17 04:38 PM C:\Users\ANDRES MELO\Do...\BroereVanTol.m 2 of 2

error('El punto analizado debe estar en el medio x > 0')

end

end

end

% Cambio filas por coherencia perfil longitudinal z-x

Dpp = Dpp';

end

4/06/17 04:46 PM C:\Use...\PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m 1 of 9

%Programa: PassiveFailure_FS_SemiRig_TFN.m


%Descripción: Este programa obtiene la fuerza de empuje que se debe de

% ejercer en el frente como función del Factor Seguridad si

% se excava un túnel poco profundo en material que sigue el





% La falla analizada es la del colapso pasivo del suelo en el









%

%Fecha: 22/05/17 ~

%




% como las propiedades relevantes (d, c, phi, k, etc.)




% - CentroidVol.m

% - FreeFaceTFN.m

% - TFNthh.m

%











% Kyoto, Japan.






% M.Sc. Thesis, MIT, 1996, pp. 55-56.









% 1178-1190, 1966.






% 1943, pp. 108-111.

%

%==========================================================================


tic



D = 4.46; % Diámetro de la sección circular D (m) (Clays)

C = 4.2*D; % Cobertura del túnel C (m)

%q0 = 0.0; % Sobrecarga (kPa) a nivel del terreno: NO SE CONSIDERA POR CONTRIBUIR A

LA ESTABILIDAD!!!

zNAF = -1.5; % Profundidad del nivel de agua (m), medido desde terreno (<0 si lámina

de agua supera nivel del terreno)


pF = 0; % Presión del slurry en la cámara de excavación (kPa)


gammas = 16; % Peso unitario saturado (kN/m^3)

gammam = 16; % Peso unitario húmedo (kN/m^3)

gammad = 10; % Peso unitario seco (kN/m^3)

c = 36; % Intercepto de cohesión (kPa)



%su_sv = (0.18 + 0.29)/2; % Resistencia al corte no drenada como fn. esfzo. vertical




frente

xc = 0; zc = 0;







circular


dv = v(end)/(nv);

% Parámetro w (ángulo de rotación del sólido alrededor de y, 0 <= w <= pi/2)



w = linspace(0,pi/2,mw + 1);


% 0 <= w <= pi/2 y 0 <= v <= 2*pi

x = zeros(mw + 1,nv + 1); y = x; z = x;

% Geometría Sólido de Falla por expulsión (Blow Out)

for i=1:mw + 1

for j=1:nv + 1


x(i,j) = D/2*exp(w(i)*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*sin(w(i));

y(i,j) = D/2*exp(w(i)*tan(phi))*sin(v(j));

z(i,j) = D/2*exp(w(i)*tan(phi))*(1 + cos(v(j)))*cos(w(i));

end

end


switch true

case zNAF <= 2

zF = D/2; % Prof. (m) a evaluar nivel piezométrico presión

frente

hF = pF/gammaF + (D - zF); % Nivel piezométrico (m) en cámara de trabajo (D/2 p.

a.)




% Factores de ajuste modelo de flujo tridimensional hacia

% túnel según Perazzelli et al. (2014)

[aa,bb] = PerazzelliEtAl(C,D);

% Gradiente de flujo vertical en el silo

iav = (h0 - hF)/D*aa*(1 - exp(-bb*exp(pi/2*tan(phi))))/(bb*exp(pi/2*tan(phi)));


hF = 0; h0 = 0; % Sin nivel piezométrico de agua




otherwise




end


% Área del silo

A = pi/4*D^2*exp(2*(pi/2)*tan(phi));


sigma_va = gammaw*(-zNAF) + gammap*(C) + (gammaw*iav)*C;



sigma_va = gammaw*(-zNAF) + gammas*(C) + (gammaw*iav)*(C - zNAF);

end








% para 0 <= w <= pi/2 - phi y 0 <= v <= 2*pi



% para phi <= w <= pi/2 y 0 <= v <= 2*pi




% Coef. de esfuerzo normal en la falla Kfn, y resistencia corte no drenado

Kfn = dS; Su = dS;

for i=1:mw


for j=1:nv

xe(i,j) = D/2*exp((w(i) + dw/2)*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*sin((w(i) +

dw/2));

ye(i,j) = D/2*exp((w(i) + dw/2)*tan(phi))*sin(v(j) + dv/2);

ze(i,j) = D/2*exp((w(i) + dw/2)*tan(phi))*(1 + cos(v(j) + dv/2))*cos((w(i) +

dw/2));

dS(i,j) = (D/2*exp((w(i) + dw/2)*tan(phi)))^2*(cos(v(j) + dv/2) + 1)/(cos(phi))

*dw*dv;

nx = -(cos(phi)*cos(v(j) + dv/2)*sin(w(i) + dw/2) - cos(w(i) + dw/2)*sin(phi));


nz = -((cos(phi)*cos((w(i) + dw/2))*cos(v(j) + dv/2)) + (sin(phi)*sin((w(i) +

dw/2))));

radicando = sqrt((2*cos(v(j) + dv/2) + 2)/cos(phi)^2 + (cos(v(j) + dv/2) - 1)*

(cos(v(j) + dv/2) + 1));


tx = -((cos(phi - (w(i) + dw/2))*(cos(v(j) + dv/2) + 1))/cos(phi))/radicando;

ty = -tan(phi)*sin(v(j) + dv/2)/radicando;

tz = (cos(v(j) + dv/2) + 1)*(sin(w(i) + dw/2) - cos(w(i) + dw/2)*tan(phi))

/radicando;





sz(i,j) = sigma_va + gammap*(ze(i,j));





kn = sqrt(nz^2*(1 - nz^2));




else

Su(i,j) = c;


end


Tn = Su(i,j);

end








end

end


% Solo Rotulos: No existe cuña de transición de esfuerzos



titulo1 = ['Sólido falla expulsión (falla pasiva, Túnel D = ' num2str(D,'%5.2f') 'm,

C = ' num2str(C,'%5.2f') 'm, \phi'' = ' num2str(psi) '°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f')

'kPa)'];

titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D,'%5.2f') 'm, C = ' num2str(C,'%5.2f') 'm (\phi'' =

' num2str(psi) '°, {\it c''} = ' num2str(c,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str(gammap) '

kN/m^3), K_f = ' num2str(Ky,'%5.2f')];

else





titulo1 = ['Sólido falla expulsión (falla pasiva, Túnel D = ' num2str(D,'%5.2f') 'm,

C = ' num2str(C,'%5.2f') 'm, \phi_{\it u} = ' num2str(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str

(SU,'%5.0f') 'kPa)'];

titulo2 = ['Túnel D = ' num2str(D,'%5.2f') 'm, C = ' num2str(C,'%5.2f') 'm (\phi_{\it

u} = ' num2str(psi) '°, {\it c_u} = ' num2str(SU,'%5.0f') 'kPa, \gamma'' = ' num2str

(gammap) ' kN/m^3), K_f = ' num2str(Ky,'%5.2f')];

end

%% CENTROIDE DE CADA CASQUETE DE FALLA (Discretización poliédrica Volumen)


[Vc, Wc, CVc, vP, xP, yP, zP] = CentroidVol(D,phi,D,g,w,v,'BO');



figure, hold on, grid on, box on, axis equal

% Sólido Espiral Logarítmica

surf(x,y,z)


normales = quiver3(xe,ye,ze,Nx,Ny,Nz,1.5,'ShowArrowHead','off','Color',[0 0 1]);


cortantes = quiver3(xe,ye,ze,Tx,Ty,Tz,1.5,'Color',[1 0 0]);


title(titulo1)

xlabel('x (m)')

ylabel('y (m)')

zlabel('z (m)')



colormap('Summer')

view(3);%view([0 0]);%view(2);





RN(:,1) = sum(Nx,2); RT(:,1) = sum(Tx,2);

RN(:,2) = sum(Ny,2); RT(:,2) = sum(Ty,2);

RN(:,3) = sum(Nz,2); RT(:,3) = sum(Tz,2);

% 2. Condiciones de Frontera (Esfuerzo en la última tajada por peso suelo)

% Empuje por sobrecarga (geostática)

Pf = Vsilo

% 3. Fuerzas de filtración Ui en el centroide de cada poliedro discretizado

if exist('Ui') == 1

Fi = zeros(mw,3); % En seco: Fuerzas Filtración

else

lu = nv/4; % Número de canales de flujo xi_i en el semidomino del frente

de excavación


[Fi rFi] = FreeFaceTFN(D,phi,gammaw,hF,h0,C,vP,xP,yP,zP,lu,1); % Perazzelli et Al.

(2014)

end


% Presión Estable P0 (Método B): Asumido FS = 1

[FSb, Pnb, Pb, Tb] = AsSolveSemiRig('B',1,mw,flip(pi/2 - w),flip(W),flip(RN),flip(RT),

flip(Fi),Pf);

% Empuje Mínimo (Método A): Cuando FS => infinito

% Se realiza proceso iterativo FS hasta llegar al valor asintótico de P

VarPn = [realmax Pnb]; % Variable que guardará empujes en el frente

n = 1; % Contador para aumentar exponencialmente FS

FS0 = max(10^ceil(log10(FSb)),10); % Base para escala del Factor de Seguridad FS

while round(diff(VarPn(end-1:end))*10)/10 ~= 0

FSasintota(n) = FS0^n;

[FSc, Pnc, Pc, Tc] = AsSolveSemiRig('B',FSasintota(n),mw,flip(pi/2 - w),flip(W),flip

(RN),flip(RT),flip(Fi),Pf);

VarPn(end + 1) = Pnc;

n = n + 1;

end

%VarPn(1) = 0;

%FSasintota = [FSc FSb FSasintota];

% Empuje Máximo (Método A): Cuando FS => 0 (valor límite)

% Se realiza proceso iterativo Pn hasta llegar al valor asintótico de FS=0

FSmin = FSb; % Variable que guardará Factor de Seguridad

VarP0 = Pnb; % Variable que guardará Empujes en el frente

n = 2; % Contador para aumentar exponencialmente Empuje

while FSmin(n - 1) >= 0.1

FSmin(n) = 10^(1 - n);

[FSa, Pna, Pa, Ta] = AsSolveSemiRig('B',FSmin(n),mw,flip(pi/2 - w),flip(W),flip(RN),

flip(RT),flip(Fi),Pf);

VarP0(end + 1) = Pna;

n = n + 1;

end

% 5. Variación del FS en función de la presión requerida expulsión Blow-Out

Pn = linspace(Pnc,ceil(Pnb/100)*100,100); % Vector que contiene presiones asumidas Pn

FSP = zeros(1,100); % Vector que contiene el FS f(Pn)

for i = 1:100

[FSi, Pni, Pi, Ti] = AsSolveSemiRig('A',Pn(i),mw,flip(pi/2 - w),flip(W),flip(RN),flip

(RT),flip(Fi),Pf);

FSP(i) = FSi;

end


rot1 = plot(Pn,FSP,'r','LineWidth',2);

xlabel('Empuje en el frente (kN)')



legend(rot1,'Expulsión (Falla pasiva)','Location','NorthEast')

ylim([0 FS0])

% Presión efeciva (kPa) aplicada en el frente s'

sp = Pn/(pi/4*D^2); spb = Pnb/(pi/4*D^2); spc = Pnc/(pi/4*D^2);

support_pressure = [sp(1) sp(end)]


figure

% Método A

locA = find(sort([Pnb Pnc]) == Pnc);

ax1 = subplot(1,2,locA);

hold on, box on

title(['Cuando FS \rightarrow \infty, P_0 = ' num2str(Pnc,'%5.0f') ' kN (N_{\gamma} = '

num2str(spc/(gammap*D),'%5.2f') ')'])



bar(0:mw,[flip(Pc) Pf],'c','BarWidth',1)

xlim([-0.5 mw+0.5])

% Método B

locB = find(sort([Pnb Pnc]) == Pnb);

ax2 = subplot(1,2,locB);

hold on, box on

title(['Método B: Dado FS = ' num2str(FSb,'%5.1f') ', P_0 = ' num2str(Pnb,'%5.0f') ' kN

(N_{\gamma} = ' num2str(spb/(gammap*D),'%5.2f') ')'])



bar(0:mw,[flip(Pb) Pf],'m','BarWidth',1)

xlim([-0.5 mw+0.5])

% Nota:

% La razón de graficar los empujes entre tajadas en orden ascendente es que

% para el algoritmo AsSolveSemiRig estas se numeran en orden descendente,

% motivo por el cual cuando se incluye el ángulo w se introduce su

% complemento (pi/2 - w) y se alterna su numeración (flip).

linkaxes([ax2,ax1],'y');



plot(Pn./(pi/4*D^2),FSP,'r','LineWidth',2)



title(titulo2)

xlim([-inf inf]); ylim([0 10*FS0])

Ngm = [Pnc Pnb]/(pi/4*D^2)/(gammap*D)


plot(sp/(gammap*D),FSP,'Color',[0.6 0.2 0],'LineWidth',2)


title(titulo2)

xlabel('Presión de soporte normalizada N_{\gamma}')


ylim([0 FS0])%xlim([0 inf]); ylim([0 FS0]);%ylim([0 10*FS0])

toc

%==========================================================================

estudio teórico del mecanismo tridimensional de falla … · figura 1-19: esquema del método de...

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