cuña de precion

7/17/2019 Cuña de Precion

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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA

EMPUJE HIDROSTÁTICO

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO (E) SOBREUNA PARED VERTICAL Y FORMA RECTANGULAR, CONSIDERANDO LA EXISTENCIA DEAGUA DE UN SOLO LADO DE LA PARED.

Pri!r !"#$%&!'

Empuje hidrostático = Volumen de la cuña de presiones (Figura 1).

E = Vcp (1)

E = empuje hidrostático en N, Kg, ton, liras, etc.Vcp = Volumen de la cuña de presiones

El !olumen de la cuña de presiones representa la integral o sumatoria de las "uer#as $ue act%ansore el &rea de una pared $ue retiene un l'$uido.

Vcp = (*)

= &rea del triángulo $ue representa la distriuci+n de presiones hidrostáticas dentro de un l'$uidoretenido por una pared.

= ncho de la pared

ustitu-endo la ecuaci+n (*) en (1)

b A E *= ()

El área de un triángulo se calcula con/

2

* alturabase A = (0)

i ase = e h - altura = h, entonces/

22

* 2

h P

hh P A e

e == (2)

ustitu-endo la ecuaci+n (2) en la ecuaci+n () $ueda/

2

2

hb P E e= (3)

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 1 DE 13




S!&"$ !"#$%&!'

4onsiderando al empuje hidrostático como el 5*!+$r r!-&/"!0 $ue integra la suma !ectorial detodo el per"il de distriuciones de presi+n, aplicada sore un punto de aplicaci+n conocido como

1+!"r$ ! 2r!-i$"!-0, para ello es necesario considerar el 1+!"r$ ! r/*!/0 de la paredsore la cual act%a el empuje - el área de la misma pared.

6ecordando la de"inici+n de presi+n7 la presi+n es la "uer#a $ue se aplica por unidad de área, de

ah' $ue la ecuaci+n para presi+n es/

A

F P = (8)


E

9na "orma de considerar el empuje hidrostáticoes como el !olumen de la cuña de presiones.:onde es el área del triángulo - es el anchode la cuña.

eh

:istriuci+n de presiones hidrostáticas dentrode un l'$uido retenido por una pared, en lasuper"icie del l'$uido la presi+n !ale ; por$uese toma ese punto como !alor de re"erenciapara medir la pro"undidad (h). El !alor de lapresi+n hidrostática aumenta con"ormeaumenta la pro"undidad del l'$uido.

hh

eh

Figura 1.< 6epresentaci+n grá"ica del empuje hidrostático sore unapared !ertical de "orma rectangular.

h -h

hg -

g

θ

Figura *.< rá"ica para representar la relaci+n e>istenteentre h - el centro de gra!edad de la pared o placa (-

g).




por lo tanto despejando F $ueda $ue

∫ = dA P F . d es el camio o di"erencial de &rea (?)

i el empuje hidrostático es una "uer#a entonces

E = F7 (@)

i la presi+n hidrostática es

= eh (1;)

ustitu-endo las ecuaciones (@) - (1;) en la ecuaci+n (?)

∫ = dAh P E e .. (11)

:e acuerdo con la Figura *7

h y

h sen =θ 7 despejando h

h y senh .θ = (1*)

ustitu-endo la ecuaci+n (1*) en la ecuaci+n (11)

∫ = dA y sen P E he ... θ

(1)

considerando el peso espec'"ico del agua - el seno del ángulo como constantes, se sacan de la

integral, $uedando como sigue/

∫ = dA y sen P E he .. θ

(10)

ara otener el empuje del l'$uido sore la placa o pared inclinada de la Figura *, se considera elmomento estático de la placa o pared con respecto a la super"icie lire del l'$uido, e>presada entArminos de la pro"undidad del centro de gra!edad - el área de la pared o placa. Entonces elmomento estático de la placa o pared respecto a la super"icie lire del l'$uido es/

dA ydA y g h .. =∫ (12)

ustitu-endo la ecuaci+n (12) en la ecuaci+n (10) $ueda/

dA y sen P E g e ∫ = θ . una !e# reali#ada la integral, la ecuaci+n $ueda "inalmente se otiene7





L/ !+&/+i3" !"!r/ 2/r/ +/+&/r ! !2&4! 5ir$-6i+$ -$7r! &"/-&2!r#i+i! 2/"/ ! i"+i"// +&8$ 6"&$ ! i"+i"/+i3" +$" r!-2!+$ / /-&2!r#i+i! i7r! ! /&/ !- (Fi&r/ 9 8 Fi&r/ :).

A y sen P E g e

... θ = (13)

L/ !+&/+i3" !"!r/ 2/r/ +/+&/r ! !2&4! 5ir$-6i+$ -$7r! &"/-&2!r#i+i! 2/"/ 8 *!ri+/ (Fi&r/ ; 8 Fi&r/ <).

i la pared es !ertical "ormando un ángulo de @;B respecto a la super"icie lire del agua, elsen θ = sen @;B = 1, por lo tanto la ecuaci+n general $ueda7

A y P E g e ..= (18)

i el área () de un rectángulo es

= ase > altura (1?)i la ase es igual al ancho de la pared () - la altura es h, entonces7

= h (1@)

4ada "igura geomAtrica tiene su centro de gra!edad de"inido1, para el caso del rectángulo el centrode gra!edad es igual a/

2

h y

g = (*;)

ustitu-endo las ecuaciones (1@) - (*;) en la ecuaci+n (18) $ueda $ue/

22

2hb P bh

h P E ee == (*1)

L/ !+&/+i3" (9=) !- i&/ / / !+&/+i3" (>)

1 Cidráulica eneral7 otelo &!ila7 página 27 Dala para determinar centros de gra!edad - radio de giro de di!ersas "igurasgeomAtricas.





DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL Y DEFORMA RECTANGULAR.

a "+rmula general para calcular el centro de presiones (-) sore el cual act%a el empujehidrostático es (Figura )/

g

g

xk y

yr y +=

2

(**)

plicando la ecuaci+n (**) para calcular el punto de aplicaci+n o centro de presiones (-) delempuje hidrostático sore una pared rectangular !ertical, la ecuaci+n $ueda como sigue/

El centro de gra!edad se calcula con la ecuaci+n (*;), mientras $ue para el radio de giro se utili#ala siguiente e>presi+n1/

12

2

2 hr x = (*)

ustitu-endo las ecuaciones (*;) - (*) en la ecuaci+n (*1)

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA DE 13

eneralmente el !alor del centro de presiones se locali#a un poco más pro"undo $ue elcentro de gra!edad, como se puede oser!ar en la "+rmula para calcular el centro depresiones (-

).

Figura .< 6epresentaci+n grá"ica del empuje hidrostático sore una pared !ertical de"orma rectangular, considerando al empuje hidrostático como el 5*!+$r r!-&/"!0 $ue integra la suma !ectorial de todo el per"il de distriuciones aplicada sore unpunto de aplicaci+n conocido como 1+!"r$ ! 2r!-i$"!-0, para ello es necesarioconsiderar el 1+!"r$ ! r/*!/0 de la pared sore la cual act%a el empuje - elárea de la misma pared.

h

8

E

eh

h

g y

k y




2

2

12

2

h

h

h

yk

+= :esarrollando la ecuaci+n $ueda como sigue/

=

=

+

=

+=

+=+=

3

2

12

8

12

62

2

1

12

2

2

1

12

2

212

2 2

hhhhh

hh

h

h

h yk

or lo tanto para calcular el centro de presiones del empuje hidrostático sore una paredrectangular !ertical, la ecuaci+n $ueda/

h yk 3

2= (*0)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUA

SOBRE UNA PARED INCLINADA, DE FORMA RECTANGULAR Y CON LUIDO EN AMBOSLADOS DE LA PARED (FIGURA :).

:enominemos triángulo 1 al triángulo de la i#$uierda - triángulo * al triángulo de la derecha.

ara calcular el empuje hidrostático (E) total se procede de la siguiente manera/

e calcula el empuje hidrostático del lado i#$uierdo de la pared (E 1) - posteriormente se calcula elempuje hidrostático del lado derecho de la pared (E *), - el empuje hidrostático total (E) se calculacomo la di"erencia entre E1 - E*.

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA ! DE 13

C

Peh2

Peh1

BA

θ

h1

h2

θ

h1 h

A B

C

Figura 0.< 6epresentaci+n grá"ica del empuje $ue se genera en una compuerta opared inclinada con un ángulo θ respecto a la super"icie lire del agua, - retieneagua en amos lados de la misma.

Driángulo 1

Driángulo *




ara calcular el empuje hidrostático del triángulo 1, se parte de la deducci+n general de la ecuaci+npara el empuje hidrostático representada por la ecuaci+n (13)7

A y sen P E g e ... θ =

e sae $ue el centro de gra!edad (-g) para una super"icie rectangular se calcula con la ecuaci+n

(*;). ara determinar el !alor de h se pro-ecta el triángulo "ormado por G4, - se reali#an lasoperaciones trigonomAtricas necesarias, $uedando como sigue/

hipotenusa

opuestocateto sen

−=θ

cateto opuesto = h1

hipotenusa = h

h

h sen 1=θ :espejando h

θ sen

hh 1= (*2)

4onsiderando el centro de gra!edad de la pared inclinada $ue tiene "orma rectangular, para ello seutili#a la ecuaci+n (*;)7

2

h y

g =

ustitu-endo el !alor de h de la ecuaci+n (*2) en la ecuaci+n para el centro de gra!edad (*;), la

ecuaci+n $ueda como sigue/

θ sen

h y g

2

1= (*3)

ara calcular el área de la pared rectangular se utili#a la e>presi+n (0) - se sustitu-e el !alor de h(ecuaci+n (*2)), $uedando la ecuaci+n como sigue/

θ sen

hbhb A 1** == (*8)

ustitu-endo las ecuaciones (*3) - (*8) en la ecuaci+n (13) $ueda/

=

θ θ θ

sen

h

sen

h senb P E e

11

1

2.. (*?)

Factori#ando la ecuaci+n (*?), "inalmente $ueda como7

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA " DE 13




=

=

θ θ θ θ

sen

hb P

sen

h

sen

h senb P E ee

22..

2

111

1(*@)

Hgualmente se desarrolla la ecuaci+n para calcular E*, $uedando la ecuaci+n siguiente/

=

=

θ θ θ θ

sen

hb P

sen

h

sen

h senb P E ee

22..

2

222

2 (;)

El empuje hidrostático total es entonces7

E = E1 I E*

−

=

θ θ sen

hb P

sen

hb P E ee

22

2

2

2

1 Factori#ando la ecuaci+n $uedar'a7

se otiene el "actor com%n e en el lado derecho de la ecuaci+n, - se saca el m'nimo com%ndenominador $ue en este caso es *senθ, $uedando la ecuaci+n de la siguiente manera/

−=

θ θ sen

h

sen

hb P E e

22

2

2

2

1

−=

θ sen

hhb P E e

2

2

2

2

1 (1)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES INCLINADA, DEFORMA RECTANGULAR Y AGUA EN AMBOS LADOS DE LA PARED.

rimeramente se calcula el empuje hidrostático para E1 en el triángulo 1 de la Figura 0.

artiendo de la ecuaci+n (*0), donde la ecuaci+n representa el centro de presiones sore unapared plana - rectangular7

h yk

3

2=

4onsiderando el !alor de h, representado por la ecuaci+n (*2)7

θ sen

hh 1=

ustitu-endo la ecuaci+n (*2) en la ecuaci+n (*0)

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA # DE 13




θ sen

h yk

1

1

3

2= (*)

ara el triángulo * se calcula como sigue7

:e la Figura 0, se puede deducir la ecuaci+n para el centro de presiones en el triángulo *,

saemos por analog'a con el triángulo 1, $ue - * se uica tamiAn aθ sen

h2

3

2, sin emargo har'a

$ue sumarle la parte de h1 $ue está por encima del ni!el del agua del lado derecho de la pared, -eso representar'a otra inc+gnita $ue resol!er.

hora ien, se conoce el !alor de h1, - a ese !alor se le resta el tercio $ue le hace "alta paracompletar el !alor de h*, por lo tanto la ecuaci+n $uedar'a como sigue/

θ θ sen

hh

sen

hh

yk 3

3

1

21

21

2

−=

−=

()

4onsiderando momentos de las "uer#as respecto del punto G de la Figura *, para ello se multiplicacada uno de los empujes (E) calculados por sus respecti!os puntos de aplicaci+n o centros depresiones (-), con ello se otiene la siguiente ecuaci+n/

2211 k k k y E y E Ey −= (0)

ustitu-endo las ecuaciones (*@(, (;), (*) - () en la ecuaci+n (0), nos $ueda7

−

−

= θ θ θ θ sen

hh

sen

h

b P sen

h

sen

h

b P Ey eek 323

2

2

21

2

21

2

1

(2)

ustitu-endo el !alor de E,

−

−

=

−θ θ θ θ θ sen

hh

sen

hb P

sen

h

sen

hb P y

sen

hhb P eek e

323

2

22

21

2

21

2

1

2

2

2

1

- se puede despejar para posteriormente "actori#ar - "inalmente la ecuaci+n $uedar'a de lasiguiente "orma/

2

2

2

1

3

2

3

11

3

1

hh

hh

sen sen

h yk

−

−

−=

θ θ (3)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA RECTANGULAR Y CON LUIDO EN AMBOSLADOS DE LA PARED (FIGURA <).

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA $ DE 13




En este caso el ángulo de inclinaci+n de la pared respecto al ni!el de la super"icie lire del agua esde @;J, por lo $ue

seno @;J = 17 sustitu-endo este !alor en la ecuaci+n (1), la ecuaci+n para calcular el empujehidrostático $ue se ejerce sore una pared rectangular, !ertical - con agua en amos lados de lapared es/

−=

2

2

2

2

1 hh

b P E e (8)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL, DE FORMARECTANGULAR Y AGUA EN AMBOS LADOS DE LA PARED.

ara calcular el centro de presiones se utili#a la ecuaci+n (3), haciendo el seno de @;J = 1 -sustitu-endo en la misma ecuaci+n $ueda como sigue/

2

2

2

1

3

2

3

1

1

3

1

hh

hhh yk

−

−

−= (?)

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 1% DE 13

Figura 2.< 6epresentaci+n grá"ica del empuje $ue se genera en una compuerta o pared!ertical, rectangular - retiene agua en amos lados de la misma.

eh

*

E

eh

1

h1

h*




DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA TRIANGULAR Y CON LUIDO EN UN SOLOLADO DE LA PARED (FIGURA >).

ara calcular el Empuje hidrostático sore una pared !ertical de "orma triangular se parte de laecuaci+n general (13)


i la pared se encuentra en posici+n !ertical, entonces el seno @;J es igual a 1, por lo $ue laecuaci+n $ueda/

A y P E g e ..= (@)

el centro de gra!edad de una pared triangular 1 se calcula mediante la e>presi+n/

h y g

3

2= (0;)

ientras $ue el área de un triángulo se calcula con7

2

bh A = (01)

ustitu-endo las ecuaciones (0;) - (01) en la ecuaci+n (@)7

2

6

2

23

2hb P

bhh P E ee ==

or lo tanto la ecuaci+n $ueda/

3

2hb P E e= (0*)


h

h

P!5

Figura 3.< 6epresentaci+n grá"ica del Empuje hidrostático $ue se ejercesore una pared de "orma triangular - en posici+n !ertical.




DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL, DE FORMATRIANGULAR Y AGUA DE UN SÓLO LADO DE LA PARED.

ara calcular el centro de presiones se utili#a la ecuaci+n (**)

g

g

x

k y y

r y +=

2

El cuadrado del radio de giro (r >) de un pared triangular es17

18

2

2 hr x = (0)

ustitu-endo las ecuaciones (@) - (0*) en la ecuaci+n (**), $ueda/

h

h

h

yk

3

2

3

2

18

2

+= = hh

h

3

2

36

3 2

+ = hh3

2

12

1+ =

12

8hh + =

12

9h

Finalmente7

h yk

4

3= (00)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA CIRCULAR Y CON LUIDO EN UN SOLO LADODE LA PARED (FIGURA ).

ara calcular el Empuje hidrostático $ue ejerce el agua sore la compuerta circular se parte de laecuaci+n general (13)


:

:h

eh

Figura 8.< 6epresentaci+n grá"ica del Empuje hidrostático $ue se ejercesore una pared de "orma circular - en posici+n !ertical.





i la pared es !ertical el ángulo θ es igual a @;J, por lo $ue el seno de @;J es igual a 1, entonces laecuaci+n $ueda/

A y P E g e

..= (02)

El centro de gra!edad de la pared será 7

R y g = (03)

el área de un c'rculo es7

2 R A π = (08)

ustitu-endo las ecuaciones (03) - (08) en la ecuaci+n (02)

2.. R R P E

e

π = = 3 R P E

e

π =

(0?)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL, DE FORMACIRCULAR Y AGUA DE UN SÓLO LADO DE LA PARED.

ara calcular el centro de presiones se utili#a la ecuaci+n (**)

g

g

xk y

y

r y +=

2

El cuadrado del radio de giro (r >) de un pared triangular es1

7

4

2

2 Rr x = (0@)

ustitu-endo las ecuaciones (02) - (0?) en la ecuaci+n (**), $ueda/

R R

R

yk += 4

2

= R R

R+

4

2

= R R +4

=4

4 R R + =

4

5 R

Finalmente7

R yk

4

5= (2;)


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