estructuras discretas tarea 1

Universidad Fermín Toro

Sistema interactivo de educación a distancia

Escuela de Ingeniería

S.A.I.A. Cabudre

ESTRUCTURAS DISCRETAS 1

Maximiliana Rangel Celis

Ing. de Telec.

C.I 17127317

S.A.I.A E

Profesora: Alba Espinoza

Respuestas.

1. Determinar qué tipo de juicio (imperativo, declarativo o interrogativo) son cada una de las siguientes expresiones e indique si son proposiciones o no: (0,5 puntos c/u) a. Existe un número natural n tal que n2+6n=0.b. No toda regla tiene su excepción.

R a) El tipo de declaración es imperativa ya que dicen las definiciones teóricas, también identifica al deber o a la exigencia inexcusable. El que “Exista” un numero natural n: (0)/ n2+6n=0, expresa una solución única que no admite ambigüedad de solución (V o F)

R b) El tipo de juicio que se manifiesta en la proposición versa sobre hechos dudosos y controvertidos en los que se debe examinar cada “regla” y establecer si existen Reglas con excepciones. Es por tanto un juicio declarativo.

La primera declaración es una proposición lógica, ya que parte de una fórmula bien formada sujeta a verificación.

La segunda no es proposición, ya que carece de signos que permitan llegar a la conjetura de la formula bien formada ( en otras palabras, No se puede construir una formulación en base a la sintaxis de la declaración).

2. Sean las proposiciones siguientes:p :|2−5|=−(−3)yq :−(−3 )2=−6 .

Determinar el valor lógico de cada una de las siguientes proposiciones: (1 punto c/u)

a. ∼ (∼ p⇒q )∨( p⟺∼q)b. [ (∼ p )∨ (∼q ) ]⟺ p

c. { [∼( p∧ (∼q ))]∨∼ p}⟹q

R. a) Asignamos valores de verdad V=1, F= 0)

1∼ p⇒ q(Condición)

∼p q0 1

∼ p q ∼ p⇒q0 1 1

2∼ (∼ p⇒q )(Negación)

3( p⟺∼q) (Bicondición)

4∼ (∼ p⇒ q )∨( p⟺∼ q) (disyunción)

∼ (∼ p⇒q ) ( p⟺∼q) ∼ (∼ p⇒q )∨( p⟺∼q)

0 0 0

La proposición es por tanto falsa.

R. b)

1(∼ p )(Negación)

2(∼q )(Negación)

3(∼ p )∨ (∼q ) (Disyunción Inclusiva)

(∼ p ) (∼q ) (∼ p )∨ (∼q )0 0 0

4[ (∼ p )∨ (∼q ) ]⟺ p(Bicondicional)

[ (∼ p )∨ (∼q ) ] p [ (∼ p )∨ (∼q ) ]⟺ p

0 1 0

La proposición es por tanto Falsa.

∼ (∼ p⇒q ) 0

p ∼q p⟺∼q1 0 0

p ∼ p1 0

q ∼q1 0

R c)Primero asignamos valores de verdad.

p ∼ p 1 0

1¿(Conjunción)

p ∼q ( p∧ (∼q ))1 0 0

2[∼( p∧ (∼q ))](Negación)

3{ [∼( p∧ (∼q ))]∨∼ p}

(Disyunción Exclusiva)

4{ [∼( p∧ (∼q ))]∨∼ p}⟹q (Condicional)

{ [∼( p∧ (∼q ))]∨∼ p} q { [∼( p∧ (∼q ))]∨∼ p}⟹q

1 1 1

La proposición es por tanto Verdadera.

3. Verificar si las siguientes formas proposicionales son tautologías o contradicciones (1,5 puntos c/u)

a. ( p⟹q)∧(r⟹ s )⟺ [(p∨ r)⟹(∼ p∧ s)]∨ [(r∨∼ q)⟹ (q∧ s)]b. ¿c. [ (r∨∼q )⟹ ( s∧q ) ]∨ [ (r∨ p )⟹ (s∧∼ p ) ]⟺∼ (r⟹ s )∨∼ ( p⟹q )d. ( p∨r )⟹ (q∨ s)⟺ [ p⟹ (q∨ s)]∧ [r⟹(q∨ s) ]

R. a)

p q r s1 1 1 1

q ∼q0 1

¿ [∼( p∧ (∼q ))]0 1

[∼( p∧ (∼q ))] ∼ p { [∼( p∧ (∼q ))]∨∼ p}1 0 1

(Primero establecemos los valores de verdad de las proposiciones mas breves considerando el respectivo operante )

a;( p⟹q) : [1,1]: 1(Implicación)

, b;(r⟹ s):[1,1]:1, (Implicación)

c; p∨r: [1,1]:1, (Disyunción Inclusiva)

d;∼ p∧ s: [0,1]: 0,(Negación de p, luego conjución)

e;r∨∼q ¿: [1,0]:1, (Negación de q, luego disyunción inclusiva)

f;(q∧ s): [1,1]:1, (Conjución).

Luego pasamos a definir el valor de verdad de las operaciones lógicas entre las anteriores.

a.1;( p⟹q )∧ (r⟹ s ): [1,0 ] :1,(Disyunción inclusiva)

b .1 ; (p∨ r )⟹ (∼ p∧ s ) : [1,0 ]: 0, (Condicional)

c.1; r∨∼q ¿⟹ (q∧ s) :[1,1] :1 (Condicional)

Luego pasamos a establecer el valor de verdad de las proposiciones que operan entre las anteriores

a.2; [( p∨ r)⟹(∼ p∧ s)]∨ [(r∨∼ q)⟹(q∧ s)]: [0,1]: 1 (Disyunción inclusiva)

Luego se establece el valor de verdad de la proposición, bajo la bicondición.

( p⟹q )∧ (r⟹ s )⟺ [ (p∨ r )⟹ (∼ p∧ s) ]∨ [ (r∨∼q )⟹ (q∧s ) ] :1⟺1

Ya que solo aparecen unos (1) en la proposición molecular, entonces es Tautología.

R.b) (Primero establecemos los valores de verdad de las proposiciones mas breves considerando el respectivo operante )

a ; ( s∨q ): [1:1]:1, (Disyunción inclusiva)

b;(s∨q ): [1,1]:1,(Disyunción inclusiva)

c; ¿):[0,0]: 0,(Disyunción inclusiva)

d; (r∨ p ) : [1 ,1 ] :1(Disyunción inclusiva)

Luego pasamos a establecer el valor de verdad de las proposiciones que operan entre las anteriores

a.1; r⟹ (s∨q ): [1,1 ] :1 ,(Condicional )

b .1 ; p⟹ ( s∨q ) : [1 ,1 ] :1 , (Condicional)

c .1 ; (∼ s∨∼q )∧ (r∨ p ) : [0 ,1 ] :0(Conjución)

Ya que no hemos concluido, se establecen el valor de verdad absoluto de la proposición. Bajo la bicondición propuesta

a.2¿: [1⟺0¿: 0

Por tanto la proposición es una contradicción, ya que el valor de verdad al que llegamos es 0

R.c (Primero establecemos los valores de verdad de las proposiciones mas breves considerando el respectivo operante)

a; (r∨∼q ) : [1,0 ] :1 ,¿

b ; ( s∧q ) : [1,1 ] :1 ,(Conjución)

c; (r∨ p ) : [1,1 ] :1 ,(Disyunción inclusiva)

d; ( s∧∼ p ) : [1,0 ] :0 ,(Conjución)

e; (r⟹ s ) : [1,1 ] :1 ,(Implicación)

f; p⟹q : [1,1 ] :1 (Implicación)

Luego pasamos a establecer el valor de verdad de las proposiciones que operan entre las anteriores

a.1; [ (r∨∼q )⟹ ( s∧q ) ] : [1,1 ] :1 , (Implicación)

b.1 ; (r∨ p )⟹ ( s∧∼ p ) : [1 ,0 ] :0 ,(Implicación)

c.1 ;∼ (r⟹ s ):0 ,(Negación)

d .1;∼ (p⟹q ) :0 (Negación)

Ya que no hemos concluido, se establecen el valor de verdad absoluto de la proposición.

a.2; [ (r∨∼q )⟹ ( s∧q ) ]∨ [ (r∨ p )⟹ (s∧∼ p ) ] : [1 ,0 ] :1 ,(Disyunción inclusiva)

b .2 ;∼ (r⟹ s )∨∼ (p⟹q ) :¿0,0]: 0(Disyunción inclusiva)

Finalmente, bajo doble implicación

[ (r∨∼q )⟹ ( s∧q ) ]∨ [ (r∨ p )⟹ (s∧∼ p ) ]⟺∼ (r⟹ s )∨∼ ( p⟹q ) : [1 ,0 ] :0

Por tanto la proposición es una contradicción.

R.d)

(Primero establecemos los valores de verdad de las proposiciones más breves considerando el respectivo operante a, b, c y d)

a; ( p∨r ): [1,1]:1, ((Disyunción inclusiva)

b; (q∨ s ): [1,1 ] :1 ,(Disyunción inclusiva)

c; (q∨ s ) : [1,1 ] :1 ,(Disyunción inclusiva)

d; (q∨ s ) : [1,1 ] :1(Disyunción inclusiva)

Ya que todos los operantes básicos son verdaderos (1), entonces la proposición es una Tautología, porque independientemente del operante que se incluya siempre el valor de verdad resultado será 1.