estructuras discretas
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RELACIONESBINARIAS
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ET
AS
I
2
Sean X e Y dos conjuntos. Una relación de X en Y es un subconjunto R
del producto cartesiano X x Y. El conjunto X es llamado conjunto de partida
de la relación R; e Y es el conjunto de llegada.
En el caso de que Y = X, en lugar de decir que R es una relación de X en
X, diremos que R es una relación en X.
Los elementos de R son pares ordenados. Si (x, y) es un elemento de R,
en lugar de escribir (x, y) Î R, escribiremos X R Y y leeremos: “X está rela-
cionado con Y”, según la relación R”.
relaciones binarias
2
Nota: Usaremos las letras R, S, T, etc., para representar relaciones.
Ejemplo:
1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de X en Y es R =
{(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}
2
Definición: Sea R una relación de X en Y
El Dominio de R es el conjunto
Dom(R) = { xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î Y}
El Rango o imagen de R es el conjunto
Rang(R) = { y Î Y / (x, y) Î R, para algún x Î X }
En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están cons-
tituidos por los primeros y segundos componentes respectivamente de los
pares ordenados que constituyen la relación.
Ejemplo:
La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el con-
junto Dom (R) = { a, b, c} y rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a, b
y c están en el primer componente de los pares ordenados y 1,2,4,5 están
en el segundo componente de cada par.
dominio y rango
2
Existen varias formas de representar gráficamente una relación. Las
más usuales son las siguientes: Representación Cartesiana, Matricial y Sa-
gitaria.
Representación Cartesiana
Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman
como abscisas los elementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el
conjunto de llegada. En el plano se marcan los pares ordenados que confor-
ma la relación. Esta representación alcanza su mayor importancia cuando el
conjunto de partida y el de llegada son subconjuntos de R.
representacion grafica de las
relaciones binarias
2
La representación matricial se usa cuando los conjuntos de partida y de
llegada de la relación son conjuntos finitos con pocos elementos. Para obte-
ner tal representación, se asigna a cada elemento del conjunto de llegada
una columna; y a cada elemento del conjunto de partida, una fila.
Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la fila que corresponde
a x con la columna que corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en
caso contrario. La configuración rectangular de ceros y unos que se obtiene
se llama matriz binaria de la relación.
Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}
Ejemplo 1
1. si X= a, b, c, d e Y= 1, 2, 3, 4, 5 una relación de X en Y
Representación Sagital
La representación sagital es la más popular de las representaciones.
Ésta, igual que la matricial, se usa cuando los conjuntos de partida y llega-
da son finitos. La representación sagital se obtiene representando mediante
diagramas de Venn el conjunto de partida y el de llegada; uniendo luego,
con flechas, los elementos relacionados. Así, la representación sagital de la
relación del ejemplo 1 es el siguiente diagrama:
Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo dia-
grama de Venn y las flechas se representan interiormente. Así, el diagrama
siguiente representa a la siguiente relación en X= a, b, c, d
S= (a, b), (b, b), (a, d), (b, c), ( d, d)
matriz binaria
2
Sea R una relación de X en Y. Se llama relación inversa de R a la relación
R-1 de Y en X dada por:
R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}
O sea, Y R-1 X Û X R Y
Es evidente que se verifica que:
dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)
Ejemplo
Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por
R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }
R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }
Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R)
Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)
El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es
la misma relación.
Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R
Demostración
X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa
Û X R Y
Luego, (R-1)-1 = R
relacion inversa
2
Sea R una relación de X a Y y S una relación de Y en Z. Se llama composi-
ción de R con S a la siguiente relación de X en Z:
X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z
Observación
En la composición de
R con S, es necesario
que el conjunto de
llega- da de R sea
igual al conjunto de
partida de S. Este
requisi- to puede ser
aligera- do exigiendo
solamente que el conjunto
de llegada de R esté contenido
en el conjunto de partida de S.
Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composi-
ción S o R es inverso al orden en que se dan R y S.
Ejemplo
1. Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }
Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas
por R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } ,S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }
relacion inversa
2
Entonces:
SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }
Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es
una relación de Z en W, entonces:
T o ( S o R ) = ( T o S ) o R
Demostración
X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y
S z) Ù z T w
Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w
Û x ( ( T o S ) o R )w
Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R
Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, en-
tonces (S o R)-1 = R-1 o S-1
Demostración
z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z
Û $ y Î Y , x R y Ù y S z
Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y
Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x
Û z( R-1 o S-1)x
Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1
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