RELACIONESBINARIAS

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Sean X e Y dos conjuntos. Una relación de X en Y es un subconjunto R

del producto cartesiano X x Y. El conjunto X es llamado conjunto de partida

de la relación R; e Y es el conjunto de llegada.

En el caso de que Y = X, en lugar de decir que R es una relación de X en

X, diremos que R es una relación en X.

Los elementos de R son pares ordenados. Si (x, y) es un elemento de R,

en lugar de escribir (x, y) Î R, escribiremos X R Y y leeremos: “X está rela-

cionado con Y”, según la relación R”.

relaciones binarias

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Nota: Usaremos las letras R, S, T, etc., para representar relaciones.

Ejemplo:

1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de X en Y es R =

{(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}

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Definición: Sea R una relación de X en Y

El Dominio de R es el conjunto

Dom(R) = { xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î Y}

El Rango o imagen de R es el conjunto

Rang(R) = { y Î Y / (x, y) Î R, para algún x Î X }

En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están cons-

tituidos por los primeros y segundos componentes respectivamente de los

pares ordenados que constituyen la relación.

Ejemplo:

La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el con-

junto Dom (R) = { a, b, c} y rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a, b

y c están en el primer componente de los pares ordenados y 1,2,4,5 están

en el segundo componente de cada par.

dominio y rango

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Existen varias formas de representar gráficamente una relación. Las

más usuales son las siguientes: Representación Cartesiana, Matricial y Sa-

gitaria.

Representación Cartesiana

Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman

como abscisas los elementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el

conjunto de llegada. En el plano se marcan los pares ordenados que confor-

ma la relación. Esta representación alcanza su mayor importancia cuando el

conjunto de partida y el de llegada son subconjuntos de R.

representacion grafica de las

relaciones binarias

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La representación matricial se usa cuando los conjuntos de partida y de

llegada de la relación son conjuntos finitos con pocos elementos. Para obte-

ner tal representación, se asigna a cada elemento del conjunto de llegada

una columna; y a cada elemento del conjunto de partida, una fila.

Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la fila que corresponde

a x con la columna que corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en

caso contrario. La configuración rectangular de ceros y unos que se obtiene

se llama matriz binaria de la relación.

Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}

Ejemplo 1

1. si X= a, b, c, d e Y= 1, 2, 3, 4, 5 una relación de X en Y

Representación Sagital

La representación sagital es la más popular de las representaciones.

Ésta, igual que la matricial, se usa cuando los conjuntos de partida y llega-

da son finitos. La representación sagital se obtiene representando mediante

diagramas de Venn el conjunto de partida y el de llegada; uniendo luego,

con flechas, los elementos relacionados. Así, la representación sagital de la

relación del ejemplo 1 es el siguiente diagrama:

Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo dia-

grama de Venn y las flechas se representan interiormente. Así, el diagrama

siguiente representa a la siguiente relación en X= a, b, c, d

S= (a, b), (b, b), (a, d), (b, c), ( d, d)

matriz binaria

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Sea R una relación de X en Y. Se llama relación inversa de R a la relación

R-1 de Y en X dada por:

R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}

O sea, Y R-1 X Û X R Y

Es evidente que se verifica que:

dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)

Ejemplo

Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por

R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }

R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }

Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R)

Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)

El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es

la misma relación.

Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R

Demostración

X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa

Û X R Y

Luego, (R-1)-1 = R

relacion inversa

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Sea R una relación de X a Y y S una relación de Y en Z. Se llama composi-

ción de R con S a la siguiente relación de X en Z:

X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z

Observación

En la composición de

R con S, es necesario

que el conjunto de

llega- da de R sea

igual al conjunto de

partida de S. Este

requisi- to puede ser

aligera- do exigiendo

solamente que el conjunto

de llegada de R esté contenido

en el conjunto de partida de S.

Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composi-

ción S o R es inverso al orden en que se dan R y S.

Ejemplo

1. Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }

Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas

por R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } ,S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }

relacion inversa

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Entonces:

SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }

Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es

una relación de Z en W, entonces:

T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Demostración

X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y

S z) Ù z T w

Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w

Û x ( ( T o S ) o R )w

Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, en-

tonces (S o R)-1 = R-1 o S-1

Demostración

z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z

Û $ y Î Y , x R y Ù y S z

Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y

Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x

Û z( R-1 o S-1)x

Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1