estadÍstica 2
Post on 07-Jul-2016
213 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
MATEMÁTICA4° año 2016
Estadística
Nombre: 2/05/2016
Página 1 de 4
A CURVAS DE FRECUENCIASACUMULADAS
La frecuencia acumulada es la suma de todas las
frecuencias hasta el último valor inclusive. Para
dibujar con precisión una curva de frecuencias
acumuladas, tenemos que elaborar una tabla de
frecuencias acumuladas, con el límite superior de
cada intervalo de clase en una columna y la
correspondiente frecuencia acumulada en otra. Luego
situar el límite superior de cada clase sobre el eje x y
la frecuencia acumulada sobre el eje y.
Ejemplo
Un supermercado está abierto las 24 horas del día y
tiene un estacionamiento gratuito. Se controla
durante algunos días, la cantidad de automóviles
estacionados por hora. Se muestran los resultados en
la tabla. Organice esta información en una tabla de
frecuencias acumuladas y luego dibuje con precisión
un gráfico de frecuencias acumuladas.
Cantidad de automóviles
estacionados por horaFrecuencia
0 – 49 6
50 – 99 23
100 – 149 41
150 – 199 42
200 – 249 30
250 – 299 24
300 – 349 9
350 – 399 5
Para organizar la información hay que agregar una
tercera columna rotulada “Límite superior” calculando
cada uno como el promedio entre el extremo superior
de ese intervalo y el inferior del siguiente. Para el
primero de los intervalos:
49 50Límite superior 49,5
2
Además se debe agregar una cuarta columna y
rotularla “Frecuencia acumulada”.
Cantidad deautomóviles
estacionados por horaFrecuencia
Límitesuperior
Frecuenciaacumulada
0 – 49 6 49,5 6
50 – 99 23 99,5 29
100 – 149 41 149,5 70
150 – 199 42 199,5 112
200 – 249 30 249,5 142
250 – 299 24 299,5 166
300 – 349 9 349,5 175
350 – 399 5 399,5 180
B INTERPRETACIÓN DE CURVAS DEFRECUENCIAS ACUMULADAS
Podemos utilizar la curva de frecuencias acumuladas
para hallar estimaciones de percentiles y cuartiles.
Los percentiles dividen en centésimos una gran
cantidad de datos ordenados. Los cuartiles la dividen
en cuartos. Cuando los datos están ordenados por
tamaño, el primer cuartil es el percentil 25, la
mediana es el percentil 50 y el tercer cuartil es el
percentil 75.
Para hallar el primer cuartil, Q1, se lee el valor
correspondiente al valorn 1
4
sobre el eje de las
frecuencias acumuladas, donde n es el total de las
frecuencias.
MATEMÁTICA4° año 2016
Estadística
Nombre: 2/05/2016
Página 2 de 4
Para hallar la mediana, Q2, se lee el valor
correspondiente al valorn 1
2
sobre el eje de las
frecuencias acumuladas.
Para hallar el tercer cuartil, Q3, se lee el valor
correspondiente al valor 3 n 1
4
sobre el eje de las
frecuencias acumuladas.
Para hallar el rango intercuartil, RIC, se calcula la
diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil:
3 1RIC Q Q
Para cualquier conjunto de datos:
25% o un cuarto de los valores se encuentran
entre el valor mínimo y el primer cuartil.
25% de los valores se encuentran entre el
primer cuartil y la mediana.
25% de los valores se encuentran entre la
mediana y el tercer cuartil.
25% de los valores se encuentran entre el tercer
cuartil y el valor máximo.
50% de los valores se encuentran en el rango
intercuartil.
Ejercicios(1) Una muestra aleatoria de 200 mujeres mide la
longitud de su pelo en cm. Los resultados semuestran en la curva de frecuencia acumulada acontinuación.
(a) Determinar la longitud mediana de pelo en lamuestra.
(b) Calcular el rango intercuartil de la longituddel pelo en la muestra.
(2) El diagrama muestra el gráfico de frecuenciaacumulada para el tiempo necesario para realizaruna tarea determinada por un grupo de 2000hombres.(a) Usar el diagrama para estimar:
(i) la mediana del tiempo;(ii) el cuartil superior y el cuartil inferior;(iii) el rango intercuartil.
(b) Encontrar el número de hombres que tomanmás de 11 segundos para realizar la tarea.
(c) El 55% de los hombres tomó menos de psegundos para realizar la tarea. Encuentra p.
(d) Los tiempos tomados para los 2000 hombresse agruparon como se muestra en la siguientetabla.
Tiempo Frecuencia
5 ≤ t < 10 500
10 ≤ t < 15 850
15 ≤ t < 20 a
20 ≤ t < 25 b
(e) Escribir el valor de:(i) a
(ii) b.
200
175
150
125
100
75
50
25
050454035302520151050
Cum
ulat
ive
freq
uenc
y
length (cm)
MATEMÁTICA4° año 2016
Estadística
Nombre: 2/05/2016
Página 3 de 4
C DIAGRAMAS DE CAJA Y BIGOTES
Otra forma útil de representar datos es un diagrama
de caja y bigotes. Un diagrama de este tipo luce de la
siguiente manera:
Para dibujar un diagrama de caja y bigotes, se
necesitan cinco medidas: el valor mínimo, el máximo,
el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil.
Ejercicios(3) Los pesos en kg, de 80 varones adultos, se
recogieron y se resumen en el diagrama de caja
y bigotes que se muestra a continuación.
(a) Determinar el peso promedio de los hombres.
(b) Calcular el rango intercuartil.
(c) Estimar el número de hombres que pesan
entre 61 kg y 66 kg.
(d) Calcular el peso medio de los 40 hombres
más livianos.
(4) Se pidió a 31 alumnos de una clase estimar el
número de caramelos en un frasco. El siguiente
diagrama de tallo y hojas da sus estimaciones.
Tallo Hoja4 2, 4, 7, 8, 95 1, 1, 2, 3, 8, 96 0, 2, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 87 0, 0, 1, 3, 4, 5, 5, 78 1, 2, 2
Clave: 4 | 2 significa 42 caramelos
(a) Para las estimaciones de los alumnos, escriba:
(i) la mediana;(ii) el cuartil inferior;(iii) el cuartil superior.
(b) Dibuje un diagrama de caja y bigotes de las
estimaciones de los alumnos utilizando la
siguiente cuadrícula.
D MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión nos muestran cuán
esparcido se encuentra un conjunto de datos. La
medida de dispersión más simple es el rango.
EL RANGOEl rango se obtiene calculando la diferencia entre el
valor máximo y el valor mínimo.
LA DESVIACIÓN ESTÁNDARLa desviación estándar es una medida de dispersión
que da una idea de la posición de los datos con
relación a la media.
La fórmula para encontrar la desviación estándar es:
2ix x
n
Para datos agrupados:
2i ix x f
n
MATEMÁTICA4° año 2016
Estadística
Nombre: 2/05/2016
Página 4 de 4
Ejemplo
Calcular la desviación típica de la distribución de la
tabla:
x if
[10, 20) 1
[20, 30) 8
[30,40) 10
[40, 50) 9
[50, 60) 8
[60,70) 4
[70, 80) 2
Para calcularla ampliamos la tabla, con las columnas
que figuran a continuación y luego aplicamos la
fórmula.
ix if 2ix x 2i ix x f
[10, 20) 15 1 802,78 802,778
[20, 30) 25 8 336,11 2688,89
[30,40) 35 10 69,44 694,444
[40, 50) 45 9 2,78 25
[50, 60) 55 8 136,11 1088,89
[60,70) 65 4 469,44 1877,78
[70, 80) 75 2 1002,78 2005,56
9183,33
2i ix x f 9183,3314,79
n 42
Ejercicios(5) La siguiente tabla muestra la distribución de
frecuencias del número de empastes dentales
para un grupo de 25 niños.
Número (x) 0 1 2 3 4 5
Frecuencia (f ) 4 3 8 q 4 1
(a) Encontrar el valor de q.
(b) Determinar:
(i) la media;(ii) la mediana;(iii) la desviación estándar.
(6) Se registraron los pesos de 90 alumnos de un
colegio. La información se muestra en la
siguiente tabla.
Peso (kg) Número de estudiantes
40 ≤ w < 50 7
50 ≤ w < 60 28
60 ≤ w < 70 35
70 ≤ w < 80 20
(a) Anotar el valor de la marca de clase para el
intervalo 50 ≤ w < 60.
(b) Usa la calculadora para encontrar una
estimación de
(i) el peso medio;(ii) la desviación estándar.
(7) En una región de montaña parece haber una
relación entre el número de árboles que crecen
en la región y la profundidad de la nieve en
invierno. Se eligió un conjunto de 10 áreas, y en
cada área se contó el número de árboles y se
midió la profundidad de la nieve. Los resultados
se dan en la siguiente tabla.
Número de árboles
(x)Profundidad de la
nieve (y)
45 30
75 50
66 40
27 25
44 30
28 5
60 35
35 20
73 45
47 25
Usa la calculadora para encontrar
(a) el número medio de árboles;
(b) la desviación estándar del número de árboles;
(c) la profundidad media de la nieve;
(d) la desviación estándar de la profundidad de
la nieve.
top related