ejercicios resueltos rectas planos (48-pag)
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Prof. P. Guzmán S.
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Prof. P. Guzmán S.
PRESENTACION
Se presenta esta colección de ejercicios resueltos sobre rectas y planoscomo un medio de facilitar el aprendizaje por parte del estudiante.
Es una edición previa de uso interno para los alumnos UTEM
Es posible se hayan deslizado errores al escribir estas notas, se solicitareportarlas a: pguzman@utem.cl, en respuesta a su colaboración recibirámaterial relativo al tema.
Espero que estos apuntes cumplan su objetivo y le ayuden acomprender una materia se suyo difícil
Que tenga un buen semestre.
Prof. Patricio Guzmán Sereño
Santiago: Abril 2008
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Prof. P. Guzmán S.
EJERCICIOS RESUELTOS RECTAS Y PLANOS
"Ñ 3Ñ E Ð$ß &ß (Ñ à FÐ"ß #ß $Ñ ß Sean Encuentre la→ →
proyección de sobre , de sobre À E F F E→ →→ →
Encuentre el coseno del ángulo formado por y 33Ñ F FE→ ⎯→
Solución: 3Ñ T <9C ./ E =9,</ F œ E œ F→ →→ →
→F
ÐE F
F F
→ →
→ →· )
·
œ Ð"ß #ß $ÑÐ$ß&ß(цÐ"ß#ß$ÑÐ"ß#ß$Ñ Ð"ß#ß$Ñ
→E œ Ð"ß #ß $Ñ œ Ð"ß #ß $Ñ œ Ð ß ß Ñ→
F
$ "! #" ) # % '" % * "% ( ( (
Proy. de sobre→ →→F E œ F œ Ð$ß &ß (Ñ œ Ð$ß &ß (Ñ→
E
) )*#&%* )$
.33Ñ FE œ Ð#ß $ß "!Ñ⎯→
-9=Ð Ñ œ œ)→ ⎯→
→ ⎯→F † FE
F † FE
Ð"ß#ß$ÑÐ#ß$ß"!Ñ
Ð" % *ÑÐ% * "!!ѹ ¹ ¹ ¹ È
..-9=Ð Ñ œ ¸ !ß &&$"#!") ##
"&)#È
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#Ñ À E œ Ð$ß %ß &Ñß F œ Ð&ß (ß *Ñ Dados → →
3Ñ À E FEncuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por y → →
Encuentre los cosenos directores de la recta que pasa por y 33Ñ À E F→ →
A
B
B - A
P = A + t ( B - A )
→ →→ ⎯→ → →T œ E > EF œ E >ÐF EÑ
Ð B ß C ß DÑ œ Ð$ ß % ß &Ñ >Ð#ß ""ß "%Ñ
B œ $ #> à C œ % ""> à D œ & "%>
B$ D&# "" "%
C%œ œ œ > à Ecuaciones Simétrica
33Ñ -9=Ð Ñ À -9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ œ # À "" À "% ! " #
-9=Ð Ñ -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ -9= Ð Ñ -9= Ð Ñ -9= Ð Ñ# "" "% % "#" "*'
#! " # ! " #œ œ œ > Ä œ œ œ > # # #
-9= Ð Ñ -9= Ð Ñ -9= Ð Ñ%"#" "*' $#"
" "#„ $#"
# # #! " # œ œ > Ä > œ È
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X
Y
Z
A
B
La dirección de Luego P /= 8/1+>3@+ß à > !EF
> œ œ" " %"#""*' $#"È È
-9=Ð Ñ œ à -9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ œ œ! " ## "" "% "%
$#" $#" $#" $#"È È È È,
, ,-9=Ð Ñ ¸ !ß """'#* -9=Ð Ñ ¸ !Þ'"$*'! -9=Ð Ñ ¸ !Þ()"%!$)Þ! " #
$Ñ ÐQÑ ¼ Encuentre la ecuación del plano que es a la recta que pasa por y que contieneà EÐ#ß #ß %Ñß FÐ(ß "ß $Ñ al punto GÐ &ß "ß #Ñ
Solución.P ÐBß Cß DÑ œ Ð#ß #ß %Ñ >Ð&ß $ß (Ñ EFà
ÐBß Cß DÑ œ Ð# &>ß # $>ß % (>Ñ Ç
B œ # &> C œ # $> D œ % (>, , .Ecuaciones paramétricas
B # D %& $ (
C # œ œ œ > .Ecuaciones Simétricas
Un conjunto de números directores de
L : L EF EF&ß $ ß (à ¼ ÐQÑ
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Sea P plano pedido L tiene como un conjunto deÐBß Cß DÑ − ÐQÑß Þ ß TU
números directores a: .B &ß C "ß D #
Como es a toda recta del plano pedido se tiene queP ¼ À EF
LP ¼ Ä &ÐB &Ñ $ÐC "Ñ (ÐD #Ñ œ ! EF TU
Luego: &B $C (D #& $ "% œ !
Ecuación del plano pedido . .ÐQÑ &B $C (D "% œ !
GÐ &ß "ß #Ñ − al plano pedido puesto que
& Ð &Ñ $ Ð"Ñ ( Ð#Ñ "% œ !· · ·
#& $ "% "% œ !
C(-5 ,1 ,2 )
A
B
P(x, y ,z)
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%Ñ 3Ñ ÐKÑ Encuentre la ecuación del plano que pasa por: TÐ#ß !ß !Ñ ß UÐ!ß #ß !Ñß VÐ!ß !ß #Ñ
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por 33Ñ LÐ$ß $ß $Ñ y que es normal al planoÐT Ñ
R(0,0,2)
P(2,0,0)Q(0,2,0)
X
Y
Z
⎯→ ⎯→TU œ Ð #ß #ß !Ñ TV œ Ð #ß !ß #Ñ
⎯→ ⎯→TU ‚ TV œ Ð #ß #ß !Ñ ‚ Ð #ß !ß #Ñ œ œ
3 4 5 # # ! # ! #
â ââ ââ ââ ââ ââ â œ 3Ð% !Ñ 4Ð % !Ñ 5Ð! %Ñ
vector normal al plano pedidoœ Ð%ß %ß %Ñ
Sea al plano pedido tiene como númerosÀ LÐBß Cß DÑ − ÐKÑß P à TL
directores a: B #ß C !ß D ! à
Luego : · · ·% Ð B #Ñ % Ð C !Ñ % ÐD !Ñ œ !
.%B %C %D ) œ !
Es la ecuación del plano pedido satisfacen la ecuación.
.%B %C %D ) œ !
· , · , ·% Ð#Ñ ! ! ) œ ! ! % Ð#Ñ ! ) œ ! ! ! % Ð#Ñ ) œ !
Otra solución: de , se tiene, B D B D+ , - # # #
C C œ " œ "
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33Ñ QÐBß Cß DÑ − P ÐKÑ À LÐ$ß $ß $Ñ − PSea a la recta normal al plano X X
Luego P À ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß $ß $Ñ >Ð%ß %ß %ÑX
&Ñ Un plano (M) pasa por y y esÐ"ß ß #ß "Ñ UÐ#ß "ß $Ñ perpendicular al plano . .À ÐX Ñ $B #C $D ' œ ! Encuentre su ecuación
P
Q
N
N
(M)
a ,b ,c 3, -2, 31
2(1,2,1
( 2,1,3)
( T )
H(x ,y,z )
L Un conjunto de números directores es: TUà − ÐQÑÞ "ß "ß #
L N TU "
¼ Ä + , #- œ !
R ¼ R Ä $+ #, $- œ !# "
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Se tiene entonces que À + - œ ! Ä + œ -
, $- œ ! Ä , œ $-ß - œ - Luego. Si .- œ "
+ œ "à , œ $ à - œ "
Es un conjunto de números directores de N"
un conjunto de números directores de es:P − ÐQÑß PTL TL
Como se tiene que:B "ß C # ß D " À R ¼ P" TL
· · · " ÐB "Ñ $ Ð C #Ñ " Ð D "Ñ œ ! Ä B $C D ) œ ! Þ
es la ecuación del plano MÐ ÑÞ
En efecto P y , puesto que:Þ Ð"ß #ß "Ñ UÐ#ß "ß $Ñ − ÐQÑ
" $ Ð#Ñ " ) œ !Þ # $ Ð"Ñ $ ) œ !· ·
Números directores de la Normal N"À " ß $ ß "
Números directores de la Normal N#À $ß #ß $
Luego · · , (M) (T)Þ " $ $ Ð #Ñ $ œ ! ¼
'Ñ L recta que pasa por : P , , Q" À Ð$ # "Ñ Ð#ß *ß #Ñ L recta que tiene como un conjunto de números# À
directores a , .À "ß # #Encuentre un conjunto de números directores de
una línea a L L ¼ C" #
Solución.
L : tiene como un conjunto de números directores a: " "ß (ß "L : tiene como un conjunto de números directores a # À "ß #ß #
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Sea recta tal que: L , L y queP P ¼ P ¼$ $ $" #
un conjunto de números directores de L : $
+ß , ß -Þ
Luego debe tenerse que:
+ (, - œ ! + #, #- œ !
–––––––––––––––––––––––––––––-Luego: &, $- œ ! Ä , œ œ -$- $
& &
+ œ #, - œ - - œ -ß - œ -$ )& &
Si , - œ & Ä + œ ) , œ $ß - œ &Luego se tiene que un conjunto de números directores de : es P )ß $ ß &
$
(Ñ Ñ À $B C & œ ! Ð Ñ à C D " œ ! Sean (P . P . Planos" #
Encuentre la ecuación de un plano que es a la línea de¼ de ambos planos y que contenga al punto Ð"ß #ß "ÑÞSolución.
de :ÐT Ñ C " œ Ò $B %Ó † œ"Ð Ñ B
Ð Ñ
" %$ $" "$ $
de :ÐT Ñ C " œ D ! œ#D !"
Luego. . Ec Simétrica de P (PP À œ œ Þ Ð Ñ ÑB C "
" "D !
" #
%$
"$
Un conjunto de números directores de L: "$ ß " ß "
P(1,2,-1)H(x,y,z)
L
P ß B "ß C #ß D "
TLun conjunto de números directores es:
Como L · · ·P ¼ ÐB "Ñ " ÐC #Ñ " ÐD "Ñ œ !TL
Ò "$
B $C $D " ' $ œ !ÐQÑ B $C $D ) œ !. Ec del plano pedido
Ð"ß #ß "Ñ − ÐQÑ à " $Ð#Ñ $Ð "Ñ ) œ !
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)Ñ À œ œ À P à œ œL " #B# D# B" D"" # % # $ #
C" C#
Decida si ambas rectas se intersectan3Ñ Encuentre la ecuación del plano que contiene a L33Ñ C P ß# "
Solución. P B œ # > à C œ " #> à D œ # %>" :
: P B œ " #= ß C œ # $= ß D œ " #=#
Luego. +Ñ B œ # > B œ " #= À ,Ñ C œ " #> C œ # $=
-Ñ D œ # %> D œ " #=
" #> œ # $= Ä #> œ " $= # %> œ " #= Ä %> œ " #= Ä
Ä ! œ $ )= Ä = œ $)
> œ † œ " $ $ "# # ) "'
Reemplazando en se tiene:+ # > œ " #=
# œ " " '"' )
$$ "%"' )œ Ä Ã
Lo que es contradictorio, luego no existe intersección, además son ortogonales puesto que À Ð "Ñ † # Ð $Ñ † # % † # œ !ÞLuego, no son paralelas , están en planos diferentes, son alabeadas
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33Ñ R9 /B3=>/ /=/ :6+89
*Ñ Encuentre las ecuaciones vectorial, simétricas y paramétricasde la línea recta que pasa por:
y que es // a la dirección dada por 3Ñ E œ Ð!ß "ß "Ñ F œ Ð $ß %ß &Ñ→ →
33Ñ U œ Ð *ß "ß "Ñ G œ Ð%ß $ß #Ñ y pasa por el extremo de → →
333Ñ ¿ Se intersectan estas líneas, en qué punto ?Solución.3Ñ À T œ E > FL E F//
→ →→
ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß "Ñ >Ð $ß %ß &Ñ Ec. vectorialB œ $>ß C œ " %>ß D œ " &> Ecs. paramétricas
Ecs. simétricasB D"$ % &
C"œ œ
33Ñ P À T œ U > UG ß UG œ G U œ Ð &ß %ß "ÑUG
→ → ⎯→ ⎯→ → →
ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß "Ñ >Ð &ß %ß "ÑB œ &>ß C œ " %>ß D œ " > Ecs. paramétricas
B D"& % "
C "œ œ Ecs. simétricas333Ñ +Ñ B œ $>ß B œ &=
,Ñ C œ " %>ß C œ " %= Ä " %> œ " %= Ä > œ = -Ñ D œ " &> D œ " = Ä " &> œ " = Ä &> œ =
Ä %> œ !ß = œ !Se intersectan en Ð!ß "ß "Ñ
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"!Ñ T Ð"ß #ß "Ñ UÐ "ß #ß $Ñ Dados los puntos ; Encuentre la ecuación de la esfera que tiene como3Ñ
diámetro al segmento PQ
Encuentre la ecuación del plano que es tangente a la33Ñesfera en el punto PÐ"ß #ß "Ñ
Solución.El centro de la esfera está en el punto medio de PQ œ SÐ!ß #ß #Ñ
V œ .ÐSßUÑ œ " ! " œ #È È.ÐSß T Ñ œ # Ä B ÐC #Ñ ÐD #Ñ œ #È # # #
B C %C % D %D % œ œ ## # #
B C %C D %D ' œ !# # #
""Ñ ¼ Encuentre la ecuación del plano a la linea determinada por y que pasa por el puntoTÐ #ß &ß "Ñ à UÐ%ß $ß $Ñ medio del trazo PQÞSolución.
Números directores de la recta normal al plano: $ ß %ß #Números directores deP À B "ß C "ß D "QX
La linea L es al plano pedido luegoTU ¼
$ÐB "Ñ %ÐC "Ñ #ÐD "Ñ œ !$B %C #D " œ ! ecuación pedida
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"#Ñ Ð #ß $ß "Ñ Ð%ß $ß $Ñ Ð"ß "ß "Ñ Dados P , Q , REncuentre el coseno del ángulo PQR
Solución.
⎯→UT œ Ð%ß $ß $Ñ Ð #ß $ß "Ñ œ Ð'ß 'ß %Ñ
¸ ¸ È È⎯→UT œ $' $' "' œ ))
⎯→UV œ Ð"ß "ß "Ñ Ð%ß $ß $Ñ œ Ð $ß %ß #Ñ
¸ ¸ È È⎯→UV œ * "' % œ #*
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→UT † UV œ UT † UV -9=РѸ ¸ ¸ ¸ !
-9=Ð Ñ œ œ œ!⎯→ ⎯→
⎯→ ⎯→UT † UV
UT † UV
")#%) &!
)) † #* )) † #*¸ ¸ ¸ ¸ È È È È
"$Ñ E œ Ð "ß #ß !Ñ ß F œ Ð#ß "ß "Ñ Sean → →
⎯→G œ Ð"ß #ß #Ñß H œ Ð"ß #ß $Ñ
3Ñ Calcular el área del paralelogramo que tiene como lados
adyacentes los vectores : .⎯→ ⎯→EF ß C FG
33Ñ Calcular el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes
son: ⎯→ ⎯→ ⎯→EF ß EG ß EH
Solución.
3Ñ EF œ Ð$ß "ß "Ñ ß FG œ Ð"ß "ß "Ñ⎯→ ⎯→
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- --
⎯→ ⎯→→ → →
EF ‚ FG œ œ3 4 5$ " "" " "
â ââ ââ ââ ââ ââ â - - - -
- -œ 3 4 5" " $ " $ "" " " " " "
→ → →º º º º º º œ 3 † Ð #Ñ % † 4 5 † Ð #Ñ
→ → →
œ Ð #ß %ß #Ñ
¸ ¸ È È⎯→ ⎯→EF ‚ FG œ % "' % œ #% u. de área
33Ñ Z œ EH † Ð EF ‚ EG Ñ œ¸ ¸⎯→ ⎯→ ⎯→
⎯→ ⎯→ ⎯→EF œ Ð$ß "ß "Ñß EG œ Ð#ß !ß #Ñß EH œ Ð#ß %ß $Ñ
Ð EF ‚ EG Ñ œ œ 3 4 53 4 5$ " "# ! #
" " $ " $ "! # # # # !
⎯→ ⎯→→ → →
→ → →â ââ ââ ââ ââ ââ â º º º º º º- -
-
- - - -- -
œ Ð#ß %ß #Ñ
Z œ EH † Ð EF ‚ EG Ñ œ EFW œ# % $$ " "# ! #
¸ ¸ Ÿâ ââ ââ ââ ââ ââ â
⎯→ ⎯→ ⎯→- -
-
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œ EFW # Ð %Ñ $ œ " " $ " $ "! # # # # ! Ÿº º º º º º
œ # † # %Ð ' #Ñ $Ð#Ñ œ % "' ' œ ' œ ?./ @96¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u de volumenœ Ð#ß %ß $Ñ † Ð#ß %ß #Ñ œ % "' ' œ '¸ ¸ ¸ ¸"%Ñ $B C & œ ! à C D " œ ! Dados los planos: ¿ Se intersectan estos planos ?3Ñ Encuentre la ecuación de la linea de intersección33Ñ333Ñ Escriba la ecuación de un plano perpendicular a la linea de intersección de los planos dados y que contenga al punto XÐ"ß #ß "ÑSolución.
3Ñ ÐT ÑÎÎÐUÑ Ç R ÎÎRÐTÑ ÐUÑ
ÐT Ñ À $B C & œ !ß R À $ß "ß !ÐTÑ
ÐUÑ À C D " œ ! R À !ß "ß "ÐUÑ
Los planos no son paralelos, luego se intersectan
33Ñ ÐT Ñ Ð ÑLinea de de los planos y Q
ÐT Ñ À $B C & œ ! Ä C # œ $B $ œ $ÐB "Ñ C # œ $ÐB "Ñ
Q Ð Ñ À C D " œ ! Ä C # œ D " C # œ ÐD "Ñ
C # C #" " " $ $
D " B " D " œ œ à Ä œ œB " "$
333Ñ "ß $ß $Números directores de la normal al plano pedido:
Sea cualquier punto del plano, números directores de la rectalaUÐBß Cß DÑrecta Luego se tiene que:P À B "ß C #ß D "ÞUX
" † ÐB "Ñ $ † ÐC #Ñ $ † ÐD "Ñ œ !B $C $D $ œ ! Ecuación del plano pedido.
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"&Ñ E œ Ð$ß #ß &Ñ F œ Ð $ß !ß %ÑDados:→ →
Calcular:3Ñ -9= ÐEß FÑ œ 33Ñ E œ ß F œ ß FE œ ? ? ? ?t
→ → ⎯→→ →¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹333Ñ FE œ 3@Ñ EF œ @Ñ E œ @3Ñ F œ
⎯→ ⎯→ → →? ? ? ?→
F E→
Solución.3Ñ E † F œ E † F † -9= ÐE FÑ
→ → →→ → →¹ ¹ ¹ ¹ t ,
-9= ÐE FÑ œ œt→ →
,→ →
→ →E †F
E † F
""
&† $)¹ ¹ ¹ ¹ È
→ →E † F œ Ð$ß #ß &Ñ † Ð $ß !ß %Ñ œ $ † Ð $Ñ # † ! & † % œ ""
¹ ¹ É È È→ → →E œ E † E œ * % #& œ $)
¹ ¹ É È→ → →F œ F † F œ #& œ &
→ →F † F œ Ð $ß !ß %Ñ † Ð $ß !ß %Ñ œ * ! "' œ #&
33Ñ E œ E † E œ * % #& œ $) ß F œ F † F œ #& œ &¹ ¹ ¹ ¹É È È ÈÉ→ → → → → →
⎯→ → →FE œ E F œ Ð$ß #ß &Ñ Ð $ß !ß %Ñ œ Ð'ß #ß "Ñ
¹ ¹ È È⎯→FE œ $' % " œ %"
333Ñ FE œ FE œ E F œ Ð$ß #ß &Ñ Ð $ß !ß %Ñ œ Ð'ß #ß "Ñ⎯→ ⎯→ → →
3@Ñ EF œ F E œ Ð $ß !ß %Ñ Ð$ß #ß &Ñ œ Ð 'ß #ß "Ñ⎯→ →→
@Ñ E œ Ð ÑF œ Ð $ß !ß %Ñ @3Ñ F œ E œ→ →→ →
→→ →→ →→ → → →F E
E†F "" E†F ""
F†F #& $)E†E→
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"&Ñ E œ Ð$ß #ß "Ñ ß F œ Ð"ß "ß #Ñ ß G œ Ð&ß #ß %Ñ→ → →
O
A
B
Cα
β
γ
Calcular À 3Ñ -9=Ð Ñ œ ß -9=Ð Ñ œ ß -9=Ð Ñ œ! " #
33Ñ EF œ ß EF œ⎯→ ⎯→¸ ¸
Solución. ! tœ Ð EG ß EF Ñ
⎯→ ⎯→
⎯→ →→EG œ G E œ Ð&ß #ß %Ñ Ð$ß #ß "Ñ œ Ð#ß %ß $Ñ
⎯→ → ⎯→→EF œ F E œ Ð"ß "ß #Ñ Ð$ß #ß "Ñ œ Ð #ß $ß "Ñß EF œ "%¸ ¸ È
⎯→ ⎯→ ⎯→⎯→EG † EF œ EG † EG † -9=РѸ ¸ ¸ ¸ !
Ð#ß %ß $Ñ † Ð #ß $ß "Ñ œ #* "% † -9=Ð ÑÈ È !
% "# $ œ #* "% † -9=Ð Ñß -9=Ð Ñ œÈ È ! ! ""
#* † "%È È
"'Ñ F Á ! T ÞHÞ E ÎÎ F Ç E œ ESi , → →→ → → →
@ →F
Si Ð Ä Ñ E ÎÎ F Ä E œ F Ä E œ F œ F œ→ → →→ → → →
- →F
→ → → →→ → → →E†F F†F
F†F F†F
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œ Ò ÓF œ F œ E- -→ →→ →F†F
F†F
→ → →
Sólo si Ð Ã Ñ E œ E Ä F œ Eß œ→ → →→
→F
→ →→ →→ → → →E†F E†F
F†F F†F-
-→ →→ →F œ E Ä E ÎÎ F
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"(Ñ W3 E • F Á ! à→ → →
, , o T ÞHÞ E ÎÎ F Ç ÐE F Ñ œ œ ! œ→ →→ →
t ) ) 1Solución. ,
→ → →→ → →E † F œ E † F † -9= ÐE Fѹ ¹ ¹ ¹ t
Si , ,3Ñ E ÎÎ F Ä ÐE F Ñ œ ! 9 ÐE F Ñ œ→ → →→ → →
t t 1
33Ñ ÐE F Ñ œ œ ! œ Ä E ÎÎ FSólo si , , o t ) ) 1→ →→ →
")Ñ . T Obtenga una fórmula para la distancia desde un punto a!→ →→ → →
L Considere el caso en que Pœ E >F ß œ !! @
→ → →L œ E >Fß ÐBß Cß DÑ œ Ð+ ß + ß + Ñ >Ð, ß , ß , Ñ" $ " # $#
B œ + >, ß C œ + >, ß D œ + >," " # $ $#
ÐBß Cß DÑ œ Ð+ >, ß + >, ß + >, Ñ" " # $ $#
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â ââ ââ ââ ââ ââ â º º º º º ºœ Ð!ß "ß !Ñ œ 4
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#!Ñ T ‚ U ÐT ‚ UÑ G À Calcular , · , en los siguientes casos→ →→ → →
+Ñ T œ Ð " ß # ß !Ñ U œ Ð $ß "ß !Ñß G œ Ð%ß *ß $Ñ→ → →
,Ñ T Ð $ß #ß "Ñß U œ Ð#ß !ß %Ñß G œ Ð"ß "ß "Ñ→ → →
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ÐT ‚ UÑ G œ Ð#ß !ß (Ñ Ð"ß "ß "ß Ñ œ # ( œ *→ → →
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#"Ñ À Encuentre el área del # cuyos vértices son T œ Ð!ß !ß !Ñß T œ Ð"ß "ß "Ñß T œ Ð#ß !ß !Ñß T œ Ð"ß "ß "Ñ" # $ %
ÐS,=Þ T œ T T ß ß Ñ$ # # %% luego el # es generado por los vectores P P
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##Ñ +Ñ E ‚ ÐE FÑ œ E ‚ FP.D. → → →→ →
,Ñ œ œDemuestre el teorema del seno : +=/8Ð Ñ =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ
, -
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¸#
Solución.+Ñ E ‚ ÐE FÑ œ E ‚ E E ‚ F œ ! E ‚ F œ E ‚ F
→ → → → → → →→ → → →→@
23
Prof. P. Guzmán S.
,Ñ œ œ+ -=/8Ð Ñ =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ
,
! " # ¸
¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸→ → →E œ +ß F œ ,ß G œ -
=/8Ð Ñ œ Ä GH œ , † =/8Ð Ñ! !GH,
=/8Ð Ñ œ Ä GH œ - † =/8Ð Ñ" "GH+
Ä , † =/8Ð Ñ œ + † =/8Ð Ñ Ä œ ЇÑ! " + ,=/8Ð Ñ =/8Ð Ñ! "
=/8Ð Ñ œ Ä FX œ - † =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ œ Ä FX œ + † =/8Ð Ñ! ! # #FX FX- +,
- † =/8Ð Ñ œ + † =/8Ð Ñ Ä œ Ї‡Ñ! # + -=/8Ð Ñ =/8Ð Ñ! #
./ Ð‡Ñ C Ї‡Ñ œ œ+ , -=/8Ð Ñ =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ! " #
#$Ñ Þ E † ÐF ‚ GÑ œ ß Ð E ‚ FÑ † G œCalcular → →→ →→ →
Solución. Sean
→ → →E œ Ð+ ß + ß + Ñ F œ Ð, ß , ß , Ñß G œ Ð- ß - ß - Ñ" # $ " # $ " # $
ÒEFGÓ œ E † ÐF ‚ GÑ œ F † ÐG ‚ EÑ œ G † ÐE ‚ FÑ→ → →→ → →→ → →
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Prof. P. Guzmán S.
→ → →E † ÐF ‚ GÑ œ
+ + +, , ,- - -
â ââ ââ ââ ââ ââ â" # $
" # $
" # $
œ + + +, , , , , ,- - - - - -" # $# $ " $ " #
# $ " $ " #º º º º º º
œ + Ð, - , - Ñ + Ð, - , - Ñ + Ð, - , - Ñ" # $ $ # " $ $ " $ " # # "#
ÐE ‚ FÑ † G œ † Ð- ß - ß - Ñ œ3 4 5+ + +, , ,
→ → →→ → →â ââ ââ ââ ââ ââ â" # $
" # $
" # $
œ Ò 3 4 5 Ó † Ð- ß - ß - Ñ œ+ + + + + +, , , , , ,
→ → →º º º º º º# $ " $ " #
# $ " $ " #" # $
œ Ð+ , + , ß + , + , ß + , + , † Ð- ß - ß - Ñ# $ $ # $ " " $ $ " " $ " # $
œ Ð+ , + , Ñ- Ð+ , + , Ñ- Ð+ , + , Ñ-# $ $ # " $ " " $ # $ " " $ $
#%Ñ E F ˜ SEF Sean , vectores en , , , los ángulos del → →
‘ ! " #$
Demuestre que À -9=Ð Ñ œ "! " # Hint. demuestre que À
-9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ =/8Ð Ñ œ =/8Ð Ñ! " # ! " # ,
Solución +Ñ
1 ! " # 1 ! " # Ð Ñ œ Ä -9=Ò Ð ÑÓ œ -9=Ð Ñ
-9=Ð Ñ † -9=Ð Ñ =/8Ð Ñ † =/8Ð Ñ œ -9=Ð Ñ1 ! " 1 ! " #
" † -9=Ð Ñ ! † =/8Ð Ñ œ -9=Ð Ñ! " ! " #
-9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ! " #
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Análogamente: =/8Ð Ñ œ =/8Ð Ñ! " #
-9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ-9=Ð Ñ =/8Ð Ñ=/8Ð Ñ! " # ! " # ! " #
œ -9=Ð Ñ-9=Ð Ñ =/8Ð Ñ=/8Ð Ñ# # # #
œ Ò-9= Ð Ñ =/8 Ð ÑÓ œ "# ## #
,Ñ ˜ SEF Ä œ! " # ! " # 1, , los ángulos del -9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ œ "! " # 1
#&Ñ Dados los puntos :
B A B+Ñ EÐ$ß #ß "Ñß Ð "ß &ß (Ñ ,Ñ Ð #ß %ß &Ñß Ð "ß $ß &Ñ→ → → →
-Ñ EÐ #ß &ß (Ñß FÐ$ß &ß *Ñ→ →
3 Ñ Encuentre las ecuaciones, vectoriales, simétricas y paramétricas de las
rectas que pasan por y son paralelas a la direccion dada por→ →E F
33Ñ Encuentre las ecuaciones , vectoriales , simètricas y
paramétricas de las rectas pasan por y À E F→ →
333Ñ Encuentre los cosenos directores de cada una de las rectas en y 3Ñ 33Ñ
3@Ñ Encuentre un conjunto de números directores para cada una de las rectas en 3Ñ
Solución.
3Ñ +Ñ EÐ$ß #ß "Ñß FÐ "ß &ß (Ñ À T œ E > † F→ →→ → →
ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß #ß "Ñ >Ð "ß &ß (Ñ
,Ñ Ð #ß %ß &Ñß Ð "ß $ß &Ñ À T œ E > † F A B → → → →→
ÐBß Cß DÑ œ Ð #ß %ß &Ñ >Ð "ß $ß &Ñ
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-Ñ EÐ #ß &ß (Ñß FÐ$ß &ß *Ñ à T œ E > † F → →→ → →
ÐBß Cß DÑ œ Ð #ß &ß (Ñ >Ð$ß &ß *Ñ
33Ñ +Ñ EÐ$ß #ß "Ñß FÐ "ß &ß (Ñ à T œ E > † F→ →→ → →
⎯→FE œ Ð "ß &ß (Ñ Ð$ß #ß "Ñ œ Ð %ß #ß 'Ñ
ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß #ß "Ñ >Ð %ß #ß 'Ñ
Ec. ParámetricasB œ $ %>ß C œ # #>ß D œ " '>
Ec. SimétricasB$ D "% # '
C #œ œ
,Ñ Ð #ß %ß &Ñß Ð "ß $ß &Ñ À A B→ →
→ → ⎯→ ⎯→T œ E > † FE à FE œ Ð "ß $ß &Ñ Ð #ß %ß &Ñ œ Ð"ß "ß "!Ñ
ÐBß Cß DÑ œ Ð "ß $ß &Ñ >Ð"ß "ß "!Ñ
#' Ñ T Ð #ß $ß "Ñß T Ð$ß #ß "ÑUna recta pasa por con→ →
1 #
dirección positiva de a :→ →T T1 2
+Ñ Encuentre un conjunto de números directores para la linea
de a → →T T1 2
,Ñ Encuentre los cosenos directores de la linea LT T" #
Solución. +Ñ T œ T > T T
→ → ⎯→" " #
ÐBß Cß DÑ œ Ð #ß $ß "Ñ >Ð&ß &ß #Ñ
B œ # &>ß C œ $ &>ß D œ " #>
B# D "& & #
C$œ œ ß &ß &ß #números directores:
,Ñ T œ Ð&ß &ß #Ñ œ #*¸ ¸ ¸ ¸ È⎯→P" #
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-9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ œ ß -9=Ð Ñ œ! " #& & #
#* #* #*È È È
#(Ñ E œ Ð!ß "ß &Ñß F œ Ð "% ß &ß "Ñ Sea → → È
Calcular : , , Calcular : ·3Ñ E F 33Ñ E F¸ ¸ ¸ ¸→ →→ →
Calcular el ángulo entre y 333Ñ E F→ →
Solución. 3Ñ E œ ! " #& œ #'¸ ¸ È È→
¸ ¸ È È→F œ "% #& " œ %!
33Ñ E F œ Ð!ß "ß &Ñ Ð "% ß &ß "Ñ œ ! Ð "% Ñ " & & " œ "!→ →
· · · · ·È È333Ñ E F œ E F -9=Ð Ñ Ä -9=Ð Ñ œ œ œ !ß $"!!)(
→ →→ →· ¸ ¸ ¸ ¸ ) )
→ →→ →E F "!
E F #' %!
· ¸ ¸ ¸ ¸ È È
) œ +<- -9=Ð!ß $"!!)(Ñ œ "ß #&&&" <+.
#)Ñ T œ Ð"ß "ß "ÑCual de los siguientes vectores son paralelos a ?→
3Ñ Ð#ß #ß #Ñ 33Ñ Ð#ß #ß #Ñ 333Ñ Ð #ß #ß #Ñ
3@Ñ Ð"ß #ß #Ñ @Ñ Ð ß ß Ñ" " "# # #
Solución. 3Ñ Ð#ß #ß #Ñ œ #Ð"ß "ß "Ñ
33Ñ Ð#ß #ß #Ñ œ >Ð"ß "ß "Ñ Ç # œ #>ß # œ >ß # œ >" œ >ß # œ >ß # œ > Ä Ã
No son paralelos
333Ñ Ð #ß #ß #Ñ œ >Ð"ß "ß "Ñ Ç > œ #ß > œ #ß > œ # Ä Ã No son paralelos
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3@Ñ Ð"ß #ß #Ñ œ >Ð"ß "ß "Ñ Ç > œ "ß > œ #ß > œ # Ä ÃNo son paralelos
@Ñ Ð ß ß Ñ œ >Ð"ß "ß "Ñ Ç > œ ß > œ ß > œ " " " " " "# # # # # #
Son paralelos
#*Ñ +Ñ / œ Ð"ß !ß !Ñ Encuentre todos los vectores que son ortogonales con "
,Ñ Encuentre todos los vectores que son ortogonales a→ →E y a E1 œ Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß "ß !Ñ#
Solución. +Ñ ÐBß Cß DÑ † Ð"ß !ß !Ñ œ ! Ä B œ !ß C œ Cß D œ D
Luego son ortogonales con todos los vectores de la/ œ Ð"ß !ß !Ñ"
forma:
Ð!ß Cß DÑ œ CÐ!ß "ß !Ñ DÐ!ß !ß "Ñ a C ß D − ß Cß D Á !‘
,Ñ ‚ œ Ð"ß !ß "Ñ ‚ Ð!ß "ß !Ñ ¼ C E E E E→ → → →
1 1# #
→ →E E · · ·1 ‚ œ#
â ââ ââ ââ ââ ââ â º º º º º º→ → →
→ → →3 4 5" ! "! " !
œ 3 4 5! " " " " !" ! ! ! ! "
→ →E E · · ·1 ‚ # œ 3 Ð "Ñ 4 ! 5 " œ Ð "ß !ß "Ñ
→ → →
$!Ñ +Ñ œ Ð"ß #ß "Ñ Encuentre un vector no nulo que sea ortogonal a B→
Encuentre un vector no nulo que sea ortogonal a,Ñ
y → →F œ Ð"ß #ß "Ñ G œ Ð "ß !ß $Ñ
Solución. ·+Ñ ÐBß Cß DÑ Ð"ß #ß "Ñ œ ! Ä B #C D œ !
B œ D #C C œ C ß D œ D , Luego los vectores de la forma:
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ÐD #Cß Cß DÑ œ CÐ #ß "ß !Ñ DÐ"ß !ß "Ñ a Cß D − ß Cß D Á !‘
son ortogonales con B→
œ Ð"ß #ß "Ñ
,Ñ F ‚ G œ→ →
â ââ ââ ââ ââ ââ â→ → →3 4 5" # "
" ! $
œ 3 4 5# " " " " #! $ " $ " !
→ → →· · ·º º º º º º- -
- -
œ 3 ' 4 # 5 # · · · → → →
œ Ð'ß #ß #Ñ
es ortogonal a :→ →F ‚ G œ Ð'ß #ß #Ñ
y → →F œ Ð"ß #ß "Ñ G œ Ð "ß !ß $Ñ
$"Ñ œ Ð$ß &ß (Ñ F œ Ð"ß #ß $Ñ Dado A y → →
Encuentre la proyección de A sobre B , de B sobre ASolución.
→ →E œ Ð ÑF œ Ð"ß #ß $Ñ→
F
→ →→ →E F )
F F "%··
·→ →E F œ Ð$ß &ß (Ñ † Ð"ß #ß $Ñ œ $ "! #" œ )
→ →F F œ Ð"ß #ß $Ñ † Ð"ß #ß $Ñ œ " % * œ "%·
→ →F œ Ð ÑE œ Ð$ß &ß (Ñ→
E
→ →→ →E F )
E E )$··
$#Ñ à Sean
U , , U , , U , , ⎯→
" # $" " " " " # " "
$ $ $ ' ' ' # #œ Ð Ñß œ Ð Ñß œ Ð !ÑÈ È È È È È È È
P.D. que son ortogonales dos a dos y que cada uno+Ñ es un vector unitario,Ñ / œ Ð"ß !ß !ÑßEncuentre la proyección de sobre U , U , U→ → → →
1 1 2 3
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SoluciónÞ E œ Ð+ß ,ß -Ñ E œ + , -→ →¸ ¸ È # # #
3Ñ † œ Ð ÑÐ Ñ œ œ !→ →U U , , , , " #
" " " " " # " " #
$ $ $ ' ' ' ") ") ")È È È È È È È È È
U U , , , , → →
" $" " " " " " "
$ $ $ # # ' '† † œ Ð ÑÐ !Ñ œ ! œ !È È È È È È È
→ →U U , , , , # $
" " # " " # #
' ' ' # # ' 'œ Ð ÑÐ !Ñ œ ! œ ! È È È È È
¸ ¸ ¸ ¸É É ÉÉ→ →U U"
" " " $ " " % '$ $ $ $ ' ' ' '#œ œ œ "ß œ œ œ "
¸ ¸ É É→U $
" " ## # #œ œ œ "
→ →→ →/ œ Ð Ñ / œ ÒÐ"ß !ß !Ñ Ð ÑÓÐ Ñ→
U
1E · U · , , , ," ""
" " " " " "
$ $ $ $ $ $È È È È È Èœ Ð Ñ œ Ð ß ß Ñ" " " " " " "
$ $ $ $ $ $ $È È È È, ,
→ →→ →/ œ Ð Ñ / œ ÒÐ"ß !ß !Ñ Ð ÑÓÐ ß ß→
U
#
E · U · , , )" # "" " # " " #
' ' ' ' ' 'È È È È È Èœ Ð Ñ œ Ð ß ß Ñ , , # " " # " " "
' ' ' ' ' ' ' È È È È
→ → →→/ œ Ð / Ñ / $ œ ÒÐ"ß !ß !Ñ Ð !ÑÓÐ !Ñ→
U
$" $
" " " "
# # # #· U · , , , , È È È È
œ Ð ß !Ñ œ Ð ß ß !Ñ" " " " "
# # # # # È È È ,
-Ñ À œ Ð+ + + ÑEncuentre la proyecciòn de A , , →
" $#
sobre U U , Uà ß Þ1 2 3
→ →E œ Ð ÑFÞ→
F
→ →→ →E F
F F
··
Si es ·→ → →→ →F ?83>+<39 E œ ÐE FÑFÒ →
F
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Prof. P. Guzmán S.
→ → →U , U , U son .1 2 3 ?83>+<39=
→A [ , , · , , ] , ,→
U
1œ Ð+ + + Ñ Ð Ñ Ð Ñ" $
" " " " " "
$ $ $ $ $ $# È È È È È È
, ,œ Ð Ñ œ Ð"ß "ß "ÑE U
+ + + + + +
$ $ $ $
" " "$
1 12 3 2 3È È È È →→
$
œ ÒÐ+ + + Ñ Ð !ÑÓÐ !Ñ" $" " " "
# # # #, , · , , , ,
#
È È È È , , œ Ð !Ñ œ Ð"ß "ß !Ñ + + + +
# # #
" "#
1 12 2È È È
$$Ñ +Ñ E F − Si , , demuestre que:→ →
‘$
·¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸→ → →→ → →E F œ E F #ÐE FÑ
# # #
Si , , , ,Ñ ÐE FÑ œ E F œ G G œ -t )→ →→ → → →¸ ¸
Entonces · · · : (Teorema del coseno )À - œ + , # + , -9=Ð Ñ# # # )
+Ñ E F œ ÐE FÑ ÐE FÑ œ E ÐE FÑ F ÐE FѸ ¸→ → → → → →→ → → → → →# · · ·
¸ ¸→ → → → →→ → → → →E F œ E E E F F E F F
# · · · ·
¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸→ → →→ → →E F œ E F #ÐE FÑ
# # # ·
· ,→ → →→ → →E F œ E F -9= ÐE FѸ ¸¸ ¸ t
· · ·- œ + , # + , -9=Ð Ñ# # # )
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$%Ñ +Ñ EÐ #ß $ß "Ñ FÐ$ß #Þ"Ñ Una linea pasa por , .Encuentre la distancia del punto a la lineaß GÐ$ß #ß "Ñque pasa por y E F
Encuentre el coseno del angulo de la recta que pasa,Ñ
por y⎯→ ⎯→SE SF Þ
+Ñ
Solución. +Ñ P À T œ E > † EFEF
→ → ⎯→
ÐBß Cß DÑ œ Ð #ß $ß "Ñ >Ð&ß &ß #Ñ
Los puntos de L son de la formaEF
ÐBß Cß DÑ œ Ð # &>ß $ &>ß " #>Ñ
La distancia de C a un punto P de la recta L esÐBß Cß DÑ EF
. œ ÐB $Ñ ÐC #Ñ ÐD " ÑT# # #È
. œ Ð # &> $Ñ Ð$ &> #Ñ Ð " #> " ÑT# # #È
33
Prof. P. Guzmán S.
. œ Ð & &> Ñ Ð" &> Ñ Ð # #> ÑT# # #È
La distancia CD lo cual es equivalente a encontrar elœ Q38Ö. ÎT − P ×T EF
valor de que hace que sea mínimo.> .T
. œ Ð & &> Ñ Ð" &> Ñ Ð # #> ÑT# # # #
D D> T >#T TÒ . Ó œ #. † Ò . Ó œ "!Ð & &> Ñ "!Ð" &> Ñ %Ð # #> Ñ
D> T"!Ð&&> Ñ"!Ð"&> Ñ%Ð##> Ñ
#.Ò . Ó œT
D> T"!Ð&&> Ñ"!Ð"&> Ñ%Ð##> Ñ
#.Ò . Ó œ ! Ç œ !T
Ç "!Ð & &> Ñ "!Ð" &> Ñ %Ð # #> Ñ œ !
"!)> &! "! ) œ ! Ä > œ œ') "("!) #(
Luego CD œ Ð & & † Ñ Ð" & † Ñ Ð # # † ÑÉ "( "( "(#( #( #(
# # #
œ )ß ''#"#% ? ./ 6981ÞÈ,Ñ Encuentre el coseno del angulo de la recta que pasa
por y⎯→ ⎯→SE SF
EÐ #ß $ß "Ñ FÐ$ß #Þ"Ñ, ⎯→ ⎯→SE † SF œ ' ' " œ "$
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Prof. P. Guzmán S.
¸ ¸ È È⎯→SE œ % * " œ "%
¸ ¸ È È⎯→SF œ * % " œ "%
⎯→ ⎯→⎯→ ⎯→SE † SF œ SE † SF † -9=Ð Ñ Ä -9=Ð Ñ œ¸ ¸ ¸ ¸ ) )
⎯→ ⎯→⎯→ ⎯→SE † SF
SE † SF¸ ¸ ¸ ¸-9=Ð Ñ œ) "$
"%
$&Ñ À "ß #ß " Una linea L tiene números directores y otra1 linea L tiene números directores2 À "Þ #ß #Determine un conjunto de números directores para unalinea que es a L y a L .:¼ " 2
Sean números directores de la recta L que es L y a L+ß ,ß -ß ¼ " 2
· · ·+ " # , " - œ ! Ä + #, œ -" + # , # - œ ! Ä + #, œ #-· · ·
#+ œ $- Ä + œ $-#
', œ $- Ä , œ -"#- œ -
Si forman un conjunto de números directores de una recta- œ #à $ß "ß #L que es L y a L¼ " 2
$'Ñ Dadas las lineas
+Ñ œ Ð!ß "ß "Ñ >Ð $ß %ß &Ñà U œ Ð!ß "ß "Ñ =Ð%ß $ß #Ñ→ →P
¿ Se intersectan ?,Ñ œ Ð"ß &ß #Ñ >Ð $ß %ß !Ñà U œ Ð$ß "$ß "Ñ >Ð%ß !ß "Ñ P
→ →
¿ se intersectan ?Solución.+Ñ œ Ð!ß "ß "Ñ >Ð $ß %ß &Ñ U œ Ð!ß "ß "Ñ =Ð%ß $ß #Ñ
→ →P
B! D " B! >" D"$ % & % $ #
C "œ œ œ œ
ÐBß Cß DÑ œ Ð $>ß " %>ß " &>Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß "Ñ =Ð%ß $ß #Ñ
ÐBß Cß DÑ œ Ð $>ß " %>ß " &> ÐBß Cß DÑ œ Ð%=ß " $=ß " #=Ñ
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Prof. P. Guzmán S.
B œ $> B œ %= Ä $> œ %=C œ " %> C œ " $=D œ " &> D œ " #=
" %> œ " $= Ä %> œ $= # Ä > œ $= #% %
" &> œ " #= Ä &> œ #= # Ä > œ #=#&
Ä œ Ä "&= "! œ )= )$= # #=#% % &
(= œ ") Ä = œ ")(
> œ † œ œ œ$ ") # #( " #! "!% ( % "% # "% (
$ œ % Ä Ã"! ")( ( No se intersectan
$(Ñ ÐB C D Ñ ÐB C D Ñ Sean los puntos P , , y P , ,→ →
1 " " " # ## #
Demuestre que si À P es el punto medio de P P , entonces se tiene que→
0 21œ ÐB ß C ß D Ñ À! ! !
B œ C œ D œ! !!
# # , , B B D D# # #
C C1 22 1
T T
T T" !
! #œ Ä-
ÐB B ß C C ß D D Ñ œ ÐB B ß C C ß D D Ñ! " ! " ! " # ! # ! # !-B B œ ÐB B Ñß C C œ ÐC C Ñ ß! " # ! ! " # !- -
D D œ ÐD D Ñ! " # !-W3 œ "-B B œ B B ß C C œ C C ß D D œ D D! " # ! ! " # ! ! " # !
#B œ B B ß #C œ C C #D œ D D! " # ! " # ! " #
B œ ß C œ ß D œ! ! !B B D D
# # #C C" # " #" #
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Prof. P. Guzmán S.
$)Ñ œ Ð"ß $ß "Ñ >Ð!ß $ß &Ñà P.D. que la linea P está totalmente→
contenida en el plano .à #B &C $D œ "'
Solución. P →
œ Ð"ß $ß "Ñ >Ð!ß $ß &Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß $ $>ß " &>Ñ
B œ "ß C œ $ $>ß D œ " &>
remplazando en la ecución del plano se tiene:
# † " & † Ð$ $>Ñ $ † Ð " &>Ñ œ "' # "& "&> $ "&> œ "'
"' œ "' >se cumple para todo
$*Ñ Encuentre la ecuación del plano que es perpendicular en elpunto medio del segmento de recta que une los puntos ;
T Ð #ß $ß "Ñß T Ð%ß $ß $Ñ" #
Solución. coordenadas del punto medioU œ Ð"ß !ß "Ñ Números directores de
LT T" #à ' ß ' ß %
P à B "ß Cß D "LU
LT T LU" #¼ P Ç 'ÐB "Ñ 'C %ÐD "Ñ œ !
'B 'C %D "! œ !
$B #C #D & œ !Ecuación del plano pedido
37
Prof. P. Guzmán S.
%!ÑDetermine las ecuaciones simétricas de la linea deintersección de los planos
, +Ñ $B C D # œ ! B #C D % œ ! , ,Ñ $B C & œ ! C D " œ !
Solución. $B C D # œ ! B #C D % œ ! Ä (B $D œ ! Ä œ D(B
$
(C #D "% œ ! Ä œ Dß D œ D(C"%#
(B B ! D !$ # "
(C "% C #œ œ D Ä œ œ$ #( (
, ,Ñ $B C & œ ! C D " œ !
Solución.$B C & œ ! Ä C " œ $B % œ $ÐB Ñ%$
C "$ "
Bœ
%$
C D " œ ! Ä C " œ D Ä œC "$ $
D
B
" $ $C" D !
%$ œ œ
$B C & œ ! Ä $B C $ # œ ! Ä $ÐB "Ñ œ ÐC #Ñ
ÐB"Ñ ÐC#Ñ" $œ
C D " œ ! Ä C # œ D " Ä œC#$ $
D "
ÐB"Ñ ÐC#Ñ" $ $
D "œ œ
38
Prof. P. Guzmán S.
%"Ñ Escriba la ecuación del plano que es perpendicular a la lineade intersección de los planos À , $B C D # œ ! B #C D % œ !
y que contiene al punto UÐ"ß ß #ß "Ñ
Solución. Ecuación de la linea de intersección:
$B C D # œ ! Ä $B C œ D #
B #C D % œ ! Ä B #C œ D %
Ä (B œ $D Ä B D$ (œ
Ä (C œ #D "% Ä (ÐC #Ñ œ #D Ä œC## (
D
B ! D !$ # (
C #œ œ À Ecuación de la linea de intersección
números directores de LB "ß C # ß D ( UT
ÐB "Ñ † Ð $Ñ ÐC #Ñ † # ÐD "Ñ † ( œ ! Ec. del plano pedido
$B #C (D $ % ( œ !
$B #C (D ' œ !
39
Prof. P. Guzmán S.
%#Ñ T Ð"ß #ß "Ñ UÐ#ß "ß $Ñ Un plano (H) pasa por y y esperpendicular al plano À $B #C $D ' œ !Þ
Encuentre su ecuación.
Sean : , , números directores de la normal N al plano (H)E F G "
6?/19 R † R œ ! Ç $ † E # † F $ † G œ !"
P ¼ P Ç " † E F # † G œ !TU R"
Sea un punto cualquiera de (H)XÐBß Cß DÑ
Números directores de LXU À B #ß C "ß D $
P ¼ P Ç EÐB #Ñ FÐC "Ñ GÐD $Ñ œ !XU R"
Se tiene: 3Ñ $ † E # † F $ † G œ ! 33Ñ " † E F # † G œ !
333Ñ EÐB #Ñ FÐC "Ñ GÐD $Ñ œ !
______________________________________
$ † E # † F œ $ † G EF œ # † G Ä &E œ (G Ä E œ G(
&
Ä &F œ $G Ä F œ G$&V//7:6+D+8.9 333Ñ
( $& &GÐB #Ñ GÐC "Ñ GÐD $Ñ œ !
( ÐB #Ñ $ÐC "Ñ &ÐD $Ñ œ ! (B $C &D % œ ! Ecuación pedida
40
Prof. P. Guzmán S.
%$Ñ ÐT Ñ À $B C & œ ! ÐT Ñ À C D " œ ! Sea " #
Encuentre la ecuación de un plano que pasa por la linea¼ de de ambos planos y que contenga al punto Ð"ß #ß "Ñ
Solución. ÐT Ñ À $B C & œ ! Ä C # œ $B $"
ÐT Ñ À C D " œ ! Ä C # œ D "#
C # œ $B $ œ D " C # œ $ÐB "Ñ œ ÐD "Ñ
L: ecuación de la linea de de ambos planosC #" "
B " D "
œ œ "$
Números directores de L: , " ß ""$
Sea (H) el plano pedido, se tiene entonces que si A;B;C son númerosdirectores de la normal a (H) se debe tener que si es un puntoXÐBß Cß DÑcualquiera de (H) la recta L es ortogonal a la linea de intersección de losUX
planos , luego se debe tener que:
L LUX"$¼ Ç "ÐB "Ñ ÐC #Ñ "ÐD "Ñ œ !
en que: , . Números directores de L" ß ""$
, , Números directores deLÐB "Ñ ÐC #Ñ ÐD "Ñ UX
Luego: es la ecuación pedida.B C $D # œ !
%%Ñ $B %C *D ## œ ! ß PDecida si el plano contiene a "
P À œ œ"B! D #" $ "
C "
Solución. B œ >ß C œ " $>ß D œ # >
$> %Ð " $>Ñ *Ð # >Ñ ## œ !
$> % "#> ") *> ## œ !
$> "#> *> % ") ## œ !! œ !
La recta pertenece al plano
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%&Ñ Encuentre la ecuacion del plano que pasa por À TÐ #ß $ß "Ñ ß UÐ%ß $ß $Ñß VÐ"ß "ß "ÑSolución.
3Ñ UX UT UVSi los vectores , , , están en el mismo plano el volumen⎯→ ⎯→ ⎯→
del sólido que tiene como lados ayacentes a esoso vectores es nulo.
¸ ¸ ⎯→ ⎯→ ⎯→UX † Ð UT ‚ UV Ñ œ !
⎯→ ⎯→ ⎯→UX † Ð UT ‚ UV Ñ œ œ !
B % C $ D $' ' % $ % #
â ââ ââ ââ ââ ââ ✠ÐB %Ñ ÐC $Ñ ÐD $Ñ œ !
' % ' % ' '% # $ # $ %º º º º º º
œ %ÐB %Ñ ÐC $ч! 'ÐD %Ñ œ !
œ %B 'D ) œ ! Ä #B $D # œ !
33Ñ EB FC GD H œ !La ecuación pedida es de la forma: Las coordenadas de deben satisfacer esa ecuaciónÀ T ß UßV
+Ñ #B $C "D H œ ! ,Ñ %B $C $D H œ ! -Ñ E F G H œ !
Se resuelve el sistema en términos deH
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%'Ñ P À œ œSean "B ! D #
" $ "C "
P À œ œ#B ! D "
# #C #
6 -
3Ñ $B %C *D ## œ ! PDecida si el plano: contiene a "
33Ñ P PDecida si y son paralelas" #
333Ñ P PEncuentre la distancia entre y " #
Solución. L3Ñ à B œ >ß C œ " $>ß D œ # >Þ > −" ‘
$B %C *D ## œ !$> % "#> ") *> ## œ !
*> *> ## ## œ ! Ä ! œ !Luego L está en el plano"
33Ñ =33L es paralela a L sus números directores son proporcionales" #
Luego son paralelas" $ "# ' #œ œ à
333Ñ Ð>ß " $>ß # >Ñß > œ "Sea T un punto de L"
Ð"ß #ß $Ñ − P"
El problema se reduce a calcular la distancia de Ð"ß #ß $Ña la recta P"
%(Ñ +Ñ A ß @ œ Ð"ß #ß "Ñ Encuentre un vector no nulo ortogonal a → →
,Ñ A ß à Encuentre un vector ortogonal a →
y a → →@ œ Ð "ß #ß "Ñ A œ Ð "ß ! ß $ÑSolución. +Ñ ÐBß Cß DÑ ¼ Ð"ß #ß "Ñ Ç ÐBß Cß DÑ † Ð"ß #ß "Ñ œ !
B #C D œ ! Ä B œ #C D ß C œ C ß D œ DÞLuego los vectores de la forma:
son Ð #C Dß Cß DÑ a Cß D Á !ß Cß D − ¼ @ œ Ð"ß #ß "Ñ‘ →
ÐBß Cß DÑ ¼ Ð"ß #ß "Ñ Ç B #C D œ ! Ä B #C œ D,Ñ ÐBß Cß DÑ ¼ Ð "ß ! ß $Ñ Ç B $D œ ! Ä B œ $Dß C œ D
Ð$Dß Dß DÑ aß D Á !ß D − ¼ @ ß A‘ son → →
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%)Ñ ÐT Ñ À #B $C 'D "# œ ! Dados los planos: ÐUÑ À %B 'C "#D * œ !
3Ñ Encuentre un conjunto de números directores para la recta normal a cada plano.
33ÑDecida si estos planos son paralelos, en caso afirmativo calcule la distancia entre los planos
Solución.Sean: R œ 89<7+6 +6 :6+89 T ß R œ 89<7+6 +6 :6+89 TÐTÑ ÐTÑ
3Ñ R À #ß $ß 'ß R À %ß 'ß "#ÐTÑ ÐUÑ
R Ñ œ #R ßÐUÑ ÐTÑ Son planos paralelos
Sea 33Ñ #B $C 'D "# œ ! Ä #B œ $C 'D "# B œ C $D '$
#
Si C œ #ß D œ "ß Ä B œ $ $ ' œ !
Luego . El problema se reduce a calcular la distancia delÐ!ß #ß "Ñ − ÐT Ñpunto al plano (P)Ð!ß #ß "Ñ
%*ÑEncuentre las ecuaciónes ( Vectorial, Simétricas, Paramétricas ) de las rectas que pasan porÞ
3Ñ œ Ð"ß "ß "Ñ à œ Ð"ß %ß &Ñ A y que es // a la dirección dada por B→ →
33Ñ U œ Ð*ß #ß " Ñ G œ Ð%ß "ß #Ñ→ →
y pasa por 333Ñ ¿ Se intersectan estas rectas?Solución. A Ecuación vectorial3Ñ T œ >F
→ →→
ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß "ß "Ñ >Ð"ß %ß &Ñ
B œ " >ß C œ " %>ß D œ " &> Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones simétricasB" D"" % &
C"œ œ
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Ecuación vectorial33Ñ T œ U >UG⎯→ → ⎯→
ÐBß Cß DÑ œ Ð*ß #ß " Ñ >Ð &ß "ß "Ñ
B œ * &>ß C œ # > ß D œ " > Ecuaciones paramétricas
B* D"& " "
C#œ œ Ecuaciones simétricas
&!Ñ Encuentre un vector normal a cada plano y encuentre un punto P en cada uno de ellos!
3Ñ ÐT Ñ À B C D œ " 33Ñ ÐUÑ À #B $C D œ # 333Ñ ÐX Ñ À ÐB #Ñ $Ð C &Ñ %ÐD "Ñ œ !Solución.3Ñ E œ Ð"ß "ß "Ñ ÐT Ñß es normal a
→
B C D œ " Ä B œ C D "ß C œ Cß D œ D
Si C œ "ß D œ "ß T œ Ð "ß "ß "Ñ − ÐT Ñ→
!
33Ñ F œ Ð#ß $ß "Ñß ÐUÑß⎯→
es normal a
U À #B $C D œ # Ä D œ #B $C # B œ Bß C œ C,
Si B œ "ß C œ "ß T œ Ð"ß "ß $Ñ − ÐUÑ→
!
333Ñ F œ Ð"ß $ß %Ñ ÐX Ñß⎯→
es normal a
ÐX Ñ À ÐB #Ñ $Ð C &Ñ %ÐD "Ñ œ ! B $C %D #" œ ! Ä B œ $C %D #"ß C œ Cß D œ D
Si C œ "ß D œ "ß Ð##ß "ß "Ñ − ÐX Ñ
&"Ñ T œ Ð #ß %ß 'Ñ >Ð"ß #ß $Ñ ß U œ Ð #ß %ß 'Ñ >Ð$ß #ß "Ñß Las lineas:→ →
se intersectan en un punto.Encuentre la ecuación del plano que contiene a las dos líneas.
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Solución. El punto de es , se obtiene cuando Ð #ß %ß 'Ñ > œ !Þ
Un punto sobre , →T œ Ð #ß %ß 'Ñ >Ð"ß #ß $Ñ > œ "ÐBß Cß DÑ œ Ð "ß 'ß *Ñ
Un punto sobre ß U œ Ð #ß %ß 'Ñ >Ð$ß #ß "Ñß > œ "→
ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß 'ß (ÑEl problema se reduce a encontrar la ecuación del plano que pasa por trespuntos. , , TÐ #ß %ß 'Ñ UÐ "ß 'ß *Ñ VÐ"ß 'ß (Ñ
&#Ñ ¼ Encuentre la ecuación de un plano a la línea determinadapor y que pasa por el puntoTÐ #ß #ß "Ñß UÐ%ß $ß $Ñ
medio del trazo TU ÞSolución.T œ TU œ Ð"ß ß "Ñ!
"#pto. medio de
Sea (P) el plano pedido À
números ditrectores de la normal al plano pedido À "ß &ß %
Sea un punto cualquiera de la linea LXÐBß Cß DÑ ÐT Ñ − ÐT ÑT X!
números directores de L : T X"#!
B "ß C ß D "
Luego: " † ÐB "Ñ † ÐC Ñ " † ÐD "Ñ œ !" "# #
B C D " " œ !" "# %
%B #C %D " œ ! ÐT ÑEc. del plano
&$Ñ Encuentre el área del paralelogramo que tiene como lados aydacentes a los vectoresà
y 3Ñ E œ Ð "ß #ß !Ñ G œ Ð #ß "ß "Ñ→ →
33Ñ E œ Ð $ß #ß "Ñ ß F œ Ð &ß %ß &Ñ ß G œ Ð &ß &ß )ÑSean→ → →
Encuentre el volumen del paralelepípedo que tiene lados:
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⎯→ ⎯→ ⎯→EF EH C EG ß,
→ → →→E œ Ð $ß #ß "Ñ ß F œ Ð & %ß &Ñß G œ Ð &ß &ß )Ñß H œ Ð &ß (ß *Ñ
Solución.
--
→ →→ → →
E ‚ G œ3 4 5" # !# " "
â ââ ââ ââ ââ ââ ✠3 4 5
# ! " ! " #" " # " # "
→ → →· · ·º º º º º º
œ # 3 4 & 5 œ Ð#ß "ß &Ñ·→ → →
E œ Ð#ß "ß &Ñ œ % " #& œ $!ò
¸ ¸ È È u. de área
33Ñ EF œ Ð#ß 'ß %Ñß EH œ Ð #ß *ß )Ñß EG œ Ð)ß $ß (Ñ⎯→ ⎯→ ⎯→
⎯→ ⎯→ ⎯→EF EH ‚ EG Ñ œ œ "#' #% $)% #)) %) )%
# ' %# * )) $ (
·Ð
â ââ ââ ââ ââ ââ â-
- - -
œ $()
Z œ EF EH ‚ EG Ñ œ $() œ $()¸ ¸ ¸ ¸⎯→ ⎯→ ⎯→·Ð u. de volumen
&%Ñ 3Ñ ÐX Ñ ¼ Encuentre la ecuación de un plano a la línea determinada por y que pasaTÐ #ß "ß "Ñß UÐ%ß $ß $Ñ
por el punto medio del trazo TU Þ
33Ñ À Encuentre la ecuación del plano que pasa por sol: TÐ #ß $ß "Ñß UÐ%ß $ß $Ñß VÐ"ß "ß "Ñ #B $D " œ !
333Ñ Encuentre el ángulo formado por PQR. sol : º 't ÐTUVÑ œ ) "#Solución. Sea el plano pedidoÐX Ñ
Números directores de la linea normal al plano(T) LTU À 'ß #ß #
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T œ :>9Þ7/.39 ./ TU œ Ð"ß #ß #Ñ!
Sea TÐBß Cß DÑ − ÐX Ñß P − ÐX ÑßTT!
Números directores de : P B "ß C ß D "TT"#!
Luego: 'ÐB "Ñ #ÐC #Ñ #ÐD #Ñ œ !
'B #C #D ' œ !
&&Ñ À T Ð"ß #ß "Ñß UÐ "ß #ß $Ñ Dados los puntos3Ñ Encuentre la ecuación de la esfera que tiene como diámetro
al segmento PQ,
Escriba las ecuaciones de la recta que pasa por P Q,33Ñ Cdirección positiva de P a Q.
333Ñ Encuentre la ecuación del plano que es tangente a la esfera en el punto TÐ"ß #ß "ÑSolución.
punto medio de PQ3Ñ S œ Ð!ß #ß #Ñ
.ÐSß T Ñ œ V œ " ! " œ #È È
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.Ð!ß X Ñ œ ÐB !Ñ ÐC #Ñ ÐD #Ñ œ #È È# # #
B C %C D %D ' œ !# # #
33Ñ L œ T > TU ß TU œ U T œ Ð #ß !ß "Ñ→ → →⎯→ ⎯→ →
ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß "Ñ >Ð #ß !ß "Ñ
333Ñ À "ß !ß " Números directores de L"
Números directores deP À B !ß C #ß D ##
P ¼ P Ç " † ÐB !Ñ ! † ÐC #Ñ " † ÐD #Ñ œ !" #
B D # œ ! Ecuación pedida.
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