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Ejemplos de cálculo de la forma canónica de Jordan

Objetivo: aprender a calcular la forma canónica de Jordan a partir de la dimensiones de los subespacios. Sin calcular la matriz de cambio de base. En otro cuaderno aprenderemos a calcular la matriz de cambio de base.

Teorema de descomposición de Jordan

La siguiente proposición introduce la noción de subespacios generalizados, así como el número de bloques de Jordan jk de tamaño k Jk(l)

Ejemplo 1. Matriz de 3x3.

In[60]:=Quit@D

n = 3;

2 Ejemplos JNF.nb

A = 880, 3, 1<, 82, -1, -1<, 8-2, -1, -1<<;

A êê MatrixForm

0 3 12 -1 -1-2 -1 -1

Polinomio característico

K@l_D = A - l IdentityMatrix@3D;

P = Det@K@lDD êê Factor

-H-2 + lL H2 + lL2

Raíces li con multiplicidades mi. Suma de multiplicidade algebraicas suman la dimensión 3.

l1 = 2; m1 = 1; l2 = -2; m2 = 2;

Vector propio asociado a l1

ü Raíz l1=2. Simple.

K1 = K@l1D

88-2, 3, 1<, 82, -3, -1<, 8-2, -1, -3<<

d1 = n - MatrixRank@K1D

1

Un sólo bloque de Jordan 1x1

H2)

Ejemplos JNF.nb 3

ü Raíz l2=-2. Doble.

K2 = K@l2D

882, 3, 1<, 82, 1, -1<, 8-2, -1, 1<<

d1 = n - MatrixRank@K2D

1

Un único valor propio. La única posiblidad es un bloque de Jordan del tipo:

K-2 10 -2 O

Forma canónica de la matriz:

2 0 00 -2 10 0 -2

.

Verifiquemos:

jnf = JordanDecomposition@AD;Part@jnf, 2D êê MatrixForm

-2 1 00 -2 00 0 2

Ejemplo 2. Matriz de 3x3.

Quit@D

4 Ejemplos JNF.nb

n = 3;

A = 88-2, 1, -1<, 8-1, -1, 0<, 80, 1, -3<<;

A êê MatrixForm

-2 1 -1-1 -1 00 1 -3

Polinomio característico

K@l_D = A - l IdentityMatrix@3D;

P = Det@K@lDD êê Factor

-H2 + lL3

Una sóla raíz de multiplicidad 3.

l1 = -2; m1 = 3;

K1 = K@l1D;

d1 = n - MatrixRank@K1D

1

d2 = n - MatrixRank@K1.K1D

2

d3 = n - MatrixRank@K1.K1.K1D

3

Ejemplos JNF.nb 5

d4 = n - MatrixRank@K1.K1.K1.K1D

3

p = 3; d0 = 0;

j3 = d3 - d2

1

Un bloque de Jordan de tamaño 3. Aquí finalizaría el cálculo. Sin embargo continuemos:

j2 = d2 - d1 - j3

0

j1 = d1 - d0 - j2 - j3

0

La forma canónica de Jordan de la matriz A es:

-2 1 00 -2 10 0 -2

Verifiquemos:

jnf = JordanDecomposition@AD;Part@jnf, 2D êê MatrixForm

-2 1 00 -2 10 0 -2

Ejemplo 3. Matriz de 3x3.

6 Ejemplos JNF.nb

Ejemplo 3. Matriz de 3x3.

Quit@D

n = 3;

A = 88-2, 0, 1<, 80, -1, 0<, 8-1, 0, 0<<;

A êê MatrixForm

-2 0 10 -1 0-1 0 0

Polinomio característico

K@l_D = A - l IdentityMatrix@3D;

P = Det@K@lDD êê Factor

-H1 + lL3

l1 = -1; m1 = 3;

Vector propio asociado a l1

K1 = K@l1D;

d1 = n - MatrixRank@K1D

2

Ejemplos JNF.nb 7

d2 = n - MatrixRank@K1.K1D

3

d3 = n - MatrixRank@K1.K1.K1D

3

p = 2; d0 = 0;

j2 = d2 - d1

1

j1 = d1 - d0 - j2

1

Para la raíz l1=-1. Triple.

1 bloque de Jordan de tamaño 21 bloque de Jordan de tamaño 1.

Forma canónica de la matriz A:

-1 1 00 -1 00 0 -1

jnf = JordanDecomposition@AD;Part@jnf, 2D êê MatrixForm

-1 1 00 -1 00 0 -1

Ejemplo 4. Matriz de 3x3.

8 Ejemplos JNF.nb

Ejemplo 4. Matriz de 3x3.

Quit@D

n = 3;

A = 88-5ê2, 0, 1ê2<, 81ê2, -2, -1ê2<, 8-1ê2, 0, -3ê2<<;

A êê MatrixForm

- 52

0 12

12

-2 - 12

- 12

0 - 32

Polinomio característico

K@l_D = A - l IdentityMatrix@3D;

P = Det@K@lDD êê Factor

-H2 + lL3

ü Raíz l1=-2; Triple.

l1 = -2; m1 = 3;

K1 = K@l1D

::-12, 0,

12>, :

12, 0, -

12>, :-

12, 0,

12>>

Ejemplos JNF.nb 9

d1 = n - MatrixRank@K1D

2

d2 = n - MatrixRank@K1.K1D

3

d3 = n - MatrixRank@K1.K1.K1D

3

p = 2; d0 = 0;

j2 = d2 - d1

1

j1 = d1 - d0 - j2

1

Para l1=-2. Doble1 bloque de Jordan de tamaño 21 bloque de Jordan de tamaño 1.

Forma canónica de Jordan de la matriz A:

-2 1 00 -2 00 0 -2

Verifiquemos:

10 Ejemplos JNF.nb

jnf = JordanDecomposition@AD;Part@jnf, 2D êê MatrixForm

-2 0 00 -2 10 0 -2

Ejemplo 5. Matriz de 4x4.

Quit@D

n = 4;

A = 881, 0, 0, 0<, 82, 1, 0, 0<, 83, 4, 1, 0<, 85, 6, 7, 1<<;

A êê MatrixForm

1 0 0 02 1 0 03 4 1 05 6 7 1

Polinomio característico

K@l_D = A - l IdentityMatrix@4D;

P = Det@K@lDD êê Factor

H-1 + lL4

ü Raíz l1=1. Cuádruple.

l1 = 1; m1 = 4;

Ejemplos JNF.nb 11

K1 = K@l1D

880, 0, 0, 0<, 82, 0, 0, 0<, 83, 4, 0, 0<, 85, 6, 7, 0<<

d1 = n - MatrixRank@K1D

1

d2 = n - MatrixRank@K1.K1D

2

d3 = n - MatrixRank@K1.K1.K1D

3

d4 = n - MatrixRank@K1.K1.K1.K1D

4

d5 = n - MatrixRank@K1.K1.K1.K1.K1D

4

p = 4; d0 = 0;

j4 = d4 - d3

1

Para la raíz l1=1. Cuádruple.

Un bloque de Jordan de tamaño 4.

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

No hace falta seguir. Sin embargo:

12 Ejemplos JNF.nb

Para la raíz l1=1. Cuádruple.

Un bloque de Jordan de tamaño 4.

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

No hace falta seguir. Sin embargo:

j3 = d3 - d2 - j4

0

j2 = d2 - d1 - j3 - j4

0

j1 = d1 - d0 - j2 - j3 - j4

0

Verificamos

jnf = JordanDecomposition@AD;Part@jnf, 2D êê MatrixForm

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

Ejemplo 6. Matriz de 4x4.

Quit@D

Dimensión

Ejemplos JNF.nb 13

n = 4

4

A =

2 -1 0 1

0 3 -1 0

0 1 1 0

0 -1 0 3

882, -1, 0, 1<, 80, 3, -1, 0<, 80, 1, 1, 0<, 80, -1, 0, 3<<

K@l_D = A - l IdentityMatrix@4D

882 - l, -1, 0, 1<, 80, 3 - l, -1, 0<,80, 1, 1 - l, 0<, 80, -1, 0, 3 - l<<

P = Det@K@lDD êê Factor

H-3 + lL H-2 + lL3

Valores propios y multiplicidades

l1 = 3; m1 = 1;

l2 = 2; m2 = 3;

ü Valor propio l1=3. Simple

K1 = K@l1D;

d1 = n - MatrixRank@K1D

1

14 Ejemplos JNF.nb

p = 1; d0 = 0; H* Dimension de KernelHA-l1L0 =Ker I = 80< *L

Un bloque de Jordan de tamaño 1.

j1 = d1 - d0

1

H3L

ü Valor propio l2=2. Doble

K2 = K@l2D

880, -1, 0, 1<, 80, 1, -1, 0<, 80, 1, -1, 0<, 80, -1, 0, 1<<

d1 = n - MatrixRank@K2D

2

d2 = n - MatrixRank@K2.K2D

3

d3 = n - MatrixRank@K2.K2.K2D

3

Así p = 2;

p = 2; d0 = 0;

Ejemplos JNF.nb 15

j2 = d2 - d1

1

j1 = d1 - d0 - j2

0

1 bloque de Jordan de tamaño 2 1 bloque de Jordan de tamaño 1.La forma canónica de Jordan es:

3 0 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

Verifiquemos

jnf = JordanDecomposition@AD;

Part@jnf, 2D êê MatrixForm

2 0 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 3

Ejemplo 7. Matriz de 4x4.

n = 4;

16 Ejemplos JNF.nb

A =

2 -4 2 2

-2 0 1 3

-2 -2 3 3

-2 -6 3 7

882, -4, 2, 2<, 8-2, 0, 1, 3<,8-2, -2, 3, 3<, 8-2, -6, 3, 7<<

K@l_D = A - l IdentityMatrix@4D

882 - l, -4, 2, 2<, 8-2, -l, 1, 3<,8-2, -2, 3 - l, 3<, 8-2, -6, 3, 7 - l<<

P = Det@K@lDD êê Factor

H-4 + lL2 H-2 + lL2

l1 = 4; m1 = 2;

l2 = 2; m2 = 2;

ü Raíz l1=3. Doble.

K1 = K@l1D

88-2, -4, 2, 2<, 8-2, -4, 1, 3<,8-2, -2, -1, 3<, 8-2, -6, 3, 3<<

d1 = n - MatrixRank@K1D

1

Un solo valor propio linealmente independiente. La única posibilidad es

K4 10 4 O

Ejemplos JNF.nb 17

ü Raíz l2=2. Doble.

K2 = K@l2D

880, -4, 2, 2<, 8-2, -2, 1, 3<,8-2, -2, 1, 3<, 8-2, -6, 3, 5<<

d1 = n - MatrixRank@K2D

2

Dos valores propios linealmente independientes. Caso diagonalizable

K2 00 2 O. Se sigue que la forma canónica de Jordan es:

4 1 0 00 4 0 00 0 2 00 0 0 2

. Verifiquemos:

jnf = JordanDecomposition@AD;Part@jnf, 2D êê MatrixForm

2 0 0 00 2 0 00 0 4 10 0 0 4

Ejemplo 8. Matriz de 6x6.

Quit@D

18 Ejemplos JNF.nb

A =

0 1 0 0 0 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

880, 1, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 2, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 1<,80, 0, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0<<

Como la matriz es triangular superior, se sigue que l1=0 es la única raíz de multiplicidad 6.

l1 = 0; m1 = 6;

n = 6;

K1 = A;

d1 = n - MatrixRank@K1D

3

d2 = n - MatrixRank@K1.K1D

5

d3 = n - MatrixRank@K1.K1.K1D

6

d4 = n - MatrixRank@K1.K1.K1.K1D

6

Ejemplos JNF.nb 19

p = 3; d0 = 0;

j3 = d3 - d2

1

j2 = d2 - d1 - j3

1

j1 = d1 - d0 - j2 - j3

1

Para l1=0:1 bloque de Jordan de tamaño 3 1 bloque de Jordan de tamaño 21 bloques de Jordan de tamaño 1.La dimensión es la correcta: 1x3 + 1 x 2 + 1x1=3+2+1=6.La forma canónica es:

0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Ejemplo 10. Matriz de 7x7.

Quit@D

Observe que la siguiente matriz NO está en la forma canónica debido al 1 en la posición (1,7)

20 Ejemplos JNF.nb

A =

2 1 0 0 0 0 1

0 2 1 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0 0

0 0 0 2 1 0 0

0 0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 0 3

;

n = 7;

K@l_D = A - l IdentityMatrix@7D;

P = Det@K@lDD êê Factor

-H-3 + lL2 H-2 + lL5

Raíces y multiplicidades:

l1 = 3; m1 = 2;

l2 = 2; m2 = 5;

ü Raíz l1=3. Doble.

K1 = K@l1D;

d1 = n - MatrixRank@K1D

2

Caso diagonalizable. 2 bloques de tamaño 1.

K3 00 3 O

Ejemplos JNF.nb 21

ü Raíz l2=2. Quíntuple.

K2 = K@l2D;

d1 = n - MatrixRank@K2D

2

Dos vectores linealmente independientes. El bloque no es diagonalizable.

d2 = n - MatrixRank@K2.K2D

4

d3 = n - MatrixRank@K2.K2.K2D

5

d4 = n - MatrixRank@K2.K2.K2.K2D

5

p = 3; d0 = 0;

j3 = d3 - d2

1

j2 = d2 - d1 - j3

1

22 Ejemplos JNF.nb

j1 = d1 - d0 - j2 - j3

0

Para la raíz l2= 2, quíntuple:

1 bloque de Jordan de tamaño 31 bloque de Jordan de tamaño 20 bloques de Jordan de tamaño 1. Forma canónica de Jordan del bloque:

2 1 0 0 00 2 1 0 00 0 2 0 00 0 0 2 10 0 0 0 2

Forma canónica de Jordan de la Matriz es:

3 0 0 0 0 0 00 3 0 0 0 0 00 0 2 1 0 0 00 0 0 2 1 0 00 0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 2 10 0 0 0 0 0 2

Verifiquemos

jnf = JordanDecomposition@AD;

Ejemplos JNF.nb 23

Part@jnf, 2D êê MatrixForm

2 1 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 00 0 2 1 0 0 00 0 0 2 1 0 00 0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 3 00 0 0 0 0 0 3

Ejemplo 9. Matriz de 10x10.

Quit@D

Polinomio característico

n = 10;

24 Ejemplos JNF.nb

A =

7 1 -2 1 1 -2 1 1 -2 1

2 8 -1 -1 2 -1 -1 2 -1 -12 2 5 -1 2 -1 -1 2 -1 -12 -1 2 5 2 -1 -1 2 -1 -11 -2 1 1 7 -2 1 1 -2 1

-1 -1 2 -1 2 5 2 -1 -1 2

-2 1 1 -2 1 1 7 -2 1 1

-2 1 1 -2 1 1 1 4 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 6 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

887, 1, -2, 1, 1, -2, 1, 1, -2, 1<,82, 8, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1<,82, 2, 5, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1<,82, -1, 2, 5, 2, -1, -1, 2, -1, -1<,81, -2, 1, 1, 7, -2, 1, 1, -2, 1<,8-1, -1, 2, -1, 2, 5, 2, -1, -1, 2<,8-2, 1, 1, -2, 1, 1, 7, -2, 1, 1<,8-2, 1, 1, -2, 1, 1, 1, 4, 1, 1<,80, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6<<

K@l_D = A - l IdentityMatrix@10D;

P = Det@K@lDD êê Factor

H-6 + lL10

l1 = 6; m1 = 10;

K1 = K@l1D;

Encontrar valores propios

Definamos los subespacios generalizados asociados al valor propio l: Ei HlL = N HA - lLi , i=1,2,3,... observe que

E1HlL Õ E2HlL Õ ... Õ EpHlL = Ep+1HlL Õ R10 con dimensiones

d1 < d1 < ... < dp = dp+1 =. .. § 10En nuestro caso:

Ejemplos JNF.nb 25

Definamos los subespacios generalizados asociados al valor propio l: Ei HlL = N HA - lLi , i=1,2,3,... observe que

E1HlL Õ E2HlL Õ ... Õ EpHlL = Ep+1HlL Õ R10 con dimensiones

d1 < d1 < ... < dp = dp+1 =. .. § 10En nuestro caso:

d1 = n - MatrixRank@K1Dd2 = n - MatrixRank@K1.K1Dd3 = n - MatrixRank@K1.K1.K1Dd4 = n - MatrixRank@K1.K1.K1.K1D

6

9

10

10

p = 3; d0 = 0;

Calculemos la sucesión de números jk, empezando con j3 ya que p=3 en nuestro caso, tenemos

j3 = d3 - d2j2 = d2 - d1 - j3j1 = d1 - d0 - j2 - j3

1

2

3

Podemos enconces concluir que hay:

1 bloque de Jordan de tamaño 32 Bloques de Jordan de tamaño 23 bloques de Jordan de tamaño 1Observe que 1 x 3 + 2 x 2 + 3 x1 = 3+4+3= 10, el tamaño correcto de la matriz de Jordan

6 1 0 0 0 0 0 0 0 10 6 1 0 0 0 0 0 0 00 0 6 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 1 0 0 0 0 00 0 0 0 6 0 0 0 0 00 0 0 0 0 6 1 0 0 00 0 0 0 0 0 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 6 0 00 0 0 0 0 0 0 0 6 01 0 0 0 0 0 0 0 0 6

26 Ejemplos JNF.nb

Podemos enconces concluir que hay:

1 bloque de Jordan de tamaño 32 Bloques de Jordan de tamaño 23 bloques de Jordan de tamaño 1Observe que 1 x 3 + 2 x 2 + 3 x1 = 3+4+3= 10, el tamaño correcto de la matriz de Jordan

6 1 0 0 0 0 0 0 0 10 6 1 0 0 0 0 0 0 00 0 6 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 1 0 0 0 0 00 0 0 0 6 0 0 0 0 00 0 0 0 0 6 1 0 0 00 0 0 0 0 0 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 6 0 00 0 0 0 0 0 0 0 6 01 0 0 0 0 0 0 0 0 6

Ejemplos JNF.nb 27