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NOMBRE DE LA UNIDAD: ECUACION DE LA RECTA

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OBJETIVO FUNDAMENTAL Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanzas de figuras planas y nociones de probabilidad, iniciándose en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos.

CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS • Ecuación de la recta. • Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. • Condición de paralelismo y perpendicularidad.

Objetivos de Aprendizaje 1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta.

2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta.

3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas.

4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano.

5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas.

6) Resolver problemas que se pueden modelar usando la ecuación de la recta.

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Ecuación de la recta

Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ∈ R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

yEjemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta.

Grafiquemos L en el plano cartesiano:Tabla de valores Gráfico X Y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Observaciones:2. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una

recta.• Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es

solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

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Ecuación Principal de la Recta

Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0

Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.

Ecuación General 2x – y- 1 = 0

Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1Si dividimos la igualdad por -1 para

que el coeficiente de y no sea negativo

-Y = -2x + 1 / : - 1

Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta.

Donde: m = 2 n= -1

Importante

Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta

donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x)

y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

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En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, -1)

x

y

1 2 31

1

2

Pero ¿Qué son m y n ?

6

Ejemplo: Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y = 4

despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:

Ecuación x + y =4

Despejemos y y = -x + 4

m = -1 pendiente negativa la recta forma un ángulo obtuso con el eje x ( mide más de 90º)

n= 4 la recta corta al eje y en 4, en el punto (0,4)

x

y

7

Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8 despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:

Ecuación 4x -2y - 4 =0

Despejemos y -2y = -4x + 4

Multipliquemos 2y = 4x - 4

Dividimos por 2 y = 4 x - 4

2 2

y= 2x - 2

m=2 n= -2

La pendiente es positiva por lo tanto la recta forma un ángulo agudo (mide menos de 90º) con el eje x.

La recta corta al eje y en -2 , en el punto (0,-2)

x

y

8

m>0 m<0

Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o

x

y

x

y

x

y

x

y

9

¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica?

Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.

Por ejemplo:Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta Usaremos la ecuación

x - x y - y

m12

12=

donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.

Por lo tanto remplazando tenemos:

Luego la pendiente m = -1m = = = = -1

12

12

xx

yy

−−

21

25

−−−

3

3

−

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

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Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:

b) Que sean Paralelas b) Que se intercepten

c) Que sean

Coincidentes

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

11

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales:Es decir:

Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2

Rectas Paralelas

x1 x2

y1

y2

L

•

•

x2 – x1

y2 – y1

αx

y

L2

12

EjemploGrafiquemos las rectas de ecuacionesy = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3 En el mismo plano cartesiano

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Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares.

si L1 es una recta de ecuación y=m1 x + n

L2 es una recta de ecuación

y= m2x +n

L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1

Rectas Perpendiculares

x1 x2

y1

y2

L

•

•

x2 – x1

y2 – y1

αx

y

L1

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EjemploGrafiquemos las rectas de ecuacionesy = 4x + 3y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano

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Rectas Coincidentes

Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto.

Si L1: y = m1 x + n1 L2: y = m2 x + n2

L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.

x1 x2

y1

y2

L1

•

•

αx

y

L2

Ecuación principal de la recta

Llamaremos ecuación principal de la recta a la expresión

y = mx + n

En esta “fórmula” se pueden distinguir los siguientes elementos:

Recuerda, las expresiones de la forma y

= mx + n,Representan rectas en el

plano

m = pendiente

n = coeficiente de posición

x = variable independiente

y = variable dependiente

Ejemplos• y= 3x+8

•y= x – 7 3

2

20 40 60 80

P. E.

La recta es una de las curvas de mayor estudio

realizado en las matemáticas por la enorme

cantidad de aplicaciones que presenta y por estar

vinculada a una ecuación de primer grado o

lineal, dentro de sus aplicaciones se tienen:

problemas de costos-ingresos y ganancia, la

oferta y demanda, la valoración de un activo a lo

largo del tiempo, etc.

Introducción:

L1

L2

0 x

y

Pendiente de una recta l

• ¿Cuál de las ¿Cuál de las rectas está más rectas está más inclinada?inclinada?

• ¿Cómo medimos ¿Cómo medimos esa inclinación?esa inclinación?

La pendiente m de la recta l es:

x

yencambio

recorrido

elevaciónm

∆∆===

en x cambio

y

y2 - y1

x2 - x1

Cálculo de la pendiente de una recta

0 x

y

P1(x1;y1)

P2(x2; y2)

∆x=x2 - x1

∆y=y2 - y1

m =

Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).

Ejemplos

• Ubique los puntos en el plano y Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos determine la pendiente de estos segmentos:segmentos:

1.1. A(-6; 1) y B(1; 2)A(-6; 1) y B(1; 2)

3.3. C(-1; 4) y D(3; 1)C(-1; 4) y D(3; 1)

5.5. E(3; 2) y F(8; 2)E(3; 2) y F(8; 2)

7.7. G(2; 1) y H(2; -3) G(2; 1) y H(2; -3)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

mAB = 1/7

mCD = -3/4

mEF = 0

mGH = ¿?

x

y

Conclusiones

Si mSi m>>0 la recta 0 la recta ll es crecientees creciente

Si mSi m<<0 la recta 0 la recta ll es decreciente es decreciente

Toda recta horizontal tiene m Toda recta horizontal tiene m = = 0 0

Las rectas verticales no tienen Las rectas verticales no tienen

pendiente definida. pendiente definida.

Ejemplo:

Un doctor compro un automóvil nuevo en

1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un

amigo en $26 000.Dibuje una recta que

muestre la relación entre el precio de venta

del automóvil y el año en que se vendió.

Determine e interprete la pendiente.

La ecuación de la recta de pendiente m, y La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso punto de paso (x(x11, y, y11)) es: es:

(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)

X

Y

Ecuación de la recta 1.

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

Ecuación de la recta 2.

Ecuación de la recta 3.

• ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTAECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

Ax + By + C = 0

Ejercicios:

3. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).

3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.

4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5 b

a

y = b

x = a

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL

En resumen:

Formas de la ecuación de una recta:Formas de la ecuación de una recta:

• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)

• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen

• Forma general Ax + By + C = 0

• Recta vertical x = a

• Recta horizontal y = b

m1 = m2

Rectas paralelas

• Dos rectasDos rectas ll11 yy ll2 2 cuyas pendientes soncuyas pendientes son

mm11 yy mm22 , , son paralelasson paralelas ( (ll11 //// ll22) ) si y sólo si si y sólo si

tienen la misma pendiente o si ambas tienen la misma pendiente o si ambas

son verticales .son verticales .

Es decir:Es decir:

Rectas perpendiculares

• Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 ⊥l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Es decir:

• Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.

m1 . m2 = -1

Ejercicios:

Determine la ecuación de la recta que satisfaga:

• (Prob. 54) pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x.

Ejercicios:

Problemas de la pag. 134 -135:

11, 15, 32, 49, 58, 59, 62.

Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-3;4) y esperpendicular a la recta que une los puntos B(2;4) y C(6;9) ¿cuál de las distancias es mayor de A a B o de A a C?

¿Los puntos P(-1;7), Q(2;-2) y R(5;2) están en una misma línea recta.?