ecuacion de la circunferencia

Ecuación general de la circunferencia

La circunferencia  es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Para que una expresión del tipo:    sea una

circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad . Si tuvieran ambos

un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de

la ecuación.

2. No tenga término en xy .

3. 

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la

ecuación queda reducida a:

Ejercicios

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el

radio.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3),

C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación    por las

coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

Indicar si la ecuación: 4x 2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una

circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1. Como los coeficientes de x 2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

2. No tiene término en xy.

3. 

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la

ecuación  , y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia

 que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio

es   y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Problemas de la ecuación de la circunferencia

1Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

2Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar

el centro y el radio.

3Determina las coordenadas del centro y del radio de las

circunferencias:

1 

2 

3 

4 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0

4Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-

3) y es tangente al eje de abscisas.

5Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1,

4) y es tangente al eje de ordenadas.

6Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el

punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su

radio es igual a 5.

7 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la

ecuación  , y que pasa por el punto (-3,4).

8Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el

punto C(3,1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.

9Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

10Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de

vértices:A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).

11Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

12Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto

(0,-3), cuyo radio es   y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y

tercer cuadrantes.

13 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos

A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

14 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la

circunferencia   que sea tangente a la recta 3x -

4y + 7 = 0.

15Calcula la posición relativa de la

circunferencia   y la recta  .

16Estudiar la posición relativa de la circunferencia x 2 + y2 - 4x + 2y

- 20 = 0 con las rectas:

1 x + 7y -20 = 0

2 3x + 4y - 27 = 0

3 x + y - 10 = 0

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

1

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

2

Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el

centro y el radio.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

3

Determina las coordenadas del centro y del radio de las

circunferencias:

1 

2 

3 

4 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

4

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3)

y es tangente al eje de abscisas.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

5

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1,

4) y es tangente al eje de ordenadas.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

6

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el

punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su

radio es igual a 5.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

7

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la

ecuación  , y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

8

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el

punto C(3,1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

9

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

10

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de

vértices: A(0,0), B(3,1), C(5,7).

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

11

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

12

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3),

cuyo radio es   y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer

cuadrantes.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

13

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-

5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

14

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la

circunferencia   que sea tangente a la recta 3x -

4y + 7 = 0.

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

15

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

16

Estudiar la posición relativa de la circunferencia x 2 + y2 - 4x + 2y -

20 = 0 con las rectas:

1 x + 7y -20 = 0

2 3x + 4y - 27 = 0

3 x + y - 10 = 0